Universidad de Málaga

Transcripción

1 Departamento de Economía Aplcada (Estadístca y Econometría) Facultad de Cencas Económcas y Empresarales. Unversdad de Málaga Prvacón, benestar e mposcón sobre la renta. Tess Doctoral presentada por Elena Bárcena Martín y Drgda por: Dr. D. Lus Imedo Olmedo y Dra. Dña.Gullermna Martín Reyes.

2 Agradecmentos A Lus Imedo y a Gullermna Martín, ms codrectores de Tess, por el apoyo, la dedcacón y la confanza mostrada al ncarme y guarme en la realzacón de este trabao de nvestgacón. Al drector y a todos y cada uno de los membros del Departamento, por haber compartdo despacho, esperas en la mpresora, tantas horas de trabao, y por haber sabdo hacerme tan agradable todo el tempo dedcado a la tarea nvestgadora. A los compañeros de otros departamentos, por sus comentaros y sugerencas. Por supuesto, a m famla y amgos, y en especal a ms padres, hermanas, a ms abuelos y a Pablo, porque no han dudado en ayudarme y anmarme sempre que lo he necestado. A todos os doy m más sncero agradecmento.

3 Índce Introduccón. Capítulo. La prvacón relatva. 6.. El concepto de prvacón relatva. 7.. Formulacones analítcas de la prvacón Los enfoques de Ytzhak y de Hey y Lambert La prvacón defnda a partr de una funcón de utldad Las funcones de utldad soelástcas El enfoque de Chakravarty y Chakraborty Otras aportacones a la medda de la prvacón Haca una axomátca Análss de la prvacón y satsfaccón según la formulacón de Hey y Lambert y Ytzhak para las rentas españolas de Apéndce. Conceptos prevos. 56 Capítulo. Prvacón / satsfaccón y status. Prvacón / satsfaccón, renta y status Prvacón, satsfaccón y status. 67

4 .. Renta y Status. Una generalzacón del enfoque de Hey y Lambert Análss de la prvacón y satsfaccón según la formulacón del status y generalzada para las rentas españolas de Conclusones. 97 Capítulo 3. Prvacón, satsfaccón y benestar entre poblacones Defncones y resultados báscos Descomposcón del índce de Gn, de la prvacón / satsfaccón y del benestar en y entre subpoblacones Descomposcón del índce de Gn Descomposcón de la prvacón / satsfaccón Descomposcón del benestar Casos partculares Prvacón, satsfaccón y benestar en y entre subpoblacones cuyas dstrbucones de renta no se solapan Característcas de las dstrbucones truncadas Descomposcón de la prvacón, de la satsfaccón y del benestar. 4

5 Caso partcular: partcón en dos subpoblacones (k=) Aplcacón. Prvacón, satsfaccón, benestar y nvel de estudos en España (990-99) Prvacón y status entre poblacones Conclusones. 44 Capítulo 4. Prvacón / satsfaccón relatva e mposcón sobre la renta Notacón y conceptos prevos Prvacón / satsfaccón e mposcón Bao el enfoque de Hey y Lambert Bao el enfoque utltarsta Prvacón / satsfaccón, status e mposcón Prvacón / satsfaccón bao el enfoque de Hey y Lambert generalzado, e mposcón Aplcacón. Análss de la ncdenca de la tarfa nomnal del IRPF (994) sobre la prvacón y la satsfaccón relatva Conclusones. 99

6 Capítulo 5. Prvacón, satsfaccón y benestar entre poblacones e mposcón sobre la renta Efecto de un códgo mpostvo Caso de dos subpoblacones. Relacón entre la prvacón / satsfaccón antes y después de mpuestos Descomposcón de la prvacón / satsfaccón y del benestar en y entre subpoblacones antes y después de mpuestos Progresvdad frente a proporconaldad Efecto de una únca tarfa La tarfa lneal por tramos. Característcas generales Curvas de concentracón. Índces de progresón global Descomposcón de la prvacón, la satsfaccón y el benestar antes y después de mpuestos Progresvdad frente a proporconaldad Eemplos numércos de la ncdenca de un códgo mpostvo Conclusones. 49 Capítulo 6. Conclusones y cuestones de nvestgacón futura. 5 Bblografía. 59

7 Introduccón.

8 Introduccón. La prvacón de un ndvduo surge al compararse, en cualquer sentdo, con otros que, desde su punto de vsta, están en meor stuacón. Se trata, por lo tanto, de un sentmento subetvo. En el ámbto económco la prvacón se defne habtualmente respecto de la varable renta, al ser ésta el índce más utlzado para evaluar la capacdad de los ndvduos en relacón a la posesón y adquscón de benes, a través de una relacón que parece natural suponer monótona decrecente. Este modo de proceder mplca una notable smplfcacón, en especal para quenes percben rentas stuadas en las colas de la dstrbucón, aunque se trata de una aproxmacón análoga a la que se realza al abordar la formulacón de otras magntudes no observables, como la desgualdad o el benestar socal. S la prvacón se defne como funcón de la renta, es evdente que cuando la dstrbucón de esa varable sea gualtara la prvacón expermentada por cada ndvduo y el valor medo de esa magntud para la poblacón serán nulos. Por otra parte, tampoco es sorprendente que, para dstrbucones de renta no gualtaras, el valor esperado de la prvacón para el conunto de la socedad se dentfque con una medda de desgualdad. Precsamente, un modo de proporconar un contendo étco a certos índces de desgualdad consste en especfcar una funcón de utldad, en la que ntervenga la prvacón asocada a cada nvel de renta, cuyo valor medo concda con funcones de evaluacón socal que sean consstentes con esos índces. En consecuenca, prvacón meda, desgualdad y benestar son tres magntudes, como se pondrá de manfesto a lo largo de este trabao, que están íntmamente relaconadas. El obetvo de esta memora, estructurada en dos partes, es doble. En la prmera parte, ntegrada por los tres prmeros capítulos, nos ocupamos del concepto de prvacón, de su contrapartda, la satsfaccón, y del análss de las formulacones hasta ahora utlzadas, para, a contnuacón, proponer nuevas defncones de estos conceptos. En una segunda parte, capítulos cuarto y qunto, se estuda el efecto de un mpuesto sobre la renta en las magntudes de nterés para los dstntos supuestos.

9 Introduccón. Es evdente que en cualquer defncón de la prvacón están presentes los aspectos normatvos dado que, desde un prncpo, es necesaro optar por un modo de realzar comparacones entre ndvduos en dstnta stuacón. En el capítulo prmero se revsan los dstntos enfoques que se han propuesto en la lteratura para medr la prvacón, y los ucos de valor que subyacen en ellos. Como consecuenca, se propone una axomátca mínma que nos parece adecuada para este tpo de meddas. En el capítulo segundo proponemos nuevas formulacones de la prvacón / satsfaccón. La prmera de ellas se basa en el supuesto de que los ndvduos muestran preocupacón por el status, de manera que al compararse con otros no están nteresados tanto en las dferencas de renta, sno en la dferenca de poscones que ocupan dentro de la dstrbucón. Con este enfoque la prvacón asocada a cada nvel de renta depende de las rentas meda y máxma de la dstrbucón, de la proporcón de ndvduos con renta superor al nvel consderado y de la partcpacón de ese grupo en la renta total, mentras que la prvacón socal meda depende de la dferenca entre la renta máxma y la renta meda, así como del valor del índce absoluto de Gn. Otra formulacón que proponemos es una generalzacón del enfoque de Hey y Lambert (980) en la que se ntroduce un parámetro de carácter dstrbutvo cuyo valor contrbuye a ponderar de forma dferente, asgnando mayor o menor peso, la prvacón asocada a los dstntos nveles de renta. Esta defncón permte, en prmer lugar, que el índce de Gn generalzado pase a formar parte de aquellos que pueden ser utlzados para evaluar la prvacón socal meda y, por otro lado, se obtene una funcón de evaluacón socal, consstente con dcho índce, en la que claramente se manfesta el papel dstrbutvo del parámetro utlzado en la defncón ncal. En el capítulo tercero se contempla la posbldad de que los ndvduos de una poblacón comparen su stuacón con los de otra poblacón dferente. Los resultados que se obtenen nos permten abordar un caso de nterés en muchos 3

10 Introduccón. supuestos: la partcón de una poblacón en subpoblacones homogéneas respecto a determnadas característcas, dstntas al nvel de renta, de las undades que las ntegran. En este contexto, la descomposcón del índce de Gn propuesta por Dagum (997a) permte una descomposcón adtva, en dos componentes, de la prvacón exstente en la poblacón, y de otras magntudes relaconadas. Una recoge la prvacón dentro de las subpoblacones y otra cuantfca la prvacón entre las subpoblacones. Este punto de vsta responde a una stuacón real. Los ndvduos tenden, en prncpo, a compararse con sus guales, pero tambén suelen desarrollar una concenca de grupo que les conduce a comparar la stuacón del grupo del que forman parte con la de otros grupos. En la stuacón que hemos descrto es natural suponer que entre las dstrbucones de renta de las dstntas subpoblacones se presente solapamento. S el crtero utlzado para realzar la partcón de la poblacón total es, precsamente, el nvel de renta, los resultados son más sencllos en el sentdo de que conocda la dstrbucón de la renta en la poblacón, las correspondentes a las dferentes subpoblacones, cada una de las cuales se dentfcará con un ntervalo de renta, no son más que dstrbucones truncadas. El caso más smple es aquel en que un nvel de renta dado (la renta meda, un umbral de pobreza, cualquer cuantl, etc.) determna dos subpoblacones. En la segunda parte de la tess se analza el efecto de un mpuesto sobre la renta en relacón a la prvacón, a la satsfaccón y al benestar. Esta cuestón ha sdo poco tratada en la lteratura, salvo en lo que se refere al benestar, aunque permte obtener, entre otros resultados, expresones de los índces sntétcos cláscos utlzados para evaluar la progresvdad y el efecto redstrbutvo del gravamen a partr de la varacón del valor medo de la prvacón al pasar de la dstrbucón de renta antes de mpuestos a la dstrbucón de renta dsponble. En el capítulo cuarto se estuda la ncdenca del mpuesto cuando el grupo de referenca al defnr la prvacón, para los supuestos consderados en el capítulo segundo, se dentfca con el conunto de la socedad. Tambén en este contexto la 4

11 Introduccón. progresvdad del mpuesto es una característca favorable frente a otras alternatvas que permtan obtener un nvel de recaudacón prefado. S la prvacón se defne a partr de la poscón de los ndvduos en la dstrbucón, el efecto global del mpuesto depende de su ncdenca sobre la desgualdad y de la dferenca entre la carga fscal que soporta la renta máxma y el mpuesto medo. Cuando se generalza el enfoque de Hey y Lambert asgnando dstnto peso a la prvacón asocada a los dferentes nveles de renta, el papel del parámetro dstrbutvo que se ntroduce en este supuesto tambén permte dscrmnar sobre la ncdenca del mpuesto a lo largo de la escala de rentas. Por últmo, en el capítulo qunto se analza el efecto de un mpuesto al consderar una partcón de la poblacón total en subpoblacones. Según el papel que desempeñe la renta en el crtero utlzado para realzar la partcón, se contemplan dos enfoques dferentes al modelzar el mpuesto. S la clasfcacón de los elementos de la poblacón se ha basado en característcas aenas a la renta, el mpuesto se genera medante un códgo mpostvo consttudo por tarfas dferentes que se aplcan a dstntos grupos de contrbuyentes. Por el contraro, s las subpoblacones se dentfcan con ntervalos de renta se consdera una tarfa lneal por tramos, como la del IRPF vgente en nuestro país, que ncde sobre la base lqudable. En los cuatro prmeros capítulos, utlzando como fuentes estadístcas la Encuesta de Presupuestos Famlares , la Encuesta Contnua de Presupuestos Famlares 996 y la Memora de la Admnstracón Trbutara 995, se ncluyen aplcacones de sus contendos a la dstrbucón de la renta en España. En el capítulo qunto se consderan eemplos numércos que lustran el efecto de un códgo mpostvo, sobre las magntudes obeto de estudo, cuando se contemplan dferencas de tratamento fscal en funcón de factores, dstntos a la renta, que ncden en la carga trbutara. 5

12 Capítulo. La prvacón relatva.

13 La prvacón relatva. Capítulo. La prvacón relatva... El concepto de prvacón relatva. En los trabaos cláscos que se ocupan de la prvacón, cas todos ellos encuadrados en el ámbto de la socología, se hace referenca a sentmentos que surgen como consecuenca de la desgualdad, entendda en sentdo amplo, exstente dentro de un grupo, subrayando la relatvdad del concepto. La dea de prvacón relatva aparece ncalmente en la obra de Stouffer, Suchman, Devnney, Star y Wllams, (949), The Amercan Solder: Adustment Durng Army Lfe, aunque en ella no se llega a proponer una defncón formal n, mucho menos, ndcacones destnadas a su medcón. Se trata de un concepto que ha sdo aplcado a otros campos (polítca, hstora, scología, economía,...) con la pretensón de modelzar el comportamento de la socedad. A pesar de que exste consenso en que la prvacón relatva afecta a sentmentos subetvos, aspracones, acttudes y decsones, no exste acuerdo en su sgnfcado exacto, por lo que no es extraño que Crosby (979) encuentre cuatro versones de la teoría de la prvacón relatva. Antes de hacer una breve descrpcón de las msmas, convene señalar que en todas ellas subyace la dea de que los ndvduos tenden a establecer comparacones con quenes consderan próxmos y no con quenes están en una El Dcconaro de la Lengua Española de la Real Academa Española, en la acepcón segunda del térmno prvacón lo defne como carenca o falta de una cosa en sueto capaz de tenerla y en la acepcón cuarta como ausenca del ben que se apetece y desea. 7

14 La prvacón relatva. stuacón para ellos naccesble. Esto es, cada ndvduo compara su stuacón con la de los membros de algún grupo de la socedad, en el que centra sus aspracones y que para él consttuye su grupo de referenca. La versón del socólogo Davs (959) supone el prmer ntento de modelzar el fenómeno dentfcado por Stouffer et al. (949). Davs hace dos dstncones. Por un lado, dstngue entre los membros del grupo y los membros de otros grupos y, por otro, entre quenes tenen y quenes no tenen dentro de un grupo. Cuando un ndvduo (A) se compara con otro (B) de su msmo grupo, s A pertenece al de los que no tenen mentras que B es de los que tenen, entonces se expermenta prvacón por parte de A. En cambo la comparacón con membros de otros grupos que están en meor stuacón da lugar a dstancamento socal. Davs supone, además, que las comparacones dentro del grupo se realzan al azar, de modo que la probabldad de que los membros de un grupo expermenten prvacón es la probabldad conunta de que cada uno de los membros esté prvado y de que cada ndvduo prvado se compare con uno en meor stuacón. La teoría de Runcman (966), contenda en la obra Prvacón Relatva y Justca Socal, ha tendo mayor repercusón que la de Davs. Para Runcman los ndvduos pueden expermentar prvacón de poder, de poscón socal o económca y, dentro de cada ámbto, dstngue entre prvacón egoísta, fraterna y doble prvacón. La prvacón egoísta se presenta cuando los ndvduos se senten ndvdualmente prvados en comparacón a los membros de su msmo grupo. La prvacón fraterna surge cuando los ndvduos senten que su propo grupo está prvado en comparacón con otro grupo, aunque ellos personalmente no estén prvados respecto a ndvduos de su grupo. Por últmo, la prvacón doble se manfesta cuando los ndvduos expermentan prvacón egoísta y fraterna. Runcman propone la sguente defncón de prvacón relatva: En las formulacones concretas de la prvacón es frecuente tomar como grupo de referenca al conunto de la socedad. Este supuesto que, en prncpo, puede parecer poco realsta e ncluso contradctoro con lo que hemos señalado, se ustfcará más adelante. 8

15 La prvacón relatva. Una persona está relatvamente prvada de X cuando: () no tene X, () otro u otros ndvduos poseen X (pudendo ser él msmo en el pasado uno de estos ndvduos), () quere X, (v) consdera factble tener X. En la defncón anteror la relatvdad del concepto es ntroducda por () y (v), mentras que el sentmento de prvacón surge de () y (). En lo que se refere a una posble cuantfcacón de la prvacón, Runcman señala: a) La prvacón dervada de no tener X cuando otros lo tenen es una funcón crecente del número de personas en el grupo de referenca que tenen X y b) La magntud de la prvacón relatva es la cuantía de la dferenca entre la stuacón deseada y la stuacón de la persona que la desea. Respecto a la prmera afrmacón pone como eemplo el de las promocones en el empleo, y argumenta que cuanto mayor sea el número de compañeros que un ndvduo observa que son ascenddos mentras él permanece en su puesto, más personas tendrá para compararse y se sentrá más prvado. La segunda afrmacón mplca que Runcman concbe la prvacón relatva como una funcón lneal de la dferenca entre dos stuacones. El enfoque de Gurr (968) establece que la prvacón relatva es el enfado o angusta debda a la dferenca entre lo que el ndvduo consdera que debería ser y lo que es. Propone la sguente formulacón: V e V PR = c V e donde PR es la prvacón relatva, V e es el valor de lo que se espera, es decr, los benes y oportundades a los que el ndvduo cree que tene derecho y V c es el valor de las posbldades, o benes u oportundades que el ndvduo cree posble obtener. Gurr dentfca tres conductas en la prvacón: ambcosa, progresva y decrecente. La prvacón ambcosa tene lugar cuando V c permanece constante en el tempo mentras que V e crece. La prvacón decrecente se observa cuando 9

16 La prvacón relatva. V c decrece mentras V e permanece constante. Por últmo, la progresva se presenta cuando V c decrece y V e crece. Crosby (976) propone un modelo de prvacón egoísta. Para él la prvacón relatva es una cadena de varables, y se expermenta cuando además de las condcones determnadas por Runcman se cumple una qunta: no-exstenca de responsabldad por parte del ndvduo en el hecho de no poseer X. S uno no es responsable del hecho de no poseer X, entonces no sente prvacón, según Crosby. Para este autor, la relacón entre las condcones prevas a la prvacón y el sentmento de prvacón son la parte fundamental del modelo. Pero exsten otros factores determnantes como son los antecedentes ambentales. El Gráfco reflea el modo en que la relacón entre comportamento y sentmento puede estar nfludo por tres varables, control personal, oportundades reales y responsabldad externa o nterna 3. Gráfco.. Prvacón, varables ntermedas y comportamentos. Bao Resultado: Volenca contra la socedad Externo Abertas Control personal Alto Oportu ndades Resultado: A ccones socales constructvas Cerradas Resultado: Volenca contra la socedad Sentmento de prvacón Responsa bldad Cerradas Resultado: Síntom as de stress Alto Control personal Oportu ndades Resultado: M eoría pe rsonal Interno Abertas Bao Resultado: Síntom as de stress 3 El esquema es una adaptacón del que realza Crosby (976). 0

17 La prvacón relatva. En un trabao posteror, Crosby (979) hace una crítca a la lteratura empírca referente a la prvacón relatva. Según él, no exste correspondenca entre las defncones operaconales y las teórcas; es decr, los ndcadores específcos no parecen medr la varable teórca para la cual fueron dseñados. Como ya hemos señalado, uno de los obetvos de este trabao es la revsón de las formulacones propuestas hasta la fecha, aportando alternatvas que pretenden ntroducr mayor realsmo en el análss. De las cuatro versones que expone Crosby, la que ha tendo una mayor repercusón al estudar la prvacón desde un punto de vsta económco ha sdo la de Runcman (966), debdo quzás a que sus enuncados son más precsos, lo que hace más abordable su tratamento analítco, y, de hecho, se hace referenca a ella en todos los trabaos que se ocupan de esta cuestón. Ytzhak (98a) argumenta que s en la defncón de Runcman la condcón () se camba por ( ): el ndvduo tene X, donde X representa una cesta de benes, entonces se puede nterpretar ( ) como la utldad o desutldad dervada de la posesón de los benes de esa cesta. En este contexto, () asegura la utldad, que para cada ndvduo es una funcón de los benes que posee, mentras que la prvacón se puede dentfcar con la pérdda de utldad, debdo a la carenca de los msmos. En consecuenca ambos conceptos, utldad y prvacón, venen a ser las dos caras de una msma moneda, en el sentdo de que exste una estrecha relacón entre la mnmzacón de la prvacón relatva y la maxmzacón de la utldad. En el enfoque de la prvacón relatva, la utldad margnal del ngreso para la socedad no depende úncamente de la cantdad de ngreso sno tambén de la dstrbucón del msmo. Ytzhak (98a) demuestra que este enfoque puede ser resumdo a través del índce de Gn, como se expone en la próxma seccón. Este enfoque, debdo a la dependenca del ngreso respecto al ngreso de otros, supone que el benestar margnal del ngreso se comporta de forma análoga a la funcón de utldad ndvdual. Así, la utldad margnal de un ben para un ndvduo,

18 La prvacón relatva. cuando los demás benes permanecen constantes, es una funcón crecente de la escasez de dcho ben para el ndvduo. Por tanto, el grado de prvacón dervado de no tener un ben es una funcón crecente del número de ndvduos que poseen dcho ben. Como ndca Ytzhak (98a), el enfoque de la prvacón relatva ntroduce el concepto de externaldades. Pero estas externaldades no afectan al consumo de benes, sno más ben a la utldad margnal de la renta, por lo que las funcones de demanda no se ven afectadas. Lo que cuenta es cómo evalúan los ndvduos lo que tenen o lo que no tenen. La relatvdad que se ntroduce en el concepto de prvacón se debe a la exstenca de grupos de referenca en la socedad. Los ndvduos se senten prvados con relacón a otros que consttuyen su grupo de referenca y que, en ocasones, puede concdr con la socedad en su conunto. La formacón de estos grupos no sempre está clara, dado que depende del conunto de ndvduos en el que un ndvduo concreto centra sus aspracones. Se puede decr que son grupos de los que el ndvduo forma parte o aspra a verse relaconado pscológcamente. El grupo de referenca no está organzado formalmente para alcanzar unos obetvos, sno más ben sus membros están vnculados pscológcamente. Normalmente se trabaa con grupos de referenca cerrados, lo que ndca que s una persona A está en el grupo de referenca de B, entonces B está en el de A. De este modo se construyen grupos totalmente excluyentes. Se puede demostrar, Ytzhak (98a), que s la prvacón depende exclusvamente del nvel de renta, la asocada a cada grupo, sempre que no se solapen las rentas, es menor que la de la socedad en su conunto. Además, la dferenca entre la prvacón de la socedad y la correspondente al caso en que los grupos se hacen atendendo a cualquer factor que no sea la renta, es menor. Ytzhak (98a) tambén demuestra que cuanto mayor sea el número de grupos de referenca menor es la prvacón, ya que gnora la prvacón entre grupos. Pero esta argumentacón será crtcada en el capítulo 3 para admtr que la prvacón entre dferentes grupos es posble. Como se ha ndcado desde un prncpo, la prvacón hace referenca a sentmentos y, por tanto, es una varable no observable o latente, dfícl de

19 La prvacón relatva. medr y que requere el empleo de ndcadores. Por ello, al ntentar trasladar los enuncados de Runcman al ámbto económco, las dstntas formulacones que se han propuesto en la lteratura (Ytzhak (979, 98a), Hey y Lambert (980), Chakravarty y Chakraborty (984), Berreb y Slber (985), Podder (996),...) defnen la prvacón respecto a la renta, varable observable e índce habtual para medr la capacdad de una undad económca para el consumo y posesón de benes, medante una relacón que parece razonable suponer monótona decrecente. Bao este supuesto es evdente que la prvacón relatva es consecuenca de la dferenca entre las rentas que percben los ndvduos, de modo que en una dstrbucón gualtara la prvacón, tanto a nvel ndvdual como para el conunto de la socedad, es nula. S el recorrdo de la varable renta es [0, x], un ndvduo con renta x >0 contempla una partcón del msmo en dos ntervalos: (x,x], que ncluye las rentas mayores que la suya, respecto a las que sente prvacón, y [0, x ], al que pertenecen las rentas menores que la suya y respecto a las que está "satsfecho", lo que, para cada formulacón concreta, permte defnr la satsfaccón como contrapartda de la prvacón. Tal y como ndca Podder (996) la satsfaccón y la prvacón relatva son dos tpos de sentmento, el prmero representa la utldad, mentras el segundo representa la desutldad o descontento en la comparacón entre ndvduos. Estos dos sentmentos son dferentes y esto da lugar a que Podder afrme que no se pueden comparar (pone el eemplo de la no comparacón de la satsfaccón que produce el consumo de una tarta con la prvacón que supone la carenca de un yate). Quzá sea una afrmacón muy taante, ya que para la confrontacón de ambos conceptos se utlza un msmo ndcador, la renta, de modo que ambos se expresen en las msmas undades y sean comparables. Hay que dferencar la prvacón relatva de otro concepto más extenddo, como es el de la pobreza y que ha sdo obeto de estudo en anterores trabaos. La prvacón es un concepto más amplo que el de pobreza. En este últmo se mde el número de pobres tenendo en cuenta una línea de pobreza, establecda, 3

20 La prvacón relatva. habtualmente, como la mtad de la renta meda de la dstrbucón 4. Todos aquellos cuyos ngresos sean nferores a la línea de pobreza serán consderados pobres, mentras que aquellos con ngresos por encma de la msma escapan del concepto de pobreza. Por tanto, en la dea de pobreza no hay comparacón nterpersonal, sno una comparacón con una renta consderada de referenca 5. Debdo a la nocón de prvacón, que supone un sentmento de ausenca de algo que se desea, podemos decr que todo pobre está prvado, aunque no todo prvado tene que ser pobre. La prvacón es un concepto relatvo, una cuestón de ntensdad, el únco en la socedad que no está prvado es el ndvduo que percbe la renta más alta, todos los demás senten prvacón relatva. Como señaló Runcman (966):... una persona prvada relatvamente no tene que estar prvada obetvamente, en el sentdo de que se puede demostrar que carece de algo. Además, el concepto de prvacón relatva mplca que el sentdo de la prvacón supone una comparacón con una stuacón magnara de otra persona o grupo de ellas. Es necesaro dferencar entre el concepto de prvacón y otros conceptos relaconados con él. Éstos son la envda, la desgualdad y la nustca. Mentras que la prvacón relatva es un concepto socológco que recoge un fenómeno socal, los demás conceptos surgen en una varedad de campos, tales como scología, flosofía moral, socología y economía. Pero nos lmtamos al aspecto económco de todos ellos. Sguendo a Podder (996) la equdad se alcanza en aquellas stuacones en las que el rato de las recompensas con relacón a las contrbucones de cada ndvduo es el msmo. La nequdad se presenta cuando los ratos no son guales y, por tanto, la nequdad es una fuente de prvacón relatva. En general la 4 O como la mtad de la medana. Tambén exsten nuevas metodologías basadas en conuntos borrosos que elmnan la necesdad de establecer un nvel de renta que defna la stuacón de pobre, pero hace necesara la defncón de una funcón de pertenenca. 5 En el caso de los conuntos borrosos la comparacón se establece con unos límtes para los valores de los ndcadores. 4

21 La prvacón relatva. equdad ha de ser consderada como la ausenca de envda en los agentes económcos. Aunque la envda tene connotacones emoconales (es uno de los sete pecados captales), en economía se defne en térmnos obetvos. Se dce que sente envda haca, s prefere cambar su cesta de consumo por la de, ya que la utldad que le reporta el consumo de su propa cesta de consumo es menor que la que le reportaría el consumo de la de. Podder consdera que la prvacón relatva de respecto a un ndvduo en una meor stuacón, es proporconal a la envda de haca cuando la funcón de utldad toma una forma específca. La envda según Hrschman (973) se puede defnr en térmnos de renta en vez de en térmnos de cesta de benes, ya que los pobres pueden no sentr envda de los benes concretos que consumen los rcos, pero sí de los benes que ellos consumrían s tuveran ese dnero. Por últmo, en la lteratura económca la ustca se defne como la ausenca de envda unto a una stuacón óptma según Pareto 6. Tanto el concepto de equdad como el de ustca asumen la gualdad como elemento deseable en la socedad. S se alcanza el deal de gualdad debe haber una ausenca absoluta de prvacón relatva. S por el contraro, exste desgualdad y consderamos dos ndvduos, aquel que se encuentre en stuacón desfavorable expermenta prvacón relatva. Lo que podemos afrmar es que la desgualdad es una fuente de prvacón y que la ausenca de envda concde con la ausenca de prvacón relatva y, por tanto, con la presenca de ustca, gualdad y equdad. Según Podder (996) la envda, nustca y prvacón relatva no son el msmo tpo de sentmento, pero están relaconados lneal o al menos monótonamente, mentras que la desgualdad no estaría relaconada monótonamente con nnguno de los conceptos anterores. Pero hay dversas opnones al respecto y serán expuestas en seccones sucesvas. El estudo de la prvacón es nteresante ya que se puede consderar que la socedad tolera la prvacón relatva hasta un determnado límte a partr del cual 6 Una stuacón es óptma según Pareto, s no es posble meorar la stuacón de un ndvduo sn empeorar la de otro. 5

22 La prvacón relatva. exste un conflcto socal potencal. Según señala Hrschman (973), en las prmeras etapas del desarrollo económco, cuando la desgualdad en la dstrbucón ncrementa a rtmo acelerado, el nvel de toleranca frente a las desgualdades es crucal. Pero la toleranca tene un punto de saturacón. Esta toleranca está basada en la esperanza de que decaga la prvacón relatva (tunnel effect), s esto no ocurre es muy posble que se presente conflcto socal. El efecto túnel (tunnel effect) ndca que en el comenzo del proceso de desarrollo, el benefco del crecmento económco sólo afecta a unos pocos, pero los prvados no están descontentos, ya que esperan que pronto sea su turno. S el tempo de espera sobrepasa un límte, entonces el sentmento de empatía se susttuye por un sentmento de descontento y cuando este sentmento es generalzado surge el conflcto socal. Pero no sempre la prvacón lleva a conflcto socal, aunque la probabldad del msmo aumenta a medda que la prvacón relatva se acerca a un máxmo. Sería nteresante conocer la máxma prvacón tolerable en cada socedad, ya que sería una herramenta muy útl en el dseño de polítcas socales. Pero este máxmo además de ser complcado de estmar debdo a la subetvdad del concepto, debe varar de una socedad a otra. De todos modos, la estmacón de este máxmo es algo que queda fuera de los obetvos de este trabao. Hasta ahora se han expuesto dstntas versones de la teoría de la prvacón relatva pero no han sdo formuladas analítcamente. En las sguentes seccones y capítulos se analzan dstntas formulacones ya conocdas y otras que se aportan en este trabao. 6

23 La prvacón relatva... Formulacones analítcas de la prvacón 7. Como se ha ndcado en la seccón anteror, la prvacón es un concepto que hace referenca a sentmentos y aspracones del ndvduo en relacón a un grupo. Se trata de una varable latente, no observable, cuya medcón requerría el empleo de ndcadores y la utlzacón de técncas factorales o de modelos econométrcos de varables latentes. En esta forma de abordar la cuestón la mayor dfcultad estaría en determnar qué ndcadores reflean o son causa de la prvacón, dado que ésta derva de una carenca subetva. Por ello, en la lteratura que se ocupa de este concepto, desde un punto de vsta económco, nos encontramos con una stuacón análoga a la que es habtual en el ámbto de análss de las funcones de benestar socal; esto es, se supone que la prvacón, como el benestar, depende exclusvamente de la renta. Sn duda es una smplfcacón fuerte al exstr otros factores que contrbuyen a la prvacón de los ndvduos, especalmente s forman parte de los grupos cuyas rentas están stuadas en los extremos de la dstrbucón. Sn embargo, este tpo de aproxmacón se ustfca al ser la renta una varable observable cuya relacón con la prvacón es monótona decrecente. En este capítulo se revsan las dstntas aportacones a la formulacón de la prvacón propuestas en la lteratura. Todas ellas presentan, al menos, dos rasgos comunes. Por una parte, ntentan proporconar una expresón analítca a la defncón y a los enuncados de Runcman (966) y por otra, al suponer que la prvacón de un ndvduo depende de su nvel de renta, la prvacón meda del conunto de la socedad vene expresada medante una medda de desgualdad. Los trabaos que han tendo una mayor repercusón han sdo los de Ytzhak (979, 98a) unto al de Hey y Lambert (980), estrechamente relaconados, aunque con enfoques dferentes. Los analzaremos conuntamente, nsstendo en 7 En el Apéndce de este capítulo se exponen, brevemente, algunos de los conceptos empleados en ésta y sucesvas seccones, a fn de facltar su lectura. 7

24 La prvacón relatva. sus dferencas, y resaltando aquellos resultados que han sdo generalzados por aportacones posterores o que han servdo como referenca en enfoques alternatvos. De hecho, es un lugar común, al estudar la prvacón, el aludr a los trabaos ctados. Una posble extensón del enfoque de Hey y Lambert consste en especfcar una funcón de utldad, déntca para todos los ndvduos, pasando del espaco de rentas al de utldades. Es una generalzacón que, como veremos, no presenta dfcultad desde el punto de vsta formal, pero cuyo alcance es esencalmente teórco ya que la funcón de utldad no es conocda. En este contexto, Podder(996) ustfca el empleo de funcones que presenten aversón constante frente a la desgualdad y, en partcular, el de la funcón logarítmca al mponer que la prvacón satsfaga determnadas propedades. Un punto de vsta dferente pero que, en el fondo, tambén toma como referenca los resultados de Hey y Lambert es el de Chakravarty y Chakraborty (984) y Chakravarty (990). Su propuesta se basa en la composcón de la prvacón defnda a partr de la dferenca de rentas entre ndvduos con funcones que satsfacen certas condcones, lo que les permte obtener una famla de índces de prvacón a los que proporconan un sgnfcado normatvo al establecer una correspondenca entre tales índces y una famla de funcones de evaluacón socal. La nsensbldad del índce de Hey y Lambert frente a la redstrbucón de renta en el extremo nferor de la dstrbucón lleva a Kakwan (984b) a proponer una formulacón que se centra en este extremo de la dstrbucón. En ese msmo trabao, contempla una defncón en la que la prvacón de un ndvduo sólo depende de la renta de la persona con la que se compara, aunque a contnuacón señala las lmtacones que supone ese punto de vsta. Por últmo, nterpreta el índce de Takayama en térmnos de prvacón, para lo cual ha de ntroducr la línea de pobreza dentro de la funcón de prvacón. Las aportacones de Berreb y Slber (985) y la de Paul (99) tenen un carácter dferente. La prmera tene como obetvo el establecer que muchos de los 8

25 La prvacón relatva. índces de desgualdad de uso habtual, o transformacones monótonas de ellos, pueden concdr con la prvacón meda de la socedad al consderar dstntas defncones de la prvacón ndvdual. En la segunda, se propone un índce de prvacón que presenta un comportamento, que su autor consdera razonable, frente a las transferencas de renta. Una vez revsadas las dstntas aportacones a la medcón de la prvacón, se proponen una sere de condcones mínmas que parece lógco exgr que satsfagan los índces de prvacón. Una cuestón que nos parece relevante al formular una defncón para la prvacón es su punto de partda. S la prvacón surge de la comparacón entre ndvduos parece razonable que las dstntas formulacones se basen en las comparacones nterpersonales. Es decr, que comencen defnendo la prvacón de un ndvduo con renta x respecto a otro con renta z, P(x,z), z>x, para obtener a contnuacón la prvacón meda asocada al nvel de renta x, P(x), agregando la prvacón de ese ndvduo respecto a quenes tenen una renta mayor. Por últmo, el valor esperado de la funcón anteror, E(P(X)), proporconará la prvacón socal meda. No todas las propuestas que veremos en esta seccón sguen este esquema. En algunas de ellas se parte de la defncón de la funcón que asgna a cada nvel de renta su prvacón, con lo cual se elude la prmera etapa y se omte lo que consttuye un rasgo esencal de la prvacón: la comparacón entre ndvduos en dstnta stuacón.... Los enfoques de Ytzhak y de Hey y Lambert. De las formulacones a las que se ha hecho referenca en el apartado anteror, probablemente las más extenddas son las de Ytzhak (979, 98a) y la de Hey y Lambert (980) debdo no sólo a que son las prmeras en proporconar una nterpretacón analítca a los enuncados de Runcman (966), sno porque a través de ellas, medante la especfcacón de una funcón de utldad adecuada, se 9

26 La prvacón relatva. obtenen funcones de evaluacón socal (FES) que son consstentes con el índce de Gn 8. Hey y Lambert (980) consderan la prvacón como una funcón lneal de la dferenca entre la stuacón deseada y la stuacón de la persona que la desea. Así, estos autores formulan la prvacón relatva de un ndvduo con renta x respecto a otro con renta z, P(x,z), como: z x s z x P (x, z) = [.] 0 s z x. Con ello, la prvacón de un ndvduo con un determnado nvel de renta es nula respecto a quenes tenen rentas nferores a la suya y concde con la dferenca de rentas al compararse con quenes tenen una renta mayor. La prvacón meda del ndvduo con renta x, P(x), se obtene agregando P(x,z) para z>x y ponderando con df(z), proporcón de ndvduos con renta z. De este modo, s F es la funcón de dstrbucón de la renta, µ la renta meda y x la renta máxma, resulta x x P(x) = P(x, z)df(z) = (z x)df(z) = µ ( L(F(x))) x( F(x)), [.] 0 x sendo L(F(x)) la curva de Lorenz. S se consdera la renta meda del conunto de ndvduos con renta mayor que x, una expresón equvalente a la anteror es 9 : P(x) = ( F(x))( µ (x + ) x) [.3] 8 Se trata de funcones de la forma: W k (x)=µ(-kg),0 k, sendo µ la renta meda de la dstrbucón y G su índce de Gn. En partcular, para k= se obtene la renta equvalente gualmente dstrbuda (REID) asocada a dcho índce. 9 La renta meda de los ndvduos cuya renta es mayor o gual que x vene dada por: x + µ ( L(F(x)) µ (x ) = zdf(z) = F(x). ( F(x)) x 0

27 La prvacón relatva. En consecuenca, la prvacón meda del ndvduo con renta x es gual al producto de la proporcón de ndvduos con renta mayor que x y de la dferenca entre la renta meda de ese grupo y su propa renta. Ytzhak (979) no parte de las comparacones nterpersonales. Su punto de partda es la prvacón asocada a cada nvel de renta, aunque su defncón de P(x) es equvalente a la que proporconan las expresones [.] y [.3]. Argumenta que la prvacón relatva del rango de rentas [x,x+dx] puede cuantfcarse medante -F(x), proporcón de ndvduos con renta mayor que x, y sumando hasta la renta máxma, obtene: x P (x) = ( F(z))dz. [.4] x Las propedades de la funcón P(x), que asoca a cada nvel de renta su prvacón meda son: P(x) es una funcón estrctamente decrecente ( P (x) = F(x) < 0 ) y convexa ( P (x) = f (x) > 0 ) del nvel de renta. P (0) = µ, P(x) = 0 y P( µ ) = µ (F( µ ) L(F( µ ))). Es decr, la prvacón del ndvduo con renta nula (o con renta mínma) es la meda de la dstrbucón, la del ndvduo con renta máxma es cero, mentras que para la renta meda es la mtad de la desvacón absoluta meda de la dstrbucón 0 y, por lo tanto, depende de la proporcón total de renta que sería necesaro 0 Es una medda absoluta de desgualdad que se defne como: x DAM = E X µ = x µ df(x) = µ (F( µ ) L(F( µ ))) 0 El cocente DAM/µ=S es un índce relatvo de desgualdad, el coefcente de Shutz, que mde la proporcón de renta que tendría que ser transferda desde las rentas stuadas por encma de la meda a las stuadas por debao de la msma, para obtener un reparto gualtaro. Concde tambén con la máxma dstanca vertcal entre la curva de Lorenz de la dstrbucón de la renta y la línea de equdstrbucón.

28 La prvacón relatva. transferr desde las stuadas por encma de la meda a las que están por debao de ella s se pretendese llegar a una dstrbucón gualtara. A partr de cualquera de las expresones [.], [.3] o [.4] se puede calcular el valor medo de la prvacón relatva, y se obtene el sguente resultado: Proposcón.. La prvacón relatva meda de la socedad concde con el índce de Gn absoluto. Esto es: E (P(X)) = µ G [.5] Tenendo en cuenta la gualdad µg=µ-µ(-g), la prvacón meda de la socedad puede nterpretarse como el coste, en térmnos de benestar, que supone la exstenca de desgualdad en la dstrbucón de la renta. Por otra parte, es evdente que E(P(X)) es una funcón crecente del índce de Gn fada la renta meda, por lo que entre dstntas dstrbucones con gual meda, s se quere mnmzar la prvacón global se elegrá aquella cuyo índce de Gn sea menor. Para obtener conclusones sobre los nveles de prvacón ndvdual en dstrbucones dferentes es necesaro utlzar supuestos relaconados con la domnanca estocástca. A partr de la proposcón anteror se pueden obtener funcones de benestar socal abrevadas del tpo: W=µ(-kG). Para ello basta defnr una funcón de utldad lneal en la renta menos la desutldad dervada de la prvacón: U (x,f) = αx βp(x), α > 0, β > 0. Basta ntegrar por partes y hacer uso de la defncón del índce de Gn a partr de la curva de Lorenz, G = 0 L(p)dp.

29 La prvacón relatva. Esta funcón es crecente (U (x,f)=α-β(f(x)-)>0) y cóncava(u (x,f)=-βf(x)<0). El benestar, nterpretado como utldad meda, asocado a la dstrbucón es: x W = U(x, F(x))dF(x) = µ ( α βg). 0 Esta funcón de benestar socal es crecente respecto a la renta meda W = α βg > 0 µ sempre que β/α</g, lo que ocurre para todo α>β, en cuyo caso es β/α<. S el efecto de la prvacón es fuerte, β>α, para dstrbucones de renta muy desguales (cuando G>α/β, lo que se cumple s G ), puede suceder que un ncremento de la renta meda suponga una dsmnucón del benestar, debdo a una mayor ncdenca del efecto prvacón. En lo que se refere a la prvacón, los planteamentos de Ytzhak y de Hey y Lambert, aunque parten de supuestos dferentes, dan lugar a déntcos resultados. La dferenca esencal entre ambos enfoques se pone de manfesto al defnr la satsfaccón. Ytzhak, tenendo en cuenta la expresón [.4] argumenta que s el ndvduo con nvel de renta x sente prvacón respecto a las rentas mayores que la suya y, por lo tanto, stuadas en el ntervalo [x,x], su satsfaccón vendrá defnda de forma análoga, pero utlzando el ntervalo [0,x] al que pertenecen las rentas menores que x. En consecuenca, defne la satsfaccón relatva del ndvduo con renta x como: x S Y (x) = ( F(z))dz = x F(x)(x µ (x )) = x( F(x)) + µ L(F(x)) [.6] 0 sendo µ (x ) la renta meda de los ndvduos cuya renta es menor o gual que x. La expresón [.6] no derva de realzar comparacones nterpersonales. Se puede La renta meda de aquellos con renta nferor o gual a x es: x µ L(F(x)) µ (x ) = zdf(z) = F(x). F(x) 0 3

30 La prvacón relatva. llegar a ella s se defne la satsfaccón de un ndvduo con renta x respecto a otro de renta z como: S Y (x,z)=mn{x,z}, pero es evdente que esta forma de proceder no tene un sgnfcado precso en el contexto que nos ocupa. La funcón S Y (x) cumple las sguentes propedades: es estrctamente crecente, S Y(x)=-F(x)>0, y cóncava, S Y(x)=-f(x)<0, S Y (0)=0, S Y (x)=µ. Para cada nvel de renta, la prvacón y la satsfaccón, fada la renta meda, son complementaras en el sentdo de que se verfca la gualdad: P(x) + SY (x) = µ, [.7] por lo que ambas magntudes tenen una relacón nversa. Otras propedades que enunca Ytzhak sobre su funcón de satsfaccón son: El ndvduo es ndferente a las transferencas de rentas realzadas entre los ndvduos más pobres que él o entre los más rcos que él, ya que no varía n L(F(x)) n F(x). No se tene en cuenta que las transferencas afectan a la funcón de demanda, a los precos y, por tanto, a las rentas. La satsfaccón aumenta cuando se realzan transferencas desde personas más rcas a otras más pobres que el ndvduo en cuestón, suponendo que el rango en la dstrbucón queda nalterado. Un aumento en la renta de un ndvduo más rco no afectará a la satsfaccón de otro más pobre, pero ncrementará la prvacón. Además, un ncremento en la renta de un ndvduo más pobre que otro, ncrementará la satsfaccón de, pero no camba la prvacón de. S se consdera que µ está dada, entonces el ndvduo es ndferente ante cambos en su rango que mantengan su renta nalterada: S F x, µ L = x + µ F = 0 Ello es consecuenca de que un ncremento en el rango del ndvduo que no está acompañado de un ncremento en su renta, mplca que la 4

31 La prvacón relatva. dferenca de renta entre este ndvduo y los más rcos que él debe ncrementarse. El efecto del cambo en el rango y el del cambo en la dferenca de renta, se anulan. Sobre el conunto de la socedad, el valor medo de la satsfaccón concde con una medda de benestar. A partr de [.5] y de [.7], resulta: E(S Y (X)) = µ E(P(X)) = µ ( G), [.8] renta equvalente de equdstrbucón asocada al índce de Gn. Hey y Lambert (980) crtcan la defncón que propone Ytzhak para la satsfaccón y señalan que responde ante todo a una convenenca de tpo matemátco. Proponen una formulacón alternatva, basada en la comparacón entre ndvduos con dferentes nveles de renta y que, desde el punto de vsta formal, es la contrapartda de la defncón de prvacón dada en [.]. Concretamente, defnen la satsfaccón de un ndvduo con renta x respecto a otro con renta z del sguente modo: x z s x z S HL (x,z) = [.9] 0 s x z. La smetría entre las defncones [.] y [.9] vuelve a reflearse al obtener la satsfaccón meda asocada a un nvel de renta: S HL x (x) = SHL (x, z)df(z) = (x z)df(z) = [.0] 0 = xf(x) µ L(F(x)) = F(x)(x µ (x La expresón anteror ndca que la satsfaccón meda del ndvduo con renta x concde con el producto de la proporcón de ndvduos con renta menor que la suya y la dferenca entre esa renta y la meda del ctado grupo. x 0 )). La funcón S HL (x) cumple las sguentes propedades: Es una funcón estrctamente crecente ( S HL (x) = F(x) > 0 ) y convexa ( S HL (x) = f (x) > 0) del nvel de renta. 5

32 La prvacón relatva. SHL (0) = 0, SHL (x) = x µ y SHL ( µ ) = µ (F( µ ) L(F( µ ))). Es decr, la satsfaccón de los ndvduos con renta nula, o con renta mínma, es cero, para la renta máxma la satsfaccón es la dferenca entre dcha renta y la renta meda, mentras que para la renta meda la satsfaccón y la prvacón concden ambas con una medda de desgualdad: la mtad de la desvacón absoluta meda de la dstrbucón. En adelante nos referremos, salvo que se dga explíctamente lo contraro, a la satsfaccón en el sentdo de Hey y Lambert por lo que suprmremos el subíndce HL. Para un nvel de renta dado, la relacón entre la prvacón y la satsfaccón se obtene a partr de las gualdades [.] y [.0]: S(x)-P(x)=x-µ para todo x 0 [.] Esto es, la dferenca entre la satsfaccón y la prvacón asocadas a un nvel de renta concde con la desvacón de esa renta respecto de la meda. Al prmer membro de la gualdad anteror se le denomna satsfaccón neta meda 3 del nvel de renta x, SN(x). Es evdente que se trata de una funcón lneal estrctamente crecente de la renta. Para quenes percben rentas nferores a la meda su satsfaccón neta es negatva, lo contraro sucede para las rentas mayores que la meda y es nula la satsfaccón neta asocada a la renta meda. Una consecuenca nmedata de la gualdad [.] es que los valores de la satsfaccón y de la prvacón meda de la socedad concden y, aplcando la Proposcón., ambos son guales al índce absoluto de Gn de la dstrbucón: E(S(X)) E(P(X)) = E(X µ ) = 0 E(S(X)) = E(P(X)) = µ G [.] 3 Esta termnología, aunque es de uso habtual, no fue utlzada por Hey y Lambert. Podder (996) señala que prvacón y satsfaccón responden a sentmentos dferentes no comparables. Como hemos señalado, esa afrmacón perde sentdo cuando tanto la satsfaccón como la prvacón se defnen en funcón de un msmo ndcador, la renta. Una cuestón dferente es que en las defncones de ambas se utlzasen dstntos crteros. 6

33 La prvacón relatva. mentras que la satsfaccón neta meda es nula. Por otra parte, convene observar que s se consderan dos dstrbucones de renta F(.) y G(.) con la msma renta meda, tambén a partr de [.] se satsface P F (x)- P G (x)= S F (x)- S G (x). Esto es, la prvacón relatva y la satsfaccón, defnda en el sentdo de Hey y Lambert, se mueven conuntamente, al contraro de lo que sucede cuando la satsfaccón se nterpreta en el sentdo de Ytzhak. Como ya hemos señalado no exste dfcultad para establecer una ordenacón total entre dferentes dstrbucones de renta en térmnos de prvacón o de satsfaccón meda, dado que cada una de estas magntudes vene representada medante un número real. Concretamente, entre dos dstrbucones con gual renta meda se elegrá aquella que tenga un menor índce de Gn, s se pretende mnmzar la prvacón socal meda. Pero este resultado no ndca nada s el propósto es establecer una ordenacón asocada a los nveles de renta ndvduales. Se obtenen algunas conclusones a este respecto utlzando el concepto de domnanca estocástca y los teoremas asocados al msmo enuncados en el Apéndce de este captulo. Supongamos que F y G son dos funcones de dstrbucón que representan a sendas dstrbucones de renta. Desgnemos por P F (x), S F (x), P G (x) y S G (x) la prvacón y la satsfaccón del nvel de renta x en cada una de ellas. S se defnen las funcones: p(x)= P F (x) -P G (x) s(x)= S F (x) -S G (x) y estamos bao el supuesto de Hey y Lambert, en lo que se refere a la satsfaccón, es nmedato a partr de la gualdad [.0] que: s (x) = x 0 (F(z) G(z))dz, funcón estrechamente relaconada con la teoría de la domnanca estocástca. S F presenta una domnanca de segundo orden respecto de G, es s(x) 0 para todos los nveles de renta, por lo que S F (x) S G (x), para todo x. Por otra parte, s ambas 7

34 La prvacón relatva. dstrbucones tenen la msma renta meda, µ F =µ G =µ, a partr de [.] resulta p(x)=s(x). Por lo tanto, se puede afrmar que s dos dstrbucones tenen la msma renta meda y sus curvas de Lorenz no se cortan, aquella cuya curva de Lorenz sea domnante, es decr, más próxma a la línea de equdstrbucón, proporcona menor prvacón y menor satsfaccón para cada nvel de renta 4. S la satsfaccón se consdera en el sentdo de Ytzhak es evdente que la conclusón ría en sentdo contraro: la dstrbucón domnante proporcona mayor satsfaccón a cada nvel de renta 5. Este resultado es coherente con el teorema de Shorrocks-Kakwan, dado que en este caso la satsfaccón socal meda concde con una medda de benestar: la renta equvalente de equdstrbucón asocada al índce de Gn.... La prvacón defnda a partr de una funcón de utldad. En el msmo trabao de Hey y Lambert al que se vene hacendo referenca, sus autores sugeren una extensón de [.] en la que la prvacón entre ndvduos con dferentes rentas venga expresada medante la dferenca entre los nveles de utldad que las msmas les proporconan. Argumentan que de este modo se cuantfca meor la ntensdad de la prvacón. Como sucede, en general, con los planteamentos de tpo utltarsta, para smplfcar el tratamento analítco, es necesaro suponer la exstenca de una funcón de utldad común a todos los ndvduos de la socedad. S U es esa funcón, la prvacón de un ndvduo con renta x respecto a otro con renta z se defne como: 4 Hay que subrayar que se está comparando la prvacón / satsfaccón de un nvel de renta dado en dos dstrbucones dferentes. No es posble determnar, salvo que se mpongan condcones adconales, lo que sucede a un ndvduo en partcular, ya que ese ndvduo tendrá, en general, nveles de renta dferentes en cada dstrbucón. 5 Basta tener en cuenta que, bao este supuesto, prvacón y satsfaccón están relaconadas de forma nversa. 8