TEMA 1: LOS NÚMEROS ENTEROS.

Transcripción

1 TEMA : LOS NÚMEROS ENTEROS. Los úmeros turles result isuficietes pr represetr lgus situcioes de l vid cotidi. No es lo mismo u tempertur de 0 C que otr de 0 C. No es lo mismo teer e el bco 000 que teer 000. Recuerd que el cojuto de los úmeros turles se represet por N N {,,,,,,...} Y el cojuto de los úmeros eteros se represet por Z Z {...,,,,, 0,,,,,...} Está clro que N Z (se lee N icluido e Z. Todos lo úmeros turles tmbié so eteros. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA Y RESTA: Co dos sumdos: Co más de dos sumdos: Recuerd tmbié que: ( ; ( ; ( ; (. Clcul: b c d ( e ( f ( g ( h i 9 j k ( ( l ( ( m ( ( ( ( ( PRODUCTO Y DIVISIÓN: 0 : ( 0 : ( 0 : 0 : ( 0 : 0 ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0

2 . Clcul: ( b : ( c ( : d ( e ( ( : ( f 9 : ( ( g : ( ( POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL.... es l bse y es el expoete veces ( ( ( ( 9. Clcul: ( b c ( d e ( OPERACIONES COMBINADAS Recuerd que el orde que debes seguir es: º Prétesis o corchetes º Potecis º Productos y divisioes º Sums y rests. Multiplic o divide tes de sumr o restr: ( ( : ( ( ( b ( c ( ( d ( : ( e.( : ( f ( ( : ( g ( ( h : ( i ( : (. Clcul (No olvides l prioridd: ( 9 ( ( ( : ( 0 : ( 0 ( ( b ( c ( ( ( d ( : ( e ( ( : f ( : (

3 . Clcul: ( b ( c [ ( ] d ( e ( ( f ( [ ( ] g [ ( : ( ] : ( h [ ( : ( 0 ] i [ ( ( ] j ( k [ ( ] l [ ( ] : ( m ( ( : (. Doñ Luis teí e el Bco u sldo de 0 euros. H pgdo el recibo de l luz (9 euros, el de Telefóic (, euros y el de l trjet VISA (0. Cuál es su sldo después de estos gstos? (Es decir, cuáto diero le qued e el bco.. E l tigu Chi se ivetó el ppel e el ño 00.C. Lo hcí co cortez de mder, pj y trpos. 0 ños más trde, te l gr demd de ppel, se empezó fbricrlo co pst de mder. E qué ño se empezó fbricr el ppel co pst de mder?. 9. Ls temperturs máxims de lgus ciuddes el dí de gosto fuero: SEVILLA LONDRES LA CORUÑA PUNTA ARENAS CAMPBELL 9ºC ºC ºC -ºC -ºC Clculr ls diferecis de temperturs etre ls ciuddes: Sevill y Lodres b Lodres y L Coruñ c Sevill y Put Ares d Lodres y Cmpbell e Cmpbell y Put Ares. 0. Copi y complet el fctor descoocido: (? (? 0?? Escribe tres divisioes de eteros cuyo cociete se etero. Escribe tres divisioes de eteros cuyo cociete o se etero.. Se dispoe de rtículos y se prevé veder cd dí de l sem 000 de ellos cuátos rtículos le quedrá l cbo de sems? qué ocurrirá l cbo de sems?. El empresrio de u estció Iverl resume sí l mrch de su egocio durte el ño psdo: º Trimestre Gcis de cd mes º Trimestre Pérdids de 0 cd mes º Trimestre Pérdids de 0 cd mes º Trimestre Gcis de 00 cd mes Cuál fue el blce fil?

4 NUMEROS RACIONALES Coceptos recordr Múltiplos de u úmero: Mul ( {,,,,... } Divisores de u úmero: Div ( {,,,,,} Máximo comú divisor: El myor de los divisores comues. m.c.d.(, y Míimo comú múltiplo: El meor de los múltiplos comues. m.c.m.(, y L frcció como prtes de l uidd. L frcció como operdor de 0 Frccioes equivletes: b es equivlete c d b c d d b c Pr obteer frccioes equivletes u dd podemos multiplicr o dividir el umerdor y el deomidor por u mismo úmero. Ejemplo: 0 ; ; 0 0 : :. Clcul el m.c.d. y el m.c.m. etre los úmeros: y 0 b y c, y d 0, 90 y 0 e, y 0. Clcul: de 0 b de 9 c de. Idic e cd cso si ls frccioes siguietes so equivletes etre si:

5 0 y b y c, y. Obté u frcció equivlete ls que se idic pero tles que el m.c.d. etre el umerdor y el deomidor se. (Ests frccioes se llm irreducibles. Pr coseguirlo divide umerdor y deomidor etre el m.c.d. de ellos : 0 0 m. c. d.(0,00 0 b 00 : c 00 d El úmero rciol. El cojuto de los úmeros rcioles se represet por Q Q y b Ζ cosiderdo que tods ls frccioes equivletes etre sí so forms b distits de escribir el mismo úmero rciol. ( y b Z sigific que y b so úmeros eteros. Observcioes:. y represet l mismo úmero rciol que es distito por ejemplo. Z Q. Es decir todo úmero etero es rciol. Expresió deciml de u úmero rciol: Pr obteer l expresió deciml de u úmero rciol bst dividir el umerdor etre el deomidor. Ejercicio.. Comprueb ls que está resuelt y ecuetr l expresió deciml de los úmeros rcioles que se idic: ,,, 0, Todo úmero rciol dmite u expresió deciml que puede ser fiit (Expresió deciml exct:., expresió deciml periódic pur: ,, expresió deciml periódic mixt,, Recíprocmete tod expresió deciml exct o periódic se puede expresr como u frcció, si est frcció es irreducible se llm frcció geertriz del úmero deciml.

6 Frcció geertriz de u úmero deciml: Pr expresió deciml exct:, frcció geertriz. 0,, 00 Pr expresió deciml periódic pur:, x, 0 x, (0,...,... x, 9 x x, 9 frc. geertriz Otro ejemplo: x,, 00x, x, 99 x 9 9 x, 99 Pr expresió deciml periódic mixt:, x, 00x, (00,...,... 0x, 9 90 x 9 x, 90 Otro ejemplo:, x, 000x, 00x, 990 x x, 990. Ecuetr l frcció geertriz de los úmeros decimles siguietes:, b, c, d, e, f, g. Ecuetr l frcció geertriz de los siguietes úmeros decimles. 0, 9 b c,9 d, e,9 f,, h 0, i fr. geer.,

7 Qué observs?. Cuál será l frcció geertriz de, 9? Comprció de úmeros rcioles: Pr comprr dos úmeros rcioles podemos: Comprr sus expresioes decimles. Ejemplo: y 0, ; 0, > b Ecotrr represettes co el mismo deomidor. Ejemplo: 0 0 y y ( 0m.c.m.(, 0 0 >. Orde de meor myor: 0,00 ; ; 0, ; ; ; 0, ; 0, 0, 09 ;, ;, ; ; 0, ; Represetció de úmeros rcioles: Pr represetr el úmero m bst teer e cuet que es m Cd uidd se divide e prtes / Ejemplo: ¼ / ¾ / / / - 0 / / Si el úmero viee expresdo e form deciml ecotrremos previmete su frcció geertriz: -/ Ejemplo: 0, -/ Represet gráficmete: 0,; 0,; 0,;,9; 0,9; ;,;

8 Opercioes co frccioes: SUMA Y RESTA Pr sumr restr dos frccioes o ms frccioes debemos ecotrr represettes co el mismo deomidor y sumrls o restrls posteriormete: Ejemplos: 9 0 b 0 PRODUCTO DE FRACCIONES Pr multiplicr dos frccioes se multiplic umerdor por umerdor y deomidor por deomidor. Ejemplos: 0 b 0 Ivers de u frcció: Dos frccioes so iverss si su producto es. L frcció ivers de es. L frcció ivers de es. DIVISIÓN DE FRACCIONES: Pr dividir dos frccioes se multiplic el dividedo por l ivers del divisor. Ejemplos: : b : POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL: Su sigificdo es el mismo que pr los úmeros eteros: Ejemplo: OPERACIONES COMBINADAS: El orde es el estblecido e el tem terior

9 9 0. Idic el orde que debes seguir e ls opercioes combids. Clcul y simplific b c d 0 e f 0 g h : i j k l m ( ñ o 0 0. Clcul y simplific: : :. 0 - e h g f d c b. Clcul psdo previmete frcció y ddo el resultdo como úmero deciml.,, 0 b 0,, : d,, e 0,, : Números mixtos: E l vid cotidi o decimos que hemos comprdo de kilo de grbzos. Diremos que hemos comprdo kilo y curto. Efectivmete, se represet co el úmero mixto. Otro ejemplo.. Ps úmero mixto ls solucioes del ejercicio.

10 . Ps frcció los úmeros mixtos: OTRAS APLICACIONES Coocido el totl clculr l prte. b c Ejemplo: Hemos cortdo los tres curtos de u cuerd que teí metros. Cuáto mide cd uo de los dos trozos que result?. de 9m 9 m mide u trozo y m mide el otro Coocid l prte clculr el totl. Ejemplo: No coocemos l medid de l cuerd complet pero sbemos que el trozo cortdo so tres curtos de l cuerd complet y esos tres curtos mide m. Cuáto mide l cuerd complet? Logitud de l cuerd complet X X X : 0m L cuerd complet mide 0 m Ttos por cieto Ejemplo : Se cooce el porcetje y l ctidd l que se le plic: Uos zptos costb 0. Si se le plic u rebj del %, cuál será su uevo precio? Sol. de 0 0 0, 0 Los zptos costrá Ejemplo : Se cooce l ctidd l que se le plic y el resultdo pero o el porcetje. Uos zptos que costb 0 hor cuest. Qué tto por cieto h subido?. Sol. Clculmos primero cuáto es l subid 0 x 00 Si el porcetje plicdo es del x% 0 x, 00 0 % Ejemplo : Se cooce el porcetje, el resultdo pero o l ctidd l que se le plic.. Uos zptos co u rebj del 0 % cuest. Cuál er su precio tes de l rebj? 0 Sol. Si el precio buscdo es X tedremos que X X 00X 0X

11 00 90X 00 X 0 El precio iicil er de 0 0. U grupo de cutro migos h ido u pizzeri y h pedido u pizz de tú. Si l divide e prtes igules, qué frcció de pizz le correspode cd uo? b Si come todos l mism ctidd y l pizz cuest euros, cuáto pgrá cd uo de ellos? c Uo de los migos dice que si hubiese dividido l pizz e prtes igules y le hubiese ddo él 9 prtes hbrí comido lo mismo. Tiee rzó? Por qué? d Trs coversr sobre quié tiee más y meos hmbre, los cutro migos decide reprtir l pizz e prtes desigules. Si tres de ellos come l tercer, curt y quit prte respectivmete, qué frcció de pizz come el curto migo?. U fmili gst ½ de sus igresos e pgr l hipotec del piso,/ e comid y / e pgr distitos recibos. Qué frcció de sus igresos se puede destir l horro? Si sus igresos so de.0 euros l mes idic cuátos euros dedic cd prtdo. Si le quedse pr horrr / del totl, horrrí más o meos que ctulmete?. Hemos cortdo dos trozos de u cuerd. Uo er de / del totl y el otro de /0. Clcul que frcció represet el trozo que flt. Si l cuerd medí 0 m cuáto mide cd trozo?. De otr cuerd hemos cortdo /. El trozo que qued mide m. Cuáto medí l cuerd eter y cuáto mide cd uo de los trozos? 9. U equipo A, h gdo de los prtidos disputdos. Otro equipo B, h gdo los. Y el equipo C, el % de sus prtidos. Ordélos segú el úmero de victoris. 0. Expres ls siguietes frccioes como decimles e idic qué tipo de deciml es :,,,, 0,. Expres los siguietes decimles como frcció irreducible:,; 0,0; 0,;,;,;,;,;,;,;,; 9,9. E u supermercdo hce est ofert: PAGA DOS Y LLÉVATE TRES. Cuál es el porcetje de rebj?. E Myo el precio de ls fress bjó u 0% respecto del mes terior, pero e Juio se pusiero u 0% más crs que e Myo. E qué porcetje h vrido el precio de ls fress desde Abril hst Juio?. Por uos zptos que costb 0 hemos pgdo 0. Qué tto por cieto está rebjdos? b El sueldo de Ju subió e el 00 u %. Si e el ño 00 gb 00 l mes cuáto g e 00.

12 c Uos ptloes co u rebj icluid del % cuest, cuáto costb tes de l rebj? RECAPITULACIÓN. : [ 0 ( ]. ( ( [ ( ].... Ju comió / de u pizz y Atoio /. Clcul l frcció de pizz que sobró, cuáto pesb l pizz complet y cuáto pesb el trozo que comió cd uo sbiedo que el peso del trozo que sobró er 00 grmos.. Ecuetr l frcció geertriz de los úmeros decimles:,9. Represet e l rect rel los úmeros: b, c 0, 0, b, c, 9. Se h evpordo el % del gu de u depósito que coteí 0 l. Qué ctidd de gu qued e el depósito? 0. Cd sem, Iés dedic ocho hors hcer deporte. E vccioes, dedic u % más de tiempo. Cuáts hors dedic Iés hcer deporte e ls sems de vccioes?. E u exme hecho lumos se h obteido los resultdos que prece e l tbl. Clificcioes Nº de lumos Suspesos Porcetjes Suficietes 9 Bie Notble Sobresliete

13 Complet l tbl co los porcetjes correspodietes Sum los porcetjes clculdos. Cuál es el resultdo?. El % de los bldosies de u coci se h sustituidos porque estb rotos. Se h puesto bldosies uevos. Clcul cuátos bldosies tiee el suelo de l coci.. E u tied de rop juveil los precios está rebjdos e u %. Estos so los precios de los rtículos tes del rebj. Cuál será el precio después?. Ptló: 0. Bots deportivs:.. E u estudio relizdo el ño psdo e Espñ sobre 00 persos, se h descubierto que 90 pdeciero u determid efermedd. Clcul qué tto por mil supoe y cuáts persos l sufriero e totl. (Cosiderr l poblció espñol de hbittes. Clcul: % de 00 b % de 00 c % de 000 d 0% de 00 e 00% de.. Si el precio iicil de u jersey es de euros y me h rebjdo, de qué porcetje h sido l rebj?. Si el precio de us gfs el ño psdo er de 0 euros, y este ño de, qué tto por cieto h subido?. Quiero comprr e ls rebjs uos ptloes vqueros, u cmiset, us zptills de teis y u bñdor. Llevo 0 euros e totl. Me gust uos vqueros que cuest euros y tiee u rebj del %, us zptills de teis de 0 euros co u rebj del 0%, u cmiset de euros rebjds u 0% y u bñdor de euros co u rebj del %. Tego suficiete Cuáto diero me flt o me sobr? 9. Por uos zptos que costb 0 hemos pgdo. Qué tto por cieto está rebjdos? El sueldo de Ju subió e el 00 u %. Si e el ño 00 gb 00 l mes cuáto g e 00. Uos ptloes co u rebj icluid del % cuest, cuáto costb tes de l rebj?

14 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Recuerd: (Siedo y m úmeros turles.... es l bse y es el expoete veces Propieddes:. m m. m m :. ( m m. ( b b. b b Defiicioes:. 0. Ejemplo: ( ( Observ que: b b Ejemplo: 9. Cldul: b (- - c (- d (- 0 e f g. Comprueb l propieddes de ls potecis pr, y m. Comprueb ls propieddes de ls potecis pr, y m -(Ls propieddes de ls potecis se sigue cumpliedo pr expoetes eteros. Expres como u sol poteci siempre que se pued y e culquier cso clcul: b ( c ( d e

15 . Clcul: b ( c ( d e. Reliz ls siguietes opercioes co potecis: (....9 b d e f.. g :. Simplific ls expresioes:.... b... (.. ( c d (... Notció cietífic. El úmero se puede escribir e form brevid como, 0. El úmero 0, se puede escribir como, 0 L otció cietífic se suele empler pr escribir úmeros grdes y úmeros pequeños su form siempre será;,bcd... 0 co 0 y u úmero etero. Ejemplo: El úmero 0000 se puede escribir como 0 0 o como e otció cietífic hy que escribirlo como, 0 El úmero 0,000 se puede escribir como esté e otció cietífic hy que escribirlo como. Cmbi de otció los úmeros siguietes: 0, 0, 0. 0, pero pr que esté o como 0 pero pr que b 0, c, 0 d, 0 9. Escribe e otció cietífic: 0 0 ; 0,0000;, 0 ; 0, ; 0, ; 9 0 ; Clcul:,; 0,0000 0

16 , 0 x, 0 -, 0 b 0 c, 0 x, 0 d, 0 - :, 0 -, 0, 0 e, 0 x, 0 f, 0 x, 0 g h 0 0. U prmecio mide, 0 - m. Cuátos hbrí que colocr e líe rect pr que su logitud lczr km?. Qué logitud lczrí, milloes de prmecios?

17 NÚMEROS REALES Existe úmeros que o dmite u expresió deciml exct i periódic. Por tto o existe igu frcció que los geere. So los úmeros irrcioles. Se puede demostrr que el úmero es irrciol. Y de l mism form,,,..., so úmeros irrcioles.. Clcul cuáto mide l digol de u cudrdo de ldo cm.. Clcul cuáto mide l digol de u rectágulo de cm de lrgo y cm de cho. Hbrás comprobdo que uque se llme irrcioles estos úmeros so fáciles de costruir y prece e ls figurs geométrics más secills. Al cojuto formdo por los úmeros rcioles y los úmeros irrcioles se les llm cojuto de úmeros reles y se represet por R. E l uidd terior hemos represetdo úmeros rcioles e l rect. Co los úmeros reles se complet l rect, es decir, por cd úmero rel hy u puto e l rect y por cd puto de l rect u úmero rel. No olvides el digrm siguiete: N Z Q R R Q Z N. Escribe dos úmeros eteros que o se turles, dos rcioles que o se eteros y dos reles que o se rcioles (irrcioles.. Cuáto mide l digol de u cudrdo de ldo cm?. Utilízlo pr justificr que

18 OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS Itervlos bierto de extremos y b. Se represet por (, b. Es el cojuto de todos los úmeros reles compredidos etre y b, los úmeros y b o está icluidos. { x R < x b} (, b < Ejemplo: (, { R < x < } x. Es el cojuto de todos los úmeros compredidos etre y. So ifiitos úmeros:,,.,.,.9,... Itervlo cerrdo de extremos y b. Se represet por [, b]. Es el cojuto de todos los úmeros compredidos etre y b mbos iclusive. [, b] { x R x b} Ejemplo: [,] { x R x } - y mbos iclusive: -,,.,.... Es el cojuto de todos los úmeros compredidos etre. Defie el itervlo bierto e y cerrdo e, esto es, (-, ]. Escribe cico úmeros que perteezc ese itervlo.. Defie y represet el itervlo cerrdo e y bierto e. Escribe cico úmeros que perteezc ese itervlo.. Po dos ejemplos de itervlos biertos y dos de itervlos cerrdos. Defíelos y escribe cico úmeros que perteezc cd uo de ellos. Itervlo (, b. Es el cojuto de todos los úmeros reles meores que b. (, b { x R x < b} Ejemplo: (, { R x < }, -,... x. Es el cojuto de todos los úmeros meores que :.,, Ejercicio:. Defie itervlo (, b] Itervlo (, y po u ejemplo. Es el cojuto de todos los úmeros reles myores que.

19 (, { x R < x} Ejemplo. (, { x R < x}. Es el cojuto de todos los úmeros reles myores que : -., 0,,.... Defie itervlo [, y po u ejemplo.. Escribe cutro ejemplos de itervlos e los que iterveg los símbolos y -. Defie cd uo de ellos. 9