Metodologías de medición del riesgo de mercado

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1 Meodologías de medición del riesgo de mercado John Jairo Salinas Ávila * resumen El riesgo financiero puede ser definido como la volailidad de los resulados esperados. En paricular, el riesgo de mercado se refiere a la posibilidad de sufrir pérdidas en los mercados financieros. Hasa el momeno, se han propueso en la lieraura numerosas meodologías para medir el riesgo de mercado, aunque la inmensa mayoría de esas son varianes de raamienos esadísicos paraméricos y no paraméricos. Merece desacar enre los primeros el méodo de varianzas-covarianzas y el de simulación Monecarlo, y enre los segundos el méodo de simulación hisórica. El propósio de ese arículo es realizar una valoración de las res meodologías aneriores, mosrando que no exise una que pueda ser acepada como la correca, pues cada una iene sus foralezas y debilidades. alabras clave: economería financiera, riesgo de mercado, valor en riesgo, modelos de medición del riesgo financiero. absrac Mehodologies for measuring marke risk Financial risk may be defined as he volailiy of expeced resuls. Marke risk paricularly refers o he possibiliy of suffering losses in financial markes. Numerous mehodologies for measuring marke risk have been proposed in he lieraure o dae, even hough mos of hese are varians of saisical reamens (paramerical and non-paramerical). The variance-covariance and Monecarlo simulaion mehods are worh highlighing amongs he former and he hisorical simulaion mehod amongs he laer. This aricle was aimed a evaluaing he hree mehodologies menioned above, showing ha no single one can be acceped as being correc, as each has is own srenghs and weaknesses. Key words: financial economerics, marke risk, value in risk, models for measuring financial risk. Inroducción ** La presencia cada vez mayor de las enidades financieras en los mercados de capiales hace que esas sean cada vez más sensibles a volailidad de los precios de los insrumenos financieros que poseen en sus porafolios de inversión, surgiendo así el llamado riesgo de mercado. Su medición es, en primera insancia, una herramiena para la ala dirección de las insiuciones financieras, ya que opera como insrumeno de conrol y audioría que suminisra información sobre la endencia del riesgo en las inversiones realizadas. La Superinendencia Financiera de Colombia (SFC) ha definido ese riesgo como la posibilidad de que una enidad financiera incurra en pérdidas y se disminuya el valor de su parimonio écnico como consecuencia de cambios en el precio de los insrumenos financieros en los que la enidad manenga posiciones denro o fuera del balance. Dos evenos, paricularmene, han enido un impaco fuere en la adopción generalizada de la medición del riesgo de mercado en el secor financiero. El primero uvo lugar en 995, en el Banco Inernacional de agos (BIS), enidad que por inermedio del Comié de Supervisión Bancaria de Basilea (Suiza) propuso nuevas políicas y procedimienos para la medición, el conrol y la gesión de riesgos financieros (enmienda al acuerdo de Basilea de 988). El segundo eveno imporane ocurrió en 994, cuando el banco esadounidense J.. Morgan hizo público en su documeno écnico denominado Risk- * Adminisrador de Empresas, especialisa en evaluación socioeconómica de proyecos, magíser en Adminisración. rofesor caedráico de la Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales, Deparameno de Adminisración, y profesor ocasional de la Universidad de Caldas, Deparameno de Economía y Adminisración. Correo elecrónico: jjsalinas@unal.edu.co ** Ese arículo esá basado en un resumen de la esis Meodologías de Medición del Riesgo de Mercado en Insiuciones de Fomeno y Desarrollo Terriorial presenada por el auor a la Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales, para la obención del íulo de magíser en Adminisración. 87 innovar Clasificación JEL: C, G3. R ecibido: febrero de 007 A probado: abril de 009 Correspondencia: John Jairo Salinas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales, Cra. 7, No.64-60, bloque C, piso, Manizales, Colombia. Salinas Ávila, J.J. (009). Meodologías de medición del riesgo de mercado. Innovar, 9(34),

2 rev. innovar. Vol. 9, No. 34, MAYO-AGOSTO DE innovar Merics el concepo de valor en riesgo, conocido comúnmene como VeR (o VaR por su sigla en inglés). El VeR preende esimar la máxima pérdida en que podría incurrir una insiución financiera en el desarrollo de su acividad económica con un nivel de confianza predeerminado. Ese modelo es el más acepado para la medición del riesgo de mercado. El objeivo de ese arículo es examinar los principales modelos de VeR, y presenar la evidencia empírica que se ha obenido de esudios sobre ese ema.. Méodos para la esimación del riesgo de mercado ara calcular el riesgo de mercado pueden emplearse dos méodos fundamenales: méodo de valoración dela y méodo de valoración global.. Méodo de valoración dela En el proceso de medición dela se raa de esimar la variación del valor de un porafolio con una medida de sensibilidad de los facores de riesgo, uilizando la siguiene expresión: érdida/ganancia poencial = sensibilidad de la posición (dela) x cambios poenciales en los facores de riesgo (asas de inerés, de cambio, y precios de acivos). El méodo de valoración dela es el más fácil de uilizar y requiere menos esfuerzo de cálculo que el de valoración global, pero su aplicación se reduce a posiciones lineales; la linealidad es aquella que permie evaluar una ciera sensibilidad de un porafolio de acivos a los cambios del mercado. Se raa de un méodo paramérico, siendo los parámeros los valores medios, las volailidades (medidas a parir de la desviación esándar) y las correlaciones de las correspondienes disribuciones de rendimienos por variación de precios. Si los acivos son opciones (posición no lineal), hay que aplicar el procedimieno de valoración global de carácer no paramérico, basado en escenarios probables (Marin e ál., 000). Cuando se uiliza el méodo dela, se pueden emplear dos fuenes para la esimación de las volailidades y correlaciones: observaciones hisóricas de ipos y precios, y precio de opciones en mercados organizados. La sensibilidad esablece la relación enre los cambios en el valor del insrumeno con un facor o índice relacionado, por ejemplo, la bea en el caso de las acciones, la duración de los íulos de rena fija o la dela de las opciones (Belrán y erilla, 00). La primera fuene es la más genérica y fácil de usar; normalmene se calculan medias móviles exponenciales de las volailidades hisóricas con un peso mayor a las observaciones más recienes (modelos Garch); la segunda es de carácer más bien limiado dada la menor ampliud de los mercados organizados. robablemene, según Hendricks (996), esa es la razón por la cual la mayor pare de gesores de riesgos basan sus modelos en información hisórica. La venaja esencial del enfoque dela es que requiere calcular el valor del porafolio sólo una vez, uilizando para ello el valor de mercado de los insrumenos financieros del porafolio.. Méodo de valoración global En el procedimieno de valoración global los modelos ambién son llamados de valoración complea, y al conrario que el anerior, no raa de definir una relación explícia enre el valor del porafolio y los facores de riesgo, sino que simplemene raa de esimar el valor del porafolio en disinas siuaciones o escenarios (disinos niveles de precios), uilizando la siguiene igualdad: érdida/ganancia poencial = valor de la posición después del cambio poencial del mercado valor de la posición acual. Cuando se uiliza la valoración global, ambién es posible seguir las siguienes alernaivas: el uso de escenarios definidos, y el uso de escenarios exrapolados por simulación Monecarlo. El uso de escenarios definidos maneja un conjuno de observaciones hisóricas sobre los rendimienos de acivos y pronósicos razonables (educaed guesses) sobre los mismos. Se emplean diversas écnicas, desde la simple selección de un periodo hisórico que aparezca como represenaivo (simulación hisórica) hasa el boosrapping o méodo que genera muesras al azar de la disribución de precios (Marin e ál., 000:8). La posibilidad de uilizar escenarios exrapolados por simulación Monecarlo se realiza generando escenarios basados en volailidades y correlaciones hisóricas o omadas de los mercados de opciones. A parir de dichos daos se generan los escenarios de rendimienos esperados que, cuando se aplican a los precios y ipos corrienes o a plazo, producen escenarios de precios y ipos fuuros. Con el empleo de escenarios definidos se pueden manejar posiciones no lineales opciones y oros derivados, y describirse mercados no normales e inesables, pero odo ello con un mayor esfuerzo de compuación.

3 r e v i s a innovar j o u r n a l FIGURA. Vías alernaivas a la esimación del riesgo de mercado Daos hisóricos de ipos y precios recios acuales de opciones Análisis esadísico Selección de escenarios ronósicos razonables Volailidades y correlaciones hisóricas Exrapolación Modelo de valoración de opciones Volailidades y correlaciones fuuras Méodo de Monecarlo Escenario de ipos y precios fuuros Méodo de Monecarlo osición Volailidades y correlaciones implícias 89 innovar Valoración dela Valoración global Valoración dela osición lineal osición lineal Cambio de valor esimado Disribución de valores Cambio de valor esimado Fuene: Riskmerics, Documeno écnico. 3ª edición, 995 (ciado en Marin e ál., 000:0).

4 rev. innovar. Vol. 9, No. 34, MAYO-AGOSTO DE innovar 3. Meodologías para medir el riesgo de mercado 3. Méodo varianzas-covarianzas Mediane ese méodo se supone que el comporamieno de la serie hisórica de rendimienos presena una disribución de probabilidad dada, en muchos casos por simplicidad; se supone disribución normal, caracerizada por su valor medio μ y su desviación esándar σ, la cual se omará como medida de volailidad de la renabilidad de los acivos. En la medición del riesgo de mercado, la variable considerada como aleaoria es la asa de rendimieno de un acivo financiero, la cual se define como: R = 00ln () o bien R = 00 () donde: R : rendimieno del acivo en el período (-, ), generalmene un día. : precio del acivo en el momeno. - : precio del acivo en el momeno -. La primera ecuación corresponde a la asa de rendimieno discrea, y la segunda a la asa de rendimieno coninua, pero para pequeños incremenos de - las dos son prácicamene iguales. A ravés de un hisograma para una serie de reornos hisóricos de un porafolio que posee n insrumenos financieros, es posible visualizar la disribución de densidad de los rendimienos. ara cada rendimieno se puede deerminar una probabilidad de observar un rendimieno más bajo. Seleccionando un nivel de confiabilidad del 95%, se encuenra en la figura un puno al que exise una probabilidad del 5% de enconrar un reorno más bajo (área de pérdida); se debe muliplicar la desviación esándar por,645 (valor obenido de una disribución normal). Es decir, si el reorno esperado para un porafolio es de 4% y la desviación esándar es de %, enonces el VeR (con un nivel de significancia del 5%) indicará que ese porafolio podría sufrir una pérdida superior a,645* = 3,9% en sus reornos esperados, pasando de 4% a 0,7% o menos, solamene el 5% de las veces ( de 0 veces). Ese puno de la disribución se denomina valor en riesgo. FIGURA. Función de densidad de probabilidades normal de los rendimienos de un porafolio. 5% Desviación Esánda esándar,645 Valor Value en riesgo a Risk Reorno esperado Esperad Fuene: Banco Cenral de Chile. Documeno de rabajo, Nº 67, 000. En la meodología de análisis de porafolios, por simplificar o porque el error comeido es insignificane, no se suelen considerar oros rendimienos que los derivados de las ganancias puras de capial; es decir se asume como cero cualquier pago inermedio, por ejemplo, un dividendo o un cupón. Ese méodo se uiliza en la medición del riesgo de mercado para posiciones lineales. Bajo el supueso de que si los cambios proporcionales en los facores de riesgo se comporan de manera normal 3, enonces los cambios en el valor del porafolio ambién se comporarán de manera normal, ya que hay una relación lineal (Belrán y erilla, 00:7). Bajo el supueso de normalidad en la serie de rendimienos R ~ N(μ, σ ), el valor en riesgo de un acivo se puede calcular como: VeR = V * K( α ) * σ (3) 0 Disribución de Reornos reornos En ese caso, el VeR es una función de res variables: el valor acual del porafolio (V 0 ), valorado a precios de mercado; el parámero K(α) es el facor que deer- Las medidas de valor en riesgo se expresan como perceniles que corresponden a un nivel de confianza deseado. or ejemplo, una esimación de riesgo con un nivel de confianza del 99% indica que la pérdida máxima esperada de un porafolio sólo será excedida en % del iempo. En la prácica normalmene las esimaciones se calculan con niveles de confianza enre el 95% y el 99%. 3 Un facor de riesgo es una variable del mercado con caracerísicas pariculares cuya variación genera un cambio en el valor de un insrumeno financiero. La Superinendencia Bancaria a ravés de la Circular 04 define los facores de riesgo, los cuales son clasificados en cuaro caegorías generales: asa de inerés (en moneda legal, moneda exranjera y en operaciones pacadas en UVR), asa de cambio, valor de la UVR y precio de las acciones.

5 r e v i s a innovar j o u r n a l mina el nivel de confianza del cálculo 4, y la volailidad de los rendimienos medida con la desviación esándar σ. ara un porafolio compueso por posiciones acivas y pasivas que son afecadas por facores de riesgo, esas posiciones ienen un valor en riesgo que depende de la volailidad de esos facores; por ello es necesario obener la mariz de varianza-covarianza o la mariz de correlaciones que refleje de manera más precisa los riesgos asumidos en conjuno por una enidad. or ello, se uiliza la formulación de eoría clásica de careras desarrollada por Markowiz: p n R = w * R (4) i= donde: R p : rendimieno del porafolio R i : rendimieno del acivo i W i : proporción del porafolio, a valor de mercado, inverido en el acivo i, el cual iene una nauraleza dinámica, debido a las operaciones. n: número de acivos diferenes. La desviación ípica del rendimieno del porafolio se puede calcular así: σ = w w w σ p σ + wσ wi σ i + wwσ i i i j ij (5) siendo σ ij la covarianza enre los rendimienos de los acivos i y j, la cual se obiene de: σ ij = ijσi σj. Es decir, es el resulado de muliplicar el facor de correlación lineal rho por las respecivas desviaciones esándar de los rendimienos individuales. or ano, la conribución de cada posición al riesgo del porafolio depende de la relación enre los diferenes facores de riesgo que lo componen. Uilizando noación maricial se puede represenar así la desviación esándar del rendimieno de un porafolio: 4 ara las insiuciones financieras en Colombia, los valores en riesgo deberán ser esimados uilizando un inervalo de confianza del 98% y un periodo de enencia o de negociación de 0 días para el libro de esorería, de acuerdo con la normaividad emiida por la SFC, aunque se pueden uilizar oros periodos más largos, como rimesres e incluso años. El valor de K(α) en una disribución normal esándar para un nivel de confianza del 98% es K =,05. σ w σ L σ i [ ] σ w σ L σ i σ = p w w L wi M M O M M (6) σ i i L i w σ σ i El valor en riesgo del porafolio se puede enonces expresar de la siguiene manera: VeRp = V0 * K( α ) * σ p (7) Esa ecuación ilusra que los porafolios esán consruidos de al manera que la relación enre los insrumenos que lo componen hacen que el riesgo agregado del porafolio sea menor que la suma de los riesgos individuales. Aquí las correlaciones desempeñan un papel imporane porque ayudan a diversificar el riesgo; por eso se da el nombre de valor en riesgo diversificado a aquel que se calcula uilizando las correlaciones enre los facores de riesgo, siendo ese menor que la suma de los VeR individuales, lógicamene siempre y cuando las correlaciones sean menores que. En el fondo, ese méodo reoma los concepos de la eoría de carera clásica, procedene de auores como Markowiz y Sharpe. Así, para Jorion (000), el concepo de valor en riesgo no es algo nuevo; lo que sí lo es iene que ver con la aplicación sisemáica del VeR a múliples fuenes de riesgos financieros, incluyendo los derivados, y culminando con un número que se aplica a oda la empresa. ero, más que enconrar ese número, es de inerés poder uilizarlo con el fin de omar decisiones para manejar y conrolar el riesgo. El uso del érmino supone que los rendimienos se disribuyen idénica e independienemene (Jorion, 000:03); esos no esán correlacionados en inervalos sucesivos de iempo, es decir, covarianzas iguales a cero 5. or ano, el rendimieno esperado y la varianza se incremenan linealmene con el iempo. La volailidad, en conrase, crece con la raíz cuadrada del iempo; en oras palabras, según Campos (00:3): La volailidad de un periodo largo puede considerarse la suma de la volailidad de periodos más coros. Knop e ál. (004) consideran que la anerior aproximación es cuesionable, por lo que siempre que se dispongan de daos en la unidad deseada es preferible calcularla en ella misma que calcularla en ora y converirla. Nóese que, dado que la volailidad crece con la raíz cuadrada del iempo y la media con el iempo, la media dominará a la volailidad en horizones largos. En 5 La covarianza es una medida de la forma en que dos variables junas se mueven linealmene. Si dos variables son independienes, su covarianza es igual a cero (Jorion, 000). 9 innovar

6 rev. innovar. Vol. 9, No. 34, MAYO-AGOSTO DE innovar horizones coros, ales como un día, la volailidad domina (Jorion, 000:04). Ese planeamieno proporciona una razón para concenrarse en mediciones del VeR basadas sólo en la volailidad e ignorando los rendimienos esperados. Es imporane resalar que el iempo se suele asumir como el plazo necesario para poder deshacer o cubrir una posición del porafolio, si no es posible cerrarla. Es decir, que los modelos de valor en riesgo asumen que la composición del porafolio no cambia durane el periodo de enencia, lo cual puede exagerar las pérdidas probables cuando un inversionisa esá en capacidad de liquidar un insrumeno durane un periodo de iempo más coro, o cuando es posible usar derivados para cubrirse de evenuales pérdidas. Ese úlimo caso complicaría los cálculos del VeR, pues se debe recordar que ese méodo mide inadecuadamene el riesgo de los insrumenos no lineales, ales como las opciones y oros derivados cuyos precios varían en magniud diferene a la del mercado. or lo anerior, se deben asignar horizones emporales coros a porafolios raiding o especulaivos y largos a porafolios más esrucurados cuya inención no sea la de liquidación en el coro plazo. Ese méodo es uilizado en la medición del riesgo de mercado para posiciones lineales, bajo el supueso de que si los cambios proporcionales en los facores de riesgo se comporan de manera normal 6, enonces, los cambios en el valor del porafolio ambién se comporarán de manera normal, ya que hay una relación lineal. En una esimación del VeR a ravés de un modelo paramérico, Hendricks (996) esableció que el supueso dual enre normalidad e independencia de la serie de daos con los que se mide la volailidad, crea facilidad de uso por dos razones. rimero, la normalidad simplifica los cálculos de valor en riesgo porque requiere sólo la esimación de la desviación esándar para medir los cambios de valor de un porafolio durane el periodo en el que se manengan las posiciones en los insrumenos financieros que lo conforman. Segundo, la independencia de los daos hisóricos de la serie suponen que un movimieno del precio en un día no afecará esimaciones de movimienos del precio en cualquier oro día. or consiguiene, con las dos asunciones aneriores, se podrían obener las medidas de valor en riesgo para cualquier periodo de enencia, muliplicando la desviación esándar diaria por la raíz cuadrada del número de días del periodo por analizar. ero reconoce ambién que exise gran evidencia que sugiere que algunas series de cambio en precios no se comporan como una disribución normal. La gran diferencia enre la disribución normal y la real de las series financieras es el fenómeno de colas gruesas (ambién presenan asimería) 7. El segundo problema de ese méodo radicional es que uiliza odas las observaciones de la serie financiera. Debido a eso, la disribución esimada se ajusa bien a las observaciones cenrales pero deja a un lado las observaciones exremas dado que esas son muy pocas; sin embargo, son esas observaciones las que realmene son de inerés en la medición del VeR (Cardozo, 004:3). Esas colas gruesas son preocupanes, porque el VeR preende capurar precisamene el comporamieno del rendimieno del porafolio en la cola izquierda. Con colas gruesas, un modelo basado en la aproximación normal subesima la proporción de daos exremos, y por ano, el verdadero valor del riesgo (Jorion, 000:0). Las correlaciones en la mayoría de ales casos ienden a aumenar significaivamene, sin permiir el efeco de diversificación. Según Glasserman (000), los resulados exremos ocurren a menudo y son más grandes de lo que predice una disribución normal (las colas gruesas). Eso significa que demasiadas observaciones ocurren casi en el cenro de la disribución, la curva es demasiado puniaguda o lepocúrica (curosis mayor a 3). Los valores cerca del promedio son acompañados ineviablemene por un exceso de valores muy exremos. Afirma que se reconoce ampliamene cómo la correlación esadísica es una descripción imperfeca de los mercados y de la manera como se mueven cuando se presenan grandes flucuaciones. Los movimienos del mercado no son consanes en el iempo; la volailidad no es consane. De acuerdo con Alarcón y Álvarez (ciado por Campos, 00:4): La no normalidad de la disribución de la serie de reornos implica que, si se uiliza σ como indicador de la volailidad, se esaría omiiendo el hecho de que esa no es consane en el iempo sino que varía en una proporción disina de la raíz del iempo. 6 Un facor de riesgo es una variable del mercado con caracerísicas pariculares cuya variación genera un cambio en el valor de un insrumeno financiero. La SFC a ravés de la Circular 04 define los facores de riesgo, los cuales son clasificados en cuaro caegorías generales: asa de inerés (en moneda legal, moneda exranjera y en operaciones pacadas en UVR), asa de cambio, valor de la UVR y precio de las acciones. 7 Mayor densidad probabilísica en los exremos de la disribución, lo que implica una ala curosis. La curosis de una disribución normal es 3, pero para la disribución de las series financieras se observa una mayor curosis. Enre las écnicas desarrolladas para probar que una serie de reornos sigue una disribución normal esá el esadísico Jarque Bera (Campos, 00).

7 r e v i s a innovar j o u r n a l Nefci (000) afirma que la eoría esadísica de valores exremos iene algunas venajas en comparación con los méodos que uilizan un enfoque paramérico 8. Los resulados de su invesigación mosraron que la eoría de exremos, aplicada a ocho facores de riesgo del mercado, maniene un acercamieno más preciso con el cálculo del riesgo. Las medidas de VeR serían de un 0% a 30% mayor si se usan los escenarios exremos en lugar del modelo dela normal. ara Simons (000), el problema es que el riesgo eveno o exremo no ocurre con la frecuencia suficiene para ser represenado adecuadamene por una disribución de probabilidad basada en daos hisóricos recienes, siendo esa una deficiencia general de odos los méodos que uilizan series hisóricas, razón por la cual el VeR paramérico es usado a menudo; además, las variaciones de los facores de riesgo en el iempo, como los cambios esrucurales en el mercado, cambios fiscales o monearios, ec., pueden ser difíciles o incluso imposibles de evaluar. La conclusión a la que se llega con la uilización de los méodos paraméricos, es que su implemenación es sencilla, sólo requiere los valores de mercado y la exposición de las posiciones acuales, combinados con los daos de riesgo. En múliples siuaciones, esos méodos proporcionan una adecuada medición del riesgo de mercado. ara porafolios grandes, que no poseen un número grande de opciones y de insrumenos con convexidad como los bonos, el méodo es rápido y eficiene para medir el VeR; además no es muy propenso al riesgo de modelo (ocasionado por supuesos o cómpuos defecuosos), siendo además fácil de explicar a la adminisración y al público (Jorion, 000:5). 3. Méodo de simulación Monecarlo El méodo de simulación Monecarlo consise en crear escenarios de rendimienos o precios de un acivo mediane la generación de números aleaorios. En ese caso se supone que el cambio en los precios sigue un comporamieno esocásico (movimieno geomérico browniano) 9, con la siguiene ecuación maemáica que represena el modelo de Wiener: 8 La eoría de valores exremos proporciona una meodología que se puede usar para hacer las inferencias esadísicas en las colas de la disribución. 9 Movimieno browniano en el senido de que su varianza decrece coninuamene con el inervalo de iempo, V(dz) = d. Eso descara los procesos con salos repeninos. El proceso es geomérico porque odos los parámeros son escalados por el precio acual (Jorion, 000). d = µ d +σdz (8) dz = d (9) ε d = µ d +σε d (0) donde ε ~ N(0,) corresponde a una variable aleaoria normal esándar (ruido blanco o choque aleaorio). Esa sección se enfoca en un caso simple con una sola variable aleaoria. El modelo de Wiener indica que los rendimienos de un acivo d esán deerminados por un componene deerminísico µ d y un componene esocás- ico σε d. El méodo de simulación Monecarlo permie generar una gran canidad números aleaorios (usualmene o escenarios) para la variable ε ~ N(0,), de al manera que se pueda conar con igual canidad de precios simulados del acivo para diferenes horizones de iempo. oseriormene se valora el porafolio para cada escenario de precios (valoración global) y se presenan los resulados como disribución de probabilidades de los rendimienos del porafolio como una medida específica del riesgo o VeR. Si los insrumenos no esán correlacionados enre sí, el ejercicio sería simplemene repeir n veces (una vez por insrumeno) el mismo procedimieno que se sigue para el porafolio de un acivo. Sin embargo, si las correlaciones enre los insrumenos no son nulas, la simulación de los reornos debe considerar al covarianza, lo cual complica el procedimieno de generación de procesos esocásicos. ara la generación de escenarios se usa la siguiene formulación: σ Y = 0 e () donde: : precio del acivo en el día 0 : precio del acivo en el día inicial σ: volailidad diaria del precio del acivo : horizone emporal en días Y: variable aleaoria normal esandarizada Si se supone una carera con dos acivos, hay que generar parejas de números aleaorios que se encuenren 93 innovar

8 rev. innovar. Vol. 9, No. 34, MAYO-AGOSTO DE innovar correlacionados según una esimación previa de la hisoria o siuación de los mercados en cuesión (Marin e ál., 000:54). Se pare de la siguiene expresión: Z = AY donde: Z: vecor nx de variables normales esandarizadas e independienes Y: vecor N: número de acivos a considerar (n=, en ese caso). A = 0 : coeficiene de correlación Obsérvese que: AxA = 0 x 0 = () (3) lo que corresponde a la descomposición de Cholesky. Si se considera el vecor Y, x que coniene dos variables aleaorias normales esandarizadas e independienes, Y y Y, los elemenos del vecor Z serán: Z = 0 deduciéndose que: Z Y x Y = Y + Z = Y Y = Y + Y (4) Y (5) ueso que Y, Y y Z ienen como varianza la unidad y Y y Y son independienes, resula Var Z ) = Var( Y ) + ( p ) Var( Y ) (6) ( = y mediane la ransformación Z = A.Y se generan variables aleaorias normales, esandarizadas e independienes con el facor de correlación. apageorgiou y askov (999) consideran que los mejores méodos para esimar el riesgo de mercado son la simulación hisórica y la simulación Monecarlo; los dos similares, sólo que en el primero se usan cambios hisóricos en los precios en lugar de cambios simulados basados en un modelo esocásico. La venaja principal del méodo de simulación Monecarlo, por encima de la simulación hisórica, es que ofrece la oporunidad de probar muchos más escenarios de poenciales cambios para las variables financieras. También permie al usuario idenificar la sensibilidad del VeR a los cambios en la composición del porafolio o a cambios en los valores de los parámeros esadísicos que se usaron en la simulación (icoul, 999). Jorion (000:53) considera al méodo Monecarlo como el más poderoso para medir el riesgo de mercado, en el cual es posible incluir el riesgo de precios no lineales y el riesgo de volailidades. Así, se pueden incorporar las variaciones de la volailidad en el iempo, la exisencia de colas de disribuciones más alas de lo normal (fa ails) y escenarios exremos. El procedimieno es basane direco si el porafolio consa de un acivo. Sin embargo, si la carera de inversiones esá compuesa por n acivos, enonces se debe simular una secuencia de a realizaciones para cada uno de esos n acivos (Jonson, 000). or eso, el mayor inconveniene del méodo es su alo coso de implemenación en érminos de la infraesrucura de sisemas, además de requerir personal muy cualificado. Ora debilidad de ese procedimieno es que se basa en un modelo esocásico para generar el precio de los acivos que componen el porafolio, así como en modelos de valoración para acivos complejos como opciones o íulos hipoecarios. or ano, exise un ciero riesgo de modelización y, para comprobar si los resulados son fiables con respeco a cambios en los modelos, los daos obenidos de la simulación deberían complemenarse con algún ipo de análisis de sensibilidad (Marin e ál., 000:6). En general, ese méodo es el más compleo para la medición del riesgo de mercado, y es paricularmene úil cuando se preende calcular el riesgo de producos derivados, como fuuros, opciones y swaps. 3.3 Méodo de simulación hisórica Esa écnica consise en considerar que cualquier escenario pasado podría ser un escenario fuuro; por ano, omando la serie hisórica de precios de un porafolio para consruir una serie de iempo de precios o rendimienos simulados o hipoéicos, se obendría un vecor de pérdidas y ganancias simuladas sobre el porafolio acual. A parir de esos valores finales se podría deerminar el percenil asociado al inervalo de confianza deseado y hallar el VeR de un conjuno de acivos. ara formalizar el concepo anerior se puede uilizar la k siguiene noación (Campos, 00:): L = V R, i= k k

9 r e v i s a innovar j o u r n a l donde L es la serie de cambios en el valor de un acivo financiero (k i ), los cuales se suman en cada momeno del iempo replicando la serie de rendimienos hisóricos R ordenados de menor a mayor. De esa manera 0, se puede hallar la L mínima que corresponde al VeR del acivo, uilizando un nivel de confianza c (95% o 99%, según sea el caso). En érminos sencillos, el méodo de simulación hisórica permie deerminar la máxima pérdida a la que podría verse someida la carera, en caso que se repiiera el escenario más desfavorable que hubiera enido lugar en la hisoria de daos considerada. or ano, esa será la primera medida de sress esing que se esaría asignando a la carera analizada (Soler e ál., 999:55). De acuerdo con Makarov (999), no hay acualmene una eoría general que ayude a resolver el problema de prever el riesgo, excepo la función de disribución empírica (valoración global), que arroja cieros hechos úiles sobre la nauraleza de los rendimienos hisóricos. Uno de los aspecos más imporanes que desaca es que normalmene la volailidad del mercado es relaivamene esable denro de un horizone coro de iempo y voláil en el largo plazo; su afirmación se apoya en los supuesos del modelo de simulación hisórica: La volailidad del mercado en el fuuro inmediao es esencialmene igual que en el reciene pasado. Lo más probable es que disribuciones pasadas de cambios en los facores de riesgo del mercado manendrán su forma en el fuuro cercano. Las disribuciones hisóricas pueden usarse como predicoras de la disribución de probabilidad en el fuuro. Además, los acercamienos mediane ese enfoque no rabajan con los supuesos de normalidad e independencia enre la serie de daos hisóricos, razón por la cual se usan periodos de observación más largos. De ese modo, no es necesario recurrir a la medición de desviaciones esándar, medias y correlaciones; de alguna forma, esa meodología supone que dichos comporamienos ya esán incorporados en los daos hisóricos, eviando así cualquier riesgo de modelo. or ello la simulación hisórica puede incorporar colas anchas, asimería y correlaciones dinámicas (correlaciones que son función de la magniud de las variaciones de los precios de mercado) (Knop e ál., 004:96); ambién puede uilizarse en odo ipo de insrumenos, lineales y no lineales. Abken (000) concibe ese enfoque como una alernaiva úil para la medición del VeR, pero recomienda verificar periódicamene los resulados con oros méodos. De ora pare, en el rabajo de Torres y Escobar (00:97), análisis efecuado mediane simulación hisórica para una serie de bonos ordinarios emiidos por un banco comercial, ese méodo demosró venajas en comparación al modelo paramérico, pueso que los resulados fueron más consisenes con la realidad; desacan además su fácil inerpreación y aplicabilidad. La aplicación de ese planeamieno implica la elección de un periodo hisórico que se considere represenaivo del nivel de riesgo acual. Generalmene ese periodo oscila enre 50 y 500 días. Gómez (003:06), desaca que las observaciones aniguas pueden no ser muy relevanes en el momeno acual, y si se ienen pocas, se pierde precisión en la esimación del VeR. Señala que de acuerdo con el Comié de Basilea, en la aplicación del modelo de simulación hisórica se deben ener observaciones de por lo menos un año de negociación. En la invesigación de Hendricks (996), uilizando un periodo de 5 días y mediane el modelo de simulación hisórica, los resulados obenidos a la hora de hallar el VeR fueron menos confiables que la esimación que se produjo cuando se uilizaron.50 días. De manera similar, en el rabajo de Geno se puede observar que cuano mayor es el periodo de observación, mayor es la endencia del VeR a permanecer consane durane largos periodos de iempo, y que cuano menor es dicho periodo, más bruscos pueden ser los cambios (75 y 50 días de observación). Eso se debe a que la disribución incondicional de cambios en el valor del porafolio es relaivamene esable, y esimaciones exacas de perceniles exremos requieren el uso de periodos largos. Eso puede ocurrir porque los horizones más largos proporcionan esimaciones buenas en la cola de la disribución. Los periodos de observación más coros ienden a proporcionar medidas de correlación y de valor en riesgo más alas enre los resulados. Esa relación inversa se apoya sobre la base de que la conduca del mercado cambia con el iempo y se acenúa con la información reciene. Hendricks (996) revela las diferencias, a veces susanciales, enre los enfoques de valor en riesgo 95 innovar 0 Si el período hisórico uilizado es de 00 días, se obendrán 00 posibles valores finales de la carera, y por ano 00 posibles valores de los beneficios y pérdidas de la carera. El VeR con un nivel de confianza del 95% será simplemene el quino peor resulado de la disribución de los beneficios y pérdidas observados. Cada día el VeR esimado sería acualizado usando los daos más recienes (por ejemplo, 50 o 500 daos), es decir que los valores de los facores de riesgo del primer día se eliminan, y de forma similar en los días siguienes (De Lara, 00:67).

10 rev. innovar. Vol. 9, No. 34, MAYO-AGOSTO DE innovar para un mismo porafolio en una misma fecha. Usando periodos de observación más largos o los recienes daos con un peso mayor, se ienden a producir los resulados más consanes que aquellos que usan periodos coros. Dowd (999) afirma que mienras el rabajo empírico de Hendricks sugiere que el acercamieno de la simulación hisórica requiere por lo menos 5 años (.50 días) de observaciones diarias para producir una esimación confiable del VeR, el rabajo de Kupiec considera que ni siquiera 0 años de observaciones diarias pueden ser basane para hacer una esimación suficienemene exaca con el modelo de simulación hisórica. Lo ciero es que no exisen indicadores esadísicos que permian deerminar de manera ópima cuánas observaciones se deben incluir a priori en la esimación del VeR. Mienras mayor es el inervalo elegido, en principio mayor es la calidad de la esimación; no obsane, exise el riesgo de incorporar daos que impidan capurar los cambios esrucurales en los mercados (Rosillo y Marínez, 004:48). Como inconvenienes cabría desacar la uilización de un solo parón muesral. El supueso es que el pasado represena aceradamene el fuuro inmediao. El méodo de simulación hisórica omiirá siuaciones con volailidad emporalmene elevada (Jorion, 000:9). En esa misma línea, Geno (s. f.) afirma que: En el enfoque de simulación hisórica no exise la posibilidad de incorporar siuaciones que pueden ocurrir en el fuuro y que no vienen reflejadas en el conjuno de daos hisóricos. or ejemplo, la posibilidad de una devaluación de la moneda local. Ello es debido a que el enfoque de simulación hisórica se enfrena a los riesgos al y como han sido reflejados a ravés del periodo de observación hisórica. ara icoul (999), algunas de las críicas relacionadas con ese méodo son: ) la asunción que el pasado represena el fuuro inmediao, es decir, se asume que la disribución es esacionaria; ) la ala sensibilidad de los resulados con respeco a la longiud del horizone de iempo; y 3) los problemas de obener daos hisóricos consisenes. or oro lado, en virud de que no se cumplen las condiciones de normalidad y de independencia de los residuales, no se puede uilizar la raíz cuadrada del iempo para escalar la esimación del VeR a diferenes horizones de inversión (Rosillo y Marínez, 004:47). Ese enfoque ambién esá sujeo a las mismas críicas que la esimación con promedios móviles. El méodo fija la misma ponderación en odas las observaciones con- enidas en la muesra, incluyendo los punos de daos aniguos. La medida de riesgo puede cambiar significaivamene después que una observación anigua ha sido desechada de la muesra (Jorion, 000:9). or úlimo, cabe mencionar que los cálculos se vuelven complejos para porafolios grandes y muy esrucurados, y al igual que el méodo dela, la simulación hisórica puede quedarse cora en la predicción de valores exremos. 4. Caso prácico Una pare del porafolio de Infimanizales, a 3 de diciembre de 004, esá compueso por un paquee de bonos emiidos en el exerior con un valor de mercado de $ ara esos íulos, la asa de descueno es la asa básica del Tesoro esadounidense (BTEU). El VeR será calculado mediane el méodo de simulación Monecarlo, a 0 días y con un nivel de confianza del 95%. 4. Consideraciones en la elección del modelo de VeR ara la elección del modelo por uilizar se uvieron en cuena las siguienes consideraciones: la meodología esándar de la SFC supone la uilización de variaciones máximas de los facores de riesgo a los que esán expueso el porafolio y la mariz de correlaciones; a pesar de que su implemenación es sencilla, la BTEU no esá denro de los cálculos publicados por esa enidad, razón por la cual es necesario esimar la desviación esándar de esas asas; sin embargo exisen diferenes méodos para esimar la volailidad de la serie de rendimienos, odo depende de los supuesos que se hagan de la disribución de probabilidad de esos. Si los rendimienos se disribuyen normalmene (lo cual difícilmene se ve cumplido en ese ipo de series financieras), se esima la volailidad no condicional; de lo conrario, se procede a uilizar los méodos de volailidad condicional que requieren conocimienos no sólo en la uilización de sofware especializado, sino ambién de personal calificado, conviriéndose ello en un obsáculo para la uilización de ese recurso, ya que de no conar con el personal idóneo para esa area, eso implicaría un aumeno de cosos en la aplicación del modelo. La figura 3 que se ilusra a coninuación represena el comporamieno de la serie de rendimienos de los bonos del Tesoro esadounidense. Conrasados con la ara efecos de la gesión de riesgos, el horizone recomendado es un día. ero eso dependerá ambién de la liquidez del mercado, el cual incide sobre la capacidad de deshacerse de una posición.

11 r e v i s a innovar j o u r n a l FIGURA 3. Disribución de frecuencias de las asas de los bonos del Tesoro esadounidense. (4//00-09/0/05) y (/06/00-09/0/005) Frecuencia 0 0,44,3,9,06,94,8,69,56,44,3,9,06,94,8,69,56 Sd. Dev =,47 Mean =,5 N = 787,00 Frecuencia 0 0,3,88,63,38,3 4,3 3,88 3,63 3,38 3,3,88,63,38 Sd. Dev =,74 Mean =,4 N = 955,00 BTEU (6 meses) BTEU ( años) Fuene: cálculos del auor. disribución normal se puede observar que la serie de rendimienos no se ajusa a al disribución; en ambos casos, ano la asa a seis meses, como la de dos años, ienden a concenrarse excesivamene en las colas de la disribución (colas gruesas), cuando precisamene el VeR preende capurar el comporamieno del rendimieno del porafolio en la cola izquierda. Como se anoó aneriormene, con colas gruesas, un modelo basado en la aproximación normal subesima la proporción de daos exremos, y por ano, el verdadero valor del riesgo. or lo anerior, se esimó el VeR uilizando el enfoque de simulación Monecarlo, el cual ambién represena una venaja sobre el méodo de simulación hisórica. Además, las condiciones en las que operan los Infis (insiuos de fomeno y desarrollo erriorial) no requieren el desarrollo de modelos complejos, pues su porafolio no es muy diversificado, y por ende, son pocas las fuenes de variabilidad a que esá expuesa. el ln, se compora como una disribución normal). Valoración de la carera para cada escenario de precios. resenación de los resulados como disribución de probabilidades de las pérdidas y ganancias de la carera o como una medida específica del riesgo (VeR). Es preciso señalar que los íulos del exerior esán expuesos al riesgo de asa de inerés (BTEU) y al riesgo de ipo de cambio, de al manera, que en el cálculo del VeR es necesario duplicar la posición de esos íulos. or ese moivo, se requiere modelizar el precio de dos acivos, y, respecivamene, con volailidades diarias σ y σ y facor de correlación, acudiendo a las siguienes ecuaciones: = e ( ) () σ Z 0 97 innovar 4. Cálculo del VeR por el méodo de simulación Monecarlo En la uilización de ese méodo, se desarrollan los siguienes pasos: Generación de escenarios, mediane la uilización de las correspondienes esimaciones de volailidades y correlaciones para los acivos de la carera y suponiendo modelos de disribución de precios lognormales (según el modelo de comporamieno de precios, esos siguen una disribución de probabilidad log-normal, o lo que es lo mismo, = e ( ) () σ Z 0 y repiiendo el proceso, por ejemplo, veces. En la abla aparece la disposición de los cálculos realizados en la esimación del VeR para el 3 de diciembre de 004, así como los daos necesarios sobre ipos de inerés de la BTEU, de la TRM, volailidades del ipo de cambio, el precio del bono y la correlación enre ambas variables. El valor inicial de la carera fue suminisrado por Infimanizales, donde se uiliza un sofware financiero para la valoración de sus inversiones. ara los demás cálcu-

12 rev. innovar. Vol. 9, No. 34, MAYO-AGOSTO DE 009 los se empleó la hoja elecrónica Excel, pues las fuenes de variabilidad de la carera permien fácilmene la implemenación del méodo uilizado. ara iniciar el méodo de simulación Monecarlo basa generar parejas de números aleaorios Y y Y, en nuesro caso hasa escenarios, que luego se convieren en las columnas Z fx y Z b, donde los números aleaorios manienen una correlación de -0,8 y donde se maniene Y = Z fx. En la consrucción de las series de ipos de cambio y de precios del bono se acudió a la uilización de las ecuaciones presenadas para la primera fila de daos: fx =.389,75* e 0,004 0 ( 0,5006) = $.374 pesos/dólar 0,00 0 ( 0,903) b = * e =USD $ Como el cálculo del VeR esá uilizando un nivel de confianza del 95%, y el amaño de la muesra es de observaciones, el número críico de core de las series de rendimienos es igual a ( 0.95) *5.000 = 50. oseriormene se ordenan las pérdidas o ganancias hisóricas del porafolio, y se escoge como valor críico para el VeR el que aparezca en la posición 50 si se ordenaron esas de menor a mayor, o en la si se ordenaron de mayor a menor. El méodo de simulación Monecarlo permie concluir, con un nivel de confiabilidad del 95%, que el VeR a 0 días de la carera de bonos emiidos en el exerior de propiedad de Infimanizales asciende a $ , lo que equivale a un 9,% de su valor oal. Eso significa que la pérdida máxima esperada en un horizone de diez días será de $ Conclusiones Se pudo verificar que ningún sisema de medida del VeR es perfeco, y que no oorgan ceridumbre respeco a las pérdidas que se podrían presenar en una inversión, sino una expecaiva de resulados basada en la esadísica y en algunos supuesos de los modelos o parámeros que se uilizan para su cálculo. Sin embargo, esas limiaciones no implican que el VeR no sea una herramiena úil en la gesión del riesgo: son precisamene esas limiaciones las que indican hasa qué puno se pueden usar; además, exisen varias medidas que esán disponibles y que se pueden combinar para obener una medida del riesgo de mercado. El uso de las meodologías para medir el riesgo iene diversas uilidades, enre ellas el que pueden ser usadas para informar a la ala dirección de la endencia del riesgo en inversiones realizadas; ambién pueden ser uilizadas por cualquier agene ineresado en la gesión aciva del riesgo de mercado, por esar su porafolio someido a él. or ano, los usuarios pueden ser desde insiuciones financieras, reguladoras con ánimo de supervisión, hasa cualquier empresa de carácer no específicamene financiero. El valor en riesgo comunica sobre deerminados ipos de riesgos financieros a las enidades y a sus grupos de inerés. 98 innovar TABLA. VeR del porafolio de Infimanizales aplicando el méodo de simulación Monecarlo VeR MEDIANTE EL MÉTODO MONTECARLO (Horizone 0 días) Infimanizales Volailidades diarias Volailidad (USD): 0,004 Volailidad carera: 0,00 Correlación: -0,80 TRM (3//004): 389,75 Valor de mercado carera (USD): Valor de mercado carera ($): Y Y Zfx Zb fx b(usd) b($) érd./gan. /G (Ordenado) -0,5006 -,4863-0,5006-0, ,46 0, ,46 0, ,0758-0,847 -,0758, ,50-0,599-0,50 0, , , , , : : : : : : : : :, ,87837, , ,6607-0,04409,6607 -, ,6045 0,8857 -,6045, ,987 -,5799 0,987 -, ,095,70-0,095 0, : : : : : : : : : -0,3473 0, ,3473 0, Fuene: cálculos del auor.

13 r e v i s a innovar j o u r n a l El arículo preende resalar la imporancia que el VeR esá desempeñando en el manejo del riesgo de mercado; además iene un alo componene divulgaivo de los enfoques presenados, siendo ese uno de sus objeivos. Dado que el VeR no recoge muchas oras variables de riesgo (riesgo políico, riesgo de liquidez, riesgo legal, riesgo del emisor y oros), se hace prácicamene imprescindible complear la información proporcionada por el VeR con écnicas de evaluación de los modelos (Back Tesing) y mediane écnicas de simulación en siuaciones exremas (Sress Tesing), así como con la implanación de procedimienos y conroles apropiados en la gesión del riesgo de mercado. No se puede esperar que esas herramienas den una solución definiiva al problema que represena el riesgo de mercado, pero sí se deben considerar como un insrumeno de medición que permie idenificar y omar posiciones ane dichos riesgos. Referencias bibliográficas Abken,. (000). Scenario Simulaion Evaluaion of Value a Risk by Scenario Simulaion. Saisical Journal of Derivaives, 7(4),. Exraído el 0 de ocubre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. Belrán, F. & erilla, A. (00). El concepo de VaR y los méodos de valoración. En Méodos de deerminación del valor en riesgo y su aplicación al sisema bancario colombiano (pp. 5-3). Bogoá D.C.: Girafa-Universidad de los Andes. Campos, A. (00). El VeR: herramiena para la medición de riesgos de mercado. En Apunes de Banca y Finanzas. Bogoá, D. C.: Asobancaria, 4. Cardozo,. (004). Valor en riesgo de los acivos financieros colombianos aplicando la eoría de valor exremo. Tesis de Maesría en Economía. Universidad de los Andes, Bogoá D.C. De Lara, A. (00). Medición y conrol de riesgos financieros. México: Limusa. Dowd, K. (999). A value a risk approach o riskreurn analysis. Journal of orfolio Managemen, 5(4). Exraído el 0 de noviembre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. Geno,. (00). Comparación enre méodos alernaivos para la esimación del valor en riesgo. Documenos de Trabajo, Serie, Universidad de Casilla La Mancha. Faculad de Ciencias Económicas y Empresariales. Glasserman,. (000). The ques for precision hrough Value-a-Risk. The Financial Times (p. 6). Exraído el 0 de noviembre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. Gómez, A. (003). Adminisración del riesgo de asa de inerés: un análisis del proceso. Tesis de pregrado no publicada, Universidad Nacional de Colombia, Faculad de Minas, Medellín. Hendricks, D. (996). Evaluaion of Value-a-Risk Models Using Hisorical Daa (mehods for esimaing marke risk). Federal Reserve Bank of New York Economic olicy Review, (), 39. Exraído el de ocubre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. Johnson, C. (000). Méodos de evaluación del riesgo para porafolios de inversión. Banco Cenral de Chile, Documenos de rabajo. Exraído el de diciembre de 004 desde hp:// docrab.hm Jorion,. (000). Valor en riesgo: el nuevo paradigma para el conrol de riesgos con derivados. México: Limusa. Knop, R., Ordovás, R. & Vidal, J. (004). Medición de riesgo de mercado y de crédio. Barcelona: Ariel. Makarov, V. (999). Value-a-risk: hisorical simulaion. The Journal of Lending & Credi Risk Managemen, 8(7). Exraído el de ocubre de 004 de la base de daos Info- Trac Web: General BusinessFile Inerna l. Marin, J., Oliver, M. & De La Torre, A. (000). Riesgo de mercado y de crédio: Un enfoque analíico. Sevilla: Aril. Nefci, S. N. (000). Value a Risk Calculaions, Exreme Evens, and Tail Esimaion. Journal of Derivaives, 7(3), 3. Exraído el 0 noviembre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. apageorgiou, A. & askov, S. (999). Deerminisic simulaion for risk managemen. Journal of orfolio Managemen, (6). Exraído el 0 noviembre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. icoul, E. (999, abril). Calculaing VAR wih Mone Carlo simulaion (value a risk measures in financial services managemen). The Journal of Lending & Credi Risk Managemen, 8(8)). Exraído el 0 noviembre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. Rosillo, J. & Marínez, C. (004). Modelos de evaluación de riesgo en decisiones financieras. Bogoá: Universidad Exernado de Colombia. Simons, K. (000). The use of value a risk by insiuional invesors. New England Economic Review, (0). Exraído el 0 noviembre de 004 de la base de daos InfoTrac Web: General BusinessFile Inerna l. Soler, J., Saking, K., Ayuso, A., Beao,., Boín, E., Escrig, M. & Falero, B. (999). Gesión de riesgos financieros: un enfoque prácico para los países lainoamericanos. Madrid: Banco Ineramericano de Desarrollo, Grupo Sanander. Torres, W. & Escobar, M. (00). Análisis de valores de rena fija: un enfoque al modelo de valor de riesgo. Tesis de pregrado no publicada, Universidad Nacional de Colombia, Faculad de Minas, Medellín. 99 innovar