(MANUSCRITOS POSTUMOS) por ARTURO FRAILE. sobre la base de los originales incompletos dejados por el malogrado

Transcripción

1 DERIVACION E INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL TOMADAS EN VALOR ABSOLUTO (MANUSCRITOS POSTUMOS) por ARTURO FRAILE NOTA NECROLÓGICA. - Insertmos continución l not redctd sobre l bse de los originles incompletos dejdos por el mlogrdo mtemático espñol Arturo Frile, muerto ello de Julio de 1943 pocos dís ntes de cumplir 28 ños. A pesr de su modest cner de Perito industril, y pesr tmbién de hber vivido siempre en León, ciudd lejd de todo movimiento científico, relizó en su efímer vid interesntes trbjos, uno de los cules vió l luz en ls págins de est revist; un trbjo póstumo tituldo "Amplición de l geometrí nlític ordinri" h sido publicdo en l Revist mtemátic Hispno-Americn; y el otro trbjo póstumo, pidosmente recopildo por su hermno de los ppeles incompletos, es el que se insert continución como sentido homenje l mlogrdo joven que con muy escsos conocimientos mtemáticos dió tn evidentes muestrs de su tlento. 1. Se f( x) un función no definid en el punto Xo del intervlo [, bj Y uniforme y derivble en todos los demás puntos de dicho intervlo. Se

2 - 85- He quí un justificción de este convenio: Si es f'(x) continu en [o, b], excepto, clro es, en xo, los límites de f'(x) en Xo por mbos ldos son igules t;, y l discontinuidd es evitble en este punto. 2. Consideremos l función y=~donde u= cp(x) es u uniforme y derivble. Est función y no es, propimente, sg u: pierde l identidd con ell en los ceros de u, en los cules y no está definid (y = ~) y sg u = O. Ambs funciones tienen en ls ríces de u = puntos de discontinuidd de primer es- pecle: por i d erec h tienen 1" ImIte f l-l 1 ' y por 1 lzqmer.. d.{-;.1. Pr todo x que no hg u = 0, ls dos funciones y y sg u vlein 1 o - 1. Sus derivds serán, pues, nuls pr dichos vlores de x. En los ceros de u, l función ~ tiene igules - nuu ls - ls derivds virtules por l derech y por l izquierd.; con el convenio ntes estblecido, ~ tiene derivd en ls ríces u de u = O Y es tmbién nul. L función sg u, en los ceros de u,

3 - 86- nes son de tl nturlez que, mientrs l vrible independiente recorre el cmpo rel, ells sólo tomn los vlores de un conjunto numerble; vlores «seprdos» unos de otros por puntos de discontinuidd de primer especie, en los cules no están def d 'f A '. 1 k I u I ~ I U I 1m s ests unciones. _ SI, por ejempo, -,,.,;; ki --. u 1 ui Geométricmente se lleg tmbién ' este tipo de funciones: L derivd de un poligonl rectilíne uniforme h de ser \ un función que vy tomndo los vlores de los coeficientes ngulres. Problem éste resuelto y hor nlíticmente: U n poligonl uniforme rectilíne tiene su ecución del tipo (*) n y-.:eki/x-x /+mx+q, i~l y su derivd es, como veremos, n Ix-x-I y' :Iki--!-+m. i~l X-Xi Con l existenci de ests funciones y l posibilidd de su mnejo lgébrico se desprende inmeditmente est conclusión: «Ls' funcionues primitivs de un dd se diferencin en un constnte o en un f~nción i ki I Ui I }}. i~l Ui Se F(x) función primitiv de f(x). Podemos, por lo

4 - 87- lím [F(x)+k Icr(x)1] =.+k. "'-+"'0+ cr(x) L función primitiv F(x) +k Icr(x) I tiene, pues, en Xo un cr(x) punto de discontinuidd de primer especi' de oscilción 2k. Si f( x) es integrble, podemos obtener un función primitiv de f(x) que teng discontinuiddes de primer especie en los puntos que deseemos y con ls oscilciones que quermos. Si ls discontinuiddes hn de presentrse en los puntos Xi (i = 1,2,..., n) y queremos que ls oscilciones respectivs sen 2k, l función primitiv será F' (,) rr: +.,.;;;",~J Ix-xii, i:i --, 1 x-xi siendo F' ( x) = f( x). Pr 'que ls oscilciones en los ~ Xi vlgn todj 2k bst escribir: F (x) + k I cr (.:11 donde cr ( x) se un cr(x)

5 - 88- Ay _ (u+au)2-u2 Ax Ax[lu+Aul+luIJ!lu 2u+L\u. Ax lu+aul+lul' y, tomndo límites, y' = Uf _~~ = Uf o bien: 21l ; ' y'=uim. Podemos escribir l derivd sí: y' = I u I ~, o se: «L ' ti; derivd de un función tomd en vlor bsoluto es igul dich función bsolut por l derivd de su logritmo nturl». Se demuestr: n n 1. d(.iw;) =.Idw;, sen o no bsoluts wi Se conserv l regl de derivción producto de funpues, dones ordinris pr I u 1, v, y u [./ v /. ASÍ, tmbién es posible l integrción por prtes. Ivl 3. Se conserv l regl de derivción del cociente pr ym Ivl 4. Función:» lul. Derivd: mlul m - 1 u' M. u» lul. Uf. sg u. L.

6 Tnto l derivd como l integrl de un función bsol ut nos hn conducido f 1 unciones e 1 f orm -. I u I w, por ello se hce necesrio el estudio de ests úutims. Sen y v fundones continus y uniformes de x, y l' 2,..., n los ceros de. Si ningún. (Ji es cero de v y u les creciente o decreciente en. los,oi, l función y =M. v tiene un.~unto de discontinuidd finit de.primer especie en cd uno de, los puntos de bscis i, pues si es lím v = y creciente en i' es límm.v=+ y límm.v=- (si es decreciente en 'X-)-i T U X----r i - u cmbin los signos de los segundos miembros). En mbos csos l oscilción en i es 2. Si un cero k de lo es l vez de v, como es lím v = O Y I ul x-+ ~ lím ~= ± 1, l oscilción de y en " es nul, y, por lo Jnto, y es continu en x = k. Cundo lcnz un máximo o un mínimo en,oí, los límites de M en l derech y l izquierd son del mismo \signiq

7 - 90- Si.t es un constnte C, f lx+bldx= lx+bl (!!'-x 2 +bx+c). x+b 2. [1] Según hemos visto, en este cso, sólo cundo l ráíz lo se tmbién de!!.- X2 + bx + C hbrá continuidd en -~; p- Z b2 1 r ello, C=-, y qued, en efecto, - lx+bl(x+b). fu ~. b2 b Si es C * -, [1] es discontinu en - - y l oscilción v- ~ b2 le 2C--. Compremos b [2J (u linel, e constnte) con l prábol ordinri [3],

8 - 91- con su punto de inflexión en (p, C); es continu en todo el cmpo rel, y uniforme, y es l integrl del contorno ngulr [u 1; y puede ser previst con sólo tender l gráfic de I u [ considerndo l gráfic de su primitiv. 8. Alguns in:tegr{,es. ) Sen dos funciones, y=lu, t = L I u 1, donde u es uniforme y derivble. Se tiene sucesivmente: du dy=lu[ -; u du dt=- ; u jul. L[u[ = f [ul- du + f f (Llul).[u[- du =[uj + (Llnllul) -; du u u u Si suprimimos ls brrs u tnto en l expresión subintegrl como en el segundo miembro qued

9 (*) Ecución diferencil con coeficientes bsolutos. Hciendo lo clásico y = uves: v=e <pdx) <P Entonces, UV=lcr2(X)I; _[<Pi (x)l! (x) dx, du I'P (x)l! ( )d dx =lcr2(x) le <pdx)<p x x; integrndo, y teniendo en cuent f' (n.. 8, c) que es: I u l. v dx = --:;;- IU1f uv d x