5.- BANDA FINITA CON ELEMENTOS LIBRES DE ROTACIÓN
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- Lucas Páez Ávila
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1 Anss d cs n ANDA FINITA CON ELEMENTOS LIRES DE ROTACIÓN E roósto uscdo n todo rocso d rsoucón d ntos fntos s rduccón d s ncógnts qu ntrvnn n ro r rducr cost coutcon d so. L nd fnt rsnt un forucón trntv qu rduc s cost n núro d ncógnts d ro s v dsnudo n grn núro rscto étodo d os ntos fntos. Lo qu s rtnd contnucón s hcr un forucón qu rduzc ún ás st cost coutcon rt cácuo d un án con un soo grdo d rtd or nodo PRESENTACIÓN DEL MÉTODO T coo s h ntroducdo n forucón n nd fnt s tn un dsnucón d núro d nodos qu dscrtzn structur qu so to rduc núro d ncógnts d ro. Pr consgur un nuv rduccón d núro d ncógnts d ro s ud ctur or otro cno. L rduccón d os grdos d rtd n cd nodo. En forucón n nd fnt d Rssnr-Mndn tnos 3 grdos d rtd or nodo sndo { } s tuds d os ovntos nods. En forucón n nd fnt d Krchhoff s tnn grdos d rtd or nodo { }. Esto s os grcs hótss d ortogondd d nor dford d no do ro s hótss nos t náss cs dgds. Aún sí o no s un hcho rocunt qu s un crctrístc qu cun orí d cs áns qu s ccun n ráctc. E étodo qu s roon contnucón ntroduc torí d os ntos sn rotcón coo hrrnt r rducr os 3 grdos d rtd nods d torí d Rssnr- Mndn soo grdo d rtd. Dcho étodo rcs ccón d s hótss d Krchhoff ro con vntj d uso d nto undnson d dos nodos coo dscrtzdor d nd rovchndo scdd qu ofrcn s funcons d for ns d nto undnson DESARROLLO DEL MÉTODO Ls ts qu s vn sgur son náogs s dscrts n rtdo 4.3 ro s rsons rsutnts d dcun s nuvs dsoscons. S ud dcr qu rr so srá un sfccón d torí d Rssnr-Mndn dnt dcón d s hótss d krchhoff n os gros.
2 Anss d cs n Sfccón d gro n drccón S rt ntoncs d s cucons 4.5: dond Por ccón d s hótss d Krchhoff s udn rsr os gros coo drvd d fch rscto drccón qu corrsondnt gro. Adás coo s hí untdo s tn qu s tuds nods son ndndnts d drccón. Todo o rt rsr coo: Qudndo soo coo tuds nods r os ovntos n rónco. Ls tuds d os ovntos dndnts sont d coordnd trnsvrs s dscrtzn usndo ntrocón cásc d os ntos fntos undnsons. S usr n st cso s funcons N d cs C d dchos nodos. Entoncs c qud dvdd n nds ongtudns con uns íns nods socds con su drccón trnsvrs. Un crto núro d nodos qu dfnn co d ovntos trnsvrsnt or ntrocón d ntos fntos ongtudnnt os ovntos qudn dfndos or os dsrroos n sr d Fourr. Y Y 5.3 Y sn Y cos π } { } { N n N S
3 Anss d cs n 3 dond T T N Ι N S S S sn S π 5.6 Ls dforcons os sfurzos gnrzdos n nd s otnn d torí d Rssnr-Mndn ro tnndo n cunt qu s hn usdo s hótss d Krchhoff. S consdr ntoncs soo rt rtncnt fón: f S 5.7 dond S tn s rsón qu n Introduccón d os ntos sn rotcón S ntroduc n st onto torí d os ntos rs d rotcón. Est torí dsrrod or J.Jovcvc E.Oñt [8] rtr d torí d vgs d Eur- rnou n stcdd n nos rtrá sfcr s rotcons forur ro d nd fnt con un soo grdo d rtd fch coo únc vr nod. L torí s s n ror curvtur d nto undnson coo dfrnc d grdnt d fch o rgo d os ords d dono. L torí s dsrro con dt n Anjo I. Ddo qu fch s dscontnu n os ords d nto s to vor do con os grdnts d os ntos contguos con os qu s cortn os nodos tros. L ntrocón qu s us s n curvtur co d fons sun un vor constnt dntro d nto rc t coo s ustr n Fgur 5.. Fgur 5. Funcons ntrodors r co d dszntos curvtur ontos n squ C Cntrd funt [8].
4 Anss d cs n 3 Entoncs su ccón rcs d s fchs d os nodos djuntos nto undnson qu hc d rc. Eo hc qu s trcs d dforcón tngn d forurs coo trcs qu ngon st nto sus ntos contguos -. Est conjunto for un dono cocto d trs ntos 4 nodos n tot s rsnt n Fgur 5.. Est squ s C Cntrd sch dono rc nor d CC nt. Fgur 5. Ento d contro r C Cntrd sch funt [8]. Est otro squ do C Vrt sch n qu grdnt d fch s contnuo n os tros d nto d contro dono rc nor d CV nt. En st forucón s h scogdo uso d nto CC qu s qu rcs d nor vrcón rscto cácuo d curvturs convncon. No ostnt s odrí usr d for náog otro ntnto con nto CV qu rc odr coortnto d structur con un convrgnc grnt jor. Los dts d C Vrt sch s udn vr n Anjo I. A contnucón s rsn s trcs d dforcón rsutnts d ccón d nto CC n náss d cs or étodo d nd fnt. L curvtur n dono d contro s otn d cucón sgunt: S tn qu dstcr qu n st cso s otnn s drvds d fch n os ntos d contorno con s rsons rodo qu sgun χ
5 Anss d cs n 3 Susttundo n cucón 5.6 s rsons ntrors s otn trz d curvtur d dono coo E vctor contn s fchs d todos os nodos qu contrun n dono d nto d contro Accón d os ntos sn rotcón forucón n nd fnt Estos rsutdos s vn cr r ncontrr rsón d trz d dforcón o trz d curvturs r forucón d nd fnt. Entoncs s rt d vctor d dforcons gnrzds 5.7 s dsrron cd uno d sus térnos : s tn qu χ ntoncs s ud utzr nto CC n otncón d rr térno d vctor dforcons gnrzds coo [ ] f δ S [ ] χ [ ] T
6 Anss d cs n 33 r sgundo térno s c sfccón hch n rtdo 5. or s hótss d Krchhoff. Fnnt os térnos cruzdos s cotn coo dond Y son s funcons trgonoétrcs d 4.6 s trz d curvtur d 5. vctor d dszntos nods d nto CC 5.3 r rónco n co s tud nod d fch r nodo rónco. Pr s rsons ntrors s h rzdo susttucón d os ovntos dndnts d or ntrocón cásc d ntos fntos d 5.4. Fnnt r sfcr gro qu nos qud n curvtur n 5.7 s rz rocón sgún s cucons : Pr sfcr rsón d trz d dforcón rsutnt s consdr qu todos os ntos tnn s ongtud : Entoncs s tn n N n N d N ε S
7 Anss d cs n 34 dond N N N N 5. [ ] 5.3 Con trz ntror usndo ntgrcón rducd n un unto r os ntos d nd undnsons d dos nodos s otn rsón d trz d rgdz d nd dnt T [ K ] [ ] D 5.4 Por o tnto tnos un trz K r cd nto d contro qu s ns d nr dcud sgún os nodos qu hc rfrnc cd cofcnt d trz K. Pr cd rónco s otn un trz nsd K. Ests trcs r conjunto d todos os róncos confgurn os ntos d sst K f 5.5 L vntj s qu hor vctor contn soo s fchs r cd nodo rónco. E tño d sst h rntdo un grn rduccón. L concón dcud d s dstnts forucons rt sfcr sst un soo grdo d rtd. D s nr qu n 4.44 vctor d furzs nods quvnts d un nto d nd r rónco vn ddo or [ f ] N T T [ q ] d 5.6 sndo ncho d nd q un furz unfornt dstrud vrtc: q q sn sn q π cos cos 5.7
8 Anss d cs n 35 con os íts ongtudns d ccón d crg Fgur 4.9. En cso d crgs untus vctor f s snt { W sn } f 5.8 dond W s ntnsdd d crg vrtc qu ctú n nodo d un nd un dstnc d tro odofgur 4.9. Pr un onto untu cdo s tn qu cr trnsforcón dcud tnndo n cunt qu r M s crá funcón rónc or su drvd qudndo: f { M cos } 5.9 En cso d M s tn qu rzr un rocón dnt cocnts ntr ncrntos fntos con os nodos contguos unto dond onto stá cdo d for náog o rctcdo r ntos sn rotcón rtdo IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO EN LOS ELEMENTOS SIN ROTACIÓN. Ests condcons d contorno son s qu s dn n os dos o ords ongtudns d nd n j t coo s ud rcr n s Fgurs qu vndrán contnucón. L trz d dforcón o d curvturs qu s h rsntdo n rtdo ntror srv r ntos rc ntrors nzdos n sus dos tros junto otros ntos ccs d forr donos d 3 ntos. En os ords n co s tn qu consdrr un forucón concrt sgún s condcons d contorno qu s tn: ords rs snt odos o otrdos ords rs o snt odos ord zqurdo r o snt odo: Fgur 5.3 Dono d contro con un nodo r o snt odo n ord zqurdo funt [8].
9 Anss d cs n 36 En st cso gro nod s odfc r nodo d for qu: s ncuntr rsón d trz d dforcón r tro zqurdo odo o r coo: ord drcho r o snt odo: Fgur 5.4 Dono d contro con un nodo r o snt odo n ord drcho funt [8]. N N N N
10 Anss d cs n 37 En st cso gro nod s odfc r nodo d for qu: trz d dforcón r tro drcho odo o r s: ords otrdos S os ords stán otrdos s trcs d dforcón s dvdn n dos r un soo nto trnsvrs d for qu : Eotrnto n ord zqurdo: Fgur 5.5 Dono d contro con un nodo otrdo n ord zqurdo funt [8]. N N N N N N N N
11 Anss d cs n 38 Eotrnto n ord drcho: Fgur 5.6 Dono d contro con un nodo otrdo n ord drcho funt [8]. T D K N N N N T D K N N N N K K K
12 Anss d cs n 39 N N N N 5.4 K K T T D D K K K IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO DEFINIDAS POR LAS FUNCIONES EN SERIE. Ests condcons d contorno son s qu s dn n os dos o ords trnsvrss d nd n j t coo s ud rcr n Fgur 5.7. Fgur 5.7 Condcons d contorno n os ords trnsvrss funt [6]. Pr forucón d un c con dos ords snt odos rocón n drccón dnt srs d Fourr s u fvor. Pro sto no sucd cr s condcons d contorno. Pr otros tos d rstrccons s funcons Y son dstnts. Entoncs s s utz cuqur otro dsrroo r rroducr un to dfrnt d condcons d oo n os tros d c s roduc un conto ddo rcón d roductos S r C qu no stsfcn condcón d ortogondd 4.4. En dchos csos trz d rgdz s n h qu utzr técncs trtvs scs r hcr étodo d nd fnt cottvo frnt d os ntos fntos. Coo jo d os dsrroos ncsros r dscrtzr corrctnt otrs condcons d oo s ud onr:
13 Anss d cs n 4 S os dos dos stán otrdos: Y sn sn snh α cos cosh snh α π sn π cos cosh 5.44 E rsto d csos son concons d sts funcons un do otrdo otro r o un do otrdo otro snt odo. Cundo gro s ndndnt d fch n torí d Rssnr-Mndn stn otrs osdds coo osdd d utzr n condcons otrds s funcons Y S sn 5.45 Aún sí nts s funcons snusods tnín s rodds ortogons 4.4 π rπ sn sn d π rπ cos cos d r r r r 5.46 Pro con s condcons d contorno otrds or jo os roductos d s funcons snusods no s nun r r s s rsons rsutnts d s ntgrs r hr trz d rgdz s hcn u cojs soo s fct rsovr-s usndo ntgrcón nuérc. E hcho ás ngtvo d sunto s qu trz d rgdz go s n. Esto hc qu uso d un nuv forucón qu sfc náss un grdo d rtd or nodo s v ofuscdo or rcón d un sst con un trz n. Pr souconr st rcnc d ndo d trz d rgdz o qu s ud hcr s utzr s funcons ds 3-sns coo funcons rodors n drccón ongtudn. Ests son funcons onócs dfnds trozos qu or sus crctrístcs nn soo un nd td d trz d rgdz. L torí d nd fnt con sns h surgdo coo rsust r surr s dfcutds qu rsnt étodo d nd fnt cásc scogndo funcons 3- sns r susttur s srs trgonoétrcs s srs hrócs n ntrocón d funcons r náss d cs áns.
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