Psicometria. Tema 2. Distribucions unidimensionals. Joan Carles Martori Psicologia. Departament de Psicologia

Transcripción

1 Pscometra Tema Dstrbucos udmesoals Joa Carles Martor Pscologa Departamet de Pscologa

2 UVIC Grau de Pscologa Itroduccó E aquest Tema estudarem el tractamet de les dades udmesoals, és ad r el trctamet d ua sola varable E prmer lloc veurem dferes maeres de presetar les dades, e forma de taula o e forma de gràfc E sego lloc veurem els prcpals strumets per resumr descrure el comporatmet de la varable Tema Dstrbucos udmesoals

3 UVIC Grau de Pscologa Cotguts Tema Dstrbucos Udmesoals Dstrbucó de freqüèces Freqüèca absoluta d u valor x : és el ombre de vegades que és repetex cada valor de la varable x es smboltza per = N ( Nombre total d observacos) N Freqüèca relatva d u valor x : és gual a la freqüèca absoluta dvdt pel ombre total d observacos, es smboltza per f f + f + f + + f = f ; f N Freqüèca absoluta acumulada d u valor x : és la suma de les freqüèces absolutes dels valors aterors gual al valor cosderat; es smboltza per N N = N = N Freqüèca relatva acumulada d u valor x : és la suma de les freqüèces relatves dels valors aterors gual al valor cosderat; es smboltza per F F = f + f +f + + f F = N F N Tema Dstrbucos udmesoals

4 UVIC Grau de Pscologa Exemple: El sou mesual de 0 persoes és el següet: Sou (x ) f N F 700 0, 0, 800 0, 7 0, 000 0, 0, , 7 0,8 00 0, 9 0, ,0 0 N = 0 Tpus de dstrbucos estadístques Dstrbucos tpus I: Es dóa qua h ha pocs valors de la varable o es repetexe Exemple: Edat dels flls d ua parella ( sempre que o h hag bessos o trgèms) Dstrbucos tpus II: Es dóa qua h ha pocs valors de la varable però es repetexe Exemple: U comercat ha veut 00 camses de les talles 8, 9, 0, correspoet a cada talla ua veda de 0, 60, 7 peces Dstrbucos tpus III: Es dóa qua h ha molts valors de la varable es repetexe Al ter molts valors s agrupe e tervals d gual o dferet ampltud El put mg de cada terval s aomea marca de classe es represeta per c, axí trasformem ua dstrbucó tpus III e ua dstrbucó tpus II O c L L L és el valor mím de l terval L és el valor màxm de l terval ; a = ampltud de l terval = L L Exemple: les putuacos e u test de 000 persoes Tema Dstrbucos udmesoals

5 UVIC Grau de Pscologa L - - L c f N F 0-0,0 0,0-8 0,08 0 0, ,09 0, N = 000 Represetacos gràfques Les represetacos gràfques més usuals só: S la varable té caràcter quattatu: Dagrama de barres Hstograma Gràfc de Caxa bgots S la varable té caràcter qualtatu: Sector crcular Gràfca de barres Tema Dstrbucos udmesoals

6 UVIC 6 Grau de Pscologa Dagrama de barres: e us exos de coordeades col loquem les valors de la varable e l ex d abscsses e el d ordeades les freqüèces Exemple: X N = 7 Edats des alumes Freqüèca Edat Hstograma: S utltza e dstrbucos estadístques del tpus III; és a dr dstrbucos e tervals Dferecem dos tpus: a) S les ampltuds dels tervals só costats, dbuxarem rectagles de base gual a l ampltud alçada gual a la freqüèca Exemple: Tema Dstrbucos udmesoals

7 UVIC 7 Grau de Pscologa L - - L Frecueca Meda =8, Desvacó típca =,8 N = x 0 Casos poderados por b) S les ampltuds dels tervals só dferets, es dbuxe rectagles de base gual a l ampltud l alçada serà freqüèces Exemple: h a D aquesta maera les àrees sera gual a les Tema Dstrbucos udmesoals

8 UVIC 8 Grau de Pscologa L - - L a h -7 0,7 7-, ,7 -, Gràfc de Caxa bgots Tpus de gràfc, basat e els quartls, amb formacó sobre la dspersó de la dstrbucó, la smetra especalmet sesble e detectar casos extrems o atípcs (valors estremadamet alts o baxos respecte els valors cetrals, que pode dstorsoar l aàls) Cosstex e ua caxa rectagular cetral (que mostra el 0% de les dades), amb us bgots ( o patlles) que dque la dspersó de la dstrbucó Tpus de gràfc molt útl per comparar dferets dstrbucos Exemple : e ua equesta feta a 0 famíles, el dagrama de caxa bgots del ombre de flls per famíla té la següet expressó: N = 0 Nombre de flls S'observa que la dstrbucó és asmètrca a l'esquerra e la seva part cetral A més, es cosdera atípca u famíla que tgu flls, molt atípca, ua famíla amb o 6 flls Exemple E el següet gràfc s'aaltza l'edat dels 87 votats e ues eleccos mucpals e fucó del sexe les preferèces per u dels dos caddats a alcalde Tema Dstrbucos udmesoals

9 UVIC 9 Grau de Pscologa SEXE EDAT 0 N = doa home Caddat A Caddat B VOT S'observa que la dstrbucó d'edats dels votats del caddat B és semblat per les does els homes E cav, e els votats del caddat A, els homes só, e geeral, més gras que les does També s'observa que els votats del caddat B tee, claramet, més edat que els votats del caddat A El 7% dels votats del caddat B supera els 0 ays d'edat, a més, els votats de 0 ays es cosdere atípcs Sector Crcular És u cercle dvdt e sectors o cada sector represeta el percetatge del total que correspo a cada atrbut Exemple: compayes utltzades per u dvdu e 0 vtages Compaya Lufthasa 8 Altala Ar-Frace 7 Ibera Tema Dstrbucos udmesoals

10 UVIC 0 Grau de Pscologa Veda de btllets d'avó Ar-Frace % Altala 0% Lufthasa 7% Ibera 0% Gràfca de barres Exemple: Comarca de procedèca dels estudats de prmer curs: Procedèca Osoa 0 Comproperes Os 0 Barceloès Altres Procedèca dels estudats Altres Comproperes Osoa Barceloès Osoa Tema Dstrbucos udmesoals

11 UVIC Grau de Pscologa Mesures de poscó o tedèca Cetral Ara veurem ua sère de mesures que cosstexe e substtur la taula estadístca per us ombres que mesure les característques més mportats de la dstrbucó Aquestes mesures só: Mtjaa artmètca Medaa Moda Mtjaa artmètca ( X ): es defex com la suma de tots els valors de la dstrbucó dvdda pel ombre total d observacos S h ha freqüèces: X x * N X N x S treballem amb tervals: Exemples: Edat dels pacets: X c * N x x N = X 0,78 ays ays Tema Dstrbucos udmesoals

12 UVIC Grau de Pscologa Hores d estud setmaal dels alumes: L - - L c c N = X 9, 9 hores Propetats de la mtjaa artmètca: La suma de les desvacos dels valors de la varable respecte de la mtjaa és zero ( x x ) 0 S a tots els valors de la dstrbucó els h sumem ( o restem) ua costat k, aleshores la mtjaa resultat serà la suma ( o la resta) de la mtjaa cal més la costat k ( x, ) x x' x ( x, ) = ( x + k, ) k S tots els valors de la varable els multplquem ( o dvdm) per ua costat k, la ova mtjaa quedarà multplcada ( o dvdda) per aquesta costat ( x, ) x ( x, ) = ( x k, ) x ' x k Observacó: qua exstexe u o vars valors claramet alts o baxos respecte de la resta, la mtjaa artmètca s altera molt perd represetatvtat; és molt sesble als valors extrems E aquest cas és mllor utltzar la medaa, que veurem més edavat Tema Dstrbucos udmesoals

13 UVIC Grau de Pscologa Mtjaa artmètca poderada: Qua tots els valors de la varable o tee la matexa mportàca, la mtjaa artmètca es calcula multplcat a cada valor de la varable per u factor ( pes) que es represeta per w X x * w w Exemple: Notes dels exàmes: x : 6,,7,,6 x, w :,,,, Medaa: (M e ) : és aquell valor de la dstrbucó (ordeada sempre de meor a major) que dexa a la seva esquerra a la seva dreta el matex ombre de freqüèces, és a dr el valor que ocupa el lloc cetral, suposat u ombre parell de dades S el ombre de dades és parell la medaa és la mtjaa artmètca dels dos valors cetrals Exemples: x :,,,6,8,,,8 M e = 8 x :,,,6,8,, M e = (6+8 ) / = 7 S treballem amb freqüèces la Me serà aquell valor x tal que N aleshores la Me serà: Me = x x N però, s N = N Tema Dstrbucos udmesoals

14 UVIC Grau de Pscologa Exemples: x N N = 8 Me = x N N = 0 Me =, E ua dstrbucó tpus III la Medaa serà: N / N Me L * a o L - és el prmer terval tal que N> N/ Tema Dstrbucos udmesoals

15 UVIC Grau de Pscologa L - - L N N = Me =,87 Moda: ( M o ) : és el valor de la varable que és repetex més vegades, és a dr, aquell valor de més freqüèca E ua dstrbucó tpus I o h ha Moda E ua dstrbucó h pot haver més d ua moda ( bmodal, trmodal) x 7 7 Mo = Per calcular la Mo e dstrbucos tpus III hem de dferecar: S els tervals só d ampltud costat: La M o es trobarà e l terval de màxma freqüèca Mo L * a Tema Dstrbucos udmesoals

16 UVIC 6 Grau de Pscologa S els tervals só d ampltud dferet: La M o es trobarà e l terval de màxma altura ( h ) a h Mo L * h h a Exemples: L - - L M o = 6 L - - L a h 0-0 0,8-0 0, , , , M o =, Tema Dstrbucos udmesoals

17 UVIC 7 Grau de Pscologa Mesures de poscó o cetrades Só mesures de poscó semblats a la medaa però que dvdexe la dstrbucó amb més de dues parts guals Quartls ( Q r ) Decls (D r ) Cetls o Percetls ( C r ) Quartls : Só tres valors que dvdexe la dstrbucó e parts guals S treballem sese tervals: N Q és el valor x tal que N N Q és el valor x tal que N N Q és el valor x tal que N S treballem amb tervals: r * N / N Qr L * a r :,, o L és l terval tal que N > r*n/ Decls: Só 9 valors que dvdexe la dstrbucó e 0 parts guals, és a dr, e 0 tervals esta closos el 0% dels valors de la dstrbucó: S treballem sese tervals: N D és el valor x tal que N 0 N D és el valor x tal que N 0 9N D 9 és el valor x tal que N 0 S treballem amb tervals: r * N /0 N Dr L * a r :,9 o L és l terval tal que N > r*n/0 Cetls o Percetls: Só aquells valors de la dstrbucó que la dvdexe e 00 parts guals, per tat, h haurà 99 cetls Tema Dstrbucos udmesoals

18 UVIC 8 Grau de Pscologa S treballem sese tervals: S treballem amb tervals: C és el valor x tal que C és el valor x tal que C 99 és el valor x tal que N N N N 00 N 00 99N 00 r * N /00 N L a r :,99 Cr * L és l terval tal que N > r*n/00 o 6 Mesures de dspersó Les mesures de dspersó tracte de mesurar qua és la varabltat de les dades respecte la mesura de poscó cetral que les represeta A més dspersó meys represetatvtat de la mesura de poscó cetral Aquestes mesures pode ser: Absolutes: Depee de les utats de mesura: Recorregut Rag terquartl Varàca Desvacó tpus (tpca o estàdard) Relatves: esta defdes per u quocet o depee de les utats de mesura Coefcet de varacó de Pearso Recorregut ( R) : és la dferèca etre el valor més gra més pett de la dstrbucó, R = x x Rag Iterquartl (IQR) : es expressa la dferèca etre els valors extrems del 0% de les dades IQR = Q Q Varàca: (S x ) :és la mtjaa artmètca dels quadrats de les desvacos dels valors de la dstrbucó respecte de la mtjaa artmètca Tema Dstrbucos udmesoals

19 UVIC 9 Grau de Pscologa S x N * X Desvacó tpus ( S x ) : és l arrel quadrada de la varàca S S Propetats de la varàca la desvacó tpus La varàca ma pot ser egatva S sumem ( o restem) ua costat a tots els valors de la dstrbucó la varàca la desvacó tpus vare ( x, ) S x, S x S ' x S x ( x, ) = ( x + k, ) S x ', S x ' S x S x ' S tots els valors de la varable els multplquem per ua costat k, la ova varàca quedarà multplcada pel quadrat d aquesta costat la desvacó típca omés multplcada per la costat ( x, ) S x, S x ( x, ) = ( x k, ) S x ', S x ' S ' k x S ' k S S x x x Coefcet de Varacó de Pearso (V x ) : Per resoldre el problema de comparacó de mtjaes artmètques de dues dstrbucos que pode ser e utats dferets e les que les mtjaes o sgu guals, s utltza el coefcet de Varacó de Pearso V x : és el quocet etre la desvacó tpus la mtjaa artmètca, expressat e percetatge S V *00 S V x =0 No h ha dspersó X V x més bax Meys dspersó Mtjaa més represetatva V x més alt Més dspersó Mtjaa meys represetatva Tema Dstrbucos udmesoals

20 UVIC 0 Grau de Pscologa Exerccs Les edats de 80 alumes de er curs d'ua uverstat só: Costruïu ua taula de freqüèces cotesteu les següets pregutes: a) Quats alumes tee més de 0 ays? b) Quats alumes tee etre 9 ays? c) Qu percetatge d'alumes té 8 ays? d) Qu percetatge d'alumes té meys de ays? e) Qu percetatge d'alumes supera els ays? Els pesos e qulograms de cadascu dels alumes de l'exercc ateror só: Agrupeu les dades e tervals d'ua ampltud de qulograms, começat pel valor, costruïu la taula de freqüèces Dbuxeu l'hstograma de freqüèces S els 0 prmers alumes só does els 0 restats homes, dbuxeu l'hstograma per a cada grup Que s'observa claramet? Les qualfcacos obtgudes e l'assgatura d'estadístca ha estat: A N N S E NP NP N S N N A S S A E A E N S S A NP NP NP A A N E N N N A S A E NP E A N S S A A A A N S S A A N NP E S E A N N A N A S S S A A N A NP NP A A A A NP N NP NP A Represeteu gràfcamet aquesta formacó Determeu qu és el percetatge de o presetats (NP), de suspesos (S), dels que vare superar l exame (A,N,E) E la següet taula de freqüèces completeu la formacó que h falta tet e compte que l'extrem fal de cada terval cocdex amb l'c del següet: Tema Dstrbucos udmesoals

21 UVIC Grau de Pscologa L - - L N f F a c h 0, - 7 0, 6 0 Calculeu la mtjaa, la medaa, la moda, els quartls la desvacó típca de les dades dels exerccs 6 La dstrbucó d edats e ua utat hosptalàra al llarg de l últm ay ha estat la següet: Edats Nº de des Trobeu la mtjaa artmètca, medaa, moda percetl 80, terpretat el sgfcat de cadascu dels valors obtguts 7 El ombre d'utats d'u determat producte adqurdes aualmet per 0 cosumdors etrevstats es dstrbuex de la maera següet: Nombre d'utats Nombre de Cosumdors 0 a) Qu és el ombre mím d'utats adqurdes pel % de cosumdors que més utats adqurexe? b) Qu és el ombre màxm d'utats adqurdes pel % de cosumdors que meys utats adqurexe? c) Qu és el ombre d'utats auals que amb més freqüèca s'ha adqurt per els cosumdors? Tema Dstrbucos udmesoals

22 UVIC Grau de Pscologa 8 Trobeu la medaa de les següets dades:,,,,,,,8,,, 6,6,,,,9,,, 7,,,,,, 6,,,9,,, a) Sumeu 0 a cada observacó toreu a calcular la medaa Què observeu? b) Multplqueu per 0 totes les dades orgals toreu a calcular la medaa Què observeu? c) Afegu ua observacó amb valor 0 a les dades orgals toreu a calcular la medaa Ha cavat gare? I s a més, h afegm ua observacó amb valor 0? 9 E u estud socal estem aaltzat com està orgatzada ua empresa que té factores Les seves dstrbucos de salars só: Salars ( / mes) Factora A (ombre de treballadors) 7 Factora B (ombre de treballadors) 0 8 a) Qua factora té u salar mtjà més represetatu? b) Qu és el salar mím que cobre els treballadors de la factora A, per a cosderar-se etre el 0% que més cobre? 0 Les dstrbucos de les putuacos e ua prova pscotècca que es va fer als executus d'ua mportat compaya telefòca va ser: Flal Nord-amercaa Putuacos Nombre d'executus 0 Flal Europea Putuacos Nombre d'executus 0 a) Qua de les dues dstrbucos preseta meys dspersó absoluta al voltat de la mtjaa? b) Qua de les dues dstrbucos preseta meys dspersó relatva al voltat de la mtjaa? E ua equesta feta a famíles aquestes es classfque segos ues determades característques e famíles tpus A famíles tpus B El ombre de flls per famíla es dstrbuex de la següet maera: Tema Dstrbucos udmesoals

23 UVIC Grau de Pscologa Nombre de flls Famíles tpus A Famíles tpus B Es demaa: a) E qu tpus de famíla el ombre de flls preseta més dspersó relatva? Com ho terpreteu? b) E les famíles tpus A, qu percetatge de famíles tee meys de flls? c) E les famíles tpus B, quats flls ha de ter com a mím ua famíla per a que es pugu cosderar e el grup del % de les famíles amb més flls? d) E les famíles cojutamet, qua val la medaa? Com s'terpreta? e) Quats flls tee e total aquestes famíles? Solucoar a) b) c),7% d) 70% e) % Exercc : Mtjaa: 0,8; Medaa: 0; Moda: 9; rquartl: 9; Quatl: 0; rquartl: ; Desvacó:,8 Exercc : Mtjaa: 6; Medaa: 6,9; Moda: 6,8; rquartl: 9,; Quatl: 6,9; rquartl: 69,; Desvacó: 7, 6 Mtjaa: 006,78 ; Medaa: 970, ; Moda: ; Percetl 80: 8867,7 7 a),6 b) 0-0 c),9 8 Medaa:,9 9 a) La Factora B b) 86,6 0 a) Totes dues presete la matexa dspersó absoluta b) La flal europea preseta meys dspersó relatva a) Les famíles tpus A presete més dspersó relatva b) 86,6% c) d) e) Problemes Resolts Ua empresa e expasó ecessta cotractar 00 ous veedors Per tal de dur a terme la seleccó dels asprats s'ha realtzat ues proves, a partr de les quals s'ha obtgut la taula següet, que recull les qualfcacos dels caddats: Tema Dstrbucos udmesoals

24 UVIC Grau de Pscologa Qualfcacó Nre caddats a) Qu gràfc sera adequat per represetar aquesta dstrbucó de freqüèces? b) Qua és la qualfcacó mtjaa dels asprats? c) Qua serà la qualfcacó míma ecessàra per estar etre els seleccoats? d) U caddat ha obtgut ua qualfcacó de 7, sstex a dr que es troba etre el % mllor classfcat Té raó? Justfca la resposta SOLUCIÓ a) Com la varable és quattatva cotíua, el mllor gràfc serà u hstograma de freqüèces b) Cal calcular la mtjaa a partr de la marca de classe (x ) dels tervals: X 0 x 6, 0 00 puts c) Cocdex amb la medaa, ja que h ha 00 caddats La medaa es troba a l terval [6-9): N N Me L c 6 6, 90 puts d) Cal trobar el percetl 7 o tercer quartl Aquest es troba ubcat a l terval [6-9): Q N N L c 8 puts Per tat, el caddat o té raó No es troba etre el % mllor classfcat La taula adjuta represeta les otes d Estadístca obtgudes per 00 alumes Qualfcacos Freqüèca absoluta Freqüèca relatva Suspesos - 00 Tema Dstrbucos udmesoals

25 UVIC Grau de Pscologa Aprovats 6 - Notables 0 - Excel lets - - Ques só les freqüèces absolutes de suspesos excel lets? a) suspesos = 0 excel lets = b) suspesos = excel lets = 0 c) suspesos = 0 excel lets = 0 d) o es pot saber La següet taula recull la dstrbucó del temps (e muts) d atecó als malalts d u cetre d assstèca prmàra per part dels facultatus que h treballe, calculada a partr d ua mostra de 00 cosultes: Temps Freqüèca ? a) Calculeu medaa mtjaa b) Calculeu la varàca el coefcet de varacó Què mesura aquest sego? c) S el temps s'expressés e hores, qus sere els valors de la mtjaa la varàca de la ova dstrbucó? d) Per sobre de qu temps es troba el 0% de les vstes més llargues? a) (Q=8; Medaa=9; Q=) Efectvamet: Q 0 ( *0) 8 Medaa 0 ( *0) (* 60) (*90) (* 0) (*0) 000 X La proxmtat dels estadístcs mtjaa medaa dca que la dstrbucó és bastat smètrca b) ( X ) X ( ) * 60 ( ) S S CV X * 90 ( ) 00 * 0 ( ) El coefcet de varacó és ua mesura relatva de la dspersó d ua dstrbucó * 0 Tema Dstrbucos udmesoals

26 UVIC 6 Grau de Pscologa c) La mtjaa quedara dvdda per 60 la varàca dvdda pel quadrat d aquesta costat (600) 80 0 d) P 90 0 ( *0) 7 0 D u cojut de dades hem obtgut la mtjaa artmètca, la desvacó estàdard la medaa Els seus valors respectus ha estat: 8, 60 7 S a cadascua de les dades l sumem el valor, qua vale la mtjaa, desvacó estàdard medaa 0,,60, 9 Qua de les següets dstrbucos té ua mtjaa artmètca més represetatva?justfca la teva resposta a) =0 S x =00 b) =000 S x =00 c) =0 S x =000 d) =00 S x =00 6 Els següets dagrames de caxa bgots mostre com s'ha dstrbuït les otes de grups d'estadístca Justfca la teva resposta a) E qu grup ha aprovat més del 0% dels alumes? A b) Qu grup preseta més varabltat e les otes més baxes? A c) Qu grup té més dspersó e termes de rag terquatl? C d) Qu grup té meys varabltat e les otes altes? D Tema Dstrbucos udmesoals