MODELS DE CAPTACIÓ, ANÀLISI Y INTERPRETACIÓ DE DADES

Transcripción

1 MODELS DE CATACIÓ, ANÀLISI Y INTERRETACIÓ DE DADES MASTER DE LOGÍSTICA, TRANSORT Y MOBILITAT MASTER D ESTADÍSTICA INVESTIGACIÓ OERATIVA AUNTS DE CLASSE ROF. LÍDIA MONTERO: TEMA : REÀS DE CÀLCUL DE ROBABILITATS I VARIABLE ALEATÒRIA AUTORA: Lída Motero Mercadé Departamet d Estadístca y Ivestgacó Operatva Versó. Setembre del.0

2 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC TABLA DE CONTENIDOS.3-. COMBINATÒRIA NOCIONS BÀSIQUES DE ROBABILITAT DEFINICIÓ DE CONJUNT DE LES ARTS D UN CONJUNT FONAMENTAL DEFINICIÓ ACTUAL DE ROBABILITAT ROIETATS DE LA ROBABILITAT.3-.4 ROBABILITAT CONDICIONADA TEOREMA DE LES ROBABILITATS TOTALS FÓRMULA DE BAYES VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA INTRODUCCIÓ A LA VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA DEFINICIÓ DE VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA FUNCIÓ DE ROBABILITAT D UNA VAD ROIETATS DE p FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ DE ROBABILITAT DE VAD ROIETATS D UNA FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ, F () DE VAD MOMENTS DE VAD VECTORS ALEATORIS DISCRETS DEFINICIÓ INDEENDÈNCIA DE VADS ESERANÇA DE FUNCIONS SOBRE VECTORS ALEATORIS DISCRETS EEMLES DE VARIABLES ALEATÒRIES DISCRETES VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA ALGUNES VARIABLES ALEATÒRIES CONTÍNUES AROIMACIONS: DESIGUALTAT DE TEBITEV TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT 59 rof. Lída Motero àg..3- Curs.0-.0

3 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC.3-. COMBINATÒRIA El prcp de Multplcacó El úmero total de maeres dferets de realtzar vares eleccos successves és el producte del úmero de formes dferets e què pode realtzar-se cadascua de les eleccos dvduals. Eemple: Ua persoa ha de vatjar de Madrd a Valèca de Valèca a Evssa. El vatge de Madrd a Valèca es pot fer e automòbl, ferrocarrl o avó, de Valèca a Evssa es pot aar e vaell o e avó. El úmero total de maeres dferets de vatjar de Madrd a Evssa es pot veure a la fgura. MADRID VALÈNCIA EIVISSA Automòbl Avó Automòbl Vaell Ferrocarrl Avó Ferrocarrl Vaell Avó Avó Avó Vaell E total, aquesta persoa pot vatjar de 3 6 maeres dferets. El mètode aplcat a l eemple és l ea bàsca per trobar la solucó de problemes o cal desevolupar successvamet tasques que es pugu dur a terme de vàres maeres dferets: s cal realtzar successvamet vàres tasques la prmera es pot desevolupar d m formes dferets, la segoa d maeres dferets, etc. Llavors el ombre total N de formes dferets de dur a terme les tasques és el producte N m rof. Lída Motero àg..3-3 Curs.0-.0

4 Varacos Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Sgu u cojut A amb # A (el ombre d elemet de A). Es defe el cojut de les varacos d elemets presos de e com totes les eleccos ordeades de elemets dferets etre els estets, és a dr: V A, ) ( a, a,..., a ) : a A,,..., ; a a, j ( j A la seva cardaltat se l aomea V, val: #( V ( A, )) V, ( )... ( ( ( )... ( )! ( )! )) Eemple: U e que està apreet a parlar té u vocabular lmtat a deu paraules. Es capaç de dr tres d elles segudes sese repetr cap. Quates frases es capaç d artcular? El e ha d escollr 3 paraules dferets etre les 0 que coe, llavors podrà dr: ermutacos A 0! V frases. 0, 3 7! Sgu A amb # u cojut. El cojut de les permutacos dels elemets d A, és doat per les maeres dferets d ordear els elemets dferets d A, és a dr: erm( A) ( a,..., a ) : a Var( A, ). A,,..., ; a a j, j rof. Lída Motero àg..3-4 Curs.0-.0

5 La seva cardaltat és: V,! Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Eemple: Cal ordear llbres e u prestatge. Quates maeres h ha de fer-ho? Varacos amb repetcó De! maeres. Sgu A amb # A, u cojut. Es defe el cojut de varacos amb repetcó d elemets presos de e a totes les eleccos ordeades de elemets etre els, aò és: VR( A, ) { a,..., a ) : a A,,..., } VR, #( VR( A, )) Eemple: Travesses possbles: VR 3, ermutacos amb repetcos Sgu A amb de la classe, r # A u cojut e el qual o tots els seus elemets só dstgbles: h ha de la classe r, amb, j,..., r, j j. r j de la classe, rof. Lída Motero àg..3-5 Curs.0-.0

6 El cojut de permutacos dels elemets d A o l elemet j es repete Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC cops, j j,..., r s aomea cojut d ordeacos possbles dels elemets d A, tet e compte que dues ordeacos só la matea s ua pot ser trasformada e l altre omés cavat l ordre dels elemets de la matea classe. La seva cardaltat és: I es calcula u, R,..., r,..., r # erm( B) ( R )!...! r,...,! r R!...! Eemple: E ua llbrera h ha deu eemplars de Trat lo Blac (de la matea edcó) quatre de Terra Baa (també de la matea edcó). Volem col locar-los e u prestatge de l aparador. De quates maeres pot fer-se? I s o es vol separar els llbres que só guals? Respoet a la prmera preguta, etre els 4 llbres h ha 0 que só dètcs (h ha ua mea de llbre que es repete 0 cops) d altres 4 que també só dstgbles (es repetee 4 cops), e total podem comptar, docs: maeres de col locar els llbres al prestatge. 0, 4 4! 4 3 R ! 4! 4 3 S o es vol separar els llbres que só guals, llavors h ha tates formes de col locar-los com permutacos de, docs h ha mees de llbres. Aí docs, podem col locar-los de dues maeres: els eemplars de Terra Baa a l esquerra els de Trat lo Blac a la dreta, o a l revés. r rof. Lída Motero àg..3-6 Curs.0-.0

7 Combacos: Sgu A amb elemets: o,..., a } { Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC # A u cojut. El cojut dels elemets de e és el cojut dels subcojuts d A amb C( A, ) { B A :# B } { a,..., a } : a A, a a j j} a és ua col leccó o ordeada de elemets dferets. roposcó: # C( A, ) C,!!( )! Eemple: De quates maeres dferets pot emplear-se u btllet de lotera (es marque ss úmeros etre l el 49)? I s omés s utltze úmeros sears? S ha de seleccoar 6 úmeros dferets etre els 49 (o mporta l ordre o h ha repetcos), aí docs h ha maeres d omplr el btllet. C 49 49! 6 6! 43! 49, S omés s utltze els úmeros sears, llavors h ha 5 úmeros possbles per marcar per tat h haurà maeres d emplear el btllet. C 5 5! 6 6! 9! 5, rof. Lída Motero àg..3-7 Curs.0-.0

8 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC.3-. NOCIONS BÀSIQUES DE ROBABILITAT.3-. Defcó de Cojut de les arts d u Cojut Foametal Defcó d Eperèca Aleatòra Els feòmes aleators o eperèces aleatòres só aquelles e què el resultat, sota les matees codcos de repetcó de l eperèca, o sempre és el mate. erò preseta ua regulartat estocàstca al llarg d u ombre elevat de repetcos de l eperèca. El cojut foametal o cojut de resultats d ua eperèca aleatòra és el cojut de tots els possbles resultats de l eperèca aleatòra. Es sol otar per. U succés és u cojut de resultats elemetals. Cada u d aquests possbles resultats es pot cosderar com u succés elemetal. El resultat es sol otar per el succés elemetal mplcat {}. H ha dos successos especals: El succés cert (doada ua eperèca aleatòra sempre es realtza: ). El succés fals (ma es realtza, o coté cap succés elemetal, smboltzat per ). Ds el cojut dels successos, h ha u segut d operacos dervades de la Teora de Cojuts:. Succés cotrar o complemetar: Sgu u succés A tal que A. rof. Lída Motero àg..3-8 Curs.0-.0

9 Defm el succés cotrar A com el succés que es realtza qua o es realtza A. És a dr, A = / A. Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC. Succés terseccó: Sgu dos successos del cojut foametal, A A, A A. arte de dos successos del cojut foametal, es realtza qua ho fa A A alhora. Matemàtcamet, A A = / A A. 3. Succés uó: Sgu dos successos A A, A A, El succés uó d aquests dos es realtza qua es realtze A ó A. És a dr, A A = / A A. Implcacó: S el succés A mplca la realtzacó del succés A, otat A A, l úca cosa que vol dr és : A A. Dos successos só compatbles s A A A A =. La terseccó dels successos és el succés fals (o coté cap succés elemetal). U succés A es realtza e ua stàca de l eperèca aleatòra s el resultat, w, és tal que A. L Àlgebra de Successos, basada e la Teora de Cojuts, gaude d ues certes propetats: Commutabltat: AB = BA gualmet AB = BA. Assocabltat: A(BC) = (AB)C. Igualmet amb la terseccó. Dstrbutvtat: A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC). Idettat: A=A A=A. rof. Lída Motero àg..3-9 Curs.0-.0

10 Complemetaretat: A A = A A =. Lles de De Morga: AB A B AB A B. Complemetaretat del complemetar: A A. Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC El cojut de les parts o cojut de successos d ua eperèca aleatòra (otat ) és el cojut format per tots els possbles subcojuts de. Cada subcojut de és u succés. Aquest cojut comple certes propetats: E E. El cojut de les parts és tacat per complemetaretat. > 0 E E.. 0. És tacat per la uó..3-. Defcó Actual de robabltat Basada e l aomàtca de Kolmogorov, pre forma de defcó estrctamet matemàtca, Sgu (,) u espa probabltzable. La probabltat és tota aplcacó : 0, tal que comple els tres aomes següets:. Aoma de probabltats totals: A, B t.q. A B A B A B rof. Lída Motero àg..3-0 Curs.0-.0

11 . Aoma complert de les probabltats totals: 3. Aoma de ormaltzacó: Defcó d Espa robabltzat: 0 A j 0 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC t. q. A A j A A La trpleta (,, ) costtuïda per u espa foametal de resultats d ua eperèca aleatòra el cojut de les seves parts sobre els qu s ha deft ua aplcacó de probabltat s aomea espa probabltzat. 0 rof. Lída Motero àg..3- Curs.0-.0

12 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC.3-.3 ropetats de la robabltat A A er a. er a. 3 Aí docs, A A A A A A A A A A A A. A A. 0 er propetat 0 3. Sgu A B o compatbles, és a dr, A B, llavors es comple: A B A B A B rof. Lída Motero àg..3- Curs.0-.0

13 .3-.4 robabltat codcoada Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Tem a pror ua formacó per calcular la probabltat d u determat succés A llgat a ua eperèca aleatòra. Aquesta dspobltat d formacó és ua stuacó e la qual coeem la probabltat de realtzacó d u altre succés B tal que (B) > 0 volem veure com flue (B) e (A). Ua cosa és la probabltat d u succés A ((A)) ua altra és la probabltat de A codcoada a B ((A/B)). La probabltat codcoada és el càlcul de la probabltat d A suposada la realtzacó de B. S (B)>0 llavors: S (B)=0 la probabltat codcoada o està defda. Coseqüèces: A/ B A B B A/ B B s B 0 A B S A B aleshores A/ B B / A A s A 0 S A B aleshores A/ B B / A 0 S A B aleshores A/ B A B B A B B A B B B A rof. Lída Motero àg..3-3 Curs.0-.0

14 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Idepedèca La depedèca és u cocepte matemàtc, o tuïtu. S tem (B)>0, aleshores pot passar: A / B A B afavore la realtzacó de A A / B A B perjudca la realtzacó de A A / B A / B A B o afecta la realtzacó de A : tem depedèca Dos successos A B só depedets s omés s (A/B)= (A); o sgu, qua la realtzacó de B o afecta la realtzacó de A. Ua altra maera de verfcar la depedèca etre dos successos és que dos successos só depedets s omés s (AB)=(A) (B), ja que: A B A/ B B A B La depedèca de successos té les següets propetats: Dos successos compatbles de probabltat o ul.la dferet de la utat ma só depedets: Sgu A, B tals que (AB) = (AB)= 0 (A)>0 (B)>0 per tat (A) (B)>0 ma só depedets El succés fals és depedet de tots els successos: () (A) = 0 A rof. Lída Motero àg..3-4 Curs.0-.0

15 És commutatva: A depedet de B B depedet de A A depedet de B A depedet de C B depedet de C Cotraeemple: Sgu,,, els successos A,, B, És NO trastva:, C, probabltat defda com Idepedèca mútua Ara cal veure com s estable la depedèca etre més de dos successos. Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC amb ua U cojut de successos A,...,A só mútuamet depedets s per tots els subcojuts de cardal de es comple que la probabltat de la terseccó és gual al producte de probabltats: er eemple, per verfcar la depedèca etre A, A, A 3 caldrà verfcar la depedèca etre (A,A ), (A,A 3 ), (A,A 3 ), (A,A,A 3 ) Teorema de les probabltats totals r jm A j r jm A m, r tq m r E Teora de Cojuts es defe ua partcó com u cojut de cojuts de la següet maera: j rof. Lída Motero àg..3-5 Curs.0-.0

16 Elssuccessos B,..., B Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC formeua partcódel cojut B B j, j; j,, j Sgu u succés qualsevol A, A es pot epressar com a uó dels successos dsjuts relacoats amb la partcó B,...,B : B Aleshores la epressar-se com: A A B A B A B s j j ja que A A B A B probabltat del succés A pot El Teorema de les robabltats Totals epressa l ateror gualtat: A A B A B.3-.6 Fórmula B de Bayes Sgu u succés A. Sgu B ua partcó del cojut foametal.,, B Les probabltats a pror es defee com: rof. Lída Motero àg..3-6 Curs.0-.0

17 A,, B. Les probabltats a posteror es defee com B, A, Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC s terprete com Doada la realtzacó del succés A, la probabltat que el succés probabltat a posteror de B. B s hag realtzat s aomea Les probabltats a posteror pode calcular-se a partr de les probabltats a pror mtjaçat la defcó de probabltat codcoal el Teorema de les robabltats Totals duu el om de Fórmula de Bayes: B A A B A A B B A er qualsevol elemet B de la partcó A B B A B B de rof. Lída Motero àg..3-7 Curs.0-.0

18 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC.3-3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA.3-3. Itroduccó a la Varable Aleatòra Dscreta La formulacó dels resultats d ua eperèca aleatòra com a varable aleatòra té com a avatatges que permet reflectr els resultats e valors umèrcs, proporcoat u major grau d abstraccó, a cav, es perd formacó sobre el cojut foametal de l eperèca aleatòra tractada, de maera que la costruccó de la varable aleatòra ha d aar més llgada a l objectu de l estud Defcó de varable aleatòra dscreta Ua varable aleatòra dscreta (VAD) és ua aplcacó tal que a cada l assoca u valor real (): : ω () Fucó de probabltat d ua VAD Sgu ua VAD I VAD. el cojut de tots els dferets valors que pot predre aquesta rof. Lída Motero àg..3-8 Curs.0-.0

19 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Sgu també la partcó de e successos duïda per la varable aleatòra. A tq Defm la fucó de probabltat de la VAD, p (), com ua aplcacó dels reals cocretamet del cojut de valors de la vad, e l terval [0,], tal que p p A p 0 altramet ( ): s rof. Lída Motero àg..3-9 Curs , és matge de l aplcacó És a dr, és ua fucó defda des del cojut de valors d ua VAD cap a [0,, val la suma de les probabltats dels dferets successos elemetals que tee com a matge el valor. er ser precsos, cal etedre el dom a tots els reals, smplemet dcat ua probabltat ul.la per tots els reals que o forme part del cojut de valors de la VAD ropetats de p 0 p I per qualsevol valor real. p Fucó de Dstrbucó de robabltat de VAD Nocó de probabltat acumulada

20 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC El succés deota el cojut dels successos elemetals del cojut foametal de l eperèca aleatòra tals que tee per matge e l aplcacó VAD u valor real feror o gual a. Matemàtcamet, La fucó de dstrbucó de probabltat d ua varable aleatòra dscreta es ota F () està defda com: F p ropetats d ua fucó de dstrbucó, F () de VAD 0 F per tot valor real. F és ua fucó moòtoa o decreet, és a dr, lm F. lm F 0. F F rof. Lída Motero àg..3-0 Curs.0-.0

21 F () de VAD està defda a tot l e real. Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC F () s cremeta a salts, ubcats als puts de l e d abcsses valors de la VAD,,, I, supose u cremet e el valor de la fucó (e d ordeades) de magtud p al, F F F p per,..., F per... I I Momets de VAD Magtuds resum dels trets més característcs de VAD. Smlartat amb els estadístcs defts al Tema d Estadístca Descrptva Esperaça matemàtca de VAD p rof. Lída Motero àg..3- Curs.0-.0 I o,..., I só els valors de VAD Sumator dels productes valor de la varable per la seva probabltat: magtud de tedèca cetral dels valors de VAD Esperaça de fucos reals de VAD S defm ua ova varable Y VAD, a partr d ua fucó real g() sobre la varable VAD,

22 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Y g y j L esperaça de Y=g() VAD pot calcular-se a partr de la fucó de probabltat de VAD, Eg g p E Y I No cofodre: e geeral, g g Algues propetats de l esperaça matemàtca de VAD b ae b h Eg Eh E a E g H ha dues fucos que es defee a partr de l esperaça matemàtca que só força mportats: El momet d ordre de la varable VAD és, rof. Lída Motero àg..3- Curs.0-.0

23 I E És u cas partcular de El momet cetrat d ordre de VAD, otat com Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC p ( ) Y o Y= g()=., és, E() E E p()...i És u cas partcular de Varaça de VAD: és el momet cetrat d ordre = E E() És u valor sempre postu s 0 Y o Y= g()= (-E[]). VAR(), I E() p VAR., aleshores és costat. La desvacó típca o estàdard es defe com la magtud (arrel quadrada de la varaça). La propetat VAR E E permet calcular més fàclmet la varaça. Demostracó: p VAR I rof. Lída Motero àg..3-3 Curs.0-.0

24 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Estadístc relacoat e estadístca descrptva com a mesura de la dspersó dels valors d ua característca quattatva respecte la tedèca cetral dels valors : Moda: és el valor que més es repete. s. Medaa: és el valor que dea el 50% d observacos per sota el 50% per sobre. S epressa Me es defe com, Me t.q. ( Me) = 0.5 ( Me) = Frequecy rofud er eemple, aquest hstograma represeta els valors que pre ua varable aleatòra que dóa la profudtat d u llac ds d ua mostra prefada. S cosderem que tots els valors só equprobables, llavors la medaa represeta ds el gràfcs a la profudtat que dea el mate ombre de llacs a dreta esquerra. E aquest cas la stuaríem sobre 8-9. rof. Lída Motero àg..3-4 Curs.0-.0

25 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Eemple: Llaçamet de dos daus. Qus valors pot predre la suma? = 6 6=36, : VAD Suma dels valors del lleçamet de daus. Cada succés de té probabltat /36. ( ) ( ) {,} /36 0 {4,6}{5,5}{6,4} 3/36 3 {,}{,} /36 {5,6}{6,5} /36 4 {,3}{,}{3,} 3/36 {6,6} /36 5 {,4}{,3}{3,}{4,} 4/36 6 {,5}{,4}{3,3}{4,}{5,} 5/36 0,7 7 {,6}{,5}{3,4}{4,3}{5,}{6,} 6/36 8 {,6}{3,5}{4,4}{5,3}{6,} 5/36 9 {3,6}{4,5}{5,4}{6,3} 4/36 Sum of N 0, 0,07 0, rof. Lída Motero àg..3-5 Curs.0-.0

26 Calculem els momets prcpals, esperaça varaça, Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC ( ) E VAR E E p I Sabem que E=7, e coseqüèca, E = 49, però o sabem quat val E. E 0 VAR 3 36 p 36 ( ) E E er al càlcul de la medaa sols cal observar e la taula de successos probabltat la smetra estet podem afrmar d mmedat que la medaa és 7. Veem també que cocde amb l esperaça, feome degut altre cop a la smetra de la dstrbucó. Eemple pel lector: Lleçamet de dos daus. Qus valors pot predre la dferèca dels resultats e valor absolut? rof. Lída Motero àg..3-6 Curs.0-.0

27 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Y: VAD Dferèca absoluta dels valors del lleçamet de daus. Cada succés de té probabltat /36. Y p Y (y ) 0 {,} {,} {3,3} {4,4} {5,5} {6,6} 6/36 {,}{,}{,3}{3,}{3,4}{4,3}{4,5}{5,4}{5,6 }{6,5} 0/36 {,3} {3,}{,4} {4,}{3,5} {5,3}{4,6} {6,4} 8/36 3 {,4} {4,}{,5} {5,}{3,6} {6,3} 6/36 4 {,5} {5,}{,6} {6,} 4/36 5 {,6} {6,} /36 Calculeu els momets prcpals, esperaça varaça, y p (y ). 94 E Y 6 Y rof. Lída Motero àg..3-7 Curs.0-.0

28 VAR Y EY EY 6 y p y Y Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC 0,5 Sum of N_Y 0,5 0,05 0 Y rof. Lída Motero àg..3-8 Curs.0-.0

29 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Vectors Aleators Dscrets U vector aleator dscret de dmesó K, (,,..., ), està composat per K s VAD defdes TOTES sobre el mate cojut foametal (ft) d ua eperèca aleatòra, és ua fucó vectoral de valors reals: K que assga a cada resultat K K K u vector de K El cojut de valors del vector aleator dscret (,,..., K) és u subcojut dscret de (ft o ft umerable). Treballarem el cas partcular del parell aleator dscret. (, Y) Defm la fucó de probabltat del vector aleator dscret (,,..., K ), p com ua aplcacó del cojut de vectors matge de l aplcacó vectoral (,,..., K ) e l terval 0,, p K K : 0, p tal que rof. Lída Motero àg..3-9 Curs.0-.0

30 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC És a dr, és ua fucó defda des del cojut de vectors matge de l aplcacó vectoral (,,..., tee ua matge comua. K ) E el cas partcular d u parell aleator dscret VECTOR A.D. cap a [0,, val la suma de les probabltats dels dferets resultats que (, Y) p, y: 0,, Y Eemple: Qua és la fucó de probabltat cojuta pel parell deft a partr de l eperèca del llaçamet smulta de daus: - Suma dels valors Y- Dferèca absoluta dels valors. /Y p / / / /36 4 /36 / / /36 0 / /36 6 /36 0 /36 0 /36 0 5/ /36 0 /36 0 /36 6/36 8 /36 0 /36 0 /36 0 5/ /36 0 / /36 0 /36 0 / /36 0 / /36 / /36 p Y y 6/36 0/36 8/36 6/36 4/36 /36 /36 rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

31 Fucó de probabltat margal p Sgu el cas partcular d u parell aleator dscret (, Y) Y y j j Y y p, y j j p Y Y (,y) = j j Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC =,Y = y A partr de la fucó de probabltat cojuta del parell aleator dscret (, Y) es pot determar la fucó de probabltat de cadascua de les varables aleatòres dscretes que costtuee (, Y), deomades fucos de probabltat margal de de Y, p y p Y p Y, y Y y Y y Y y p, y Y Defcó Idepedèca de VADs Y varables aleatòres dscretes só depedets s omés s py (, y) = p ( ). p y y Y ( ), Iterpretacó rof. Lída Motero àg..3-3 Curs.0-.0

32 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Y só depedets s el coeemet d ua de les varables o aporta formacó sobre l altra varable. Defcó d Idepedèca Mútua e u Vector Aleator Dscret Sgu,, K u vector aleator dscret de dmesó K. Les varables só mutuamet depedets s omés s, p (,, ) p ( ) p ( ) K K K K Esperaça de fucos sobre vectors aleators dscrets Sgu u vector a.d. (,,..., ) de dmesó K, o só VADs. Sgu ua fucó defda real: h. K h : K o a cada vector K l fa correspodre u valor L esperaça matemàtca de la fucó h : aplcada sobre els vectors matge de l aplcacó vector aleator dscret (,,..., ) és, K rof. Lída Motero àg..3-3 Curs.0-.0

33 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC rof. Lída Motero àg Curs.0-.0 K K,.., K K ),.., ( p ),.., (... () p (),..., E E K h h h h er =, es té j j Y ).,y ( p ),y (,Y E E h h h E geeral : E geeral : K K E E s,..., K mútuamet depedets. E geeral : K K V a a V AR AR s,..., K mútuamet depedets. Y COV VAR Y VAR Y VAR Y Y h, E (,Y) E Z E coegudes costats a o,, E a a E K K K K E E

34 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC E l estud de les propetats de la varaça de fucos del parell de varables Y, l epressó de la varaça de la suma requere d u ou momet: la covaraça etre dues varables. La covaraça és ua mesura de la relacó leal etre dues varables té per epressó: Defcó de Varables No Correlacoades y j Cov(,Y) = E((-E()(Y-E(Y)) = ( E( ))( y E( Y)) p (, y ) j Y j Y só o correlacoades s omés s Cov(,Y) = 0. Les propetats prcpals de la covaraça só les següets:. Cov(,Y) = E(.Y) - E().E(Y). S Y só depedets llavors Cov(,Y) = 0. Z llavors Cov( Z, W) Cov(, Y) 3. S W Y. La segoa propetat lustra el fet que dues varables depedets só o correlacoades; o obstat, cal otar que la mplcacó o és vàlda e el sett vers: S Y só o correlacoades Y depedets L últma de les propetats lustrada dca que la magtut de la covaraça depè de les utats e què es defee les varables d aquí sorge la ecesstat de defr ua mesura de la relacó rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

35 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC leal de caràcter admesoal, amb el que arrbem a la defcó del coefcet de correlacó leal:, Y Cov, Y Y amb Var y VarY ropetats prcpals del coefcet de correlacó leal, Y :, Y pre valors e l terval,., Y > 0 s este ua relacó leal postva etre Y, és a dr, a valors creets de s observe valors creets de Y., Y < 0 s este ua relacó leal egatva etre Y, és a dr, a valors creets de s observe valor decreets de Y. Y, = 0 s les varables só o correlacoades. S Y = a + b llavors, Y Eemples de Varables Aleatòres Dscretes rocés de Beroull: S aomea u procés de Beroul a ua seqüèca de repetcos d u epermet aleator smple que cumple: Y rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

36 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC. Cada eperèca aleatòra té dos possbles resultats (cert/fals, èt/fracàs,..., geèrcamet A/B):, A B. Al llarg de les repetcos, les probabltats só costats: (A) = p (B)=-p = q. 3. H ha depedèca estadístca dels resultats al llarg de les repetcos Lle de Beroull Sgu la varable aleatòra dscreta defda com, : Nb d aparcos de classe A e repetcó d ua prova de Beroull smple El cojut foametal és,. A B L aplcacó varable aleatòra sobre el cojut foametal és, 0 0, A A partr d aquí es pode dedur fàclmet les fucos de probabltat de dstrbucó. p p F F E (0) q () VAR (0) () 0 B p ( p p ) 0 A p B ( p) q p (0) p () 0 q p p rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

37 Lle Bomal de paràmetres p Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC U procés bomal de paràmetres p és la repetcó de eperèces d u procés de Beroull de paràmetre p. Sgu Y : Nombre d aparcos de classe A e la seqüèca de. Notada com Y B(, p). El cojut foametal de l eperèca aleatòra repetcó del procés de Beroull bàsc comptar les classes A és, 0,,, Y, Y, Y,, Y Y 3 tq 0 O Y deota el succés format per tots els successos elemetals que gaudee de l aparcó de classes A e les repetcos del procés de Beroull bàsc. rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

38 L aplcacó varable aleatòra Y sobre el cojut foametal és, Y 0,, Y,..., Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC Y Ara bé la cardaltat de és el ombre de combacos de elemets de dos possbles valors! agafats e grups de valors - valors:!! totes elles só equprobables, cadascua de probabltat p p, per tat, Y Y A A B B p!! E la termologa habtual, per B, p! p rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

39 p () 0 F () E 0 p p p p p VAR : Eter més gra feror o gual a. E: p Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC ( p) La fucó bomal cumple les propetats: B(,p) B(, p), ( ) ( ) B(,p) B(,p), B(,p) A l hora de mrar dstrbucos bomals, usarem les taules. De qua maera esta epressades les taules? rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

40 B(, p) F () b(,, p) Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC () B(,, p) Nomes epressat per < 0, per p de 0'05 a 0'5. S 0... ( = ) = B(,, p) - B( -,, p) ( ) = B(,, p) S p > 0'5 ' B(, p' ) p' = - p ( = ) = (' = - ) = B( -,, p' ) - B( - -,, p' ) ( ) = - B( - -,, p' ) O equvaletmet, ' ' er gràfcs de VAD Bomal vsteu el Web Ste: Lle geomètrca Sgu u procés de Beroull de paràmetre p, aleshores la varable, = º de repetcos de l eperèca fs assolr u resultat de classe A. És ua varable aleatòra dscreta deomada geomètrca de paràmetre p. Notat com G(p) El cojut foametal de l eperèca aleatòra repetcó del procés de Beroull bàsc fs assolr ua classe A és,,, A, BA, BBA, BBA, B A 0, 3 rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

41 L aplcacó varable aleatòra sobre el cojut foametal és, K B A,,... Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC A partr d aquí es pode dedur fàclmet les fucos de probabltat de dstrbucó: p F p E () () VAR ( p) p p p q ( p) p Lle Bomal Negatva de paràmetres p r Sgu u procés de Beroull de paràmetre p, aleshores la varable, = º de repetcos de l eperèca fs assolr r resultats de classe A. És ua varable aleatòra dscreta deomada bomal egatva de paràmetres r p. Notat com B(r, p) rof. Lída Motero àg..3-4 Curs.0-.0

42 p () Y A Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC r p r- ( p) - r p r p r ( p) -r F () E r p r p () VAR r p p rq p Lle de osso de paràmetre H ha vegades e què aparee successos putuals sobre u suport cotu:. Arrbada de clets a bac (arrbada de clet: succés putual, cotu: temps),. Aparcó de taques de corrosó a ua tubera (aparcó de taques: succés putual, cotu: espa). U procés possoà es caractertza per : L aparcó de successos putuals e u suport cotu; de maera que e promg, el úmero de successos per terval (del cotu) és u rat costat,, ombre de successos per terval. rof. Lída Motero àg..3-4 Curs.0-.0

43 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC És u procés sese memòra: e coèer el ombre de successos observats e u terval o ajuda a predr el que apareera e l terval següet H ha depedèca e l aparcó dels successos putuals. Ua varable dscreta de osso de paràmetre ( ( )) modeltza e la stuacó ateror, : Nombre de successos e u terval. 0,,,..., és el ombre mg de successos per El rag de valors de la VAD és terval. La lle de osso costtue u cas límt de la lle Bomal qua Fucó de probabltat: Fucó de dstrbucó: F p () E VAR ()! 0 - e p () 0 eter 0; eter Les taules doe F (). S volem saber p () F () F ( ). 0 p. er gràfcs de VAD osso vsteu el Web Ste: rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

44 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

45 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC ropetats de la lle de osso ropetat adtva: Suposem Y referdes a la matea logtud d terval d u cert cotu, ( ) Y ( ' ), Y dep. Y ( ' ) Relacó Bomal-osso: útl pel càlcul de probabltats relacoades amb varables bomals qua s escapa de les taules p 0 ( < 0. )., p B gra p 0 pot apromar - se per Y ( p) rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

46 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC.3-4. VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA Ua varable aleatòra cotíua (VAC) sobre u espa probabltzat (, (), ) amb o umerable, és ua fucó : tal que assga a tot succés u valor ( ), de maera que per tot ombre real el succés () Observacos:. Ma es pot saber el valor eacte d ua varable aleatòra cotíua. Les varables aleatòres cotíues, com les VAD s, es caractertze per la seva fucó de dstrbucó (F ()) p (ja que ma es pot saber el, però o tee ua fucó de probabltat valor eacte). E comptes d aquesta tem ua fucó de destat de probabltat és la dervada de la fucó de dstrbucó. E v.a.d. teíem que la fucó de dstrbucó represetava la ocó de probabltat acumulada, e cotíua és el mate cocepte per defcó, F () VAC La fucó destat de probabltat de VAC (fdp) és la dervada respecte la varable de la fucó de dstrbucó de probabltat, és a dr, f df () () d f (), que rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

47 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC De maera que la fucó de dstrbucó avaluada al put real pot determar-se com la tegral defda etre de la fucó destat de probabltat (fdp): F () - f (t) dt er u put doat F() és precsamet l àrea que taca f () des de - fs a aquest put. Aàlogamet a varable aleatòra dscreta, a cotíua també tem momets: esperaça, varaça, covaraça... E t f t dt Eg g t f t ropetats dels momets e VAD seguee esset vàldes: E E Y E EY a b ae b VAR E E Y VAR VARY COV Y b a VAR VAR, VAR a rof. Lída Motero àg Curs.0-.0 dt g : VAR t E f t dt

48 COV, Y E Y E EY Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC.3-4. Algues varables aleatòres cotíues Lle uforme U[a,b]: Etre els dferets models (dstrbucos típques) de varables aleatòres cotíues h ha u de molt sezll, l uforme a l terval tacat a, b S epressa com U a, b la fucó de destat de probabltat és: f () ba 0 s a, b altramet f ( ) F () b a m b a a b La fucó de dstrbucó és 0 fs a a, recta amb pedet Gràfcamet, les dues fucos só: b a e l terval a, b a partr de b. rof. Lída Motero àg Curs.0-.0 a b

49 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC er gràfcs de VAC Uforme vsteu el Web Ste: La fucó de dstrbucó els momets bàscs só: F () - f (t)dt = a dt ba t ba a a ba a b t dt t t f (t)dt = E b a b-a (b a) b a b (b a) a (b a) (ba)(b a) (b a) ba E 3 3 b a 3(b a) VAR() E (b E Lle epoecal de paràmetre : Ep( ) e rof. Lída Motero àg Curs.0-.0 a) La dstrbucó epoecal de paràmetre és ua fucó defda pels reals postus. S epressa com Ep( ) gràfcamet es represeta: f e 0 0 altramet e

50 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC La fucó de dstrbucó de probabltat de la varable, e 0. F f t L esperaça matemàtca de la varable aleatòra és, La varaça de la varable aleatòra és, Var E t t f t dt t e 0 t E f t Var t E E t e F, és: e dt 0 dt dt dt 0 altramet 0 ó ropetats de les lles epoecals La fucó destat de probabltat d ua varable aleatòra, epoecal de paràmetre, és ua fucó estrctamet decreet e. f rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

51 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC La dstrbucó de probabltat epoecal gaude de la propetat d absèca de memòra que pot formular-se e termes matemàtcs com, per, 0, La propetat d'absèca de memòra és ua característca eclusva de la dstrbucó epoecal: cap altre dstrbucó de probabltats per ua varable aleatòra cotíua gaude d'aquesta característca. recsamet per la seva sgulartat, e tetar terpretar-la a la realtat s'arrba a coclusos que, pel sett comú de les persoes, semble paradoes. S la fucó destat de probabltat de la varable aleatòra T, temps etre cdets (arrbades o sortdes d u sstema) és epoecal de paràmetre, aleshores la varable aleatòra defda com el ombre d cdets e u terval f 0,t segue ua dstrbucó de osso de paràmetre t. És a dr, t o f e! t t! e E Var t. La terpretacó del paràmetre és la taa mtjaa d cdets per utat de temps. Sgu el succés A deft com que o arrb cap cdet e el terval 0,t, calculem la seva probabltat a partr de la defcó de la varable, rof. Lída Motero àg..3-5 Curs.0-.0

52 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC rof. Lída Motero àg..3-5 Curs.0-.0 t t t e e e t f A 0! Ara bé e termes de la varable T, t e t T t T A. Òbvamet, el càlcul de probabltat del succés A pre el mate valor. La varable aleatòra U defda com el mím d u cojut de varables aleatòres depedets epoecals T,T,, de paràmetres respectus,,, segue ua lle epoecal de paràmetre. És a dr, T M T U,, per tat la fucó de dstrbucó de U pot epressar-se com, t t t t U e e e e t T t T t T t T t U t U t F,, La dstrbucó -Erlag Eemple: Ua estacó de serve té u úc servdor o ua operacó de serve cosstet e ua sère de etapes cosecutves fs que o ha faltzat amb la últma etapa de les etapes pel clet amb el que està ocupat o passa a ocupar-se del següet clet de la cua. A més a més que el temps T de cada etapa de serve és ua varable aleatòra que és

53 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC rof. Lída Motero àg Curs.0-.0 depedet dels altres temps de serve de la resta d'etapes es dstrbue epoecalmet amb paràmetre o taa de serve. comú per totes les etapes de serve. El temps total de serve T serà docs ua varable aleatòra pot epressar-se com la suma dels temps de serve de les etapes: T T E aquestes codcos la varable aleatòra T es dstrbue segos la lle de probabltats - Erlag (o Erlag de paràmetres, ) que preseta la següet fucó de dstrbucó: 0, 0 per! 0 t t e t T t F t T la fucó destat de probabltat: 0 per! t t e t F dt d t f t T T. L esperaça matemàtca la varaça de la varable aleatòra T d Erlag de paràmetres só:

54 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC ET ET ET Var T Var T Var T ; Aí docs la relacó etre la desvacó tpus l'esperaça matemàtca és sempre feror a la utat per > : Var E T T / / s =0 Ua represetacó gràfca de la fucó de destat de probabltat per la dstrbucó -Erlag per dferets valors dels =0 paràmetres, però matet-se =, ve doada e la següet fgura: = = t Lle Normal de paràmetres Notat N, probabltat, f, VAC que pot pedre qualsevol valor real amb ua fucó destat de e er gràfcs de VAC Uforme vsteu el Web Ste: rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

55 Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC assar de la ormal estàdard 0, N a la Normal N 0, assar de la ormal estàdard N 0, a N, La fucó de dstrbucó de N, F o té ua epressó aalítca: () er tat està tabulada pel cas partcular 0 estàdard. Les taules faclte la formacó per poder calcular s N, : cav d escala. : cav de poscó, escala dètca. - f (t) dt, coeguda com la lle ormal Z N 0, : F F F ropetats de N, E VAR :. és el put d fleó de la fdp. rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

56 Fucó destat de probabltat smètrca: E F Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC = Medaa, el que mplca F F F 0 rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

57 ercetls: Dstrbucó estàdard Z N 0, Tabulada la seva fucó de dstrbucó de probabltat per valors z >0: F Z z z e t dt Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC z er la propetat de smetra es pode calcular probabltats acumulades de valors egatus, s 0 : S N, N 0, Z F F Z 0 llavors la varable Z. Z Z Z està dstrbuïda com ua ormal estàdard, Z F Z La tpfcacó permet d emprar les taules de la ormal estàdard pel càlcul de probabltats de qualsevol varable ormal N,. rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

58 Trasformacos leals de v.a. ormals Sgu, Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC,, v.a. ormals mútuamet depedets amb dstrbucos respectves N, =,, llavors la varable S defda com, està dstrbuïda N, S, S amb a S a b b. b,, o só mútuamet depedets llavors N, j b b COV j,.3-4. Apromacos: j B(,p) ( = p) s (p<0 >00 ) o p(-p) < 5 B(,p) N ( p, p (-p)) s p (-p)>5 El que fem és = p = p (-p) () N(, ) s >5 El que fem és = =. S, però a b rof. Lída Motero àg Curs.0-.0

59 Desgualtat de Tebtev Sgu ua VAC d esperaça matemàtca varaça Teorema Cetral del Límt Sgu comua,,, Models de Captacó, Aàls Iterpretacó de Dades MASTER LTM - UC llavors, 0 v.a. mútuamet depedets amb dstrbucos d esperaça comua varaça llavors la varable dstrbucó 0, N, Z, suma de les aterors cetrada reduïda, coverge per gra a ua Alteratvamet, la varable Z N S, suma de les aterors, coverge per gra a ua dstrbucó, 0, N. E geeral, s,,, só v.a. mútuamet depedets de lle qualsevol d esperaça respectva varaça respectva N, amb, la varable. S, suma de les aterors, coverge per gra a ua dstrbucó rof. Lída Motero àg Curs.0-.0