1 ÁNGULOS: ARCOS Y SUS MEDIDAS

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1 ÁNGULOS: RCOS Y SUS MEDIDS. ÁNGULOS Y RCOS Pr representr un ángul rientd utilizms un sistem de crdends. Hcems cincidir el ld rigen, O, cn el semieje psitiv de ls bsciss. L psición del ld extrem, O, dependerá de l mplitud del ángul. Cmenzms cn ls ds lds cincidiend. hr, girms 0 lrededr de O. En cd psición de gir, 0 determin un ángul cn 0: el ángul 0. l cnsiderr ls ánguls cm girs, se puede hblr de sentid del gir. Se cnsider ls ánguls generds en sentid cntrri ls mnecills del relj cm psitivs, y ls generds en el mism sentid cm negtivs. Según l ilustrción de l derech el ángul 0 es psitiv y el ángul 0' es negtiv. O - ntes de inicir el gir, ls lds 0 y 0 cinciden frmnd un ángul de 0 (en el sistem sexgesiml). l girr 0, en sentid cntrri ls mnecills del relj, irá genernd un ángul cd vez myr y cund vuelv cincidir 0 cn 0 se hbrá efectud un gir cmplet, generándse un ángul gir cuy medid es de puede cntinur girnd y engendrr un ángul de culquier medid. Pr reducir un ángul l primer gir, dividirems l medid entre 360º pr sber cuánts vuelts cmplets cntiene. El rest de l división ns prprcin el ángul equivlente del primer gir. Ejempl: 560º 360º 40º 7 560º = 4 360º + 40º Ls ánguls se clsificn según el cudrnte l que pertenece el ld extrem: II I I CUDRNTE: 0º < < 90º II CUDRNTE: 90º < < 80º O III CUDRNTE: 80º < < 70º III IV IV CUDRNTE: 700º < < 3600º - -

2 . SISTEMS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Sistem sexgesiml: El grd Ls uniddes de medid de ánguls más cncids sn ls grds, minuts y segunds. Este tip de medid está bsd en l división en prtes igules de un circunferenci. Cd un de ls 360 prtes igules en ls que se divide l circunferenci, se denmin grd sexgesiml. Cd grd se divide en 60 minuts y cd minut, en 60 segunds. De est frm, tenems ls siguientes equivlencis: 360º = un gir cmplet lrededr de un circunferenci 80º = / vuelt lrededr de un circunferenci (ángul lln) 90º = /4 de vuelt (ángul rect) 90º Circunferenci 360º 80º 0º = 360º 70º º = 60 º = 3600" ' = 60" Sistem circulr: El rdián Cund se quis utilizr el sistem sexgesiml en físic, pr pder clculr el cmin desrrlld pr un prtícul en tryectri circulr, se encntrrn que este sistem n ls yudb pues, mtemáticmente, n está relcind cn el rc que describe el cuerp l mverse. De es mner se "inventó" tr sistem ngulr, el sistem circulr, dnde l medid del ángul se btiene l dividir el rc y el rdi de l circunferenci. Vms definir tr unidd ngulr, el rdián, que en ls pliccines físics es much más práctic y direct que trbjr cn grds sexgesimles. Un ángul mide un rdián si el rc crrespndiente tiene l mism lngitud que el rdi cn el que se h trzd. Es decir, si se tm culquier circunferenci de rdi r y se llev est lngitud r sbre un rc de l circunferenci, el ángul determind pr el rc y sus rdis extrems mide un rdián. L mgnitud de un ángul culquier medid en rdines está dd pr l lngitud del rc de circunferenci que brc, dividid pr el vlr del rdi. π M Medid del ángul expresd en rdines: lngitud rc MN MN = = rdi circunferenci OM Si trzms un circunferenci de rdi cm y mrcms un rc de 8 cm, el ángul crrespndiente medirá 4 rdines. π O 3π 0 π N De est frm, se puede clculr fácilmente l lngitud de un rc de circunferenci; sól bst multiplicr el rdi pr el ángul en rdines. Lngitud del rc de circunferenci = [Ángul en rdines] x [Rdi de l circunferenci] - -

3 Equivlenci sexgesiml circulr Y que cncems el perímetr de un circunferenci de rdi unitri (π r = π), entnces el ángul de un circunferenci cmplet, medid en rdines es. Cm demás sbems que este mism ángul, medid en grds mide 360º, entnces pdems definir un equivlenci: rdines = 360º rdines = 80º prtir de est iguldd, determinms ls siguientes equivlencis: 90º = π rd 60º = 3 π rd 45º = 4 π rd 30º = 6 π rd Ps grds rdines Se multiplic el ángul pr l frcción Ejempl : Psr rdines el ángul = 50º π 80º rd Ejempl : π = 50º rd 80º 300 5π = π = rd 80 6 Psr rdines el ángul = 3º 36 Ps rdines grds Se multiplic el ángul pr l frcción Ejempl : Psr grds el ángul = π rd π = 3º 36 = 3, 6º = 3, 6º = rd 80º 5 π 8 rd 80º, tmnd π 3,4 cm prximción π rd π 80º 80º = rd = =, 5º = º 30 8 π rd 8 CLCULDOR: 80 : 8 =,5 º º 30 Ejempl : Psr grds el ángul = 7 π rd 4 80º 5 80º = 5 rd = 85, 99º = 85º 59 4" π rd 3 4 CLCULDOR: 80,5 : 3,4 = 85,99º º 85º

4 RZONES TRIGONOMÉTRICS DE UN ÁNGULO GUDO. DEFINICIÓN DE RZONES TRIGONOMÉTRICS Ls rznes trignmétrics de un ángul gud en un triángul rectángul sn ls siguientes: C b c C, rectángul en : : hiptenus b, c: ctets Sen de : rzón entre el ctet puest l ángul y l hiptenus: Csen de : rzón entre el ctet dycente l ángul y l hiptenus Tngente de : rzón entre el ctet puest l ángul y el ctet dycente sen = b cs = c tg = b c prtir de ésts se definen ls inverss: Ctngente de : rzón entre el ctet dycente l ángul y el ctet puest Secnte de : rzón entre l hiptenus y el ctet dycente l ángul Csecnte de : rzón entre l hiptenus y el ctet puest l ángul ctg = c b sec = c csec = b Ejempls:.- Hllr ls rznes trignmétrics del ángul gud menr de un triángul rectángul si l hiptenus mide 5 cm y un de ls ctets mide 3 cm. Pr pder clculr ls seis rznes trignmétrics necesitms hllr l medid del tr ctet. plicms el Terem de Pitágrs: c = b = 5 3 = 5 9 = 6 c = 4 cm menr ld se pne menr ángul, clculms ls rznes del ángul : C sen = 3 0,6 5 = csec = 5,67 3 = b = 3 = 5 cs = 4 0,8 5 = sec = 5,5 4 = c = 4 tg = 3 0,75 4 = ctg = 4,33 3 = - 4 -

5 .- Se tiene un triángul rectángul cuys ctets miden 8 y 5 cm, hllr ls rznes trignmétrics del ángul myr. Primer hllms el vlr de l hiptenus, plicnd el Terem de Pitágrs: Pr tnt, el ángul myr es C = b + c = = = 89 c = 7 cm C sen C = 5 0,88 7 csec C = 7,3 5 = b = 8 = 7 c = 5 cs C = 8 0, 47 7 tg C = 5,875 8 = sec C = 7,5 8 = ctg C = 8 0,53 5 =. RZONES TRIGONOMÉTRICS EN TRIÁNGULOS SEMEJNTES Qué psrí si sbre el ángul nterir hubiérms trzd tr triángul rectángul distint? sándns en l semejnz de ls triánguls, cnstruids C, C y C, pdems firmr que ls rznes trignmétrics que se btienen sn ls misms. l ser ls triánguls semejntes se cumple que ls lds hmólgs sn prprcinles: C Ls triánguls C, C y C sn semejntes pr tener sus ánguls igules. Pr tnt, se cumple: C = C = C C C Clculms el sen del ángul en cd un de ells: Sen En C En C En C C C C Ls rznes trignmétrics dependen del ángul, per n de ls dimensines del triángul. Pr ejempl, pr clculr sen 5º hy que dibujr un triángul rectángul de frm que un de sus ánguls guds mid 5º. Trzms ds triánguls cn ls siguientes medids: 4,66 7,39 8 5º sen 5º = 4 66 = 0 6 8,66 9,66 0 5º sen 5º = 6 =

6 ctividdes resuelts.- Hllr ls rznes trignmétrics del ángul gud myr de un triángul rectángul si l hiptenus mide 5 cm y un de ls ctets mide 3 cm. Pr pder clculr ls seis rznes trignmétrics necesitms hllr l medid del tr ctet. plicms el Terem de Pitágrs. c = b = 5 3 = 5 9 = 6 c = 4 cm Cm myr ld se pne myr ángul, clculms ls rznes del ángul C: C sen C = 4 0,8 5 = csec C = 5,5 4 = b = 3 = 5 cs C = 3 0,6 5 = sec C = 5,67 3 = c = 4 tg C = 4,33 3 = ctg C = 3 0,75 4 =.- Se tiene un triángul rectángul cuys ctets miden 8 y 5 cm, hllr ls rznes trignmétrics del ángul myr. Primer hllms el vlr de l hiptenus, plicnd el Terem de Pitágrs: Pr tnt, el ángul myr es C = b + c = = = 89 c = 7 cm C sen C = 5 0,88 7 csec C = 7,3 5 = b = 8 = 7 cs C = 8 0, 47 7 sec C = 7,5 8 = c = 5 tg C = 5,875 8 = ctg C = 8 0,53 5 = 3.- Reslver ls triánguls rectánguls en C de ls que se cncen: 4º = 6 = 90º 4º = 48º tg 4º = b b 6 0,9 4,4 m 6 cs 4º = 6 c c 6,6 0,74 = = 90º 38º = 5º 38º tg 38º = 7 7 0,78 = 8,97 m = 7 sen 38º = 7 c c 6 5,8 0,6 = m - 6 -

7 .3 RELCIONES ENTRE LS RZONES TRIGONOMÉTRICS Ls vlres de ls rznes trignmétrics de un ángul están relcinds entre sí, de tl mner que, cnciend un de ells, pdems clculr ls demás. Ls relcines que ls lign se denminn relcines fundmentles de trignmetrí: Fórmul fundmentl: sen + cs = Demstrción: l ser el triángul C rectángul, se verific el terem de Pitágrs: = b + c Dividiend td l iguldd pr, se tiene: b c = + b C Teniend en cuent que sen = b ; cs = c c sustituyend se btiene l fórmul: sen + cs = Tmbién sn fáciles de deducir ls siguientes relcines: ) sen tg = cs Pr definición: b sen b = = = cs c c ctet puest ctet cntigu = tg ) sec = cs Pr definición: sec = 3) csec = sen c = c = cs Pr definición: csec = 4) ctg = tg b = b = sen Pr definición: ctg = c c c b = b = tg c - 7 -

8 Emplend l fórmul fundmentl, btenems: 5) tg + = = sec cs Demstrción: 6) ctg + = = csec sen Si dividims tds ls términs de l fórmul fundmentl sen + cs = entre cs, btenems l siguiente relción: sen + cs = sen + cs cs cs = cs tg + = cs Si dividims tds ls términs de l fórmul fundmentl sen + cs = entre sen, btenems l siguiente relción: sen cs + = + = ctg + = = cs ec sen sen sen sen sen cs Ejempls:.- Sbiend que sen =, hll ls restntes rznes trignmétrics. 4 sen = 4 csec = 4 Sustituyend en l primer fórmul: + cs = 4 cs = = plicnd l segund fórmul: 5 tg = 4 = = ctg = cs = 5 = sec = = 5.- Si cs =, clculr ls restntes rznes. cs = sec = Sustituyend en l primer fórmul: + = sen 3 sen = = sen = = csec = 4 3 = = s en sen tg = = = 3 cs ctg = 3 = = tg

9 3 RZONES TRIGONOMÉTRICS DE UN ÁNGULO Se denmin circunferenci trignmétric, gnimétric, quell circunferenci cuy centr cincide cn el rigen de crdends del pln crtesin y cuy rdi mide l unidd. Cnsiderems l circunferenci gnimétric. Cm hems vist, el vlr de ls rznes trignmétrics n dependen del punt que tmems sbre su ld extrem. sí que pdems tmr el punt P(x,y) del ld situd sbre l circunferenci gnimétric, cm muestr l figur de l derech. Vems que l dibujr el ángul, tenems un triángul rectángul OPM, cn l cul pdems definir: sen = ctet puest hiptenus PM y = = = y OP cs = tg = ctet cntigu hiptenus ctet puest ctet cntigu = OP OM OM x = = = x OP = y x M Es decir, bservms: El sen del ángul es el segment que cincide cn el ctet puest y su medid cincide cn l rdend y del punt P scid. El csen del ángul es el segment que cincide cn el ctet cntigu y su medid cincide cn l bscis x del punt P scid. Pr tnt, el punt P(x,y) se puede escribir cm P(cs, sen ) pr lgún ángul. 3. SIGNO DE LS RZONES TRIGONOMÉTRICS El ctet dycente se ubic sbre el eje x, sí que l denminrems "x"; l ctet puest, que se ubic sbre el eje y, l llmrems "y". sen csen tngente I II + III + IV

10 3. VLOR DE LS RZONES TRIGONOMÉTRICS El sen de un ángul es el ctet puest dividid entre l hiptenus, pr tnt nunc puede ser myr que un. Generliznd ls cutr cudrntes, se tiene: - sen sen El csen de un ángul es el ctet cntigu dividid entre l hiptenus, pr tnt nunc puede ser myr que un. Generliznd ls cutr cudrntes, se tiene: - cs cs L tngente de un ángul es el ctet puest dividid entre el ctet cntigu, pr tnt puede tmr culquier vlr. Se tiene: - tg demás, n siempre existe l tngente de un ángul: ls ánguls cuy csen es 0, n tienen tngente. 3.3 UTILIZCIÓN DE L CLCULDOR Ls clculdrs científics tienen ls tecls: sin (sen), cs (csen) y tn (tngente). Pr utilizrls crrectmente, hy que pner l clculdr en el md DEG. De est frm ls ánguls se medirán en grds sexgesimles. L tecl º sirve pr expresr en frm deciml un ángul dd en grds, minuts y segunds. Precedid de l tecl INV hce l cntrri: ps de frm deciml sexgesiml. Ejempls: El ángul 57º 8 4 se nt sí: 57 º 8 º º 57.4 Pr psr grds, minuts y segunds un ángul dd en frm deciml: 57.4 INV º 57º 8 4 Pr clculr sen 5º bst cn tecler el ángul y, después, pulsr l tecl sin : 5 SIN 0, Pr determinr qué ángul, verific que sen =/, emplems l cmbinción INV sin b/c INV SIN = 30 L clculdr ns d el ángul más pequeñ, unque n es el únic, el cnjunt de slucines es = 30º + 360º k sen = = 50º + 360º k - 0 -

11 3.4 RZONES TRIGONOÉTRICS DE CIERTOS ÁNGULOS ngul 30º y 60º El triángul OPP es equiláter, pr medir tds sus ánguls igules, 60º. Pr tnt el ld PP = P = / 3 3 O = = = 4 P P sen 30º = = cs 60º = = OP OP O 3 O 3 cs 30º = = sen 60º = = OP OP P 3 tg 30º = = = = tg 60º = O 3 O P = ngul 45º El triángul es isósceles; pr l tnt, O = P Cm O + P = P = P = sen 45º = cs 45º = tg 45º = Ánguls 0º, 360º ngul 90º ngul 80º P(0,) P(-,0) Crdends de P: x =, y = 0 Sen 0º = sen 360º = 0 Cs 0º = cs 360º = Tg 0º = tg 360º = 0 L ctngente y l csecnte n están definids. Crdends de P: x = 0, y =. Sen 90º = Cs 90º = 0 L tngente y l secnte n están definids Crdends de P: x = -, y = 0 Sen 0º = 0 Cs 0º = - Tg 0º = 0 L ctngente y l csecnte n están definids. - -

12 4 REDUCCIÓN DE RZONES L PRIMER CUDRNTE RZONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTRIOS ( II cudrnte) sen(80º ) = sen cs(80º ) = - cs tg(80º )= - tg RZONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 80º (III cudrnte) sen(80º + ) = -sen cs(80º + ) = - cs tg( 80º + )= tg RZONES DE ÁNGULOS OPUESTOS ( IV cudrnte) sen (-) = sen(360º ) = - sen cs (-) = cs(360º ) = cs tg(-) = (360º )= - tg RZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTRIOS sen(90º ) = cs cs(90º - ) = sen tg(90º ) = ctg - -

13 Ejempls:.- Si sen 30º =, clculr: ) sen 60º b) sen 50º c) sen 0 d) sen 330º ) sen 60º = sen (90º - 30º) = cs 30º = 3 = 4 b) sen 50º = sen (80º - 30º) = sen 30º = c) sen 0º = sen(80º + 30º) = - sen 30º = - d) sen 330º = sen (360º - 30º) = - sen 30º = -.- Reducir ls siguientes rznes trignmétrics, trs equivlentes, de ángul 60 : ) sen 30º b) tg 40º c) csec 0º d) sec 300º e) ctg (-30º) f) cs 40º ) sen 30º = cs 60º b) tg 40º = tg 60º c) csec 0º = csec 60º d) sec 300º = -sec 60º e) ctg (-30º) = tg 60º f) cs 40º = cs 60º 3.- Clcul cn exctitud ls rznes de ls ánguls de 0º y 5º. sen 0º = -sen 30º sen 5º = -sen 45º cs 0º = -cs 30º cs 5º = -cs 45º tg 0º = tg 30º tg 5º = tg 45º 4.- Sin utilizr l clculdr, btener ls rznes trignmétrics de 35º. sen 35º = -sen 45º cs 35º = cs 45º tg 35º = -tg 45º - 3 -