a) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

Transcripción

1 Septiere. Ejercici B. Cliicción ái punts. Dd l unción, se pide ) ( punt) Hllr l ecución de l rect tngente l gráic de en. ) ( punt) Clculr d Slución. L ecución de l rect tngente un unción en en r punt pendiente es En ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sustituend en l epresión de l rect tngente ( ) Juni. Ejercici A Cliicción ái punts. Dd l unción, se pide ( ) ) ( punt) Hllr ls síntts de su gráic. ) ( punt) Hllr l ecución de l rect tngente l gráic de () en el punt de scis. Slución.. Ecución de l rect tngente l unción en en r punt-pendiente 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) Septiere. Ejercici B. Cliicción ái punts Dd l unción sen, se pide ) ( punt) Deterinr, justiicnd l respuest, si l ecución () tiene lgun slución en el intervl iert (π/, π). ) ( punt) Clculr l integrl de en el intervl [, π]. c) ( punt) Otener l ecución de l rect nrl l gráic de () en el punt (π, (π)). Recuérdese que l rect nrl es l rect perpendiculr l rect tngente en dich punt. Slución. c. L rect tngente un unción () en el punt de scis en r punt pendiente es L rect nrl, pr ser perpendiculr l rect tngente teniend en cuent que entre rects perpendiculres sus pendientes sn invers puest, en r punt pendiente es ( ) ( ) ( ) ( ) Aplicnd π

2 ( π) ( ) ( π) ( π) ( π) π senπ π sen cs ( π) π senπ π csπ π π π L ecución de l rect nrl es π π π π Juni. F. G. Ejercici B. Cliicción ái punts. Dd l unción ln, si > k, si dnde Ln signiic lgrit neperin de, se pide ) ( punt) Deterinr el vlr de k pr que l unción se cntinu en R. ) ( punt) Hllr ls punts de crte cn ls ejes crdends. c) ( punt) Otener l ecución de l rect tngente l gráic de l unción en el punt de sciss. Slución. ln c. si > L tngente l unción en en r punt pendiente es si ( ) Dnde - - ( )' ln ln Ln ln ln ln ln ln ( ) ln ln ln si > si < ln ln ln ln Sustituend en l epresión de l rect tngente ( ) ; Mdel. Ejercici B. Cliicción ái punts. Dd l unción Sé pide ) ( punt). Hllr l ecución de l rect tngente l gráic de en el punt (, ()). ) ( punt). Deterinr ls punts de intersección de l rect hlld en el prtd nterir cn l gráic de. c) ( punt). Clculr el áre de l región ctd que está cprendid entre l gráic de l rect tenid en el prtd ).

3 Slución.. L ecución de l rect tngente un unción () en un punt en r punt pendiente es Aplicd l epresión qued ( ) ( ) Sustituend en l epresión de l rect tngente. Ls punts de intersección entre l unción su tngente se hlln cn el siste rd cn l ecución de l unción l ecución de l tngente. El siste se resuelve pr igulción. Ruini L tngente l unción se crtn en ls punts (, ) (, ). Septiere 9. Ejercici lb. Cliicción ái punts. ) ( punt). Dd l unción hllr el punt ls punts de l gráic de () en ls que l pendiente de l rect tngente se ) (,5 punts). Hllr l ecución de l rect tngente l gráic de () en el punt. c) (,5 punts). Se g un unción derivle cn derivd cntinu en td l rect rel, tl que g(), g(). Destrr que eiste l ens un punt c en el intervl (,) tl que g (c). Slución.. Deinición de derivd en un punt L derivd de un unción en un punt es l pendiente de l rect tngente l unción en ese punt. Se pide clculr ls vlres de que cupln Despejnd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En ó ± l pendiente de l rect tngente vle.

4 . Ecución de l rect tngente en en r punt-pendiente ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (prtd ) Juni 7. A. ( punts). Se cnsider l unción (), dnde > es un cnstnte. ) (,5 punts) Pr cd vlr de hllr el vlr de > tl que l rect tngente l gráic de en el punt (, ()) pse pr el rigen de crdends. ) (,5 punts) Hllr el vlr de pr que l rect se tngente l gráic de (). Slución.. L ecución de l rect tngente l unción () en el punt (, ()) en r punt pendiente es Sustituend en l epresión de l tngente ( ) ( ) Pr encntrr un relción entre, se tiene en cuent que l rect tngente ps pr (, ), pr tnt l ecución se cuple pr ess crdends. Opernd ( ) ( ) ± C >. Teniend en cuent el prtd, strá cn clculr l crdend del punt de tngenci (), cncid est, se clcul cn l relción del prtd nterir ( ). Pr deinición de derivd en un punt (pendiente de l rect tngente l unción en el punt), se clcul l crdend del punt de tngenci cncid l pendiente de l rect tngente (). Rect tngente. Pendiente Mdel 7. A. ( punts). ) ( punt). Si es un unción cntinu, tener F '() siend F ( t) ( t t ) ) ( punts). Si () deás ( t) dt gráic de F() en el punt (l, F(l)). dt, hllr l ecución de l rect tngente l

5 Slución.. Teniend en cuent que l derivd de un unción en un punt es l pendiente de l rect tngente l unción en dich punt, l ecución de l rect tngente un unción F() en un punt en r punt pendiente es F F ( ) Dnde (, F()) es el punt F () es l pendiente. Aplicd ( t) ( t t ) F dt en F F ( ) ( t) ( t t ) dt ( t) dt ( t t ) F t t dt 9 F () F () Sustituend 9 ( ) Mdel 7. B. ( punts). Dd l unción () 6, se pide ) ( punt). Hllr un vlr > tl que l rect tngente l gráic dejen el punt (, ()) se prlel l rect 5. ) ( punt). Hllr el áre de l región ctd liitd pr l gráic de l prte psitiv del eje OX. Slución.. Ds rects prlels tienen igul pendiente. Pr deinición, l pendiente de l rect tngente un unción en un punt es l derivd de l unción prticulrizd en el punt. r r 5 r 5 Igulnd C >, 5 5 rdennd 5 reslviend 5 Mdel 6. Ejercici B. ( punts). ) ( punt). Hllr el punt P en el que se crtn ls gráics de ls uncines g ) ( punt). Hllr ls ecucines de ls rects tngentes en el punt P cd un de ls curvs nterires destrr que sn perpendiculres. Slución.. L ecución de l rect tngente un unción () en un punt, epresd en r punt pendiente tiene l r Derivds 5

6 6 g g Tngente () en. r Tngente g () en. s g g g g Si ds rects sn perpendiculres, sus pendientes sn puest e inverss. s r Septiere 5. Ejercici A. ( punts). Dd l unción se pide ) ( punt). Hllr l ecución de l rect tngente su gráic en el punt, pr >. ) ( punt). Hllr ls punts de crte de l rect tngente hlld en el prtd ) cn ls ds ejes crdends. c) ( punt). Hllr el vlr de > que hce que l distnci entre ls ds punts hllds en ) se íni. Slución.. L ecución de l rect tngente un unción en un punt en r punt-pendiente es dnde Pendiente Punt, Teniend en cuent que l pendiente de l rect tngente es l derivd de l unción prticulrizd en el punt, que el punt pertenece l unción pr tnt tiene l r,, l ecución de l tngente en el punt tiene l r dnde () sustituend en l ecución de l rect tngente ultiplicnd td l ecución pr rdennd se ps r generl. Pr tener ls punts de intersección de l rect cn ls ejes crdends, se ps l ecución

7 r cnónic. OX (,) A OY B, Septiere 5. Ejercici B. ( punts) Dd l unción ln dnde ln signiic lgrit neperin, deinid pr >, hllr un punt (,() ) tl que l rect tngente l gráic de () en ese punt se prlel l eje OX. Slución. Teniend en cuent que l derivd de un unción en un punt es l pendiente de l rect tngente l unción en ese punt, que ls rects hrizntles tienen de pendiente cer, se pide hllr ls punts de l unción dnde se nul l derivd Pr sipliicr l derivd se puede sipliicr l epresión de l unción teniend en cuent ls prpieddes de ls lgrits. ln Ln Ln( ) Ln Ln( ) ( ) ( ) pr clculr l segund cpnente del punt se sustitue en l unción. ln Ln En el punt (, Ln ) l unción tiene un tngente hrizntl. Mdel 5. Ejercici B. Cliicción ái punts. Se l unción In( ), dnde In signiic Lgrit Neperin. ) ( punt) Deterinr ls intervls de creciient decreciient ls intervls de cncvidd cnveidd. ) ( punt) Diujr l gráic de l. c) ( punt) Clculr ls ecucines de ls rects tngentes l gráic de sus punts de inleión. Slución. Ecución de l tngente un unción en un punt rtg ( ) ( )( ) Cálcul de ls punts de inleión ( ) ; ( ) ( ) ( ) Sign Cers ± Pls N tiene Intervls (, ) < (, ) > (, ) < es CONCAVA es CONVEXA es CONCAVA 7

8 Punts de inleión En ± ( ± ) ( ± ) r tg lu Ln( ) r tg (, ) (, Ln) (, ) (, Ln) lu Ln( ) r ( ) tg r tg Juni. Ejercici B. Cliicción ái punts Dd l unción (), se pide lu lu( ) lu lu ) ( punt ) Hllr l ecución de l rect tngente l gráic de en el punt (, ) P, dnde < < ) ( punt ) Hllr ls punts A B en ls que l rect hlld en el prtd ) crt ls ejes verticl hrizntl respectivente. c) ( punt ) Deterinr el vlr de (,) punt P (, ) es el dle de l distnci entre el punt B el punt (, ) pr el cul l distnci entre el punt A el P. Slución.. L epresión de l rect tngente un unción () en un punt en r punt pendiente es ( ) ( ) ( ) plicnd l unción punt prpuests pr clculr el vlr de l unción en el de l derivd, se sustitue pr en l unción en l derivd. ( ) ( ) d) ( punt ) Hllr ls punts A B en ls que l rect hlld en el prtd ) crt ls ejes verticl hrizntl respectivente. Slución.. Se puede hcer de vris rs i. Trnsrnd l ecución de l rect l r cnónic. ii. z,, B, A Buscnd edinte sistes de ecucines l intersección de l rect cn ls ejes crdends. OY A (, ) OX B, 8

9 Mdel. Ejercici B. Cliicción ái punts. Se cnsider l unción ( sen ) Se pide ) ( punt) clculr sus punts crítics en el intervl iert (-π, π). ) ( punt) Clculr ls etres reltivs / sluts de l unción (s) en el intervl cerrd [ π, π]. c) ( punt) hllr l ecución de l rect tngente l gráic de l unción () en el punt (/,(π/)). Slución. Ecución de l tngente en ' π π π π ' ( sen ) sen cs sen cs sen ( sen ) ( sen ) ( sen ) π π sen sustituend en l ecución de l tngente ; π sen π ' π sen π Mdel. Ejercici B. Cliicción ái punts. Se cnsider l unción rel deinid pr Se pide ) ( punt) Hllr sus áis ínis reltivs sus síntts. ) (,5 punts) Hllr ls punts dnde l gráic de tiene tngente verticl. c) (,5 punts) Representr gráicente l unción. d) ( punt) Clculr el áre del recint pln ctd liitd pr l gráic de l unción, el eje OX ls rects,. Nt.- Pr tener ls síntts puede ser de utilidd l iguldd A B A B A AB B Slución.. Un unción tendrá tngente verticl en quells punts dnde l derivd de l unción se ininit. ( ) ( ) ( ) 9

10 Si ± ( ) En en l unción tiene tngentes verticles. Septiere. Ejercici A Puntución ái punts. Se cnsider l unción rel de vrile rel deinid pr Si () ( ) Si < ) ( punt) Estudir su cntinuidd derivilidd. ) ( punt) Hllr l ecución crtesin de l rect tngente l gric de en el punt (, ). Slución. L ecución de l rect tngente en r eplicit un unción () en un punt, viene descrit pr '( ) ) Punt, ( dnde Pendiente '(. Aplicnd ls dts del prle ) () () '() '() rdennd se tiene l ecución crtesin generl ( ) ( ) Juni. Ejercici A. (Puntución ái punts) Se cnsider l unción rel de vrile rel deinid pr () ) ( punt) Hll l ecución crtesin de l rect tngente en el punt de inleión de scis psitiv de l gráic de. ) ( punts) Clcul el áre del recint pln ctd liitd pr l gráic de, l rect nterir el eje. Slución L ecución del l tngente un unción se puede escriir en r punt pendiente. (, ) Punt ( ) siend Pendiente de l rect Teniend en cuent que Punt (, ( )) '( ) l ecución de l tngente l unción () se puede escriir de l r ' En el prier prtd del ejercici piden clculr l ecución de l rect tngente l unción () en el punt de inleión cn scis psitiv ( > ). Ls punts de inleión de un unción sn ls punts en ls que ci l curvtur de l unción, deás, sn ls únics punts en ls que l tngente l curv crt l gráic de l unción. Se deterinn teniend en cuent que en ells l segund derivd de l unción se

11 nul, deás el sign de l ª derivd dee ser distint l izquierd derech del punt de inleión. ' ' () (( ) ) ( ) ( ) ' '() ' ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) Ls punts de inleión se clculn igulnd cer l ª derivd estudind el sign de está en ls lrededres del punt ''() 6 ( 6 ) 6 6 ± ± ' '( ) < ''() deás sign ' '( ) sign '' En un punt de inleión '' > "( ) > "( ) deás sign "( ) sign "( ) En un punt de inleión "( ) < L unción present ds punts de inleión en (, ()) en (, ()), se pide clculr l tngente l curv en (, ()), que es el únic que tiene scis psitiv ( > ). L tngente pedid tiene pr ecución () '() ( ) () () se clculn sustituend en l unción en l derivd respectivente. () ( ) '() 8 ( ) 8 que en r eplicit se trnsr en 8 8 Septiere. Ejercici A. (Puntución ái punts) Se cnsidern ls uncines (), g().. ( punt) Clculr pr que ls gráics de g sen tngentes en el punt de scis.. ( punt) Pr ls vlres de clculds en el prtd nterir, diujr ls gráics de s uncines hllr l ecución de l rect tngente cún. c. ( punt) Pr ls iss vlres de, hllr el áre liitd pr ls gráics de ls uncines el eje verticl. Slución. Se pide clculr ds práetrs de un unción cudrátic, cncids cierts cndicines que cuple l unción. Si ds uncines sn tngentes en un punt, en dich punt ls ds uncines lcnzn igul vlr () g () ;. Sí ds uncines sn tngentes en un is punts, en dich punt cprten l is tngente, pr l que sus derivds en ese punt sn igules () ; g () () g ()

12 sustituend el vlr de en l ª cndición se clcul g(). Se pide representr ds práls, () de igul r que l eleentl desplzd del rigen () ( ) Vértice V (, ) Crtes cn ls ejes (, ) g () ás iert que l eleentl desplzd verticlente g () ½ Vértice V (, ) Ls ds práls tienen un punt cún que ud diujrls P(, ) L rect tngente cún tiene pr ecución punt pendiente ( ), es el vlr de l tngente se puede clculr c () g () sustituend ( ) Juni. Ejercici A. (Puntución ái punts) Se l unción () sen. () (,5 punts) Clculr > tl que el áre encerrd pr l gráic de, el eje, l rect, se. () ( punt) Clculr l ecución de l tngente l gráic de en el punt de scis π. (c) (,5 punts) Clculr el áre de l supericie encerrd pr l tngente nterir, l π π gráic de l unción ls rects,. Slución. L rect tngente un unción en un punt se epres en r punt pendiente, Punt (, ( )) teniend en cuent que '( ) '( ) plicnd l unción () sen en el punt π π π π ' π π sen π π ' () cs ' cs

13 sustituend en l epresión de l tngente que en r eplicit qued c π ( π ) Juni. Ejercici B. (Puntuci6n ái punts) () ( punt) Deterinr ls etres reltivs de l unción (). Diujr su gráic. () ( punt) Hllr ls ecucines de ls ds rects tngentes l gráic de que psn pr el punt P(, 5). Slución. Se pide clculr ls tngentes un prál trzds desde un punt eterir P(, 5), es decir, ls rects que psnd pr el punt P, tengn un únic punt cún cn l prál. Tds ls rect que psn pr el punt P(, 5) tienen pr ecución 5 k ( ) siend k un práetr que represent l pendiente de l rect. Pr que un de ests rects teng un únic punt cún cn l prál el siste 5 k ( ) dee tener slución únic. Reslviend el siste pr sustitución 5 k ( ) rdennd c un ecución de segund grd 8 ( k ) (7 k) Pr que el siste teng slución únic, l ecución de segund grd tién dee tener slución únic, pr l tnt su discriinnte dee ser nul. c sustituend ( (k ) ) (7 k) pernd rdennd k k k k 6 Ls tngentes sn 5 ( ) 5 6 ( ) Mdel. Ejercici A. Cliicción ái punts Se l prál. Sen u v ls rects tngentes l prál en ls punts P de scis Q de scis. ) (,5 punts) Hllr ls crdends del punt R de intersección de u v. ) ( punt) Hllr l relción entre pr que ls rects u v sen perpendiculres. c) (,5 punts) Prr que en el cs del prtd ) el punt R está en l directriz de l prál.

14 Slución.. Tnt el punt P c el Q pertenecen l prál, pr l tnt sus crdends sn P p p p, P Q q q q, Q Ls ecucines de ls rects tngente en ls punt P Q l prál en r punt pendiente sn q v q p u p v u Ls pendientes de ls tngentes l unción vienen dds pr su derivd. v u Tngente en P u Tngente en Q v El punt de intersección de ls ds tngentes (R), se tiene reslviend el siste que rn ls ds ecucines. R Igulción, R. Si ds rects sn perpendiculres, sus pendientes deen ser inverss puests. v u c. L ecución de l prál es, prál de eje verticl centrd en el rigen de crdends, su directriz tiene l r p, siend p el práetr. Directriz p p Si ls rects sn perpendiculres, el punt R será Directriz, R, R

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