Proporcionalidad y semejanza. Escalas

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1 UNIDD Proporciolidd y seejz. Escls E est Uidd se preset ls relcioes étrics etre eleetos geoétricos que os peritirá defiir l seejz y su pricipl plicció e el diujo técico: l costrucció de plos escl. Se prte de los coceptos de gitud y ctidd ejdos cotidiete. Se defie l proporciolidd direct e ivers etre gitudes y sádose e el teore de Thles, se expoe ls costruccioes gráfics de proporciolidd etre segetos, de costrucció de figurs seejtes y l escl. Pr fcilitr l copresió del cocepto de proporciolidd, deás de relizr ls costruccioes y ctividdes, se propoe eorizr los coceptos ásicos y uscr persolete ejeplos cotidios de plicció, que reforzrá lo predido. Los ojetivos que os propoeos lczr co est Uidd so: 1. Copreder el cocepto de proporciolidd y su plicció e el rte.. Ser cpz de costruir escls gráfics y de utilizrls pr cofeccior plos o pr leer edids e ellos. 3. Ser cpz de costruir u polígoo seejte otro. 38

2 Rzó Proporció Proporciolidd Teore de Thles Proporciolidd etre segetos Costruccioes sds e proporciolidd de segetos Secció áure Figurs gooóics Seejz Escl Rzó de seejz ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. PROPORCIONLIDD Mgitud, ctidd y edid Rzó y proporció Proporciolidd direct e ivers PROPORCIONLIDD ENTRE SEGMENTOS Teore de Thles. Extesió de l proporciolidd Costrucció de l curt y l tercer proporciol Divisió de u segeto e prtes proporcioles otros segetos Costrucció de dos segetos coocid su su o su difereci y su rzó SEMEJNZ Figurs seejtes Criterios de seejz de triágulos Defiició y deterició de u seejz Costrucció de u figur seejte otr ESCLS Represetció de ojetos y espcios. Plos escl Utilizció de escls gráfics Costrucció de escls gráfics L PROPORCIÓN EN EL RTE Secció áure de u segeto El úero de oro Costrucció del segeto áureo Figurs goóics Rectágulos diáicos Descoposició róic

3 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS 1. Proporciolidd 1.1. Mgitud, ctidd y edid Hitulete se efectú coprcioes etre ojetos, persos,... que se expres edite frses coo: dre es ás lt que Diel, E este coche el coductor tiee yor águlo de visió que e quel, Mi sló es ás pequeño que el tuyo. E ests frses se copr gitudes: logitud, plitud y superficie. eudo es ecesrio expresrse co yor exctitud: Plo corre los 00 etros e 1 segudos, Cudo llegue l cruce, gire l derech e águlo recto, Es u prcel de 500 etros cudrdos. Se ifor sí sore l edid del eleeto geoétrico, e este cso u segeto, u águlo, u polígoo. lícese co detlle u edid cocret, por ejeplo: 750 o su equivlete 7 K c. L gitud que se ide es l logitud, y que el etro es su uidd de edid y se expres edite u úero rel, el que le correspode l coprr dich logitud co l uidd de edid. 1.. Rzó y proporció Rzó es el cociete de dos ctiddes de l is gitud y es, por tto, u úero si uiddes. L expresió l ltur del cuerpo huo es ocho veces l de l cez (co de Leordo d Vici), copr dos ctiddes de l is gitud edite su rzó. p c p c p/ c es u rzó p / c es u rzó p/ c = p / c es u proporció Ilustrció 1 E l Ilust. 1 prece dos persos cuys edids respode l co de Leordo. Etre ls edids de ltur de sus cuerpos p, p y de sus cezs c, c p p' podeos estlecer ls rzoes, que tiee el iso vlor 8. Pues ie, l c c' iguldd p c p = ' c ' recie el ore de proporció. 40

4 Proporció es l iguldd de dos rzoes y e ell p es el prier tério, c el segudo, p el tercero y c el curto. Se ll extreos de l proporció l prier y curto térios y edios l segudo y tercero Proporciolidd direct e ivers El ueto o disiució de u gitud puede estr relciodo co el de otr. E l Ilust. prece u urizció y detro de ell dos prcels, cuys áres so p, p e ls que se h costruido css que ocup e plt superficies c, c que so ls yores que les perite l or urístic que fij e /5 l ocupció áxi e plt. Se dice que el áre de ls prcels es directete proporciol l ocupd por l cs porque cuto yor es l prier yor es l segud y porque se p c puede estlecer l proporció =. p ' c ' E ls prcels p, p de u urizció, que tiee igul tño y distit for, está costruids css cuys plts so rectágulos distitos pero de igul áre. Coo sus áres so =, se oserv que cudo l fchd pricipl es yor l profudidd dee ser eor. c c c c p c p p p p Ilustrció Se dice que l logitud de l fchd pricipl es iversete proporciol l profudidd de l cs porque cuto eor es l prier yor es l segud y por que se puede estlecer l proporció. = E geerl, se dirá que dos gitudes M y M so directete proporcioles cudo etre sus ctiddes exist u correspodeci iuívoc tl que co dos culquier de M (, ) y otrs dos de M (, ) se pued forr l proporció: = 41

5 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS álogete dos gitudes M y M so iversete proporcioles cudo etre sus ctiddes exist u correspodeci iuívoc tl que co dos culquier de M (, ) y otrs dos de M (, ) se pued forr l proporció:. = 1 ' ' plicció L proporciolidd existete etre l plitud del águlo cetrl y l logitud del rco por el rcdo, perite edir este últio e fució de quel. Efectivete, se α, α dos águlos cetrles y c, c los rcos correspodietes, dich proporciolidd perite firr que α / α =c / c. Si se to los vlores del águlo copleto α = 360 y l circufereci c = πr, el vlor de u rco c que se desee edir se otedrá idiedo el águlo α y sustituyédolo e l proporció α/ 360º = c / πr de l que se otiee el vlor del rco: c = α (360 / πr) c α α r c plicció Costruir u rectágulo que teg igul áre que el de ldos, ddo, coocido uo de sus ldos. prtir del ldo del rectágulo ddo se trsport. Se trz l digol ED que cort l prologció del ldo e F. Se coplet el rectágulo EGF edite dos rcos de cetros E,F y rdios F, E. F G l prologr los ldos CD y D D se otiee el rectágulo uscdo. L seejz de los triágulos soredos perite estlecer C E l proporció ' ' =, o ie, que perite firr: ' ' Ls logitudes de los ldos de los rectágulos que tiee igul áre so iversete proporcioles. 4

6 . Proporciolidd etre segetos.1. Teore de Thles. Extesió de l proporciolidd El teore de Thles dice: l cortr dos rects culesquier por u siste de prlels, los segetos deteridos sore u de ells so proporcioles los deteridos sore l otr. sí e l Ilust. 3 podeos estlecer proporcioes del tipo = + '+, =. ' r t r Ilustrció 3 E l Ilust. 3 se puede trzr l prlel s l rect r, segú el detlle de l figur djut. plicdo el teore de Thles e ls rects r y t cortds por + ls prlels r y s, =. r r s t Expresió que coprd co l terior drá los segetos de prlels, los deteridos sore r ( +, ' + ' = ', es decir: iterceptdos etre r y r so proporcioles ) y sore r ( +, ). 43

7 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS.. Costrucció de l curt y l tercer proporciol E tod proporció etre segetos existe cutro térios ll priero, segudo, tercero y curto térios de l proporció:,, c, d que se c = d Pues ie, coocidos los tres segetos,, c (sí ordedos), se ll curto proporciol ellos l segeto d que verific dich proporció. Su costrucció es u plicció del teore de Thles. c O c C d D O d c D C Ilustrció 4 Se los segetos 4, izquierd),, c cuyo curto proporciol se dese costruir. (Ilust. Se trz dos rects cocurretes e el puto O. Sore u de ells, prtir de O, se trsport los segetos y cosecutivete y sore l otr rect, tié prtir de O, se trsport el segeto c. Se trz l rect C y su prlel D, oteiédose el segeto CD = d, curto proporciol de,, c. E l figur de l derech se diuj u costrucció siilr, e l que se trsport los segetos co orige coú. Tercero proporciol dos segetos y ddos (e este orde) es u segeto d que verific l proporció =. Su costrucció es l is que l de l d curt proporciol hciedo c = (Ilust. 5). 44

8 O C D d Ilustrció 5 plicció 9,8 c 15 c 9 c ,8 ESCL 1:10 x 1 c x Teeos u fotogrfí de 15 9 c c y deseos plirl, l áxio tño posile, e u ppel forto 4 (9,8 1 c c). Deeos ecotrr el rectágulo cuyos ldos, 9,8 c y x, so directete proporcioles ls edids de l fotogrfí. El ldo x se otiee costruyedo l curt proporciol de los segetos 15 c, 9 c, 9,8 c. plicció S El rectágulo de ldos, es u solr que el yutieto quiere expropir, ideizdo su dueño co otro de l is for y áre, resultdo de dividir u prcel uicipl lider de fodo. ESCL 1:1000 Los ldos, y, de los rectágulos equivletes (de igul áre) so iversete proporcioles, por tto =. ' ' sí, se otedrá el ldo coo curt proporciol los segetos,, (e este orde). 45

9 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS.3. Divisió de u segeto e prtes proporcioles otros segetos p p C p Ilustrció 6 Se el segeto que se dese dividir e prtes proporcioles los segetos,, p (Ilust. 6). Se trz u rect secte que pse por el puto y se trsport sore ell, cosecutivete prtir de, los segetos,, p. Se trz l rect C y sus prlels por los putos de divisió etre,, p, ls cules divide l segeto e tres prtes,, p proporcioles los segetos,, p..4. Costrucció de dos segetos coocid su su o su difereci y su rzó s / = 3 / = 3/ d 3q q 3q q q 3q C q 3q C q C d D s Ilustrció 7 46

10 Se s = + l su y = / l rzó de los segetos oteer, siedo u úero rel geérico. E l Ilust. 7 izquierd = 3. Se elige u segeto q culquier y se costruye 3 q. se trsport 3 q y q y que se dese Costruido = s cosecutivete, sore u seirrect co orige e el puto. Se trz por C l prlel que cort e el puto C y deteri los segetos C = y C = uscdos. Se d = l difereci y = / l rzó de los segetos uscdos. E l Ilust. 7 derech se to = 3/. Se elige u segeto q culquier y se costruye 3 q y q. Costruido = d se trsport 3 q y q y sore dos seirrects prlels co orige e los putos y. Se trz l rect C que cort l rect e el puto D y deteri los segetos D = y D = uscdos. 3. Seejz 3.1. Figurs seejtes Figurs seejtes so quells que, teiedo l is for, puede diferir e tño. Ls figurs seejtes de igul tño recie el ore de figurs cogruetes. E C C D E E D C D Ilustrció 8 Dos figurs so seejtes cudo los águlos correspodietes so igules y los segetos correspodietes so proporcioles. 47

11 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS Los polígoos de l Ilust. 8 so seejtes, y que los águlos iteriores de sus vértices correspodietes so igules y los segetos correspodietes so proporcioles. Los polígoos CDE y C D que tiee sus vértices ordedos e el iso setido so figurs seejtes directs. l cotrrio, los polígoos CDE y C D E so figurs seejtes iverss, pues sus vértices está ordedos e setido cotrrio. 3.. Criterios de seejz de triágulos Dos triágulos C y C será seejtes si sus tres ldos so proporcioles y si los águlos correspodietes so igules; si ergo, o es ecesrio que se cupl tods ls codicioes pr poderlo firr, sio us íis que recie el ore de criterios (Ilust. 9): Prier criterio: Dos triágulos so seejtes si tiee u águlo igul y proporcioles los ldos que lo for. Segudo criterio: Dos triágulos so seejtes si tiee igules dos águlos. Tercer criterio: Dos triágulos so seejtes si sus tres ldos so proporcioles. α C χ β c C Priero x α x c C x x c x Tercero α β Segudo C Ilustrció 9 Los criterios segudo y tercero perite firr que, pr que dos triágulos se seejtes, es suficiete que sus águlos se igules o sus ldos proporcioles. Lo iso puede firrse de ls figurs geoétrics e geerl y que culquier de ells puede ser dividid e triágulos, operció que se ll trigulció, icluso e el cso de que prezc rcos de circufereci, y que éstos qued deteridos edite tres putos. 48

12 e α β f φ E d ε g c δ χ C x x χ β δ x g α x f φ ε E x d x e C x c D D Ilustrció 10 Efectud u trigulció (Ilust. 10) de los petágoos CDE y C D E, y coprod l iguldd de todos los águlos correspodietes de cd triágulo, se puede firr que so seejtes, pues lo so cd uo de los triágulos e que se h dividido. álogete, se puede deducir su seejz, coprodo úicete l proporciolidd etre los ldos de dichos triágulos Defiició y deterició de u seejz U seejz es u correspodeci iuívoc etre putos del plo (y por tto, etre putos de dos figurs situds e él) estlecid de tl odo que: los águlos correspodietes so igules y los segetos correspodietes so proporcioles. D D D E C () Seejz ivers C () (1) E E C (1) Seejz direct Ilustrció 11 ició L seejz se ll direct si se coserv el setido de los putos de l figur (del plo) e ivers e el cso cotrrio. 49

13 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS L rzó costte etre segetos correspodietes (seejtes) se ll rzó de seejz. L seejz cuy rzó es l uidd es u cogrueci. U seejz está deterid ddo dos segetos orietdos y el tipo de seejz: direct o ivers. E l Ilust. 11 se reliz l costrucció de u petágoo C D E seejte l CDE ddo, co su digol e posició verticl. Se h deterido u seejz e el plo todo coo pr de segetos orietdos l digol D y su hoólog D colocd e l posició desed. El petágoo seejte será C D E si se trt de u seejz direct y C D E si es ivers Costrucció de u figur seejte otr Ls dos codicioes que dee cuplir ls figurs seejtes difereci los dos procediietos de costrucció de u figur seejte otr dd que se v trtr: el étodo de coordeds y el étodo de copi de águlos. E D S S E F D F C O P C O P Q R Q R r Ilustrció 1 Se el hexágoo CDEF cuy figur seejte direct se dese oteer por el étodo de coordeds, coocid l rzó de seejz /3 y situdo su ldo e l rect r (Ilust. 1). Se trz u siste de refereci e l figur origil, fordo por dos ejes perpediculres y líes de refereci (trzo discotiuo) que defi ls coordeds de todos sus putos. 50

14 Se trz u siste de refereci álogo, pero co su eje horizotl situdo e l rect r. Se deteri u uev coorded O ' '= 3 Ocoo curt proporciol de los segetos 3 u, O, u, dode u es u segeto culquier. Oteids ls uevs coordeds, se levt líes de refereci, cuys iterseccioes deteri los putos de l figur seejte. D D C E C E Ilustrció 13 Se el petágoo CDE cuy figur seejte direct se dese oteer por el étodo de copi de águlos. El ldo, hoólogo de, está deterido por su logitud, el águlo de 30º que for co l horizotl y l posició de (Ilust. 13). Costruido el águlo de 30º prtir de l seirrect horizotl de orige, se trsport, queddo deterido el ldo. Se trigul l figur origil. Se costruye el triágulo D copido los águlos D y D, oteiedo D e l itersecció de los ldos D y D de los águlos copidos. álogete se costruye los triágulos D C y D E, oteiedo los vértices C y E que coplet el petágoo seejte. 4. Escls 4.1. Represetció de ojetos y espcios. Plos escl L ecesidd de represetr e el ppel edificios, puetes, otñs y vlles, joys,... edite u procediieto que perit psr del espcio l plo, h ddo lugr los sistes de proyecció. Estos perite oteer iágees, que so proyeccioes sore u plo horizotl de dichos ojetos o espcios, tño rel. Excepto e lgú cso, ésts o tiee el tño decudo, por lo cul deeos relizr u figur seejte de yor o eor tño que se ll plo. 51

15 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS El plo es, pues, seejte l proyecció del ojeto, pero crece de u posició defiid respecto ell. l rzó de seejz etre el plo y l proyecció se le ll escl. Regl grdud e c c u Logitudes reles 1/3xu 0 1 ESCL 1: c Logitudes e el plo Ilustrció 14 Se, por ejeplo, u olígrfo que se quiere represetr (Ilust. 14). Se coloc el olígrfo co sus diesioes yores prlels l plo de proyecció, de odo que se ve l yor ctidd de detlles y se reliz l proyecció oteiedo u diujo de tño rel, es decir, escl 1/ 1. Si se dese oteer u figur seejte (diujr u plo) co rzó de seejz 1/ 3 (escl), se otedrá ls uevs edids de l proyecció del ojeto coo curt proporciol de los segetos u, cd edid rel, y 1/3 u, siedo u u segeto culquier. cotiució se diujrá l figur seejte co ls edids proporcioles oteids y teiedo los águlos igules. Es ás práctico oteer ls edids de l proyecció (del ojeto rel) edite u regl grdud e cetíetros, costruir u regl seejte ell co l is rzó (escl) del plo que se dese oteer y diujrlo idiedo co dich regl. Est regl se ll escl gráfic. 4.. Utilizció de escls gráfics L reducció 1:3 de l regl grdud oteid e el prtdo terior o es u verdder escl gráfic, si o l que figur e l Ilust. 15. E ell prece divisioes os ldos del orige 0. 5

16 1,7 c c Ilustrció 15 Se ll escl ls divisioes l derech de 0, iluids co úeros eteros cuys uiddes figur e l regl. Se ll cotrescl l divisió decil de u prte eter situd l izquierd de 0. Pr edir u logitud hceos coicidir u extreo de ést co u divisió eter de l escl, oteiedo l prte eter de l lectur co sus uiddes y se verigu co que divisió de l cotrescl coicide el otro extreo, ést será l prte decil de l lectur. E l Ilust. 16 se copr l escl gráfic 1:3 co u regl grdud: Se oserv que 1c de l regl grdud se correspode co 3 c de l escl gráfic, est es l rzó etre ls edids del diujo y l relidd, etre lo que relete ide cd divisió y lo que represet. Ls escls gráfics se costruye co divisioes deciles, sí pues, se puede ver que l divisió 10 c de l escl se correspode co 3,33 c de l regl grdud c 0 10 c 3,3 c ESCL 1:3 Medid rel Ilustrció 16 Por ello, si se dese costruir l escl 1: 3, se llevrá u segeto de 3,3 c cuyos extreos se iluirá co u 0 y u 10, escriiedo l ldo l uidd c. Est es l rzó diujo/relidd de l escl gráfic, hor se dee hcer opertiv l regl costruyedo l escl y l cotrescl, pr ello se utiliz l costrucció: divisió de u segeto e diez prtes igules. 53

17 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS 4.3. Costrucció de escls gráfics cotiució se detll los psos ecesrios pr costruir u escl gráfic, todo coo ejeplo l escl 1: 40 (Ilust. 17). 1º. Trzdo de l prier divisió eter de l escl. L rzó diujo/relidd (escl) se escrie coo 1/e (1: 40). E culquier cso, se elegirá el eor de los úeros 1, 10, 100, 1000 que se yor o igul que e (100 $ 40), este úe- 1 c x c 1 c x c ro será 10 K (10 ). De l proporció = K se e c 10 c = 40 c 10 c otiee l logitud rel x c (,5 c) de l prier divisió eter, cuyos extreos se iluirá co los úeros 0 y 10 K c (0 y 100 c). º. Elecció de l uidd de logitud de l escl. Se dee elegir etre ls uiddes ás coveietes y por tto etre los úeros 10 K c, 10 K -, 10 K - 5 K (elegios etre 10 c, 1, 10-3 K). Medid rel,5 c Ilustrció 17 3º. Costrucció de l escl y l cotrescl. L escl se costruye trsportdo segetos igules l prier divisió cotiució de ést (sudividiédolos si es decudo). Pr l cotrescl se trsport otro segeto igul (de,5 c), pero l izquierd del orige 0 y se divide e diez prtes igules. Tié puede dividirse l cotrescl e dos o cico prtes si sí resultr ás fácil de leer. E l tl djut se recoge los resultdos de cd uo de los tres psos pr l costrucció de vris escls gráfics y destcdos e egrit los de l 1:

18 Escl 1:e 10 k $ e x = 10 k /ec Logitud rel de l prier divisió eter de l escl 10 k c, 10 k -, 10 k - 5 k Núero y uidd de l prier divisió eter 10:1 (1:0,1) 1 10 c 1 c 5:1 (1:0,) 1 5 c 1 c :1 (1:0,5) 1 c 1 c 1:5 10 c 10 c 1: c 100 c ó 1 1:40 100,5 c 1 1: c 1 1: c 10 1: c 100 1: c 1 k 1: ,33 c 10 k 5. L proporció e el rte 5.1. Secció áure de u segeto Medio proporciol dos segetos y c ddos es u segeto que verific l proporció =. c Secció áure de u segeto es l divisió de éste e dos, tles que l prte yor es edi proporciol etre éste y l prte eor. L prte yor recie el ore de segeto áureo Ilustrció 18 E l Ilustrció 18 se h efectudo l divisió áure del segeto e otros dos y -, de odo que se cuple l proporció =. 55

19 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS Se puede crer otr rzó edite rest de uerdores y deoidores, de odo que = =, y e l proporció ford por los dos últios térios se oserv que l prte eor - es secció áure de l prte yor. Coo tié se puede tepoer rzoes edite su, se oserv e l secció áure efectud que: es prte áure de -. es prte áure de. - es prte áure de. 5.. El úero de oro E l Ilustrció 18, l ser prte áure de - + se tiee l proporció =, dividiedo el uerdor y deoidor del segudo iero etre será = x = + 1 x + 1. Hciedo = x se otiee l ecució x = cuy ríz positiv x es el lldo úero de oro Φ = 1, f g d e c L secció úre de l ltur del Prteó e y c, y ls sucesivs seccioes de ésts, so l edid de ls lturs de sus eleetos rquitectóicos. / = /c = c/d = d/e = e/f = f/g = Φ Ilustrció 19 El úero de oro está presete de er costte e ueross ifestcioes de l turlez y e ls rtes. E el Prteó, el teplo ás iportte de l Greci clásic, el úero de oro Φ es el ódulo que rige ls proporcioes (Ilust. 19). 56

20 E este diujo Leordo d Vici reliz u estudio de ls proporcioes del cuerpo huo prtir de los textos de Vitruvio, rquitecto de l tigu Ro. El cudrdo está cetrdo e los geitles y el círculo e el oligo. L rzó etre el ldo del cudrdo (ltur del hore) y el rdio del círculo (ltur del oligo) es el úero de oro Φ. Ilustrció 0 E ls esttus griegs clásics de l époc de Fidis, e los hores perfectete proporciodos y e los cáoes de Durero y de Leordo, el oligo divide su ltur segú l secció áure (Ilust. 0) Costrucció del segeto áureo + / / O Ilustrció 1 Se el segeto [Ilust. 1]. E su extreo se levt otro segeto perpediculr de igul logitud. Su editriz deteri el cetro O de l circufereci de diáetro, que es tgete e l segeto de prtid. L secte trzd desde que ps por O deteri, segeto áureo de, sí coo +, cuy prte áure es el segeto. 57

21 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS 5.4. Figurs goóics U goo es u figur que ñdid otr l trsfor e u seejte. E l Ilust. se recoge (e rojo) tres figurs susceptiles de creciieto o decreciieto cotiuo edite dicció o sustrcció de sus respectivos gooes: El rectágulo cuyo ódulo (rzó etre sus ldos) es tiee coo goó ditivo otro igul él y coo sustrctivo el oteido edite l prlel edi su ldo eor. Ilustrció El rectágulo cuyo ódulo es Φ recie el ore de áureo y tiee coo goó ditivo u cudrdo de ldo igul l yor del rectágulo. El goó sustrctivo es el cudrdo de ldo igul l eor del rectágulo áureo. El triágulo isósceles de águlo e el vértice 36º recie el ore de sulie y tiee coo goó ditivo otro triágulo isósceles de águlo e l se 36º e igul ldo. El goó sustrctivo es otro triágulo isósceles de águlo e l se 36º y se igul l ldo del sulie Rectágulos diáicos Rectágulos diáicos so quellos e los que l rzó etre el ldo yor y el eor (ódulo) es u úero icoesurle (irrciol) (Ilust. 3 derech). Se ll estáticos quellos rectágulos que tiee por ódulo u úero etero o frcciorio (Ilust. 3 izquierd). 58

22 1 4/3 3/ 3 4/ 4 5/ 5 Ilustrció 3 ició El cudrdo, coo el rectágulo 4, es l vez estático y diáico. Prtiedo del cudrdo, edite u rco de rdio su digol, se costruye el rectágulo de ódulo 3 ; edite otro rco, de rdio l digol del rectágulo 3, el de ódulo 4 y sí sucesivete. Ilustrció 4 59

23 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS Ls plts y lzdos de uchos edificios tiguos y oderos está fordos por coposicioes de rectágulos. E prticulr, los edificios egipcios y griegos del periodo clásico está diseñdos siguiedo trzdos que utiliz rectágulos diáicos y sus sudivisioes róics, que so figurs seejtes etre sí y/o l de prtid. l trtrse de úeros icoesurles los griegos reliz ests descoposicioes gráficete (Ilust. 4) Descoposició róic Se puede descopoer róicete u rectágulo trzdo ls digoles y sus perpediculres por los vértices, que so su vez, digoles de rectágulos seejtes l de prtid. U rectágulo puede descopoerse e rectágulos igules de este odo (Ilust. 5 derech). Ilustrció 5 U procediieto siilr se utiliz pr descopoer róicete el rectágulo CD de ódulo (Ilust. 5 izquierd). Se trz ls editrices de D y C y co cetro e los putos edios F, G dos seicircuferecis de diáetros D y C. Ls digoles C y D cort ls seicircuferecis e los putos H, I, J, K, que uidos de dos e dos for ls prlels que divide l rectágulo e 9 rectágulos seejtes de ódulo. Se puede descopoer róicete u rectágulo trzdo desde los vértices de u iso ldo dos perpediculres cuyos extreos coprt u puto del ldo opuesto, que so su vez, digoles de rectágulos seejtes etre sí (Ilust. 6). D G C K J H I F Módulo 5 Ilustrció 6 60

24 Se el rectágulo CD de ódulo 5 (Ilust. 6) Se trz ls editrices de y CD y co cetro e los putos edios F, G dos seicircuferecis de diáetros y CD. Los ldos y CD cort ls seicircuferecis e los putos H, I, J, K, que defie u cudrdo. Los rectágulos HKD y HCK so áureos. Recuerd U U U U U U U U U U U U Rzó es el cociete de dos ctiddes de l is gitud y por tto, u úero si uiddes. Rzó de dos segetos es el cociete de sus logitudes. Medid de u ctidd es l rzó etre ést y l uidd de edid de l gitud cosiderd. Medid de u segeto es l rzó etre su logitud y l de otro segeto todo coo uidd. Proporció es l iguldd de dos rzoes. Los segetos iterceptdos sore dos rects sectes por u serie de rects prlels so proporcioles (Thles). Curto proporciol tres segetos,, c, es u segeto d que verific l proporció: / = c / d. Tercero proporciol dos segetos,, es u segeto d que verific l proporció: / = / d. U seejz es u correspodeci iuívoc etre putos del plo tl que los águlos correspodietes so igules y los segetos correspodietes so proporcioles. Rzó de seejz es l rzó etre los segetos correspodietes de dos figurs seejtes. Escl es l rzó de seejz etre ls proyeccioes de ojetos sore el plo y sus diujos reducidos ó plidos. Secció áure de u segeto es l divisió de éste e dos, tles que l prte yor es edi proporciol etre éste y l prte eor. 61

25 UNIDD PROPORCIONLIDD Y SEMEJNZ. ESCLS ctividdes 1. Oteer el segeto curt proporciol de los segetos,, c. c. L figur de yor tño es l proyecció de u lfiler de cez redod, l otr figur es u diujo reducido escl de dich proyecció. verigur l escl epled. 3. Deterir gráficete los ldos,, c, de u triágulo, coociedo su períetro p = + + c y siedo que es seejte l triágulo de ldos,, c. c p 4. Diujr l escl gráfic 1: Costruir dos segetos y cuy su se el segeto s y cuy rzó 3 =. 4 6

26 C 6. Defiid u seejz direct edite el segeto y su seejte, costruir el cudrilátero C D seejte l CD. D 7. Costruir el rectágulo de ódulo 5 cuyo ldo eor es el segeto y descopoerlo róicete e 5 rectágulos igules, co regl y copás. 63