ESTADÍSTICA TEÓRICA: CONTRATES DE HIPÓTESIS INTERVALOS DE CONFIANZA

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1 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez ESTADÍSTICA TEÓRICA: CONTRATES DE IPÓTESIS INTERVALOS DE CONFIANZA Estadístca Teórca: Cotrastes

2 Estadístca Teórca: Cotrastes

3 RELACIÓN: INTERVALOS CONFIANZA - CONTRASTE IPÓTESIS Itervalo de cofaza para la meda de ua dstrbucó ormal N(, ) de varaza coocda: error z z meda muestral muestral I ( ) z z z z pótess sobre la meda de ua poblacó co coocda : REGIÓN DE RECAZO : : R z / blateral (compuesta) : : R z ulateral (smple) : : z z R z ulateral (smple) Itervalo de cofaza para la meda de ua dstrbucó ormal N(, ) de varaza descoocda co muestras pequeñas 3 error meda muestral muestral () s s I ( ) t t, (), ( ) s t, () s t, () s t t,, () () s s t, () s pótess sobre la meda de ua poblacó co descoocda : REGIÓN DE RECAZO s : : R t / ; () blateral (compuesta) : : : : s R t ;() ulateral (smple) t ; t ; s R t ;() ulateral (smple) Estadístca Teórca: Cotrastes 3

4 Estadístca Teórca: Cotrastes 4 Itervalo de cofaza para la dfereca de medas ) ( de dos dstrbucoes ormales ), ( N, ), ( N co varazas poblacoales coocdas: muestral error muestral dfereca z y) ( ) ( I de dode, z ) ( y) ( z y) ( ) ( z y) (

5 Cotraste de gualdad de medas de dos poblacoes ormales co varazas coocdas: REGIÓN DE RECAZO : : : : : : k k k R ( y) z blateral R y k z / blateral R y k z ulateral R y k z ulateral R y z ulateral z z R y z ulateral CONTRASTE IPÓTESIS Cotraste de la meda de ua poblacó ormal N(, ) co varaza coocda: a) CONTRASTE BILATERAL o DE DOS COLAS pótess ula: : pótess alteratva: : Como la hpótess alteratva es e la decsó que hayamos de tomar deberá ser váldos los valores de mayores o meores que, por lo cual el cotraste debe ser blateral o de dos colas. S Regla de decsó S k k se acepta la hpótess ula se rechaza la hpótess ula (Regó Aceptacó) (Regó Rechazo) De otra parte, e la dstrbucó del muestreo N,, co lo que la varable N,, que bajo la hpótess ula es N(, ). Estadístca Teórca: Cotrastes

6 Estadístca Teórca: Cotrastes 6 El valor crítco k se calcula medate el error de sgfcacó : K P, N k / P certa es / Rechazar P K P K P K K P ) N(, smetría La regó crítca será z R z E otras palabras, Se acepta s z Se rechaza s z b) CONTRASTE UNILATERAL o DE UNA COLA pótess ula: : pótess alteratva: : Como la hpótess alteratva es e la decsó que hayamos de tomar solo so váldos los valores de mayores que, por lo cual el cotraste debe ser ulateral o de ua cola. Regla de decsó (Regó Rechazo) ula se rechaza la hpótess k S Aceptacó) (Regó ula acepta la hpótess se k S De otra parte, e la dstrbucó del muestreo, N Bajo la hpótess ula:, N Bajo la hpótess alteratva:, N

7 Para hallar el valor crítco K recurrmos al Error Tpo I: P ET I P Rechazar / es certa P k / N, P K La regó crítca será z R z E otras palabras, Se acepta s z Se rechaza s z Cotraste de gualdad de medas de dos poblacoes ormales co varazas coocdas a) CONTRASTE BILATERAL o DE DOS COLAS pótess ula: : pótess alteratva: : S La regla de decsó será: S y y k k o se rechaza se rechaza (RC) (RA) La regó crítca de dos colas y k es fucó de la dfereca de las medas muestrales. E esta líea, las dstrbucoes e el muestreo de las medas so: N,, y N,, co lo cual, la dfereca de medas muestrales, bajo la hpótess ula :, se dstrbuye: y N, El valor crítco k se determa medate el error tpo I: (ET I) P (Re chazar certa) P y k / : P Estadístca Teórca: Cotrastes 7

8 Estadístca Teórca: Cotrastes 8 K ) ( ) ( y) ( P K ) ( ) ( y K ) ( ) ( y P K ) ( ) ( y P K ) ( ) ( y P (smetría) La regó crítca es z ) ( ) ( y z y) ( R E otras palabras, se acepta la hpótess ula s: teórco o estadístc observado o estadístc z ) ( ) ( y se rechaza la hpótess ula s: teórco o estadístc observado o estadístc z ) ( ) ( y b) CONTRASTE UNILATERAL o DE UNA COLA pótess ula: o K : pótess alteratva: o K : La regla de decsó será: (RC) se rechaza k y) ( S (RA) se rechaza o k y) ( S La regó crítca de ua cola k y) ( es fucó de la dfereca de las medas muestrales. E esta líea, las dstrbucoes e el muestreo de las medas so:, N,, N y, co lo cual, la dfereca de medas muestrales, ), ( N y, bajo la hpótess ula o K :, o, K N y

9 Estadístca Teórca: Cotrastes 9 El valor crítco K se determa medate el vel de sgfcacó : o K : k / y) ( P certa) P (Rechazar I) P (ET ) ( ) ( K k z P ) ( ) ( K k ) ( ) ( K y) ( P o o o co lo cual, el valor crítco se despeja z ) ( ) ( K k o. Comprobado después s se verfca o o la evdeca empírca k y) ( De otra parte, la regó crítca z ) ( ) ( K y) ( o por tato, la regó de rechazo: ) ( ) ( z K y) ( R o

10 CÁLCULO DEL ERROR TIPO I, DEL TIPO II Y POTENCIA, DADAS LAS IPÓTESIS SIMPLES probabldad de rechazar la hpótess ula probabldad de aceptar la hpótess ula probabldad de rechazar la hpótess ula sedo certa (Error Tpo I) sedo falsa (Error Tpo II) sedo falsa (Poteca Cotraste) Los errores está relacoados, al dsmur el uo aumeta el otro: P(Error Tpo I) Rechazar sempre P(Error Tpo II) P(Error Tpo II) Rechazar sempre P(Error Tpo I) U cotraste debería buscar smultáeamete el vel de sgfcacó más bajo posble y la poteca más alta posble. Fjado el vel de sgfcacó, se determa la regó de rechazo cuya poteca es mayor etre todos los cotrastes cuyo tamaño sea el fjado a pror. La úca posbldad para cosegur que u cotraste mejore su poteca, s aumetar el vel de sgfcacó, es cremetar el tamaño de la muestra. Al aumetar el tamaño de la muestra, varía la ley de dstrbucó del estadístco de cotraste, y geeralmete dsmuye la varaza. Geeralmete, las propedades del cotraste mejora. Ates de la uversalzacó del ordeador se utlzaba como más represetatvos los valores del %, %, y %. La metodología más razoable es tomar u vel de sgfcacó de acuerdo co la epereca y después obteer el llamado p-valor. Estadístca Teórca: Cotrastes

11 p valor vel de sgfcacó el que todavía se rechazaría la hpótess ula S S más pequeño posble que se puede escoger, para p valor p valor Se acepta Se rechaza co la muestra actual. El p-valor es el meor que permte aceptar la hpótess alteratva. El p-valor tee la vetaja de permtr que se decda que hpótess se acepta, esto o es posble cuado se dca sólo el resultado del cotraste (s se acepta o se rechaza co u fjo. E otras palabras, los CRITERIOS GENERALES para los CONTRASTES: Calcular ua catdad epermetal Calcular ua catdad teórca Q ep a partr de los datos Q a partr de las tablas S Q ep Se acepta S Q ep Q Se rechaza Q EL NIVEL MÍNIMO DE SIGNIFICACIÓN (P-valor) es el error de la prmera regó crítca de rechazo. Es decr, el área que deja a la derecha la catdad epermetal Q ep Estadístca Teórca: Cotrastes

12 CÁLCULO DEL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN. POTENCIA DEL CONTRASTE.. - La edcó de u lbro se cosdera buea s el úmero medo de erratas por pága o supera el, ( ). Dadas las pruebas de mpreta, se elge págas al azar, y se rechaza las pruebas s se observa ó más erratas. Se supoe que el úmero de erratas por pága sgue ua dstrbucó de Posso. Qué vel de sgfcacó tee el cotraste? Co qué probabldad se aceptara u lbro s realmete tee ua meda de, erratas por pága? Solucó: Se tee ua muestra aleatora ( X, X,, X), de tamaño, dode X = úmero de erratas por pága, co X P( ). Nos teresa el úmero medo de erratas por pága E(X). E(Número erratas por pága) La regó de rechazo de la hpótess ula: R El vel de sgfcacó: Número total de erratas e dez págas X P X :, Cosderado que se verfca la hpótess ula ( :, ), teemos que X P(., ), co lo cual: P X P X P ( X ) P ( X,3679,3679, 64 ) Por otra parte, u lbro que tee geeralmete ua meda de, erratas por pága, es u lbro para el que,, co lo que X P(., ), por tato la probabldad de aceptar u lbro e estas codcoes es: P X P ( X ) P ( X ),33,77, 46 Estadístca Teórca: Cotrastes

13 CÁLCULO DEL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN. POTENCIA DEL CONTRASTE..- E ua pscfactoría se desea cotrastar la hpótess ula de que el porcetaje de peces adultos que mde meos de cm es, como mámo, del %. Para ello, se toma ua muestra de 7 peces, rechazado la hpótess ula s se ecuetra más de u pez co logtud feror a cm. Se pde:. Nvel de sgfcacó del cotraste.. Calcular la poteca del cotraste s e realdad hay u % de peces que mde meos de cm. Solucó: ) Sea el parámetro p = Proporcó de peces adultos que mde meos de cm, e ua muestra aleatora ( X, X,, X7), co X B(, p) La regó de rechazo de la hpótess ula: R Número de peces co logtud f eror a cm, etre 7 Cosderado que se verfca la hpótess ula ( : p, ), teemos que la muestra sgue ua dstrbucó bomal B( 7, p,), co que el vel de sgfcacó: P B( 7, p,) PB( 7, p,) PB( 7, p,) PB( 7, p,), 4783,37, 497 ) Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa) La poteca del cotraste, cuado p, bomal B( 7, p,), vee dada por: Po, dode la muestra sgue ua dstrbucó PB( 7, p,) PB( 7, p,) PB( 7, p,) PB( 7, p,),97,367, 433 Estadístca Teórca: Cotrastes 3

14 CÁLCULO DEL ERROR TIPO I, DEL TIPO II Y POTENCIA. 3.- Sea ua varable aleatora X procedete de ua poblacó co desdad de probabldad N(, ). Efectuadas dos hpótess sobre el valor de : : medate u muestreo aleatoro smple de tamaño, se cotrasta la hpótess respecto de la hpótess, establecédose que s la meda muestral es meor que 4 se aceptaría la hpótess ula. Determar: a) La probabldad de cometer el error tpo I b) La probabldad de cometer el error tpo II c) La poteca del cotraste Solucó: Sea la varable aleatora X N(, ) Las hpótess sobre la meda poblacoal (cotraste ulateral): : : Regla de decsó 4 4 se acepta o se acepta regó aceptacó (R.A.) regó crítca (R.C.) La dstrbucó de la meda muestral, de tamaño, co la varaza poblacoal coocda: : : N( N(,, ) ) N(, N(, ) ) N(, ) N(, ) a) Error Tpo I: (ET I) P(Rechazar / certa) P 4 P(ET I) P( 4 : ) P(z ) P(z ),8 se rechaza cuado es certa el,8% de los casos Estadístca Teórca: Cotrastes 4

15 b) Error Tpo II: (ET II) P (Aceptar / falsa) P 4 P(ET II) P( 4 : ) P(z ) P(z ) P(z ),87 se acepta cuado es falsa el,87% de los casos c) Poteca del Cotraste: Poteca P (Rechazar falsa) P(Rechazar falsa),87,843 se rechaza cuado es falsa el 84,3% de los casos Resaltar que es más grave cometer u Error Tpo I () que u Error Tpo II (). Estadístca Teórca: Cotrastes

16 4.- Las latas de mejlloes de ua determada marca dca que el peso escurrdo de dcho producto es de gr. No obstate, u cosumdor está covecdo de que el peso escurrdo medo de dcho producto es meor que el que dca las latas. S el peso escurrdo sgue ua ley ormal co desvacó típca 9 gr. a) Determar, s este, la mejor regó crítca para cotrastar la mejor regó crítca, co u vel de sgfcacó del % y muestras aleatoras smples de tamaño. b) Tomar ua decsó acerca del rechazo o o de la hpótess ula a partr de ua muestra aleatora smple de tamaño e la cual se ha observado u peso escurrdo promedo de 4 gr. c) Determar la fucó de poteca del cotraste. Solucó: a) Sea la varable aleatora X = "peso escurrdo de las latas de mejlloes" Se trata de u cotraste ulateral: : : La regla de decsó del muestreo: k k se acepta se rechaza (R.A.) (R.C.) La varable aleatora X e el muestreo, bajo la hpótess ula, sgue ua dstrbucó 9 N, El valor crítco k, bajo la hpótess ula, se determa co el vel de sgfcacó : P (ET I) P (Rechazar /,9 certa) P ( k / P k,9 certa) k,9 k / N(;,9) P P z, observado las tablas de la N(,), y cosderado que z z, se tee: k,9,96 k 48, La regó crítca más potete, para muestras de tamaño, es 48, Estadístca Teórca: Cotrastes 6

17 b) Dado que 4 48,, el peso escurrdo promedo se ecuetra e la regó de rechazo de la hpótess ula. c) La fucó poteca del cotraste se establece como: P ( ) P ( 9 48,) P k / N( ; ) P,9 48, P z,9 48,,9 Estadístca Teórca: Cotrastes 7

18 .- Sea ua varable aleatora X procedete de ua poblacó co desdad de probabldad N(, 4). Se quere cotrastar la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva :, co u vel de sgfcacó,, co u muestreo smple de tamaño. Determar: a) La probabldad de cometer el error tpo II b) La poteca del cotraste Solucó: Sea la varable aleatora X N(, 4) Las hpótess sobre la meda poblacoal (cotraste ulateral): : : Regla de decsó k k se acepta o se acepta regó aceptacó (R.A.) regó crítca (R.C.) La dstrbucó de la meda muestral, de tamaño, co la varaza poblacoal 6 coocda: : : N( N(,, ) ) N(, N(, 4 ) 4 ) N(;,8) N(;,8) a) Para hallar el valor crítco 'k' recurrmos al Error Tpo I: P (ET I) P (Rechazar / certa), P (ET I) P( k : k,8 ) k P (z ),,8,64 K,36 Estadístca Teórca: Cotrastes 8

19 Error Tpo II: (ET II) P (Aceptar / falsa) P P (ET II) P(,36 :,36 ) P (z ) P (z,8 P (z,8),963,8) b) Poteca del Cotraste: Poteca P (Rechazar falsa) P (Rechazar falsa),963, 837 Estadístca Teórca: Cotrastes 9

20 6.- U agrcultor sabe que el peso e kg. de las patatas sgue ua dstrbucó N(,). Ua muestra de patatas do u peso medo de 33 gramos. Co la muestra se realzó u cotraste, co u vel de sgfcacó del % y ua poteca de,646, e el que la hpótess ula era, 4 Kg y la alteratva, 3 Kg. Se pde: a) Cuál es el tamaño de la muestra utlzada por el agrcultor?. b) Qué hpótess fue aceptada Solucó: a) Sea la varable aleatora X = 'peso e kg. de las patatas". X N( ;) pótess sobre : : :,4,3 Regla de decsó: S S k k R.A : Acepto R.C : Rechazo La dstrbucó de la meda muestral, bajo la hpótess ula, sgue ua ley A partr del vel de sgfcacó, se tee: N,4; P (Rechazar certa) P( k certa) P( k,4),4 k,4 N(;) k,4 P,, 64 Por otro lado, como la poteca del cotraste es,646: Poteca P (Rechazar falsa) P (Rechazar certa) La meda muestral, bajo la hpótess alteratva, sgue ua ley N,3;, co lo cual,,3 k,3 Poteca P k,3 P z,394 N(;) k,3,36 Estadístca Teórca: Cotrastes

21 Resolvedo el sstema:,64 k,4,36 k,3, 4 Co el tamaño muestral 4, es decr, el tamaño de la muestra de patatas utlzada por el agrcultor es de 4 patatas. k,4 Se determa el valor crítco k:,64 k, 38 4 b) La regó crítca es de la forma, 38, lo que sgfca que se rechazará la hpótess ula cuado el peso medo de la muestra de patatas sea gual o feror a 38 gramos. E cosecueca, se acepta la hpótess ula de que el peso medo de las patatas es de 4 gramos. Estadístca Teórca: Cotrastes

22 CONTRASTE UNILATERAL DE LA PROPORCIÓN. IPÓTESIS SIMPLES. 7.- U laboratoro farmacéutco quere lazar u uevo medcameto para la hpertesó, llamado potesl. El drector de dcho laboratoro cree que la efcaca del medcameto sería de u 9%, medda ésta como la proporcó de pacetes a los que se les sumstra y que epermeta ua mejoría. S embargo, el spector de sadad del Mstero o es ta optmsta y opa que la efcaca es sólo del 8%. Para aalzar la efcaca del medcameto ates de su comercalzacó, se seleccoa ua muestra aleatora de pacetes, a los que se les admstra potesl, de los cuales mejora 467. Tee razó el drector del laboratoro?. Supoga u vel de sgfcacó del %. Solucó: Sea la varable aleatora X = efcaca potesl B(, p) Las hpótess sobre la proporcó (cotraste ulateral): : : p p,9,8 pˆ k Regla de decsó para el valor crítco k pˆ k No se rechaza Se rechaza (R.C.) (R.A.) T.C.L. p.q La dstrbucó e el muestreo del estadístco pˆ N p,, e cosecueca:,9., Bajo la hpótess : pˆ N,9; N(, 9;, 974),8., Bajo la hpótess : pˆ N,8; N(,8;, 97) Se determa el valor crítco k a partr del vel de sgfcacó : Estadístca Teórca: Cotrastes

23 P(ET I) P(Re chazar certa) P(pˆ k) P(z P(z Observado e las tablas de la ormal N (; ), resulta:,9 k ), 974 k,9 ), 974,,,9 k, 974,64 k,9 (,974., 64), 9339 Comparado el valor crítco k, 9339 co el valor del estadístco muestral pˆ 467 (evdeca empírca), pˆ, 934, se tee: pˆ,934, 9339, por lo que o este evdeca empírca sufcete para rechazar la hpótess. Es decr, se acepta la hpótess cocluyedo que el potesl es efcaz e u 9% de los casos. Estadístca Teórca: Cotrastes 3

24 8.- Se trata de determar s e ua cudad el % o el 3% de las famlas dspoe de lavavajllas; para dlucdarlo se toma al azar ua muestra de 4 famlas de la mecoada cudad y se adopta el crtero de s e la muestra hay meos de famlas co lavavajllas, se rechaza que el % de las famlas posee el mecoado electrodoméstco. Se pde: a) Nvel de sgfcacó del test. b) Poteca del test. Solucó: a) Sea el parámetro p = "proporcó de famlas co lavavajllas" Al realzar u cotraste sobre ua proporcó, partmos de ua muestra aleatora ( X, X,, X ) de tamaño 4, dode X B(; p). Para calcular la probabldad teresa coocer la dstrbucó del parámetro muestral pˆ dode s la famla tee lavavajllas s la famla o tee lavavajllas Al ser el tamaño sufcetemete grade (N = 4) y estar defdo pˆ como suma de varables depedetes segú ua dstrbucó de Beroull B (; p), se puede apromar la dstrbucó muestral de pˆ como : pˆ T.C.L. N p, p.q E el cotraste: La hpótess ula : p, y la hpótess alteratva : p, 3 Por el lema de Neyma-Pearso, la regla de decsó del muestreo ( pˆ, ): 4 pˆ, pˆ, se acepta se rechaza (R.A.) (R.C.),.,8 Co la hpótess ula : p, : pˆ N,, N(,;,) 4 El vel de sgfcacó, bajo la hpótess ula, se determa, medate el valor crítco k =,: Estadístca Teórca: Cotrastes 4

25 P (ET I) P (Rechazar / certa) P (pˆ, / P pˆ,,, pˆ, / N(,;,) P P z,, 6,, certa) b) Poteca del Cotraste: Poteca P (Rechazar falsa) Error Tpo II: (ET II) P (Aceptar / falsa) P,3.,7 Co la hpótess alteratva : p, 3 : pˆ N,3, N(,3;,9) 4 pˆ,3,,3 pˆ, / N(,3;,9) P P z, P (ET II) P 8,9,9 P z,8, 44 E cosecueca, Pot P (Rechazar falsa), 44, 986 Estadístca Teórca: Cotrastes

26 CONTRASTE UNILATERAL DE LA VARIANZA CON MEDIA POBLACIONAL CONOCIDA. 9.- Las especfcacoes de u tpo de báscula asegura que los errores de los pesajes sgue ua dstrbucó N(, ). Se quere cotrastar la afrmacó sobre la dspersó que es gual a la udad, frete a ua hpótess alteratva de que es el doble. Para ello se realza pesajes e las que el error cometdo resultó ser:,9 -,,4 -,7 Para u vel de sgfcacó del % se pde eucar ua regla de decsó (obteer la regó crítca) e dcar que hpótess resulta aceptada. Solucó: Sea la varable aleatora X = Errores e el peso XN(, ) pótess sobre : : : 4 S Regla de decsó: S k k R.C : Re chazo R.A : Acepto Por el Lema de Fsher: ( ) s co lo cual, 4. La determacó del valor crítco k a partr de (Error Tpo I): P (Rechazar certa) P( k certa) P( k ) 4 Tablas Pearso P k P( k), k 9, 488 k, Comparamos el valor crítco ( k,898) co la evdeca muestral, sedo:,9 -,,4 -,7, 48,8,4,96,49, 86 ( ) ( ), 696 Estadístca Teórca: Cotrastes 6

27 Como O,696, 898 os stuamos e la regó de aceptacó (R.A), o pudedo rechazar la hpótess de que la dspersó sea, co u vel de cofaza del 9%. II Método Regla de decsó S S ( ) ( ) k k se rechaza se acepta (R.C.) (R.A.) Para calcular el valor de la costate k, determado la regó crítca de forma óptma, se parte del vel de sgfcacó : P (Rechazar / certa) P ( ) k / certa El estadístco ( ) e el muestreo, bajo la hpótess ula, dode las varables aleatoras depedetes N(, ). E cosecueca, Recuerda que X X X N(, ) depedetes etre s A partr del vel de sgfcacó (Error Tpo I): sgue ua N(,) varables aleatoras k P(Rechazar / certa) P / certa P k, ;,7 El valor muestral del estadístco ( ) 4, 3 ( ) verfca que k, 4,3,7 k, lo que coduce a o rechazar la hpótess ula de que la poblacó sgue ua N (, ), advrtedo que se halla e la regó de aceptacó. Estadístca Teórca: Cotrastes 7

28 CONTRASTE UNILATERAL DE LA VARIANZA CON LA MEDIA POBLACIONAL CONOCIDA. POTENCIA DEL CONTRASTE..- E ua poblacó N(, ) se quere cotrastar la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva : 3, co u vel de sgfcacó,, co ua muestra aleatora smple de tamaño :, 6, 4,8,9,6 3,7 3,4,, allar la poteca del cotraste. Solucó: pótess sobre : : : 3 Regla de decsó S S ( ) ( ) k k se rechaza se acepta (R.C.) (R.A.) Para calcular el valor de la costate k, determado la regó crítca de forma óptma, se parte del vel de sgfcacó : P (Rechazar / certa) P ( ) k / certa El estadístco ( ) e el muestreo, bajo la hpótess ula, dode las varables aleatoras depedetes sgue ua ley N (, ). E cosecueca, sgue ua N (,). Por tato, (Recuerda que etre s) X X X varables aleatoras N(, ) depedetes A partr del vel de sgfcacó (Error Tpo I), calculamos el valor crítco k: k k P (Rechazar / certa) P P, Estadístca Teórca: Cotrastes 8

29 k,;, 483 k 4,966 ( Por otra parte, el valor muestral del estadístco ), 6 Sedo ( ),6 poblacó sgue ua N (, ). 4,966 k o se rechaza la hpótess ula de que la La poteca del cotraste: Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa) 3,6, 67 k 4,966 P / certa P P 3 4,86 Abscsas,987 3,66,987,9 Áreas,,,,3.,8,,67 II Método pótess sobre : : : 3 S Regla de decsó: S k k R.C : Re chazo R.A : Acepto Por el Lema de Fsher: ( ) s co lo cual,. E el muestreo, bajo la hpótess ula, co tamaño muestral, se tee:.. 9 La determacó del valor crítco k a partr de (Error Tpo I): P (Rechazar certa) P( k certa) P( k ) Estadístca Teórca: Cotrastes 9

30 . 9 Tablas Pearso P k P( k), k 9, 3 k 3, Comparamos el valor crítco ( k 3, 846) co la evdeca muestral, 4 Como,4 3, 846 os stuamos e la regó de aceptacó (R.A), aceptado la hpótess de que la varaza es, co u vel de cofaza del 97,%. De otra parte, la poteca del cotraste será: Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa) E el muestreo, bajo la hpótess alteratva 3, co tamaño muestral, se tee: Poteca P 9 3,846 / certa P,68, 9 Abscsas Áreas 4,68,68 4,684 4,684,9,,,,.,8,6, Estadístca Teórca: Cotrastes 3

31 CONTRASTE UNILATERAL DE LA VARIANZA CON MEDIA POBLACIONAL DESCONOCIDA. POTENCIA DEL CONTRASTE..- E ua poblacó co dstrbucó N(, ), co u vel de sgfcacó del %, para cotrastar la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva : 36, se toma ua muestra aleatora de tamaño 6, co varaza gual a 7. allar la poteca del cotraste. Solucó: pótess smple sobre : : : 36 Regla de decsó S S 6 6 ( ) ( ) k k se rechaza se acepta (R.C.) (R.A.) Por el Lema de Fsher-Cochra: ( ).s ( ) ( ) bajo la hpótess ula, se tee: 6 ( ) Para calcular el valor de la costate k, determado la regó crítca de forma óptma, se parte del vel de sgfcacó : 6 P (Rechazar / certa) P ( ) k / certa 6 ( ) k k P(Rechazar / certa) P / certa P, k,; 7, 488 k 687, 6 ( ) 6 Por otra parte, el valor muestral 7 ( ) 43 6 Estadístca Teórca: Cotrastes 3

32 Sedo , coduce a o rechazar la hpótess ula de que la poblacó sgue ua N(,), advrtedo que se halla e la regó de aceptacó. La poteca del cotraste: Poteca P(Rechazar / falsa) P(Rechazar / certa) P 6 ( ) k / certa P 687, 36 P 9,9, 87 Áreas,9,, Abscsas 8,47,37 9,9,37, 3,7.,8 3,76,87 II Método pótess sobre : : : 36 S Regla de decsó: S k k R.C : Re chazo R.A : Acepto Por el Lema de Fsher: ( ) s co lo cual,. E el muestreo, bajo la hpótess ula, co tamaño muestral 6, se tee:.. 6 La determacó del valor crítco k a partr de (Error Tpo I): P (Rechazar certa) P( k certa) P( k ). 6 Pearso 6 P k P ( k), 6 k 3,78 k 47, 778 Comparamos el valor crítco ( k 47, 778) co la evdeca muestral 7 Como 7 47, 778 os stuamos e la regó de aceptacó (R.A), aceptado la hpótess de que la varaza es, co u vel de cofaza del 99%. Estadístca Teórca: Cotrastes 3

33 De otra parte, la poteca del cotraste será: Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa) E el muestreo, bajo la hpótess alteratva 36, co tamaño muestral 6, se tee: Poteca P 6 47,778 / certa P,3, 6 Abscsas Áreas 8,47,3,37,37,9,,,,7.,8 3,76,6 Estadístca Teórca: Cotrastes 33

34 CONTRASTE UNILATERAL DE LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN CON MEDIA POBLACIONAL CONOCIDA Y DESCONOCIDA. POTENCIA DEL CONTRASTE..- El retraso de saldas de vuelos sgue u ormal N(, ). Los resposables de u aeropuerto afrma que el retraso medo es de 3 mutos co ua desvacó típca de mutos. A pesar de ello, ua orgazacó de cosumdores mafesta que se muestra de acuerdo de que los retrasos sgue ua ley ormal co meda 3 mutos, pero que la desvacó típca es de mutos. Se pde:. Cotrastar co u vel de sgfcacó del %, la hpótess ula : mutos frete a la alteratva : mutos, a partr de ua muestra aleatora smple de vuelos cuyos retrasos se adjuta: 3,3 36,4 3, 38,9 39,3 38,4, 36,4 9,3 39, 43,4 3, 37,4 4,6 4,. Calcular la poteca del cotraste ateror. 3. Camba la decsó tomada e el apartado () s el retraso medo hubera sdo descoocdo? Solucó:. pótess sobre : : : Las hpótess ula y alteratva so smples, co meda poblacoal coocda. El lema de Neyma-Pearso coduce a la regla de decsó: Regla de decsó S S ( ) ( ) k k se rechaza se acepta (R.C.) (R.A.) Para calcular el valor de la costate k, determado la regó crítca de forma óptma, se parte del vel de sgfcacó : P(Rechazar / certa) P ( ) k / : certa El estadístco ( ) e el muestreo, bajo la hpótess ula, dode las varables aleatoras depedetes sgue ua ley N (3,). Estadístca Teórca: Cotrastes 34

35 E cosecueca, 3 sgue ua N (,). Por tato, A partr del vel de sgfcacó (Error Tpo I): 3 k k P(Rechazar / certa) P / certa P, k,; 4,996 k 64,9 ( Por otra parte, el valor muestral del estadístco 3) 393, Sedo ( 3) 393, medo de la salda de los vuelos o sgue ua N (3,). 64,9 k se rechaza la hpótess ula, el retraso Advértase que la regó de rechazo de la hpótess ula: R ( ) ; ( 3) e este caso, R,7, ; 4, 996 la regó de rechazo se verfca, co lo que o se acepta la hpótess ula, esto es, el retraso medo de salda de los vuelos o sgue ua ley ormal N (3,).. La poteca del cotraste: Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar : certa),777 k 64,9 P / certa P P 3. Como se descooce el valor de la meda poblacoal las hpótess so compuestas, o pudédose aplcar el lema de Neyma-Pearso. E cosecueca, para obteer la regó crítca es ecesaro utlzar el test de razó de verosmltud, que coduce a la regla de decsó: Estadístca Teórca: Cotrastes 3

36 S Regla de decsó S Por el Lema de Fsher-Cochra ( ) ( ) k se rechaza k se acepta, bajo la hpótess ula: (R.C.) (R.A.) ( ) 4 Para calcular el valor de la costate k, determado la regó crítca de forma óptma, se parte del vel de sgfcacó : P(Rechazar / certa) P ( ) k / : P ( ) k P 4 k, k 3, 68 k 9, ( ) De otro lado, el valor muestral 8,64 ( ) 43, 396 Sedo ( ) 43,396 9, k o se rechaza la hpótess ula, por tato, se camba la decsó que se tomó e el apartado (). Advértase que la regó de rechazo de la hpótess ula: ( ) R ; (), ( ) e este caso, R 6,94, ; 4 3, 68 la regó de rechazo o se verfca, co lo que se acepta la hpótess ula, esto es, el retraso medo de salda de los vuelos sgue ua ley ormal N (3,). Estadístca Teórca: Cotrastes 36

37 CONTRASTE UNILATERAL DE LA MEDIA CON VARIANZA DESCONOCIDA. CALCULAR Y REPRESENTAR LA FUNCIÓN DE POTENCIA. 3.- El drectoro de uo de los grades operadores de Iteret está cosderado la posbldad de ofrecer tarfa plaa a sus cletes. Segú sus coocmetos sobre el tema, sabe que está trabajado co ua varable aleatora que se dstrbuye como ua ormal. Matee la hpótess de que los hogares que tee Iteret se coecta co ua meda de horas mesuales. No obstate, este otros estudos que sostee que el tempo de coeó es más alto. Para evaluar, a u % de sgfcacó, dcha hpótess, el drectoro decde ecuestar a ua muestra aleatora de 3 hogares, obteedo ua meda de,34 horas de coeó, co ua dspersó de 7,4 horas. a) Formular el cotraste a realzar. b) Determar la mejor regó crítca del cotraste. c) Se puede rechazar la hpótess ula? d) Calcular y represetar la fucó de poteca. Qué represeta la fucó de poteca?. Para facltar los cálculos, supoer que el tamaño muestral es 3 hogares. Solucó: Sea la varable aleatora X = coeó a Iteret por hogares X N(, ) a) Las hpótess sobre la meda poblacoal co descoocda: : pótess sobre : : Se trata de u cotraste ulateral, sedo compuesta. b) Regla de decsó: S S k k R.C : Re chazo R.A : Acepto E el muestreo de ua poblacó ormal co varaza descoocda, y desvacó típca muestral, la varable: t t c) Determacó de k a partr del vel de sgfcacó : P (Rechazar certa) P( k certa) P( k 7,4 P t k P t3 k P t9 3 ) (k ). 9 7,4, Estadístca Teórca: Cotrastes 37

38 E las tablas de la t de Studet: t, ; 9, 3, co lo cual, (k ). 7,4 9,3 k,3.7,4 9 6,76 Comparado k co el valor del estadístco muestral, 34 El valor,34 6, 76, o pudedo rechazar, por lo que tee razó el Drectvo, el tempo medo de coeó es de horas. Alteratvamete, co el estadístco de cotraste (valor epermetal), la regó de rechazo R vee dada por la epresó: s R t ;() t ;() t, ;9 7,4 R,34,3,34,763, o cumplédose la regó de 9 rechazo, o este evdeca sgfcatva de rechazar la hpótess co u vel de cofaza del 9%. Ua forma aáloga de efocar el problema cosstría e aceptar la hpótess cuado el estadístco epermetal fuera meor o gual que el estadístco teórco, es decr: estadístc o epermetal estadístc o teórco Se acepta cuado se verfca: t t;,34 E este caso, t9,37,3 t, ; 9, se acepta la hpótess 7,4 9 d) Poteca ) P(Rechazar falsa) ( La hpótess es compuesta (este ftos valores tal que > ), se costruye ua fucó, es decr: : Dsttos valores Regó Decsó P(ET II) P (Rechazar certa) P (Aceptar falsa) P( k ) Estadístca Teórca: Cotrastes 38

39 E el muestreo de ua poblacó ormal co varaza descoocda, y desvacó típca muestral, la varable: ( ) t, sedo la muestra 3, la dstrbucó se aproma a ua N(, ) P( k ) P t k P t (6,76 ). P z, e cosecueca: (k ). k 6, 76 3 :, P z (6,76 ). P z (6,76,). 7,4 99 P z 3, 9986 : 6 (6,76 6). P z 7,4 : 7 (6,76 7). P z 7,4 : 8 (6,76 8). P z 7, P P P z,8, 966 z,7, 843 z,96, 4 :,,9986,4 6,966,34 7,843,77 8,,998 A medda que se aleja las hpótess y aumeta la poteca del cotraste. Es decr, cuato más alejadas se ecuetre las hpótess para cotrastar, mayor será la probabldad de que se rechace cuado sea falsa, algo deseable (costate y k). Estadístca Teórca: Cotrastes 39

40 4.- El propetaro de u automóvl sospecha que su vehículo tee u cosumo medo de combustble e carretera superor a los,6 ltros / Km., que es lo que el fabrcate dca e su publcdad. Para apoyar empírcamete su sospecha observa el cosumo medo e vajes seleccoados aleatoramete etre todos los que realza e el año, obteedo los sguetes resultados: 6, 6,, 6,9,,8,3 6,,9 6,3 Se pde: a) Está fudadas las sospechas del propetaro a u vel de sgfcacó del %? b) E cuátas ocasoes debería observarse el cosumo medo para que co u vel de cofaza del 99% se detectase u cosumo medo de,9 ltros/ km.? Solucó: a) Supoemos que el cosumo medo del automóvl sgue ua dstrbucó ormal N(, ), ambos parámetros descoocdos, y metras el fabrcate afrma que :,6 el propetaro del vehículo cree que :, 6. Se trata, pues, de u cotraste ulateral, dode es compuesta. Regla de decsó: S S k k R.A : Acepto R.C : Rechazo E el muestreo de ua poblacó ormal co varaza descoocda, desvacó típca muestral ( ), cuasdesvacó típca ( s ), la varable: t s Bajo la hpótess ula, co los datos muestrales (, 844, s, 46 ), el,46 muestreo sgue ua dstrbucó t,6; t (,6;,39) El valor crítco k, bajo la hpótess ula, se calcula a partr del vel de sgfcacó : P (Rechazar certa) P( k certa) P( k,6),6 k,6 k,6 k,6 P P t,,764,39,39,39,39 de dode, k, 984. Sedo,844, 984 o se puede rechazar la hpótess ula, co lo que se acepta las afrmacoes del fabrcate sobre el cosumo medo del automóvl. b) E esta ocasó se platea la cuestó P( k /,9 ) Estadístca Teórca: Cotrastes 4

41 ,9 Dode el tamaño muestral es descoocdo, y dode el estadístco t s sgue u t-studet co grados de lbertad. o Por tato, recurrmos a la sguete estratega: P (,6,9,3 k /,9) P,764 /,9 P, 764 s s,9 P s s,3,764,9 P s,764,3 s,99,9,3 o be, P,764, s s Nos ecotramos e u puto dode o se puede utlzar las tablas de la t-sudet porque o coocemos el tamaño de la muestra. Para ello, supoemos que el tamaño es sufcetemete grade para que pueda ser aceptable la apromacó de la t medate la dstrbucó ormal. Co la apromacó ormal, y co la smetría de la N(, ): P z,764,3 s,,764 s,3,37 s,3,9 (,9).s, 3 Otra vez e u callejó s salda, aú es ecesaro coocer la cuasdesvacó típca de ua muestra s saber su tamaño. Podemos dar ua salda, supoedo que la cuasdesvacó típca de esta ueva muestra es gual a la obteda e la muestra ateror s, 46. E este caso, (,9).(,46),3 6, Para mayor segurdad e el logro de uestro objetvo, redodeamos co el etero medato superor, esto es, el tamaño de la muestra es 6. Estadístca Teórca: Cotrastes 4

42 CONTRASTE UNILATERAL DE LA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA..- El úmero de averías de u determado tpo de avó se cosdera ua varable aleatora co dstrbucó de Posso de meda averías al mes. El equpo de matemeto teta reducr esta meda corporado alguas mejoras. Para comprobar s co estas meddas se reduce el úmero medo de averías, se decde observar el úmero medo de averías e los meses sguetes a la troduccó de las mejoras. S el úmero medo de averías e esos meses fue de,. Qué decsó debe adoptar el servco técco a u vel de sgfcacó del %?. Y s el servco técco relaja su vel de egeca al 8% de cofaza?. Cambaría su decsó?. Solucó: Sea la varable aleatora X = Número de averías al mes X P( ) N(, ) E la muestra de tamaño meses ˆ, averías. La dstrbucó e el muestreo, bajo la hpótess ula, N, N, Es u cotraste ulateral, dode se platea las hpótess: : :, (compuesta) dode la regla de decsó, este k S S k k o se rechaza se rechaza (RA) (RC) Se determa el valor de k cosderado el vel de sgfcacó : P(Re chazar k P z / certa) P( k / k, / :,3 z ) P z, k / k,34, Se adverte que (,, 34 ), cae e la regó de aceptacó, co lo cual se acepta la hpótess ula, esto es, co u vel de sgfcacó del % se afrma que las averías mesuales se matee sedo, y e cosecueca, las mejorías o so operatvas. k S, se replatea los cálculos:,4 z, k, 7 / Como,7, 34, cae e la regó de rechazo, co lo que o se acepta la hpótess ula, y se cocluye que las mejoras so operatvas. Estadístca Teórca: Cotrastes 4

43 CONTRASTE UNILATERAL DE LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA. 6.- La cocetracó meda de dódo de carboo e el are e ua determada zoa o es habtualmete mayor que 3 p.p.m.v (partes por mlló e volume). Se sospecha que esta cocetracó es mayor e la capa de are más próma a la superfce. Para cotrastar esta hpótess se aalza are e putos elegdos aleatoramete a ua msma altura del suelo. Los datos recogdos tee ua meda muestral de 8 p.p.m.v y ua cuasdesvacó típca muestral de 8. Supoedo que las medcoes sgue ua dstrbucó ormal, podemos afrmar a u vel de,, que los datos proporcoa sufcete evdeca estadístca a favor de la hpótess de que la cocetracó es mayor cerca del suelo?. Idcar razoadamete s el p-valor es mayor o meor que, Solucó: Teemos ua muestra aleatora ( X, X,, X ) de tamaño, dode la varable aleatora X = "cocetracó de dódo de carboo e putos cercaos al suelo" sgue ua dstrbucó ormal X N( ; ) co varaza poblacoal descoocda. Deseamos comprobar s hay sufcete evdeca estadístca a favor de que 33. Para ello, plateamos u cotraste co la hpótess ula : 33 frete a la hpótess alteratva : 33, co u vel de sgfcacó, E esta líea, os ecotramos ate u cotraste ulateral (ua cola) para la meda poblacoal co varaza poblacoal descoocda. Se rechaza la hpótess ula s se verfca la regó de rechazo: R t ;() s dode, 8 3 t t s,39 8 ; (), ;9 Como R,9,9 SI se verfca la codcó de rechazo, por tato, RECAMOS la hpótess ula. E cosecueca, este sufceca estadístca (co u vel de sgfcacó,) para coclur que la cocetracó meda de dódo de carboo es superor a 3 cerca del suelo. Estadístca Teórca: Cotrastes 43

44 Por otra parte, el p-valor se terpreta como el apoyo que los datos proporcoa a la hpótess ula. E otras palabras, Cuado el p-valor < SE RECAZA Como hemos rechazado co,, el p-valor <, Estadístca Teórca: Cotrastes 44

45 CONTRASTE BILATERAL DE LA PROPORCIÓN. 7.- U detsta afrma que el 4% de los ños de años preseta dcos de cares detal. Tomada ua muestra de ños, se observó que 36 presetaba dcos de cares. Cotrastar la hpótess del detsta para u vel de cofaza del 9%. Solucó: Sea el parámetro p = "proporcó de ños que preseta dcos de cares detal". Como sempre que queremos hacer u cotraste sobre ua proporcó, partmos de ua muestra aleatora ( X, X,, X ) de tamaño, dode X B(; p). La dstrbucó e el muestreo del estadístco pˆ T.C.L. N p, p.q Recurrmos al cotraste de la hpótess ula : p, 4 frete a la hpótess alteratva : p, 4, co u vel de sgfcacó, La pótess ula se rechaza cuado se verfca la regó de rechazo: R p z dode, p pˆ,4 36,4,4 p ( p ) p ( p ),4(,4) z, (,64). (,489898) z,8 por tato, R,4,8 NO se verfca la codcó de rechazo y aceptamos la hpótess ula. E cosecueca, co u vel de sgfcacó de,, se puede afrmar que el 4% de los ños preseta dcos de cares detal. Estadístca Teórca: Cotrastes 4

46 8.- E los días prevos a uas eleccoes mucpales, el caddato de u partdo polítco está covecdo de obteer el 6% de los votos electorales. No obstate, su partdo ecarga ua ecuesta etre votates potecales, resultado que el % de ellos djero teer tecó de votar a dcho caddato. Co u vel de sgfcacó del %, se pde cotrastar: a) : p, 6 frete a : p, b) : p, 6 frete a : p, 6 c) Poteca del cotraste efectuado e el apartado (a). Solucó: a) Sea la varable X ="% de votos al caddato" Nos ecotramos ate u cotraste de hpótess ula smple frete a ua hpótess alteratva smple: : p, 6 frete a : p, Regla de decsó: pˆ k Se acepta pˆ k Se rechaza (R.A.) (R.C.) La dstrbucó e el muestreo de pˆ dode se cooce E(pˆ) p y que p( p) V (pˆ). sedo vota S vota No Al ser el tamaño sufcetemete grade y estar defdo pˆ como suma de varables aleatoras depedetes, segú ua dstrbucó de Beroull B (,p ) se pˆ N p, p.( p) puede apromar la dstrbucó eacta de,6.(,6) Bajo la hpótess ula: pˆ N,6, N(,6;,49) El valor crítco K se determa, bajo la hpótess ula, por el vel de sgfcacó: P (ET I) P (Rechazar / certa), pˆ,6 k,6 k,6 P (ET I) P(pˆ k : p,6) P P z,,49,49,49 k,6,64 k,86,49 Estadístca Teórca: Cotrastes 46

47 E cosecueca, como la proporcó muestral fue pˆ,, se ecuetra detro de la regó de aceptacó de la hpótess ula. b) E este caso, se trata de u cotraste blateral co hpótess ula smple frete a ua hpótess alteratva compuesta: : p, 6 frete a : p, 6 Regla de decsó: pˆ k Se acepta pˆ k Se rechaza (R.A.) (R.C.) Bajo la hpótess ula: pˆ N(,6;,49) Para determar el crítco K, bajo la hpótess ula, os apoyamos e el vel de sgfcacó: (ET I) P (Rechazar / certa), P pˆ,6 K,6 P (ET I) P( pˆ K : p,6) P,,49,49 La regó crítca: pˆ,6,49,96 z, pˆ,6 (,49)(,96),696 pˆ,6 (,49)(,96),4 Como pˆ, se ecuetra e la regó de aceptacó, se acepta la hpótess ula. c) Poteca del Cotraste: Poteca P (Rechazar falsa) Error Tpo II: (ET II) P (Aceptar / falsa) P,., Co la hpótess alteratva : p, : pˆ N,; N(,;,) P (ET P (z II) P pˆ,86 /,37),3496 pˆ, N(,;,) P,,86,, Estadístca Teórca: Cotrastes 47

48 Abscsas Areas,37 -,38,37 -,3,37 -,38 -,3 (,8)(,37),3,3496, Poteca,3496,64 També se podía haber realzado por la defcó de poteca de u cotraste: Poteca P (Rechazar pˆ, P,,86,, falsa) P pˆ,86 / N(,;,) P (z,37) P (z,37),64 Estadístca Teórca: Cotrastes 48

49 9.- El dueño de los ces CINEFILÓN cosdera que, dado el aforo de la sala, ua aflueca dara a la msma del 8% sería óptma, e el setdo de que los cletes se seta cómodos y para que a la vez o haya pérddas ecoómcas. Durate u período de tempo, se aalza la aflueca a los ces, observádose que, e meda, se ocupa 7 de las butacas. Co qué cofaza podrá afrmar el dueño de CINEFILÓN que la assteca a sus ces es óptma? Qué pasaría s el dueño qusera estar más seguro de su decsó, y amplar el vel de cofaza al 99%? Nota: La regla de la decsó adoptada es que s hay ua desvacó feror al % de la catdad óptma, se aceptaría la hpótess de que la aflueca es, efectvamete, óptma. Solucó: Sea la varable aleatora X = '% assteca dara a los ces CINEFILÓN', X B(, p). - E el cotraste blateral se establece las hpótess: : p,8 : p,8 X - E el muestreo, la proporcó que acude a los ces ( butacas) e u día ( pˆ ), bajo la hpótess ula, por el TCL (Teorema Cetral Límte), sgue ua dstrbucó N p, p.q N,8,,8., N(,8 ;,) - Se determa ( ) a partr de los valores crítcos, cosderado que ua desvacó feror al % de la catdad óptma sgfca que,8 pˆ, 9 P(Rechazar / certa),8,8,9,8 P z z,, P z Pz.,8, 46 El vel de cofaza:,46, 944 S el vel de cofaza 99% % (mayor egeca). El valor crítco k se determa a partr del vel de sgfcacó, Estadístca Teórca: Cotrastes 49

50 k,8 k,8 P(Rechazar / certa) P z z,,, k,8,,7 k,94 z, k,786 Comparado los valores crítcos k co el valor del estadístco muestral (evdeca 7 empírca) pˆ, 8, se observa que cae detro de la regó de aceptacó (R.A.), cocluyedo que se acepta la hpótess ula sedo óptma la aflueca a los ces CINEFILÓN. Estadístca Teórca: Cotrastes

51 CONTRASTE BILATERAL DE LA VARIANZA CON MEDIA POBLACIONAL CONOCIDA..- E ua poblacó N(, ) se desea cotrastar la hpótess ula : 3 frete a la hpótess alteratva : 3 co u vel de sgfcacó del %. E ua muestra aleatora smple de tamaño 4 se obtuvero los resultados: 8 4 Solucó: pótess compuesta sobre : : : 3 3 Como la hpótess alteratva es 3 e la decsó que tomemos deberá ser váldos valores de tato mayores o meores que 3, por lo que el cotraste debe ser blateral o de dos colas. Regla de decsó: S S 4 4 ( ( ) ) k k R.C : Re chazo R.A : Acepto E la dstrbucó e el muestreo del estadístco 4 ( ), las varables aleatoras depedetes se dstrbuye N(, ); bajo la hpótess ula N (, 3) : (suma de 4 varables aleatoras N (,), depedetes etre sí) Fjado el vel de sgfcacó (Error Tpo I), se halla el valor de la costate k: P 4 Rechazar / certa P k / certa P 4 k P P P ( k ) ( k ) P k P k, k P 4 k,97 k k, k, , ; 4 4,97 ; 4,484 Estadístca Teórca: Cotrastes

52 Regó de rechazo: (,484 (,43), 4 ) 4 co lo que la regó de aceptacó es el tervalo,484 ;,43. ( ) El estadístco muestral, bajo la hpótess ula, 8, perteece a la 3 regó de aceptacó, cocluyedo que la varaza de la dstrbucó es 3. Aálogamete, Cosderado la regó de rechazo: R ; 4 ( 4 ) / ; / ; El valor del estadístco muestral ( ) 4, bajo la hpótess ula resulta: 4 ( ) Los valores tabulares so / ; / ;,97 ; 4, ; 4,484,43 La regó de aceptacó de la hpótess ula es el tervalo,484 ;,43. ( ) Al perteecer el valor muestral del estadístco 8 a la regó de aceptacó, se cocluye que la varaza de la dstrbucó es 3. 4 Estadístca Teórca: Cotrastes

53 CONTRASTE BILATERAL DE LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA..- E ua poblacó N(, ) se quere cotrastar la hpótess ula : 8 frete a la hpótess alteratva : 8, co u vel de sgfcacó,, co ua muestra de tamaño : Solucó: : 8 E el cotraste se establece las hpótess: Como la hpótess alteratva : 8 es 8 e la decsó que hayamos de tomar deberá ser váldos valores de tato mayores o meores que 8, por lo cual el cotraste debe ser blateral o de dos colas. S Regla de decsó S k k se rechaza se acepta (R.C.) (R.A.) La muestra de tamaño, co meda 7, sedo la varaza poblacoal coocda, bajo la hpótess ula sgue ua dstrbucó N (8, ), co lo que 8 la varable es N (, ). El valor de k se calcula medate el vel de sgfcacó, : 8 P(Rechazar certa) P( k) P K P K K P K P K, La regó crítca será: Estadístca Teórca: Cotrastes 3

54 8,7 z / z, 8 8 (,7),7 (,7) 3,93 E cosecueca, la regó de aceptacó: 3,93, 7 Como la meda muestral 7, está coteda e la regó de aceptacó, o se rechaza la hpótess ula 8, co u vel de sgfcacó de,. Aálogamete, la regó de rechazo: R rechazo z. R rechazo 7, 8 z,. 7, 8 (,7)., 4,7 No se verfca la regó de rechazo, e cosecueca se admte la hpótess ula 8, co u vel de sgfcacó de,. Estadístca Teórca: Cotrastes 4

55 CONTRASTE BILATERAL DE LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA..- E ua poblacó N(, ) se quere cotrastar la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva :, co u vel de sgfcacó,, co ua muestra aleatora smple de tamaño :,, 3,,9,98 3,8 3,8 3,9,7,74 3,6,6 3,,6 3, Solucó: E la muestra se obtee: ) ( ),948, 64 s, 46 4 (,476 s, 493 Como la hpótess alteratva es e la decsó que hayamos de tomar deberá ser váldos valores de be sea mayores o meores que, por lo cual el cotraste debe ser blateral o de dos colas. S S Regla de decsó: k se rechaza k se acepta (R.C.) (R.A.) E el muestreo de ua poblacó ormal co varaza descoocda, y desvacó típca muestral, la varable t s Co el vel de sgfcacó, se determa la regó crítca: P(Re chazar certa) P( k / ) P K / P K P K K, 476 4, 476 4, t 4 Estadístca Teórca: Cotrastes

56 P, K P, t 4 t 4 K, La regó crítca es:,977 t / ;() t,; 4, co lo cual,, 476 4, 476 4,977,977.(, 476,977.(, 476 4),378 4),6 La regó de aceptacó será:,6, 378 Se observa que el valor del estadístco muestral, 948 o se ecuetra e la regó de aceptacó, por tato, se rechaza la hpótess ula y se acepta que la meda de la dstrbucó poblacoal es dstta de. R Advértase que rechazamos la hpótess ula s se verfca la regó de rechazo: t,;4 s,493 t / ; (),948,977,948,379 verfcádose la regó de rechazo, co lo cual o se acepta la hpótess ula, cocluyedo que se acepta la hpótess alteratva de que la meda de la dstrbucó poblacoal es dstta de. Ua forma aáloga de efocar la cuestó cosste e aceptar la hpótess ula : cuado el estadístco epermetal fuera meor o gual que el estadístco teórco, esto es: estadístc o epermetal t s estadístc o teórco t / ;(),948 El estadístco de cotraste: t 7, 447 s,493 / El valor tabular del estadístco teórco: t, 977 t / ;(), ; 4 Como t 7,447,977 t,; 4 se rechaza la hpótess ula, cocluyedo que la meda de la dstrbucó poblacoal es dstta de. Estadístca Teórca: Cotrastes 6

57 3.- Se recbe u evío de latas de coserva de las que se afrma que el peso medo so. gr. Eamada ua muestra de latas se obtee u peso medo de 99 gr. co ua cuasvaraza s 9, 6. Al vel de cofaza del 9%, se puede aceptar que el peso medo so. gr.? Solucó: Teemos ua muestra aleatora ( X, X,, X ) de tamaño, dode la varable aleatora X = "peso de ua lata de coserva", supoemos que sgue ua dstrbucó ormal X N( ; ) co varaza poblacoal descoocda. Deseamos ver s resulta aceptable que. Para ello, plateamos u cotraste co la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva :, co u vel de sgfcacó, Advértase que como la hpótess alteratva :, e la decsó que hayamos de tomar deberá ser váldos valores de tato mayores o meores que, por lo que el cotraste debe ser BILATERAL o de dos colas. E esta líea, se rechaza la hpótess ula s se verfca la regó de rechazo: dode, R t / ; () s 99 Como R, t s s 9,6 / ; () t, ; 4,776, NO se verfca la codcó de rechazo, ACEPTAMOS la hpótess ula. E cosecueca, co u vel de sgfcacó de,, se puede afrmar que el peso medo so gramos. Estadístca Teórca: Cotrastes 7

58 CONTRASTE BILATERAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS. 4.- El aálss laboral que la U.E ha realzado para toda Europa, señala que e España, el salaro mesual de los varoes, e alguos sectores ecoómcos, supera e más de euros el salaro de las mujeres que desempeña las msmas tareas. El Mstero de Trabajo español decde cosderar el salaro mesual como ua varable aleatora ormalmete dstrbuda co desvacó típca de 39,6 euros para los trabajadores masculos y de 36 euros para las trabajadoras de dchos sectores, sedo el salaro de cada poblacó depedete del de la otra. Para tratar de verfcar lo publcado, se elge ua muestra aleatora smple de trabajadores y de 7 trabajadoras, obteédose uos salaros medos mesuales de. y.37 euros respectvamete. Está fudametada las coclusoes de la U.E al % de sgfcacó? Solucó: Sea las varables aleatoras, respectvamete, X = Salaro mesual de los varoes e Y = Salaro mesual de las mujeres, dode X N(, 39,6) e Y N(, 36). y E las muestras se obtuvero los resultados: y..37 y 7 - E el cotraste se establece las hpótess: : y : y (compuesta) La regla de decsó será: S S ( y) k ( y) k se rechaza o se rechaza (RC) (RA) - La dfereca de medas muestrales ( y), sedo las varazas muestrales coocdas, bajo la hpótess ula, sgue ua dstrbucó: N( y ); y y N; 39, N(;,3) - Se determa el valor de k medate el vel de sgfcacó : Estadístca Teórca: Cotrastes 8

59 P (Re chazar k,3,3 z certa) P( y k /, k, : y ) P z k,3, La evdeca empírca y Se adverte que 3,, cae e la regó de rechazo, co lo cual o se acepta la hpótess ula, esto es, co u vel de sgfcacó del %, se afrma que co el msmo trabajo las dferecas salaras etre hombres y mujeres e alguos sectores ecoómcos españoles so superores a euros mesuales. Estadístca Teórca: Cotrastes 9

60 Estadístca Teórca: Cotrastes 6.- Co u vel de sgfcacó del 4,7%, se desea cotrastar la hpótess ula de gualdad de medas de dos poblacoes ), 4 ( N y ) 4,, ( N. Para ello, se ha tomado dos muestras aleatoras smples e depedetes, respectvamete, obteédose los sguetes valores:,4, 7,3,8 3,4 9,4 j y 9,8 9,7 4,6.7 8,4 Solucó: E el cotraste blateral se establece las hpótess : : Regla de decsó se acepta k y S se rechaza k y S Para aalzar el cotraste, se realza los cálculos muestrales: 6 3,64 y y, 6 j j 6 La regó crítca de dos colas k y es fucó de la dfereca de las medas muestrales. E esta líea, las dstrbucoes e el muestreo de las medas so:, N,, N y, co lo cual, la dfereca de medas muestrales, bajo la hpótess ula :, se dstrbuye:,9 N, 4, 6 4, N, N y Se determa el valor de k medate el vel de sgfcacó : : k / y P certa) (Re chazar P smetría N(,) por, K,9 y P K,9 y P K,9 y K,9 y P K,9 y) ( P

61 La regó crítca es y,9,99 z,36 y,7 y,7 E cosecueca, la regó de aceptacó:,7 y, 7 La evdeca empírca y, 3,64, 39, valor que o se ecuetra e la regó de rechazo, por lo que se acepta la hpótess ula de gualdad de medas, co u vel de sgfcacó del 4,7%. Aálogamete, la regó de rechazo de la hpótess ula : R y z R, 3,64 (,99) 4 6 4, La regó de rechazo de la hpótess ula o se cumple, R,39,7 que este gualdad etre las medas poblacoales., se cocluye Cálculo de z, 36 : Abscsas,98,99,99 Áreas, 39, 33, 36, 33,99,., 3, 6,99 Estadístca Teórca: Cotrastes 6

62 6.- Ua empresa dedcada a la fabrcacó de artículos deportvos dspoe de dos máquas para el flado de baloes. La presó e kg a la que so flados los baloes es ua varable aleatora X co dstrbucó N( ;,). Se desea cotrastar co u vel de sgfcacó del %, la hpótess de que los baloes flados co las dos máquas tee gual presó meda. Para ello, se toma dos muestras aleatoras smples de baloes co las sguetes presoes de flado: Máqua Máqua Cuál es el resultado del cotraste? Solucó: Sea las varables aleatoras X = presó e kg que so flados los baloes e la máqua e Y = presó e kg que so flados los baloes e la máqua, respectvamete, las varables aleatoras sgue dstrbucoes ( ;,) e N ( ;,). N La presó meda co que so flados los baloes e las máquas respectvas se, dstrbuye co parámetros: N ; e 6, N ; 9 y Se desea cotrastar la hpótess ula de que las presoes medas de flado co ambas máquas so guales: : frete a la hpótess alteratva : Como la hpótess alteratva es e la decsó que tegamos que tomar debe ser váldos valores mayores o meores que, co lo que el cotraste debe ser blateral o de dos colas. S La regla de decsó será: S y y k k se rechaza o se rechaza (RC) (RA) Para aalzar el cotraste se realza los cálculos: 6 9 j y j 4,33 y ,, - E las dstrbucoes del muestreo N,, y N,, co lo cual, 6 9 la dfereca de medas muestrales, bajo la hpótess ula :, se dstrbuye: Estadístca Teórca: Cotrastes 6

63 y N, N ;, 6, 9 N(;,3) - Se determa el valor de k medate el vel de sgfcacó : P(Rechazar certa) P y k / : y ( y) y P K P,3,3, por smetría N(, ) K y,3 K P y,3 K P y,3 K La regó crítca es y,3,96 z, y, y, E cosecueca, la regó de aceptacó:, y, La evdeca empírca y 4,33, 67, valor que se ecuetra e la regó de rechazo, por lo que o se acepta la hpótess de que los baloes flados co las dos máquas tee gual presó meda. Aálogamete, la regó de rechazo de la hpótess ula : R y z R 4,33 (,96), 6, 9 Se verfca la regó de rechazo de la hpótess ula, R,67, que los baloes flados co las dos máquas o tee gual presó meda., cocluyedo Estadístca Teórca: Cotrastes 63

64 CONTRASTE BILATERAL UNILATERAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS. 7.- Ua empresa ubcada e Madrd tee dos coductores para trasladar a los empleados a Segova. Los coductores debe aotar la duracó de cada trayecto. E ua muestra aleatora smple de partes de cdecas por coductor, el coductor A regstra u tempo medo de trayecto de 6,3 mutos co ua desvacó típca de,3 mutos, metras que el coductor B tee u tempo medo de trayecto de 6, mutos co ua desvacó típca de 8,6 mutos. El tempo medo empleado por el coductor A e el trayecto sgue ua ley ormal N(, 9) y el empleado por el coductor B se dstrbuye segú ua ley N(, 8). Co u vel de sgfcacó del %, se pde cotrastar:. : frete a :. : frete a : Solucó:. Para realzar el cotraste blateral plateado ( : ) se recurre al test razó de verosmltud, ya que, e este caso el lema de Neyma-Pearso o proporcoa ua regó crítca óptma. La regla de decsó que proporcoa el test de razó de verosmltud es: Regla de decsó: y k se acepta (R.A.) y k se rechaza (R.C.) La regó crítca de dos colas y k es fucó de la dfereca de las medas muestrales. E esta líea, las dstrbucoes e el muestreo de las medas so: N,, y N, Co lo cual, la dfereca de medas muestrales, bajo la hpótess ula, se dstrbuye: 9 8 y N, N, N,,7 El valor de k se determa a partr del vel de sgfcacó, P(Rechazar certa) P y k / : Estadístca Teórca: Cotrastes 64

65 k k k P z P z z,7,7,7 k k,7,7 P z P z, por smetría k,7 k,7,96 z k 3,33,,,96 z k 3,33 Regó de aceptacó: 3, 33 y 3, 33 La evdeca empírca y 6, 3 6,, 8, valor que se ecuetra e la regó de aceptacó, por lo que se acepta la hpótess ula de gualdad de medas, co lo que los dos coductores emplea e promedo el msmo tempo e el trayecto Madrd- Segova, co ua fabldad del 9%. Se podía haber decddo co otros métodos: Se formula las hpótess: : : Se trata de u cotraste blateral o de dos colas, co, La regó de aceptacó se ecuetra e el tervalo ( z, z ) / / Se acepta la hpótess ula cuado, y,8 z z z,34,96 p / / p /, 7 Se acepta que los dos coductores emplea e promedo el msmo tempo e el trayecto Madrd-Segova. El tervalo de cofaza para la dfereca de medas de dos dstrbucoes ormales co varaza poblacoales y coocdas Estadístca Teórca: Cotrastes 6

66 I ( ) ( y) z / co lo cual, I,9 ( ),8,96,7,,,6 Como el tervalo cubre el cero o este dfereca sgfcatva etre el tempo empleado por los dos coductores e el trayecto Madrd-Segova.. La hpótess ula plateada es :. Advértase que se trata de u cotraste ulateral co cola a la zquerda ( : ) La regla de decsó que proporcoa el test de razó de verosmltud: Regla de decsó: y k se acepta (R.A.) y k se rechaza (R.C.) La regó de aceptacó se ecuetra e el tervalo ( z, ) Se acepta la hpótess ula cuado z y k p z O be, Regó de aceptacó: R.A ( y k) z E este caso, 6, 3 6, z,64,64 p R.A (6, 3 6, ),64,8,8 Se acepta la hpótess ula formulada. Estadístca Teórca: Cotrastes 66

67 CONTRASTE BILATERAL DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES. 8.- Muebles Qutaa realza u estudo sobre la satsfaccó de sus empleados e dsttas seccoes. E ua muestra aleatora smple de trabajadores de barzado 6 se ecuetra satsfechos y de otra de trabajadores de cortado se mafestaro satsfechos. Este dferecas e los porcetajes de trabajadores satsfechos de ambas seccoes, co u vel de sgfcacó del %? Solucó: Sea las varables aleatoras X = trabajador de la seccó de barzado e Y = trabajador de la seccó de cortado, respectvamete, las varables aleatoras toma el valor uo s el trabajador está satsfecho, y el valor cero e caso cotraro. Las dos varables aleatoras sgue ua dstrbucó de Beroull de parámetro p descoocdo. 6 Las proporcoes muestrales obtedas so: pˆ,6 pˆ y, 6 Se cotrasta la hpótess ula de que o este dferecas etre las proporcoes de trabajadores satsfechos e ambas seccoes, es decr, : p ; frete a la hpótess alteratva de que s este dferecas, esto es, debe ser blateral o de dos colas. py : p py. El cotraste La regla de decsó será: S S p p p p y y k k se rechaza o se rechaza (RC) (RA) La dfereca de las proporcoes muestrales pˆ pˆ ), teedo e cueta el tamaño de ( y las muestras (TCL), bajo la hpótess ula, podemos cosderar que sgue ua pˆ. qˆ,6.,4,6.,37 y y dstrbucó N, N, N;,6 pˆ. qˆ y Se determa el valor de k medate el vel de sgfcacó : (pˆ pˆ y) pˆ pˆ y k / : p py P K P(Re chazar certa) P,6 pˆ pˆ y pˆ pˆ y pˆ pˆ y pˆ pˆ y P K K P K P K,,6,6,6,6 pˆ pˆ y pˆ pˆ y,76 La regó crítca es,96 z,,6 pˆ pˆ y,76 Estadístca Teórca: Cotrastes 67

68 Regó de aceptacó de la hpótess ula:,76 pˆ pˆ, 76 y La evdeca empírca (estadístco observado) pˆ pˆ,6,6, se ecuetra e la y regó de aceptacó, por lo que se admte la hpótess ula, es decr, o aparece dferecas sgfcatvas e los porcetajes de trabajadores satsfechos e las seccoes de Muebles Qutaa, co ua fabldad del 9%. Aálogamete, aalzado la regó de rechazo: pˆ pˆ,6,6,, 96 y z,,6.,4,6.,37,96.,76 R pˆ pˆ y z pˆ. qˆ pˆ. qˆ y y y,,76, por lo que o se cumple la regó de rechazo, aceptádose la hpótess ula co u vel de sgfcacó del %. Estadístca Teórca: Cotrastes 68

69 CONTRASTE BILATERAL DE IGUALDAD DE VARIANZAS CON MEDIAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS. 9.- Ua empresa productora de cemeto esaya productos químcos para mejorar la ressteca de las pezas de hormgó. Para ello, desea cotrastar co u vel de sgfcacó del % la ressteca de dos muestras aleatoras smples, la muestra A o es tratada co productos químcos metras que la muestra B se ecuetra tratada. E la tabla adjuta se muestra la ressteca de las pezas esayadas e kg/cm : Muestra A Muestra B Supoedo que las dos muestras sgue ua dstrbucó ormal, dcar s el tratameto co productos químcos cosguó ua mejora e la ressteca de las pezas de hormgó. Solucó: Sea la varable aleatora X que represeta la ressteca de las pezas de hormgó s tratar co productos químcos, supoemos que X es ua varable aleatora ormal de meda poblacoal descoocda y desvacó típca poblacoal també descoocda. Aálogamete, la varable aleatora Y represeta la ressteca de las pezas de hormgó tratadas co meda poblacoal y desvacó típca poblacoal, ambas descoocdas. Deseamos cotrastar la hpótess ula de que las resstecas esperadas so guales,, frete a la hpótess alteratva de que las resstecas esperadas de las : pezas s tratar es meor que las tratadas, es decr, :. Como se trata de muestras pequeñas ecestamos comprobar estadístcamete s las varazas poblacoales y so guales, plateado prmero el sguete cotraste: CONTRASTE BILATERAL DE IGUALDAD DE VARIANZAS POBLACIONALES CON MEDIAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS: : : s Regó de rechazo de la hpótess ula: R F ; F s s aálogamete, regó de aceptacó: F ( ( F ; ), ) ; ( ), ( ) s ó el equvalete, ; ( ), ( ) ; ( ), ( ) Estadístca Teórca: Cotrastes 69

70 (m ) ( ) regó aceptacó : F ( ), ( ; ) m F ; ( ), ( ) ( ) (y y ) j j E uestro caso, co los datos muestrales: , y 36,4 s s 6 ( ) 7 j (y j 6 y) 7,, 476 F F F, 6,97, s ;, 6 ;, 6 s,43 F,,99 ; 6, 6,98,43 Se observa que el estadístco epermetal de cotraste F, 6, 43 se ecuetra e la regó de aceptacó de la hpótess ula, F,43,43,99,,97 ;, 6 F, ;, 6 co lo que coclumos que, co u vel de sgfcacó del %, o hay evdecas de que la ressteca de las pezas tratadas co productos químcos presete ua varaza dstta de aquellas pezas que o fuero tratadas. CONTRASTE UNILATERAL DE IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS PERO IGUALES: Plateamos la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva : Regó de rechazo de la hpótess ula: R ( y) t ; ( ) s p, o lo que es gual, se acepta s t ( y) sp estadístc o cotraste t ; ( ) estadístc o teórco ( )s ( ) s sp cuas varaza muestral E uestro caso, Estadístca Teórca: Cotrastes 7

71 6 34, s 7, 7 y 36,4 s,476. 7, 6.,476 sp 86,8 t t ; 34, 36,4 86,8 6 7 t ( ), ;,83,796 El estadístco empírco (cotraste) es meor que el estadístco teórco, t,83,796, co u vel de sgfcacó del % se acepta la t, ; hpótess ula, cocluyedo que o se apreca e la prmera muestra ua ressteca meda sgfcatva meor que e la seguda muestra tratada. Esto es, el tratameto químco o preseta mayor ressteca e las pezas de hormgó. Estadístca Teórca: Cotrastes 7

72 CONTRASTE BILATERAL DE IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS. 3.- U sttuto de almetacó amal quere comparar estadístcamete dos tpos de detas. Seleccoa al azar ua muestra de quce amales de ua poblacó de amales comparables. A ueve de ellos se les sumstra la deta prmera y a los ses restates la deta seguda. Los resultados del aumeto de peso e kg e ua semaa so los sguetes: Deta prmera 3,7 4, 4,6 3,9 4, 3,9 4,3 3,9 4 Deta seguda 3,6 4, 4,4 3, 4 3 Co u vel de sgfcacó del %, puede afrmarse que la deta prmera es mejor que la seguda? Solucó: Supoedo que la varable de respuesta (X, Y) para cada ua de las detas (aumeto semaal de peso e kg) es ua varable que, respectvamete, se dstrbuye ormal N(, ) y N(, ), dode y so descoocdas, al tratarse de muestras pequeñas ates de realzar el cotraste para la gualdad de medas poblacoales ecestamos comprobar estadístcamete s las varazas poblacoales descoocdas y so guales o dsttas. Por ello, prmeramete se platea: CONTRASTE BILATERAL DE IGUALDAD DE VARIANZAS POBLACIONALES CON MEDIAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS: : : s s Regó Rechazo de pótess ula: R F ; F ; ( ), ( ) ; ( ), ( ) s Aálogamete, la Regó de Aceptacó: F ; ( ), ( ) F ; ( ), ( ) s Para hallar el estadístco de cotraste, segú los datos muestrales: 9 6 y 4,8 3,78 s s 9 6 j ( ) (y 8 j y),67,386 F 8, F F,9, s ; 8, ; 8, s, 73 F, ;, 8 4,883 3,687,7 Regó de rechazo: R,73,7 ; 4,883 Estadístca Teórca: Cotrastes 7

73 Se observa que el estadístco epermetal de cotraste F 8,, 73 verfca la regó de rechazo de la hpótess ula, co lo que coclumos que, co u vel de sgfcacó del %, hay evdecas de que las varazas poblacoales so descoocdas y dsttas. CONTRASTE UNILATERAL DE IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS Y DISTINTAS: Basádoos e la comprobacó estadístca que hemos realzado, plateamos la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva : Regó de rechazo de la hpótess ula: R ( y) t ; f s s, o lo que es gual, se acepta s t ( y) s s estadístc o cotraste t ; f estadístc o teórco s s f (s /) (s /) apromacó de Welch E uestro caso, 9 6 4,8 y 3,78 s s,67,386 t (4,8,67 9,67 9 (,67 / 9) 3,78),386 6,8,386 9 (,386 / 6) 7 s s,,67 9 t,386 6 t,66 f ; f, ; E cosecueca, la regó de rechazo de la hpótess ula o se verfca:,886 Estadístca Teórca: Cotrastes 73

74 R ( y) t s s ; f,3,886.,66,3, Aálogamete, el estadístco empírco (cotraste) es meor que el estadístco teórco, t,8,886, por tato, co u vel de sgfcacó del %, se acepta t, ; la hpótess ula, cocluyedo que o este evdeca estadístca de que la prmera deta sea mejor que la seguda. Estadístca Teórca: Cotrastes 74

75 3.- Ua empresa que se dedca a fabrcar zapatllas de deporte dspoe de dos proveedores de suelas de goma. Para aalzar el desgaste de las suelas se ha tomado ua muestra al azar de cada proveedor, obteédose los sguetes resultados: Proveedor Tamaño muestral Desgaste medo Cuasvaraza desgaste =, 6 s, 68 m = 4 y, 6 s y, 4 Supoedo que el desgaste de las suelas sgue ua dstrbucó ormal, se puede decr, para u vel de cofaza del 9%, que ambos proveedores proporcoa u producto de semejate ressteca meda al desgaste?. Solucó: : Se tee que realzar u cotraste blateral de gualdad de medas: : co varazas poblacoales descoocdas, co muestras pequeñas m 3 Depededo de que se supoga que las varazas so guales o o el cotraste varará. Por ello, es ecesaro realzar prmero u cotraste relatvo a la gualdad de varazas. CONTRASTE BILATERAL DE IGUALDAD DE VARIANZAS POBLACIONALES CON MEDIAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS: : : Como la hpótess alteratva es valores de ó e la decsó que se elja deberá ser váldos, por lo cual el cotraste debe ser blateral o de dos colas. Ua dstrbucó F de Fsher-Sedecor, co dos varables y m, depedetes etre s, es ua varable F,m. m s Estadístco de cotraste: F (),(m) s m La regla de decsó será: F, 3 9 k El valor crítco de k se determa medate el vel de sgfcacó, : P P (Rechazar / certa) F9, 3 k / ( F k ) (k F ) F k P k F, 9, 3 9, 3 P 9,3 9, 3 Estadístca Teórca: Cotrastes 7

76 P P F k P F k P F P F k 9,3 9,3 k F9,3 P F9,3 P F9,3 k P F k P F k P F k 9,3 9,3 9,3 9,3 9,3 se tee: P P F 9,3 k F k 9,3, k, k F,; 9,3 F,; 9,3 F 3,3,;3,9 3,83,6 La regó crítca es: ( F,3,6) (F9, 3 9 3,3) s,68 Se observa que el estadístco muestral F9,3, 9 o se ecuetra e s,4 la regó de rechazo. E cosecueca, co u vel de cofaza del 9%, se acepta que las varazas so descoocdas pero guales. Otra forma rápda de cotrastar la hpótess es haber utlzado la Regó de Rechazo de la pótess ula: s R F ; ( ), (m ) ; F ; ( ), (m ) s R,9 (,6 F,97; 9, 3; 3,3 F,; 9, 3 ) CONTRASTE BILATERAL DE IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS POBLACIONALES DESCONOCIDAS PERO IGUALES: La hpótess ula : frete a la hpótess alteratva : Como la hpótess alteratva es e la decsó que tegamos que tomar debe ser váldos valores mayores o meores que, co lo que el cotraste debe ser blateral o de dos colas. Estadístca Teórca: Cotrastes 76

77 La regla de decsó será: S S y y k k se acepta se rechaza (RA) (RA) E el muestreo de las dos poblacoes ormales co varazas descoocdas pero guales, y las varables X e Y, respectvamete: t e t4 s s m s p s p Bajo la hpótess ula ( ) : ( y) t9 3 (; ), dode: m s p s m s m ( )(,68) (4 )(,4),97 (cuasvaraza muestral poderada) 4,97,97 es decr, ( y) t93 (; ) t (;,) 4 El valor crítco k, bajo la hpótess ula, y) t (;,), se calcula a partr del vel de sgfcacó : ( P (Rechazar certa) P( y k y P, k,, certa) y La regó crítca:,74 t,; y, 9,. La evdeca empírca muestra que y,6,6,, valor que o se ecuetra e la La regó de rechazo de la hpótess ula es: R y,9 regó de rechazo, por lo que se acepta la hpótess ula. Así pues, o este dfereca etre las resstecas medas al desgaste de los productos proporcoados por los dos proveedores, co ua cofaza del 9%. Otra forma rápda de cotrastar la hpótess es haber utlzado la Regó de Rechazo de la pótess ula: s p R y,97,443,, 74 t,; t ;( m ) s p m R,6,6 (,74)(,443) R,,9 4 Estadístca Teórca: Cotrastes 77

78 La evdeca muestra que o se verfca la regó de rechazo, por lo que se acepta la hpótess ula, co u vel de cofaza del 9%. Esto es, o este dfereca etre las resstecas medas al desgaste de los productos proporcoados por los dos proveedores. Estadístca Teórca: Cotrastes 78

79 3.- E u forma presetado por u reportero a ua revsta femsta se afrma que el úmero medo de horas semaales de coeó a Iteret es el msmo para hombres que para mujeres. S embargo o parece prudete publcar estos datos s cotrastarlos estadístcamete. Se seleccoa para ello ua muestra de 7 hombres y mujeres. Los resultados muestrales se recoge e la sguete tabla: ombres Mujeres Tamaño muestral 7 Número medo de horas/semaa 7,4,34 Dspersó e la coeó 9,8 7,4 a) Formular el cotraste a realzar y señalar los supuestos que se debe realzar para resolver el ejercco. b) Determar la regó crítca del cotraste. c) Calcular el estadístco del cotraste. d) Este evdeca para rechazar la hpótess ula a u vel de sgfcacó del %? Solucó: a) Sea las varables aleatoras, respectvamete, X = 'Tempo coeó a Iteret de los hombres' e Y = 'Tempo coeó a Iteret de las mujeres', dode X N(, ) e Y N(, ). E las muestras se obtuvero los resultados: 7,4 s 9,8 7 y,34 s 7,4 S la dspersó muestral se refrese a la desvacó típca, habría que cosderar la relacó ( )s. E este caso, se tedría s 9,4 y s 7,3 Se establece las hpótess: : : Como la hpótess alteratva es e la decsó que se elja deberá ser váldos valores de o, por lo cual el cotraste debe ser blateral o de dos colas. y k se acepta (R.A.) Regla de decsó: y k se rechaza (R.C.) Es decr, la regó de aceptacó: k y k Varazas poblacoales descoocdas co muestras grades Supuestos: Idepedeca de la seleccó muestral Estadístca Teórca: Cotrastes 79

80 b) E el muestreo de las dos poblacoes ormales co varazas descoocdas, co muestras grades ( 3). s s Las varables X e Y, respectvamete, sgue dstrbucoes: N,, N, co lo que la dfereca de medas muestrales, s s ( y) N ( ), La dfereca de medas muestrales, bajo la hpótess ula :, se dstrbuye: (9,8) (7,4) ( y) N, N( ;,46) 7 El valor crítco k se determa medate el vel de sgfcacó, z z,96 /, P(Rechazar certa) P y k / : P ( y) k ( y) k P ( y) k ( y) k y k y k P,46,46,46,46 k k, 46, 46 P z P z, por smetría N(,) k k,46,46 P z,,96 k,87 k k,46,46 P z,,96 k,87 La evdeca muestral y 7, 4,34, 8 Estadístca Teórca: Cotrastes 8

81 Sedo,87, 8,87 se acepta la hpótess ula de gualdad de medas, es decr, co u vel de sgfcacó del %, el úmero medo de horas coectados a teret es el msmo para hombres que para mujeres. Se podía haber decddo co otros métodos: Se formula las hpótess: : : Se trata de u cotraste blateral o de dos colas, co, La regó de aceptacó se ecuetra e el tervalo ( z, z ) / / Se acepta la hpótess ula cuado, y, 8 z z z,4,96 p/ / p/ s s, 46 Se acepta que el úmero medo de hombres y mujeres coectados a teret es el msmo. El tervalo de cofaza para la dfereca de medas de dos dstrbucoes ormales co varaza poblacoales y descoocdas, co muestras grades ( 3) s s I ( ) ( y) z / co lo cual, I,9 ( ),8,96,46,79, 4,9 Como el tervalo cubre el cero o este dfereca sgfcatva etre el úmero medo de horas coectados a teret es el msmo para hombres que para mujeres. Estadístca Teórca: Cotrastes 8

82 33.- E dos poblacoes (, ) y (3, ), co u vel de sgfcacó del %, se N N quere cotrastar la hpótess de gualdad de varazas, habedo tomado, respectvamete, dos muestras depedetes, co los datos que se refleja e la tabla adjuta: 7 9 yj Solucó: Las varables aleatoras X e Y sgue, respectvamete, dstrbucoes (, ) e N (3, ). E el cotraste blateral se establece las hpótess: : : N ( ) Sabemos que la varable por ser la suma de varables aleatoras N (, ), depedetes etre sí. Por otro lado, la varable F,m se dstrbuye m m como ua F de Fsher-Sedecor co y m grados de lbertad. Bajo la hpótess ula la varable F 6, las varables 4 ( ) , (yj 3) 4 j j ( ) j 4 ( ) 4 e (y 3) 6 j (y j 3) 6, y Como la hpótess alteratva es e la decsó que se elja deberá ser váldos valores de ó debe ser blateral o de dos colas., por lo cual el cotraste La regla de decsó será: F, 6 4 k El valor de k se determa medate el vel de sgfcacó, : Estadístca Teórca: Cotrastes 8

83 F k / P ( F k ) (k F ), P(Rechazar / certa) 4,6 4,6 4, 6 P P F k P k F, P 4,6 4, 6 F k P F k P F P F k k F P F P F k P F k P F k P F k 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 se tee: P F P k 4,6 k F 4,6,, k F k,; 4,6 F,; 4,6 F,; 4,3 6, 4 6,6,6 La regó crítca es: F,6) (F 4,3) ( 4,6 4, 6 De otra parte, para coocer el valor muestral del estadístco F, es ecesaro calcular: 4 ( ) 83 6 j (y j 3) 3 4 ( ) F4,6 6 4 (y 3) 4. 3 j j,9 Se observa que el estadístco muestral F 4, 6, 9 o perteece a guo de los dos tervalos, ecotrádose e la regó de aceptacó, e cosecueca, aceptamos la hpótess ula de gualdad de varazas, a u vel de sgfcacó del %. s Aálogamete, la regó de rechazo: R 4 s y F ; F ; ( ), ( ) ; ( ), ( ) ( ( y y ) ) j s j E el muestreo: s 8,9 sy,37, 66 s F F, F F ( (,9 ; 3, /; ), ) / ; ( ), ( ), ; 3, F 9,3, ;, 3 El estadístco muestral (s / s ),66, ;, 49 y 6 y, por lo que aceptamos la hpótess ula de gualdad de varazas, co u vel de sgfcacó del %. y, 49 Estadístca Teórca: Cotrastes 83

84 CONTRASTE DE IPÓTESIS. TEOREMA DE NEYMAN-PEARSON U eperto cree que el úmero medo de errores por pága que comete es dos. Por otra parte, el edtor defede que el úmero medo es de cuatro. Para ua muestra aleatora smple de págas, co u vel de sgfcacó del %, se pde:. Obteer la regó crítca.. allar la poteca del cotraste. 3. S e la muestra aleatora de págas se ecotraro errores, qué hpótess se acepta? Nota.- Se supoe que el úmero de errores por pága sgue ua dstrbucó de Posso. Solucó: ) La varable aleatora X = úmero de errores por pága sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro (úmero medo de errores por pága). : Sobre el parámetro se establece las hpótess ula y alteratva: : 4 La fucó de verosmltud para ua muestra aleatora smple de tamaño : L(,,,, ) e e e e!!!! Para obteer la mejor regó crítca se aplca el teorema de Neyma-Pearso: L(,,,, ) L(,,,, 4) l k e l k e 4 e!! e 4 l k l e e k l k. La mejor regó crítca es de la forma k k l e k e El valor de k se obtee cosderado que el vel de sgfcacó es del %, y teedo e cueta que, bajo la hpótess ula, sgue ua dstrbucó de Posso de Estadístca Teórca: Cotrastes 84

85 parámetro., es decr, P( ). Por otra parte, se puede apromar medate la dstrbucó ormal N (, ). E cosecueca: P k P k, k,64 k 3,3 La mejor regó crítca es 3, 3. E otras palabras, s la suma de observacoes muestrales es mayor que 3,3 se rechaza la hpótess ula. ) Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa) Cosderado, de ua parte, que bajo la hpótess alteratva : 4, el sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro. 4 4, es decr, P( 4). Teedo e cueta su apromacó a la dstrbucó ormal N (4, 4), resulta: P P 4 3 P P 4 z 8,8 La poteca del cotraste es práctcamete la udad. 3) E la muestra aleatora smple de págas se ecotraro errores, como la regó crítca es 3, 3, co u vel de sgfcacó del % se rechaza la hpótess ula del eperto que aseguraba que el úmero medo de errores por pága era de dos. Estadístca Teórca: Cotrastes 8

86 3.- E ua dstrbucó de Posso se establece sobre el parámetro la hpótess ula, :,, y la alteratva, :, 4. E muestras aleatoras smples de tamaño, sedo el vel de sgfcacó,, se desea coocer: a) La mejor regó crítca. b) La poteca del cotraste. Solucó.- a) Ua varable aleatora X sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro cuado: P(X k) k k! e Aplcado el lema de Neyma-Pearso, el cocete de las fucoes de verosmltud: L( L(,,,,,,4,, e e 4 ;,) ;,4),,4,!,4!. e 3 e e,,4,4,,!,4! e e. e,,4 3 4,,4!!. e e 3, e,4 k de dode, e k 4 e. k l 4 l (e. k ) l (e 3 l 4. k ) k. La mejor regó crítca es k - Bajo la hpótess ula, es ua varable aleatora, suma de ce varables aleatoras depedetes, que sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro P(.,) P(). Por otra parte, como el tamaño muestral es lo sufcetemete grade se puede utlzar la apromacó ormal (teorema cetral del límte): N(, ) El valor crítco k se determa medate el vel de sgfcacó, Estadístca Teórca: Cotrastes 86

87 k k P k / P,,87 k 4, Como los valores que toma ua varable de Posso so eteros, la mejor regó crítca es. Es decr, cuado la suma de los valores muestrales sea mayor que, rechazaremos la hpótess ula. b) Poteca P (Rechazar falsa) P (Rechazar certa) Cosderado, de ua parte, que bajo la hpótess alteratva :, 4, el sgue ua dstrbucó de Posso de parámetro.,4 4: P ( 4) Teedo e cueta su apromacó a la dstrbucó ormal N (4, 4), resulta: Po P / certa 4 P P z 3,9, La poteca del cotraste es práctcamete la udad. Estadístca Teórca: Cotrastes 87

88 36.- Las patatas cultvadas e la parcela A sgue ua dstrbucó (, 44) ; N metras que las cultvadas e la parcela B sgue ua dstrbucó N(, ). U agrcultor quere cotrastar que el peso medo de las patatas cultvadas e ambas parcelas es el msmo, :, frete a la hpótess alteratva de que el peso medo de las patatas cultvadas e la parcela A es de 8 gramos mayor que el de las cultvadas e la parcela B, : 8. Para ello, seleccoa ua muestra aleatora de patatas de la prmera parcela co u peso medo de 4 gramos; y otra de 8 patatas de la seguda parcela co u peso medo de 34 gramos. Se pde:. allar la mejor regó crítca.. Calcular la poteca del cotraste. 3. Se acepta la hpótess de que las patatas cultvadas e ambas parcelas tee el msmo peso medo? Solucó: Sea la varable aleatora X = peso medo de las patatas e la parcela A, que sgue ua dstrbucó (, 44). Aálogamete, sea la varable aleatora Y = peso medo de las N patatas e la parcela B, co ua dstrbucó (, ). Sea, respectvamete, e N y, las dos medas muestrales de las dos muestras aleatoras smples de patatas correspodetes a las dos parcelas. 44 se dstrbuye segú ua N,, es decr, N N( ; 4,4), y se dstrbuye segú ua N,, es decr, N N( ; ), 8 La dfereca de las medas muestrales ( y) se dstrbuye segú ua ormal: ; 4,4 ( y) N ; 8,8 ( y) N Para hallar la mejor regó crítca se aplca el teorema de Neyma-Pearso: L(, L(, ) 8) f() e 8,8 () (6( y ) 64). 8,8 e k 8,8 e e ( y ). 8,8 ( y ) 8. 8,8 e. 8,8 ( y ) ( y ) 8 Estadístca Teórca: Cotrastes 88

89 e. 8,8 6( y) (6( y ) 64) k 664,64 lk. 8,8 64 (6( y) 64) ( y) k lk Para hallar el valor de k se cosdera que el vel de sgfcacó es,, se verfca la hpótess ula :, y por tato ( y) N(; 8,8), etoces: ( y) k / :, P ( y) P 8,8 k 8,8 P z k 8,8, k 8,8,64 k 47,46 S la dfereca etre las medas de las dos muestras es superor a 47,46 gramos se rechaza la hpótess ula de gualdad de medas poblacoales. ) Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa) S se verfca la hpótess alteratva : 8, se tee ( y) N(8; 8,8) Co lo cual, Po ( y) 8 P 8,8 47,46 8 8,8 P z,3, 878 ) La dfereca etre el peso medo de las muestras tomadas e ambas parcelas es: gramos Como la dfereca es mayor que 47,46 gramos, se rechaza la hpótess ula de que ambas parcelas produce patatas co gual peso medo. Estadístca Teórca: Cotrastes 89

90 37.- El gasto daro, e mles de euros, e electrcdad de ua empresa es ua varable aleatora co dstrbucó N( ;). Se desea cotrastar co u vel de sgfcacó del %, la hpótess ula de que el gasto medo daro es de 3 euros frete a la hpótess alteratva de que dcho gasto es meor que la ctada cfra. Para ello se toma ua muestra aleatora smple de dez días e los que el gasto e electrcdad e euros fue: 9, 9,3 3, 3, 9, 9,9 3, 3 3, 3 Se pde:. Cuál es la hpótess aceptada?. Cuál habría sdo la probabldad de aceptar que el gasto daro medo es de 3 euros, s el gasto medo daro fuese u % superor a la cfra supuesta e la hpótess ula? Solucó: ) La varable aleatora X = gasto daro e facturas de electrcdad XN( ;). La hpótess ula : 3 frete a la hpótess alteratva : 3 Para ua muestra aleatora smple de tamaño, de ua poblacó N( ;), la fucó de verosmltud es: ( ) ( ) ( ) L(,,,, ) e e e e Para obteer la regó crítca, aplcado el teorema de Neyma-Pearso: ( ) L(,,,, 3) L(,,,, 3) e e e ( 3) ( ) e ( ( ) 3) 9 6 e (9 ) ( 6) k e (9 ) ( 6) (9 k ) ( 6) (9 ) ( 6) l k ( 6) l k (9 l k ) Estadístca Teórca: Cotrastes 9

91 l k (9 ( 6) ) dvdedo por, resulta k co lo que la forma de la regó crítca es k. Sedo el vel de sgfcacó del %: P k : 3, S la hpótess ula es certa, cosderado que la muestra es de tamaño, la meda muestral se dstrbuye segú ua ormal N3,, por tato, 3 k 3 k 3 k : 3 P Pz, P k 3 observado las tablas de la N (, ) se tee que,64 K 9, 48 La regó crítca es: 9, 48 Por otra parte, la meda muestral es: 3, 4 Sedo 3,4 9, 48 se acepta la hpótess ula, sedo el gasto medo daro e electrcdad de 3 euros, co ua fabldad del 9%. ) S el gasto medo daro fuera u % superor a 3 euros, sería de 3,6 euros, es decr 3,6. E este caso, la meda muestral se dstrbuye segú ua ormal N3,6 ;, por tato, la probabldad pedda sería: 3,6 9,48 3,6 Aceptar sedo 3,6 P Pz 3,4, 9998 P Estadístca Teórca: Cotrastes 9

92 Estadístca Teórca: Cotrastes Las especfcacoes de u tpo de báscula asegura que los errores e las pesadas sgue ua dstrbucó ormal co esperaza ula y varaza udad. Se desea cotrastar la afrmacó sobre la varaza frete a la hpótess alteratva de que la varaza es 4. E este setdo, se realza cco pesadas e las que el error cometdo resultó ser,9 -,,4 -,7 Para u vel de sgfcacó del %, se pde:. Obteer la mejor regó crítca.. Obteer la poteca del cotraste. 3. Idcar qué hpótess resultada aceptada. Solucó: ) Sea la varable aleatora X = error cometdo e la báscula ). N( ; X Se tee la hpótess ula : frete a la hpótess alteratva 4 : La fucó de verosmltud para ua muestra aleatora smple de tamaño es: e e e ),,,, ( L La regó crítca óptma se obtee aplcado el teorema de Neyma-Pearso: k e e e e 4),,,, L( ),,,, L( 3) l (k k e k e k 3 8 3) l (k 3 8 3) l (k La forma de la mejor regó crítca es k El valor de k se obtee apoyádoos e que el vel de sgfcacó es del %:

93 P k :, S la hpótess ula es certa, la varable aleatora se dstrbuye segú ua ormal N (; ), sedo ua varable aleatora suma de cco varables aleatoras depedetes y co dstrbucó N (; ). E cosecueca, se dstrbuye como ua (ch-cuadrado co cco grados de lbertad). E este setdo, observado e las tablas: P k, K, 7 La regó crítca es:, 7 E otras palabras, se aceptará la hpótess ula cuado la suma de los cuadrados de las observacoes muestrales sea meor que,7 ) La poteca del cotraste es la probabldad de rechazar la hpótess ula cuado es certa la hpótess alteratva, esto es: Poteca P, 7 : 4 Observemos que s la hpótess alteratva es certa, la varable aleatora X se dstrbuye segú ua ormal N (; ), co lo que dvdedo cada por la desvacó típca, se tee que ( se dstrbuye segú ua ), e cosecueca: Poteca P, 7 : 4 P ( ), 767,7 3) El cotraste se realza hallado el de la muestra aleatora smple, sedo:,9 (,) por lo que se acepta la hpótess ula.,4 (,7) 4,3,7 Estadístca Teórca: Cotrastes 93

94 39.- El preco de los productos veddos por ua empresa es ua varable aleatora co fucó de desdad f(), dode,, que depede del parámetro descoocdo. Se quere cotrastar sobre el valor de dcho parámetro la hpótess ula : frete a la alteratva :. Para ello, se toma ua muestra aleatora smple de tamaño dos. Determar el vel de sgfcacó y la poteca del cotraste, s se toma como regó crítca, 6 Solucó: El vel de sgfcacó es la probabldad de rechazar la hpótess ula sedo certa: (Re chazar certa). P E la regó crítca, 6, para se tee: f(), co lo cual: P,6,6,6 : d d d d,6 ( (,6 ) ) ( l d ),6,6 (,6 ) d,6 d,6 (,6,6,6,6 (l l,6),6,6(,),96 ) d La probabldad de rechazar la hpótess ula sedo certa es alta, lo que dca que el cotraste es malo. Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa). E la regó crítca, 6, para se tee f(), la poteca será: Pot (,6,6,6 : d d d d P, 6 4 ) (,6 ) d,7(l ),6 4, 6 ( ), 6/ d, 6 d,6 (,36/ ) d,36,7 (l l,6),36,7 (,),77 La poteca del cotraste o resulta ecesvamete alta, el cotraste o es bueo.,6 Estadístca Teórca: Cotrastes 94

95 4.- El volume daro de vetas de ua empresa, e ce ml euros, es ua varable aleatora X sobre cuya fucó de desdad se establece la hpótess ula : f(),, frete a la hpótess alteratva : f(),. Para realzar el cotraste se toma ua muestra aleatora smple de dos días e los que los volúmees de veta fuero de. euros y. euros. Co u vel de sgfcacó del por ceto, se pde:. allar la mejor regó crítca.. Calcular la poteca del cotraste. 3. Qué hpótess se acepta. Solucó: ) Para ua muestra aleatora smple de tamaño dos, la mejor regó crítca aplcado el teorema de Neyma- Pearso, el cocete de las fucoes de verosmltud es: L(,,f() ) L(,,f() )... k S la hpótess ula es certa f() ), co u vel de sgfcacó del %, se tee:, 4 ( k 8 k k k : f() d d d P 4 k k k k k ( /) d ( /) d d d k k ) k d 4 k (l ) 8 k k k 6 8 k 8 l l (k ) l l k,8633 l k,8633 l k, k,8633 l k,4 de dode k, 3733 La regla de decsó es., k 8 Es decr, se rechaza la hpótess ula s durate los días el producto de los dos volúmees de vetas de la muestra es feror a euros. ) Poteca P(Rechazar falsa) P(Rechazar certa). E la regó crítca, 3733, co la fucó de desdad f(), la poteca: Estadístca Teórca: Cotrastes 9