UNIDAD 1. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

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1 UNIDAD 1. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES Propósitos: Reforzar y eteer el coocimieto e la erivaa a través el estuio e la variació e las fucioes trigoométricas, logarítmicas y epoeciales para cubrir situacioes que se moela co fucioes trasceetes. Retomar las relacioes etre las gráficas e ua fució y su erivaa. Secció 1. Derivaas e fucioes trigoométricas Los apreizajes que ebes obteer al termiar e estuiar esta secció so: Aalizar las gráficas e las fucioes seo y coseo y a partir e ellas, bosquejar la gráfica e su respectiva erivaa. Ietificar e caa caso la erivaa respectiva e las fucioes seo y coseo. Recoocer que las erivaas e las fucioes trigoométricas tambié ivolucra variació perióica. Utilizar las erivaas e las fucioes seo y coseo, y reglas e erivació para obteer las erivaas e las fucioes tagete, cotagete, secate y cosecate. Utilizar la regla e la caea para erivar fucioes trigoométricas cuyo argumeto es fució e. Derivaa e la fució seo. A cotiuació te mostramos las gráficas e las fucioes se() y cos(). Dibuja la erivaa e caa ua e ellas y gráficamete comprueba que: a) Si f() se, etoces f () cos b) Si f() cos, etoces f () -se Tambié para obteer la erivaa e la fució f() se, se puee utilizar la efiició e erivaa, como sigue: f( + h) f() f () lim h 0 h Para hacerlo, aemás e usar la ietia trigoométrica: 1

2 se(+y) se cosy + sey cos se ecesita que recueres los siguietes límites, para lo cual te solicitamos completes las tablas correspoietes y, co ello, compruebes los resultaos iicaos: se lim 0 1-cos lim 0 lim se 0 lim cos Teieo lo aterior, a cotiuació ecotraremos la erivaa e la fució se(). Sigue caa uo e los pasos: se( + h) se se cosh + sehcos se f '() lim lim h 0 h h 0 h factorizao se, el primero y tercer térmios obteemos: se ( cosh+ 1) + sehcos f'() lim h 0 h luego, se (1 cosh) sehcos f '() lim + lim h 0 h h 0 h 1 cosh seh f '() selim + cos lim cos h 0 h h 0 h Resumieo: (se ) cos De lo aterior y por la regla e la caea, poemos cocluir que si u es ua fució ifereciable 1, etoces: seu u cosu 1 Ua fució es ifereciable e u itervalo ao abierto si f () eiste para toa e ese itervalo.

3 Ahora estamos e coicioes e erivar fucioes que cotega a la fució seo. Ejemplo 1. Ecuetra la erivaa e g() 5se ( ). ( 5 se( )) se( ) ( ) Solució. 5 5cos( ) 10cos( ). Ejemplo. Ecuetra la ecuació e la recta tagete a la curva f() se, cuao. Solució. Para etermiar la ecuació e la recta tagete, ecesitamos su peiete y el puto e tagecia. Su peiete la ecotraremos al calcular: f ( ), lo cual haremos a cotiuació: se() () f '() cos() cos() cos Habieo ecotrao la fórmula (f () cos) poemos etermiar la peiete e la recta tagete a la gráfica e la fució f() se e caa puto e su gráfica, pasamos a ecotrar e particular la peiete e la recta tagete e el puto (,f( )) f ( ) cos ( ) cos ( 1) La oreaa, f( ), el puto e tagecia es igual a: f( ) se( ) se 0. Así pues, la ecuació e la recta tagete a la gráfica e la fució f() se, e el puto (,0) es: y - 0 ( ), o bie + y 0. Ejemplo. Ecuetra la erivaa e la fució h() Solució. Recorao que: u 1 u, obteemos: u se se 1 se cos h'() se se. Cuao o se presta a cofusió se acostumbra escribir cos e lugar e cos().

4 7 Ejemplo. Ecuetra la erivaa e f() se(6 ) Solució. f '() se(6 ) se(6 ) cos(6 ) 6 7 f '() cos(6 )(1) 8 cos(6 ). Ejemplo 5. Ecuetra la erivaa e s(t) se t Solució. s'(t) se t se t se t se t cos t t t. Ejemplo 6. Calcula la erivaa e m(t) se t Solució. m'(t) set cost t t cost t t Ejemplo 7. Calcula la erivaa e: k() se( ) Solució. k'() se( ) se( ) + se( ) k '() cos( )(1 ) + se( ) 1 cos( ) + se( ) Resuelve los siguietes ejercicios. Al termiarlos, comprueba tus resultaos al fial e la guía. Ejercicios 1 Calcula la erivaa e caa ua e las siguietes fucioes: se 1 1. v (). y se. t() 7se 1. h(t) 5. s(w) (w 1) se w 6. f() se se t Derivaa e la fució coseo. Para ecotrar la erivaa e la fució f() cos, hacemos uso e la siguiete ietia trigoométrica: se + cos 1 Deriváola e maera implícita obteemos:. se cos 1 + se cos se + cos 0

5 cos secos + cos 0 cos cos secos (cos ) se De lo aterior y usao la regla e la caea poemos cocluir que: cosu cosu u u seu u Ejemplo 8. Ecuetra g (), si g () secos Solució. Como es u proucto e fucioes, etoces: (cos ) (se ) g '() (se ) + (cos ) (se )( se) + (cos)(cos) g () se + cos y Ejemplo 9. Calcula, si Solució. y mcosa, e oe a y m y a mcosa msea ( msea )(a) am sea. 5 Ejemplo 10. Calcula la erivaa e: f() cos 5 (cos)( 10) ( 5 )( se)() Solució. f'() cos cos 10cos f'(). 15 se cos ( ) Ejemplo 11. Ecuetra la peiete e la recta ormal a la gráfica e la fució f() cos, e el puto P(, ) 6 Solució. Para resolver este ejemplo ebes recorar que la recta ormal y la tagete tiee la propiea e que el proucto e sus peietes es 1. Hecho lo aterior, pasamos a etermiar la fórmula e las peietes e las rectas tagetes a la gráfica e f(), es ecir su erivaa: 5

6 f '() cos cos + cos se + cos Ahora, etermiaremos la peiete e la recta tagete e el puto P(, ), o lo 6 que es lo mismo f'( ) : f '( ) se( ) + cos( ) se60º + cos60º 1 f'( ) + 6 Ua vez ecotraa la peiete e la recta tagete, etermiaremos la peiete e la recta ormal (m N ) a partir el hecho e que su proucto co la recta tagete es 1: f'( )mn mn. f'( ) 6 Ejemplo 1. Ecuetra las imesioes el rectágulo e mayor área iscrito e u círculo e raio 1. α y Solució. Como se os pie el rectágulo iscrito e mayor área, ebemos ecotrar ua fórmula el área e ese rectágulo y aplicarle tus coocimietos e cálculo iferecial para etermiar sus laos. Sea, y los laos el rectágulo iscrito e el círculo y α el águlo compreio etre ua e sus iagoales y el lao, como se muestra e la figura. El área el rectágulo es A y. Así escrita la fució A epee e os variables, por lo que ebemos ecotrar ua relació etre ellas que os permita rescribir a la fució A e térmios e sólo ua variable. Del triágulo formao por los os laos el triágulo y la iagoal, teemos que y se α, cos α, e oe 0 < α <. 6

7 Por lo tato Así pues, y seα, cos α, A y (seα)(cosα) seα cosα. Co lo aterior hemos lograo que la fució A epea e ua variable A(α) seα cosα Al erivarla obteemos: A (α) (seα ( seα) + cosα(cosα)) A (α) (cos α se α) Determiemos los úmeros críticos igualao a cero la erivaa y resolvieo la ecuació resultate: e oe A (α) 0 (cos α se α) 0, cos α se α. Como α es u águlo aguo, etoces seα y cosα so positivos, por lo que seα cosα, lo cual ocurre cuao α. Cuao α A (α) es igual a cero, para saber si co este valor, el área es máima o míima, calculemos la segua erivaa: y etermiemos el sigo e A''( ). A (α) ( cosαseα seαcosα) A ( α ) 16cosαseα A ( ) 16cos se 16 8 < 0 Por lo aterior, el área tiee u máimo cuao α. Los valores e los laos el rectágulo iscrito e u círculo e raio 1 so: cos, y se, es ecir, se trata e u cuarao e área: A. 7

8 Ejercicios Calcula la erivaa e caa ua e las siguietes fucioes: set 1. y cos. h(t). j () + cost cos 5 1+ se. k(w) cos w 5. m() 6. p(t) cost set cos 7. La secció trasversal e u caal e agua tiee forma e triágulo isósceles. Si los laos iguales mie 0 cm. Ecuetra la meia el águlo compreio etre los laos iguales, que e la máima capacia e agua que puee coteer la caal. θ Derivaa e otras fucioes trigoométricas La erivaa e las fucioes tagete, cotagete, secate y cosecate, las puees obteer a partir e epresarlas e térmios e seo o coseo, recuera que: se ta cos cot Ejemplo 1. Ecuetra ta Solució. cos se sec 1 cos csc ta se cos (cos ) se( se) cos + se cos (cos ) cos 1 se Usao la ietia se + cos 1 y que sec 1/ cos, obteemos ta 1 sec cos E resume: ta sec De lo aterior y por la regla e la caea, cocluimos que si u es ua fució ifereciable, etoces: 8

9 tau sec u Ejemplo 1. Calcula la erivaa e la fució y ta 1 Solució. y ta 1 sec 1 1 sec 1 1 y sec 1 1 u 1. Demuestra que: (cot ) csc. Demuestra que: (sec ) sec ta Ejercicios. Demuestra que: (csc ) csc cot. Si u es ua fució ifereciable, usao la regla e la caea y los resultaos e los tres ejercicios ateriores, ecuetra las fórmulas para: a) (cotu) b) (secu) c) (cscu) 5. Calcula la erivaa e caa ua e las fucioes siguietes: a) f() sec b) g() cos (5 + ) c) h() cos cos ) m(t) ta t 6. Ecuetra la ecuació e la recta tagete a la curva e la gráfica e la fució y ta cuao. Secció. Derivaas e fucioes epoeciales y logarítmicas. Los apreizajes que ebes obteer al termiar e estuiar esta secció so: Aalizar las gráficas e las fucioes logarítmica y epoecial y a partir e ellas bosqueja las gráficas e sus erivaas. Ietificar e caa caso la erivaa respectiva e las fucioes logarítmica y epoecial. Utilizar la regla e la caea para erivar fucioes logarítmica y epoecial cuyo argumeto es fució e. Aplicar las erivaas e fucioes logarítmica y epoecial a problemas iversos. Defiició. Ua fució epoecial es ua fució que tiee la forma: f() b, e oe la base b es ua costate positiva, R y f() es positiva. 9

10 A cotiuació trabajaremos co ejemplos e fucioes epoeciales. A cotiuació te presetamos las gráficas e las fucioes: f(), f(), f() y f() 5. Cuál es la gráfica e caa fució? Para cotestar la preguta ebemos e cosierar el comportamieto que tiee caa ua e las fucioes co respecto e las otras. Es claro que toas la fucioes epoeciales ebe pasar por el puto (0,1), por qué? Cuál es la fució que crece más rápiamete? La fució f() 5, ebio a que coforme va aumetao sus valores va sieo mayores que los e las otras tres fucioes. Así pues, la gráfica e la fució que para valores mayores que cero está por ecima el resto es la e f() 5. La gráfica que está más abajo es la e f(), luego f() y fialmete la e f(). Observa que o ocurre lo mismo cuao es egativa, a la izquiera el cero, la situació es iferete. Lo aterior ocurre porque, por ejemplo, cuao -, las fucioes: f(), f(), f() y f() 5, tomará los siguietes valores: f( ) 0.5, f( ) 0.1 1, f( ) 0.065, f( ) 5 0.0, respectivamete. Para valores meores que cero, 5 5 coforme va ismiuyeo, las fucioes epoeciales cuya base es e u valor mayor, ismiuye más rápiamete co respecto a las que tiee ua base meor. Debe recorarse que así como 0. sigifica 0... (ifiia e úmeros tres), 0.1 se ebe eteer como (ifiia e úmeros uos) 10

11 Te acosejamos que recueres las siguietes leyes e los epoetes: a a m a +m ( a ) m a m 1 a, a 0 a a m m m m a, a 0 a a m ( a) a 0 1, a 0. a La fució y e. Bie lo ice Kaser y Newma U uiverso oe faltara y e (...) o sería icocebible. Difícilmete uo poría imagiarse que el Sol ejaría e salir o que las mareas cesara por la falta e y e. Pero si estos artificios matemáticos, lo que sabemos el Sol y las mareas, e icluso uestra capacia para escribir toos los feómeos aturales, físicos, biológicos, químicos o estaísticos, quearía reucios a imesioes primitivas. De las fucioes epoeciales la más importate, si ua, se a cuao b e. El úmero e se ha ecotrao como ua costate que aparece e la aturaleza e iversos problemas e crecimieto epoecial. A icho úmero se le asigó la letra e e hoor al matemático Leoaro Euler, quie calculó el úmero co ecimales correctos (e ua época e la que, obviamete, o eistía las calculaoras) obteieo el siguiete resultao: e El úmero e se ecuetra cuao se etermia el siguiete límite: 1 + e lim 1 Co el fi e que ecuetres ua aproimació el úmero e, realiza la siguiete tabulació Kaser y Newma, Matemáticas e Imagiació. E. CECSA, Méico

12 f() e La fució logaritmo como iversa e la epoecial. Ahora trazaremos ua gráfica simétrica a la fució f() e co respecto a la recta y. Para hacerlo utilizaremos las gráficas e f(), y e f() e, así como la tabulació e esta última: e e e 1 e e e El puto simétrico al puto (0,1) es el puto (1,0); el e (1,e) es (e,1); el e (-1,1/e) es (1/e,-1); el e (-,1/e ) es (1/e,-); y el e (-,1/e ) es (1/e,-). Cuál es el puto simétrico e (,e )? Basáoos e los putos que hemos ecotrao hemos trazao la gráfica. La fució correspoiete a la gráfica ecotraa es f() l(). De la gráfica e l() poemos etermiar lo siguiete: 1) l(1) 0. ) El omiio e l() es R y su rago R. ) l(e) 1. ) e l(1) 1 + E la gráfica que se preseta a cotiuació hemos colocao iicialmete el valor e e u, luego se ha ecotrao el valor e l(e u ), utilizao la gráfica e logaritmo atural. Tambié, utilizao la gráfica e y, hemos ecotrao ese mismo valor sobre el eje Y. De la gráfica e e hemos proyectao el valor e u, porque icho valor tomao a partir el eje X sobre la gráfica e e os proporcioa e u sobre el eje Y. La propiea mostraa e la gráfica se puee sitetizar como sigue: 1

13 5) le u u e u l(e u ), u u e u Otra propiea, que te ejamos como ejercicio e tarea para mostrarla gráficamete, es: 6) e lu u. Cuao trabajamos co ua fució f, eotamos por f() al valor que la fució le asiga al úmero. Si algua persoa escribe e lugar e f() f, cosieramos icorrecta icha escritura. Por lo aterior es importate aclarar e el caso e las fucioes logarítmicas, al igual que e las trigoométricas, es válio escribir l() o bie l. Nosotros a lo largo el teto las utilizaremos iistitamete. Tambié es ecesario recorar que (l) p se puee escribir como l p, pero o como l p. Es importate recorar que otra forma, muy práctica y que fue lo que motivo su uso, es que si 8, etoces poemos afirmar que log 8. E geeral, si b, etoces log b, e oe b >0 y b 1. Claro que cuao b e, log e l. Co base e lo aterior o es ifícil compreer las siguietes propieaes e los logaritmos: 1

14 log b(y) logb + logby logb logb logb y y log log b b Ejercicios 1. Dibuja las gráficas e e y e l y e ellas muestra que e lu u. Co base e el comportamieto e sus gráficas cotesta las siguietes pregutas:. La fució l es creciete o ecreciete?. Qué cocavia tiee la fució l?. l tiee putos e ifleió? La erivaa e las fucioes epoeciales y e, y e u Para etermiar la erivaa e las fucioes epoeciales iiciamos ecotrao la e la fució f() e, proceeremos utilizao la efiició e erivaa: + h f( + h) f() e e f () lim lim h 0 h h 0 h Ahora bie, como e +h e e (e h - 1), y e o varia coforme h tiee a cero, poemos escribir + h h e e e 1 f () lim e lim h 0 h h 0 h h e 1 Sólo os falta etermiar el lim, para lo cual hacemos lo siguiete: Primero h 0 h al resultao e e h 1 le llamamos k, esto es: e h 1 k, e oe e h 1 + k. De lo aterior l(e h ) l(1 + k), por lo que cosierao las propieaes e los logaritmos obteemos que h l(1 + k). Aemás, si h 0, k e h 1 0 ( por qué). Cosierao lo aterior y ua propiea e los logaritmos ( l l ), substituimos e uestro límite para obteer: h e 1 k 1 1 lim lim lim lim h 0 k 0 k 0 k 0 1 h l(1+ k) 1 l(1+ k) k l(1+ k) k Asigémosle el valor 1/k a, esto es 1/k, por lo que k 1/. Observemos que 1 cuao k 0, 1/k, recoremos que e lim 1+ y utilicemos las propieaes e los límites para obteer lo siguiete: lim k k le l(1+ k) k lim l(1+ k) lim l(1 + ) k 0 1

15 Este resultao os permite cocluir que + h h e e e 1 f () lim e lim e, h 0 h h 0 h es ecir e e Este resultao es iesperao. Sigifica que la peiete e la recta tagete a la curva e la fució f() e e el puto ( 0,f( 0 )) es m e 0. Su primera erivaa, segua,...,-ésima sigue sieo la misma fució! Ejemplo 15. Determia e la fució f() e a) Su cocavia. b) Sus máimos y míimos. c) Sus putos e ifleió. ) Si es creciete o ecreciete. Solució. a) Como f () e siempre es mayor que cero, es cócava hacia arriba. b) Como f () > 0, para toa, y f () está efiia para toa real, f() o tiee úmeros críticos, e cosecuecia o tiee valores etremos, es ecir, o tiee máimos i míimos. c) Lo mismo pasa para f (), como f () 0 para too, f() e o tiee putos e ifleió. ) Fialmete, como f () e es mayor que cero para toa, f es estrictamete creciete. Ahora, utilizao la regla e la caea ecotraremos la erivaa e e u : u u e u u u (e ) e u A cotiuació aplicaremos estas fórmulas e varios ejemplos. Ejemplo 16. Ecuetra la erivaa e caa ua e las siguietes fucioes: a) f() e b) f() e 5 c) f() e ) f() e e) f() e f) f() 5e g) f() e h) f() e 1 i) f() e Solució. Para resolver las erivaas es ecesario que recueres las siguietes fórmulas e erivació: a a a

16 u u. u u v v u u. v v uv u v + v u. a) e e e b) e e 5 e 5 5e. c) e e ( ) e ( ) e ) e e e e e e ( 1 ). 1 e) e e e e e f) 5e 5 e 5e ( 5 + ) e ( 6 5) (6 + 5) 5e.. g) ( + ) e e + e e e (1 ) (1+ ) (1+ ) (1 ) h) e e e 1 (1 ) (1 )(1) (1+ )( 1) (1 ) ( 1 ) 1 1 e e (1 ) (1 ) e 1 1 e e. (1 ) (1 ) (1 ) i) e e 1 e ( 1) 1 1 e + 1() e

17 1 1( 1) 1 + ( 1) e + e ) (15 )e e 1 1 Ejercicios 5 Ecuetra la erivaa e caa ua e las siguietes fucioes: 1. f() e.. f() e -5.. f() e -/. 7. f() e f() e f() e 6. + f() e Las erivaas e y l, y lu, y log b u, l Determiemos la erivaa e f() e : l l e e l 9. 5 f() e + f() e 1 Ahora, como Por lo tato e l, teemos que l l e e l l 1 e l l 1 l. Si utilizamos la regla e la caea poemos ecotrar la erivaa e lu como sigue: 1 lu lu u u. u u Ejemplo 17. Determia las erivaas e las siguietes fucioes. a) f() l b) f() l c) f() l( + 5) l ) f() l e) f() e l f) f() e g) f() ( l ) 5 1+ h) f() l 1 i) f() l 5 + Solucioes. 1 1 a) l, 17

18 o bie utilizao propieaes e la fució logaritmo; 1 l l l. 1 1 b) l l l l ( l ) ( ). 6 l 6l 18l. O bie, 1 l l l 6l l 6l( l) (18l) 18l. 1 c) l( + 5) ( + 5) (8 ) ) l l+ l + l() + l (1+ l). 1 e) e l e l + l e e + l(e ) e e 1 + l (1e ) + 1e l e l. + e l l e e (l)e l l f) e e (e ) e e e e l e e l e l e e e e e l e ( l) ( l). e e e g) ( ) 5 05 l 5(l ) l 5(l ) l 5(l) l. 1+ h) l ( l(1+ ) l(1 )) l(1+ ) l(1 ) 1 (1 ) + (1+ ) 1+ 1 (1+ )(1 ) + + (1 )(1 ) (1 )(1 ) i) l 5 + l( 5 + ) l( 5 + ) ( 5 + ) ( 5 + ) ( 5 + ) 18

19 A cotiuació vamos a ecotrar la erivaa e la fució f() b, y luego la e b u. Para hacerlo, utilizaremos la erivaa e la fució lb : 1 lb b. b Por otro lao, y como b es ua costate, tambié lo es lb. lb lb lb lb, Así pues, e oe 1 b lb b lb, b b l b Poemos geeralizar la fórmula aterior, erivao la fució b u, utilizao la regla e la caea: u u u b b u b lb u. u Para etermiar la erivaa e f() log b, hacemos uso e la erivaa e b y e logb que b como sigue. Tomao e cueta que logb b 1, y que logb logb b b lb logb lb logb, llegamos a 1 lb logb, e oe 1 logb. lb Utilizao la regla e la caea, se puee llegar a la siguiete erivaa: 1 logb u u ulb Uo e los ejercicios que te ejamos es ecotrar la fórmula aterior. 19

20 Ejemplo 18. Determia las erivaas e las siguietes fucioes. a) f() b) f() - c) f() 7 ) f() log e) f() log ( ) f) f() log5 Solució. a) l. b) l ( ) (l ) (l16). 1 7 l7 c) 7 7 l7 7 l7. 1 ) log. l e) 1 6 log ( ) ( ). ( )l ( )l f) log5, o bie l5 l5 l log5 log5 l5 l5 Ejercicios 6 1. Ecotrar la erivaa e las siguietes fucioes: a) f() l b) f() l c) f() l( - ) ) f() l e) f() e l l f) f() e 1 h) f() l i) 1 + j) f() 5 k) f() 6 - l) g) f() ( l ) m) f() log10 ) f() log ( ) o) f() l + f() 9 5 f() log. Utilizao la regla e la caea emuestra que si log b 1, etoces lb 1 logb u u ulb. Ecuetra la erivaa e la fució f(), e oe > 0.. Ecuetra la erivaa e u. Derivació logarítmica y sus aplicacioes. Eiste fucioes e las que para erivarlas poemos apoyaros e las propieaes e las fucioes logarítmicas. A cotiuació te presetamos ejemplos e esto. 5 0

21 Ejemplo 19. Determia la erivaa e la fució f(), co > 0. Solució. Para etermiar la erivaa e y, le aplicamos la fució logaritmo a ambos laos e la iguala ly l, luego aplicamos ua e las propieaes e los logaritmos ( cuál?) y a cotiuació erivamos ly l, ly l 1 y ( l+ l) y 1 1 y (( ) + l) y y y(1 + l ) y (1 + l) Ejemplo 0. Ecuetra la erivaa e la fució y (+) l. Solució. Aplicamos la fució logaritmo, sus propieaes y erivamos. l l y l( + ) l y (l )l( + ) l y (l )l( + ) 1 y l l( + ) + l( + ) l y y (l) ( + ) + l( + ) y y (l ) + l( + ) y y y l l( ) l 1 1 y l(+ ) l l( ) Ejercicios 7 Utilizao la erivació logarítmica y supoieo que > 0, ecuetra la erivaa e: 1. y e 1

22 . y.. y 1/.. y 1/l. u 5. y. Bibliografía 1. Alla B. Cruse y Milliae Lehma. Leccioes e Cálculo 1. Foo e Cultura Eucativo Iberoamericao, Méico Lecció 16.. James Stewart. Cálculo. Coceptos y Cotetos. Thomso, Méico, Seccioes 1.5, 1.6,.1,. y.7.. Larry Golstei, et al. Cálculo y sus aplicacioes. Pretice Hall Hispaoamericaa. Méico Capítulos y 8.. Larso Hostetler Ewars. Cálculo. McGraw Hill, Méico, Seccioes., 5.7, 5.8, 5.9, 6.1 y 6..