INTRODUCCIÓ Llibre amb continguts de Combinatòria, Probabilitat i Estadística Descriptiva adreçat als alumnes de Secundària i Batxillerat.

Transcripción

1 Xaver Rabasa

2 INTRODUCCIÓ Llbre amb cotguts de Combatòra, Probabltat Estadístca Descrptva adreçat als alumes de Secudàra Batllerat. Xaver Rabasa Arévalo Professor de Matemàtques Xaver Rabasa

3 ÍNDEX COMBINATÒRIA PROBABILITAT ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL Teora 4 Eerccs Teora 8 Eerccs Nvell 34 Eerccs Nvell 49 Eerccs 55 Eerccs 83 Xaver Rabasa 3

4 COMBINATÒRIA Varacos ordàres ( grups trats amb ordre sese repetcó) Eemple: trar tres boles d ua amb ua sese retor de la següet ura. 3 V 4 = 4 3 = 4 = m( m )( m )...( m + ) V m Xaver Rabasa 4

5 Permutacos: ( grups totals trats amb ordre sese repetcó) Eemple: trar totes les boles d ua amb ua sese retor de la següet ura. P 4 = 4 3 = 4 P =! = ( )( )... Xaver Rabasa 5

6 Varacos amb repetcó ( grups trats amb ordre amb possble repetcó) Eemple: trar dues boles d ua amb ua amb retor de la següet ura. VR 4 = 4 4 = 4 VR m = m. m... m = m Combacos ordàres ( grups trats sese ordre sese repetcó) Eemple: trar tres boles de cop sese retor de la següet ura. Xaver Rabasa 6

7 C = = = P V 4 C m = V P m Combacos amb repetcó: ( grups amb possble repetcó sese ordre ) Eemple: trar tres boles amb retor o ter e compte l ordre d etraccó de la següet ura: Xaver Rabasa 7

8 = 4 3 = V CR C + = = 0 CR = C P3 3 m m+ Permutacos amb repetcó ( dferets partcos d u cojut e subcojuts amb el ombre d elemets predetermats per a cada subcojut) = ( permutacos d u determat cojut d objectes repetts o o repetts ) Eemple: permutar les boles de la següet ura Xaver Rabasa 8

9 Xaver Rabasa 9

10 C 5 C C 5 3 C 5 C 3 C PR = C5 C3 C 5!!!!,, 5 = = 30 Xaver Rabasa 0

11 PROPIETATS DEL NOMBRES COMBINATORIS m m m m m m m = = = = + 0 m m = ( ) 0 + ( ) = = = 3 5 EXERCICIS Amb les lletres { A, B, C, D, E }. a) coteu els grups de dues lletres ordeats amb possble repetcó. b) coteu els grups de tres lletres sese ordre amb possble repetcó. c) formeu els grups de quatre lletres sese ordre sese repetcó. d) formeu els grups de cc lletres amb ordre sese repetcó que comece per AB. a) VR = 5 = b) CR 5 = C 5+ 3 = = c) C 5 = 5 BCDE ACDE ABDE ABCE - ABCD 3 d) V 3 = 6 ABCDE ABCED ABECD ABEDC ABDCE - ABDEC Cotesta: a) formeu totes les ordeacos de la paraula ABBA Xaver Rabasa

12 b) formeu totes les ordeacos de la paraula ESO c) coteu totes les ordeacos de la paraula MARE, a) PR 4 = C 4 C = 6 AABB ABAB ABBA BAAB BABA BBAA b) P 3 = 3 = 6 ESO EOS OES OSE SEO SOE c) P 4 = 4 3 = 4 3 Formeu coteu totes les ordeacos possbles de la paraula TUTOR que comece per U acabe e O, Tem que permutar TTR PR 3 = 3 UTTRO UTRTO - URTTO 4 E u taulell d escacs de 88 caselles, trobeu: a) úmero de maeres dferets de posar tres peos al taulell. b) úmero de maeres dferets de posar ua torre, u alfl u peó al taulell. a) col locar tes ftes guals e u taulell, és equvalet a trar tres caselles dferets sese ordre sese repetr la casella aleshores: C 3 = 64 3 b) col locar tes ftes dferets e u taulell, és equvalet a trar tres caselles amb ordre sese repetr la casella aleshores: V = Xaver Rabasa

13 5 Amb les fres {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } es demaa: a) possbles ombres de quatre fres dferets. b) possbles ombres de cc fres que comece per. c) possbles ombres de cc fres cap cua. d) possbles ombres de tres fres múltples de cc. e) possbles ombres de tres fres múltples de dos. Sol a) V b) VR c) VR d) VR e) 4VR Amb ss pesos de {, 3, 5, 9, 7, 3 }Kg. Quates pesades dferets podem fer s : a) preem u sol pes. b) preem dos pesos. c) preem tres pesos Sol. a) 6 b) 5 c) 0 7 U autobús té u recorregut amb 0 puts de parada. S el recorregut es e doble sett, quats btllets dferets es pode doar? Sol U joc de domó té 8 ftes s es repartee etre quatre jugadors, surte a set ftes per cap. a) demostra que só combacos amb repetcó de set ombres presos de dos e dos. b) trobeu el ombre de maeres dferet de repartr les ftes etre els quatre jugadors. Xaver Rabasa 3

14 a) 87 CR = C = = 8 ftes 7 8 b) Es pot cosderar ua partcó de les 8 ftes e quatre grups de set ftes cadascu, aleshores: PR 7,7,7, 7 8 També es pot cosderar com quatre repartcos ua rere l altra, de set ftes cadascua cada ua de les repartcos sese ordre repetcó, aleshores: C 8 C C 4 C 7 9 Deu puts so els vèrtes d u polígo cove de deu costats; es demaa: a) ombre de segmets que uee dos dels vèrtes. b) ombre de dagoals d aquest polígo. c) ombre de tragles que resulte d ajutar tres vèrtes. Sol. 3 a) 45 b) 35 c) C 0 0 Determeu el ombre de puts d terseccó de deu rectes s: a) cap és paral lela o pode passar tres rectes o més per u mate put. b) tres só paral leles o pode passar tres rectes o més per u mate put. c) tres só paral leles tres de les altres passe per u mate put. Sol. a) 45 b) 4 c) 37 Xaver Rabasa 4

15 Determa el ombre total de barreges que pode fer-se amb ss colors dferets, de la maera següet: a) barrejat-e dos dferets. b) barrejat-e tres dferets. c) totes les barreges possbles de dferets colors. d) totes les barreges possbles amb u color f. Sol. a) 5 b) 0 c) 57 d) 33 E u destacamet de 6 soldats, tee que fer-se les vglàces de 4 e 4. Es demaa: a) ombre de vglàces possbles. b)de totes aquestes, quates ha de fer u soldat determat? a) U destacamet de vglàca és ua tra sese ordre repetcó de quatre soldats de u total de 6, aleshores C 4 = b) U destacamet de vglàca és ua tra sese ordre repetcó de quatre soldats. S u d ells h té que partcpar, la tra omés és de tres soldats de la resta, aleshores: C 6 = C 5 = 3 3 Cc gats perseguee a cc ratols, es demaa: a) coteu totes les maeres possbles de poder-ho fer. b) s el gat pett persegue al ratolí pett, maeres de fer-ho. c) u dels gats o h partcpa. d) u dels ratols s amaga. Sol. a) 5 5 b) 4 4 c) 5 4 d) 4 5 Xaver Rabasa 5

16 4 Idca les maeres dferets d alear-se: a) quatre persoes. b) u ombre geèrc () de persoes. Sol. a) 4! b)! 5 Idca les maeres dferets de seure e ua taula rodoa: a) quatre persoes. b) u ombre geèrc () de persoes. Sol. a) 3! b) ( - )! 6 U destacamet té 5 ofcals, 5 subofcals 50 soldats. Cada da surt ua patrulla formada per: ofcal, subofcals, 0 soldats; es demaa: a)ombre total de patrulles dferets. b) ombre total de patrulles dferets s: dos ofcals, tres subofcals 6 soldats caue malalts. a) Dtre de cada categora de ofcals,subofcals o soldats la tra és sese ordre repetcó aleshores ua combacó. Per formar ua patrulla trarem ordeadamet els tres grups, aleshores tdrem: u producte de combacos. 0 C C C b) Dtre de cada categora de ofcals,subofcals o soldats la tra és sese ordre repetcó aleshores ua combacó. Per formar ua patrulla trarem ordeadamet els tres grups, aleshores Xaver Rabasa 6

17 tdrem: u producte de combacos. 0 C 5 C5 3 C Doats els dígts: {,, 3, 4, 5, 6, 7} calculeu: a) ombres de quatre fres dferets. b) ombres de cc fres dferets que comece per set. c) suma de tots els ombres de tres fres dferets. 4 4 Sol. a) V b) V c) S=30( )(00+0+)= U grup de 90 persoes es vol repartr e tres grups, cotesteu: a) ombre de persoes de cada grup s el repartmet és drectamet proporcoal a {,3,4}. b) dferets maeres de ferho. Sol. 0,30, a) 0, 30, 40, b) PR = 90 C 90. C70. C 40 9 E u etramat de carrers, com dca la fgura, es demaa : a) dferets cams, de recorregut mím, que va d A fs a B. b) dferets cams, que va d A fs a B, passat per C. B C A Sol. Xaver Rabasa 7

18 a) C b) 5 C 5C 6 D u cojut d persoes es pode formar 9 grups bars sese ordre repetcó. Trobeu el valor d. Els grups sese ordre repetcó só combacos aleshores: = 9 C 0 ( ) = 9 ( ) = 8 = 4 = 3 s o Resoleu les següets equacos: a) b) c) V = 5V 8 V = V C = V e) f) g) V C = 90 V C = C C + = + 57 d) C 3 = 35( ) h) V V + V = Sol. a) 5 b) c) 3 d) 5 e) 0 f) 6 g) 0 h) 8 Resoleu les següets equacos: a) b) c) = 68 = = d) e) f) Xaver Rabasa 8

19 = = = g) h) ) = + = + = j) k) l) = + = = Sol. a) b) 3 7 c) d) 9 e) 3 f) 3 g) cap h) ) j) 9 k) 7 l) 3 3 Smplfqueu:! a) 5! Sol. a) b)! 4!7! b) 0 9 c)! ( )! c) ( ) d)! ( )!! d) ( )/ 4 Determeu el ombre de plas que es talle e 0 puts s sempre tres d ells determe u put. La tra de tres plas sese ordre dferets determe u put, aleshores cada put és ua de les combacos d plas trats de tres etres. Aò mplca: 3 ( )( ) C = 0 = =0 6 Xaver Rabasa 9

20 ( - 6)( +3+0)=0 = = 0 cap 5 Quats quadrlàters es pode formar amb els vèrtes d u petàgo regular? Sol: C 5 4 = 5 6 U etreador dsposa de jugadors per formar u equp de futbol, quates aleacos dferets d jugadors es pode formar? Sol: C = Us pares els seus tres flls va al cema ocupat cc seets, a) de quates maeres pode fer-ho. b) de quates maeres pode fer-ho s els flls seue al mg? c) de quates maeres pode fer-ho s cap dels pares seu e u etrem? Sol: a) P 5 = 0 b) P 3 = c) V 3 P 3 = 36 8 De quates maeres es pode trar tres assgatures de 6 optatves? Xaver Rabasa 0

21 Per trar tres assgatures de ss, cal fer-ho sese ordre sese repetcó, aleshores: C = = possbltats 9 Amb els ombres { 3, 5, 7, 9, }, a) quats productes dferets de dos termes es pode formar? b) quats d ells só múltples de? c) quats quocets dferets es pode formar amb dos d ells Sol: a) C 5 = 0 b) C 4 = 4 c) V 5 = 0 30 Quats resultats dferets es pode obter al llaçar u dau quatre vegades? Sol: VR 6 4 = 96 3 Quats ombres etre tee les seves fres dferets? Sol: V 9 3 = A l alfabet Morse s utltze puts comes, amb quatre d aquest sges com a màm, trobeu el ombre de paraules dferets que es pode formar. Ua paraula d sges costa d ua successó ordeada de puts ratlles, aleshores és u grup ordeat de dos elemets presos d Xaver Rabasa

22 e amb possble repetcó. VR = 3 4 Total de paraules = VR + VR + VR + VR = = U vaell dsposa de 0 baderes dferets per fer les seyals ua seyal es fa amb quatre baderes aleades al pal. Trobeu el ombre total de possbles seyals. Sol: V 0 4 = A ua reuó assstee 0 persoes, d elles 6 omés parle aglès 4 omés alemay. Es forme 0 grups bars tothom coversa amadamet. Trobeu el ombre de possbles maeres de aparellar-se. Sol: C 6 C 4 35 E ua cafetera h ha 0 tpus de cafè cc persoes demae u cafè. De quates maeres pode fer-ho? Sol: VR 0 5 = Amb les fres {,, 3} trobeu: a) dferets ombres de ss fres. b) dels aterors aquells que cotee les tres fres. a) U ombre qualsevol és u grup ordeat amb possble repetcó Xaver Rabasa

23 de les seves fres. S omés podem utltzar els dígts,,3 aleshores VR = = 79 b) 6 Els que omés tee ua fra 3 VR = 3 6 Els que tee dues fres C 3 ( VR ) = 3 6 = 86 Els que cotee les tres fres = U ombre de rectes o paral leles dos a dos tres o cocurrets amb u put, determe puts d terseccó. Calculeu el ombre total de rectes. Sol: =7 38 Totes les persoes assstets a ua reuó se salude etre ells doat-se u petó, S e total fore 05 petos, quates persoes h hava a la reuó? Sol: 5 39 Calculeu el ombre de tragles dferets que pode formar-se amb 0 puts o tres qualsevol d ells o pode estar aleats. Sol: C 0 3 = 0 40 De quates maeres pode seure tres persoes e ss cadres aflerades? Xaver Rabasa 3

24 Col locar tres persoes e ss cadres és equvalet a trar tres cadres amb ordre sese repetcó de les ss dspobles, 3 aleshores V 6 = = 0 4 Amb els úmeros {, 5, 7, 9 } coteu : a) tots els ombres de tres fres. b) els ombres de tres fres dferets. c) els ombres de quatre fres dferets. d) els ombres parells de tres fres dferets. Sol: a) 64 b) 4 c) 4 d) 6 4 Calcula el ombre de travesses dferets amb 5 caselles tres possbles resultats. Sol: Calcula el ombre de prmtves dferets d u total de 49 caselles o hem de marcar-e ss. Sol: Resoleu les següets equacos: a) b) 3 V 5V = 0 0 P + 4P = P + + c) C 3 = C 4 Xaver Rabasa 4

25 d) e) f) P C = P V C + C + C = 85 V = C 4 3 a) 3 V 5V = 0 ( )( ) ( ) = 5 = = 7 = 7 3 b) 0P + 4P = P + + P [ 0 + 4( + ) ] = P [( + )( + ) ] 0 = 3 ( )( + ) = 0 = 0 =4 = 4 c) 3 4 C = C ( )( ) ( )( )( 3 )( 4 ) = ( 3 )( 4 ) = = + = = o d) 3 P C = P V ( )( ) = C = V = ( ) = e) C + C + C = 85 ( ) + ( )( ) + ( )( 3 ) = 70 4 = = 0 = 6o f) 3 4 V = C ( )( )( 3 ) V 3 = ( )( ) C 4 = 4 4 Xaver Rabasa 5

26 3 = = E ua comutat de 0 propetars hem de trar u presdet u vcepresdet. Trobeu les dferets formes de fer-ho. Sol: V 0 = Possbltats de trar de cop tres regals de ss regals dferets. Sol: C 6 3 = 0 47 Coteu totes les ordeacos de la paraula SOBRE. Sol: P 5 = 0 48 Vut amcs decdee llogar dos cotes A, B seure quatre e cada cote sese ter e compte el úmero del seet. De quates maeres pode fer-ho s: a) Tots pode codur. b) Només tres pode codur. a) Prmer trem els coductors V 8 = 8 7 = 56 3,3 3 3 Partm la resta e dos grups de tres PR 6 = C 6 C 3 = 0 Total 56 0 = 0 b) Prmer trem els coductors V 3 = 3 = 6 3,3 3 3 Partm la resta e dos grups de tres PR 6 = C 6 C 3 = 0 Xaver Rabasa 6

27 Total 6 0 = 0 49 E ua carrera h partcpe 0 cavalls, s ua aposta cosste e ecertar el prmer el sego el tercer guayador e aquest ordre, trobeu el ombre de totes les possbles apostes. Sol: V 0 3 = E u prestatge h ha 6 llbres de matemàtques 3 de físca, volem trar-e de cada. Coteu totes les maeres de fer-ho. Sol: C 6.C 3 = 45 5 E ua classe de 0 alumes es vol repartr 3 prems dferets. Trobeu el ombre de maeres de fer-ho. Sol: VR 0 3 = Resoleu les següets equacos: a) b) 4 3 V = V V + V + V = 7 a) c) VR 5VR = 70 + d) VR VR = 9 Xaver Rabasa 7

28 4 V = V ( )( )( 3 ) = ( ) 5 6 = 0 4 6s = o b) 3 V + V + V = 7 + ( ) + ( )( ) = 7 3 = 5 5 = 0 = 3o c) VR + 5VR = ( ) = = 0 5 = 5 o 3 d) VR VR = 9 ( ) = 9 = 5 53 Amb els dígts{, 3, 5, 7 } coteu: a) els ombres de tres fres dferets. b) els ombres de tres fres repetdes o o. Sol: a) V 4 3 = 4 b) VR 4 3 = Trobeu el ombre de maeres de seure 5 persoes: a) e ua flera de 5 cadres. b) e ua flera de 6 cadres. c) e ua taula rodoa de 5 cadres. d) e ua taula rodoa de 6 cadres Xaver Rabasa 8

29 Sol: a) 5! b) V 6 5 c) 4! d) 5! Xaver Rabasa 9

30 PROBABILITAT NIVELL NIVELL Epermet smple: trar u quadrat aaltzar el seu color. Successos elemetals equprobables al trar qualsevol quadrat p = 7 = = 7 casos _ favorables p( color) = casos _ possbles Epermet smple: llaçar ua fleta a l atzar aaltzar el color seleccoat. Xaver Rabasa 30

31 p = p = 4 p = 7 Successos elemetals NO equprobables respecte al color Sí equprobables respecte a cada quadrat de la matea àrea p = = = 8 Epermet compost: llaçar u dau dues vegades aaltzar la suma dels resultats. casos _ favorables p( suma) = casos _ possbles Successos elemetals equprobables respecte a cada u dels 36 resultats possbles p ( S = ) = p( S = ) = 36 3 p ( S = 4) = p( S = 0) = 36 5 p ( S = 6) = p( S = 8) = 36 p ( S = 3) = p( S = ) = p ( S = 5) = p( S = 9) = p ( S = 7) = Xaver Rabasa 3

32 Xaver Rabasa 3 Epermet compost: llaçar ua moeda dues vegades aaltzar els resultats amb les seves probabltats. Epermet compost: seleccoar ua ura A o B trar ua bola per aaltzar el seu color G o V. a) Sese cap codcó A B = = 6 6 = = c + c + c +

33 p (A) A p ( G / A) p ( V / A) p( A I G) p( A I V ) p (B) B p ( G / B) p ( V / B) p( B I G) p( B I V ) Probabltat Codcoada p( A I G) = p (A) p ( G / A) p ( G / A) = p( A I G) p (A) p( A I V ) = p (A) p ( V / A) p ( V / A) = p( A I V ) p (A) Probabltat Total p( G) = p( A I G) + p( B I G) p( V ) = p( A I V ) + p( B IV ) b) S se sap que s ha complert A Xaver Rabasa 33

34 Xaver Rabasa 34 c) S se sap que ha sortt vermell ) ( = A p 0 ) ( = B p A B ) / ( A G p ) / ( A V p ) / ( B G p ) / ( B V p ( G) A p I ( V ) A p I 0 ) ( = G B p I 0 ) ( = V B p I ) ( ) / ( ) ( A G p A G p G p I = = ) ( ) / ( ) ( A V p A V p V p I = = 0 A B = 6 3 = = =

35 Xaver Rabasa 35 (A) p (B) p A B 0 ) / ( A V p 0 ) / ( B V p 0 ( V ) A p I 0 ( V ) B p I ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( B V p B p A V p A p A V p A p V B p V A p V A p V A p + = + = I I I Teorema de Bayes / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( V p B p A V p A p B V p B p V B p V A p V B p V B p + = + = I I I A B = = 0 0 = =

36 NIVELL EXERCICIS. Moedes daus.. Llacem dues moedes ua rere l altra, calculeu la probabltat de: a) Ua sola cara b) Al meys ua cara c) Dues cares c c + + c + a) b) c) p ( c + ) + p( + c ) = + = 3 p( + + ) = = 4 p ( c c ) = = 4.. Es llace dos daus, calculeu la probabltat de: a) que la suma sgu ombre parell. b) que la suma sgu superor a deu. c) que la suma sgu múltple de 3. Trades Xaver Rabasa 36

37 Suma de cares a) p ( S = 3 ) = = b) p ( S > 0 ) = = c) p ( S = 3 ) = = Es llace tres daus: u blac, u egre u de vermell, calculeu la probabltat de que surt al mate temps: parell e el blac, múltple de 3 e el egre més gra que 3 e el vermell. {,4,6} 3 { 3,6} { 4,5,6} {,3,5} {,,4,5 } {,,3} p = p( / B ) p(3/ N ) p( > 3 / V ) = = 3 Xaver Rabasa 37

38 ..4 U jugador lleça tres moedes, s surte tres cares guaya 5, s surte cares guaya, s surt ua cara guaya, s surte tres creus perd 0. Calculeu els guays o les pèrdues esperades. E=p(3cares) (5 )+p(cares) ( )+ p(cara) ( )+ p(0cares)(-0 ) 3 3 E= (5 ) + ( ) + ( ) + ( 0 ) = Tem l esperaça de guayar 0 5 de promg per jugada...5 Llacem dues moedes ua rere l altra, calculeu la probabltat de: a) treure ua sola cara. b) almeys ua cara. c) dues cares. Sol: a) /4 b) 3/4 c) /4..6 Es lleça u dau dues vegades, calculeu la probabltat de: a) que la suma sgu més gra que 6. b) que la suma sgu meor que 0. c)que la suma sgu compresa etre 6 0. d) obter dos ombres sears. e) obter almeys u parell. Sol: a) 7/ b) / c) 5/ d) /4 e) 3/4...7 Es llece dos daus, calculeu la probabltat de treure dues cares guals. Sol: /6 Xaver Rabasa 38

39 ..8 Es lleça u dau tres vegades, calculeu la probabltat de treure almeys u ss. Sol: 9/6.. Artcles defectuosos.. E u lot de deu artcles, tres só defectuosos. Es pre a l atzar tres artcles u rere l altre, trobeu la probabltat de que tots sgu bos. a)amb retor 7/0 B 7/0 3/0 B D 7/0 3/0 7/0 3/0 B D B D 7 0 o 7 0 o 7 0 3/0 b) sese retor D 7/0 3/0 B D 7/0 3/0 7/0 3/0 B D B D Xaver Rabasa 39

40 7/0 B 6/9 3/9 B D 5/8 3/8 6/8 /8 B D B D 7 0 o 6 9 o 5 8 3/0 D 7/9 /9 B D 6/8 /8 7/8 /8 B D B D.. La caa A té 0 bombetes o 3 só defectuoses, la caa B té 8 bombetes o só defectuoses la caa C té bombetes o 3 só defectuoses. S trem ua caa a l atzar de la caa ua bombeta, calculeu: a) probabltat de que la bombeta o fuco, b) s la bombeta o fucoa, qua és la probabltat de que pertay a la caa A? /3 /3 /3 A B C 7/00 3/0 6/8 /8 9/ 3/ B D B D B D a a a /3 /3 /3 A B C 3/0 /8 3/ D D D a) p ( D ) + + = = b) ( A / D) 3 p = 3 0 = 0 = p( D ) Xaver Rabasa 40

41 ..3 De totes les peces que produe ua fàbrca el 80% só produïdes per la màqua A la resta per la màqua B, se sap que el 0% d A el 6% de B só defectuoses; es tra ua peça a l atzar es demaa: a) probabltat de que sgu defectuosa, b) s se sap que la peça és defectuosa, probabltat de que provgu de la màqua A. 0 8 A B D 0 8 A 0 D 0 B B D 0 B 0 06 D a) p( D ) = p( A D ) + p( B D ) = =0,09 p( A D ) 0'8 0' b) p ( A / D ) = = = 0' 87 p( D ) 0'09..4 El 3% el 5%, respectvamet, de les peces produïdes per les màques X Y só defectuoses. Es tra ua peça de cada màqua es demaa: a) probabltat de que les dues sgu defectuoses, b) probabltat d almeys ua defectuosa. Sol: a) 0,005 b) 0,0785 Xaver Rabasa 4

42 ..5 Ua fàbrca produe tres compoets A, B C. La probabltat de que u dels compoets sgu defectuós és respectvamet 0 03, s falla ua peça la jogua o fucoa, es demaa: a) s ua prmera jogua utltza les tres peces A,B C, qua és la probabltat de que ua d aquestes jogues o fuco? b)s u altra jogua costa de dos compoets A B, qua és la probabltat de que o fuco? Sol: a) 0,059 b) 0, Al comprar u determat producte e us gras magatzems, es pot trar u regal A o B. El 35% dels vstats tre A, el 5% tre el B el 40% o compra el producte. Se sap que el 80% dels que tre A, el 40% dels que tre B el 0% dels que o el compre, so does. Trat a l atzar u vstat, qua és la probabltat de que sgu doa? Sol: 0,46..7 La caa A coté 0 bombetes o 3 so defectuoses, la caa B té 8 bombetes o só defectuoses, la caa C coté bombetes o 3 só defectuoses. Es tra ua caa ua bombeta d aquesta caa, calculeu: a) probabltat de defectuosa. b) s la bombeta resulta defectuosa, qua és la probabltat de que procede de la caa A? Sol: a) 4/5 b) 3/8.3. Ures cartes Xaver Rabasa 4

43 .3. D ua baralla espayola (40 cartes) es treue dues cartes sese retor. Calculeu la probabltat de: a) dos asos. b) la prmera u as la segoa u tres. c) u as u tres. d) dos oros. e) del mate pal. 4 3 a) p ( A A ) = = b) p ( A 3 ) = = c) p ( A 3 ) + p( 3 A ) = = d) p ( O O ) = = e) p(mate pal) = 4 p( O O ) = 4 = Ua ura té 3 boles blaques egres, s etreue dues boles ua rere l altra amb retor es demaa la probabltat: a) de dues boles egres, b) d ua bola de cada color, c) de dues boles blaques 4 a) p ( N N ) = = b) p ( B N ) + p( N B ) = = c) p ( B B) = p( B) p( B / B) = = Xaver Rabasa 43

44 E ua bossa h ha 7 boles blaques 3 egres, s es fa ua etraccó de 4 boles de cop, calculeu la probabltat de que totes sgu blaques. Sol: /6.3.4 Ua bossa té 6 boles blaques 5 de egres. S etreue 4 boles de cop es demaa la probabltat de que o totes sgu blaques. Sol: /.3.5 Ua bossa té 6 boles blaques 5 de egres. S etreue 4 boles de cop es demaa: a) probabltat de quatre blaques, b) probabltat de quatre egres. a) p( B B B B ) = p( B ) p( B / B ) p( B / B B ) p( B / B B B ) = = b) p( N N N N) = p( N) p( N / N) p( N / N N) p( N / N N N) = = D ua baralla de 40 cartes s etreue tres cartes amb les codcos: ( amb retor; sese retor). Trobeu e cada cas les probabltats següets: a) treure al meys u as. b) treure tres oros, c) treure omés u oros. d) o treure cap as. e) les tres del mate pal. Xaver Rabasa 44

45 Amb retor p( A A A ) = a) = p( O O O ) = b) = p( O O O ) = c) = p( A A A ) = d) = p( O O O ) = e) = Sese retor p( A A A ) = = p( O O O ) = p( O O 3 = 47 O ) = = p( A A A ) = = p( O O O ) = = Ua bossa coté 6 boles blaques, 3 egres 9 vermelles. Es tre tres boles a la vegada; es demaa que calculeu la probabltat: a) de dues blaques, b) cap de blaca, c)de dferet color. C C 6 a) p( B,B ) = = = b) p( B,B ) = = = C C c) p ( B,N,V ) = = Xaver Rabasa 45

46 E ua baralla de 40 cartes, ua persoa guaya 5 s treu ua sota o u re, s treu u cavall o u as per les altres opcos ha de pagar. Qua esperaça tem de guayar? E = 5 + = 0,8 euros/ partda Ua prmera ura coté 3 boles blaques 5 boles egres. Ua segoa ura coté blaca 3 egres. S s etreu ua bola de cada ura, calculeu la probabltat de que ambdues sgu egres. Sol: 5/3.3.0 Tres tpus d ures A,B C tee la següet cofguracó: A ( 5 blaques 5 egres) B (8 blaques egres) C( blaca 4 egres) es dsposa de 5 ures del tpus A, 3 del tpus B del tpus C. Es tra ua ura al etreure ua bola resulta blaca. Calculeu la probabltat de que la bola hag set etreta d ua ura del tpus B. Sol: 4/53=0, Tres ures A,B C tee la següet cofguracó: A ( vermelles 3 grogues); B ( 3 vermelles groga) C ( vermelles 4 grogues). Es tra ua ura ua bola a l atzar resulta vermella. Qua és la probabltat d haver trat la ura A. Sol: 4/89 Xaver Rabasa 46

47 .3. D ua baralla de 40 cartes, se tre dues successvamet sese retor. Calculeu la probabltat de: a) dos asos. b) u as u tres. c) la prmera u as la segoa u tres. d) dos espases. e) dos cartes del mate pal. 4 3 a) p ( A, A ) = = b) p ( A,3 ) + p( 3, A ) = + = c) p ( A,3 ) = = d) p ( E,E ) = = p( mate pal) = 4 p( oros oros) = 4 p( oros) p( oros / oros) e) = 4 = E ua baralla de 40 cartes s etreue tres sese retor, calculeu la probabltat de treure dos res. Sol: 7/ Ua ura coté 3 boles blaques dos egres, s etreue dues boles amb retor. Calculeu la probabltat: a) de dues boles egres, b) ua de cada color, c) de dues blaques. Sol: a) 4/5 b) /5 c) 9/5.3.5 Xaver Rabasa 47

48 Qua és la probabltat de que al trar tres cartes a la vegada d ua baralla de 40 cartes, es trobem amb u as dues cartes guals. Sol: / Qua és la probabltat de que al trar tres cartes ua rere l altra d ua baralla de 40 cartes, s obtgu com a resultat: a) tres oros, b) la prmera copes la segoa espases la tercera oros, c) les tres de dferet pal. Sol: a) 3/47 b) 5/48 c) 00/ Dues ures A B tee la següet composcó: A(5 boles blaques, 5 egres 5 vermelles) B(3 blaques, 3 egres 5 vermelles). Ara es passa ua bola de la ura A a la ura B segudamet es tra ua bola de la ura B resulta ser vermella. Qua és la probabltat de que la bola e lloc de vermella fos blaca? Sol: 5/6.3.8 Es dsposa de dues baralles de 40 cartes cadascua: a)s trem ua carta de cada baralla, calculeu la probabltat d obter dos asos. b)s mesclem les dues baralles trem dues cartes, calculeu la probabltat de treure dos asos. Sol: a) /00 b) 7/ Xaver Rabasa 48

49 D ua baralla de 40 cartes s etreue quatre cartes amb retor. Calculeu la probabltat de obter: u as, u tres, u altre tres u cavall. Sol: (/0) 4.4. Dagrames de cojuts.4. El 60% dels habtats d ua cutat llegee el dar A. el 35% el B u 5% tots dos. Trat u cutadà a l atzar, es demaa: a) probabltat de llegr u dels dos dars. b) probabltat de que o e llege cap. c) probabltat de que llege omés A. d) probabltat de llegr-e omés u. A 45 5 B = a) p = = 0' 8 b) p = = 0' c) p = = 0' 45 d) p = = 0' E u grup de 000 persoes, 400 parle aglès, 00 parle alemay 30 parle tots dos domes. Dgues s só o o depedets els successos (parlar aglès) (parlar alemay). Sol. ( Ag ) ( Ale ) φ No Xaver Rabasa 49

50 .4.3 El 55% dels alumes d ua classe estude fracès, el 50% aglès el 5% tots dos domes. Es tra u estudat a l atzar, calculeu la probabltat de que: a) o estud fracès aglès, b) estud fracès però o aglès, c) estud fracès s se sap que estuda aglès, d) o estud fracès s se sap que o estuda aglès. F 40 5 A 00-90= a) p ( F A ) = = 0' b) p ( F A ) = = 0' c) p ( F / A ) = = 0' d) 0 p ( F / A ) = = 0' El 60% de la poblacó d ua determada cutat llege el dar A. El 35% el B u 5% tots dos. Trat u cutadà a l atzar, calculeu la probabltat de: a) llegr algu dar, b) o llegr-e cap, c) llegr omés el A, d) llegr-e omés u.. A 45 5 B 00-80=0 0 Xaver Rabasa 50

51 a) p ( A B ) = = 0' 8 b) p ( A B ) = = 0' c) p ( A B ) = = 0' 45 d) p ( A B ) + p( B A ) = = 0' Vars.5. Per treure el caret de codur e les categores A,B,C es coee les dades següets: supere la prova el (60)% dels presetats al caret A, el 40% dels presetats al caret B el 5% dels presetats al caret C. De la totaltat el 0% es presete al A, el 50% al B la resta al C. Trada ua persoa a l atzar es demaa: a) la probabltat de que s hag presetat al A hag aprovat, b) s se sap que ha aprovat, probabltat de que s hag presetat al A. Sol: a) 0,3 b) 0,3.5. Ua assgatura està dvdda e quatre parts u alume té el 60% de possbltats d aprovar cada ua de les parts, es demaa: a)probabltat de suspedre algua part, b)probabltat de suspedre dos, c) probabltat de suspedre tres. Sol: a) 0,8704 b) 0,3356 c) 0, La probabltat de que u projectl fac daa és del 50%, calculeu la probabltat d ecertar u objectu e quatre tets com a màm. Sol: 5/6 Xaver Rabasa 5

52 .5.4 La probabltat de que u estudat aprov totes les assgatures al juy és 0 4, trobeu la probabltat de que quatre estudats trats a l atzar : a) o aprov cap. b)solsamet aprov ua. c)almeys u aprovat. d) totes aprovades p( A A A A) = = = Sol: a) 0,96 b) 0,475 c) 0,8704 d) 0, Doats dos successos: A B, s P(A)=0'5, P(B)=0'4 P(A B)=0', calculeu les següets probabltats: a) (A B) b) (A B) c) (A B) d) (A'/B) e) (A/A B) Sol: a) 0'7 b) 0' c) 0'3 d) 0'5 e).5.6 Doats els successos A B, s P(A)=0'4, P(B)=0'6 P(A B)=0', calculeu les següets probabltats: a) (A'/B') b) (A/A B) c) (A/A B) d) (A'/B) Sol: a) 0'5) b) 0'5 c) d) /3.5.7 Ss persoes esta assegudes e u bac, calculeu la probabltat Xaver Rabasa 5

53 de que dos determades segu jutes. Sol: /3 NIVELL. Llacem () moedes ua rere l altra, es demaa la probabltat de: a) treure ua sola cara. b) treure al meys ua cara. c) treure () cares Sol: a) C. b) - c). E u lot de (m) artcles, () só defectuosos. Es pre a l atzar (k) artcles u rere l altre, trobeu la probabltat de que tots sgu bos. k k m Sol: a) amb retor b) sese retor V m k m V m.3 Ua ura té () boles blaques (y) boles egres, s etreue (k) boles ua rere l altra amb retor. Es demaa, la probabltat de: a) totes egres. b) metat de cada color. c) cap de egra. Sol: a) y + y k b) C k y + y c) + y + y k + y k Xaver Rabasa 53

54 .4 La caa A té () bombetes o (a) só defectuoses. La caa B té (y) bombetes o (b) só defectuoses. La caa C té (z) bombetes o (c) só defectuoses. Trem ua caa a l atzar de la caa ua bombeta, calculeu: a) probabltat de que la bombeta o fuco b) s la bombeta o fucoa, qua és la probabltat de que pertay a la caa A? a b c Sol: a) y z b) a a b + + y c z.5 De totes les peces que produe ua fàbrca, el ()% só produïdes per la màqua A la resta per la màqua B, se sap que el (a)% d A el (b)% de B só defectuoses. Es tra ua peça a l atzar, es demaa: a) probabltat de que sgu defectuosa. b) s se sap que la peça és defectuosa, probabltat de que provgu d A. Sol: a) 00 a 00 (00 ) b.a + b)( )/( a 00 (00 ) b + ) El a% el b%, respectvamet, de les peces produïdes per les màques X Y só defectuoses. Es tra ua peça de cada màqua, es demaa:a) probabltat de que les dues sgu defectuoses. b) probabltat de almeys ua defectuosa. ( ab ) ( 00 a )(00 b ) Sol: a) b) Xaver Rabasa 54

55 E ua bossa h ha () boles blaques (y) boles egres. Calculeu la probabltat de treure (k) boles de cop, totes sgu blaques. Sol:.7 C k C k + y.8 El ()% dels habtats d ua cutat llegee el dar A, el (y)% el dar B u (z)% tots dos. Trat u cutadà a l atzar, es demaa: a)probabltat de llegr u dels dos dars. b) probabltat de que o e llege cap. c) probabltat de que llege omés A. d) probabltat de llegr-e omés u. Sol a) ( + y z )/00 b) ( 00 + z - y )/00 c) ( z )/00 d) ( + y - z )/00.9 E ua baralla de 40 cartes, ua persoa guaya () s treu ua sota o u re. (y) s treu u cavall o u as per les altres opcos ha de pagar (z). Qua esperaça tem de guayar? Trobeu la relacó etre, y, z per a que el joc sgu equlbrat. Sol: (+y-3z)/5 euros/ partda +y-3z = 0.0 Per treure el caret de codur e les categores A,B,C es coee les dades següets: supere la prova el (a)% dels presetats al caret A, el (b)% dels presetats al caret B el (c)% dels presetats al caret C. De la totaltat el ()% es presete al A, el Xaver Rabasa 55

56 (y)% al B la resta al C. Trada ua persoa a l atzar es demaa: a) la probabltat de que s hag presetat al A hag aprovat. b) s se sap que ha aprovat, probabltat de que s hag presetat al A. a a Sol: a) b) 0000 a + by. Ua assgatura està dvdda e () parts u alume té el ()% de possbltats de aprovar cada ua de les parts, es demaa: a) probabltat de suspedre ua part com a mím, b) probabltat de suspedre solamet dues parts, c) probabltat de suspedre totes les parts Sol: a) - 00 b) C c) 00. La probabltat de que u projectl fac daa és del ()%, calculeu la probabltat d ecertar u objectu e () tets com a màm. 00 ( ) Sol: U jugador lleça moedes, s surte () cares guaya () s surte tot creus perd (y), a) calculeu els guays o les pèrdues esperades, b) calculeu la relacó etre y per tal que el joc sgu equlbrat. Sol: Xaver Rabasa 56

57 Guays = C y / partda joc equlbrat = C y = 0.4 Llacem () moedes ua rere l altra, calculeu la probabltat de: a) treure () cares, b) almeys ua cara, c) almeys () cares. Sol: a ) C b) - c) C.5 El ()% dels alumes d ua classe estude fracès, el (y)% aglès el (z)% tots dos domes. Es tra u estudat a l atzar, calculeu la probabltat de que: a) o estud fracès aglès, b) estud fracès però o aglès c) estud fracès s se sap que estuda aglès d) estud aglès s se sap que estuda fracès. e) o estud fracès s se sap que o estuda aglès 00 + z y z z z 00 + z y Sol: a) b) c) d) e) y 00 y.6 La probabltat de que u estudat aprov el curs és del ()%, trobeu la probabltat de que () estudats trats a l atzar: a) o aprov cap. b)solsamet aprov ua, c) (k) aprovades, d) totes aprovades. Sol: Xaver Rabasa 57

58 Xaver Rabasa 58 a) b) c) k k k C d) 00

59 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. VARIABLES UNIDIMENSIONALS. 0.LLENGÜATGE freqüèca absoluta: freqüèca absoluta acumulada N freqüèca relatva f freqüèca relatva acumulada F valors de la varable medaa M moda M 0 MESURES DE CENTRALITZACIÓ η + η Mtjaa artmètca = Mtjaa geomètrca G =... Mtjaa harmòca H = MESURES DE DISPERSIÓ η Desvacó mtjaa d = Varàca σ = = Desvacó típca o tpus σ = σ σ Coefcet de Pearso C = υ = p EXERCICIS. η k ( ) k Doada la dstrbucó: Xaver Rabasa 59

60 Es demaa:a) taula de la dstrbucó, b) calculeu la moda, la medaa, la mtjaa artmètca, la desvacó tpus el coefcet de Pearso. a) N TOTAL b) La moda M = 0 5 = 4 + La medaa = 8' '5 67 M = 5 = 4 La mtjaa 07 = = 3' La varàca 4547 σ = 3'976 = ' La desvacó tpus σ = '98 = ' 4 Coefcet de Pearso '4 υ = = 0' 354 3'976. Doada la dstrbucó Xaver Rabasa 60

61 Es demaa: a) taula de la dstrbucó, b) calculeu: la moda, la medaa, la mtjaa artmètca, la desvacó tpus el coefcet de Pearso.. a) N TOTAL b) + La moda M = = 0. La medaa 45' = La mtjaa = = 4' La varàca σ = 4'777 = ' 869 La desvacó tpus 90 σ = '6938 '869 = '6938 Coefcet de Pearsoυ = = 0' '777.3 Completeu la taula calculeu: la moda, la medaa, la mtjaa, la varàca, la desvacó tpus el coefcet de varacó de Pearso e la dstrbucó següet: alçada (cm.) [40,45) 6 [45,50) 9 [50,55) [55,60) 0 Xaver Rabasa 6

62 [60,65) 8 [65,70) 5 a) Alçada (cm.) N [40,45) [45,50) [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) TOTAL b) La moda 9 h c h 0 M 0 h = a + c h + h a M 0 b 3 M = La medaa 0 = 53 Xaver Rabasa 6

63 N N h h h M = a + c h a c c y = = M = = 54' La mtjaa = = 54' '5 La varàca σ = 54'5 = La desvacó tpus σ = 6 6 El coefcet de Pearso υ = = 0' '5 M b.4 Els joves als 7 ays tee u pes mtjà de 60 8 Kg. amb ua desvacó típca de 6 69 Kg. Els es als 0 ays tee u pes mtjà de 30 5 Kg. amb ua desvacó típca de 5 37 Kg. És més varable el pes als 7 o als 0 ays? Sol. és més varable als 0 ays. ( 7 ays ) = 60 8 Kg σ=6 69 Kg υ= 0 ( 0 ays ) = 30 5 Kg σ =5 37 Kg υ = 0 76 Xaver Rabasa 63

64 .5 Els jugadors de bàsquet de l equp A tee ua mtjaa de 8 puts amb ua desvacó típca de 4 puts. Els jugadors de l equp B tee ua mtjaa de puts amb ua desvacó típca de 9 puts. Qu dels dos equps és més regular? Sol. és més regular l equp A ( equp A ) = 8 puts σ =4 puts υ= 0... ( equp B ) = puts σ =9 puts υ= Els valors d ua varable dscreta só: {,,a,3,4 } 7. Sabet que la mtjaa és 4, determa: a) el valor de a. b) la medaa. c) la varàca. d) la desvacó típca Sol. a= 8 M=4 σ = 4 σ = La taula següet relacoa el ombre de gols marcats e dversos partts de futbol: gols partts calculeu: a) mesures de cetraltzacó, b) mesures de dspersó, c) coefcet de varacó de Pearso. Sol. a) = 6 gols M=3 gols M 0 = gols b) d = 38 gols c) υ=0 643 σ = 7956 gols σ = 67 gols Xaver Rabasa 64

65 .8 La taula mostra les qualfcacos e ua determada assgatura de dos grups dferets, pree ua mostra de 0 alumes per grup. grup A grup B Es demaa:a) qu grup va obter mllor ota mtjaa?b) qu és el més homoge? Sol. el més homoge és el grup B (grup A) = 4 6 σ =3 075 υ= (grup B) = 4 6 σ = 7436 υ= U fabrcat vol comprar ua màqua que l do el major ombre de peces per hora. Fa 0 proves amb els resultats següets: màqua A: 06, 98, 00, 99, 03, 96, 0, 00, 03, 93. màqua B: 03, 0, 98, 97, 96, 98, 99, 0, 04, 0. Treu la més retable. és més regular la màqua B. (màqua A ) = 00 peces/h ( màqua B ) = 00 peces/h les dues màques tee la matea mtjaa, aleshores trarem la més regular. (màqua A) σ =3 577peces/h υ= (màqua B) σ = 607peces/h υ= La següet taula dca la dstrbucó d ua varable estadístca dscreta, o:, N f represete respectvamet la Xaver Rabasa 65

66 freqüèca absoluta, la freqüèca absoluta acumulada la freqüèca relatva, es demaa:a) completa la taula, b)polígo de la freqüèca absoluta acumulada, c)la moda, la medaa la mtjaa artmètca, d) els quartls Q, Q e) la varàca, la 3 desvacó tpus el coefcet de Pearso. N f TOTAL a) 4 0 '08 = = 50 N f / / TOTAL 50-8 b) Xaver Rabasa 66

67 N c) La moda M = = 6 La medaa 5' = M 8 La mtjaa = = 4' d) = 5 43 N y= 5% de 50 = 5 Q = 3. y=75%de50=37 5 Q = 6 3 e) Xaver Rabasa 67

68 σ = 4'56 = 3'4464 σ = 3 '4464 = ' '8564 υ = = 0'407 la mtjaa és poc represetatva 4'56 d aquesta dstrbucó.. Ua equesta realtzada a ua vtea de famíles sobre el ombre dels seus flls, té com a resultat el següet polígo de la freqüèca absoluta acumulada, es demaa: a) costrue la taula d aquesta dstrbucó, b) dagrama de barres de la freqüèca absoluta, c)el ombre de flls més corret., la medaa el promg de flls d aquestes famíles, d)qu percetatge correspo a les famíles que tee meys de 3 flls? e)la varàca, la desvacó tpus, el coefcet de Pearso dgues s la mtjaa artmètca és represetatva d aquesta vtea de famíles a) N f / /0 6 6 Xaver Rabasa 68

69 5 4 5/ / TOTAL b) c) La moda M 0 = fll o flla ( el més corret) 0 4 La medaa M= 9 0 La mtjaa 3 = 40 = d) 4 meys de 3 flls 00 = 70% del total. 0 Xaver Rabasa 69

70 e) varàca 4 σ = = ' desvacó tpus 0 '483 σ = ' = '483 coefcet de Pearso υ = = 0' 74 la mtjaa o és represetatva de la dstrbucó.. Es fa ua equesta sobre el preu de lloguer d ua mostra de psos e ua determada zoa de la cutat, obtet la següet taula de dstrbucó, Lloguer( ) N f [ 0,50) 7 [ 50,300) 30 [ 300,450) 37 [ 450,600) 30 [ 600,750) 0 [ 750,900) 5 TOTAL es demaa: a)completa la taula, b)hstograma de la freqüèca absoluta polígo de la freqüèca absoluta acumulada. c)el Xaver Rabasa 70

71 lloguer més freqüet, el lloguer que dvde la dstrbucó per la metat, el promg de tots els lloguers. d)preu màm del 30% dels lloguers més barat, e)preu mím del 30% dels lloguers més cars, f)la desvacó tpus el coefcet de Pearso. Dgues s la mtjaa és represetatva d aquesta dstrbucó. a) Lloguer( ) N f [ 0,50) / [ 50,300) / [ 300,450) / [ 450,600) / [ 600,750) / [ 750,900) / TOTAL b) M Xaver Rabasa 7

72 c) La moda ( el lloguer més freqüet ) c = h h c M 0 h = a + c h + h h h a M 0 b M 0 h = a + = a + c h + h M 0 h h + h = a + c = = 337' La medaa Xaver Rabasa 7

73 N N h h h M = a + c h a M c b h M = a + c = = 33'5 h La mtjaa 4560 = = 334' d) N h = a + c h y h h N a c b y= 30% de 37 = 6 Xaver Rabasa 73

74 e) h '6 7 = a + c = = 59' 5 h 47 7 N h = a + c h y h h N a c b y = 70% de 37 = 60 4 h 60'4 47 = a + c = = 394'5 h f) 4560 = 334' = σ = 334'838 = '686 σ = 575 = 39'686 υ = = 0' '838 La desvacó relatva és d u 8% la mtjaa sí és represetatva d aquesta dstrbucó..3 S ha fet u eame tpus test de 5 pregutes a u grup de 50 persoes aaltzades les respostes correctes s ha elaborat el següet hstograma de la freqüèca absoluta: Xaver Rabasa 74

75 5 0 5 INTERVAL Xaver Rabasa 75 N [ 0,5) [ 5,0) [ 0,5) [ 5,0) [ 0,5) TOTAL Es demaa, a)completa la taula d aquesta dstrbucó. b)polígo de la freqüèca absoluta acumulada. c)ombre de pregutes ecertades més freqüet, la medaa de tots els resultats, el promg d ecerts. d) percetatge de persoes amb més de 7 ecerts, e)ombre màm de pregutes ecertades pel 70% de la get amb ptjors resultats, f)la desvacó tpus, el coefcet de Pearso dgues s la mtjaa artmètca és represetatva o o d aquesta dstrbucó. a) INTERVAL N [ 0,5) [ 5,0) [ 0,5) [ 5,0) [ 0,5) TOTAL b)

76 N 0 5 c) La moda: c M 0 h = a + c h + h h h a M 0 b 0 M = La medaa 0 = 50 y = = 5 8'66 Xaver Rabasa 76

77 N h = a + c h y h h N a c b y = = 5 = M = = ' La mtjaa 600 = = 50 d) y 35 =7 7 = percetatge 00 = % 50 y=35+4 = = Xaver Rabasa 77

78 N = a + c y N h y h h N a c b e) y = 70% de 50 = 35 = 5 N = a + c y N h y h h N a c b f) 600 = = 88'5 σ = = 3' σ = 3 '5 = 5' 7 5 '7 υ = = 0'475 desvacó del 47 5%. La mtjaa o és Xaver Rabasa 78

79 represetatva..4 La dstrbucó de les otes de 60 alumes agrupades per tervals, és: INTERVAL N [ 0,3) 5 8 [ 3,5) 6 [ 5,7) 6 [ 7,9) 8 9 [ 9,0] TOTAL 60 es demaa:a)completa la taula. b)polígo de la freqüèca absoluta acumulada. c)la ota més freqüet, la ota que parte la dstrbucó per la metat, la ota mtjaa. d)percetatge de persoes amb més ota que u 6. e)la desvacó tpus, el coefcet de Pearso dgues s la mtjaa artmètca és represetatva o o d aquesta dstrbucó. a) INTERVAL N [ 0,3) [ 3,5) [ 5,7) [ 7,9) [ 9,0] TOTAL b) Xaver Rabasa 79

80 c) h 0 La moda M = a + c = 5 + = 6' h + h h c = 6 M 0 h = a + c h + h h 9 a M 0 b La medaa Xaver Rabasa 80

81 N = a + c y N h y h h N a c b y = = = M = 5 + = 5' La mtjaa 33 '5 = = 5'5 60 d) N = a + c y N h y h h N a = 6 c b y 4 6 = y = = 3 Xaver Rabasa 8

82 p = = 38'33% e) 33 '5 = = 876'5 5'5 5'5 σ = = 3' σ = 3 '97 = υ = = 0' 387 5'5 la mtjaa o és represetatva doat que la desvacó és de u 38% respecte a la mtjaa..5 S ha fet ua equesta sobre el ombre de flls a 50 famíles amb els següet resultat, Es demaa:a)formeu ua taula d aquesta dstrbucó. b)dagrama de barres de la freqüèca absoluta polígo de la freqüèca absoluta acumulada. c)la moda, la medaa la mtjaa artmètca. d)desvacó tpus coefcet de Pearso. a) N TOTAL b) Xaver Rabasa 8

83 c) La moda M = 0 La medaa y = 5 M = La mtjaa 98 = = ' d) σ = '96 = ' σ = '5984 = ' 643 '643 υ = = 0'645 '96 Xaver Rabasa 83

84 .6 Hem mesurat les alçades d u grup de 5 alumes amb el següet resultat: Alçada(cm) N [50,55) 3 [55,60) 7 [60,65) 6 [65,70) 4 [70,75) 5 TOTAL es demaa: a)completa la taula. b)polígo de la freqüèca absoluta acumulada. c)mesures de cetraltzacó de dspersó. d)quats alumes h ha per sobre de 67cm? e)quats alumes h ha etre 57 67cm? a) Alçada(cm) N [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) [70,75) TOTAL b) Xaver Rabasa 84

85 c) La moda c = 5 7 M 0 h = a + c h + h 3 h h 6 4 M = La medaa y = 5 0 = a 59 M 0 b Xaver Rabasa 85

86 ' '5 0 M = = 6' La mtjaa 4067 '5 = = 6' 7 5 La varàca 66856'5 σ = 6'7 = 4' 96 5 La desvacó tpus σ = 4 '96 = 6' 554 Coefcet de varacó de Pearso 6'554 υ = = 0' 04 La 6'083 mtjaa és ua boa represetacó de la dstrbucó. Xaver Rabasa 86

87 Xaver Rabasa 87 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. VARIABLES BIDIMENSIONALS. LLENGÜATGE FÓRMULES Mtjaa artmètca y y = = Varàca ( ) = = σ ( ) y y y y y = = σ Desvacó típca o tpus σ = σ y σ y = σ Covaràca y y y y y = = σ ) )( ( Coefcet de correlacó y y r σ σ σ = Recta de regressó de y sobre (y/) ) ( y y y σ σ = σ σ + σ σ = y y y y Recta de regressó de sobre y (/y) ) ( y y y y σ σ = σ σ + σ σ = y y y y y y EXERCICIS D ua dstrbucó bdmesoal s ha obtgut els següets resultats:.

88 = 0'5 y = 3'4 σ = 0'06 σ = 0'39 σ = 0'0 y y Calculeu el coefcet de correlacó leal aí com les rectes de regressó. Coefcet de correlacó: 0'0 r = = 0' 98 0'06 0'39 Recta de regressó (y/) 0'0 y 3'4 = ( 0'5) 0'06 y 3'4 = 4'8( 0'5) y = 4'8 4 Recta de regressó (/y) 0'0 0'5 = ( y 3'4) 0'39 0'5 = 0'065( y 3'4) y = 5'38 4' 9 És ua molt boa correlacó leal doat que les rectes de regressó tee el pedet molt semblat el coefcet de correlacó pròm a.. A partr de la taula següet, calculeu el coefcet de correlacó leal les dues rectes de regressó total y total total y y y total Xaver Rabasa 88

89 = 5 = 0 '55 50 y = = 0 '5 53 σ = '55 0 σ = 07 = ' 475 σ y σ y = 36 '5 0 = 0'746 = 0'55 y y y total '45 σ y = '55 '5 = 0'45 r = = 0' '07 0'746 Recta de regressó (y/) 0'45 y '5 = ( '55) y = 0 '37 + 3' 47 '07 Recta de regressó de (/y) 0'45 '55 = ( '5) y y = '94 + 5' 8 0'746 Les dues varables só poc depedets la relacó leal és molt poc fable..3 El cosum d eerga per càpta e mlers de KW/h la reda per càpta e mlers de e ss països de la UE só els següets: Cosum Reda Alemaya 5 7 Xaver Rabasa 89

90 Bèlgca Damarca 5 3 Espaya Fraça Itàla Es demaa:a) úvol de puts de la dstrbucó. b) coefcet de correlacó rectes de regressó. c) qua predccó podem fer sobre el cosum d eerga de Grèca s se sap que la reda per càpta és de 4 4 mlers de? a) b) y y ' 5 '8 = = 4'366 y = = 8' '97 σ = 4'366 = '663 σ = '663 = ' 5 6 y Xaver Rabasa 90

91 483'66 σ y = 8'633 = 6'08 σ y = 6 '08 = ' ' '49 σ y = 4'366 8'633 = '49 r = = 0' ' 5 '466 Recta de regressó de (y/) '49 y 8 '633 = ( 4'366) '663 y = ' '495 Recta de regressó de (/y) '49 4'366 = ( y 8'633) 6'08 y = 4'08 9' 85 '49 c) recta de (/y) = 4 '366 + (4'4 8'633) = 3' 38 6'08 és ua estmacó poc fable.4 S ha aaltzat ss models d mpressores amb color e bac egre doat com a resultat el que fgura a la taula següet o els valors represete el cost per pàga e cètms d euro. Blac Negre( ) Color( y ) Trobeu: a) la recta de regressó de y sobre (y/). b) quat costara mprmr ua pàga e color d ua mpressora o ua pàga e blac egre costa cètms d euro. a) y y Xaver Rabasa 9 y

92 = 3'5 y = 65'67 σ = 9'58 σ = 674'78 σ y y σ = 4 '45 σ = 5'97 y r = 0'97 La recta de regressó de y sobre : ' y 65'67 = ( 3'5) 9'58 y = 5'68 '0 b) y ( ) = 57' 5 cètms d euro. = '.5 L alçada e cetímetres de ss alumes de la matea edat la dels seus pares respectus ve reflectda e la taula següet: Fll() Pare(y) es demaa, a)les dues rectes de regressó. b)dgues s só depedets o depedets les varables. a) Fll( ) Pare( y ) y = 65 y = 77'5 σ = 9'57 σ = 4'79 σ = 9' 7 y y Rectes de regressó Y/X y = 0 '3 + 4' 7 X/Y y = 0 ' ' 58 b) Xaver Rabasa 9

93 Les rectes tee la pedet força dferet aleshores la depedèca és flua. Forme u agle α = 8' º 0'79 0'3 tg α = = 0'5345 α = 8' º + 0'79 0'3 S aaltzem el coefcet de correlacó es doa r = 0' 636 que reforça lo dt aterormet..6 S ha fet u estud a vell de prmer de Batllerat sobre la ota mtjaa de Matemàtques Aglès e ss cetres de secudàra, com reflecte la següet taula: Matemàtques Aglès y es demaa: a) recta de regressó de y sobre b) s u altre cetre té per ota mtjaa de Matemàtques 5 5, que cal esperar de la ota d Aglès? a) Matemàt.( ) Aglès( y ) y ' y = 5'96 σ = 0'3 σ = '584 σ = 0'4874 r = 0' 5475 = y y 0'4874 Recta de regressó de (y/) y 5'96 = ( 6') y = '57 3' 83 0'3 b) y(5 5)=4 8 és la ota esperada e Aglès però doat que la depedèca de les varables és doleta aleshores la ota o és fable. Xaver Rabasa 93

94 .7 S ha mesurat la potèca (e kw) el cosum (e ltres/cada 00Km ) e ss models dferets de cotes obtet com a resultat: Potèca Cosum es demaa:a) la covaràca el coefcet de correlacó, b) estuda la depedèca de les dues varables. a) Potèca.( ) Cosum( y ) y = 84 y = 9' 5 σ = '075 σ = ' 78 σ = 9' 66 r = 0'7 y y b) la relacó etre les dues varables és postva però poc alta.8 U grup de ss atletes ha realtzat dues proves ua de salt de logtud ua altra de salt d altura amb putuacó de 0 a 5 doat els següets resultats: Logtud () Altura (y) es demaa:a) les dues rectes de regressó. b) estuda la depedèca de les varables aaltzat el pedet de les dues rectes el coefcet de correlacó. a) Logtud( ) Altura ( y ) y y Xaver Rabasa 94

95 = 4 ' 66 y = 3'833 σ = 0'69 σ = 0'689 σ = 0'365 r = 0'7 66rec y y de regressó y/ 0'365 y 3'833 = ( 4' 66) y = 0 ' ' 648 0'69 recta de regressó /y 0'365 4' 66 = ( 3'833) y y = ' '689 '88 0'764 b) agle etre les dues rectes tg α = = 0'458 α = 4'6º + '88 0'764 Les rectes forme u agle de 4 6º la relacó o és massa forta..9 S ha fet u estud de l altura pes e ss es de la matea edat doat com a resultat, Altura () cm Pes (y) Kg es demaa: a) la covaràca el coefcet de correlacó, b) estud de la depedèca de les dues varables. a) Altura( ) Pes( y) y y Xaver Rabasa 95