TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRONICA Y TELEMÁTICA

Transcripción

1 TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRONICA Y TELEMÁTICA MATEMATICAS Curso Proedéutico - Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

2 ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN UNIDAD I. Poteci Rdicció UNIDAD II. Álger UNIDAD III. Fctorició UNIDAD IV. Productos Notles UNIDAD V. Desrrollos Bioiles UNIDAD VI. Triágulos UNIDAD VII. Polioios Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

3 INTRODUCCION Uo de los roles fudetles que se reset l estudir u feóeo físico, feóeo rel, es l osiilidd de deterir l relció que eiste etre tods ls ctiddes ecesris, o suficietes, r descriir dicho feóeo. Al estlecer l relció que eiste etre tods ests ctiddes, se lte l osiilidd de oder deterir el coortieto del feóeo r codicioes iuests or getes eteros l feóeo. A este roceso se le deoi odelció. Por ejelo, l estudir el feóeo de tiro rólico se dese deterir l relció que eiste etre ls ctiddes ecesris r descriir co recisió el coortieto del feóeo. Se ecotró que ls vriles iorttes ecesris er l velocidd iicil del disro, el águlo de iclició del disro e l qui de tiro, cierts ctiddes coo so: l s del cuero, l grvedd de l tierr, el coeficiete de fricció, etc. De est for se ecuetr u ecució, que corresode u ecució diferecil de segudo orde. L solució de est ecució diferecil erite deterir l relció etre tods ls ctiddes ivolucrds e el feóeo. Est relció erite redecir co certe dode uede cer u cuero de ciert s, disrdo co u ciert velocidd, u águlo de iclició, cosiderdo ls crcterístics eters l feóeo. De est for, el roósito fudetl del estudio de u feóeo rel cosiste e cotr co l osiilidd de redecir el coortieto del feóeo estudido, redecir resultdos, r sí oder tor decisioes. L ecesidd de uscr l redicció del coortieto de u feóeo e for ect hce ecesrio utilir u odelo que se lógicete estricto, r evitr l igüedd de los osiles resultdos. Este odelo lo roorcio l Mteátic. L Mteátic l Físic roorcio todos los eleetos ecesrios r costruir u odelo lógicete estricto del feóeo estudido. L relció que se uede estlecer etre tods ls osiles ctiddes ecesris r descriir u feóeo se deoi fució. El estudio álisis de ls roieddes geerles de ls fucioes rece fudetlete, u ivel ásico, e el Cálculo Itegrl Diferecil. El cálculo itegrl diferecil roorcio l iforció ecesri suficiete sore u fució, r esto ecesit iulr ctiddes strcts que rereset los osiles vlores que uede tor tods ls ctiddes ivolucrds e l descrició del feóeo. L for e que ests ctiddes strcts se relcio etre sí est deterid or ls roieddes regls del Álger de los Núeros reles. De est for, el ojetivo de este teril es roorcior todos los eleetos ecesrios del Álger de los Núeros Reles r oder defiir e ileetr ls estrtegis decuds r el estudio de u feóeo, co el fi de oder descriir su coortieto redecir uevos resultdos. El coociieto del coortieto de u feóeo erite lterse el role del diseño costrucció de uevos disositivos sdos e ls roieddes del feóeo estudido. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

4 ÍNDICE Pág. Itroducció Siste de los Núeros Reles Aritétic. Potecició Rdicció Álger Fctorició. Productos Notles. Desrrollos Bioiles. Triágulo de Pscl Polioios Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

5 SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES L descrició de los feóeos turles, l osiilidd de oder cotrolrlos redecir su coortieto jo codicioes iuests desde getes eteros l feóeo, hce ecesrio strer los rocediietos de dicho feóeo forulr odelos teáticos que descri fielete l feóeo. El Modelo teático descrie de er strct l feóeo. Todos los rocediietos rocesos que se verific e el feóeo so reresetdos or oercioes strcts etre ojetos geerlidos ojetos teáticos. Al itroducir u cojuto de ojetos geerles, se hce ecesrio oder defiir oercioes que erit coir los ojetos de dicho cojuto. U de ls crcterístics que dee de stisfcer ls oercioes itroducids e el cojuto es que se cosistetes. Esto sigific que si se to dos ojetos o eleetos del iso tio se efectú u oerció co ellos se eser que el resultdo se u eleeto del iso tio. Est codició es l ie fudetl r oder defiir oercioes e u cojuto ddo. Se deoi roiedd de Cerrdur o Clusur. Tod oerció que stisfg est roiedd se dice que está ie defiid. Si u oerció o está ie defiid e u cojuto, est dee ser eliid el cul es el cso eos itereste, o itroducir uevos eleetos e el cojuto r que dich oerció esté ie defiid. De est for se otiee cojuto ás geerles ás ricos e estructur teátic. Esto es, se uede hcer ás coss. Uo de los cojutos ás relevtes e ls teátics es el cojuto de los Núeros Reles. Estos ere tod l estructur teátic que se utili e ls Ciecis de l Igeierí. Este es el otivo de su estudio. Núeros Reles. El cojuto de los úeros reles es el cojuto que cotiee todos los úeros que se utili e el Cálculo diferecil e itegrl de fucioes reles de vrile rel. El Cálculo que se utili regulrete e ls de ls Ciecis de ls Igeierís. Algu ve se hlrá de u tio esecil de úeros deoidos Núeros Colejos. Los Núeros Reles tiee u estructur ie defiid, e térios de cojutos de úeros ás eleetles. Núeros Nturles. El cojuto de úeros ás sile es el cojuto de los Núeros Nturles. Este cojuto se deot or el síolo N, est defiido e l for:,,,,,,... N El cojuto de los úeros Nturles cotiee todos los úeros que se utili r cotr. L oerció fudetl que se uede defiir e este cojuto es l oerció de Adició o Su. L oerció de Adició stisfce l roiedd de Cerrdur. Esto sigific que si se su dos úeros turles el resultdo es u úero turl. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

6 Es osile que se ecesite sur u iso úero vris veces. Esto es, u su reetid. Se uede itroducir u reresetció de est su reetid, l hcerlo se itroduce u uev oerció. A l uev oerció se le deoi Multilicció o roducto. E l oerció, el idic que el úero se su cosigo iso de tl for que rece veces e l su reetid. Pero se uede lter de otr for, que es osile cir de orde los eleetos de l oerció, escriir, l cul idic que el úero se su cosigo iso de tl for que el rece veces e l su reetid. A est roiedd se le deoi Proiedd couttiv. Etoces, e los úeros turles solo se uede efectur oercioes de Su Multilicció, de tl er que los resultdos se úeros turles. Pr oder idicr que u ciert ctidd se le v quitr otr ctidd se itroduce u uev oerció que se deoi Sustrcció o Rest. Si ergo se tiee que est oerció o se uede defiir e los úeros turles, deido que h ocsioes e que el resultdo de u rest o es u úero turl. Por ejelo, si le restos os quedos si d. A este d se le deot co el síolo, el úero cero, el cul o es u úero turl. De igul for, si le restos 9 os d u resultdo que o está e los úeros turles. Etoces se hce ecesrio itroducir otro cojuto de úeros e el cul se ued defiir l oerció de rest. Núeros Eteros. El cojuto de los Núeros eteros se deot co el síolo Z se defie e l for: Z...,,,,,,,... Esto es, el cojuto de los úeros eteros cotiee todos los úeros turles. Se oserv que cd úero turl tiee u coñero que se deoi Iverso ditivo, est reresetdo or el úero turl corresodiete tecedido de u sigo egtivo. Esto es, el iverso ditivo del úero turl es el úero. Adeás se tiee u uevo úero, u úero u esecil, que se deot or se deoi Neutro ditivo. Ls oercioes defiids e este cojuto so Su, Multilicció Rest. Y es osile efectur oercioes del tio 9! Se dee de oservr que l igul que l ultilicció, l rest es u oerció que se otiee rtir de l su. Esto se dee que l oerció de rest se defie e térios de los iversos ditivos, cosiderdo cierts regls de sigos. Dos sigos cosecutivos igules d coo resultdo u sigo ositivo ó, ietrs que dos sigos cotrrios cosecutivos d coo resultdo u sigo egtivo ó. Esto es, 9 9 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

7 Al úero se le su el iverso ditivo del úero 9 se otiee coo resultdo el iverso ditivo del úero. Esto es, se relio u rest. L su se trsforo e u rest!. H ocsioes e que se ecesit deterir cuts veces está coteido u úero e otro. Por ejelo, el est coteido veces e el úero. Pr deterir el úero se ecesit otr oerció l cul se le deoi Divisió. L Divisió ecesit l eisteci de otro tio de úeros que o está coteidos e los úeros eteros. Esto es, se uede dividir etre oteer, el cul es u úero etero, que, si ergo o es osile hllr el resultdo de dividir etre. No h igú úero etero que ultilicdo or de cóo resultdo. Etoces, se ecesit ás úeros. Núeros Rcioles. El cojuto de los úeros Rcioles se deot or Q se defie coo el cojuto de todos los úeros que se uede escriir coo el cociete de dos úeros eteros, dode el deoidor ecesriete es distito de cero. Q ;, q Z, q q Etoces, el cojuto de los Núeros rcioles cotiee tods ls frccioes. Al defiir l cojuto de los Núeros rcioles se itroduce u uevo tio de úero que se deoi iverso ultilictivo. Esto es, cd úero etero se le sig u uevo úero, de tl for que si se ultilic etre si se otiee el úero. A est roiedd se le deoi roiedd del iverso ultilictivo, l úero se le deoi Eleeto Neutro ultilictivo. Por ejelo, el iverso ultilictivo del úero etero es el úero rciol / que l ultilicrlos se otiee el Neutro ultilictivo. Al coir los úeros eteros co los iversos ultilictivos se otiee ls frccioes. Por ejelo el / se defie de l siguiete for: Etoces, se tiee defiids ls cutro oercioes eleetles de l Aritétic. Núeros Irrcioles. Si ergo hce flt úeros. H u gr vriedd de úeros que o se uede escriir coo el cociete de úeros eteros. Por ejelo los úeros, e,,, l,etc. A todos éstos úeros se les gru e u cojuto esecil que se deoi Cojuto de los Núeros Irrcioles. Este cojuto se deot or el síolo I, se defie e l for I ;, q Z, q q Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

8 Se uede oservr que el cojuto de los úeros Rcioles cotiee los úeros eteros turles que los úeros rcioles los irrcioles o tiee úeros e coú. Núeros Reles. Coido estos dos cojutos de úeros se otiee u cojuto ás geerl deoido cojuto de los Núeros reles. Este cojuto se defie coo l uió de los úeros Rcioles e Irrcioles, e l for: R Q I Adeás se stisfce l relció de coteció: N Z Q Y l codició que grti que los úeros rcioles los irrcioles o tiee eleetos e coú: Q I dode deot l cojuto vcío. El cojuto de los Núeros Reles tiee l estructur siguiete: R Q Z I N El Cojuto de los Núeros Reles R es u estructur esecil de u tio rticulr de Ojetos teáticos deoidos Cos. U Co se defie e térios de u cojuto de ios que stisfce dos oercioes deoids dició o su roducto o ultilicció. Los Núeros reles stisfce los ios de Co l cosiderr sus oercioes de su ultilicció Dichos ios so los siguietes.. Aio de cerrdur r l su., R, R Este io idic que l su de dos úeros reles es igul u úero rel.. Aio de l roiedd couttiv e l su., R, Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

9 Este io idic que el orde e que se reli l su de dos úeros reles o lter el resultdo. Esto es, el orde de los sudo o lter l su.. Aio de l roiedd socitiv e l su.,, cr, c c Este io idic que l relir l su de vrios úeros reles l oerció es iri, se reli co dos úeros, o iort el orde e que se efectúe ls oercioes cosecutivs.. Aio del eleeto Neutro ditivo. R R, Este io idic que eiste u úero deoido cero de tl for que si se su co culquier úero rel, siere se otiee coo resultdo dicho úero rel.. Aio del eleeto Iverso ditivo. R,! R El io idic que r culquier úero rel h u úero tl que si se su os d coo resultdo cero. Al úero se le costur deotr or.. Aio de Cerrdur r l ultilicció., R, R El io idic que si se ultilic dos úeros reles el resultdo siere será u úero rel.. Aio de l roiedd Asocitiv e l ultilicció.,, cr, c c El io idic que l ultilicció es u oerció iri, se reli etre rejs de úeros, l cul se uede relir e culquier orde.. Aio de l roiedd couttiv e l ultilicció., R, El io idic que o iort el orde e que se efectúe u ultilicció, el resultdo es el iso. Esto es, el orde de los fctores o lter el roducto. 9. Aio de l roiedd Distriutiv..,, cr, c c.,, cr, c c c Este io idic l for e que se coi ls oercioes de su ultilicció. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec 9

10 . Aio del eleeto Neutro ultilictivo. R R, El io idic que h u úico úero deotdo or, de tl for que si se ultilic co culquier otro úero rel siere se otedrá coo resultdo el iso úero escogido. El cojuto de los Núeros Reles es el cojuto se del Cálculo de Fucioes reles de Vrile rel que so de iterés e l Igeierí. De est er, ecesitos deterir tods ls osiles fors e que se uede iulr los úeros reles. Esto es, itroducir oercioes ás geerles. Esto for rte del Álger de los úeros reles. ARITMETICA Proieddes de ls oercioes ásics. Ls oercioes ásics defiids e el cojuto de los úeros reles tiee cierts roieddes u de ells es l rioridd que tiee u oerció co resecto otr. Esto es, si se coi u su o rest co u ultilicció o divisió, cul oerció se reli riero. E los dos ejelos siguietes se escrie l is oerció, ero se efectú de distit for Cul de ls dos oercioes es correct? 9 9 Se uede coeter errores si o se tiee cierts regls geerles. Pr evlur u oerció ritétic se uede cosiderr ls siguietes regls. Los rétesis idic l rioridd de u oerció. L oerció etre rétesis es l rier oerció efectur. Si ergo los rétesis solo so ecesrios cudo se coi sus o rests co otrs oercioes. E l oerció los rétesis idic que se dee de evlur riero l rest detro de los rétesis osteriorete l ultilicció. E l oerció se uede oservr que o eiste igú rétesis or lo que se dee de efectur riero l ultilicció osteriorete l rest. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

11 Cudo se coi sus rests co divisioes, l r del querdo se cosider coo u rétesis. Esto se oserv co ás detlle l escriir u cociete usdo el síolo /. Este síolo idic que el uerdor el deoidor dee de estr coteidos e rétesis. De est for, cosidereos l oerció /9 9 L r ricil del querdo deteri que se dee de relir l su del uerdor l rest del deoidor tes de relir l divisió. 9 No es osile efectur riero ls divisioes, licr regls de sigos hcer l rest l fil. Esto es, o es osile dividir riero etre 9, etre, licr regls de sigos, ás etre eos igul eos, desues restr los resultdos. 9 9 Oservr que ls siguietes o so ls iss oercioes, uque e tods esté ivolucrdos los isos úeros sigos Ejelos Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

12 Oercioes co frccioes. Uo de los roles ásicos e l ritétic es l iulció de ls oercioes ásics co úeros frcciorios. Estos esdo e oercioes r ls cules o es ecesrio utilir u clculdor. Icluso h ocsioes e que ú co clculdor se coete errores l relir oercioes co frccioes. Ls oercioes de su rest de frccioes tiee l is estructur. L difereci solo rdic e que si se dee de sur o restr ciertos resultdos. L oerció e sí se uede efectur de l siguiete for. Si se tiee dos frccioes culesquier que h que sur o restr se ultilic e for crud el uerdor de l rier or el deoidor de l segud se le rest, deediedo de l oerció, l ultilicció crud del deoidor de l rier or el uerdor de l segud. El resultdo se divide etre l ultilicció de los deoidores de s frccioes. U ve efectud l oerció se silific el resultdo hst l íi eresió osile. Esto es: Su L su de dos frccioes se reli l ultilicr e for crud el uerdor de l rier or el deoidor de l segud sur l ultilicció crud del deoidor de l rier or el uerdor de l segud. c d c d d Ejelos.., Rest L Rest de dos frccioes se reli l ultilicr e for crud el uerdor de l rier or el deoidor de l segud restr l ultilicció crud del deoidor de l rier or el uerdor de l segud. c d c d d Ejelos.. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

13 . Cudo se su o rest frccioes que so ositivs egtivs l ve se uede seguir el criterio siguiete. Si l rier frcció es egtiv, el sigo egtivo se le sig l uerdor, se cosider coo ositivo el deoidor. Esto es: Ejelos Cudo se su o rest u tero co u frcció el roceso es sile. Se ultilic el deoidor de l frcció or el etero se le su o rest el uerdor de l frcció. El resultdo se divide etre el deoidor de l frcció Multilicció Si se cosider l ultilicció de dos frccioes se ultilic e for direct los uerdores los deoidores. Esto es, se ultilic los dos uerdores se divide etre l ultilicció de los dos deoidores. c c d d Ejelos.... Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

14 Divisió L divisió de dos frccioes se uede resetr e dos fors equivletes. Y el roceso de divisió es cuestió de cóo se ultilic los eleetos de ls frccioes. Si l divisió de dos frccioes se reset utilido el síolo c d Se ultilic e for crud el uerdor de l rier or el deoidor de l segud el resultdo, que es u uerdor, se divide etre l ultilicció del deoidor de l rier or el uerdor de l segud. Ejelos c d d c Si l divisió de dos frccioes se reset e térios de l r ricil del querdo, se ultilic los etreos el resultdo qued coo u uerdor, ietrs que se ultilic los edios el resultdo qued coo u deoidor. d c c d E térios de l r ricil del querdo, l ultilicció de los etreos qued rri, l ultilicció de los de e edio qued jo. Ejelos Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

15 A cotiució se descrie co detlle vrios ejelos e los cules se utili tods ls roieddes de ls oercioes ásics. Ejelos Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

16 EJERCICIOS Recuerd que lo que deseos ejercitr es l for e que se iul ls oercioes ritétics o el uso de l clculdor. Y r oortuidd de usrl Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

17 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec.. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN POTENCIACION Es osile que se ecesrio efectur l ultilicció de u úero rel cosigo iso u cierto úero de veces, or ejelo ultilicr el úero cosigo iso 9 veces. Est oerció se escrie e l for:. Arte del osile resultdo, iteres uscr fors de cóo trjr co ests eresioes. El iulr eresioes de este tio es stte tedioso. Igieos escriir l ultilicció del úero tres cosigo iso 99 veces. Seri iútil escriir tl oerció. Pero es osile defiir lgu eresió u oerció que reresete l ultilicció reetid. De est for, r silificr l ultilicció reetid, itroducios u uev otció. Esto es, e l eresió el úero es l ctidd que se está ultilicdo cosigo iso is, el uerito rereset el úero de veces que el úero rece e l ultilicció reetid. De est for, l uev otció itroduce u uev oerció que se deoi otecició. Defiició: Se u ctidd ritrri, u úero etero ositivo. Se defie l oerció de otecició, coo l ultilicció reetid de l ctidd cosigo is - veces. Est oerció se rereset or l eresió. veces Esto es, l ultilicció de u ctidd cosigo is, de tl for que l ctidd rece veces e l ultilicció se rereset or el uevo síolo.

18 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec A l ctidd se le deoi se, es el úero o l ctidd que se ultilic cosigo iso, l úero se le deoi oteci, el úero de veces que el úero o ctidd rece e l ultilicció reetid. De est for se uede decir que: Es ecesrio rercr el hecho de que es u ctidd ritrri, ero que l oteci es ecesriete u úero etero ositivo. PROPIEDADES L oerció de otecició uede coirse e diverss fors. Ests uede ser: ; Lo que se dese hcer es oder escriir u tério e el cul cd se este fectd de u úic oteci. A este roceso le llreos silificció. Pr esto se ecesit deterir l for e que se uede iulr ls otecis cudo h vris ses. Necesitos roieddes. A cotiució se descrie ls roieddes que stisfce ls otecis l coirse vris ses fectds de diverss otecis. Producto de ses igules. Cudo dos ses igules se ultilic etre sí, el resultdo es igul l is se fectd de u oteci que es igul l su de ls otecis de ls ses. E u leguje iforl, si dos ses igules se ultilic ls otecis se su. Deostrció: Cosidereos el roducto de dos ses igules co otecis ritrris. Utilido l defiició de l otecició se desrroll cd eresió se regru los térios eleetles. veces veces veces veces veces Ejelos. veces veces veces. Etoces, cudo se ultilic ses igules tods ls otecis se ultilic.

19 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec 9 Cociete de ses igules. Cudo dos ses igules se divide etre sí, se otiee coo resultdo l is se co u oteci que es igul l rest de l oteci del uerdor eos l oteci del deoidor. E u leguje iforl, si dos ses igules se divide etre sí, l oteci de rri se le rest l oteci de jo. ; Se uede oservr que es osile oteer u oteci egtiv!. Pr resolver este roleit se uede decir que l dividir dos ses igules, l oteci or se le rest l oteci eor el resultdo es l oteci de l is se, l cul qued e l osició que tiee el tério co l oteci or. Esto grti que l se quede fectd de u oteci úero etero ositivo. L oteci or está e el uerdor, or lo que el resultdo qued e el uerdor. L oteci or está e el deoidor, or lo que el resultdo qued e el deoidor. Deostrció: E os csos se utili el hecho de que l divisió de dos ctiddes igules, distits de cero, es. Eso es, ls ctiddes se ccel. Etoces, l relir l deostrció vos cceldo ls ses. Si es or que : veces veces veces veces veces veces veces Ejelo Si es eor que : veces veces veces veces veces veces veces

20 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec Ejelo Bse elevd otecis cosecutivs. Si u se se elev dos otecis cosecutivs, el resultdo es igul l is se su oteci es igul l ultilicció de ls otecis cosecutivs. Esto es, cudo u se se elev dos otecis cosecutivs, ls otecis se ultilic. Deostrció: Utilios l roiedd de l ultilicció de ses igules, dode l se es. veces veces Se uede geerlir est roiedd r culquier úero fiito de otecis cosecutivs. s r s r Ejelos. veces. Producto de ses distits. Cudo se ultilic dos ses distits o se uede silificr l eresió, de lgu for sile, de tl er que l eresió tiee su for: Eiste u cso iortte e el cul es osile re escriir l eresió. Si se ultilic dos ses distits ero co l is oteci se uede re escriir l eresió e l for: Se ultilic ls ses, l ultilicció qued fectd or l is oteci. Se odrí decir que l oteci sle, qued coo u oteci coú. Deostrció: se utili l defiició de otecició el regruieto de ls ses.

21 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec veces veces veces Ejelo veces veces veces Cociete de ses distits. De igul for que el roducto de ses distits, si se divide dos ses distits, o es osile silificr l eresió e u for sile, or lo que l eresió tiee su for. E el cso esecil e que ls otecis se igules, es osile re escriir l eresió e l for: Esto es, ls ses se divide, l oteci sle coo u oteci coú. veces veces veces Ejelo veces veces veces Proiedd distriutiv Ls roieddes de l ultilicció divisió de ses distits co otecis igules, se uede reforulr defiir ls roieddes distriutivs de l otecició. Pr dos ses ritrris u úero etero ositivo, se tiee ls roieddes ; Est roiedd descrie l for e que uede ser eliidos los rétesis l ejr otecis. Deostrció: Se utili l defiició de otecició el regruieto de térios. Pr el roducto:

22 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec veces veces veces Pr el cociete: veces veces veces Etoces, l oteci etr fect cd uo de los térios. Si estos térios so ses co otecis, se lic l roiedd distriutiv osteriorete l roiedd de otecis cosecutiv. Ejelos.. Veos que se uede decir que l roiedd distriutiv de ls otecis idic coo se distriue u oteci coú e u roducto o u cociete. L oteci etr ultilic tods ls otecis que ecuetr, que o esté gruds e otr oteci coú. Ejelo d c d c d c Los térios d c está grudos e otrs otecis. Está detro de otro rétesis. Etoces l oteci solo fect ls otecis eters de los rétesis iteros. Posteriorete se vuelve licr l roiedd distriutiv. d c d c d c d c Se otiee l fi l eresió silificd l áio. Geerlició del coceto de Poteci Es osile que eist eresioes e ls cules l oteci o es u úero etero ositivo. Cosiderdo l roiedd del iverso ultilictivo de los úeros reles se uede itroducir otecis egtivs!.

23 L roiedd del iverso ultilictivo r los úeros reles estlece que r culquier úero rel h otro úero rel, de tl for que si se ultilic el resultdo es l uidd. Proiedd del iverso ultilictivo. Pr todo ctidd,, eiste u úic ctidd/ tl que se stisfce l relció: A l ctidd / se le deoi iverso ultilictivo de se deot or: Si u iverso ultilictivo se le lic u oteci se tedrá: De est for se itroduce ls otecis egtivs, defiiedo: ; El trsforr otecis egtivs ositivs cosiste sileete e ivertir l eresió cir el sigo egtivo ositivo. E geerl, l sr térios de uerdores deoidores o vicevers, solo se tiee que cir el sigo de ls otecis. ; ; RADICACIÓN Tod oerció osee u oerció colterl, de tl for que s oercioes se elii utuete. Esto es, r cd oerció defiid dee de eistir su oerció ivers. Pr esto odeos igir l situció siguiete: Cuál es el úero que elevdo l oteci d coo resultdo?. Podeos resoder ráidete que el úero es el, que. L regut se uede lter de l siguiete for: Cul es el úero que stisfce l relció?. Nos gustrí oder eliir l oteci, dejr el úero del ldo derecho. Esto es, desejr re escriir l relció e l for: Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

24 Dode es u oteci geerlid que ú o se h deterido. Etoces se uede decir que si se efectú lgu oerció l úero, est oerció os deerí dr coo resultdo. Esto es.. Coo se dese que est uev oerció se l ivers de l otecició, se requiere que se stisfg l relció: Esto es,. De dode se otiee que /. Podeos decir etoces que / que De est for odeos itroducir u oerció que llos Rí curt de. Así, l oerció uscd se deoi Rdicció. Defiició: Se u ctidd ritrri u úero etero ositivo. Se defie l oerció de Rdicció coo l eresió /, l cul stisfce l relció: / sí solo sí / Se dice que es l rí -ési de l úero/ se le deoi rí ó rdicl. E ocsioes se costur utilir u otció lter r l rdicció l cul es: Etoces: /, /, etc. / De est for, ls oercioes de otecició rdicció so oercioes recírocs o iverss. Esto es, u oteci elii su rí/ ó vicevers, cudo se lic cosecutivete. Equivleteete se tiee. Ejelos /. / / /. / / ; ; L eisteci de rdicles erite l coició de otecis rdicles r oteer otecis geerlids. Alicdo l roiedd de otecis cosecutivs se tiee l for de coir u oteci co u rdicl. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

25 Ejelos /. /... / / / 9 9/ / / / / / ; / Esto uestr que si se lic cosecutivete u oteci u rdicl u is se, ests se ultilic, ddo coo resultdo u oteci frcciori!. / / Etoces, cudo u eresió est fectd or u oteci frcciori /, el uerdor corresode u oteci el deoidor corresode u rdicl o u rí. / / 9/ 9 / / El 9 es l oteci el / es l rí curt. / Cudo se h coido u oteci co u rdicl se otiee eresioes del tio, cudo se cosider los iversos ultilictivos se tiee eresioes del tio. Se uede oservr etoces que es osile teer eresioes del tio, dode uede ser culquier úero rel:, /, /,, E geerl, l ctidd se le deoi se l úero se le deoi eoete, el cul uede ser culquier úero rel. / Ejelos geerles. E los siguietes ejelos se uestr l for e que se utili ls roieddes de los eoetes r silificr térios lgericos su eresió ás sile. U se fectd de u úico eoete. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

26 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec. 9.. / / / /. / 9 9 EJERCICIOS.... /.. /.. / 9. / /. / /.. / / / / T T T T T T

27 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec. /. / 9 / /. ALGEBRA El Álger se uede eteder coo l geerlició de ls roieddes oercioes del cojuto de los úeros reles, l cso e el cul ls oercioes ásics se reli co ctiddes geerles, ideterids. Esto es, ctiddes r ls cules o se requiere coocer su vlor, sio que es, sileete, u osile úero o coocido. Ests ctiddes se rereset siólicete or literles,,, etc. De est for e el álger u literl rereset culquier osile úero rel. DEFINICIONES BASICAS. E el Álger se hll relciodos diversos tios de eresioes osiles, ls cules rereset oercioes ctiddes o deterids. U de ls eresioes ás siles so los úeros reles reresetdos or literles. Por ejelo, se uede decir que el úero está reresetdo or l letr. De tl for que e culquier rte que se ecuetre l literl, est siere equivldrá l úero, eos que se cie el úero que rereset. Si se su ests ctiddes cosigo iso se otiee u su reetid, l cul está reresetd or l ultilicció de u úero co u tério eleetl. ; E l eresió, l ctidd le deoireos literl, l úero le deoireos coeficiete uérico. Si se ultilic u tério eleetl cosigo iso se otiee otr ctidd lgeric, l itroducir u for de reresetr ests ultiliccioes reetids. ; Es osile etoces dr lgus defiicioes ásics.

28 Tério eleetl. Tod eresió que es l ultilicció de u literl co u úero rel se deoi tério eleetl. Esto es, u tério eleetl es culquier literl,,,, etc., que rereset u osile úero, u úero rel ritrrio,.,, / 9, etc., o eresioes del tio,,., etc. Es iortte oder deterir l for e que estos térios eleetles se coi etre sí r forr otro tio de ctiddes ás geerles. Tério eleetl se. U tério eleetl se es l reresetció de l ultilicció reetid de u tério eleetl cosigo iso. Esto es, ls eresioes, co u úero etero ositivo le deoireos térios eleetles se. Cudo se coi todos estos tios de eresioes edite ls oercioes de ultilicció, se otiee ctiddes lgerics ás geerles Tério lgerico. U tério lgerico es l eresió que se otiee l coir térios eleetles, fectdos osileete de eoetes, edite ls oercioes de ultilicció roducto divisió cociete. ; ; / d / dode ls eresioes d so térios eleetles se geerlidos. Si se itroduce ls oercioes de dició sustrcció de térios lgericos se otiee eresioes ú ás geerles. Eresió lgeric. U eresió lgeric es l eresió que se otiee l coir térios lgericos edite ls oercioes ásics de Su dició Rest sustrcció. ; ; Si u eresió lgeric cosiste de u úico tério lgerico se dice que es u ooio. Si cosiste de l su de dos térios se dice que es u ioio, si cosiste de l su o rest de tres térios se dice que es u trioio, etc. Bioio de Neto: Todo ioio fectdo or u eoete ritrrio se dice que es u ioio de Neto. Esto es deido que eiste regls geerles r desrrollr el ioio si ecesidd de efectur l oerció e for elícit. 9 ; / q / ; Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

29 TERMINOS SEMEJANTES Uo de los roles riciles que se tiee cudo se coi térios lgericos edite ls oercioes de su Rest es el silificr ls eresioes lgerics oteids. Pr efectur ests eresioes se cosider Defiició: Dos o ás térios se dice que so seejtes si osee los isos térios eleetles se. Esto es, dos térios so seejtes si osee l is rte literl fectd de los isos eoetes. Dos térios seejtes difiere solo e el coeficiete uérico que les corresode. Por ejelo, los tres térios lgericos siguietes so seejtes ; ; El roceso edite el cul se silific u eresió lgeric se deoi reducció de térios seejtes. Este roceso cosiste e idetificr los térios que so seejtes e u eresió lgeric sur los coeficietes uéricos de cd uo de estos térios. El resultdo de l su es el coeficiete del tério silificdo, el cul tiee l is rte literl, co los isos eoetes origiles. Ejelo. Cosidereos l siguiete eresió lgeric. Est eresió se uede re escriir e l for Se uede oservr que los tres rieros térios tiee l is rte literl cd literl tiee el iso eoete e los tres térios, or lo que so térios seejtes. Si ergo, el to tério o es seejte co los teriores uque tiee l is rte literl. No tiee los isos eoetes!. Etoces, los úicos térios que se uede silificr so los tres rieros, or lo que se su o rest todos sus coeficietes uéricos. se otiee el resultdo fil Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec 9

30 Se dee de otr que solo se suro los coeficietes de los térios seejtes. Ls literles los eoetes o ciro. No se uede sur o restr los eoetes. Esto es, si se tiee l eresió lgeric / / Aos térios so seejtes, ero o es osile silificrl e l for L silificció seri / / / / / L su de los eoetes solo seri osile si os térios se estuvier ultilicdo etre si. / / / / Recordeos que ls regls de los eoetes solo so válids cudo se ultilic o divide térios lgericos. Ejelos E cd ejelo se silific cd uo de los térios idividules licdo ls regls de eoetes. Los térios se escrie de tl for tods ls ses está escrits coo uerdores. Al idetificr los térios seejtes se rocede l silificció de l eresió lgeric.. /. 9 9 / Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

31 EJERCICIOS. Silific cd u de ls eresioes lgerics dds., / 9 /. / / c c c c c. c c.. 9 FACTORIZACION L fctorició es el roceso de re escriir u eresió lgeric coo el roducto de eresioes lgerics ás siles. Esto es, re escriir u su coo u ultilicció. Por ejelo, l eresió lgeric se uede re escriir coo el roducto de ls eresioes e l for: Etoces, dd u eresió lgeric E se requiere hllr eresioes lgerics E, E,, E, ls cules e riciio so ás siles, de tl for que: E E E E De est for el role de l fctorició cosiste e deterir ls eresioes E, E,, E. A ls eresioes lgerics E, E,, E se les deoi fctores lgericos o sileete fctores. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

32 Eiste vrios étodos que erite deterir estos fctores lgericos, deediedo de l estructur que tiee l eresió lgeric que se dee de fctorir. FACTOR COMUN Uo de los csos ás siles e el roceso de fctorició es cudo e l eresió eiste lgu literl o úero que rece e cd uo de los térios lgericos. Si e u eresió lgeric h lgu literl o úero que se reite e cd uo de los térios, se dice que dich literl o úero es u fctor coú. E est eresió l literl es u fctor coú orque rece e los tres térios de l eresió lgeric. Pero se uede oservr que h u úero que tié se reite lo lrgo de l eresió. Los úeros, tiee u divisor coú que es el. Etoces el es u fctor coú. Ls literles o so fctores coues que o se reite e todos los térios. Pr fctorir este tio de eresioes, que tiee fctores coues, se sc el o los fctores coues co l oteci ás j, r el cso de los fctores uéricos se sc el áio coú divisor: Se uede oservr que l fctorir el tério cd uo de los térios origiles se divide etre o equivleteete, cd oteci origil del fctor coú disiue tts uiddes coo se l oteci del tério fctorido. Ejelo 9 c Ls literles rece e cd uo de los cutro térios or lo que so fctores coues. Los úeros,, 9 se uede dividir etre, su áio coú divisor es el. Etoces, el es u fctor coú. Se uede fctorir el úero or lo que cd úero origil se divide etre. Se fctori l literl co l oteci íi. Esto es se sc los térios. Etoces: 9 c 9 c AGRUPACION DE TERMINOS Se uede dr el cso que u eresió lgeric o coteg fctores coues, ero es osile que si se gru los térios de l eresió cd gruo ose fctores coues. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

33 Ejelo E est eresió se uede oservr que o h igú fctor coú, se u literl o u úero, or lo que o se uede fctorir or fctor coú. Si ergo, si se gru los térios de dos e dos se tiee: er. gruo do. gruo Se uede oservr que e el rier gruo el úero so fctores coues e el segudo gruo, el úero u sigo egtivo so fctores coues. Fctorido se tiee que del rier gruo sle u u, ietrs que del segudo gruo sle u sigo egtivo, u úero u, or lo que se otiee l eresió siguiete: er. gruo do. gruo Al fctorir el sigo egtivo e el segudo gruo cd uo de los térios del gruo ci de sigo. Se oserv que o est fctorid or coleto l eresió, si ergo e cd gruo h u eresió que se reite. L eresió es u fctor coú, que se reite e los dos gruos. Etoces, se uede fctorir r oteer l fctorició colet: De est for se tiee que: Ejelo Se dese fctorir l eresió lgeric: L eresió es tl que o tiee fctores coues, or lo que se itet grur térios. er tériodotérioer tériototério totério totério Se oserv que los tres rieros térios tiee fctores coues los últios tres térios tié tiee fctores coues. Etoces, grudo e gruos de tre térios se tiee: Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

34 er. gruo do. gruo Del rier gruo se fctori, del segudo : er. gruo do. gruo L eresió es coú, or lo que se fctori se otiee: Se gruro los térios u dos gruos. Si ergo es osile grur los térios de diferete er. er tériodotérioer tériototério totério totério Los térios ro do, do to, ro to tiee fctores coues, or lo que se uede grur l eresió e tres gruos, cd gruo coteiedo dos térios. er. gruo do. gruo er. gruo Del rier gruo se fctori, del segudo del tercero u. er. gruo do. gruo er. gruo L eresió es coú los tres gruos, or lo que es osile fctorirlo r oteer: Etoces, se tiee que el resultdo de l fctorició es: DIFERENCIA DE CUADRADOS Si l eresió lgeric es l difereci o rest de dos térios cudráticos, es fácil hllr l fctorició. Eresioes que so l difereci de térios cudráticos so, or ejelo: Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

35 ; c c ; El roceso de fctorició de u difereci de cudrdos es coo sigue: Se deteri l rí cudrd de cd uo de los térios se escrie l su or l rest de ls ríces oteids. rí rí Ls dos eresioes oteids se deoi ioios cojugdos. Ejelo rí rí Los ioios cojugdos so: Ejelo c rí c rí c c Los ioios cojugdos so e este cso: c c Ejelo Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

36 9 rí rí Los ioios cojugdos oteidos so: 9 9 Ejelo 9 rí rí Si ergo es osile fctorir culquier eresió que se l difereci de dos térios lgericos ritrrios, o ecesriete cudráticos. Ejelo rí / rí / / / / / Los ioios cojugdos so: / / / / Ejelo rí / rí / / / / / Los ioios cojugdos so: Ejelo / / / / Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

37 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec / / / / / / / / Los ioios cojugdos oteidos so e este cso: / / / / / / / / Ejelo rí rí so los ioios cojugdos oteidos. Ejelo c c c c rí rí / / / / / / Los Bioios cojugdos so: c / / c / / TRINOMIO CUADRADO PERFECTO U trioio cudrdo erfecto t.c. es quel trioio que se uede escriir coo u ioio cudrdo. Esto sigific que l fctorir u trioio cudrdo erfecto se otiee coo fctores dos ioios idéticos.

38 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec Pr deterir si u trioio es u Trioio cudrdo erfecto t.c.. se orde el trioio resecto u literl. Se hll l rí cudrd del ero er térios. Se deteri el dole roducto de ls ríces oteids. Si el dole roducto es igul, eceto quiás el sigo, l do tério del trioio, etoces se trt de u t.c.. Si u trioio es u t.c.. este se uede fctorir escriiedo el cudrdo de l su o l rest de ls ríces oteids, deediedo del sigo del do tério. El resultdo es u ioio cudrdo. Ejelo doleroducto rí rí Ejelo doleroducto rí rí Ejelo doleroducto rí rí Ejelo 9 doleroducto rí rí

39 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN H ocsioes e que u trioio o es u trioio cudrdo erfecto, ero es osile fctorir el trioio si se usc u tério decudo que se dee sur restr l iso tieo l trioio origil r oteer u trioio cudrdo erfecto detro de u difereci de cudrdos. Ejelo. Fctorir l eresió Se oserv que se trt de u trioio, ero se uede verificr que o es u trioio cudrdo erfecto. Cudo se verific si es u trioio cudrdo erfecto se oserv que el dole roducto dee ser igul, ero se tiee. Etoces, el roceso cosiste e sur restr u tério r que el tério iteredio se ectete igul l dole roducto de l rí de los térios de los etreos. Etoces, se su rest el tério 9 ri doleroducto ri 9 9 Al silificr los cutro rieros térios se otiee el trioio cudrdo erfecto, el cul se fctori coo u ioio cudrdo r oteer u difereci de cudrdos. 9 9 Se fctori l difereci de cudrdos ri 9 ri / / / Se otiee el resultdo / / Ejelo. Fctorir l eresió 9 9 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec 9

40 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec doleroducto ri ri 9 9 Se otiee l difereci de cudrdos 9 9 Al fctorir l difereci de cudrdos / / / ri ri Se otiee el resultdo 9 9 / / SUMA DE CUADRADOS Es osile que se ecesite fctorir u su de cudrdos. E este cso es osile fctorir l su de cudrdos si se colet u trioio cudrdo erfecto sudo restdo lgú tério decudo l eresió origil. Al sur restr u is ctidd, e relidd se está sudo u cero, el cul es el eutro ditivo or lo que o se lter l eresió. Es u truquito!. Posteriorete se fctori l difereci de cudrdos oteid. Esto es, l su de cudrdos se trsfor u difereci de cudrdos. Ejelo. Fctorir l eresió Se rocede e u for álog l relid r verificr si u trioio es u trioio cudrdo erfecto. Se otiee l rí cudrd de los dos térios, r forr el dole roducto de ls dos ríces. El resultdo del dole roducto es el tério que se su se rest l eresió. Los tres rieros térios for u trioio cudrdo erfecto or lo que se uede fctorir r oteer u ioio cudrdo.

41 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec doleroducto ri ri Se otiee u ioio cudrdo eos el tério que se resto. Est eresió es u difereci de cudrdos or lo que se uede fctorir coo el roducto de l su or l rest de ls ríces de os térios. ri ri De est for se tiee: Ejelo. Fctorir l eresió Se deteri el tério que se dee sur restr, r oteer l difereci de cudrdos. doleroducto ri ri Se fctori l difereci de cudrdos. ri ri Se otiee el resultdo.

42 TRINOMIO CUADRÁTICO Se uede dr el cso de que u trioio o se u trioio cudrdo erfecto. E este cso se uede verificr si el trioio es u trioio cudrático. Todo trioio que teg l estructur E Ec es u Trioio cudrático, dode E es u tério o eresió lgeric ritrri, ls ctiddes c so coeficietes uéricos. El trioio está ordedo resecto l tério o eresió E, l cul solo se ecuetr e el ero do térios. El er tério es solo u coeficiete uérico. Se dee de oservr que el coeficiete del er tério es. Ejelo. ; ; Pr verificr si u trioio es u trioio cudrático, se orde el trioio resecto u literl, u tério o u eresió lgeric. Por ejelo:,, e los ejelos teriores. L oteci del rier tério dee ser el dole de l oteci del do tério, el er tério es solo u coeficiete uérico, e el cul o rece l eresió que orde l trioio. Ejelo. E,, c E,, c E,, c Pr fctorir u trioio cudrático se otiee l rí del rier tério, E. Se usc dos úeros cu su se igul l coeficiete del do tério,, cu ultilicció se igul l tério ideediete c. L fctorició del trioio cudrático es el roducto de dos ioios. Cd ioio es l su de l eresió E los úeros deteridos. E rí E E c E E c Ejelos de fctorició de u trioio cudrático. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

43 Ejelo. E rí Ejelo. E rí Ejelo. 9 E 9 rí Se dee de oservr que el role rece e oder deterir los úeros decudos. Esto es fácil cudo los úeros so úeros eteros. Pero si los úeros so reles ritrrios, or ejelo /,,,. etc., es difícil deterirlos. E u secció osterior, ecució cudrátic, se utilir l forul geerl de segudo orde r oder deterir estos úeros. Por otro ldo es osile que u eresió se u trioio ero co otecis geerlids. Etoces, es osile teer trioios cudráticos u geerles, los cules dite tié u fctorició sile. / / Ejelo. / rí / / E / / / / Ejelo. E / Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

44 rí / / / / / / / / Ejelo. / / rí / / / / E / / / / / / TRINOMIO E Ec E u trioio cudrático se h suuesto que el coeficiete uérico del tério que orde l trioio es. Solo e este cso se uede uscr los úeros, relir l fctorició. Cudo este coeficiete es distito de uo, es osile fctorir el trioio re escriiédol coo u trioio cudrático. Cosidereos el siguiete trioio. E Ec Se ultilic divide el trioio or el coeficiete del tério cudrático. E E c Oservr que l ultilicr dividir or el coeficiete, e relidd se est ultilicdo or u, or lo que o se est hciedo d, es u truquito. Se distriue el coeficiete e el trioio siguiedo ls regls siguietes: El coeficiete ultilic l tério cudrático, ero l ultilicció se re escrie coo E E El coeficiete etr ultilic l tério liel, se re escrie e l for E E Por últio, él coeficiete etr ultilic l tério ideediete, l ultilicció si se efectú e for elícit c. Se otiee l eresió:. E E c Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

45 L eresió e el uerdor es u trioio cudrático, or lo que se uede fctorir or el étodo de l secció terior. Se otiee l rí del tério cudrático se usc dos úeros de tl for que se teg l eresió E E c E E Solo flt descooer el coeficiete e dos fctores,, de tl er que cd uo de estos úeros divid uo de los fctores. Se otiee l fctorició. E E E c E Ejelo. Fctorir el trioio De est for l fctorició del trioio es: Ejelo. Fctorir el trioio L fctorició es: 9 Ejelo. Fctorir el trioio 9 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

46 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec L fctorició del trioio cudrático es: EJERCICIOS. Fctor coú c c c c c c q q q Agrució de térios... c c.. q q qr r

47 Difereci de cudrdos Trioio cudrdo erfecto / / / v Su de cudrdos q Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

48 Trioio cudrdo erfecto or dició sustrcció Trioio cudrático / /... /. /. 9 Trioio cudrdo erfecto difereci de cudrdos c c. 9.. q 9 q PRODUCTOS NOTABLES Al ultilicr dos eresioes lgerics el trjo uede ser tedioso sí cd eresió cost de vrios térios. Si ergo se uede ecotrr cierts regulriddes l efectur u ultilicció. Lo que se dese es deterir regls geerles que erit hllr l ultilicció de dos eresioes lgerics si teer que relir l ultilicció e for elícit. A ests regls geerles que erite hllr el resultdo de l ultilicció de eresioes lgerics, si teer que efectur l ultilicció e for elícit se les deoi Productos Notles. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

49 Bioios cojugdos U cso esecil de roducto otle es el que ivolucr dos ioios, los cules so idéticos eceto que uo es l su él otro l rest de los isos térios lgericos. E este cso se dice que los ioios so Bioios cojugdos. E geerl se tiee que el ioio E E es cojugdo co el ioio E E. Cosidereos dos ioios cojugdos reliceos l ultilicció e for elícit. E E E E E EE EE E E E Se uede oservr que el resultdo de l ultilicció es E E E E Esto es, se uede escriir el resultdo si teer que relir l ultilicció. El roducto de dos ioios cojugdos es igul l cudrdo del rier tério eos el cudrdo del segudo terio, cosiderdo l ioio que cotiee l rest de los térios. Esto es, se cosider el ioio que cotiee l rest: E E. E l rest E es el rier tério E es el segudo tério. Ejelo. Ejelo. c c c 9 c Ejelo. / / / Fácil!, o? Bioio cudrdo Se uede ivestigr el cso cudo se ultilic dos ioios idéticos, esto es clculr u ioio cudrdo. Por coodidd idicreos or ioio l ioio que es l su de dos térios or ioio l ioio que es l rest de dos térios. ioio Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec 9

50 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec Cosidereos riero el cso ioio. Teeos etoces: E este cso se tiee que el cudrdo de u ioio es igul l cudrdo del rier tério, ás el dole roducto del riero or el segudo térios, ás el cudrdo del segudo tério. Ejelo. 9 Ejelo. q q q 9 q q ioio Cosidereos hor el cso ioio Se tiee etoces el resultdo. E este cso se tiee que el cudrdo de u ioio es igul l cudrdo del rier tério, eos el dole roducto del riero or el segudo térios, ás el cudrdo del segudo tério. Ejelo. r r r 9 r r Ejelo. / / / / Etoces, l regl geerl r deterir el cudrdo de u ioio es, el cudrdo del rier tério ás ó eos, deediedo si el ioio es u su o rest el dole roducto del riero or el segudo térios, ás el cudrdo del segudo tério.

51 Bioio cúico Cosidereos hor el cso e que se tiee el cuo de u ioio. ioio Pr el cso del cuo de u ioio se tiee: Etoces se tiee: Esto es, el cuo de u ioio es el cuo del rier tério, ás el trile del cudrdo del riero or el segudo térios, ás el trile del riero or el cudrdo del segudo térios, ás el cuo del segudo tério. Ejelo. q Etoces: q Ejelo. / q q q q q q / q q q / / / / / / / / / / Se dee oservr que se está licdo regls de eoetes. / / / / / / ; ; Etoces: / / / / / / ioio Pr el cso de u ioio se tiee. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

52 Etoces se tiee: Esto es, el cuo de u ioio es el cuo del rier tério, ás el trile del cudrdo del riero or el segudo térios, ás el trile del riero or el cudrdo del segudo térios, ás el cuo del segudo tério. Ejelo. Etoces: 9 9 Ejelo Etoces: 9 9 Geerlido, se tiee etoces e geerl que el cuo de u ioio es igul l cuo del rier tério, s ò eos el trile del cudrdo del riero or el segudo, s el trile del riero or el cudrdo del segudo, s ó eos el cuo del segudo. Bioios de l for E Es osile hll u regl geerl r ultilicr ioios de l for E, dode E es u tério o eresió lgeric ritrri es u úero rel ritrrio. Esto es, efectur roductos de l for E E. Podeos decir que los ioios de l for E E so equivletes, que l úic difereci etre ellos so los térios ideedietes. Si ultilicos elícitete E or E : Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

53 E E E E E E E Esto sigific que cudo se ultilic dos ioios equivletes el resultdo es igul l cudrdo del tério coú, s l su de los térios ideedietes ultilicd or el tério coú, s el roducto de los térios ideedietes Ejelo. Ejelo. c c c c Ejelo. c c c c Ejelo. / 9 / / 9 / / / / 9 Ejelo. / / / / / / / / / EJERCICIOS Bioios cudrdos. / / / /. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

54 /. /... u u Bioios E.. / /.. u u. c c. Bioios cudrdos. / /... c. u. / / Bioios cúicos... / /. c.. u / / DESARROLLOS BINOMIALES E uchs liccioes se ecesit deterir el roducto ultilicció de u ioio cosigo iso u úero deterido de veces. Este tio de ioios se rereset e l for se deoi Bioio de Neto. Esto es, l su o rest de dos térios, elevd u oteci dd. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

55 El ioio de Neto sigific, e for estrict, ultilicr u ioio cosigo iso tts veces coo lo idique l oteci del ioio. El efectur l ultilicció reetid del ioio uede ser u trjo e u lorioso, esdo e otecis ores que ó. Lo que se dese es, evitr efectur e for elicit l ultilicció del iso ioio. Cotr co u rocediieto que erit oteer el resultdo de l ultilicció del ioio cosigo iso si teer que hcer l ultilicció e for elicit. A este roceso se le deoi desrrollo ioil. Por ejelo, se uede recordr coo redios desrrollr u ioio cudrdo: El cudrdo del rier tério, ás ó eos, deediedo si se trt de u su o u rest, el dole roducto del riero or el segudo, ás el cudrdo del segudo veces Heos escrito el resultdo del desrrollo del ioio, si ecesidd de relir l ultilicció!. Eiste u regl geerl que erite oteer el desrrollo de u ioio de culquier orde. Desrrollo Bioil. Cosidereos el desrrollo del ioio, dode el sigo idic que se uede teer u su o u rest e el ioio que se dese desrrollr. Escrios el rier tério del ioio co l oteci oteci del ioio, el segudo tério co l oteci cero, esto es:. A rtir de este tério, escrios térios equivletes cosecutivos, de tl for que l oteci disiue l oteci uet de e hst que l oteci disiu hst l oteci uete hst. Se h dejdo escios r escriir el sigo el coeficiete de cd tério. El sigo se deteri de l siguiete for: Si el ioio cosiste de l su de los térios, todos los térios del desrrollo se su. Si el ioio cosiste de u rest, el sigo se itercl sucesivete, de tl for que el rier tério siere llev el sigo ositivo. Esto es, el orde de los sigos es. Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec

56 Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec Recordeos que es ositivo si es u úero r, es egtivo si es ir. Por ejelo, r coer el desrrollo de u ioio que cosiste de u su, se tiee: r u rest se tiee: Solo flt deterir los coeficietes uéricos que coñ cd tério. Pr esto teeos vris fors ltertivs r logrrlo. Coeficietes Bioiles. Los coeficietes del desrrollo se uede deterir rtir de los coeficietes ioiles. Los coeficietes ioiles so ctiddes que se rereset está defiidos e l for:!!! dode se requiere que el úero suerior se or o igul l úero iferior Not: Ls clculdors cietífics tiee u tecl esecil r deterir ests ctiddes, que or lo geerl está etiquetd co el síolo C. Cd tério del desrrollo se ultilic or u coeficiete ioil, de tl for que el úero suerior siere es igul l oteci del ioio, el úero iferior v uetdo desde hst l oteci del ioio. Pr el cso del ioio de u su se tiee: Solo h que clculr los coeficietes ioiles. Ejelo Los coeficietes ioiles so:,,,,,,,

57 De tl for que, eliido los uos iecesrios, se otiee el desrrollo ioil: Triágulo de Pscl. Los coeficietes del desrrollo se uede deterir rtir del Triágulo de Pscl. Se elige el regló que corresode l oteci del ioio, los úeros se coloc e el iso orde que tiee e el triágulo. Ejelo Pr desrrollr el ioio, se escoge el regló r el cul es se tiee que el desrrollo es dode solo es ecesrio eliir, r oteer el desrrollo del ioio: U regl que o se coo se ll. Se escrie los térios co ls otecis sigos decudos. Cd tério ocu u osició e el desrrollo, coedo desde l osició. Pr deterir los coeficietes de los siguietes térios se sigue ls siguietes regls: Al rier tério le corresode siere el úero. Pr oteer los coeficietes de los deás térios, se ultilic el coeficiete del tério or l oteci que v disiuedo se divide etre l osició que ocu el tério. El resultdo es el coeficiete del siguiete tério. Ejelo Al eliir los úeros irrelevtes,, se otiee el desrrollo del ioio: Tecológico de Estudios Sueriores de Ecteec