TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMS DE MTEMÁTIS (Opsiines de Seundri) TEM 8 TRIGONOMETRÍ PLN. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS..nepts sre trignmetrí... Definiión... Rznes de ánguls mplementris... Otr definiión de rzón trignmétri..4. Rznes de ánguls tuss..5. nguls suplementris.6. Ánguls que difieren en 90º..7. Ánguls puests..8. Rznes trignmétris de ánguls fundmentles.. Resluión de triánguls... Resluión de triánguls retánguls.... nid un ld y un ángul del retángul.... nids ds lds... Resluión de triánguls liuánguls.... Epresión trignmétri de l ltur.... Terem de ls s.... Terem del...4. Resluión pr terem del.. Rdi de l irunfereni irunsrit..4. Resluión de triánguls n el terem del..4.. nids ds lds y y el ángul..4.. nids ls tres lds.. Terem de ls tngentes. Fórmuls de riggs... nlgís de Mllweide y de Neper... Terem de ls tngentes... Resluión de triánguls..4. Fórmuls de riggs. 4. Áre de un triángul. 5. Fórmuls de diión. 5.. de l sum y difereni. 5.. Sen de l sum y difereni. 5.. Tngente de l sum y difereni Fórmuls del ángul dle Fórmuls del ángul mitd Trnsfrmines en prduts de sums y diferenis Epresines trignmétris en funión de l tngente del ángul mitd. 6. pliines. 6.. pliines l tpgrfí. 6.. Determinión de l ltur de un punt de pie esile. 6.. Resluión de plns inlinds en físi Resluión de prlems en estáti y en dinámi. /0

2 TEM 8 TRIGONOMETRÍ PLN. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS. ONEPTOS SORE TRIGONOMETRÍ... Definiión Dds ds triánguls retánguls PQR y P QR, se die que sn semejntes si tienen un mism ángul en el vértie Q Pr ser semejntes se umple que ls relines que hy entre ds lds ulesquier de un de ls triánguls sn ls misms que ls que hy entre ls lds equivlentes del tr triángul. R R' Tles relines dependen del ángul, y si éste vrí, tmién vrín ls relines que se estleen. Ls relines ls pdems definir de l siguiente frm: Q P P' RP RQ R' P' R' Q PQ s RQ P' Q R' Q RP tg PQ R' P' P' Q se RQ RP se s RQ PQ tg tg PQ RP Un vez definids ests relines trignmétris ásis pdems intentr estleer, su vez, trs relines entre ells. Utiliznd el terem de Pitágrs tenems que: RP + PQ RQ y dividiend td l euión pr RQ result RP RQ PQ + RQ + s Pr tr ld: RP RP RQ tg tg PQ PQ s s RQ Pr últim, utiliznd l euión + s y dividiéndl pr s, tenems: /0

3 s s `+ tg + se s s.. Rznes de ánguls mplementris. Si tmms un triángul retángul igul que el nterir y le lulms ls rznes trignmétris l tr ángul distint del ángul y distint del ángul ret ( se, del ángul en R), pdems relinrls n ls de, demás, m el tr ángul es de 90 grds, l llmrems ángul mplementri l, prque l sum de ms d 90º. PQ QR ( 90 ) s RP s QR ( 90 ) R 90- PQ s tg RP ( 90 ) tg Q P.. Otr definiión de rzón trignmétri. Si trzms un irunfereni de rdi r y sre ell tmms un punt P y rems n ese punt, n el entr de l irunfereni y n el punt del eje OX que es íd perpendiulr de P sre el eje (punt ) un triángul, se umple que: s P r r r P tg P Definiión Definiend un triángul de l mism frm que ntes, per sre un irunfereni de rdi unidd r, se tiene que se define el de m l lngitud del tet vertivl de dih triángul y el de m l lngitud del tet hrizntl de dih triángul..4. Rznes de ánguls tuss. Si rems triánguls igul que ntes per tmnd punts de l irunfereni que n están en el primer udrnte, ls rznes del ángul que frm l hiptenus n respet l prte psitiv del eje OX, vienen dds pr: /0

4 y r s y r r Per m (,y) está en el º udrnte, se tiene que, pr definiión, el es psitiv, el es negtiv y l tngente es negtiv. tg y nálgmente pdems mprr que: + y r + y r r + s tds ls ánguls definids de est frm, es deir, que sn superires 90º, se les llm tuss.5. Ánguls suplementris. Definiión. Dds ds ánguls e y, se die que e y sn suplementris si su sum es 80º, se +y80º. j ests ndiines tenems: ( ) y 80 y s y s tg y tg 80 ( 80 ) s ( ) tg.6. Ánguls que difieren en 90º. Definiión. Dds ds ánguls e y se die que sn ánguls que difieren 90º si verifin que y90+: y ( 90 + ) s y s y s tg y tg ( 90 + ) ( 90+ ) tg 4/0

5 .7. Ánguls puests Definiión. Dds ds ánguls e y se die que sn ánguls puests si se verifin que y : y ( ) y ( ) s s y s tg y tg ( ) tg.8. Rznes trignmétris de ánguls fundmentles. s 0º ; 0º 0 ; tg 0º 0 Tmnd un triángul equiláter, tenems que 0 m l + l h l h l l l h l h l l/ l entnes: l 0 l 0 0 s0 h l l l s tg0 0 s 0 tg0 0 m ( 90 0) 60 s s60 s ( 90 0) 0 s60 0 5/0

6 0 60 tg60 0 s60 tg60 0 Tmnd hr un udrd de ld l result: 45 d l + l l d l d l l l 45 d l l l l s 45 d l 45 0 tg tg 45 0 s45. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS... Resluión de triánguls retánguls.... nid un ld y un ángul del retángul. ) Si nems l hiptenus y un ángul gud, pr ejempls tenems que: 90º pues 90º resultnd entnes: s s ) Si nems un tet, el, y un ángul gud, el, pr ejempl, tendrems: 90º y 90º lueg y tg tg... nids ds lds. ) nid l hiptenus y un tet pr ejempl, tendrems: r y m 90º. pues 90º y 6/0

7 ) nids ls ds tets y, tenems que: + y m 90º tenems que: tg r tg y 90º.. Resluión de triánguls liuánguls.... Epresión trignmétri de l ltur h. Dds ls triánguls En este s tenems que: h h h H h H En este s tenems que: h h... Terem de ls s. Utiliznd ls epresines que hems tenid, tenems que, m h resultrá igulnd ms: h y y hiend l mism n l ltur que prte del vértie, tendríms que est iguldd se puede mplir : que es el llmd Terem de ls s. 7/0

8 ... Terem del. Si tmms el terem de Pitágrs generlizd, tenems que: + ± n n sign mens si < 90 n sign más si > 90 tmrem s n 0 si 90 siend h h n H H n Si tmms l pryeión n, de sre l ret, tenems: n s (ª figur) n s s(80 ) (ª figur) Si per si n s + s n s + + ( s ) + s resultnd en ms ss: + s y nálgmente: + s y + s..4. Resluión pr terem del. ) nids ds ánguls y y el ld, tenems que: 80-- result: y ) nids ls lds y y el ángul puest : hiend: r nte est situión tenems ds psiiliddes: 8/0

9 0 < < < 80 Per siempre dee urrir que ) Si se 90 ) Si < < entnes: i) Si ii) Si < 90 puede her ds sluines un, dependiend de que < n. > 90 sól hy un sluión. Utiliznd l nterir tenems que: 80º... Rdi de l irunfereni irunsrit. El ángul D y el ángul de ls triánguls D y respetivmente, sn igules pr tener el mism r, per pr tr prte, el ángul M en el punt es un ángul ret pr ser D el diámetr de l irunfereni. Entnes tenems que: D M lueg: D r 90 r D r r pr tnt: r.4. Resluión de triánguls n el terem del..4.. nids ds lds y y el ángul. m + s tenems que + s Utiliznd el terem del lulrems ls ánguls y..4.. nids ls tres lds. Hems: s + s Otenems sí ls ánguls, y del triángul. + s + 9/0

10 . TEOREM DE LS TNGENTES. FÓRMULS DE RIGGS... nlgís de Mllweide y de Neper. Se un triángul tl que > y llevems sre y su vez sre su prlngión prtir de. Otenems sí ls punts N y M y pr l tnt, el triángul MN uys + ánguls querems lulr. Tenems que el ángul M es - N M igul + puest que es eterir l triángul. Tmién el ángul NM es (+)/ y demás M/. Finlmente N90º+(/) pr ser eterir l triángul NM. Entnes si plims ls triánguls M y N el terem de ls s result: s s y ests igulddes sn ls llmds nlgís de Mllweide... Terem de ls tngentes. Terem de ls tngentes: L difereni de ls lds es su sum m l tngente de l semidifereni de ls ánguls puests es l tngente de l semisum de ls misms ánguls. Demstrión. Pr ls nlgís de Mllweide, tenems que: + + s s s s tg tg 0/0

11 y puest que: + 90 result: + tg tg + Nt: est iguldd l llmms nlgí de Neper... Resluión de triánguls. nids ls lds y y el ángul de un triángul, tenems: + tg tg + n + 90 pr l tnt tg tg tg entnes tg tg + de dnde tenems reslvems y lulms sí y. que junt n + 90 Pr lulr hems: + s ( + ) s.4. Fórmuls de riggs. Si tenems un triángul entnes el rdi de l irunfereni insrit en él, tiene pr rdi: p- p- p- O r p- p- p- dnde entnes: ρ ( p )( p )( p ) p + + p /0

12 tg tg tg ρ p ρ p ρ p ( p )( p ) p( p ) ( p )( p ) p( p ) ( p )( p ) p( p ) Fórmuls de riggs 4. ÁRE DE UN TRIÁNGULO. Si tmms l epresión del áre de un triángul, tenems: S. h per sustituyend en l epresión h.. result: S... per si result que nems, y, pdems her 80º (+) y pr l tnt tmrems: que sustituyend en l epresión nterir tenems finlmente: S. S Si nems, y lulrems ls ánguls y medinte el terem del y plirems: S. y pr últim, si nems ls tres lds, y del triángul lulrems el áre medinte l fórmul de Herón: S p( p )( p )( p ) 5. FÓRMULS DE DIIÓN. 5.. de l sum y difereni. Si sre un irunfereni de rdi unidd, nstruims ds ánguls que llmrems XO y O de mner que +XO /0

13 Se umple que l pryeión perpendiulr de sre el rdi O es el punt y l pryeión sre el eje OX es el punt, de mner que: Y y s( + ) O' s O E Pr tr ld, el punt se pryet sre el eje OX en el punt D y sre l ret en el punt E. Est impli que el ángul E se, pr l tnt: O ' D X E E OD s O OD O s y m O OD D OD E result s( + ) O.s. y sustituyend ls epresines nterires: s( + ) s.s. siend ést l epresión de l sum de ls ánguls. El de l difereni vendrá epresd pr: ( + ( ) s( ) s ) s.s( ).( ) resultnd: s( ) s.s Sen de l sum y difereni. De l mism figur se dedue que ( + ) E+E y m result que: siend: E s E s y sustituyend en l nterir: O E. s tmién en l figur se dedue que E ' D /0

14 y m result que: siend: D D O. O O O s O sustituyend en l nterir: O D s. lueg: ( + ).s + s. nálgmente l s nterir: ( + ( ) ( ) ).s( ) + s.( ) resultnd: ( ).s s. 5.. Tngente de l sum y difereni. Ls fórmuls nálgs de tngentes de l sum y difereni de ánguls sn: ( + ).s + s. tg( + ) s( + ) s.s..s + s. s.s s.s. s.s resultnd: ( ) tg( ) s( ) resultnd: tg+ tg tg( + ) tg.tg.s s. s.s +. tg tg tg( ) + tg.tg.s s. s.s s.s +. s.s 5.4. Fórmuls del ángul dle. ( + ).s+ s.. s s s( + ) s.s. s s tg+ tg tg tg( + ) tg.tg tg tg tg 4/0

15 5.5. Fórmuls del ángul mitd. Tmnd ls epresines: s + s s sumándls miemr miemr tenems: s + s pr l tnt, hiend que se tiene finlmente: + s s ± per si ls epresines nterires: + s s s + s s ls restms miemr miemr tenems: y hiend que s se tiene finlmente: s ± s L tngente del ángul mitd será: s ± tg s + s ± tg ± s + s 5.6. Trnsfrmines en prduts de sums y diferenis. Si nsiderms ls epresines ( + ).s + s. ( ).s s. y summs y restms ms epresines, result ( + ) + ( ).s ( + ) ( ) s. 5/0

16 Hiend hr el siguiente mi: + p q p + q p q de dnde se dedue: p + q y p + q p q s p q y sustituyend: p + q p q s p + q p q Hiend l mism n el, tenems: s( + ) s.s. ( ) s.s +. que ns prprin, sumnd y restnd ls epresines: s( + ) + s( ) s.s s( + ) s( ). y hiend el mism mi nterir, tl que: p + q y p q y sustituyend p + q p q s p + s q s s p + q p q s p sq 5.7. Epresines trignmétris en funión de l tngente del ángul mitd. s s s... lueg s + s + s tg + tg y 6/0

17 y s s s s... lueg s + s + s tg + tg tg tg... lueg tg s tg tg + tg tg s + tg 6. PLIIONES. 6.. pliines l Tpgrfí. Ls prlems de trignmetrí tienen espeil pliión en td l que fet mediines sre el terren. L mediión de grndes distnis es, en efet, más pens que ls mediines de ánguls, pr ell vms medir indiretmente ls distnis reslviend triánguls. Supngms que ns interes ner l distni de un punt que está un ld del rí, n tr punt P que está l tr ld del rí. Elegims tr punt de md que l distni se ómd de medir y sándns en y en medims n un tedlit, ls ánguls y frmds entre l ret y ls visules trzds desde P. n ests elements pdems lulr P y P reslviend el triángul P. Π Α Ρ ο γ Θ Β 6.. Determinión de l ltur de un punt de pie esile. nsiste en medir l ltur de un trre vertil uy pié,, es esile. Se elige un se. Si el álul es inmedit. Si n es hrizntl, se puede medir el ángul, el ángul y se tiene que: h ' 7/0

18 90 ( + ) h s( + ) 6.. Resluión de plns inlinds en físi. Dd un uerp de ms m que se desliz sre un pln inlind un ángul sre l hrizntl, pdems lulr l elerión que tiene en su deslizmient hi j l lrg del pln inlind. F F X Y m 0 mg F R N mg s m µ γσεν Ν Πµ γ Φ Ρ µ γχοσ y nsidernd que F R µ N se resuelve el sistem de euines plnted y tenems el vlr de l elerión de íd del uerp Resluión de prlems en estáti y en dinámi pliines imprtntes tiene l trignmetrí en l resluión de estruturs en estáti, m el que se epne ntinuión. Un ilindr miz de pes P se enuentr pyd sin friión en el interir de un ángul diedr frmd pr ds plns ntigus inlinds y n l hrizntl. Pr lulr ls reines sre ls pys nsiderrems ls ndiines de equiliri. F 0 R R 0 F y 0 R s + R s P 0 de l ª R R y sustituyend en l ª R s+ R s P 0 (.s +.s ) R P ( ) R + P R R s R s R R R Pmg ( + ) P R R P ( + ) ( + ) P R 8/0

19 Otr pliión imprtnte de l trignmetrí l tenems en l resluión del siguiente prlem de dinámi. Un uerp de ms m desliz sin rzmient pr un rril que finliz en un riz vertil, prtiend del reps ltur h. Desiende pr el rril y prsigue pr el interir del riz de rdi R. Desems justr l psiión de P de mner que el uerp ndne el riz en un punt y en el susiguiente mvimient pse pr el entr de l irunfereni O. Hllr el ángul rrespndiente l psiión en que el uerp ndn el riz. Tmems m sistem de refereni, el sistem rtesin XY entrd en el punt M, dnde el uerp se despeg del riz vertil. El vetr de psiión de l lit und está en O (entr del riz) vendrá dd pr l epresión: siend, en l figur: r r R v t i r v t gt 0 s. + 0 j r r r R R.. i + ( R.s) j e identifind ms: v t.s R. 0 v0t. gt R.s despejnd t de l primer: R. t y sustituyend en l segund, result s v 0 R. R v0 g R s v0 s v0 s ndiión que h de umplir l lit en M pr seprrse del rril: que l mpnente rdil del pes se l fuerz entrípet pr mntener l tryetri irulr: v0 mg. s m v 0 Rg.s sustituyend en l nterir: R R s R g Rg.s.s R s R. R R s s s s s s + s s s 9/0

20 + s s s s s s tg tg ' 44 rtg '44 54'756 54º /0