Análisis de decisiones. Conceptos generales y Teorema de Bayes

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1 Clse # 21 Aálisis de decisioes. Coceptos geerles y Teorem de Byes Todos los dís ls persos os vemos efretds iumerbles situcioes e ls cules debemos tomr determids decisioes y seguir cursos de cció. Los procesos de tom de decisioes los podemos clsificr priciplmete e: Diseño: Adrés Gómez 21-1 Decisioes bjo certidumbre Decisioes bjo icertidumbre Diseño: Adrés Gómez 21-2 Ates de explicr e que se difereci los dos procesos de toms de decisioes es importte clrr que es u decisió y que psos se sigue cudo est se tom: Psos: 1. Defiició del problem. 2. Recolecció de dtos sobre el problem. 3. Pltemieto de u modelo. Decisió: El proceso de elegir l solució pr u problem supoiedo que existe vris ltertivs. 4. Obteció de solucioes utilizdo el modelo. 5. Selecció de l mejor de ls solucioes Diseño: Adrés Gómez 21-3 Diseño: Adrés Gómez 21-4 decisioes bjo certidumbre decisioes bjo icertidumbre Los prámetros so costtes coocids y cierts Detro de estos modelos ecotrmos l Progrmció liel Los prámetros vrí co el tiempo y obedece procesos estocásticos Los procesos de tom de decisioes bjo icertidumbre será los que lizremos e est prte del curso, y os efocremos priciplmete e el corto plzo, e el cul tedremos que preocupros de tomr quizá solo u decisió E los procesos de tom de decisioes bjo icertidumbre es posible dismiuir l meciod icertidumbre co el uso de lgus pruebs. Diseño: Adrés Gómez 21-5 Diseño: Adrés Gómez

2 Decisioes bjo icertidumbre decisioes si No se dispoe de dtos previos. Ls circustcis vrí costtemete. L decisió o se tom e form repetid decisioes si decisioes co decisioes co Se dispoe de dtos previos. Ls circustcis o vrí costtemete. L decisió se tom e form repetid Diseño: Adrés Gómez 21-7 Diseño: Adrés Gómez 21-8 decisioes si decisioes co Los modelos de tom de decisioes utiliz lguos coceptos de l estdístic. Por ello es ecesrio que recordemos lguos de estos coceptos, y e especil el Teorem de Byes. Se E u experimeto que se repite veces A : # de veces que se d el eveto A. L tiee u costo Utilizr l co el fi de reducir l icertidumbre o tomr l decisió si usr igu de ests pruebs? Diseño: Adrés Gómez 21-9 B : # de veces que se d el eveto B. A B : # de veces que se d el eveto A B Diseño: Adrés Gómez A : Frecueci reltiv de A Cudo A B A P ( B A B A B A B A : Frecueci reltiv de B : Frecueci reltiv de A B : Frecueci reltiv o codiciol de B ddo que se dio A Diseño: Adrés Gómez Etoces A B = A P ( B A P ( A B P ( A = P ( A B P ( A Diseño: Adrés Gómez

3 Ejemplo. Se E u experimeto cosistete e tirr u ddo. Defimos los evetos: A: Que prezc u úmero pr. B: Que prezc el úmero dos. P ( A B = 1/6 P ( A = 1/2 P(B A? P ( B A = 1/6 = 1/3 1/2 Defiició Los evetos B 1, B 2,..., B k, se dice que so u prtició del espcio muestrl S si se cumple: B i B j = (pr i j k B i = S i=1 P (B i > 0 Diseño: Adrés Gómez Diseño: Adrés Gómez Gráficmete se puede ver el espcio muestrl S como l prtició de B 1, B 2,..., B k Se A= A ( B 1, B 2,..., B k A= (A B 1 (A B 2... (A B k B 1 B 6 B 8 B 1 B 6 B 8 B 4 B 4 B 2 B 2 A B 5 B 7 B 5 B 7 B 3 B 3 Diseño: Adrés Gómez Diseño: Adrés Gómez Propiedd Los evetos (A B 1 so mutumete excluyetes por prejs. Teorem de Byes P(A= P(A B 1 +P(A B P(A B k Teorem de l probbilidd totl = P ( A B i P ( B i A = P (A B i P (B i k P ( A S P (A B i P (B i i=1 P(A= P(A B 1 P(B 1 +P(A B 2 P(B P (A B k P(B k Diseño: Adrés Gómez Diseño: Adrés Gómez

4 Ejemplo. E u plt de producció se tiee 3 máquis que produce u mismo rtículo. Ls máquis 2 y 3 produce l mism velocidd, mietrs que l máqui 1 tiee u velocidd de producció igul l de l 2 y 3 juts. Además ls máquis produce u determido úmero de rtículos defectuosos. Los porcetjes de rtículos defectuosos por máqui so: Diseño: Adrés Gómez % de rtículos defectuosos M1 2 % % de rtículos defectuosos M2 2 % % de rtículos defectuosos M3 4 % Se recoge l producció de u dí y se escoge u rtículo l zr. Cul es l probbilidd de que se defectuoso? Diseño: Adrés Gómez Defimos los siguietes evetos: B 1 : Artículo producido e l máqui 1. B 2 : Artículo producido e l máqui 2. B 3 : Artículo producido e l máqui 3. P (A B 1 = 0.02 P (A B 2 = 0.02 P (A B 3 = 0.04 P(A= P(A B 1 P(B 1 +P(A B 2 P(B P (A B k P(B k A : Artículo defectuoso. P(A= 0.02* * * 1 4 P(A= P (B 1 = 1 2 P (B 2 = 1 4 P (B 3 = 1 4 Diseño: Adrés Gómez L probbilidd de que u rtículo se defectuoso es Diseño: Adrés Gómez Si tomo u rtículo l zr y result defectuoso, que probbilidd tiee de veir de l máqui 1? P ( B 1 A = 0.02* * * * 1 4 Esto es = P ( A B 1 P ( B 1 A = P (A B 1 P (B 1 k P ( A S P (A B i P (B i i=1 P(B 1 A= 0.4 L probbilidd de que u rtículo defectuoso veg de l máqui 1 es 0.4, o l máqui 1 produce el 40% de los rtículos defectuosos de l plt Diseño: Adrés Gómez Diseño: Adrés Gómez

5 Termiologí. Acció ( : Altertiv elegid por el tomdor de decisioes del cojuto que cotiee tods ls ltertivs fctibles bjo cosiderció pr ls distits forms de proceder del problem e cuestió. Pgo {p(,q} : Medid cutittiv del vlor de ls cosecuecis del resultdo pr el tomdor de decisioes. Por ejemplo muchs veces el pgo se represet por l gci moetri et (utilidd, uque tmbié se puede usr otrs medids. Estdo de l turlez (q : Cd u de ls situcioes posibles e que se ecotrrá el tomdor de decisioes y está determido por efectos letorios. p(,q Pgo l tomr l cció cudo el estdo de l turlez es q Diseño: Adrés Gómez Diseño: Adrés Gómez E geerl, se us u tbl de pgos pr dr p(,q pr cd combició de y q 1 2 m q q 1 q 2 q p( 1,q 1 p( 2,q 1 p( m,q 1 p( 1,q 2 p( 2,q 2 p( m,q 2 p( 1,q p( 2,q p( m,q Diseño: Adrés Gómez Ejemplo. L GOFERBROKE COMPANY es dueñ de uos terreos dode puede hber petróleo. Segú u geólogo l probbilidd que exist petróleo e estos terreos es 1/4. L compñí puede o bie perforr o veder los terreos otr compñí petroler por $90000 idepedietemete de que hy o o petróleo. Si l compñí decide perforr y existe petróleo grá $ Pero si o hy petróleo perderá $ Vemos Diseño: Adrés Gómez q Perforr Petróleo $ Seco -$ Ejemplo. Los priciples clietes de l pizzerí Comii so los estudites que vive e ls residecis de l Uiversidd Nciol. Veder $90000 $90000 Probbilidd Dd est tbl de pgos, el tomdor de decisioes eligirá u cció. Más delte se verá los criterios pr l tom de decisioes si. Diseño: Adrés Gómez Existe l probbilidd que estos estudites se mude uos prtmetos que v rredr l uiversidd o que fctiblemete se trslde los uevos prtmetos que se está costruyedo. Ate l posibilidd de l mudz, l pizzerí h cosiderdo l opció de trsldrse otro lugr Diseño: Adrés Gómez

6 Actulmete l pizzerí está ubicd cerc l puete de crbieros. Ls opcioes de trsldo que tiee los dueños de l pizzerí so ubicrse e l crrer 65 o bie trsldrse l veid Colombi. Trsldrse l crrer 65 serí l opció más decud ddo que los estudites se mudr los prtmetos que l uiversidd pies rredr. Por otro ldo trsldrse l clle Colombi serí lo mejor si los estudites se mudr los prtmetos e costrucció. Vemos Diseño: Adrés Gómez P i z z e r í No trsldrse Cr 65 q Clle Colombi Probbilidd Estudites No Arredr Costruir mudz Aprtmetos Aprtmetos Como e el ejemplo de l petroler, cá el tomdor de decisioes deberá elegir u cció y de llí tedrá u pgo segú el estdo de l turlez /3 1/3 1/3 Diseño: Adrés Gómez