FIB Q PARCIAL 2 DE PE 31 de maig de 2012

Transcripción

1 SOLUCIÓN PROBLEMA 1 FIB Q PARCIAL DE PE 31 de mag de 01 Se desea estudar el tempo que fucoa certa compoete de u sstema hasta que comeza a presetar fallos sstemátcos. A f de estmar el tempo medo de fucoameto a pleo redmeto, se observaro 10 de estas compoetes obteédose los sguetes tempos e mles de horas de fucoameto s fallos: 1,1.5,0.8,1.,0.,1.1,1.4,1.3,0.7,0.1 a ( putos Dar ua estmacó por tervalo para el tempo medo de fucoameto co ua cofaza del 0%. Estadístco, premsas y dstrbucó X ormal, m.a.s co varaza descoocda, Cálculos, resultado e terpretacó. x =1 s = 0,1667 s IC(µ, 0% = x ± t,0.5 =1±1.8331* 0, = (0.7633, Co ua cofaza del 0%, el tempo medo de fucoameto de la compoete está etre y 1.37 mles de horas. b ( putos Dar ua estmacó por tervalo para la desvacó estádar poblacoal co ua cofaza del 0%. Estadístco, premsas y dstrbucó X ormal, m.a.s,. Cálculos, resultado e terpretacó. s = " IC(σ, 0% = $ # ( 1s, χ,1 α ( 1s χ, α % ' = " & , % $ '=(0.0887, # & " ( 1s ( 1s % IC(σ, 0% =, = (0.78, $ χ,1 α χ ', α # & Co ua cofaza del 0%, la desvacó tpo poblacoal del tempo de fucoameto está 0.8 y 0.67 mles de horas. c ( putos Podemos decr que el tempo de fucoameto medo está por debajo de 1.00 horas? Asumd varaza coocda gual a 0,1 y α=0,05. Hpótess, estadístco, premsas y dstrbucó Sea X la v.a. tempo de fucoameto de ua compoete, e mles de horas. H 0 : µ =1, X ormal, m.a.s, varaza coocda. H 1 : µ <1, Ulateral bajo H 0. Cálculos, resultado e terpretacó. ẑ = = Ulateral: rechazamos s ẑ < z 0.05 = 1, (s valor absoluto p-valor=p(ẑ < Z = P( 1.83 < Z = P(Z >1.83 =1 P(Z 1.83 = = Co u error del 5%, hay evdeca para rechazar la hpótess ula y demostrar que el tempo medo de fucoameto está por debajo de 100 horas: el valor observado del estadístco está e la regó de rechazo (-1.86< -1,644, y el p- valor<0.05 (basta uo de los dos.

2 ropetats de les mostres Itervals de Cofaça Ua vez las compoetes observadas fallaro, se realzó ua tervecó para arreglarlas y volver a hacerlas fucoar. El mecáco os ha garatzado que obtedremos u mayor redmeto del sstema. Así, se volvero a poer e fucoameto, obteédose los sguetes uevos tempos X 1 e mles de horas de fucoameto s fallos: 0.1, 0.3, 0.4, 1.3, 1.4, 1., 0.4, 1.4, 0.7, 1.3 X N(, / ( també X N(, 1 d ( putos Se ha alargado efectvamete el tempo medo de fucoameto al arreglar la compoete? Hpótess, estadístco, premsas y dstrbucó (tomar α=0.05 SOLUCION ÓPTIMA Defmos la ueva varable dfereca del tempo de fucoameto etre ates y después de arreglar la compoete D=después-ates: ( x ( x Se desea cotrastar N(0,1 t H 0 : µ D = E(D = 0 1 o x x 1. (, amb E(X = V(X =, llavors mostral ( x : a mostral ( zˆ SOLUCION ACEPTADA: Sea Estadístc Y el tempo de fucoameto Premsses de ua compoete Dstrbucó después de ser arreglada. Iterval de Cofaça 1- (Rsc Hpótess H 0 : µ ( Y =1 x [ X N zˆ o 30 ] H 1 : µ Y >1 (al z^ N(0,1 ( x z arreglar la compoete, el tempo medo es superor a ates de arreglar x =1 1 / coeguda Estadístco: x tˆ ( s X N s t^ t -1 ( x t 1,1 / que bajo H0 sgue ua dstrbucó Premsas: ( x m.a.s de Y, Y sgue ua dstrbucó ormal, varaza descoocda. zˆ s 100 Cálculos, s z^ N(0,1 ( x z1 / resultado e terpretacó. SOLUCION ÓPTIMA D=Y-X: ˆ s ( 1 X X N x^ -1 S ( 1 S ( 1, 1, 1 / 1, / D = 0.15 ( p ˆ(1 ˆ s D = (1-5 ( P z1 / ˆt = 0.15 (1 0 5 z^ N(0,1 ˆ = Ulateral: rechazamos s ˆt > t,1 α = t,0.5 = (s valor absoluto P o ˆ ( 10 z ˆCo L u error del 5%, o hay evdeca 5 para rechazar z^ la hpótess N(0,1 ula y coclur que el arreglo alarga ( L z 1 efectvamete / L el tempo medo de fucoameto: el valor observado NO está e la regó de rechazo (-0.64< De hecho, co la muestra observada se obtee u fucoameto medo feror (0.85 después de arreglar las compoetes. SOLUCION ACEPTADA y = 0.85 s Y = ˆt = s H 1 : µ D = E(D > 0 (el tempo medo al arreglar la compoete es mayor al ateror Estadístco D 0 tˆ x x x ( x S D / que bajo 1 H0 sgue ua dstrbucó. 1 1 s Premsas: muestras : s apareadas, 1 ormaldad o s de la varable dfereca 1 D, varaza descoocda = Ulateral: rechazamos s ˆt > t,1 α = t,0.5 = (s valor absoluto 1 x x 1 1 Co u error del 5%, o hay evdeca para rechazar la hpótess ula y coclur que el arreglo alarga efectvamete el tempo medo de fucoameto: el valor observado NO está e la regó de rechazo (-0.138< De hecho, co la muestra observada se obtee u fucoameto medo feror (0.85 después de arreglar las compoetes. Datos posterores recogdos por la empresa, muestra que de las 1000 compoetes fabrcadas e el prmer mes del año, 16 duraro meos de 00 horas. ( putos Estmar por tervalo la probabldad de que ua compoete dure meos de 00 horas, co ua cofaza del 5%. Estadístco, premsas y dstrbucó. Premsas: grade y probabldad o extrema:

3 Cálculos, resultado e terpretacó. ˆP = = 0.16 IC(π, 5% = ˆP π (1 π ± z 0.75 = 0.16 ±1.6 π (1 π Podemos aproxmar la probabldad detro de la raíz co π = ˆP o π =0.5 (màxm valor possble: IC(π, 5% = 0.16 ±1.6 IC(π, 5% = 0.16 ± ( ( = (0.105, = (0.1850, Co ua cofaza del 5%, la probabldad de que ua compoete dure meos de 00 horas está etre 1.0% y 4.%.

4 PE Q Parcal. 31 de mag de 01 Problema (B5 Per comparar la veloctat amb la qual resole dos servdors dferets, SuperSolver MegaSolver, problemes d optmtzacó s eva u total de 70 problemes de maxmtzacó dferets als dos servdors, 35 a cadascu. Pel fet que el temps que trgue els servdors per resoldre els problemes, és asmètrca cap a la dreta, treballem a cotuacó amb els logartmes dels temps. Sgu X el logartme del temps que trga el SuperSolver Y el del MegaSolver. Els valors descrptus a cada mostra só els següets a més a més es mostra ua represetacó gràfca: Mtjaa Medaa Desv. est. Mím Màxm SuperSolver,63,5 0,57 1,63 3,7 MegaSolver,85,86 0,44 1, 3,7 SuperSolver MegaSolver Log(Muts a (0.5 puts Es tracta de dues mostres depedets o aparellades? Raoeu la resposta. Es tracta de mostres depedets, ja que els problemes d optmtzacó evats a u servdor só depedets dels evats a l altre. b (0.75 puts Només basat-vos e els valors descrptus e el gràfc, creeu que es pot parlar de superortat d u dels dos servdors? Tat la mtjaa com la medaa dels temps so ferors e cas del SuperSolver el que podra dcar u mllor redmet d aquest. Per altra bada, observem ua major varabltat dels temps del SuperSolver per tat o es pot fer cap afrmacó cotudet. c (0.75 puts Veet els següets Q-Q plots, sembla raoable suposar que les varables X Y seguexe ua dstrbucó ormal? Raoeu la resposta. Sample Quatles Q Q Plot: SuperSolver Theoretcal Quatles Sample Quatles Q Q Plot: MegaSolver Theoretcal Quatles E cas del Megasolver els puts forme garebé ua recta per tat podem suposar que provee d ua dstrbucó ormal. E cas del SuperSolver, la cosa o està ta clar. No obstat, la suposcó que les dades provee d ua dstrbucó ormal sembla raoable, ja que els puts tampoc o s alluye massa de la recta.

5 PE Q Parcal. 31 de mag de 01 d ( puts Estudem prmer la varabltat dels (logartmes de temps d ambdós servdors. Es pot suposar que só guals? Respoeu aquesta preguta platejat resolet la hpòtes adet (amb α = 0.1 explcat ques só les premsses que cal fer per realtzar aquesta prova. Hpòtes: H 0 : σ X = σ Y vs. H 1 : σ X σ Y H 0 F34, 34 Estadístc de cotrast: F = s X /s Y Premses: Dstrbucó ormal d X d Y mostres depedets. Càlcul: F = 0.57 / 0.44 = 1.68 Regó crítca: Es rebutja H 0 s F > F 34, 34;0.5 = Decsó: Set el valor d F feror al valor crítc, o rebutgem H 0 podem suposar gualtat de varàces. e ( =3 puts Per saber s es pot suposar que h ha dferèces etre ambdós servdors, es vol calcular l terval de cofaça (al 5% per a la dferèca de les mtjaes dels logartmes del temps ( IC(µ X µ Y ; 0.5. Ques só les premsses? X N (µ X, σ, Y N (µ Y, σ, és a dr dstrbucos ormals homocedastctat, dades depedets. Qua és la dstrbucó de X Ȳ (suposat gualtat de varaces? X N (µ X, σ/ 35, Y N (µ Y, σ/ 35 = X Ȳ N (µ X µ Y, σ 1/35 + 1/35 Calculeu la varàca cojuta (pooled varace. s = Calculeu IC(µ X µ Y ; ( = 0.6. IC(µ X µ Y ; 0.5 = x ȳ ± t ; 0.75 s 1/35 + 1/35 = [ 0.46, 0.0]. }{{} = Qua és la terpretacó d aquest terval? Aquest terval coté la dferèca dels valors esperats d X d Y amb ua probabltat 0.5. Com que l terval clou el valor 0, amb u vell de cofaça del 5% o podem afrmar que cap dels servdors es superor a l altre pel que fa el redmet mtjà. f ( puts E ua altre expermet s ha evat els matexos 31 problemes d optmtzacó a ambdós servdors s ha recollt les dfereces dels logartmes dels temps. La mtjaa d aquestes dferèces ha estat gual a 0. (a favor del SuperSolver, la desvacó estàdard gual a Calculeu l terval de cofaça (al % per a la mtjaa de les dferèces. Es pot suposar la superortat d u dels dos servdors? Per què? L terval de cofaça (al % de la mtjaa de les dferèces (µ D es: IC(µ D ; 0. = 0. ± t 31 1; / 31 = [0.04, 0.4]. }{{} =.75

6 PE Q Parcal. 31 de mag de 01 Pel fet que l IC o coté el valor 0, podem afrmar, amb u vell de cofaça del % que el redmet mtjà del SuperSolver és superor que el del MegaSolver. g (1 put Matet la mtjaa gual, a partr de qua desvacó estàdard ja o es podra parlar de superortat (amb u vell de cofaça gual a %? Sera el cas s el lmt feror fos feror a 0, és a dr s s/ 31 < 0 s > = 0.45.

7 FIB Q PARCIAL DE PE 31 de mag de 01 NOM: (Poseu el om cotesteu cada preguta e el seu lloc reservat. Explcteu justfqueu els càlculs e les respostes Problema 3 (B6 Les varables Y X mesure ua putuacó de 0 a 10 e u esforç físc hores coectat a Facebook, respectvamet. Hem observat els següets valors: Y= (8,4,5,5,,3,3,,0 X= (8,,11,14,15,16,1,0,1 I algus resultats termeds só : = 1 X = 133 X = 145 Y = 3 Y = 156 = = 1 = 1 = 1 X = Y = s = s =.7 X Y = 1 X 400 Volem explcar la varabltat de Y e fucó dels valors de X Aplcat regressó leal, e R algus dels resultats que obtem só: Coeffcets: Estmate Std.Error t value Pr(> t (Itercept X (1 put Qua és la recta de regressó? Y = X Idqueu el càlcul dels coefcets dbuxeu la recta S XY =(400-((133*3//8 = -.11 b 1 = -.11 / (4.738 = b 0 =3.556 (-0.41* =.61 Y (1 put Cometeu el sgfcat dels coefcets de la recta: Ordeada a l oríge: a 0 hores de Facebook correspo ua putuacó de.61 Pedet (egatva: per cada hora més de coexó a Facebook la putuacó baxa e 0.41 puts (1 put Completeu la taula de descomposcó de la varabltat. Cometeu aquesta descomposcó què dca? Fot Varabltat SQ GdL DF QM Rat Explcada Resdual Total SQ Explcada = ( (4.738 = 30.1 SQ Total = 8 (.7 = 4.1 La varabltat total (4.1 queda explcada e boa part pel model (30.1 queda ua part resdual (1.0 (1 put Resoleu la prova d hpòtes per acceptar o o ua recta com a model: O bé prova de pedet zero (H 0 :β 1 =0, blateral: t-statstc = p-value = O bé prova global de F-statstc: o 1 ad 7 DF (p-value aprox Amb cofaça del 5% o podem acceptar que o h hag relacó leal o que la recta sgu plaa o de pedet 0. Per tat, ua recta de pedet ajusta a les dades. (1 put Calculeu el coefcet de determacó feu ua terpretacó global del model R-squared: 30.1 / 4.1 = 0.7 La varabltat explcada pel model és del 7%. Les hores coectades a Facebook explque u 7% de la varabltat de la putuacó Y segos ua recta de pedet -0.41

8 (1 put Feu l aàls de les premsses. No h ha greus problemes de falta de ormaltat (gràfc NormalQ-Q aleat Hstograma o lluy de campaa, de falta d depedèca (cap patró e els gràfcs de la dreta, de heterocedastctat (o zoes amb dferets varabltats e els gràfcs de la dreta. Per tat es pot assumr ormaltat, depedeca homocedastctat. (1 put Feu la prova d hpòtes adet per s es pot acceptar o o que el pedet de la recta és -0.5 H 0 : β 1 =-0.5 (blateral (b 1 (-0.5/S b1 = ((-0.41 (-0.5 / = 0.0 e t 7 Podem acceptar que el pedet és -0.5, és a dr que per cada hora més de coexó la putuacó baxa mg put perquè < 0.0 <.365 (t 0.75,7 =.365 (sese taules cal saber que e ua t el put crítc per o acceptar H 0 està al voltat de 0. és prou feror Ara cosderem la varable hores de coexó omés observada e 3 valors o categores: 10, 15 o 0 hores. Volem relacoar la matexa varable Y ateror amb la ova varable X_categores=(10,10,10,15,15,15,0,0,0. E R algus dels resultats que obtem só: Respose: Y Df Sum_Sq Mea_Sq F_value Pr(>F X_categores Resduals (1 put Completeu la taula de descomposcó de la varabltat. Cometeu aquesta descomposcó què dca? Fot Varabltat SQ GdL DF QM Rat Explcada Resdual Total 4.1 SQ Total = 4.1 calculat aterormet. SQResdual = = 17. La varabltat total (4.1 queda explcada ua part pel model (4. queda ua part resdual (17.. Respecte el model ateror de regressó amb X, la part explcada és feror la resdual superor. (1 put Resoleu la prova d hpòtes de s h ha relacó o o etre la putuacó Y X_categores Prova global (H 0 : µ 1 =µ =µ 3 de F-statstc: 4.04 o ad 6 DF, p-value: Amb rsc del 5% podem acceptar que o h ha relacó etre Y X_categores. Per tat, o podem demostrar/afrmar que h ha relacó etre Y X_categores. Per tat, les mtjaes de putuacó o les cosderem dferets etre les categores (1 put Calculeu el coefcet de determacó feu ua terpretacó global del model R-squared: 4. / 4.1 = 0.57 La varabltat explcada pel model és del 57%, el model de dferecar les mtjaes de Y segos les 3 categores o s ha pogut acceptar (el model d ua recta de pedet per explcar Y e fucó de X, o de X_categores, explcava fs u7%