CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LA HETEROCEDASTICIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL TRATAMIENTO CON E-VIEWS

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1 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews CONCTOS BÁSICOS SOBR LA HTROCDASTICIDAD N L MODLO BÁSICO D RGRSIÓN LINAL TRATAMINTO CON -VIWS rof. Rafael de Arce Dpto. de coomía Aplcada Uversdad Atóoma de Madrd rafael.dearce@am.es Abrl de

2 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews ÍNDIC D CONTNIDOS.- Qé es Casas frecetes de heterocedastcdad fectos de la heterocedastcdad sobre el MBRL...5 A. Icorrecta estmacó de los parámetros...5 B. Cálclo correcto de las varazas y parámetros efcetes Cómo se cotrasta...6 A. Cotrastes Gráfcos más habtales...6 A. Gráfca del error a través de las dsttas observacoes del modelo...6 A. Gráfca del valor absolto del error co a eplcatva sospechosa...7 B. Cotrastes paramétrcos...7 B.. Cotraste de Bresch-aga...8 B.. Cotraste de Glesjer...9 B.3. Cotraste de Whte...9 B.4. Cotraste a partr del coefcete de correlacó por ragos de Spearma Cómo se corrge... TRATAMINTO D LA HTROCDASTICIDAD N -VIWS...4

3 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 3.- Qé es La heterocedastcdad es la esteca de a varaza o costate e las pertrbacoes aleatoras de modelo ecoométrco. ese caso, la matrz de varazas-covarazas de las pertrbacoes se represetaría del sgete modo:.. UU... I... Como caso cocreto de la preseca de a matrz de varazas-covarazas o escalar de las pertrbacoes aleatoras, la estmacó correcta de los parámetros del modelo debera hacerse a partr del método de los Mímos Cadrados Geeralzados: β [ X Σ X ] X Σ Y MCG dode, para la aplcacó de esta fórmla e modelo de observacoes y k varables eplcatvas, sería ecesaro estmar k parámetros sobre las varables y varazas dsttas de las pertrbacoes aleatoras. or spesto, como solo cotamos co observacoes mestrales, es mposble estmar smltáeamete +k valores: hay más cógtas qe ecacoes depedetes se peda costrr. or ello, habrá qe hacer algú spesto smplfcador sobre la casa de la heterocedastcdad a vez esta sea detectada. vdetemete, ecotrar a smplfcacó correcta dotará de plea tldad efceca a la estmacó co MCG y, a ses cotraro, mal dseño de la casa de la heterocedastcdad de la matrz S prodcrá valor efcete de dchos parámetros..- Casas frecetes de heterocedastcdad Aqe las qe se cta a cotacó o so las úcas posbldades qe da lgar a modelo heterocedástco, sí so las más frecetes. A.- Varables eplcatvas cyo recorrdo tega a gra dspersó respecto a s propa meda. esta stacó, los modelos de corte trasversal so especalmete ssceptbles a regstrar heterocedastcdad. La dsposcó arbtrara de las observacoes e este caso pede respoder, por ejemplo al orde alfabétco de las observacoes de la edógea o al modo e qe se ha obtedo los datos o a calqer otra razó pede agrpar, casalmete, observacoes qe presete valores grades e a determada varable eplcatva y lo msmo co valores peqeños de esta msma varable. S esta varable es la qe está prodcedo la dstorsó e el modelo de heterocedastcdad, dcha dstorsó será probablemete mayor e aqellas observacoes qe cotega a mayor carga de ésta y meor e las qe s peso sea más peqeño. or ello, la varaza de las pertrbacoes aleatoras estmada por sbperíodos dsttos de la mestra sería dferete; es decr, habría heterocedastcdad. La msma stacó se pede dar e modelos de corte temporal e los qe la evolcó hstórca haya marcado dferetes períodos e cato a los valores de a varable e relacó a s meda, agrpado e algú sbperíodo valores altos y e otros valores peqeños. Σ

4 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 4 B.- Omsó de varables relevates e el modelo especfcado. vdetemete, cado se ha omtdo a varable e la especfcacó, dcha varable qedará parcalmete recogda e el comportameto de las pertrbacoes aleatoras, pdedo trodcr e éstas s propa varacó, o ecesaramete fja. Recérdese qe la hpótess cal del MBRL de homocedastcdad hacía refereca a la varaza costate de las pertrbacoes aleatoras, pero o oblgaba a qe las varables eplcatvas tvera també varaza costate, hecho qe, además, sería a restrccó my poco plasble. C.- Cambo de estrctra l hecho de qe se prodzca cambo de estrctra determa mal ajste de los parámetros al cojto de los datos mestrales. ste o tee porqe flr del msmo modo e todo el recorrdo de la mestra, pdedo prodcr catías de desajste del modelo dferetes y, por tato, varaza o costate por sbperíodos. Al f y al cabo, el feómeo del cambo de estrctra es eqparable a a especfcacó correcta por omsó de varables relevates: precsamete faltaría la varable fctca qe dstge etre las dos stacoes o estrctras dsttas qe covve e el período mestral elegdo e el modelo. D.- mpleo de varables o relatvzadas De modo smlar al cometado e el caso A, aqellas observacoes qe cotega valor mayor de a varable eplcatva cocreta sospechosa de ser la qe prodce la heterocedastcdad pede orgar valores del error dferetes. Observadas las casas frecetes de heterocedastcdad, es fácl dedcr qe la varaza o costate de las pertrbacoes aleatoras vee cas sempre dcda por alga varable, presete o o e el modelo, por lo qe se podría dstgr dos compoetes e la varaza heterocedástca resltate del modelo: a cambate, proveete de esa varable qe dce el problema, y a costate, qe sería la qe se daría s el modelo hbera sdo be plateado. Matemátcamete podríamos escrbr esto del sgete modo: f Z dode sería el parámetro fjo o parte fja de la varaza, y Z sería la matrz de varable o varables qe está prodcedo ese comportameto o costate de la varaza de las pertrbacoes aleatoras. sta fcó podría ser empleada precsamete como el spesto smplfcador al qe aterormete se hacía refereca para posbltar la estmacó medate MCG s ecotraros co más cógtas qe observacoes. De hecho, los parámetros estmados "recogerá mejor" el comportameto de la sere e aqella de las dos estrctras dsttas qe se prodzca drate mayor úmero de observacoes, ya qe los parámetros estmados e preseca de cambo de estrctra será a meda poderada de los qe resltaría de a estmacó partclar para cada a de las dos sbmestras

5 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews fectos de la heterocedastcdad sobre el MBRL A. Icorrecta estmacó de los parámetros Dado qe la matrz de varazas-covarazas es o escalar, el procedmeto correcto de estmacó debe clr la determacó de la matrz S; es decr, lo apropado sería emplear los estmadores MCG o de Atke cya epresó es: β [ X Σ X ] X Σ Y MCG or spesto, se ha demostrado qe estos estmadores so leales, sesgados, óptmos y cosstetes para la estmacó de a estrctra o escalar de la matrz de varazascovarazas sempre y cado la estmacó de la matrz S sea correcta. sto, qe pdera parecer a perogrllada, debe llevaros a a refleó mportate s mramos por mometo el carácter más aplcado de la cestó. Como ya se ha cometado, el elevado úmero de cógtas a estmar respecto al úmero de observacoes datos os oblga a hacer spesto smplfcador sobre el comportameto de la varaza heterocedástca. vdetemete, es my probable qe, como co todo spesto smplfcador, al realzar la estmacó de la matrz S bajo éste estemos sfredo certo error o sesgo, co lo qe la efceca absolta teórca del estmador de Atke frete al MCO e preseca de heterocedastcdad qedaría e etredcho. B. Cálclo correcto de las varazas y parámetros efcetes el caso de obvar la heterocedastcdad para la estmacó de los parámetros; es decr, segr empleado la epresó MCO, cabe dos opcoes: - stmar també las varaza como s hbera homocedastcdad e el modelo. - stmar los parámetros co MCO, pero calclar la verdadera varaza qe les correspodería a estos cado la matrz de varazas-covarazas de la pertrbacó aleatora es o escalar. Sobre esta refleó es teresate recordar el epermeto realzado por Goldfeldt y Qadt 97 e el qe pretedía jzgar la gaaca e efceca meor varaza e los sgetes casos: - stmacó de los parámetros co la epresó de MCG y cálclo correcto de ss varazas correspodetes: cov var β ˆ [ X Σ X ] X Σ Y - stmacó de los parámetros co la epresó MCO y cálclo de las varazas co la epresó qe correspodería a spesto de homocedastcdad: [ X X ] GOLFDLD,SM Y QUANDT 97: No Lear Methods coometrcs. North Hollad, pag. 8.

6 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 6 - stmacó de los parámetros co la epresó MCO y cálclo de las varazas co la epresó qe correspodería a spesto de heterocedastcdad: cov var ˆ β X X X ΣX X X [ ] [ ] Sobre epermeto cotrolado de geeracó de la varaza heterocedástca se llegaba a las sgetes coclsoes 3 :. La mayor varaza por empleo de MCO e vez de MCG e preseca de heterocedastcdad pede prodcr cremeto de más de veces e la varaza estmada del parámetro costate y valores hasta 4 veces mayores e las varazas de los parámetros qe acompaña a varables eplcatvas.. Calclar la varaza de los estmadores gorado la heterocedastcdad segú la epresó qe correspodería a a matrz de varazas-covarazas escalar, prodce sesgo por fravaloracó de la real del orde del doble. C. Ivaldacó de los cotrastes de sgfcatvdad Los cotrastes qe emplea para s cálclo estmacoes de la varaza o de s raíz cadrada desvacó típca, sfrrá claro sesgo dedcble de lo dcho aterormete: - S se elde el problema de la heterocedastcdad y se sge empleado MCO, calclado erróeamete la varaza qe correspodería a estos e el caso de qe hbera homocedastcdad [ ] X X, ya se ha cometado qe se estaría fravalorado la varaza real, por lo qe cotrastes de sgfcatvdad de los parámetros como la t-estadístca o la F rechazaría la hpótess la co mayor frececa de la debda; es decr, aceptaría la valdez de determadas varables para eplcar la edógea e casos e los qe esto es falso. - S se empleara MCO e la estmacó, calclado correctamete s varaza e caso de heterocedastcdad [ ] [ X X X ΣX X X ], ya se ha cometado qe estos parámetros arrojaría a mportate efceca respecto al empleo de MCG, por lo qe, al cotraro qe e el caso ateror, se aceptaría la hpótess la de los cotrastes de sgfcatvdad más veces de las reales. 4.- Cómo se cotrasta A. Cotrastes Gráfcos más habtales A. Gráfca del error a través de las dsttas observacoes del modelo Dado qe las seres ecoómcas preseta cas sempre a tedeca defda postva o egatva, la smple gráfca de error pede servr para coocer ttvamete s el mero trascrso del tempo da lgar a cremeto/decremeto cotado del error, lo qe sería sgfcatvo de a relacó etre la evolcó de las varables del modelo y los valores cada vez mayores o cada vez meores de éste. 3 Sobre este epermeto, se pede ecotrar detalle más profso e la pága 7 de ldo, A. 989.

7 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 7 Gráfcos del error stomátcos de preseca de heterocedastcdad ambos, la mera evolcó del tempo está correlacoada co valores cada vez mayores zqerda del error o cada vez meores derecha, co lo qe el cálclo de la varaza por sbperíodos arrojaría valores sgfcatvamete dferetes; es decr la sere del error sería heterocedástca. A. Gráfca del valor absolto del error e fcó de a eplcatva sospechosa de prodcr la heterocedastcdad e el modelo S se ordea de meor a mayor la varable sobre la qe se qere vestgar s prodce o o heterocedastcdad y, co ella, los valores absoltos del error estmado, el hecho de qe la be de ptos obteda e s gráfca cojta la varable e el eje de abcsas y el error absolto e el eje de ordeadas se pdera apromar correctamete co a regresó leal sgfcaría qe el cremeto de la varable eplcatva da lgar a cremeto de las pertrbacoes aleatoras, lego sería casa de heterocedastcdad e éstas y 39,5-36,47 R, l coefcete de correlacó por ragos de Spearma, eplcado posterormete, podría resltar sstema mérco de cotrastar la msma dea qe sbyace e la costrccó de este gráfco. B. Cotrastes paramétrcos Varos de los cotrastes qe se desarrolla e este apartado tedrá método para drmr la sgfcatvdad de los valores obtedos a partr de las tablas estadístcas de las fcoes de desdad coocdas segú la cal se dstrbye e cada caso los ratos propestos. s por esta razó por la qe se llama "paramétrcos". partclar, los cotrastes qe se preseta parte de a estrctra acorde a la del Mltplcador de Lagrage. De forma my ttva, s qerer hacer a argmetacó estrctamete académca 4, dremos qe e este tpo de cotrastes se propoe sempre dos 4 Co mayor rgor técco, el cotraste del mltplcador de Lagrage evalúa el mámo obtedo e la fcó de verosmltd cado se estma modelo co a sere de parámetros A o co estos más otros o cldos

8 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 8 modelos, o cal y otro e el qe se corpora algú añaddo e la especfcacó. A partr de rato sobre los errores de cada o de estos modelos o alga trasformada de estos, se compara s el modelo más completo aporta sfcete eplcacó adcoal de la edógea como para compesar el coste de corporar más varables. B.. Cotraste de Bresch-aga La dea del cotraste es comprobar s se pede ecotrar cojto de varables Z qe srva para eplcar la evolcó de la varaza de las pertrbacoes aleatoras, estmada ésta a partr del cadrado de los errores del modelo cal sobre el qe se pretede comprobar s este o o heterocedastcdad. l proceso a segr para llevar a cabo este cotraste es el sgete:. stmar el modelo cal, sobre el qe se pretede saber s hay o o heterocedastcdad, empleado MCO y determado los errores. y e βˆ β [ X X ] y + β yˆ + β X Y β k k +. Calclar a sere co los errores del modelo ateror al cadrado estadarzados: e ~ ˆ e ˆ e e - ste valor al cadrado os elma problemas de terpretacó sobre la evolcó meda del error e el tempo debdos a la compesacó de sgos qe se prodcría e calqer cálclo agregado. - or otra parte, la estadarzacó elma dstorsoes debdas a las posbles dsttas dmesoes de los errores orgales. 3. Se estma a regresó del error calclado e el paso eplcado por a costate y el cojto de las varables Z qe se pretede saber s prodce o o heterocedastcdad e el modelo, obteédose la R de este modelo y la varaza de la estmada: ~ e R e ~ α + α z + α z α z + ε 4. prcpo, dado qe el modelo tee térmo costate, se cmple la regla geeral de las regresoes segú la cal la varaza de la edógea real es gal a la sma de la varaza de la edógea estmada más la varaza del error obtedo e el modelo S S S. or ello, s el modelo es "malo" la varaza de la edógea estmada ~ ˆ~ + e e εˆ será peqeña es lo msmo qe decr qe la varaza del error estmado es grade o qe el "modelo tee mcho error". deftva, y sgedo el terés qe aqí bscamos, p p prevamete. Se emplea para drmr la cestó de qé modelo alcaza mámo el cadrado de la pedete de la fcó de verosmltd evalada co cada o de los cojtos de parámetros.

9 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 9 s la varaza de la edógea estmada e este segdo modelo es my peqeña, estaremos afrmado qe el poder eplcatvo del cojto de varables Z sobre la represetacó de la varaza de las pertrbacoes aleatoras es escaso. A partr de esta afrmacó, podríamos geerar cotraste calclado co esta varaza, a sabedas de qe cato más cerca de cero se ecetre, más probabldades de homocedastcdad habrá e el modelo. l cotraste propesto es: S eˆ~ los atores demestra qe, e el caso de modelo homocedástco, se dstrbye como a χ, co lo qe, s el valor del rato spera al valor de tablas, se rechaza la hpótess p la; es decr, se acepta qe el cojto de varables Z o está prodcedo heterocedastcdad e el modelo orgal. l cotraste de Bresch aga efectvamete os servrá para aceptar o descartar la preseca de heterocedastcdad debda a ese cojto de varables Z ctado, pero s operatvdad es lmtada. S el cojto de las varables Z cotee varables o cldas e el modelo orgal, parece dfícl o haberlas tedo e ceta ates para realzar a bea especfcacó y sí teerlas e ceta ahora para la cotrastacó. or otro lado, la lsta de varables Z debe ser ecesaramete peqeña para poder realzarse el cotraste. B.. Cotraste de Glesjer De forma smlar al caso ateror, Glesjer propoe descartar la varacó del error e fcó de a varable z, qe ahora pede estar elevadas a a poteca "h" qe estaría compredda etre - y. l modelo qe se propoe es:. stmar el modelo cal, sobre el qe se pretede saber s hay o o heterocedastcdad, empleado MCO y determado los errores. y e βˆ β [ X X ] y + β yˆ + β X Y β. stmar catro regresoes para los valores absoltos del error del modelo ateror e fcó de a varable elevada cosectvamete a "h", qe para cada modelo tomaría los valores -, -,5,,5 y. k k + h α αz ε { } h,.5,.5, e + Se escogerá la regresó de las catro co parámetros sgfcatvos y co mayor R. 3. Se etede qe, s el valor de esta R es sfcetemete grade, se estará cofrmado qe este heterocedastcdad prodcda por la varable z, ya qe esta es capaz de eplcar la evolcó de la evolcó del error como estmada de la evolcó de las pertrbacoes aleatoras. B.3. Cotraste de Whte

10 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews este cotraste la dea sbyacete es determar s las varables eplcatvas del modelo, ss cadrados y todos ss crces posbles o repetdos srve para determar la evolcó del error al cadrado. s decr; s la evolcó de las varables eplcatvas y de ss varazas y covarazas so sgfcatvas para determar el valor de la varaza mestral de los errores, etedda ésta como a estmacó de las varazas de las pertrbacoes aleatoras. l proceso a segr para realzar este cotraste sería el sgete:. stmar el modelo orgal por MCO, determado la sere de los errores. scrto esto e forma matrcal para modelo co "" observacoes y "k" varables eplcatvas: Y Xβ + U [ X X ] ˆ β Yˆ Xβˆ e Y Yˆ X Y. stmar modelo e el qe la edógea sería los valores al cadrado de los errores obtedos prevamete paso co todas las varables eplcatvas del modelo cal, ss cadrados y ss combacoes o repetdas. e α α k + k + + α α α 3k + k k + α 3 k ε α k+ k k + α k + k l valor de la R e de este segdo modelo paso os drá s las varables elegdas srve o o para estmar la evolcó varate del error al cadrado, represetatvo de la varaza estmada de las pertrbacoes aleatoras. vdetemete, s la varaza de éstas fera costate homocedastcdad, el carácter o costate de las varables eplcatvas mplcadas e el modelo o servría para eplcar la edógea, lego la debera ser my peqeña. prcpo, la R e, como proporcó de la varaza de la edógea real 5 qe qeda eplcada por la estmada, debera ser my peqeña s la capacdad eplcatva de los regresores cosderados també es my peqeña, sedo estos regresores, por s costrccó, represetatvos de varazas y covarazas de todas las eplcatvas del modelo orgal. Dcho esto, evdetemete valor de la R sfcetemete peqeño servrá para coclr qe o este heterocedastcdad e el modelo prodcda por los valores de las eplcatvas cosderadas e el modelo cal. ara ecotrar el valor crítco e esa cosderacó de sfcetemete peqeño se emplea la epresó dedcda por Bresch y aga como prodcto del coefcete R por el úmero de datos del modelo, qe se dstrbría del sgete modo: χ R e p R e 5 este caso, la edógea real será el valor del error mestral al cadrado de la prmera regresó practcada. el caso de homocedastcdad, este debe ser cas costate, por lo qe dfíclmete la evolcó de otras varables podría eplcar valor fjo. or ello es ttvo pesar qe cato mayor sea la R de este modelo, más probable será la heterocedastcdad.

11 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews deftva, s obteemos valor del prodcto Re mayor qe el reflejado por las tablas de χ p, afrmaremos qe este heterocedastcdad, y vceversa, s este valor es más peqeño dremos qe o se matee la homocedastcdad. Otro modo de cotrastar la esteca de heterocedastcdad e el modelo a partr de la valdez o o de los parámetros cldos e la regresó propesta por Whte vedría dado por el valor del cotraste de sgfcacó cojta F. S dcho cotraste afrmara qe, e cojto, las varables eplctadas tee capacdad eplcatva sobre la edógea, estaríamos afrmado la preseca de heterocedastcdad e el modelo. B.4. Cotraste a partr del coefcete de correlacó por ragos de Spearma La flosofía de este cotraste resde e qe la varable sospechosa de prodcr heterocedastcdad debería provocar crecmeto del resdo estmado al msmo rtmo qe ella va crecedo. or ello, s ordeáramos de meor a mayor tato la varable sospechosa, por ejemplo j, como el valor absolto del resdo, e, el cambo de pesto e ambas, y para cada a de las observacoes, debera ser del msmo úmero de pestos respecto al orde orgal de las seres. la medda e la qe este cambo de pesto respecto al orgal o sea el msmo para las dos a vez ordeadas se podría hablar de movmetos o correlacoados. Dado qe la correlacó se mde etre o y meos o, Spearma propoe determar grado de correlacó e ese cambo de pesto respecto al cal de cada a de las varables a partr de la dfereca etre el evo pesto y el cal: r 6 d esta epresó, a cocdeca máma todas las dstacas so gal a cero, daría lgar a a correlacó de Spearma gal a o; metras qe a dstaca máma, provocaría valor cero de dcho coefcete de correlacó 6. la sgete tabla se hace peqeño ejemplo mérco de cálclo del coefcete de Spearma para clarfcar lo dcho hasta ahora. Seres orgales Seres ordeadas esto j e j esto esto d d e orgal orgal.838,6 44, ,4 5 3, , 688 5, ,3.838, ,5.33 4, Realmete, el coefcete de correlacó por ragos de Spearma es eqvalete a emplear el coefcete cov, y de correlacó leal r, y S a las varables de ptacó de orde de ambas colocadas S y segú la progresó de a de ellas. ara ver el detalle del deomador, se pede acdr a Martí- Gzmá y Martí lego 985, págas 3-34.

12 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews r 6 d 6* 3,8,8 55 este caso, el grado de correlacó egatva de ambas seres sería bastate elevado, dado qe los etremos de correlacó sería +/-. ara valorar la sgfcatvdad o o de esta correlacó, se cooce la fcó de dstrbcó del sgete rato bajo la hpótess la de o sgfcatvdad, demostrado por el ator: r s N r S t Co ello, s el resltado del rato es speror al valor de tablas podremos afrmar qe la correlacó es sgfcatva o, de cara a estro terés e este caso, qe hay dcos de heterocedastcdad e el modelo provocada por la varable j. B.5 Otros cotrastes Aqe o se cometará aqí, s es coveete ctar otros cotrastes habtales para la determacó de la heterocedastcdad, como: - Cotraste de Harvey - Cotraste RST de Ramsey - Golfeld-Qadt - Cotraste de pcos - LM Arch 5.- Cómo se corrge Como hemos vedo vedo repetdas veces a lo largo del tema, la heterocedastcdad vee prodcda por la depedeca de la varaza de las pertrbacoes aleatoras de a o más varables qe, a s vez, pede estar presetes e el modelo o o. Los dsttos métodos de detectar este problema servía para probar, e el caso e el qe ésta realmete se dese, la depedeca de la varaza de la pertrbacó aleatora de cojto de varables, a partr de lo qe hemos llamado spesto smplfcador: f Z or lógca, el modo de sbsaar el problema detectado será operar coveetemete la varables del modelo precsamete elmado la fete de heterocedastcdad qe habremos poddo defr cado detectamos la msma. Como veremos a cotacó, s el cojto total de las varables del modelo edógea clda es dvddo por la forma estmada de esta fcó de la raíz de la varaza heterocedástca a vez algú método de deteccó os haya cofrmado qe efectvamete el comportameto de esta varaza se pede segr coveetemete co dcha fcó estaremos corrgedo el modelo. ara comprobar esto, podemos volver a la forma matrcal de varazas covarazas o escalar:

13 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 3 Σ I UU esta matrz, s dvdmos por la raíz de Z f, obtedremos a dagoal prcpal de os; es decr, volveríamos al caso de a matrz de varazas covarazas escalar tal y como la qe se spoe e el modelo básco de regresó leal. Formalmete, para probar esto segmos los sgetes pasos. Dado qe la matrz S es a matrz semdefda postva todos los elemetos de s dagoal prcpal so ecesaramete postvos, sempre podremos descompoerla e dos matrces de la forma: Σ Σ Volvedo a la matrz de varazas covarazas o escalar y edo esto a la fcó qe hemos comprobado srve para defr esta varaza o costate Z f, es fácl llegar a qe la descomposcó Σ Σ es: Σ S mltplcamos cada varable del modelo por esta matrz, tal y como se ha sgerdo, obteemos as evas varables del sgete tpo: * * * U X Y U Y + + β β dode: I UU UU UU U U * * Σ Σ Σ Σ or lo qe podemos afrmar qe el modelo trasformado aqel por el qe se ha dvddo todas las varables por la desvacó típca estmada de las pertrbacoes aleatoras soporta a matrz de varazas covarazas de las pertrbacoes aleatoras escalar, co lo qe se pede estmar co toda garatía por MCO. deftva, y a modo de breve receta, los pasos para la correccó de la heterocedastcdad sería los sgetes:

14 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 4 a Se estma los parámetros del modelo por MCO, gorado por el mometo el problema de la heterocedastcdad de las pertrbacoes aleatoras b Se establece spesto acerca de la formacó de y se emplea los resdos de la regresó por MCO para estmar la forma fcoal spesta. c Se dvde cada observacó por ˆ segú el paso ateror segú el valor de esa heterocedastcdad spesta estmada, sempre y cado cotraste os haya cofrmado qe el modelo smplfcador es beo. d Se estma el modelo orgal ahora co todas las varables trasformadas segú el paso c. TRATAMINTO D LA HTROCDASTICIDAD N -VIWS Se propoe modelo para catfcar las vetas de Brger Kg VTASBK e a sere de países, propoédose como eplcatvas las sgetes varables: RCIOSBK: RCIOSMAC: RNTAC: recos Hambrgesa Whoper recos Hambrgesa Bg Mac Reta per capta del país Realzada a prmera regresó, los resltados obtedos so los sgetes:

15 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews Resdal Actal Ftted Matrz de correlacoes de las varables VTASBK RCIOSBK RCIOSMAC RNTAC VTASBK RCIOSBK RCIOSMAC RNTA C No se da ga correlacó etre varables eplcatvas speror al R obtedo e el modelo, por lo qe o parece haber dcos de mltcolealdad. Ta sólo este a ferte correlacó etre RCIOSBK y RCIOSMAC,743, e calqer caso más peqeño qe el,99. A la lz del gráfco de resdos, podría pesarse qe qe los cco prmeros países presetaría a varaza mayor qe los sgetes, aqe, como sele ocrrr co los gráfcos, o se pede aprecar ada claramete. l sgete elemeto a cotrastar sería la preseca de heterocedastcdad e el modelo. l programa -Vews smstra, co este f, la posbldad de detectar la heterocedastcdad, etre otros, a partr del Test de Resdos de Whte, ofrecedo dos posbldades: - No Cross Terms: Realzar la regresó de los errores al cadrado de la regresó cal del modelo escrbedo como eplcatvas todas las eógeas de la cal y ss valores al cadrado. - Cross Terms: gal qe la ateror, pero clyedo además, como eplctvas del error al cadrado, los prodctos o repetdos de todas las varables eplcatvas del modelo cal etre sí. prcpo, el cotraste epresado por Whte sería la segda opcó, pero, e modelos co escasas observacoes, a lo mejor o es posble realzar la estmacó co tatos regresores y es más recomedable la prmera opcó por o elmar completamete los grados de lbertad. estro caso, el úmero de observacoes es países y el úmero de eplcatvas tres más la costate, lego el cotraste de Whte co térmos crzados eqvaldría a clr varables eplcatvas sobre el cadrado de los errores de la regresó cal la costate, las tres eplcatvas, ss tres cadrados y los tres crces posbles o repetdos etre ellas. ara aplcar este cotraste e -vews, desde la msma vetaa dode se ha realzado la regresó, se sge el sgete trayecto:

16 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 6 Los resltado de este Test de resdos Whte heteroskedastcty cross terms so: Whte Heteroskedastcty Test: F-statstc robablty. Obs*R-sqared robablty.47 Como resltado, se os ofrece dos formas de cotrastar la valdez de las varables elegdas para eplcar comportameto o homogéeo del error al cadrado estmador de la varaza de la pertrbacó aleatora e este caso: - F-stasttc como sempre co k-; -k grados de lbertad, os vedría a dar a medda de la bodad del modelo probabldad de heterocedastcdad s se cofrma la valdez cojta de las varables elegdas para determar la varacó del error al cadrado - la edógea-. - Obs*R-sqared R e χ p : spesta la hpótess la de homocedastcdad, el cálclo propesto debería comportarse como a χ p co p- grados de lbertad. estro caso p las eplcatvas de la regresó practcada. l valor de tablas de χ, para el 95% de cofaza, es 6,9. A la lz de lo dcho, ambos estadístcos propestos afrma, co 97,9% de probabldades el prmero y co 96,73% de probabldades el segdo, la esteca de heterocedastcdad.

17 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 7 La msma salda os mestra la regresó tlzada para realzar estos cálclos, qe sería la sgete: Test qato: Depedet Varable: RSID^ Method: Least Sqares Date: 4/4/ Tme: 8:3 Sample: Iclded observatos: Varable Coeffcet Std. rror t-statstc rob. C RCIOSBK RCIOSBK^ RCIOSBK*RCIOSMAC RCIOSBK*RNTAC RCIOSMAC RCIOSMAC^ RCIOSMAC*RNTAC RNTAC RNTAC^ R-sqared Mea depedet var Adjsted R-sqared S.D. depedet var 4.94 S.. of regresso Akake fo crtero.36 Sm sqared resd Schwarz crtero.5347 Log lkelhood -.36 F-statstc Drb-Watso stat.8789 robf-statstc. A la lz de esta regresó, es fácl comprobar la sgfcatvdad de la varable retapc y retapc^ para eplcar la varaza del error. També los es precosbk^ y precosbk*retapc. ara corregr el problema de la heterocedastcdad, habría qe emplear Mímos Cadrados Geeralzados, o be trasformar todas las varables del modelo predvdedo todas ss observacoes por la raíz cadrada del valor estmado del error al cadrado e el modelo qe se ha tlzado para cotrastar la preseca de heterocedastcdad y qe os ha formado sobre la preseca de la msma y la bea eplcacó del comportameto o costate de la varaza. l programa -vews permte realzar la estmacó por MCG sado como valor de S el obteble a partr de la propesta de Whte 98. l estmador cosstete de la matrz de covarazas para lograr a estmacó correcta de los parámetros e preseca de heterocedastcdad es el sgete: ˆ Σ t t t X k [ X X ] e [ X ] ara lograr a estmacó empleado esta correccó e -vews, es ecesaro, a vez se ejecta a estmacó leal ormal, plsar el botó de estmate. Aparecerá etoces, a la derecha, botó de opcoes qe, plsado, permte señalar Heteroskedastcty: cosstet covarace Whte.

18 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 8 stmado segú esta propesta, ya qe hemos cofrmado la preseca de heterocedastcdad, los resltados sería los sgetes: Depedet Varable: VTASBK Method: Least Sqares Date: 4// Tme: 3:37 Sample: Iclded observatos: Whte Heteroskedastcty-Cosstet Stadard rrors & Covarace Varable Coeffcet Std. rror t-statstc rob. C RCIOSBK RCIOSMAC RNTAC R-sqared.9994 Mea depedet var Adjsted R-sqared S.D. depedet var S.. of regresso Akake fo crtero Sm sqared resd 4.63 Schwarz crtero Log lkelhood F-statstc Drb-Watso stat robf-statstc.

19 Coceptos báscos sobre Heterocedastcdad y Tratameto e -vews 9 Referecas bblográfcas GOLFDLD,SM Y QUANDT 97: No Lear Methods coometrcs. North Hollad, pag. 8. MARTÍN-GUZMÁN Y MARTÍN LIGO 985: Crso básco de stadístca coómca. dtoral AC NOVALS, A. 993: coometría. dtoral Mc Graw Hll, segda edcó. Madrd. OTRO, JM 993: coometría. Seres temporales y predccó. dtoral AC, lbros cetífcos y téccos. Madrd. ULIDO, A. y ÉRZ, J. : Modelos coométrcos. dtoral rámde, SA. Madrd.