MATEMÁTICAS: 4ºB ESO Capítulo 7: TRIGONOMETRÍA

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1 MATEMÁTICAS: 4ºB ESO Cpítul 7: TRIGONOMETRÍA Autrs: Mª Fernnd Rms Rdríguez y Mª Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Mª Milgrs Lts y Fernnd Rms

2 17 Trignmetrí. 4ºB de ESO Índie 1. SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS 1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL 1.. SISTEMA INTERNACIONAL. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS DE UN ÁNGULO AGUDO.. RELACIONES FUNDAMENTALES... OTRAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. OTRAS RELACIONES.4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0 O, 45 O Y 60 O..5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS..6. APLICACIONES DE LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS AL CÁLCULO DE DISTANCIAS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.1. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA. CUADRANTES... RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE. 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA 4.1. TEOREMA DE LOS SENOS. 4.. TEOREMA DE LOS COSENOS. 4.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA. Resumen Etimlógimente trignmetrí signifi mediión de triánguls. Su jetiv es estleer ls relines mtemátis entre ls medids de ls lds de un triángul n ls mplitudes de sus ánguls, de mner que resulte psile lulr ls uns medinte ls trs. Ls primers esrits relinds n ell que preen en l histri se remntn l ép ilóni de l que se nservn uns tlills n mediines de lds y ánguls de triánguls retánguls. L trignmetrí se pli desde sus rígenes en grimensur, nvegión y strnmí y que permite lulr distnis que es impsile tener pr mediión diret. Tlill ilóni. Muse Pérgm de Berlín En este pítul estudirás ls primers definiines trignmétris y nerás lguns de sus pliines. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

3 174 Trignmetrí. 4ºB de ESO 1. SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS 1.1. Sistem sexgesiml Rerdrás que en el sistem sexgesiml de medid de ánguls, l unidd es el grd sexgesiml que se define m l tresients sesentev prte de un ángul mplet. Tiene ds divisres que sn el minut que es l sesentev prte de un grd y el segund que es l sesentev prte de un minut. Reuerd l ntión que se emple en este sistem: 1 = 1 grd sexgesiml; 1 = 1 minut sexgesiml; 1 = 1 segund sexgesiml. Cm nseueni de l definiión: 1.. Sistem interninl 1 ángul mplet = 60 ; 1 = 60 ; 1 = 60. En el sistem interninl, l unidd de medid de ánguls es el rdián. El rdián es un ángul tl que ulquier r que se le sie mide extmente l mism que el rdi utilizd pr trzrl. Se dent pr rd. A un ángul mplet le rrespnde un r de lngitud R, un rdián un r de lngitud R, entnes: πr Nº de rdines de un ángul mplet = π rd R Y l relión n el sistem sexgesiml l tenems prtir del ángul mplet: 1 ángul mplet = 60 = rd 1 ángul lln = 180 = rd Pr est relión se tiene que 1 rd 57, Atividdes prpuests 1. Expres en rdines ls siguientes medids: 45, 150, 10, 15.. Expres en grds sexgesimles: Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí π π π, y rdines Ds ánguls de un triángul miden respetivmente 40 y π rdines. Clul en rdines l que mide el terer ángul. 5π 4. Un ángul de un triángul isóseles mide rdines. Clul en rdines l medid de ls trs 6 ds. 5. Diuj un triángul retángul isóseles y expres en rdines l medid de d un de sus ánguls. Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

4 175 Trignmetrí. 4ºB de ESO. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.1. Rznes trignmétris direts de un ángul gud Empeems pr nsiderr un ángul gud ulquier, utilizrems un letr grieg (lf) pr dentrl. Es siempre psile nstruir un triángul retángul de md que se un de sus ánguls. Δ Se ABC un de ests triánguls y situems en el vértie B, el ángul. Se definen ls rznes trignmétris direts del ángul : sen, sen y tngente m: sen de α sen α sen B s en de α s α s B tngentede α tnα tnb tet puest hiptenus tet dyente hiptenus tet puest tet dyente Tmién se utilizn ls expresines tg y tg m símls de l tngente de. Est definiión n depende del triángul elegid. Vms demstrrl. Pr ell nsiderems tr triángul retángul AB Δ C n en el vértie B. Según el segund riteri de semejnz de triánguls ABC y A B sn semejntes prque tienen ds ánguls igules 90 y. Pr l tnt ls lds de ms sn prprinles: Atividdes resuelts Δ Δ C el sen es independie nte del el sen es independie nte del l tngente es independie nte del triángul en que se mide triángul en que se mide triángul en que se mide Clul ls rznes trignmétris de ls ánguls guds de un triángul retángul tets miden = 0 m y = 40 m. Δ ABC uys Clulms en primer lugr el vlr de l hiptenus = = m sen B 0, 6 ; s B 0, 8 ; tg B 0, sen C 0, 8 ; s C 0, 6 ; tg C A menud se nmrn ls ánguls de un triángul n l mism letr myúsul que el vértie rrespndiente. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

5 176 Trignmetrí. 4ºB de ESO.. Relines fundmentles Si nems un de ls rznes trignmétris del ángul, es psile lulr ls rznes trignmétris restntes, gris ls ds relines trignmétris fundmentles siguientes: PRIMERA RELACIÓN FUNDAMENTAL: sen s 1 que tmién verás esrit m sen s 1 dd que ls ptenis de ls rznes trignmétris suelen esriirse n su expnente sre l ultim letr de su ntión y ntinuión el nmre del ángul L demstrión es senill. Vlvms l triángul iniil del párrf nterir: Pr el terem de Pitágrs Dividms ms miemrs entre : sen 1 1 s SEGUNDA RELACIÓN FUNDAMENTAL: En el mism triángul nterir: Atividdes resuelts sen s sen tn s sen : tn. s Siend que es un ángul gud, lul ls restntes rznes trignmétris de en ls 1 ss siguientes: ) sen α ) tn α 5 ) sen s 1 1 s 1 5 s sen tn :. s s Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

6 177 Trignmetrí. 4ºB de ESO ) sen s 1 sen s sen tn sen s s s s s s 1 10 s 1 10 sen α Otrs rznes trignmétris. Otrs relines Otrs rznes trignmétris de un ángul sn l sente, l sente y l tngente de y sus ntines sn se, se, tn. 1 se ; sen 1 se ; s 1 tn. tn Cn su definiión, preen nuevs identiddes trignmétris, entre ls que destn: ) sen α. se α 1 ; s α. se α 1 ; tn α. tn α 1. ) se α 1 tn α ) se α 1 tn α L primer de ells es evidente pr definiión. L segund y l terer tienen un demstrión muy preid pr l que enntrrás sl un de ls ds y l tr m tividd prpuest Demstrión ): A prtir de sen s 1, dividims ms miemrs entre s : sen s s 1 tn 1 se. s s Atividdes prpuests 1 6. Siend que sα, lul ls rznes trignmétris sente, sente y tngente de. 7. Si tn =, lul ls in rznes trignmétris del ángul. 8. Demuestr que se 1 tn Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

7 178 Trignmetrí. 4ºB de ESO.4. Rznes trignmétris de 0, 45 y 60. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0 Y 60 Cnsiderms un triángul equiláter de ld L Trzms l ltur rrespndiente l ld sre el que se py. Cn ell qued dividid en ds triánguls retánguls igules uys ánguls miden 90, 0 y 60. Además l hiptenus mide L y un de sus tets L/. Pr el terem de Pitágrs pdems tener el que ns flt: h L L L L L 4 L 4 Clulms ls rznes trignmétris de 0 y 60 en el triángul h L L sen 60 : L L L s60 L : L L L 1 Δ ABH : L L sen0 : L L s 0 h L L : 1 L L L L h L L tg 60 h: : L L L RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45 L L L L 1 tg 0 : h : L Ahr vms trjr n un triángul retángul isóseles. Pngms que ls ds tets tienen un lngitud L. Utilizms de nuev el terem de Pitágrs y tenems el vlr de l hiptenus x en funión de L: x L L L L Ahr pdems lulr y ls rznes trignmétris de 45 L L 1 sen 45 : x L s 45 L x L L : 1 tg 45 L 1 L Sen Csen Tngente 0 1/ / / 45 / / 1 60 / 1/ Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

8 179 Trignmetrí. 4ºB de ESO.5. Resluión de triánguls retánguls. Reslver un triángul es lulr ls mplitudes de ls tres ánguls y ls lngitudes de ls tres lds. En el s de que el triángul se retángul pdems nsiderr tres ss dependiend de ls hipótesis dts iniiles. En d un de ells existen vris frms de tener l sluión. Vms desriir un en d s: Primer s: Se nen un ángul B y l hiptenus : Cm A = 90 C = 90 B Ahr prtir de ls rznes trignmétris de B C, tenems ls lds que ns fltn. Tmién e utilizr el terem de Pitágrs und nzms un de ls ds tets. senb sen B s B s B Segund s: Se nen un ángul B y un tet : Cm A = 90 C = 90 B Tmién en este s ls rznes trignmétris de B C sirven pr tener l mens un de ls lds y puede utilizrse el terem de Pitágrs und hllems el vlr de un ld más. Un frm de resluión es: tg B tg B sen B sen B Terer s: Se nen ds lds: En este s utilizrems en primer lugr el terem de Pitágrs pr lulr el terer ld, tnt si el que flt es un tet m si es l hiptenus. Siguiend n el triángul de l figur: Pr tener el primer de ls ánguls guds, lulrems en primer lugr un de sus rznes trignmétris, pr ejempl sen B y pr ner el vlr del ángul, despejms esriiend: B r sen, que signifi ángul uy sen es B y que se tiene n l luldr tivnd el mnd sin 1 l que nseguirems n l seueni Análgmente, si prtims de s B ien tg B. el ángul B es B r s B r tn que tendrems n ls seuenis ien. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

9 180 Trignmetrí. 4ºB de ESO Atividdes resuelts Reslver el triángul ABC n ángul ret en A en ls ds ss siguientes: ) B 4 y l hiptenus = 1 m. ) Ls tets miden 1 dm y 5 dm. ) Cálul de ls ánguls: A 90 ; B 4 ; C Cálul de ls lds: sen 4 1 sen 4 8,0 m. 1 s 4 1s 4 8,9 m. 1 ) Cálul de l hiptenus: = = = dm Cálul de ls ánguls: A 90 1 ; B r tn ; C = Apliines de l resluión de triánguls retánguls l álul de distnis Resluión de triánguls retánguls L resluión de triánguls retánguls puede plirse diretmente en lguns ss l álul de distnis. Atividdes resuelts Clulr l ltur de un árl siend que determin un smr de,5 metrs und ls rys de sl frmn un ángul de 0 n el suel. L rzón trignmétri de 0 que relin el ld nid y el que ns piden es l tngente: tn 0 h,5 h,5 tn0,5.,0 m. Téni de l dle servión Se utiliz pr lulr lturs de jets ls que result difíil llegr m pr ejempl, edifiis, mntñs, jets en el extrem puest de un lle, et. Preisms de un instrument pr medir ánguls. Hitulmente se utiliz el llmd tedlit. L téni nsiste en tmr l medid del ángul que frm un visul dirigid l punt más lt del jet medir n l hrizntl, desde ds punts distints y situds un distni nid pr nstrs. Apreen entnes ds triánguls retánguls n un ld mún que es l ltur medir. Es psile plnter un sistem de euines en uy plntemient es lve l definiión de ls rznes trignmétris de un ángul gud. Vems lguns ejempls: Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

10 181 Trignmetrí. 4ºB de ESO Atividdes resuelts Ds persns, seprds 0 metrs ven un heliópter. L persn situd en A dirige un visul l se del mism que frm n el suel un ángul de 0º. Tmién l persn situd en B dirige su vist l mism punt teniend un ángul de 60º. A qué ltur vuel el heliópter? Se h est ltur. Ls visules y el suel determinn ds Δ Δ triánguls retánguls AHC y BHC en ls que: AC + CB = 0 CB = 0 AC y si hems AC = x h tn 0 º h x tn 0º x x tn h º 0 x 60 h 0 x tn 60º 0 x x, 5 m. Sustituyend, llegms l sluión h x. 1 m 4 En un vije de lumns de 4º de E.S.O. Lndres, lguns de ls vijers hiiern prátis de trignmetrí. (Y ses, siempre hy un tedlit mn). Al ner que ls trres de l Adí de Westminster tienen 0 metrs de ltur, deidiern prvehr sus nimients pr lulr l ltur de l nid trre Big Ben. Desde un punt intermedi entre ms edifiis se divis el punt más lt de l Adí n ángul de 60º, y el Big Ben n un ángul de 45º. Si l distni entre ls ses de ls trres de ls ds edifiis es de 50 metrs, uál fue el resultd de sus áluls?, qué distni se enntr de d edifii? (Nt: Ls dts sn ttlmente fitiis) En el triángul izquierd determind pr l Adí: tn 60º x 10 m x tn 60 En el triángul que determin el Big Ben: h 45º tn h tn 45 x 0 x 0 m x x = 0 x. 4x = x h h m, 7 m Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

11 18 Trignmetrí. 4ºB de ESO. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.1. Cirunfereni trignmétri. Cudrntes Se llm irunfereni trignmétri gnimétri un irunfereni de rdi unidd entrd en el rigen de rdends. Es psile representr ulquier ángul en l irunfereni trignmétri. Pr ell siempre se tm un ld fij que es l semirret definid pr l prte psitiv del eje de siss; el segund ld es l semirret vrile que rrespnd según su medid. El sentid de un ángul se mide de OX + l semirret vrile que determin su mplitud. Se entiende que pr un ángul negtiv inide n el de ls gujs de un relj nlógi y pr un ángul psitiv, el ntrri. L irunfereni trignmétri divide l pln en utr regines que se denminn udrntes. PRIMER CUADRANTE SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE.. Rznes trignmétris de un ángul ulquier L semirret vrile que define un ángul en l irunfereni trignmétri es lve pr l definiión de un ángul ulquier. Dih semirret rt l irunfereni en un punt P x α, y α prtir del que se define: sen y y x x y ; s x ; R 1 R 1 y tg. x Se nserv l definiión pr ánguls guds que sn ánguls del primer udrnte y se mplí ánguls de ulquier sign y mplitud. y α P R= 1 x α Además, est definiión permite tener un representión gemétri del sen y el sen de un ángul que inide n ls segments y, x, rdend y sis del punt P. Ls rets tngentes l irunfereni gnimétri en ls punts 1, 0y 0, 1 prprinn tmién representines gemétris de l tngente y tngente que sn ls segments determinds pr ests tngentes gemétris, el eje OX y l semirret rrespndiente d ángul Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

12 18 Trignmetrí. 4ºB de ESO.. Reduión l primer udrnte Ls ánguls de ls udrntes segund, terer urt pueden relinrse n ánguls guds que pdems situr en el primer udrnte y que tienen rznes trignmétris n ls misms vlres sluts que ls ánguls iniiles. Ests relines permiten tener ls rznes trignmétris de ulquier ángul en funión de un del primer udrnte. En d s lulrems l mplitud de l zn smred. Dees pensr que ls ánguls de ests udrntes n siempre sn psitivs ni tienen un vlr slut menr que 60. Oserv que, si su vlr slut es myr que 60, equivle l númer de vuelts que te indique el iente enter de l división de entre 60 más el rest de l división. En ls ss en ls que deseems tener qué ánguls rrespnden un rzón trignmétri dd, result espeilmente imprtnte y que, unque hgms us de l luldr, ést ns devlverá un úni vlr y, sin El sign de un ángul depende sl de l frm de rerrerl (medid desde l prte psitiv del eje OX hi l semirret que l define). emrg, existen infinits ánguls sluión de este prlem. Gris l que desriirems en este epígrfe, pdrems enntrrls sin difiultd. Pr her más ómd l expliión nsiderrems que prtir de P se miden ls rznes Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

13 184 Trignmetrí. 4ºB de ESO trignmétris del ángul y prtir de P ls del ángul ANGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE Cnstruims ls triánguls retánguls OPA y OP A igules de frm que l hiptenus se en ms ss el rdi de l irunfereni gnimétri y demás = ángul AOP = ángul A OP sen AP A P sen P A O P A s AO A O s Y dividiend miemr miemr, tenems tn ANGULOS DEL TERCER CUADRANTE sen s sen tn s Tmién en este s ls triánguls retánguls OPA y OP A sn igules. Su hiptenus es el rdi de l irunfereni gnimétri y sus tets ls segments determinds pr ls rdends de ls punts P y P. L nstruión se reliz demás de md que = ángul AOP = ángul A OP sen AP A P sen s AO A O s Y dividiend miemr miemr, tenems tn ANGULOS DEL CUARTO CUADRANTE sen s sen tn s Pr últim nstruims ls triánguls retánguls OPA y OP A igules de md nálg l desrit en ls ds ss nterires, servnd que, en este s A = A. sen AP AP sen s AO s en ms ss Y dividiend miemr miemr, tenems: tn sen s sen tn s Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

14 185 Trignmetrí. 4ºB de ESO Atividdes prpuests 9. Sitú en el udrnte que rrespnd y expres en funión de un ángul gud, el sen, sen y tngente de ls siguientes ánguls: Ángul udrnte sen sen tngente Utiliz l luldr y l prendid en este epígrfe pr enntrr tds ls ánguls psitivs menres que 60 uy sen es de 0, Ídem tds ls ánguls negtivs menres en vlr slut que 60 uy tngente vle. 1. Ídem tds ls ánguls mprendids entre 60 y 70 uy sen vle 0,5. ANGULOS DETERMINADOS POR LOS SEMIEJES. Ls ánguls 0 60 n; n ; n ; n están determinds pr semiejes de rdends y sus rznes trignmétris se miden prtir de punts de ls ejes. Ests punts sn, respetivmente P 1 1, 0, P 0,1, P 1, 0 y P 4 0, 1 n l que se tiene n filidd: sen sen sen sen 0 60 n 0; s 60 n n 1; s 0 1; tn 0 60 n n 0; tn 60 n n 0; s 60 n n 1; s 90 n existe 180 1; tn n n 0; tn 60 n. 70 n existe Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

15 186 Trignmetrí. 4ºB de ESO 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Ls definiines de sen, sen y tngente que hems plid en triánguls retánguls n se pueden plir en triánguls n retánguls. Pr reslver triánguls n retánguls se plin ds terems muy imprtntes en trignmetrí: el terem de ls sens y terem de ls sens Terem de ls sens El terem de ls sens firm que en td triángul se umple que ls lds sn prprinles ls sens de ls ánguls puests. Es deir, sen  senbˆ senĉ Cnsiderems el triángul ABC y trems ds lturs ulesquier h y h que dividen l triángul n retángul en ds triánguls retánguls. B h h B A C A C Aplind l definiión de sen ls triánguls en ls que interviene h: Pr tnt: h sen  h = sen  h sen Ĉ h = sen Ĉ sen  = sen Ĉ sen  senĉ Aplind l definiión de sen ls triánguls en ls que interviene h : Pr tnt: senbˆ = sen Ĉ senbˆ senĉ h' senbˆ h' senbˆ h' sen Ĉ h' sen Ĉ Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

16 187 Trignmetrí. 4ºB de ESO Entnes, se dedue que: sen  senbˆ senĉ Nts Si el triángul es tusángul, un rznmient nálg ns llev ls misms fórmuls. Pdems reslver fáilmente triánguls utiliznd el terem de ls sens si nems: ) ds ánguls (es deir, tres ánguls) y un ld ) ds lds y el ángul puest un de ells. Atividdes resuelts Reslver el siguiente triángul B = 0º, = 4 m y = 5 m.: Cnems ds lds y el ángul puest un de ells,. 4 5 sen  senbˆ sen  sen0º 4 ( 1 / ) sen  0' 4. 5 Pr tnt:  = rsen 0,4 =,58 El ángul Ĉ = 180 ( ) 16,4. Pr lulr el ld vlvems plir el terem de ls sens: senbˆ senĉ 5 sen0º sen16' 4º 5 sen 16, 4º Entnes: 8, 1 m. sen0º 4.. Terem de ls sens El terem de ls sens firm que en un triángul Δ ABC ulquier se umple que: s A s B s C El próxim ñ estudirás l demstrión de este terem. De mment sl verems lguns de sus pliines. Nts Si te fijs, el terem de ls sens es un generlizión del terem de Pitágrs. Es deir, und el triángul es retángul, el terem de ls sens y el terem de Pitágrs es l mism. Pdems utilizr el terem de ls sens si en un triángul nems: ) ls tres lds, Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

17 197 Trignmetrí. 4ºB de ESO ) ds lds y el ángul puest un de ells ) ds lds y el ángul que frmn. Atividdes resuelts Reslver el siguiente triángul del que nems B = 108º, = 700 m y = 100 m: sbˆ lueg s108 = 1564,97 m. Cn, y nids, lulms el ángul C: , 97 sĉ sĉ 0, 9 Ĉ = 5, ' 97 El ángul Ĉ tmién se pdrí lulr utiliznd el terem de ls sens. Pr lulr  :  = 180 ( ,18 ) = Atividdes prpuests 1. Clul l lngitud del ld de un triángul, siend que C = 5º, = 7 m y = 4 m. 14. Clul ls ánguls del triángul de lds: = 6, = 8 y = Resluión de triánguls ulesquier Ls herrmients ásis pr reslver triánguls ulesquier sn ls terems de ls sens y ls sens vists nterirmente. El próxim urs se mplirá revemente l resluión de ests triánguls, estudind ss en ls que n existirá sluión ss en ls que hy ds sluines. Tmién se plnterán prlems de álul de distnis entre punts inesiles. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

18 198 Trignmetrí. 4ºB de ESO CURIOSIDADES. REVISTA NUESTROS SENTIDOS NOS ENGAÑAN? L ft muestr un trm de rreter hi el hriznte. Tds ls línes sn rets, l ftgrfí n engñ, per nuestrs sentids, sí. Según nuestr perepión, ests línes se rtn en el punt del hriznte, unque nstrs, und estms en es situión, sems que n es sí. Entnes, pr qué l vems sí? Pr ds rznes: prque l luz vij en líne ret y prque nuestr perepión visul se s en ls ánguls, l que he que l nhur de l rreter disminuy n l distni. Per hr, que nes ls relines entre ánguls y lds de un triángul, srás rznr si ls jets disminuyen su tmñ de frm inversmente prprinl l distni l que se enuentrn. Sís que? El terem de ls sens se utilizó en el sigl XIX pr medir de frm preis el meridin de Prís y sí pder definir el metr. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA L trignmetrí esféri estudi ls triánguls que se frmn sre un superfiie esféri En l trignmetrí esféri l distni más rt entre ds punts n es un ret, sin un r. Ls ánguls de un triángul esféri sumn más de 180 Es l se de l nvegión y l strnmí. Curis, n? Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

19 199 Trignmetrí. 4ºB de ESO RESUMEN Ejempls Rdián Rznes trignmétris de un ángul gud Relines fundmentles Otrs rznes trignmétris Rznes trignmétris de 0,45 y 60 Es un ángul tl que ulquier r que se le sie mide extmente l mism que el rdi utilizd pr trzrl. Se dent pr rd. Nº de rdines de un ángul mplet = rd sen α tet puest hiptenus s α tet dyente hiptenus tnα tet puest tet dyente sen α s α 1 sen α tn α s α 1 se α sen α se α s α 1 tn α tn α sen sen tngente 90 sn / rd sen C, s C 5 sen 0 s se 90 =1 se 90 N existe tn 45 = Reduión l primer udrnte Ls rznes trignmétris de ulquier ángul pueden expresrse en funión de ls de un ángul gud Reduión l primer º CUADRANTE senα senβ y s α s β sen 15 sen 45 Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

20 00 Trignmetrí. 4ºB de ESO udrnte er CUADRANTE senα sen β y s α s β sen 00 sen 0 4º CUADRANTE senα sen β y sα sβ s 60 s 60 Resluión de triánguls Terem de ls sens Terem de ls sens Reslver un triángul es lulr ls medids de sus ánguls y sus lds. Si el triángul es retángul, usrems ls definiines de ls rznes trignmétris, el terem de Pitágrs y el resultd que firm que l sum de ls ánguls de un triángul es 180 Si el triángul n es retángul, demás del resultd de que l sum de ls ánguls de un triángul es 180, usrems ls terems de ls sens y ls sens. En un triángul ABC ulquier: Δ sen A sen B sen C En un triángul ABC ulquier: Δ s A s B s C Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

21 01 Trignmetrí. 4ºB de ESO EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Expres ls siguientes medids de ánguls en rdines: ) 0 )60 )100 d)0. Cuánt mide en grds sexgesimles un ángul de 1 rd? Aprxim el resultd n grds, minuts y segunds.. Hll l medid en grds de ls siguientes ánguls expresds en rdines: ) ) π ) 5π 6 d) 4. Usnd l luldr hll el sen, el sen y l tngente de : ) 8 ) 6 Enuentrs lgun relión entre ls rznes trignmétris de ms ánguls? 5. Hll el sen y el sen de ls ánguls B y C del diuj. Qué relión enuentrs? 6. En un triángul retángul ABC n ángul ret en A, si tn B = 1, y = m, uánt mide? 7. Trjnd n ánguls guds, es iert que myr ángul le rrespnde myr sen? Y pr el sen? 8. Usnd l luldr hll el sen, el sen y l tngente de 9 y 81. Enuentrs lgun relión entre ls rznes trignmétris de ms ánguls? 9. Si es un ángul gud y s = 0,1, uánt vlen ls trs ds rznes trignmétris? 10. Cmprr ls relines trignmétris fundmentles n 0, 45 y 60 sin utilizr deimles ni luldr. 11. Si es un ángul gud y tn = 0,4, uánt vlen ls trs ds rznes trignmétris? Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

22 0 Trignmetrí. 4ºB de ESO 1. Cmplet en tu udern el siguiente udr siend que es un ángul gud. 0,7 1/ 1. Es retángul un triángul uys lds miden 1, 1 y 5 m? En s firmtiv determin el sen, sen y tngente de ls ds ánguls guds. 14. Ls tets de un triángul retángul miden 5 y 1 m. Clul ls rznes trignmétris de sus ánguls guds. Qué mplitud tienen? 15. Si es un ángul gud tl que sen 1, lul: i) Ls restntes rznes trignmétris de ii) Ls rznes trignmétris de 180º iii) Ls rznes trignmétris de 180º + iv) Ls rznes trignmétris de 60º 16. Sin utilizr luldr, lul el vlr de x en ls siguientes triánguls retánguls: 4 m x m x 8 m 4 m x 17. Betriz sujet un met n un uerd de 4 m. A qué ltur se enuentr ést en el mment en que el le tens frm un ángul de 5º 17' n el suel? 18. Clul el sen, sen y tngente del ángul A en el siguiente diuj: Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

23 0 Trignmetrí. 4ºB de ESO 19. Si es un ángul del segund udrnte y s = 0,05, uánt vlen ls trs ds rznes trignmétris? 0. Si es un ángul tus y sen = 0,4, uánt vlen ls trs ds rznes trignmétris? 1. Diuj en tu udern l tl siguiente y sitú en el udrnte que rrespnd y expres en funión de un ángul gud, el sen, sen, tngente, sente, sente y tngente de ls siguientes ánguls. Si puedes, lúlls: Ángul udrnte sen sen tngente sente sente tngente 5º 150º 60º 645 º. Clul l nhur del rí representd en l figur siguiente:. Averigu l ltur de l trre de un iglesi si un distni de 80 m, y medid n un tedlit de Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

24 04 Trignmetrí. 4ºB de ESO ltur 1,60 m, el ángul de elevión del prrrys que está en l lt de l trre es de. 4. Hll el áre de un hexágn regulr de ld 10 m. 5. Clul l prfundidd de un pz de 1,5 m de diámetr siend el ángul indid en l figur de l dereh. 6. Cuál es l ltur de un mntñ uy im, si ns situms un distni de 000 m del pie de su vertil y medims n un tedlit de ltur 1,50 m, present un ángul de inlinión de 49 º. 7. Cuál es el ángul de inlinión de ls rys slres en el mment en que un lque de piss de 5 m de ltur pryet un smr de 10 m de lngitud? 8. Hll l ltur y el áre de un triángul isóseles uy se mide 0 m y uy ángul desigul vle 6º. 9. Hll el áre de un ddeágn regulr de ld 16 m. 0. Otener l lngitud de un esler pyd en un pred de 4, m de ltur que frm un ángul de 60 n respet l suel 1. El hil de un met ttlmente extendid mide 150 m, y frm un ángul n el suel de 40º mientrs l sujet 1,5 m del suel. A qué ltur del suel está l met?. Pr medir l ltur de un mpnri uy se n pdems eder, tendems un uerd de 0 m de lrg desde l lt de l trre hst tensrl en el suel, frmnd n éste un ángul de 60º. Cuál es l ltur del mpnri?. Otener el ángul que frm un pste de 7.5 m de lt n un le tirnte que v, desde l punt del primer hst el pis, y que tiene un lrg de 1.75 m 4. Ds migs servn desde su s un gl que está situd en l vertil de l líne que une sus ss. L distni entre sus ss es de km. Ls ánguls de elevión medids pr ls migs sn de 45 y 60. Hll l ltur del gl y l distni de ells l gl. 5. Un iólg se enuentr en el puert de Smied hiend un seguimient de ls ss prds. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

25 05 Trignmetrí. 4ºB de ESO 60º 90º 45º d 6. Desde iert lugr del suel se ve el punt más lt de un trre, frmnd l visul un ángul de 0º n l hrizntl. Si ns erms 50 m l trre, ese ángul se he de 60º. Clul l ltur de l trre. Cuent n l yud de un ámr y un pilt que vueln en un heliópter, mnteniéndse un ltur nstnte de 40 m. En el mment que desrie l figur, el ámr ve desde el heliópter l s n un ángul de depresión (ángul que frm su visul n l hrizntl mrd en el diuj) de 60º. El iólg dirige un visul l heliópter que frm n el suel un ángul de 45º. Clulr l distni d entre el iólg y el s. 7. Cn un tedlit de 1 metr de ltur, ds persns pretenden medir l ltur del Clise de Rm. Un de ells se er l nfitetr, seprándse 40 m. de l tr. Est últim tiene que el ángul de elevión del punt más lt es de 0º. L tr n divis el Clise mplet pr l que mide el ángul de elevión l punt que mr l se del terer pis, teniend 60º m resultd. Clulr l ltur del Clise y l distni de ls ds servdres l se del mism. 8. Resuelve el triángul: = 6; B = 45º; A = 75º 9. Ls pdres de Pedr tienen un prel en el mp de frm tringulr uys lds miden 0, y 0 m. Pedr quiere lulr ls ánguls. Cuáles sn ess ánguls? 40. Estnd situd 100 m de un árl, ve su p j un ángul de 0º. Mi mig ve el mism árl j un ángul de 60º. A qué distni está mi mig del árl? 15º 41. Ls nids trres Ki de Mdrid sn ds trres gemels que están en el Pse de l Cstelln, junt l Plz de Cstill. Se rterizn pr su inlinión y representn un puert hi Eurp. 6 m 155 m. 75º. 150 m. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

26 06 Trignmetrí. 4ºB de ESO. Cn ls dts que preen en l figur, determin su ltur.. Desde ds fiins situds en trres distints se hn extendid ds les hst un mism punt que miden 155 y 150 metrs y que frmn un ángul de 75º en su punt de enuentr. Qué distni en líne ret hy entre ms? 4. Tres puels están unids pr rreters: AB = 10 km, BC = 1 km y el ángul frmd pr AB y BC es de 10º. Cuánt distn A y C. 4. Vn nstruir un túnel del punt A l punt B. Se tm m refereni un nten de telefní (C) visile desde ms punts. Se mide entnes l distni AC = 50 m. Siend que el ángul en A es de 5º y el ángul B es de 45º lul uál será l lngitud del túnel. 44. Clul el ld de un pentágn regulr insrit en un irunfereni de rdi 6 m. 45. El punt más lt de un repetidr de televisión, situd en l im de un mntñ, se ve desde un punt del suel P j un ángul de 67º. Si ns erms l mntñ 0 m l vems j un ángul de 70º y desde ese mism punt vems l im de l mntñ j un ángul de 66º. Clulr l ltur del repetidr. 46. Desde l lt de un gl se serv un puel A n un ángul de 50º. Otr puel, B situd l ld y en líne ret se serv desde un ángul de 60º. El gl se enuentr 6 km del puel A y 4 km de B. Clul l distni entre A y B. 110º 6 4 A d B 47. Resuelve ls triánguls: ) = 0 m; B = 45º; C = 65º ) = 6 m, A = 105º, B = 5º ) = 40 m; = 0 m, A = 60º. 48. Dd el triángul de vérties A, B, C, y siend que A = 60º, B = 45º y que = 0 m. Reslverl y lulr su áre. 49. Clul l lngitud de ls lds de un prlelgrm uys dignles sn de 0 y 16 m. y ls dignles frmn entre sí un ángul de 7º. Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

27 07 Trignmetrí. 4ºB de ESO 50. Un triángul isóseles n se 0 m tiene ds ánguls igules de 80º. Cuánt miden ls trs ds lds? 51. Tres migs se sitún en un mp de fútl. Entre Álvr y Brtl hy 5 m y entre Brtl y Césr, 1 metrs. El ángul frmd en l esquin de Césr es de 0º. Clul l distni entre Álvr y Césr. 5. Un hmre que está situd l este de un emisr de rdi serv que su ángul de elevión es de 45. Cmin 50 m hi el sur y serv que el ángul de elevión es hr de 0. Hll l ltur de l nten. 5. Ls rzs de un mpás miden 1 m y frmn un ángul de 60º. Cuál es el rdi de l irunfereni que puede trzrse n es ertur? 54. Esrie utr ánguls n el mism sen que Enuentr ds ánguls que tengn l tngente puest l de Bus ds ánguls n el mism sen que 6 y sen puest. 57. Qué ánguls negtivs, mprendids entre 60 y 0 tienen el mism sen que 60? 58. En Prís y en l Île de l Cité se enuentrn Nôtre Dme y l Sinte Chpelle un distni de 00 metrs. Imginems que un servdr situd en A ve B y C n un ángul de 56º y que tr, situd en B ve A y C n un ángul de 117º. Clulr ls distnis entre l trre Eiffel (C) y Nôtre Dme (B), si m entre l trre Eiffel (C) y l Sinte Chpelle (A). A B C Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms

28 08 Trignmetrí. 4ºB de ESO AUTOEVALUACIÓN 1. L expresión en rdines de 65 es: ) 1,14 rd ) 1,14 rd ),68 rd d),68 rd. El vlr de l hiptenus en un triángul retángul n un ángul de 5 y n un de ls tets de m es: ), m ) 7,1 m ) 6,4 m d), m. Si es un ángul gud y sen α = 0,8, l tngente de es: ) 0,6 ) 0,6 ) 1, d) 1, 4. Selein l pión rret: ) tn A signifi que sen A y s A ) L sente de un ángul siempre está mprendid entre 1 y 1 ) En el segund y urt udrntes l tngente y tngente de un ángul tienen sign negtiv d) El sen de un ángul es siempre menr que su tngente. 5. Si el sen de un ángul del segund udrnte es 5 4, entnes su tngente y sente sn respetivmente: ) 5 y 5 ) 5 y 5 ) 4 y 4 d) 4 y 4 6. L ltur de un edifii es de 50 m, l medid de su smr und ls rys del sl tienen un inlinión de 0 n l hrizntl es de 100 ) 5 m ) 100 m ) 50 m d) m 7. El ángul de 40 es un ángul que se sitú en ) El primer udrnte ) El segund udrnte ) El terer udrnte d) El urt udrnte 8. Si es un ángul gud y es su suplementri, se umple: ) senα sen β y sα sβ ) senα senβ y s α s β ) senα senβ y sα sβ d) sen α sen β y s α s β 9. Pr lulr l ltur de un mntñ se mide n un tedlit desde A el ángul que frm l visul l im n l hrizntl, que es A = 0. Avnznd 00 m, se vuelve medir y el ángul result ser B = 5,. L ltur de l mntñ es de: ) 85 m ) 77 m ) 595 m d) 66 m 10. Si el rdi de un pentágn regulr es 8 m, su áre mide ) 05,86 m ) 40,10 m ) 75,97 m d) 15,05 m Mtemátis 4º B de ESO. Cpítul 7: Trignmetrí Autrs: Fernnd Rms Rdríguez y Milgrs Lts Ass Revisr: Nieves Zusti Ilustrines: Bn de Imágenes de INTEF, Milgrs Lts y Fernnd Rms