Contraste de signos de la Mediana Contraste rangos signos de Wilcoxon

Transcripción

1 Bodad de ajuste Cotraste Ch cuadrado de Pearso Cotraste de Kolmogorov Smrov / Cotraste de Shapro Wlks Medaa Cotraste de sgos de la Medaa Cotraste ragos sgos de Wlcoxo Comparacó de dos poblacoes Muestras depedetes Comparacó de dos poblacoes Muestras relacoadas Cotraste de Kolmogorov Smrov Cotraste de rachas de Wald Wolfowtz Cotraste de la U de Ma Whtey Cotraste de sgos de la Medaa Cotraste ragos sgos de Wlcoxo Cotraste de Asar Bradley Cotraste de Segel Tukey Idepedeca Cotraste Ch cuadrado de Pearso Métodos estadístcos para la Admstracó y Dreccó de Empresas Cotrastes o paramétrcos Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

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3 Ídce Ejerccos Cotrastes 5 Ragos sgos Wlcoxo: Poscó Wlcoxo: Poscó 7 3 Spearma Rho: Idepedeca y asocacó 3 4 Rachas de Wald Wolfowtz. Cotraste sgos. Wlcoxo: Aleatoredad 33 5 Wlcoxo: Aleatoredad muestra 46 6 Kruskal Walls: Idepedeca y asocacó 53 7 Kruskal Walls: Idepedeca y asocacó 57 8 Tau de Kedall: Relacó 6 9 Rachas de Wald Wolfowtz. Lllefors. Shapro Wlk: Ajuste ormal 64 Kolmogorov Smrov: Ajuste Webull 7 Kolmogorov Smrov: Ajuste uforme 75 U de Wlcoxo Ma Whtey. Kolmogorov Smrov. Medaa: 79 Comparar poblacoes 3 Kolmogorov Smrov: Ajuste expoecal 86 4 Kolmogorov Smrov. Ch cuadrado: Ajuste expoecal 89 5 Rachas de Wald Wolfowtz: Aleatoredad 94 6 Ch cuadrado. Lllefors: Ajuste ormal 98 7 Segel Tukey: Dspersó 3 8 Segel Tukey: Dspersó 5 9 Asar Bradley: Dspersó 7 Asar Bradley: Dspersó 3 Tablas o paramétrcas 8 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

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5 CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS El cotraste o paramétrco tee la vetaja de ser meos exgete que el cotraste paramétrco a vel de supuestos, auque preseta u aspecto egatvo al ofrecer meor poteca estadístca ( β ) que la prueba paramétrca, es decr, co la prueba o paramétrca es meor la probabldad de cometer u Error Tpo I (Rechazar la hpótess ula H cuado es Certa). Etre los cotrastes o paramétrcos: La prueba de sgos y el test de ragos sgos de Wlcoxo permte el cotraste de hpótess acerca de la localzacó de la varable e estudo respecto a la medaa, o respecto a la meda como la prueba paramétrca t de Studet. El test de ragos sgos de Wlcoxo requere que los datos proceda de ua poblacó cotua y smétrca, metras que la prueba de sgos o asume que la varable sea smétrca, motvo por el que es recomedable utlzar cuado las varables e estudo so de carácter asmétrco. Cotraste de sgos (prueba bomal) Cotraste blateral: H: Me = k H : Me k Los sgos postvos y egatvos se calcula hacedo las dferecas D = X Me S + = "Número de sgos postvos e la muestra" S = "Número de sgos egatvos e la muestra" El estadístco de prueba S= mí(s +,S ) bajo la hpótess ula H sgue ua dstrbucó bomal S B(, /) E[ S] =.p= V[ S] =.p.q= 4 Cuado > S N, 4 (S,5) (S,5),5. Se acepta H s zp = = zα /,5. 4 Cotraste ulateral: H: Me k H : Me > k Se acepta H cuado (S,5),5. zp = z,5. α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

6 Cotraste de ragos sgos de Wlcoxo La prueba de sgos de Wlcoxo supoe que los datos procede de ua poblacó cotua y smétrca. Se utlza para rechazar o o la dfereca estadístcamete sgfcatva etre dos cojutos de observacoes que tee ua dstrbucó cualesquera descoocda. La prueba cosse e lo sguete: a) Se calcula las dferecas de dos observacoes b) Se jerarquza e orde ascedete el valor absoluto de las dferecas c) Se suma las jerarquzacoes de las dferecas postvas, deomado a la suma co el símbolo T = Suma de ragos de las D > + d) Se calcula los valores crítcos T α, de la tabla para el test de ragos sgos de Wlcoxo e) S T+ < Tα, o exste dfereca sgfcatva etre las observacoes a u vel de sgfcacó α Cotraste blateral: H: Me = k H : Me k Estadístco de prueba: T = Suma de los ragos postvos de D = X k = R + + S T+ Tα, < se admte la hpótess ula. El valor de T α, vee tabulado e Tablas de Wlcoxo Cuado el tamaño muestral > 5 se puede utlzar la aproxmacó ormal, y e lugar de [ ] = +, utlzar como estadístco de cotraste T+ E T+ zp Var[ T+ ] T+ E[ T+ ] zp = zα / Var[ T ] T R + Se admte H s Cotraste ulateral: H: Me k H : Me > k + = H N(,) Se admte H s z p [ ] [ ] T+ E T+ = Var T + z α El cálculo del valor expermetal del estadístco, se obtee: =. ( + ) =. ( + ). ( + ) 4 4 [ ] Var[ T ] E T (+ ) T+ = R T = R T= m(t +, T ) T z= 4 k úmero de ragos dsttos e dode hay empates k 3. ( + ). ( + ) t t t úmero putuacoes empatadas e el rago ésmo 4 48 = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

7 Prueba del test de rachas de Wald Wolfowtz Permte verfcar la hpótess ula de que la muestra es aleatora, es decr, s las sucesvas observacoes so depedetes. Cotraste: H: La muestra es aleatora H : La muestra o es aleatora Estadístco de prueba: R = "Número de rachas e la muestra" El cotraste se basa e el úmero de rachas que preseta la muestra. Ua racha es ua secueca de valores muestrales co ua característca e comú precedda y seguda por valores que o preseta esa característca. E esta líea, se cosdera ua racha la secueca de k valores cosecutvos superores o guales a u valor de corte (meda, medaa, moda,...) sempre que se ecuetra preceddos y segudos por valores ferores a este valor de corte. El úmero total de rachas e ua muestra proporcoa u dco de sí hay o o aleatoredad e la muestra. U úmero reducdo de rachas (el caso extremo es ) es dco de que las observacoes o se ha extraído de forma aleatora, los elemetos de la prmera racha procede de ua poblacó co ua determada característca (valores mayores o meores al puto de corte) metras que los de la seguda procede de otra poblacó. De forma détca u úmero excesvo de rachas puede ser també dco de o aleatoredad de la muestra. S la muestra es sufcetemete grade y la hpótess de aleatoredad es certa, la dstrbucó muestral del úmero de rachas R puede aproxmarse medate ua dstrbucó ormal de parámetros: ( ) E(R) = + Var(R) = ( ) R+ c E(R) Se acepta la hpótess ula cuado zr = zα/ Var(R) R < E(R) c=,5 R > E(R) c=,5 Cuado hay más de rachas y el tamaño de la muestra > 4 se puede utlzar la d 6 9 aproxmacó astótca de Levee: R N, 3 9 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

8 Cuado > y > se puede aplcar la dstbucó astótca ormal de Wald y Wolfowtz, deotado por γ= la proporcó de observacoes de ua categoría e la d muestra de tamaño se verfca que: R N γ( γ), γ( γ) Prueba de Spearma Rho Se utlza para aceptar o o la dfereca estadístcamete sgfcatva etre los dos cojutos de observacoes de tpo cardal u ordal. El coefcete de correlacó de Spearma Rho, al gual que el de Pearso, muestra ua asocacó etre varables que o se comporta ormalmete, etre varables ordales. Cotraste blateral: H: ρ s = H : ρs ρs Coefcete de asocacó por ragos de Spearma de las varables aleatoras X e Y Estadístco cotraste: = s = 6. D r.( ) D Dfereca de ragos, ordeado de meor a mayor los valores de los dos factores o varables. rs Coefcete de asocacó por ragos de Spearma de la muestra cosderada S rs α, ρ se acepta la hpótess ula ρα, valor crítco tablas de Spearma Para muestras grades co > se utlza ua aproxmacó a la t de Studet: Estadístco de cotraste: t = r. s r s Se acepta H s t < t α /, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

9 Prueba Tau de Kedall Es ua medda o paramétrca de asocacó de varables ordales o de ragos que tee e cosderacó los empates. El sgo del coefcete dca la dreccó de la relacó y su valor absoluto dca la magtud de la msma, de modo que los mayores valores absolutos dca relacoes más fuertes. Los valores posbles varía de a. Cotraste blateral: H: τ XY = H : τxy.s Estadístco de cotraste: τ=.( ) = < j co tamaño de la muestra y S Suma total de la fucó dcador: S = ψ El estadístco de cotraste τ se cotruye medate ua tabla que cotega los ragos Rx y R y, cosderado los valores ordeados de mayor a meor. Posterormete se reordea sguedo el orde atural de R x Se halla los dcadores utlzado la dobe tabla de ψ * * ( R, R ) j j y y S o hay versó de ragos = S hay versó de ragos Se rechaza H s P τ k H es Certa Los valores se ecuetra tabulados, para > se emplea ua aproxmacó astótca de la dstrbucó ormal.(+ 5) τ N, 9.( ) * R y j Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

10 Prueba de Kruskal Walls Permte cotrastar s varas muestras depedetes, de guales o dferetes tamaños, procede de la msma poblacó cotua. Sea F,F,,F h las correspodetes fucoes de dstrbucó. Se trata de comprobar s estas fucoes preseta dferecas sgfcatvas. Aplcado el test de Kruskal Walls se cotrasta: H: F (x) = F (x) = = F (x) H : Al meos dos so dferetes h sedo F la fucó de dstrbucó de la varable X, =,, Estadístco de cotraste: k R H= 3.(+ ).(+ ) = Sedo, k j j = j= = R = r r Rago de la observacó j ésma de la muestra Se rechaza h α H cuado P( H hα H ) =α valor crítco que se observa e las tabla de valores crítcos de Kruskal Walls. Cuado todos los tamaños muestrales so mayores que 5 se recurre a la aproxmacó astótca, que emplea la dstrbucó χ co k úmero de muestras α,k Cuado hay observacoes repetdas el estadístco de cotraste H emplea u factor de correccó: f = j c ( τ τ ) 3 j.( ) j τj Número de observacoes que se repte de cada grupo de repetcoes. El estadístco de cotraste que resulta es: Se rechaza k.( ) R 3 + j j = j H H = =. 3.( ) fc.( ) ( ).( ) + τ τ H cuado P( H hα H ) =α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

11 Cuado se rechaza la hpótess ula puede decrse que exste dferecas sgfcatvas. Para obteer qué muestras preseta dferecas sgfcatvas se realza el test de comparacoes múltples, o método de Du, segú el cual la dfereca etre las poblacoes y j es sgfcatva al vel α s: R Rj cj R,Rj meda de los ragos R, R j (respectvamete).(+ ) sedo cj = zp + j co α P(z z p) = p = k.(k ) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

12 Cotraste de Kolmogorov Smrov La prueba de Kolmogorov Smrov para ua muestra es u procedmeto de "bodad de ajuste", que permte medr el grado de cocordaca exstete etre la dstrbucó de u cojuto de datos y ua dstrbucó teórca específca. La prueba de Kolmogorov Smrov para ua muestra se puede utlzar para comprobar s ua varable se dstrbuye ormalmete. Cotraste blateral: H: La muestra procede de ua dstrbucó determada H: La muestra o procede de ua dstrbucó determada Estadístco de cotraste: D = máx F (x ) F (x ) = máx(a,b) a = F (x ) F (x ) b = F (x ) F (x ) Se costruye ua tabla ordeado las observacoes y calculado F(x), F(x) y F(x) F(x) F (x ) Fucó de dstrbucó: DISTR.WEIBUL / DISTR.LOG.NORM / DISTR.EXP o observacoes N(x ) F (x ) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra: F(x) = = Se acepta H s D = máx F (x ) F (x ) < D α, (valor crítco tabla Kolmogorov Smrov) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

13 Cotraste de ormaldad de Lllefors Cuado los datos o está agrupados y el tamaño muestral es pequeño o se utlza el test de la Ch cuadrado de Pearso de bodad de ajuste, so los cotrastes de ormaldad de Lllefors y de Shapro Wlk. El estadístco del cotraste de Lllefors es el msmo que para el de Kolmogorov Smrov, pero costrudo sobre valores tpfcados. Cotraste blateral: H: La muestra procede de ua dstrbucó determada H: La muestra o procede de ua dstrbucó determada El estadístco de cotraste sobre los valores tpfcados z x s x = : = x D máx F (z) F (z) Se costruye ua tabla ordeado las observacoes y calculado F(z), F(z) y creado las columas a = F (z ) F (z ) y b = F (z ) F (z) F (z ) Fucó de dstrbucó de ua N(, ): DISTR.NORM.ESTAND(z ) o observacoes N(z ) F(z) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra tpfcada: F(z) = = Se acepta H s D = máx F(z) F(z) = máx(a,b) < D α, (valor crítco tabla de Lllefors) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

14 Cotraste de ormaldad de Shapro Wlk Cotraste blateral: Dada ua muestra aleatora smple de tamaño (x, x,, x ) Se establece las hpótess: H: La muestra procede de ua dstrbucó ormal H: La muestra o procede de ua dstrbucó ormal Estadístco cotraste: W = a.(x x) k + = (x x) = + / par k = ( ) / mpar x Estadístco ordeado de orde a Coefcetes para cada (x x ), co (, =,,...,k ) valores de la tabla de Shapro Wlk Se rechaza la hpótess de ormaldad H cuado W< W α, (valor crítco de Shapro Wlk) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

15 Cotraste de la Medaa Tee como objetvo comparar las medaas de dos muestras y determar sí pertece a la msma poblacó o o. Cotraste blateral: H: M = M H : M M ex ey ex ey Estadístco de cotraste: V = Número de observacoes de X meores o guales que la medaa de la muestra cojuta de + elemetos. Cuado la muestra es grade > y > se aproxma medate ua dstrbucó ormal: ( [ ] [ ]) V N E V, Var V dode, k / es par EV [ ] = k. VarV [ ] = k... k= ( ) / es mpar Se acepta H s z [ ] [ ] V E V = z Var V p α/ Cotraste ulateral a la derecha: H: M M H : M > M ex ey ex ey Se acepta H s z [ ] [ ] V E V = z Var V p α/ Cotraste ulateral a la zquerda: H: M M H : M < M ex ey ex ey Se acepta H s [ ] [ ] V E V zp = z Var V α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

16 Cotraste de la U de Wlcoxo Ma Whtey Prueba o paramétrca aplcada a dos muestras depedetes, versó o paramétrca de la prueba t de Studet. Es de las pruebas más potetes de etre las o paramétrcas. Sea dos varables aleatoras cotuas X y X y los datos muestrales costtuye muestras aleatoras depedetes, deotado por F y G las repectvas fucoes de dstrbucó. Cotraste blateral: H: F(x) = G(x) H : F(x) G(x).( + ) Estadístco de cotraste: U= U =. + W x x sedo W x R suma de ragos de la muestra X = Cuado el tamaño de la muestra es grade ( > y > ) la dstrbucó del estadístco de prueba se aproxma a ua ormal: H...( + + ) = U Ux, > N, Se acepta H s z. U = z p α /..( + + ) Cotraste ulateral derecha: H: F(x) G(x) H : F(x) > G(x) Se acepta H s z p =. U..( + + ) z α Cotraste ulateral zquerda: H: F(x) G(x) H : F(x) < G(x) Se acepta H s z p =. U..( + + ) z α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

17 Cotraste de Kolmogorov Smrov para dos muestras Cotraste blateral: H: F(x) = G(x) H : F(x) G(x) Se basa e u estadístco de prueba que utlza las fucoes de dstrbucó empírcas de las muestras. Estadístco de cotraste: D = máx F (x) G (x), co N (x) N (x) F (x) = F (x) = Se rechaza H s D, > D α,, Dode el valor crítco D α,, verfca: P D, D,, H > α =α E muestras pequeñas el valor crítco D α,, ecuetra e la tabla de valores crítcos de Kolmogorov Smrov. Para muestras grades ( N > y N > ) el valor crítco: + D =.C dode CKS coefcete tabla Kolmogorov Smrov α,, KS. Cotraste ulateral a la derecha H: F(z) G(z) H : F(z) > G(z) Estadísco de cotraste: + D, = máx F (x) G (x) Se rechaza H s D > D +, α,, Cotraste ulateral a la zquerda: H: F(z) G(z) H : F(z) < G(z) Estadísco de cotraste: D, = máx G (x) F (x) Se rechaza H s D > D, α,, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

18 Prueba homogeedad de varacoes de Asar Bradley Metras que para muestras paramétrcas la prueba de Levee comprueba la gualdad de varazas de dos poblacoes. E muestras o paramétrcas, bajo el supuesto de poblacoes cotuas, se emplea la prueba de Asar Bradley para aalzar la homogeedad de las varacoes (varazas, desvacoes típcas, coefcetes de varacó) Cotraste blateral: H: σ A =σb H: σa σb Estadístco cotraste: valor de A W= c.r c = valor de B = Se asga a cada valor u coefcete R: + mpar: R =,,3,,,,3,, par: R =,,3,,,,3,, Cuado el tamaño de la muestra cojuta = A + B > se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,) Estadístco de cotraste: Se acepta H cuado z z p = [ ] [ ] W E W Var W [ ] [ ] W E W = z Var W p α/ Cotraste ulateral a la derecha: H: σa σb H: σ A >σb Estadístco de cotraste: z p = [ ] [ ] W E W Var W Se acepta H cuado z p [ ] [ ] W E W = Var W z α Cuado el tamaño de la muestra es mpar: A.( ) A. B.( ).( 3) E(W) = + V(W) = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

19 Cuado hay preseca de valores repetdos se utlza ua varaza corregda: g A. B. h h t.r 4 A + = A B + V c(w).( )..( ) E(W) = = 4..( ) 6..( ) Cuado el tamaño de la muestra es par: A.( ) A. B.( 4) E(W) = + V(W) = Cuado hay preseca de valores repetdos se utlza ua varaza corregda: g A B h h = A B +.. t.r..( ) V(W) c =.( ) 6.( ) g Número de ragos dferetes cuado aparece observacoes repetdas th Tamaño h ésmo grupo Rh Rago medo h ésmo grupo Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

20 Prueba homogeedad de varacoes de Segel Tukey Permte cotrastar s dos muestras depedetes procede de poblacoes co la msma varabldad o dspersó. Cotraste blateral: H: σ X =σy H: σx σ Y / H: MeX = MeY H : MeX MeY Estadístco cotraste: = = R a.c La muestra cojuta e orde ascedete, el coefcete strumetal prmero se asga e orde los y después los. valor de X c = valor de Y a Coefcetes obtedos al asgar los ragos segú el método de Segel Tukey: La clasfcacó se realza alterado extremos (el rago es el más bajo, y 3 so los dos más altos, 4 y 5 so los dos más bajos, y así sucesvamete. Cuado el úmero total de observacoes es u úmero mpar, se gorará la observacó cetral. par < < N/ mpar N/ La fucó dcadora a = (N ) + par N/< N (N ) + mpar N/< < N La dstrbucó de probabldad de R es la msma que la del estadístsco U de Wlcoxo Ma Whtey, por lo que se puede recurrr a la tabla de valores crítcos del msmo. Cuado las muestras so grades ( > y > ) se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,) : z R E[R ].(+ )..(+ ) p = dode, E[R] = V[R] = V[R ] Se acepta H sí zp z α / Cotraste ulateral a la derecha: H: σx σy H: σ X >σy R E[R Se acepta H sí zp = z V[R ] α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

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22 . U vesor tee accoes e dferetes sectores del mercado cotuo de valores. Después de quedarse s asesor, para teer dea sobre la cotzacó de sus accoes seleccoó ueve socedades e las que partcpaba y revsó sus cotzacoes de cerre el pasado veres: Socedades Cotzacó compra Cotzacó actual Acerox Bakter Baka Caxabak Mapfre BBVA IAG Telefóca Mercadoa,7 7,7 3,98,56 3,5 4,4 6,73 7,85,95 9,9 7,85 4,37,44 3,5 3,3 6,46 8,9,95 A u vel de sgfcacó del 5%, puede afrmarse que o hay dfereca sgfcatva etre el valor de las accoes e las socedades e las que partcpa este versor? Nota: Utlzar la prueba de ragos co sgos de Wlcoxo Solucó: La prueba de ragos co sgos de Wlcoxo para dos muestras pareadas y la varable de respuesta ordal o cuattatva es la prueba homóloga o paramétrca a la prueba paramétrca t de Studet para muestras pareadas. Se utlza como alteratva de la prueba t de Studet cuado o se puede supoer la ormaldad de las muestras. Se establece las hpótess: H: No hay dferecas e valor de las accoes e las que partcpa el versor H: El valor de las accoes actuales es feror al valor de compra Se troduce los datos e SPSS e Vsta de varables: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

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24 Como el p_valor (Sg. astótca blateral) =,446 >,5 se acepta la hpótess ula y se cocluye que o hay dferecas e el valor de las accoes de las socedades e que partcpa el versor. +.(+ ) T+ = R T = R T= m(t +, T ) T z= 4 k úmero de ragos dsttos e dode hay empates k 3. ( + ). ( + ) t t t úmero putuacoes empatadas e el rago ésmo 4 48 = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

25 La prueba o paramétrca de Wlcoxo srve para para rechazar o o la dfereca estadístcamete sgfcatva etre dos cojutos de observacoes que tee ua dstrbucó cualesquera descoocda. La prueba cosse e lo sguete: a) Se calcula las dferecas de dos observacoes b) Se jerarquza e orde ascedete el valor absoluto de las dferecas c) Se suma las jerarquzacoes de las dferecas postvas, deomado a la suma co el símbolo T = Suma de ragos de las D > + d) Se calcula los valores crítcos T de la tabla para el test de ragos sgos de Wlcoxo e) S T < T, o exste dfereca sgfcatva etre las observacoes a u vel de sgfcacó α + α La prueba de Wlcoxo supoe que la dstrbucó de las dferecas es cotua, smétrca, depedete y que las dferecas tee la msma medaa. Socedad Cotzacó compra Cotzacó actual Dfereca D Dfereca absoluta Jerarqua ascedete Rago Dferecas R R + D R,7 9,9,5,5 4,5,5 7,7 7,85,5,5 3,5,5 3 3,98 4,37,39, ,56,44,, ,5 3,5 6 4,4 3,3,9, ,73 6,46,7, ,85 8,9,4, ,95,95 8,5 9,5 Para obteer los ragos, los valores absolutos de las dferecas D se jerarquza e orde ascedete (de meor a mayor) y se asga los ragos o umeros de orde desde hasta (e este caso, =,,9). S exse valores de D reptdos, el rago correspodete será el promedo de los que se les asgaría s fuera dferetes. Cuado hay dferecas ulas o se tee e cueta, el tamaño muestral se reduce e el úmero de observacoes meos el úmero de dferecas ulas. E este caso, hay dos dferecas ulas y el tamaño muestral es = 9 7=, co lo que los ragos o úmeros de orde va de a 7. Por otra parte, la socedad y preseta el msmo valor D por lo que el rago de cada ua de ellas será el promedo que se les asgaría s fuera dfereres ( + ) / =,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

26 T = R = 9,5 T = R = 8,5 + + El valor expermetal es ˆT R, ,5 = + = + + = + Al tratarse de u cotraste blateral, la regó crítca tedrá dos colas: ( + α /, ) α ( +,5, 7 ),5, 7 = ( + α ) ( + ) ( + ) P T k' / P T k',5 k' P T k α/ P T k,5 = P T k,5 =,975 k = 6 /,,5, 7,5, 7,5, 7 Así pues, como k',5, 7 = < Tˆ + = 8,5 < 6 = k,5, 7 se acepta la hpótess ula, afrmado que o hay dferecas e el valor de las accoes de las socedades e que partcpa el versor. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

27 . Se emplea dos estrategas de vetas (A y B) de u msmo producto e vete cudades. El volume de vetas auales del msmo producto e cada cudad (e mles de euros) por tpo de estratega, está reflejado e la tabla adjuta. Exste algua dfereca sgfcatva etre las estrategas de vetas a u vel de sgfcacó del 5%? Solucó: Vetas (mles euros) Vetas (mles euros) Cudad A B Cudad A B,36,3,5,3 5,65, 3,5 3, 3 9,83 9,79 3 4,65,5 4 8,37 9, 4,47,6 5,7,43 5 3,5,96 6 3,4,96 6 5,67 4,97 7,5 9,8 7 3, 3,65 8 5,4 4,65 8,7 9,87 9,7,79 9 4,78 4,7,3,5 9,63,7 Se trata de u cotraste blateral o de dos colas dode se establece las hpótess: H: No exste dfereca e la estratega de vetas H: La estratega de vetas so dsttas Se aplca la prueba de Wlcoxo supoedo que la dstrbucó de las dferecas e las estrategas de vetas es cotua, smétrca, depedete y tee la msma medaa. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

28 Estrategas de vetas de u producto Cudad A B D = A B D Jerarquzacó ascedete,36,3,4, ,65, 5,44 5,44 3 9,83 9,79,4,4 4 8,37 9,,84, ,7,43,9, ,4,96,8,8 7,5 9,8,34, ,4 4,65,76, ,7,79,7,7 3 3,3,5,6,6 8 8,5,3,, 3 3 3,5 3,,3, ,65,5,6, ,47,6,5, ,5,96,9, ,67 4,97,7,7 7 3, 3,65,53, ,7 9,87,3, ,78 4,7,6,6 9,63,7,54,54 T = R = 46 T = R = El valor expermetal es ˆT R 46 = + = + R R Como el valor expermetal ˆT + = 46 < 5 = T,5, se acepta la hpótess ula de gualdad de estrategas de veta. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

29 El p_valor (Sg. astótca blateral) =,6 >,5 co lo que se acepta la hpótess ula, cocluyedo que o exste dfereca e las estrategas de veta del producto co ua sgfcacó de,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

30 3. Ua empresa calmete establece ua jerarquía etre dez agetes vededores de acuerdo a los resultados obtedos e u test (el más dóeo es, el peor es ). U año después se replatea ua ueva jerarquía co el msmo crtero de acuerdo al volume de vetas auales. Los resultados obtedos se plasma e la tabla adjuta. Exste algua dfereca estadístcamete sgfcatva etre ambos cotroles a u vel de sgfcacó del 5%? Solucó: Jerarquía empresaral Vededor Test Vetas Aloso 4 Esposa 5 6 Jméez Ferádez 8 Crespo 7 9 García 3 Mateos 8 4 Cortes 3 5 Rodeas 9 Cabldo 7 7 Se establece las hpótess: H: Los cotroles de capactacó so depedetes H: Los cotroles de capactacó so depedetes Se trata de u cotraste blateral o de dos colas Se utlza la prueba de Spearma Rho para aceptar o o la dfereca estadístcamete sgfcatva etre los dos cojutos de observacoes de tpo cardal u ordal. El coefcete de correlacó de Spearma Rho, al gual que el de Pearso, muestra ua asocacó etre varables que o se comporta ormalmete, etre varables ordales. Procede de la sguete maera: a) Se calcula las dferecas D etre las observacoes b) El coefcete de Spearma ρ vee dado por la expresó coefcete se compara co u coefcete crítco ρα, = 6. D ρ=.( ) dado e la tabla sguete: c) El Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

31 c) Sí ρ ρα, se acepta la hpótess ula de depedeca sgfcatva etre las observacoes. E caso cotraro, las observacoes so depedetes a u vel de sgfcacó α Jerarquzacó Ordal Vededor X Y D = X Y D = = 6. D 6. D ρ= = =,733. ( ). ( ) = D = 44 Puesto que ρ=,733 >,55 =ρ,5, se rechaza la hpótess ula admtedo que las observacoes de cotrol de capactacó so depedetes. E deftva, la habldad demostrada e el test está lgada a su desempeño e la vda real. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

32 El p_valor (Sg. blateral) =,6 <,5 por lo que se rechaza la hpótess ula, afrmado que los dos cotroles de capactacó está relacoados. Por otra parte, el coefcete de correlacó de Spearma es alto, co ua correlacó postva, a medda que aumeta el vel del test aumeta el volume de vetas aual de los agetes. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

33 4. El drector de ua ageca de vajes, para dseñar u cojuto de estrategas publctaras, está teresado e teer formacó sobre las edades de los compradores de u determado paquete de vajes. Por este motvo, decde regstrar la edad de las persoas que compra este tpo de oferta de vajes, obteedo la secueca: Co ua sgfcacó del 5% se pde: a) Se admte la aleatoredad e la sere de edades b) Observado los datos, se puede afrmar que las persoas que compra este paquete de vajes tee al meos 3 años? Solucó: a) Pra verfcar s la sucesó de edades es aleatora, se realza el cotraste blateral: H: La muestra es aleatora H : La muestra o es aleatora Para ello se acude a la prueba de rachas de Wald Wolfowtz que permte verfcar la hpótess ula de que la muestra es aleatora, es decr, s las sucesvas observacoes so depedetes. El estadístco de prueba del test de rachas de Wald Wolfowtz es: R = "Número de rachas e la muestra" El cotraste se basa e el úmero de rachas que preseta la muestra. Ua racha es ua secueca de valores muestrales co ua característca e comú precedda y seguda por valores que o preseta esa característca. E esta líea, se cosdera ua racha la secueca de k valores cosecutvos superores o guales a u valor de corte (meda, medaa, moda,...) sempre que se ecuetra preceddos y segudos por valores ferores a este valor de corte. El úmero total de rachas e ua muestra proporcoa u dco de sí hay o o aleatoredad e la muestra. U úmero reducdo de rachas (el caso extremo es ) es dco de que las observacoes o se ha extraído de forma aleatora, los elemetos de la prmera racha procede de ua poblacó co ua determada característca (valores mayores o meores al puto de corte) metras que los de la seguda procede de otra poblacó. De forma détca u úmero excesvo de rachas puede ser també dco de o aleatoredad de la muestra. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 33

34 S la muestra es sufcetemete grade y la hpótess de aleatoredad es certa, la dstrbucó muestral del úmero de rachas R puede aproxmarse medate ua dstrbucó ormal de parámetros: ( ) E(R) = + Var(R) = ( ) R+ c E(R) Se acepta la hpótess ula cuado zr = zα/ Var(R) R < E(R) c=,5 R > E(R) c=,5 Como las observacoes so cuattatvas, se costruye ua sucesó dcotómca asgado a cada observacó el sgo de su desvacó respecto a la medaa muestral, es decr: D = X me Como los datos = 34(par), la medaa ua vez ordeados los datos e orde ascedete, será el valor medo de las observacoes cetrales (lugares 7 y 8), co lo cual, me = = 9 El sgo de D = X 9 a partr de la sere orgal será: Como hay cuatro observacoes guales a la medaa se gora y se reduce el tamaño de la muestra a = 34 4= 3 observacoes, dode: = "Números co sgo postvo" = 5 > = "Números co sgo egatvo" = 5 > Al ser, > se puede utlzar la aproxmacó ormal:.5. 5 E(R) = + = + = 6 3 ( ) ( ) Var(R) = = =,69 ( ) 3.(3 ) R + c E(R) 6 6 zr = = = Var(R),69 Como z,5 =,96 < zr = <,96 = z,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 34

35 Se acepta la hpótess ula de aleatoredad de la sere de edades co ua sgfcacó del 5% Cuado > y > se puede aplcar la dstbucó astótca ormal de Wald y Wolfowtz, deotado por γ= la proporcó de observacoes de ua categoría e la d muestra de tamaño se verfca que: R N γ( γ), γ( γ) 5 E esta líea, γ= = =,5, quedado la dstrbucó ormal: 3 ( ) R N.,5. (,5). 3,.,5. (,5) 3 N 5,,74 Los valores crítcos k y k se determa co el valor de sgfcacó α =,5 : ( ) α= PET = PRechazar H H Certa = P R / N 5,,74 = R 5 k 5 R 5 k 5 P ( R k ) ( R k ) / N5,,74 ( ) P P,74,74,74,74 k 5 k 5 = P z + P z =,5 +,5,74,74 = = + = k 5 k + 5 k + 5,74,74,74 P z = z =,5 =,96 k = 9,63 k 5 k 5,74,74 P z =,5 =,96 k =,37 El úmero de rachas R= 6se ecuetra e la regó de aceptacó: 9,63 < R = 6 <,37 por lo que se acepta la hpótess ula de aleatoredad de las edades co ua sgfcacó del 5%. Cuado hay más de rachas y el tamaño de la muestra > 4 se puede utlzar la d 6 9 aproxmacó astótca de Levee: R N, 3 9 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 35

36 Como el p_valor (Sg. astótca blateral) =,655 >,5 =α se admte la hpótess ula de aleatoredad de la muestra. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 36

37 b) El úmero de persoas que compra el paquete de vajes co al meos 3 años de edad se puede aalzar desde dos perspectvas dferetes: cotraste paramétrco o cotraste o paramétrco. E el cotrastre paramétrco, u supuesto comú e dode aparece ua o más varables cuattatvas es que se éstas se dstrbuye ormalmete e la poblacó de refereca. El cumplmeto de este supuesto puede ser comprobado medate la prueba de Kolmogorov Smrov o la prueba de Shapro Wlk. No obstate, dversos estudos ha puesto de mafesto que la mportaca de este supuesto es relatva a medda que el tamaño muestral es grade, e especal a partr de muestras mayores de 3 casos. El cotraste o paramétrco es ua prueba de sgfcacó que o presupoe el cumplmeto de ormaldad, s be debe verfcar dos supuestos: (a) Que la muestra sea represetatva de la poblaó objeto de estudo. (b) Que las observacoes sea depedetes. El cotraste o paramétrco tee la vetaja de ser meos exgete que el cotraste paramétrco a vel de supuestos, auque preseta u aspecto egatvo al ofrecer meor poteca estadístca ( β ) que la prueba paramétrca, es decr, co la prueba o paramétrca es meor la probabldad de cometer u Error Tpo I (Rechazar la hpótess ula H cuado es Certa). Etre los cotrastes o paramétrcos: La prueba de sgos y el test de ragos sgos de Wlcoxo permte el cotraste de hpótess acerca de la localzacó de la varable e estudo respecto a la medaa, o respecto a la meda como la prueba paramétrca t de Studet. El test de ragos sgos de Wlcoxo requere que la varable a aalzar sea cuattatva y que la dstrbucó de la msma sea smétrca, supuestos que o lo so para la prueba de sgos, que ta sólo asume que la varable a aalzar sea al meos ordal. Debdo al carácter habtualmete asmétrco postvo de la varable X "Edad de las persoas que compra el paquete de vaje", así como a la smplcdad de los supuestos, se aalza e prmer lugar la prueba de sgos, coocda també como prueba bomal. Cotraste de sgos (prueba bomal) Deotado a la medaa poblacoal por M, e se cotrasta s Me = m= 3 Supoedo que la varable aleatora e estudo X es cotua alrededor de hpótess: H: Me = 3 H : Me 3 (cotraste blateral o de dos colas) Deotado por: S + = "Número de sgos postvos e la muestra" S = "Número de sgos egatvos e la muestra" M e se establece las Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 37

38 Los sgos postvos y egatvos se calcula hacedo las dferecas D = X Me El estadístco de prueba S= mí(s +,S ) bajo la hpótess ula H sgue ua dstrbucó bomal S B(, /) E S =.p= V S =.p.q= 4 [ ] [ ] Cuado es sufcetemete grade > S N, 4 (S,5) (S,5),5. Se acepta H cuado zp = = zα /,5. 4 Se calcula las dferecas D = X Como hay ua observacó gual a se reduce el tamaño muestral a = 34 = 33 > observacoes. Al ser sufcetemete grade se puede utlzar la aproxmacó ormal. S+ = 4 > S = 9 > S = mí(4, 9) = 4 (4,5),5. 33 Sedo zp = =,4 <,96 = z,5,5. 33 Se acepta la hpótess ula H: Me = 3, afrmado que la mtad de las persoas que compra este tpo de vajes tee 3 años. E el cotraste ulateral a la zquerda (cola a la zquerda): H: Me 3 H : Me < 3 Se acepta la hpótess ula cuado (S,5),5. zp = > z,5. α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 38

39 (4,5),5. 33 E cosecueca, sedo zp = =,4 >,645 = z,5 se acepta la hpótess,5. 33 ula, e cosecueca la mtad de las persoas que compra este tpo de vajes tee al meos 3 años. El p_valor (Sg. astótca blateral) =,39 >,5 =α co lo que se acepta la hpótess ula H: Me = 3 (cotraste blateral o de dos colas) Para realzar el cotraste ulateral a la zquerda: H: Me 3 H : Me < 3,39 p_valor (Sg. astótca ulateral zquerda) = =,84 >,5 =α cocluyedo que las persoas que compra este paquete de vajes tee al meos 3 años. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 39

40 S se hubera optado por u cotraste paramétrco de la varable X "Edad de las persoas que compra el paquete de vaje" se tedría que haber realzado prmero u cotraste de ormaldad de los datos obtedos. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

41 E ambos cotrastes (Kolmogorov Smrov y Shapro Wlk) el p_valor (Sgatura) es mayor que α=,5 e cosecueca se admte la hpótess de ormaldad. Realzado ahora el cotraste parámetrco: H: μ 3 H : μ < 3 El p_valor (Sg. blateral) =,567 >,5 =α co lo que se admte la hpótess ula del cotraste blateral H: μ= 3, es decr, las persoas que compra el paquete de vajes tee 3 años. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

42 El cotraste que se desea realzar H: μ 3 H : μ < 3 es u cotraste ulateral a la zquerda (cola a la zquerda):,567 p_valor (Sg. ulateral zquerda) = =,765 >,5 =α Se acepta la hpótess ula cocluyedo que las persoas que compra el paquete de vajes tee al meos 3 años Cotraste de ragos sgos de Wlcoxo Para aplcar el cotraste es ecesaro supoer que la varable aleatora X es cotua y smétrca respecto a su medaa. Se establece el cotraste blateral: H: Me = 3 H : Me 3 Estadístco de prueba: T = Suma de los ragos postvos de D = X M = e R + + Cuado el tamaño muestral > 5 se puede utlzar la aproxmacó ormal, y e lugar de [ ] = +, utlzar como estadístco de cotraste T+ E T+ zp Var[ T ] T R + Se admte H s z T [ ] [ ] E T + + p = zα / Var T+ El cálculo del valor expermetal del estadístco, se obtee: [ ] Var[ T ] E T =. ( + ) =. ( + ). ( + ) = + H N(,) A cotuacó, para facltar los cálculos ecesaros para hallar el estadístco de cotraste, se elabora la tabla sguete: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

43 Orde x D = x 3 x D Poscó D Rago R R 3 3,5 3, ,5 8, ,5 8, ,5 8, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 4, ,5 8, ,5 3, R + Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 43

44 E la prmera columa se ordea los datos muestrales de meor a mayor La seguda columa so las dferecas etre los datos muestrales ordeados y la medaa Se reca el proceso La tercera columa so los datos muestrales ordeados, s teer e cueta los datos co dferecas ulas D = E la cuarta columa las dferecas absolutas D = x 3 E la quta columa la poscó de D e orde ascedete, empezado por la más pequeña. E la sexta columa los ragos de las dferecas D, cuado hay dferecas repetdas se asga el rago medo de ellas. Excel: JERARQUIA.MEDIA(Dato, Columa valor absoluto datos, Columa datos ordeados) La dfereca La dfereca La dfereca La dfereca D = está repetda veces, el rago se obtee: = 3,5 D = está repetda 8 veces, el rago se obtee: = 4,5 8 D = 3 está repetda veces, el rago se obtee: = 4,5 D = 4 está repetda 5 veces, el rago se obtee: = 8 5 E la septma y octava columa aparece, respectvamete, los ragos egatvos y postvos. T = R = 37 T = R = Como = 33> 5, utlzado la aproxmacó omal, el estadístco de cotraste:.(+ ) (+ ).(+ ) E [ T+ ] = = = 8,5 Var[ T+ ] = = = 33, [ ] [ ] T+ E T+ 34 8,5 zp = = =,83 Var T 33,5 + Sedo zp =,83 <,96 = z,5 se admte la hpótess ula H: Me = 3, cocdedo co el dagóstco del test de sgos de la medaa. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 44

45 Se admte la hpótess ula Me = 3 al presetar u p_valor (Sg. astótca blateral) =, 45 >,5 =α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 45

46 5. U cuestoaro sobre ovacó empresaral, etre otros aspectos, recoge datos sobre la edad ( x) y los años de expereca profesoal ( y), obteedo la sguete tabla: x y a) Cotrastar que la edad de ovadores es ua muestra aleatora smple de ua poblacó cotua y smétrca, co medaa gual o mayor que 4 para u vel de sgfcacó del 5%. b) Cotrastar que la expereca profesoal es ua muestra aleatora smple de ua poblacó cotua y smétrca, co medaa 6 para u vel de sgfcacó del 5%. Solucó: a) Como los datos procede de ua poblacó cotua y smétrca se puede emplear la prueba de sgos de Wlcoxo, establecedo el cotraste ulateral a la zquerda: H: Me 4 H : Me < 4 A smple vsta se observa que la decmosexta observacó es gual a la medaa, la dfereca es cero, co lo que el tamaño muestral se reduce ua udad, pasado a ser = El tamaño muestral > 5 pudedo utlzar la aproxmacó ormal. Se admte H s z p [ ] [ ] T+ E T+ = z Var T + α Para determar el estadístco de cotraste se recurre a la tabla sguete: E la prmera columa se ordea los datos muestrales de meor a mayor La seguda columa so las dferecas etre los datos muestrales ordeados y la medaa E la tercera columa las dferecas absolutas D = x 4 E la cuarta columa la poscó de D e orde ascedete, empezado por la más pequeña. E la quta columa los ragos de las dferecas D, cuado hay dferecas repetdas se asga el rago medo de ellas. Excel: JERARQUIA.MEDIA(Dato, Columa valor absoluto datos, Columa datos ordeados) La dfereca D = está repetda veces, el rago se obtee: + =,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 46

47 La dfereca La dfereca La dfereca La dfereca La dfereca D = 3 está repetda veces, el rago se obtee: = 4,5 D = 5 está repetda veces, el rago se obtee: = 6,5 D = 6 está repetda 3 veces, el rago se obtee: = 9 3 D = 7 está repetda veces, el rago se obtee: + =,5 D = 9 está repetda veces, el rago se obtee: = 4, Orde x D = x 4 D Poscó D Rago R R ,5 4, ,5, ,5 6, ,5 4,5 39,5,5 4,5, ,5 4, ,5 6, ,5, ,5 4, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 47 R + 78,5 3,5 E la sexta y septma columa aparece, respectvamete, los ragos egatvos y postvos. T = R = 78,5 T = R = 3,5 + +

48 .(+ )..(+ ).(+ )..4 E [ T+ ] = = = 5 Var[ T+ ] = = = 77, [ ] [ ] T+ E T+ 3,5 5 zp = = =,99 Var T 77,5 + zp =,99,645 = z,5 aceptado la hpótess ula Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 48

49 SPSS sempre u cotraste blateral o de dos colas: H: Me = 4 H : Me 4 que se acepta al presetar u p_valor (Sg. astótca blateral) =,3 >,5 E el caso del cotraste ulateral a la zquerda: H: Me 4 H : Me < 4 correspode ua Sg.astótca zquerda = p_ valor / =,6 =,839 >,5, co lo que se acepta la hpótess ula. b) Como los datos procede de ua poblacó cotua y smétrca se puede emplear la prueba de sgos de Wlcoxo, establecedo el cotraste blateral o de dos colas: H: Me = 6 H : Me 6 La octava poscó es gual a la medaa propuesta, la dfereca es cero, co lo que se elma del estudo, y el tamaño muestral es = > 5, utlzado la aproxmacó astótca blateral a la dstrbucó N(,) Se admte H s z T [ ] [ ] E T + + p = zα/ Var T+ Para determar el estadístco de cotraste se recurre a la tabla sguete: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 49

50 Orde y D = y 6 D Poscó D Rago R R 4 9 9,5 9, ,5 8, ,5 8, ,5 6, ,5 4, ,5 4, ,5 6, ,5 9,5 E la prmera columa se ordea los datos muestrales de meor a mayor R La seguda columa so las dferecas etre los datos muestrales ordeados y la medaa E la tercera columa las dferecas absolutas D = y 6 E la cuarta columa la poscó de D e orde ascedete, empezado por la más pequeña. E la quta columa los ragos de las dferecas D, cuado hay dferecas repetdas se asga el rago medo de ellas. Excel: JERARQUIA.MEDIA(Dato, Columa valor absoluto datos, Columa datos ordeados) La dfereca D = 4 está repetda veces, el rago se obtee: = 4,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

51 La dfereca La dfereca La dfereca La dfereca La dfereca D = 5 está repetda veces, el rago se obtee: = 6,5 D = 6 está repetda veces, el rago se obtee: = 8,5 D = 7 está repetda 3 veces, el rago se obtee: + + = 3 D = 9 está repetda 3 veces, el rago se obtee: = 5 3 D = está repetda veces, el rago se obtee: 9 + = 9,5 E la sexta y septma columa aparece, respectvamete, los ragos egatvos y postvos. T = R = 7 T = R = (+ )..(+ ).(+ )..4 E [ T+ ] = = = 5 Var[ T+ ] = = = 77, [ ] [ ] T+ E T zp = = =,54 Var T 77,5 + zp =,54,645 = z,5 Se rechaza la hpótess ula a u vel de sgfcacó del %. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

52 El p_valor (Sg. astótca blateral) =, <,5 por lo que se rechaza la hpótess ula, es decr, la medaa o es gual a 6 años de expereca profesoal, para la muestra cosderada a u vel de sgfcacó del 5%. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

53 6. E tres estacoes del metro de Madrd se aalza la putualdad del servco. Para ello, se toma ua muestra e cada ua de ellas, mdedo el tempo que se retrasa cada tre que llega. Se ha obtedo los resultados sguetes: A B C Cotrastar s los retrasos e las tres estacoes so semejates, co u vel de sgfcacó del 5%. Utlzar la prueba de Kruskal Walls. Solucó: La prueba de Kruskal Walls permte cotrastar s varas muestras depedetes, de guales o dferetes tamaños, procede de la msma poblacó cotua. Sea F,F y F 3 las correspodetes fucoes de dstrbucó. Se trata de comprobar s estas fucoes preseta dferecas sgfcatvas e cuato a su retraso. Aplcado el test de Kruskal Walls se cotrasta: H: F (x) = F (x) = F 3(x) H : Al meos dos so dferetes sedo F la fucó de dstrbucó de la varable X, =,,3 Estadístco de cotraste: k R H= 3.(+ ).(+ ) = Sedo, k j j = j= = R = r r Rago de la observacó j ésma de la muestra Se rechaza H cuado P( H hα H ) =α hα valor crítco que se observa e las tabla de valores crítcos de Kruskal Walls. Cuado todos los tamaños muestrales so mayores que 5 se recurre a la aproxmacó astótca, que emplea la dstrbucó χ co k úmero de muestras α,k Para calcular el valor expermetal H se ordea las observacoes x de meor a mayor, asgado a cada ua su rago R Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 53

54 estacó x R Se agrupa los ragos de cada estacó y se hace la suma de cada ua de las muestras: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 54

55 A B C estacó R estacó R estacó R R = 69 A R = 67 B R = 9 C Estadístco cotraste: 3 R + = H = 3. ( + ) = =,684. ( ) Como se rechaza H cuado P( H hα H ) =α recurredo a la aproxmacó astótca a la χ =χ = k, α,,5 5,99 H =,684 < h,5 = 5,99 aceptado la hpótess ula, afrmado que los retrasos e las tres estacoes so semejates o sgue ua msma dstrbucó, co u vel de sgfcacó del 5%. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 55

56 El p_valor (Sg. astótca) =,7 >,5 =α aceptado la hpótess ula, es decr, los retrasos e las tres estacoes so semejates o sgue ua msma dstrbucó, co u vel de sgfcacó del 5%. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 56

57 7. U fabrcate de juguetes desea coocer s exste dferecas e cuato a la caldad de cuatro marcas de plas exteddas e el mercado, co el f de recomedarlas para su utlzacó e u uevo juguete que se va a promocoar. Para comparar las cuatro marcas, toma muestras aleatoras de plas de cada ua de las marcas y cotrola el tempo que permaece fucoado el juguete e cuestó. Los resultados obtedos fuero: A B C D Utlzado u vel de ssgfcacó del 5%, puede decrse que exste dferecas sgfcatvas e las caldades de estas marcas de plas alcalas?. Utlzar la prueba de Kruskal Walls. Solucó: Sea F,F,F 3 y F 4 las correspodetes fucoes de dstrbucó. Se trata de comprobar s estas fucoes preseta dferecas sgfcatvas e cuato a la duracó de las plas. Aplcado el test de Kruskal Walls se cotrasta: H: F (x) = F (x) = F 3(x) H : Al meos dos so dferetes sedo F la fucó de dstrbucó de la varable X, =,,3,4 El estadístco de cotraste corregdo por observacoes repetdas: k R H =.H =. 3.(+ ) f 3 c (.( ) j j) + τ τ = j fc =.( ) Sedo, k j j = j= = R = r r Rago de la observacó j ésma de la muestra τj Número de observacoes que se repte de cada grupo de repetcoes. Se rechaza H cuado P( H hα H ) =α Para calcular el valor expermetal se ordea las observacoes de meor a mayor, asgádoles su correspodete rago y sumado los ragos de la observacoes de cada muestra. E caso de empates, se procede de forma habtual: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 57

58 Muestra plas x Muestra plas x , , , , , , , ,5 R Se observa que hay observacoes repetdas, como e el caso del valor que aparece e las poscoes 7, 8, 9 y 3, sedo el rago medo: R= = 8,5 4 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 58

59 A B C D Muestra A R Muestra B R Muestra C R Muestra D R , , , , , ,5 8,5 3 8,5 79,5,5 4,5 39,5 R = 79,5 R =,5 R = 4,5 R = 39,5 A B C D Estadístco de cotraste cal: 4 R + = 79,5,5 4,5 39,5 H = 3. ( + ) = = 7,3883.( ) Empleado el factor de correccó para observacoes repetdas: f = j c ( τ τ ) 3 j.( ) j τj Número de observacoes que se repte de cada grupo de repetcoes: (por el valor de 5), (por el valor de 95) y 4 (por el valor de ) ( τ τ ) 3 j j j ( ) + ( ) + (4 4) c f = = =,997.( ) 3.9 El estadístco de cotraste fal: Se rechaza H cuado P( H hα H ) 7,3883 H =. H = = 7,48 f,997 =α c recurredo a la aproxmacó astótca a la χ =χ = k, α 3,,5 7,85 H = 7, 48 < h,5 = 7,85 Se acepta la hpótess ula, por tato o exste dferecas sgfcatvas e la duracó de las plas alcalas, co u vel de sgfcacó del 5%. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 59

60 Sedo el p_valor (Sg. astótca) =,6 >,5 =α Se acepta la hpótess ula, cocluyedo que o exste dferecas sgfcatvas e la duracó de las plas alcalas, es decr, la duracó de las plas puede teer ua msma dstrbucó, co u vel de sgfcacó del 5% Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

61 8. E la sguete tabla se adjuta los datos sobre el ROE (rato utlzado para realzar aálss medate la medcó de la retabldad obteda por la etdad sobre sus recursos propo) y ROA (beefco obtedo ates de tereses e mpuestos actvos totales) de dez etdades fac seeras que cotza e Bolsa. Etdades ROE ROA Edesa 3,68,8 Repsol 4,64,73 3 BBVA,8,66 4 Baesto 7,5,5 5 Carrefour,34, 6 Ibercaja 5,,8 7 Acerala 8,6,75 8 Ucaja 8,7,83 9 BBK 9,3,6 Baka 3,8,3 Cotrastar que ambos coceptos o está relacoados empleado la τ de Kedall, co u vel de sgfcacó del 5%. Solucó: Se establece el cotraste blateral: H: τ XY = H : τxy Estadístco de cotraste:.s τ=.( ) co tamaño de la muestra y S Suma total de la fucó dcador: = < j S = ψ j * * Se halla los dcadores: ψ j ( R y, R ) yj utlzado la dobe tabla de * R y Se rechaza H s P τ k H es Certa S o hay versó de ragos = S hay versó de ragos El estadístco de cotraste τ se cotruye medate ua tabla que cotega los ragos cosderado los valores ordeados de mayor a meor. Posterormete se reordea sguedo el orde atural de R x Rx y R y, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

62 R Jerarqua(x ; x : x ) x $ $ $ $ R Jerarqua(y ; y : y ) y $ $ $ $ Etdades x y R x R y Etdades Edesa 3,68,8 5 Carrefour 4 Repsol 4,64, BBVA 8 BBVA,8,66 8 BBK 3 Baesto 7,5,5 6 Ucaja 4 Carrefour,34, 4 Acerala 5 6 Ibercaja 5,,8 7 3 Baesto 6 Acerala 8,6, Ibercaja 7 3 Ucaja 8,7,83 4 Repsol 8 7 BBK 9,3,6 3 Baka 9 9 Baka 3,8,3 9 9 Edesa 5 * * Se halla los dcadores: ψ j ( R y, R ) yj utlzado la dobe tabla de * R y S o hay versó de ragos = S hay versó de ragos R * x * R y * y * y * y3 * y4 * y5 * y6 * y7 * y8 * y9 * * * * * * * * * R y R y R 3 y R 4 y R 5 y R 6 y R 7 y R 8 y R 9 y R 4 R 8 R R R 6 R R 3 R 7 R 9 9 = < j j S= ψ = = 9.S.9 τ= = =,.( ).9 Teedo e cueta la aproxmacó asítótca Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

63 .(+ 5).5 τ N, = N, = N,,48 9.( ) 9..9 Se rechaza k ( ) P τ k H es Certa = P τ k N,,48 = P z H s ( ),5,48 = = = k,48,96 z k, 486 Como se verfca que τ=, <, 486 = z,5 Se acepta la hpótess ula de que las varables se ecuetra correladas, es decr, las varables ROE y ROA o se ecuetra asocadas. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 63

64 El p_valor (Sgatura blateral) =,4 >,5 =α Se acepta la hpótess ula de correlaccó de las varables ROA Y ROE. E cosecueca, o se ecuetra asocadas. 9. La tabla adjuta preseta las cotzacoes máxmas de las accoes de ua compañía durate los últmos dez días del mes de octubre: 4,47,63 5, 7,75 8,5 7, 3,4,4 9,3 7,4 a) Co u vel de sgfcacó del %, se puede decr que la muestra es aleatora co respecto a la meda de cotzacoes alcazada e mes ateror que fue de 7,5 euros? B) Cotrastar s las accoes se puede cosderar ormalmete dstrbudas, co u vel de sgfcacó del 5%. Utlzar el cotraste de Lllefors y Shapro Wlk Solucó: a) Se utlza el cotraste de rachas de Wald Wolfowtz Se establece el cotraste: H: La muestra es aleatora H: La muestra o es aleatora Estadístco cotraste: R = Número de rachas Para obteer ua sucesó dcotómca se compara cada observacó co 7,5, susttuyedo el valor por el sgo S cuado el valor observado supere a esta catdad o por el sgo I cuado la observacó sea feror a 7,5. E caso de haber algua observacó gual a esta catdad se gora y el tamaño de la muestra se reduce coveetemete. 4,47,63 5, 7,75 8,5 7, 3,4,4 9,3 7,4 I I I S S I I S S I La sucesó dcotómca queda: III SS II SS I Rˆ = 5 = Número de sgos S= 4 = Número de sgos I= 6 Regó crítca del cotraste: Sedo k y k el meor y el mayor etero, respectvamete, que verfca: α α P(R k ) =,5 P(R k ) =,5 Utlzado la tabla para el test de rachas de aleatoredad: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 64

65 P(R 3) =,476,5 P(R 4) =,95 >,5 k = 3 P(R 7) =,88 P(R 8) =,88 =,9 >,5 P(R 8) =,976 P(R 9) =,976 =,38,5 k = 9 Regó crítca del cotraste: Co ua sgfcacó del 5% se acepta la aleatoredad de la muestra de cotzacoes respecto a la meda hstórca alcazada el mes ateror. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 65

66 El p_valor (Sg. stót. Blateral) =,833 >, =α co lo que se acepta la hpótess ula de aleatoredad de la muestra. b) Cotraste de ormaldad de Lllefors Cotraste blateral: H: La muestra procede de ua dstrbucó ormal H: La muestra o procede de ua dstrbucó ormal Estadístco cotraste: D = máx F (z) F (z) = máx(a, b ) Se acepta H s D = máx F (z) F (z) = máx(a, b ) < D, (valor crítco tabla de Lllefors) α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 66

67 Para determar el estadístco de cotraste se costruye ua tabla dode se ordea los datos, tpfcado cada valor, se calcula F(z), F(z) y se crea las columas a = F (z ) F (z ) y b = F (z ) F (z ) x x x 6,564 Valores tpfcados z = = s,554 x = = x a a 8,936 6,564 5, ,64 8,936 a = x = x = = 6,564 a = x = = 8,936 σ = = =. 5,8633 sx = = 6,547 sx = 6,547 =,554 9 F (z ) Fucó de dstrbucó de ua N(, ): DISTR.NORM.ESTAND(z ) o observacoes N(z) F(z) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra tpfcada: F(z) = = x z F(z) F(z) a = F (z) F (z) =,63,543,,66,384,66 b F (z) F (z ) 3,4,38,,9,9,9 4,47,84,3,6,94,6 5,,5657,4,858,4,4 7,,,5,583,83,83 7,4,375,6,684,84,84 7,75,4647,7,6789,,789 8,5,58,8,798,8,98 9,3,79,9,858,49,58,4,59,,9336,664,336 D = máx(a, b ) =,83 <,39 = D,, (valor crítco tabla de Lllefors) Por lo que se acepta la hpótess ula de ormaldad para la muestra, co u vel de sgfcacó del % Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 67

68 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 68

69 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 69

70 El p_valor (Sg) =, >, =α Se acepta la hpótess ula de ormaldad de la muestra. Cotraste de ormaldad de Shapro Wlk Cotraste blateral: Dada ua muestra aleatora smple de tamaño (x, x,, x ) Se establece las hpótess: H: La muestra procede de ua dstrbucó ormal H: La muestra o procede de ua dstrbucó ormal Estadístco cotraste: W = a.(x x) k + = (x x) = / par k = ( ) / mpar x Estadístco ordeado de orde a Coefcetes para cada (x x ), co (, =,,...,k ) valores de la tabla de Shapro Wlk + Se rechaza la hpótess de ormaldad H cuado W<, (valor crítco de Shapro Wlk) Para calcular el estadístco W se orgaza las operacoes e la sguete tabla: x x + x x + x a a.(x + x),4,4,63 7,77,5739 4,459 9,3 9,3 3,4 5,88,39,935 8,5 8,5 4,47 3,58,4,7665 7,75 7,75 5,,63,4,39 7,4 7,4 7,,3,399, 7, 7,4947 5, 4,47 3,4,63 W α 5 a. (x + x ) = 7,4947 = 56,75 = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

71 Se había calculado s = (x x) = 6,547 (x x) = 58,633 Así pues: x 9 = = a.(x x) 56,75 W = = =, , = (x x) = Sedo W =,9579 >,869 = W,, se acepta la hpótess ula de ormaldad, co u % de sgfcacó. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

72 . E la tabla aparece los resultados de ua ecuesta que se realzó a ce persoas sobre las veces que vajaba e avó durate u año. x Co ua sgfcacó del 5%, detrmar s la muestra se ajusta a ua dstrbucó de Webull de paramétros b= 6 y c=, empleado la prueba de Kolmogorov Smrov. Solucó: La fuco de Webull se emplea co frecueca e aálss de supervveca (fucó de supervveca, vda permaete de costruccoes, vda de electrodoméstcos, etc.) La fucó de desdad y fucó de dstrbucó, respectvamete, so: c c.x c (x/b) f(x; b, c) =. e b x, b >, c > c parámetro de forma y b parámetro de escala c (x/b) F(x; b, c) = e Co el test de Kolmogorov Smrov se establece el cotraste blateral: H: La muestra procede de ua dstrbucó de Webull H: La muestra o procede de ua dstrbucó de Webull Estadístco de cotraste: D = máx F(x) F(x) Se acepta H s D = máx F (x ) F (x ) < D α, (valor crítco tabla Kolmogorov Smrov) F (x ) Fucó de dstrbucó: DIST.WEIBULL(x ;;6;) o observacoes N(x ) F (x ) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra: F(x) = = Se costruye ua tabla co F(x), F(x) y F (x) F (x) para determar el estadístco de cotraste. Las probabldades acumuladas a cada valor x, es decr la fucó de dstrbucó F(x) se determa de la forma sguete: 3 (/6) F (x ) = P(X ) = e =,74 (/6) F (x ) = P(X ) = e =,5 (4/6) F (x ) = P(X 4) = e =,43 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

73 x N F(x) F(x),,74,74 F(x) 5 7,7,5,35 3 7,7,, ,3,3588, ,47,56, ,59,63,4 7 7,7,7436, ,78,83, ,83,8946, ,89,9378, ,97,9653,47 99,99,987,83 4,,9957,43 D = máx F (x ) F (x ) =,646 Sedo D =,646 <,358 = D,5, Se acepta la hpótess ula H, e cosecueca, la muestra se ajusta a ua dstrbucó de Webull W(6,), co ua sgfcacó de,5 F(x) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 73

74 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 74

75 . Ua compañía dedcada al evasado, fabrcacó y veta de productos lácteos pretede aalzar el cosumo aual de leche e ua cudad. Para realzar el estudo, decde llevar a cabo ua ecuesta a ce persoas, clasfcado por edades los ltros de leche medos cosumdos, obteedo los sguetes datos: L L Co u vel de sgfcacó del 5%, empleado la prueba de Kolmogorov Smrov, determar s la muestra se ajusta a ua dstrbucó uforme U(,6) Solucó: Se establece el cotraste blateral: H: La muestra procede de ua dstrbucó de uforme U(,6) H: La muestra o procede de ua dstrbucó de uforme U(,6) Estadístco de cotraste: D = máx F(x) F(x) Se acepta H s D = máx F (x ) F (x ) < D α, (valor crítco tabla Kolmogorov Smrov) x x F (x ) Fucó de dstrbucó U(,6) = 6 6 o observacoes N(x ) F (x ) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra: F(x) = = Se costruye ua tabla co F(x), F(x) y F (x) F (x) para determar el estadístco de cotraste. Las probabldades acumuladas a cada valor x, es decr la fucó de dstrbucó F(x) se determa de la forma sguete: F (x ) = P(X ) = / 6 =,667 F (x ) = P(X ) = / 6 =,3333 F(x ) = P(X 6) = 6/6= 6 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 75

76 L L N F(x) F(x) F(x) F(x) 6 6,6,667,933 47,47,3333, ,63,5, ,78,6667, ,9,8333, ,,, D = máx F (x ) F (x ) =,367 Sedo D =,367 >,358 = D,5, Se rechaza la hpótess ula H, e cosecueca, la muestra o se ajusta a ua dstrbucó U(,6), co ua sgfcacó de,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 76

77 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 77

78 El p_valor (Sg. astótca blateral) = <,5 =α Se rechaza la hpótess ula H, cocluyedo que la muestra o se ajusta a ua dstrbucó U(,6), co ua sgfcacó de,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 78

79 . E la tabla aparece las putuacoes obtedas e u test de estrés que se ha pasado e dos cudades. A B Co u vel de sgfcacó del %, a partr de los datos, puede afrmarse que el estrés es mayor e la cudad A que e la cudad B. Utlzar el test de la U de Wlcoxo Ma Whtey, el cotraste de Kolmogorov Smrov y la prueba de la Medaa. Solucó: Sea las varables aleatoras: X Putuacoes de estrés e el test de la cudad A Y Putuacoes de estrés e el test de la cudad B Se realza el cotraste ulateral a la zquerda: H: F(z) G(z) H : F(z) < G(z) Sedo F y G las respectvas fucoes de dstrbucó de X e Y Utlzado el test de la U de Wlcoxo Ma Whtey A.(A + ) Estadístco de cotraste: U= U =. + W xa A B x sedo W x R suma de ragos de la muestra X = Como A = 3> y B = > la dstrbucó del estadístco de cotraste U se puede aproxmar por ua ormal A.B A. B.(A + B + ) U= Ux N, A. B 3. A. B. (A + B + ) 3.. (3 + + ) E(U) = = = 78 σ U = = = 8,3848 Se acepta H s z p = A.B U A. B.(A + B + ) z α Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 79

80 Para calcular el valor expermetal de U se ordea las observacoes muestrales de meor a mayor, asgado u rago de hasta 5. S hubera observacoes repetdas, se asga el rago medo de los que les correspodería s fuera dferetes. Para facltar el cálculo W 5 c.r se crea el coefcete strumetal x = valor X c = valor X Excel: JERARQUIA(Observacó ; Observacoes : 5 ; Poscó : 5) Poscó Observacoes Jerarquía R c c.r , ,5 8,5,5,5, , ,5 6, , ,5 8, , ,5 4,5 5 x = W c.r = 4,5 4,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

81 E cosecueca, A.(A + ) 3.4 U = Ux = A A. B + Wx = ,5 = 4,5 Estadístco cotraste: A.B U 4,5 78 zp = = =,939 8,3848 A. B.(A + B + ) Como zp =,939 >,33 = z, se acepta la hpótess ula co ua sgfcacó de,5. E el cotraste ulateral a la zquerda, el p_valor =,53 / =,9735 >, =α, se acepta la hpótess ula de que el estrés es mayor e la cudad A. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

82 Utlzado el cotraste de Kolmogorov Smrov para dos muestras Se platea el cotraste ulateral a la zquerda: H: F(z) G(z) H : F(z) < G(z) Estadístco de cotraste: D, = máx G (x) F (x) co N (x) N (x) F (x) = F (x) = Se rechaza H s D > D, α,, Se crea ua tabla hacedo los cálculos ecesaros para obteer el valor expermetal del estadístco de cotraste D, x x y yy N x Ny F (x) G (x) G (x) F (x) 6,833,833 7,667, ,5, ,769,467,3397 5,538,467,68 3 6,38,5,69 4 7,377,5833, ,3846,75, ,465,75, ,5385,8333, ,654,967,33 7 9,693,967,44 8,769,967,474 9,846,967,75,93,967, D, = máx G (x) F (x) =,3654 D, = máx F (x) G (x) =, El valor crítco D α,, =. C KS =.,574 =, Sedo D =,3654 <,6744 = D Se acepta la hpótess ula al % de, α,, sgfcacó. E cosecueca, el estrés es mayor e la cudad A. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

83 El p_valor =,3754 / =,83 >, =α del cotraste ulateral a la zquerda F(z) G(z), co lo que se acepta la hpótess ula, co ua sgfcacó del %. E cosecueca, la cudad A preseta mayor estrés. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 83

84 Utlzado la prueba de la Medaa Se establece el cotraste ulateral a la zquerda: H: M M H : M < M ex ey ex ey dode Me x y Me y so las correspodetes medaas poblacoales. Estadístco de cotraste: V = Número de observacoes de X meores o guales que la medaa de la muestra cojuta de + elemetos. Para calcular el valor expermetal de V se calcula la medaa de la muestra cojuta, habedo ordeado todas las observacoes de meor a mayor Como = + = 3+ = 5 es mpar, la medaa será la observacó que ocupa el lugar ( + ) (5 + ) = = 3, es decr, me = 3 x V= 5 Sedo = 3> y = > se aproxma medate ua dstrbucó ormal: ( [ ] [ ]) V N E V, Var V [ ] [ ] co = 5 mpar k = = 3 k 3 5 = = = = = = E V k.. 6,4 Var V k......,64 [ ] [ ] V E V 5 6,4 Estadístco cotraste: zp = = =,9735 Var V,64 Como zp =,9735 >,33 = z, se acepta la hpótess ula, por lo que se puede afrmar co ua sgfcacó del %, que el estrés es mayor e la cudad A. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 84

85 El cotraste ulateral a la zquerda tee u p_valor =, / =,9445 >, = z, por lo que se acepta la hpótess ula de que el estrés es mayor e la cudad A, co ua sgfcacó del %. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 85

86 3. Durate los meses de declaracó de la reta ua sucursal bacara decdó dar cta preva a los cletes para evtar largas esperas. A pesar de la meda, los cletes esperaca u tempo medo de 5 mutos ates de ser ateddos. Determado día se elgó al azar aotar los tempos de espera de cada uo de los cletes, cotablzado los tempos: ,5 7, ,5 Para u vel de sgfccó del 5%, se ajusta la muestra a ua dstrbucó expoecal? Solucó: La dstrbucó expoecal es ua dstrbucó de probabldad cotua co parámetro λ >,.x co fucó de desdad f(x) = P(x) =λ.e λ y co fucó de dstrbucó F(x ) P(X x ) e λ.x = = para x : E(X)=, V(X) = λ λ Sedo la varable aleatora X Tempo de espera de cada uo de los cletes, X exp( λ = 5) E cosecueca, E(X) = = 5 λ= =, λ 5 Se platea el cotraste blateral: H: X exp(,) H : X exp(,) H: F (x) = F(x) H: F (x) F(x) sedo Utlzado el test de Kolmogorov Smrov Estadístco de cotraste: D = máx F (x ) F (x ) = máx(a,b) F(x) verdadera dstrbucó de la varable X F(x) fucó de dstrbucó de exp(,) a = F (x ) F (x ) b = F (x ) F (x ) Se acepta H s D = máx F (x ) F (x ) < D α, (valor crítco tabla Kolmogorov Smrov) Se costruye ua tabla ordeado las observacoes y calculado F(x), F(x), F(x) F(x) y F(x ) F(x) F (x ) Fucó de dstrbucó: DISTR.EXP o observacoes N(x ) F (x ) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra: F(x) = = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 86

87 x N F(x) F(x) F(x) F(x),, F(x ) F(x) 3,,45,9,34 4 4,4444,557,6,384 5,5 5,5556,667,6,7 6 6,6667,6988,3,433 6,5 7,7778,775,53,68 7,5 8,8889,7769,,9 9 9,8347,653,54,. F() = P(X ) = e =,.3 = = =,.4 = = = F (3) P(X 3) e, 45 F (4) P(X 4) e,557 = = = = = =,.9 F (9) P(X 9) e,8347 D = máx F (x ) F (x ) = máx(a, b ) =,34 E la tabla de Kolmogorov Smrov: D,5, 9 =,387 sedo, D =,34 <,387 = D,5, 9 Se acepta la hpótess ula, co u 5% de sgfcacó, afrmado que la espera de los cletes seguía ua dstrbucó expoecal de parámetro λ=, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 87

88 p_valor =,43 >,5 =α Se acepta la hpótess ula, cocluyedo que los datos se ajusta a ua dstrbucó expoecal de parámetro, λ = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 88

89 4. E u test de coefcete de telgeca se se aotaro las respuestas correctas que fgura e la tabla sguete: Itervalos L L Frecueca Co u vel de sgfcacó del 5%, se ajusta la muestra a ua dstrbucó expoecal?. Utlzar el test de Kolmogorov Smrov y la prueba de la Ch cuadrado. Solucó: Utlzado el test de Kolmogorov Smrov Sedo la varable aleatora X Respuestas adecuadas e test de telgeca, X exp( λ) Se platea el cotraste blateral: H: X exp( λ) H : X exp( λ) H: F (x) = F(x) H: F (x) F(x) sedo Estadístco de cotraste: D = máx F (x ) F (x ) = máx(a,b) F(x) verdadera dstrbucó de la varable X F(x) fucó de dstrbucó de exp( λ) a = F (x ) F (x ) b = F (x ) F (x ) Se acepta H s D = máx F (x ) F (x ) < D α, (valor crítco tabla Kolmogorov Smrov) F (x ) Fucó de dstrbucó: DISTR.EXP(x ; (/7); x :x 6) o observacoes N(x ) F (x ) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra: F(x) = = Se costruye ua tabla ordeado las observacoes y calculado F(x), F(x), F(x) F(x) y F(x ) F(x) Se utlza el estmador de máxma verosmltud del parámetro λ : λ ˆ = x La fucó de desdad y la fucó de dstrbucó que se emplea, respectvamete, será: f(x). e λ ( / ). x = y λ (/ ). x F(x) = P(X x) = e λ Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 89

90 x x. N F(x) F(x) F(x) F(x) F(x ) F(x) ,3,539,39, ,55,5997,497, ,75,653,977, ,85,698,5, ,95,7376,4, ,,77,79, = ˆ 7 λ= x = x. = = 7 f(x).e 7 ( / 7). x = y F(x) = P(X x) = e (/7). x (/7). 55 F (55) = P(X 55) = e =,539 (/7). 65 F (65) = P(X 65) = e =,5997 (/7). 75 F (75) = P(X 75) = e =,653 = = = (/7). 5 F (5) = P(X 5) = e =,77 D = máx F (x ) F (x ) = máx(a, b ) =,539 E la tabla de Kolmogorov Smrov: D,5, =,358 sedo, D =,539 >,358 = D,5, 9 Se rechaza la hpótess ula, co u 5% de sgfcacó, afrmado que las respuestas adecuadas del test de telgeca o sgue ua dstrbucó expoecal de parámetro /7 λ = Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

91 Prueba de Ch cuadrado Se platea el cotraste blateral: H: Las respuestas adecuadas sgue ua dstrbucó exp( λ) H: Las respuestas adecuadas o sgue ua dstrbucó exp( λ) La fucó de desdad que se emplea será: f(x) =. e 7 (x / 7) Itervalos L L x p = P(x= x ),649,564,49,45,37,3 e =.p 6,49 5,64 4,9 4,6 3,7 3, 6 x/7 6/7 5/7 p = P(5 X 6) = e dx = e + e =, x/7 7/7 6/7 p = P(6 X 7) = e dx = e + e =, x/7 8/7 7/7 p3 = P(7 X 8) = e dx = e + e =, x/7 9/7 8/7 p4 = P(8 X 9) = e dx= e + e =, x/7 /7 9/7 p4 = P(9 X ) = e dx = e + e =, x/7 /7 /7 p6 = P( X ) = e dx = e + e =,3 7 (x / 7) P(X = x ) = c. f(x ) =. e 7 (55 / 7) (65 / 7) P(X = 55) =. f(55) =. e =,649 P(X = 65) =. f(65) =. e =, (75 / 7) (85 / 7) P(X = 75) =. f(75) =. e =,49 P(X = 85) =. f(85) =. e =, (95/ 7) (5/ 7) P(X = 95) =. f(95) =. e =,37 P(X = 5) =. f(65) =. e =,3 7 7 Las frecuecas esperadas e =.p =.p de las modaldades o puede ser meor que 5, e caso cotraro se agrupa dos o más modaldades cotguas e ua sola hasta lograr que la ueva frecueca sea mayor que cco. E este setdo, se agrupa las modaldades de forma que quede los tervalos [7 9] y [9 ] Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

92 Itervalos L L x p = P(x= x ),649,564,95,69 e =.p 6,49 5,64 9,5 6,9 E este caso, los grados de lbertad pasa a ser (k p ), co k= 4 modaldades, p= parámetro λ que ha habdo que calcular y por ser modaldades excluyetes. El valor que se obtee para la Ch cuadrado de las observacoes es: 4 (O e ) (3 6, 49) (5 5,64) (3 9,5) (5 6,9) e 6,49 5,64 9,5 6,9 = χ = = = 8,66 Estadístco teórco: χ =χ = α,k p,5, 5,99 Como χ = 8,63 > 5,99 =χ se rechaza la hpótess ula, deducedo que las respuestas,5, adecuadas del test de telgeca o sgue ua dstrbucó expoecal de parámetro λ= /7, co ua sgfcacó del 5%. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

93 p_valor =, <,5 =α Se rechaza la hpótess ula. E cosecueca, ñas respuestas adecuadas del test o sgue ua dstrbucó expoecal. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 93

94 5. E u vuelo se adjudca los asetos a pasajeros que procede de dos agecas de vajes (A y B) de la forma que se preseta: Aseto Ageca vajes A B 3 B 4 B 5 A 6 B 7 A 8 B 9 B B B A 3 A 4 B 5 B 6 A 7 B 8 A 9 A A B B 3 B 4 B 5 A 6 A 7 B 8 A 9 B 3 B Se ha asgado los asetos aleatoramete, co u vel de sgfcacó del 5%? Solucó: Pra verfcar s los asetos se ha adjudcado aleatroramete, se realza el cotraste blateral: H: La muestra es aleatora H : La muestra o es aleatora Estadístco de prueba: R = "Número de rachas e la muestra" Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 94

95 La regó crítca P(R k H ) =α/ P(R k H ) =α/ Los valores crítcos k y k se puede obteer co las tablas de Wald Wolfowtz Se cueta el úmero de rachas: Ageca A BBB A B A BBBB AA BB A B AAA BBBB AA B A BB Rachas R= 6 rachas Asetos Ageca A = = Asetos Ageca B = = 8 k = 9 y k = k = 9 < R= 6 < = k co lo que el estadístco R se ecuetra e la regó de aceptacó y, e cosecueca, la muestra puede cosderarse aleatora. Sedo = > y = 8> se puede aplcar la dstbucó astótca ormal de Wald y Wolfowtz, deotado por γ= la proporcó de observacoes de ua categoría e la d muestra de tamaño se verfca que: R N γ( γ), γ( γ) E esta líea, γ= = =,4, quedado la dstrbucó ormal: 3 ( ) R N.,4. (,4). 3,.,4. (,4) 3 N 4,4,,69 Los valores crítcos k y k se determa co el valor de sgfcacó α =,5 : ( ) α= PET = PRechazar H H Certa = P R / N 4,4,,69 = R 4,4 k 4,4 R 4,4 k 4,4 P ( R k ) ( R k ) / N( 4,4,,69) P P,69,69,69,69 k 4,4 k 4,4 = P z + P z,69,69 =,5 +,5 = = + = k 4,4 k + 4,4 k + 4,4,69,69,69 P z = z =,5 =,96 k = 9,47 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 95

96 k 4,4 k 4,4,69 = = =,69 P z,5,96 k 9,553 El úmero de rachas R= 6se ecuetra e la regó de aceptacó: 9,47 < R = 6 < 9,553 por lo que se acepta la hpótess ula de aleatoredad de los asetos del vuelo co ua sgfcacó del 5%. p_valor (Sg. astótca blateral) =,969 >,5 =α Por tato, se admte la hpótess ula H de aleatoredad de la muestra. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 96

97 El p_valor (Sg. exacta ulateral) =,66 >,5 =α Se admte la hpótess ula H de aleatoredad de la muestra. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 97

98 6. La asocacó de mutuas de accdetes aalza el úmero de bajas ocurrdas e el últmo mes debdas a accdetes laborales, e empresas costructoras que realza su actvdad e la captal de provca. Los datos recogdos aparece e la tabla sguete: Itervalos L L Frecueca Co u vel de sgfcacó del 5%, se ajusta la muestra a ua dstrbucó ormal?. Utlzar la prueba de la Ch cuadrado y la prueba de Lllefors. Solucó: Prueba de la Ch cuadrado Cotraste blateral: H: El úmero de bajas sgue ua dstrbucó ormal H: El úmero de bajas o sgue ua dstrbucó ormal El método de aplcacó de la prueba de ajuste de mormaldad de la dstrbucó de frecuecas por tervalos es como sgue e la tabla sguete: L L x N x. x. p e = p.,8 7, , , ,37 8, ,98 9, ,3, Se calcula las estmacoes de μ y σ, empleado los estmadores que se obtee por el método de máxma versomltud: μ= ˆ x = 3,56, σ ˆ =σ x = 5 5 = = μ=α ˆ = x = x. = = 3,56 α = x. = = 6, σ ˆ =α α = 6,674 3,56 = 4 σ ˆ = 4 = x x. σˆ x 95.4 ˆs ˆ x = = = 4,43 sx = 4,43 =, ( ) 94 Medate la tabla ormal se halla las probabldades de cada uo de los tervalos, utlzado ua dstrbucó ormal N(3,56, ) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 98

99 3,56 x 3,56 3,56 p = P( x < ) = P < = P(,78 z <,78) = = P(,78 z <,78) = P(z,78) P(z >,78) =,77,375 =,8 3,56 x 3,56 4 3,56 p = P( x < 4) = P < = P(,78 z <,) = = P(z,78) P(z >,) = P(z,78) P(z >,) = P(z,78) P(z >,) = =,77, 49 =, ,56 x 3,56 6 3,56 p3 = P(4 x < 6) = P < = P(, z <,) = = P(z,) P(z >,) =, 49, =,37 6 3,56 x 3,56 8 3,56 p4 = P(6 x < 8) = P < = P(, z <,) = = P(z,) P(z >,) =,,3 =,98 8 3,56 x 3,56 3,56 p5 = P(8 x < ) = P < = P(, z < 4,) = = P(z,) P(z > 4,) =,3,3 =,3 Como la frecueca esperada e5 = p 5. =,3. 95 =,54 < 5 es ecesaro agrupar dos o más modaldades cotguas e ua sola hasta lograr que la ueva frecueca esperada sea mayor que cco. E este setdo, se aagrupa los tervalos 6 que pasa teer ua frecueca esperada e4 = 9,3+,5=,56 La tabla queda, Excel: p = F(b) F(a) = DISTR.NORM(L ˆ ˆ ˆ ˆ ; μ; σ; ) DISTR.NORM(L ; μ; σ; ) L L x p e = p. /e,8 7, 484 8, , ,9 5 34, ,37 8, , ,, ,47 95,34 Los grados de lbertad so (k p ) sedo k= 4 el úmero de modaldades dferetes, p= ha sdo ecesaro calcular parámetros ( μˆ, σ ˆ) y ( ) por ser las modaldades excluyetes. Estadístco cotraste: 4 4 ( e ) 4 e e = = χ = = =,34 95 = 7,34 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 99

100 Sedo χ = 7,34 > 3,84 =χ,5, Se rechaza la hpótess ula, cocluyedo que el úmero de bajas ocurrdas e el últmo mes debdas a accdetes laborales o sgue ua dstrbucó ormal, co ua sgfacó del 5%. Prueba de Lllefors Cotraste blateral: H: La muestra procede de ua dstrbucó ormal H: La muestra o procede de ua dstrbucó ormal Estadístco cotraste: D = máx F (z) F (z) = máx(a, b ) Se acepta H s D = máx F (z) F (z) = máx(a, b ) < D, (valor crítco tabla de Lllefors) Para determar el estadístco de cotraste se costruye ua tabla dode se ordea los datos, tpfcado cada valor, se calcula F(z), F(z) y se crea las columas a = F (z ) F (z ) y b = F (z ) F (z ) x μˆ x 3,56 Valores tpfcados z = = ŝ, x F (z ) Fucó de dstrbucó de ua N(, ): DISTR.NORM.ESTAND(z ) α o observacoes N(z) F(z) Fucó de dstrbucó empírca de la muestra tpfcada: F(z) = = x z F(z) F(z) a = F (z) F (z) =,7,,36,95, b F (z) F (z ) 3,8,3897,6,3,58 5,7,764,9368,76,64 7,7,9564,9684,,96 3,,9993,7,39 X μˆ 3,56 F (x ) = P(X ) = P = P(z,7) = P(z,7) =, ŝx, X μˆ 3 3,56 F (x ) = P(X 3) = P = P(z,8) = P(z,8) =,3897 ŝx, X μˆ 5 3,56 F (x 3) = P(X 5) = P = P(z,7) = P(z,7) =,358 =,764 ŝx, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

101 X μˆ 7 3,56 F (x 4) = P(X 7) = P = P(z,7) = P(z,7) =,436 =,9564 ŝx, X μˆ 3,56 F (x 4) = P(X ) = P = P(z 3,) = P(z 3,) =,7 =,9993 ŝx, D = máx(a,886, b ) =,3 >,9 = = D,5, 95 (valor crítco tabla de Lllefors) 95 Por lo que se rechaza la hpótess ula de ormaldad para la muestra, co u vel de sgfcacó del 5% Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

102 p_valor(sg. astótca blateral) = <,5 =α Se rechaza la hpótess ula de ormaldad, co u vel de sgfcacó del 5% Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

103 7. Para tratar de evaluar las dferetes capacdades por sexo, se somete a u exame lógco a ua muestra de hombres y mujeres, obteedo las sguetes putuacoes: Hombres 5,48 7,98 73,8,4 36,9 8 73,8 4,8 4,6 57,4 3 Mujeres 65,6 48, ,5 73,8 4,6 6,4 49, 65,6 3, Co ua sgfcacó del 5%, exste dferecas sgfcatvas etre hombres y mujeres e cuato a la dspersó de las putuacoes?. Utlzar el cotraste de Segel Tukey. Solucó: Se establece el cotraste blateral: H: σ H =σm H: σh σm Estadístco cotraste: valor de H R = a.c dode, c = valor de M = Para calcular el estadístco de cotraste R es ecesaro calcular los ragos a, ordeado las putuacoes muestrales cojutas de meor a mayor, asgado prmero al coefcete strumetal c = para las putuacoes de hombres y después c = para las putuacoes de mujeres. a Coefcetes obtedos al asgar los ragos segú el método de Segel Tukey: La clasfcacó se realza alterado extremos (el rago es el más bajo, y 3 so los dos más altos, 4 y 5 so los dos más bajos, y así sucesvamete. Cuado el úmero total de observacoes es u úmero mpar, se gorará la observacó cetral. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

104 = a a c a.c H,4 H 4,6 4 4 M 4,6 5 M 6,4 8 H 36,9 9 9 H 4,8 M 48,38 3 M 49, 6 H 5, H 57,4 M 65,6 M 65,6 H 7, H 73,8 8 8 H 73,8 5 5 M 73,8 4 H 8 M 8 H M 3 6 M 3, 3 M 43,5 33 = = + = = R = a. c = 33 Como las muestras so grades ( = > y = > ) se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,) : z R E[R ].(+ )..(+ ) p = dode, E[R] = V[R] = V[R ] Se acepta H sí zp z α /. ( + ).. ( + ).. (3) = = = = = E[R ] 6,5 V[R ] 3,9 R E[R ] 33 6,5 z = = =, 468 <,96 = z = z p α/,5 V[R ] 3,9 E cosecueca, se acepta la hpótess ula, cocluyedo que o exste dferecas sgfcatvas e cuato a la dspersó de las putuacoes, co u vel de sgfcacó del 5%. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

105 8. E u estudo sobre las sacoes que recae sobre empresas por cumplmeto de ormas de segurdad e el trabajo se ecotró que las sacoes medas era las msmas e dos comudades autóomas (X e Y). E cada comudad se elgero al azar expedetes sacoadores, presetado e la tabla adjuta los mportes (expresados e cetos de euros). X 78,4 9 3, 89,6 5 8, , 93,8 56, 8, 7,8 Y 84 8, 7 44,8 96,6 6, 5,4 67, 77 3, 98 8 Co u % de sgfcacó, Podría afrmarse que exste dferecas sgfcatvas e cuato a la dspersó de las sacoes de segurdad e el trabajo e las dos comudades? Utlzar el cotraste de Segel Tukey. Solucó: Se establece el cotraste blateral: H: σ X =σy H: σx σy Estadístco cotraste: valor de X R = a.c dode, c = valor de Y = Para calcular el estadístco de cotraste R es ecesaro calcular los ragos a, ordeado las putuacoes muestrales cojutas de meor a mayor, asgado prmero al coefcete strumetal c = para las sacoes de la comudad X y después c = para las sacoes de la comudad Y. a Coefcetes obtedos al asgar los ragos segú el método de Segel Tukey: La clasfcacó se realza alterado extremos (el rago es el más bajo, y 3 so los dos más altos, 4 y 5 so los dos más bajos, y así sucesvamete). E este caso el úmero total de observacoes = X + Y = 3+ = 5 es u úmero mpar, se gora la obseracó cetral. Como las muestras so grades ( X = 3> y Y = > ) se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,) : z R E[R ].(+ )..(+ ) X X Y p = dode, E[R ] = V[R ] = V[R ] Se acepta H sí zp z α / Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

106 Comudades a a 5 5 = R = a. c = 34 c a.c X 8, Y 8 4 X 3, 5 5 Y 44,8 8 Y 5,4 9 X 53, X X Y 67, 7 Y 7 X 7,8 Y 77 4 X 78,4 Y 8, 3 Y 84 X 89,6 9 9 X 93,8 8 8 Y 96,6 5 Y 98 4 X, X 5 Y 6, 7 X Y 3, 3 X 8,8 34 X.(+ ) 3.(5+ ) X. Y.(+ ) 3..(5+ ) E[R 5] = = = 69 V[R 5] = = = 338 R E[R ] z = = =,937 >,645 = z = z 5 5 p α/,5 V[R 5] 338 E cosecueca, se rechaza la hpótess ula, cocluyedo que exste dferecas sgfcatvas e cuato a la dspersó de las sacoes de segurdad e el trabajo e las dos comudades, co u vel de sgfcacó del %. Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 6

107 9. E la tabla adjuta aparece dos muestras aleatoras smples que refleja los costes laborales utaros de dos sectores de produccó A y B:: SECTOR A SECTOR B Co u vel de sgfcacó del 5%, utlzado la prueba de Asar Bradley, se pde: a) Cotrastar que los costes utaros de los dos sectores tee la msma dspersó, supoedo que las medaas de las dos poblacoes so guales. b) Cotrastar que los costes utaros de los dos sectores tee la msma dspersó, supoedo que las medaas de las dos poblacoes so dsttas. Solucó: a) Sedo las dos poblacoes cotuas se emplea la prueba de Asar Bradley Se establece el cotraste blateral co las hpótess: H: σ A =σb H: σa σb Como las poblacoes so cotuas se puede emplear la prueba de Asar Bradley Se costruye la muestra cojuta de tamaño = A + B = 5+ = 5> (mpar), por lo que se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,). Se ordea los valores de meor a mayor, dado al coefcete strumetal c el valor a los valores de A y a los valores de B. + Se asga a cada valor u coefcete: R =,,3,,,,3,, Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 7

108 SECTOR A SECTOR B SECTORES A B POSICION c R c.r = W = c. R = (+ ) 5.6 = = = A E(W), 4 A. B.(+ ).( + 3) 5..6.(5 + 3) V(W) = = = 8, Estadístco de cotraste: [ ] [ ] W E W 3, 4 zp = = =,84 Var W 8,64 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 8

109 Como zp =,84 <,96 = z,5 Se acepta la hpótess ula de gualdad de dspersoes. b) Se establece el cotraste blateral co las hpótess: H: σ A =σb H: σa σb Como las poblacoes so cotuas se puede emplear la prueba de Asar Bradley Al o coocer las medaas de las poblacoes, para calcular el estadístco de cotraste ha de A B calcularse las medaas muestrales M e y M. e Para ello, se ordea los valores muestrales de meor a mayor. La Medaa del Sector A se obtee al dvdr A /= 5/= 7,5, co lo que se ecuetra e el octavo valor, es decr, A Me = 36 La Medaa del Sector A se obtee al dvdr A A /= 5/= 7,5, co lo que se ecuetra e el octavo valor, es decr, Me = 36 La Medaa del Sector B se obtee al dvdr B /= /= 5, co lo que se ecuetra e el quto valor, esto es, B Me = 37 Se hace las dferecas etre los valores muestrales y las correspodetes medaas: A B x M y y M e e A SECTOR A SECTOR B x M e y M B e Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 9

110 Se costruye la muestra cojuta de las dferecas de tamaño = A + B, ordeado las dferecas de meor a mayor y dado al coefcete strumetal cel valor a las dferecas de A y a las dferecas de B. + Después se asga a cada valor u coefcete R =,,3,,,,3,, atrbuyedo el rago o coefcete medo cuado hay dferecas repetdas. w c R c.r ,5,5, ,5 El estadístco de cotraste W (suma de los coefcetes de la muestra procedete de A) será: 5 = W = c. R = 8,5 Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

111 Señalar que estas dferecas o tee ua dstrbucó exacta e el muestreo, tomado los resultados co cautela. Como el tamaño de la dfereca de la muestra cojuta = A + B > se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,), cosderado ua varaza corregda por la preseca de valores repetdos:.(+ ) 5.6 = = = A E(W), 4 g A. B. t h.rh = A B + c = V(W)..( ).( ) 6..( ) 4 g Número de ragos dferetes cuado aparece observacoes repetdas th Tamaño h ésmo grupo Rh Rago medo h ésmo grupo Para hallar g = t.r h h se costruye la tabla: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

112 th Rh R h t.r ,5 56,5 3, h h 468,5 4 t h. Rh = 468,5 = g A. B. t h.rh 4 4 = A. B. ( + ) c V (W) = = = 8,55. ( ) 6.. ( ) Estadístco de cotraste: c [ ] [ ] W E W 8,5,4 zp = = =,786 V W 8,55 Como zp =,786 <,96 = z,5 Se acepta la hpótess ula de gualdad de dspersoes co u vel de sgfcacó del 5% (probabldad que se reparte a partes guales e las dos colas de la dstrbucó) Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos

113 . E la tabla adjuta se preseta los gastos daros medos de los turstas que vsta dos cudades españolas A y B. xa x B Sabedo que la medaa de la poblacó A es 4 y la de B es 5, co u vel de sgfcacó del 5%, cotrasta que los gatos medos de los turstas co desto A tee ua dspersó gual o meor que los del desto B. Utlzar la prueba de Asar Bradley. Solucó: Se utlza la prueba de Asar Bradley al ser dos poblacoes cotuas. Se establece el cotraste ulateral a la derecha H: σa σb H: σ A >σb Se hace las dferecas etre los valores muestrales y las correspodetes medaas: A B poblacoales x M = x 4 y x M = x 5 A e A B e B CIUDAD A CIUDAD B A xa Me xb M Se costruye la muestra cojuta de las dferecas de tamaño = A + B, ordeado las dferecas de meor a mayor y dado al coefcete strumetal cel valor a las dferecas de A y a las dferecas de B. Después se asga a cada valor u coefcete R =,,3,,,,3,, atrbuyedo el rago o coefcete medo cuado hay dferecas repetdas. B e Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 3

114 w c R c.r ,5 8,5 8,5 8,5 74,5,5 74,5, El estadístco de cotraste W (suma de los coefcetes de la muestra procedete de A) será: = W= c.r = 85 Como el tamaño de la dfereca de la muestra cojuta = A + B > se emplea la aproxmacó astótca a ua dstrbucó ormal N(,), cosderado ua varaza corregda por la preseca de valores repetdos:. ( + ) 4. 4 = = = 4 4 A E(W) 84 g A B h h = A B +.. t.r..( ) V(W) c =.( ) 6.( ) Para hallar g = t.r h h se costruye la tabla: Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 4

115 g Número de ragos dferetes cuado aparece observacoes repetdas th Tamaño h ésmo grupo Rh Rago medo h ésmo grupo th h = Rh R h t.r ,5 7,5 44,5,5,5, t. R = h g A B h h = A B + h h.. t.r.. ( ) V(W) c = = = 43,9. ( ) 6. ( ). 6. Estadístco de cotraste: c [ ] [ ] W E W zp = = =,37 V W 53,9 Como zp =,37 <,645 = z,5 Se acepta la hpótess ula, cocluyedo que la dspersó del gasto medo e la cudad A es meor o gual que el gasto medo de la cudad B, co u vel de sgfcacó del 5% Portal Estadístca Aplcada: Cotrastes No Paramétrcos 5

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