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Cpítulo 5 RANSFORMACIONES LINEALES Mrtínez Hétor Jiro Snri An Mrí Semestre,.7 5.. Introduión Reordemos que un funión : A B es un regl de soiión entre los elementos de A y los elementos de B, tl que d elemento de A se le soi un únio elemento de B l que le llmmos imgen de por medio de y denotmos. A los onjuntos A y B les llmmos dominio y odominio de, respetivmente, y l suonjunto de B formdo por tods ls imágenes de los elementos de A lo llmmos onjunto imgen de y lo denotmos Im. En este pítulo, estmos interesdos en el estudio de ls funiones entre espios vetoriles que sen omptiles on ls operiones de sum y multipliión por eslr definids en d uno de ellos; es deir, que l imgen de un sum de vetores se l sum de ls imágenes y que l imgen de un multipliión por eslr de un vetor se tmién un multipliión por eslr de l imgen del vetor. 5.. Definiión y Propieddes Básis Preisemos l ide plnted en l introduión on l siguiente definiión. Definiión : [rnsformión Linel] Ddos dos espios vetoriles V y W, diremos que l funión : V W es un trnsformión linel de V en W si. v + v v + v pr todo v,v V. Propiedd ditiv. λv λv pr todo v V y todo λ R. Propiedd homogéne Oservión: Es importnte lrr que estmos denotndo de l mism form l sum y el produto por eslr definidos tnto en el espio vetoril V omo en el espio vetoril W, si sen operiones diferentes. Igulmente, el vetor de V y el de W los denotremos igul, si sen vetores diferentes. 8
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 9 Ejemplo : Consideremos l funión : R 3 R, tl que es un trnsformión linel. x y z x y z x. Verifiquemos que Vemos que stisfe l propiedd ditiv. Sen x,y,z y x,y,z vetores de R 3, entones x x x + x y + y y + y x + x y + y z z z z + z + z x + x x y + x y z x + z x x y x y + z x z x x x y z + y z. Pr verifir que stisfe l propiedd homogéne, tomemos el eslr λ y el vetor x,y,z. Entones x λx λ y λy z λz λx λy λz λx x y λ z x Ejemplo : Se : R 3 P, tl que linel. λ x y z. + x + x. Vemos que es un trnsformión Pr pror l propiedd ditiv, tomemos dos vetores de R 3,,, y,,. Entones, + + + + [ + + + ]x + + x [ + x + x ] + [ + x + x ] +. Pr verifir que stisfe l propiedd homogéne, tomemos el eslr λ y el vetor,,. Entones λ λ λ λ
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 3 Ejemplo 3: Se R P, tl que linel. λ + λx + λx λ[ + x + x ] λ. + x + x. Determinemos si es un trnsformión Pr pror l propiedd ditiv, tomemos dos vetores de R,, y,. Entones, [ ] + + + + + x + + x, pero de donde, + + x + x + + x + x + + x + + x, [ + por tnto, no es un trnsformión linel. ] + Ejemplo 4: Se A un mtriz m n y se l funión : R n R m tl que x Ax. Determinemos si es un trnsformión linel. Por el eorem del Cpítulo, ddos x,y R n y λ R, Ax + y Ax + Ay y Aλx λax, de donde onluimos que es un trnsformión linel. A ls trnsformiones omo l del Ejemplo 4, ls llmmos trnsformiones mtriiles. Veremos que tods ls trnsformiones lineles de R n en R m son mtriiles. Por ejemplo, notemos que l trnsformión linel del Ejemplo es un trnsformión mtriil: x y z x y z x x + y + z ; y por el resultdo del Ejemplo 4, esto seri sufiiente pr demostrr que es un trnsformión linel. Ejemplo 5: Verifiquemos que l funión que d punto de R le sign el punto de su reflexión trvés del Eje X es un trnsformión linel. x y z, y, *, * x *, *, Reflexión en el plno trvés del Eje X
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 3 De l figur nterior, es fáil ver que l funión en uestión es : R R, donde Por lo tnto, +, lo que muestr que es un trnsformión mtriil y por onsiguiente un trnsformión linel. Ejemplo 6: Se l funión : V W tl que v pr todo v V. Verifiquemos que es un trnsformión linel. Sen v y v vetores de V. Por ser V un espio vetoril, v +v está en V y por tnto, v +v. De otro ldo, v +v +, de donde onluimos que l propiedd ditiv se stisfe. Qued omo ejeriio pr el letor verifir l propiedd homogéne. A est trnsformión l llmmos trnsformión nul. Ejemplo 7: Se l funión : V V tl que v v pr todo v V. Es fáil verifir que es un trnsformión linel, lo que dejmos omo ejeriio pr el letor. A est trnsformión l llmmos trnsformión idénti. Podemos ver que ls propieddes que rterizn un trnsformión linel nos permiten demostrr que l imgen de un ominión linel de vetores por medio de un trnsformión linel es l ominión linel de ls imágenes de los vetores on los mismos oefiientes de l ominión linel iniil. L demostrión onsiste ásimente en plir l propiedd ditiv iterdmente y luego plir l propiedd homogéne d sumndo. eorem Sen : V W un trnsformión linel, v,v,...,v n vetores de V y λ,λ,...,λ n eslres de R. Entones λ v + λ v +... + λ n v n λ v + λ v +... + λ n v n. De este resultdo, se tiene trivilmente que un trnsformión linel sign el vetor ero del dominio en el vetor ero del odominio y, por su importni, lo enunimos en el siguiente orolrio. Corolrio. Se : V W un trnsformión linel, entones. El eorem tmién estlee que, pr el so de ls trnsformiones lineles de R n R m, ls rets son envids en rets o en el vetor y los plnos son envidos en plnos, en rets o en el vetor. En generl, el eorem permite demostrr que un trnsformión linel sign un suespio del dominio un suespio del odominio Ver ejeriios. Reordemos que dos funiones definids sore un mismo dominio y odominio son igules, si y solo si, tienen ls misms imágenes pr todos y d uno de los elementos del dominio. Aunque un trnsformión linel es un funión, sus rterístis espeiles simplifin enormemente l propiedd de iguldd entre trnsformiones, omo lo expresmos en el siguiente teorem. eorem Sen B {v,v,...,v n } un se del espio vetoril V y : V W y S : V W dos trnsformiones lineles. S, si y solo si, Sv v,sv v,...,sv n v n. Demostrión: Por l iguldd entre funiones, es lro que si S, ls imágenes de los elementos de l se jo ls dos trnsformiones son igules. Pr demostrr l otr impliión, reordemos que omo B es un se de V, pr d vetor v de V, existen eslres λ,λ,...,λ n tles que v λ v +λ v +...+λ n v n..
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 3 Por el eorem y l iguldd de ls imágenes de los elementos de l se jo ls dos trnsformiones, tenemos v λ v + λ v +... + λ n v n λ Sv + λ Sv +... + λ n Sv n Sv Por los teorems nteriores, es fáil ver que si onoemos l imgen de d uno de los elementos de un se del dominio de un trnsformión, podemos onoer l imgen de ulquier otro vetor del dominio. En otrs plrs, que un trnsformión linel qued ompletmente determind por ls imágenes de d uno de los elementos de un se del dominio, omo lo enunimos en el siguiente teorem. eorem 3 Si B {v,v,...,v n } es un se del espio vetoril V, existe un úni trnsformión : V W, tl que w v,w v,...,w n v n on w,w,...,w n W. Demostrión: enemos que B es un se de V, sí que B es un onjunto generdor de V y por tnto, pr ulquier vetor v de V existen eslres λ,λ,...,λ n tles que v λ v + λ v +... + λ n v n. Así, que si semos que w v,w v,...,w n v n, podemos enontrr l imgen de ulquier vetor v de V. En efeto, por el eorem, v λ w + λ w +... + λ n w n. Nos qued por demostrr l uniidd de est trnsformión. Supongmos que existen dos trnsformiones lineles y tles que v i w i v i pr i,,...,n. Por el eorem, y son l mism trnsformión. Ejemplo 8: Se : P R 3 l trnsformión linel tl que,,, x,, y x,,.clulemos + x + x. Ddo que {,x,x } es l se nóni de P, + x + x + x + x, de tl form que + + + x + x + x + x + + + Ejemplo 9: Ddos los vetores u,3, y u,, de R 3, enontremos un trnsformión linel de R en el plno H { v R 3 : v tu + su,t,s R } de R 3. Si tommos {e,e }, l se nóni de R, y dos vetores ritrrios de H, por ejemplo, u y u, podemos definir e u y e u, de tl mner que x + y x x e y + y e x 3 + y 3x. x + y. Existe otr trnsformión de R en el plno H? 5.3. Espios Vetoriles Asoidos un rnsformión Linel Definimos hor, dos onjuntos soidos un trnsformión linel, los ules resultn ser Espios Vetoriles y fundmentles pr determinr propieddes de este tipo espeil de funiones.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 33 Definiión : [Núleo de un rnsformión Linel] Dd un trnsformión linel : V W, definimos núleo de omo el onjunto Nu de todos los vetores de V uy imgen es el vetor de W. En otrs plrs, Nu {v V : v }. Definiión 3: [Imgen de un rnsformión Linel] Dd un trnsformión linel : V W, definimos imgen de omo el onjunto Im de todos los vetores de W pr los ules existe un vetor v de V, tl que v w. En otrs plrs, Im {w W : existe v V tl que v w}. Ejemplo : Consideremos l trnsformión linel : M M, tl que d + d e identifiquemos Nu e Im. Como impli que y d, onluimos que d + d { } { } Nu :,, d,,,,d R : r R. d r r r s r s Como ls únis mtries que son imágenes jo tienen l form en efeto, t t α α { } r s r s, pr ulquier α R, tenemos que Im, r,s,t R. t t Ejemplo : Se : P R 3 l trnsformión linel del Ejemplo 8. Identifiquemos Nu e Im. + + Como vimos en el Ejemplo 8, +x+x +, de tl form que +x+x impli que y que ulquier vetor de R 3 es imgen jo en efeto, p q + q rx + rx p,q,r, pr ulquier vetor p,q,r R 3, por lo tnto, Nu {} e Im R 3. Como ourrió on los onjuntos soidos un mtriz, los onjuntos soidos un trnsformión linel que mos de definir tmién son espios vetoriles. En efeto, el núleo es un suespio del dominio de l trnsformión y l imgen es un suespio del odominio de l trnsformión, lo ul demostrmos en el siguiente teorem. eorem 4 Sen V y W espios vetoriles y : V W un trnsformión linel. Entones. Nu es suespio vetoril de V.. Im es suespio vetoril de W. Demostrión: Por el eorem del Cpítulo 4, un suonjunto H no vío de un espio vetoril es un suespio vetoril, si y solo si, los elementos de H stisfen ls propieddes lusurtivs pr l sum y el produto por eslr Axioms y 6 de l definiión de espio vetoril.. Por el Corolrio., es un elemento de Nu, si que Nu es no vío. De otro ldo, si tommos dos vetores u y v de Nu y un eslr λ, tenemos que u y v, de modo que u + v u + v + λu λu λ,
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 34 de donde onluimos que u + v y λu están en Nu.. De nuevo por el Corolrio., es un elemento de Im, si que Im es no vío y si tommos dos vetores w y w de Im y un eslr λ, tenemos que existen v y v, vetores de V tles que v w y v w, de modo que w + w v + v v + v λw λv λv de donde onluimos que w + w y λw están en Im. 5.4. Mtriz Asoid un rnsformión Linel Y semos que un trnsformión linel qued ompletmente determind por l form omo tú en un se del dominio y que l funión de R m R n definid por x Ax pr un mtriz m n dd es un trnsformión linel, l ul llmmos trnsformión mtriil. En est seión, demostrremos que tod trnsformión linel entre espios vetoriles de dimensión finit puede ser representd omo un trnsformión mtriil. Con este propósito, dds un se del dominio y un se del odominio, pr d trnsformión linel, definmos un mtriz soid ell, omo l mtriz uys olumns son ls oordends en l se del odominio de ls imágenes jo de los elementos de l se del dominio. Definiión 4: [Mtriz Asoid un rnsformión Linel Respeto ls Bses B y B ] Dds l trnsformión linel : V W y ls ses B {v,v,...,v n } y B de V y W, respetivmente, definimos omo mtriz soid l trnsformión linel respeto ls ses B y B l mtriz [A ] BB [[v ] B [v ] B [v n ] B ] Mientrs no hy neesidd de lrr, denotremos simplemente por A l mtriz soid l trnsformión, respeto ls ses dds. Ejemplo : Se : P R l trnsformión linel tl que + x + x y sen { } B {, + x, + x x } y B, ses de P y R, respetivmente. Enontremos l mtriz soid l trnsformión, respeto ls ses dds. enemos que [] B, + x [ + x] B y + x x [ + x x ] B, de donde l mtriz soid respeto ls ses dds es A.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 35 y e,, e e, x Rotión de 9 o en el sentido de ls mneills del reloj Ejemplo 3: Clulemos l mtriz soid l trnsformión linel S, que d vetor del plno rtesino lo rot 9 o en el sentido de ls mneills del reloj respeto ls se nóni de R. Se B {e,e } l se nóni de R. Por l definiión de S y l figur nterior, Se e y Se e ; por lo tnto, l mtriz soid S respeto l se nóni es A S Podemos ver que l mtriz soid un trnsformión linel permite expresr el vetor de oordends de l imgen de ulquier vetor, en términos de su vetor de oordends respeto l se del dominio, de tl mner que, en términos de los vetores de oordends, tods ls trnsformiones lineles resultn ser mtriiles, omo lo expres l siguiente propiedd de l mtriz soid un trnsformión. eorem 5 Dds l trnsformión linel : V W, on V y W espios vetoriles de dimensión finit y ls ses B {v,v,...,v n } y B de V y W, respetivmente, l mtriz soid l trnsformión respeto de ests ses, [A ], es l úni mtriz tl que, pr todo v V. [v] B A [v] B. Demostrión: Si v λ v +λ v +...+λ n v n, por el eorem, v λ v +λ v +...+λ n v n. De donde, por el eorem 4 del Cpítulo 4, l ominión se onserv pr los vetores de oordends respetivos respeto un mism se; es deir, [v] B λ [v ] B + λ [v ] B +... + λ n [v n ] B. Así que, por definiión de Ax, tenemos que [v] B A [v] B. L uniidd se dej omo ejeriio pr el letor. Ayud: Ver demostrión del Numerl del eorem 6 del Cpítulo 4.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 36 V v W w v B B R n A R m [v] B [w] B A [v] B Ejemplo 4: Verifiquemos el teorem nterior on l trnsformión y ls ses del Ejemplo. Si : P R es l trnsformión linel + x + x y B {, + x, + x x } y { } B, son ses de P y R, respetivmente, l mtriz soid l trnsformión, respeto ls ses dds es A. De otro ldo, puesto que l se B es l se nóni de R, [+x+x ] B y, l resolver l euión +x+x λ +λ +x+λ 3 +x x, tenemos que λ, λ + y λ 3, si que [ + x + x ] B +. Verifiquemos, finlmente, que [ + x + x ] B A [ + x + x ] B + El heho de que fijds ls ses del dominio y odominio de un trnsformión linel, ést teng un mtriz soid, nos permite estleer ls siguientes reliones entre el espio nulo de l mtriz y el núleo de l trnsformión y entre el espio olumn de l mtriz y l imgen de l trnsformión. eorem 6 Dds l trnsformión linel : V W, on V y W de dimensión finit, y ls ses B y B de V y W, respetivmente, si A es l mtriz soid l trnsformión respeto ls ses dds, entones. v Nu, si y solo si, [v] B N A.. w Im, si y solo si, [w] B C A Demostrión:. enemos que v Nu si y solo si v W si y solo si [v] B eorem 4, Cpítulo 4 si y solo si A [v] B eorem 5 si y solo si [v] B N A.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 37. Similrmente, w Im si y solo si existe v V tl que v w si y solo si [w] B [v] B A [v] B eorem 5 si y solo si [w] B C A. Es importnte que resltemos que Nu es un suespio de V, el dominio de, y que N A es un suespio de R n, de tl mner que si v Nu, el vetor que está en N A es el vetor de oordends de v respeto l se dd de V, no v. Similrmente, Im es un suespio de W, el odominio de, y C A es un suespio de R m y si w Im, el vetor que está en el espio olumn de l mtriz es el vetor de oordends de w respeto l se dd de W, no w. Sin emrgo, deemos notr que ls dimensiones de Nu e Im oiniden on ls de N A y C A y por onsiguiente, dimnu + dimim dimv. Cundo l trnsformión linel v de un espio en si mismo y tommos l mism se, tnto en el dominio omo en el odominio, hlremos simplemente de l mtriz soid l trnsformión linel respeto l se. Asi, por ejemplo, undo tenemos l trnsformión idénti, l mtriz soid result ser l mtriz idénti, independientemente de l se que se tome. De otro ldo, l tomr distints ses, tenemos distints mtries soids un mism trnsformión. El siguiente teorem nos estlee un relión entre dos mtries soids un mism trnsformión y l mtriz mio de se. eorem 7 Se : V V un trnsformión linel, on V un espio vetoril de dimensión finit y sen B y B dos ses de V. Si P es l mtriz de trnsiión de B B, A es l mtriz soid respeto B y A es l mtriz soid respeto B, entones A P PA. 5. Demostrión: Si P es l mtriz de trnsiión de B B, [w] B P[w] B, pr todo w V y en prtiulr, [v] B P[v] B, pr todo v V. De otro ldo, omo A es l mtriz soid respeto l se B, [v] B A [v] B ; sí que [v] B P[v] B PA [v] B PA [v] B. Por el eorem 6 del Cpítulo 4, P es l mtriz de trnsiión de B B. Por tnto, [v] B PA [v] B PA P [v] B PA P [v] B. Finlmente, por el eorem 5, PA P es l mtriz soid respeto l se B. Así, que A PA P, de donde se sigue l euión 5., que es lo que querímos demostrr. Ejemplo 5: Verifiquemos el teorem nterior on l trnsformión linel : R R tl que { } { } x x + y y ls ses B y B y x y,. Por ser B l se nóni, l mtriz de trnsiión de B B es P De otro ldo, tenemos que + + ; es deir, ; es deir, [ [. ] B ] B
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 38 Así que, l mtriz soid respeto B es A Similrmente, tenemos que + [ [ ; es deir, ; es deir, Por lo tnto, l mtriz soid, respeto B es A [ [ Finlmente, y PA A P de donde vemos lrmente que se umple el teorem. ] B [ [ ] [ B [ ] ] ] B B B ]. ] B ] ods ls mtries soids un mism trnsformión pero en diferente se stisfen l euión 5. pr lgun mtriz invertile que result ser l mtriz mio de se. A lsmtries que stisfen est euión ls llmmos mtries semejntes, omo lo estlee l siguiente definiión. Definiión 5: [Mtries Semejntes] Dds dos mtries n n, A y B, deimos que A y B son mtries semejntes, si existe un mtriz invertile P, tl que BP PA o lo que es lo mismo, B PAP. Ejemplo 6: En el Ejemplo 5, ls mtries A y A son semejntes... 5.5. Isomorfismos Aunque hy infinidd de espios vetoriles, veremos que muhos de ellos son esenilmente el mismo respeto l estrutur de espio vetoril. En est seión, nos oupremos por nlizr este onepto de similitud, pr lo ul utilizremos ls propieddes de ierts trnsformiones espeiles, uys definiiones dmos ontinuión. Definiión 6: [rnsformión Inyetiv] Diremos que : V W es un trnsformión linel inyetiv, si y solo si, pr d w de Im, existe un únio v V tl que v w. Ejemplo 7: Determinemos si l trnsformión del Ejemplo es inyetiv. Es fáil ver que l trnsformión no es inyetiv, y que, por ejemplo,. 3 4 Ejemplo 8: Verifiquemos que l trnsformión linel del Ejemplo es un trnsformión inyetiv. enemos que demostrr que si + x + x + x + x, entones, y, + + + + lo que es fáil de onluir l resolver l euión vetoril + +.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 39 Como lo himos meniondo l definir el núleo y l imgen de un trnsformión, onoer estos suespios vetoriles nos permite identifir lguns propieddes de l trnsformión. Vemos lguns de ells. eorem 8 Se : V W un trnsformión linel. L trnsformión es inyetiv, si y solo si, Nu {}. Demostrión: Supongmos que es inyetiv. Como, es el únio elemento de Nu. Demostremos hor l impliión ontrri. Supongmos que Nu {} y vemos que si u v, entones u v. Como u v, entones u-vu v, lo que impli que u v Nu. Pero, omo Nu {}, entones u v y por tnto u v. Un resultdo stnte útil, que onsignremos en el siguiente teorem, es el que ls trnsformiones lineles inyetivs envín onjuntos de vetores l.i. en onjuntos de vetores l.i., sí, onoid un se del dominio, podemos enontrr un se del espio imgen de l trnsformión. eorem 9 Si : V W es un trnsformión linel inyetiv y {v,v,...,v n } es un onjunto de vetores l.i., entones {v,v,...,v n } es un onjunto de vetores l.i. Demostrión: Supongmos que λ v +λ v +...+λ n v n. Por el eorem, λ v +λ v +... + λ n v n. Como es inyetiv, λ v + λ v +... + λ n v n, lo que impli, por l independeni linel de {v,v,...,v n }, que λ λ... λ n. Definiión 7: [rnsformión Soreyetiv] Diremos que : V W es un trnsformión linel soreyetiv, si y solo si, Im W. Ejemplo 9: Determinemos si l trnsformión del Ejemplo es soreyetiv. Ddo que, es fáil ver que pr que un mtriz esté en l imgen de, l d + d omponente, dee ser, lo que nos indi que Im M y por tnto no es soreyetiv. Ejemplo : Verifiquemos que l trnsformión del Ejemplo es soreyetiv. u enemos que verifir que pr ulquier vetor R v, existe un polinomio + x + x P, tl u que +x+x, pr lo ul st on tomr v y y tles que u. v Con los oneptos de inyetividd y soreyetividd y los resultdos hst hor otenidos, podemos ver que si un trnsformión entre los espios vetoriles V y W es tnto inyetiv, omo soreyetiv isomorfismo, es porque tienen esenilmente l mism estrutur de espio vetoril; en otr plrs, son esenilmente los mismos isomorfos, omo lo expresmos en l siguiente definiión. Definiión 8: [Isomorfismo] Diremos que un trnsformión linel : V W es un isomorfismo, si y solo si, es inyetiv y soreyetiv. Definiión 9: [Espios Vetoriles Isomorfos] Si ddos dos espios vetoriles V y W, existe un isomorfismo : V W, diremos que V y W son isomorfos. Ejemplo : Determinemos si : R 3 P tl que + x + x es un isomorfismo. Deemos determinr si es inyetiv, y en so de serlo, determinr si tmién es soreyetiv. Pr
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 4 determinr si es inyetiv supongmos que + x + x + x + x de donde, por iguldd de polinomios,, y, lo que impli que es inyetiv. Ahor, l tomr un polinomio ritrrio + x + x, podemos exhiir un elemento de R 3, ser, tl que + x + x lo que impli que es soreyetiv y por lo tnto, es un isomorfismo Ejemplo : L trnsformión del Ejemplo resultó no ser soreyetiv ver Ejemplo 9, por tnto no es un isomorfismo. Cundo el dominio y el odominio tienen l mism dimensión, ulquier trnsformión linel que se inyetiv o soreyetiv result ser un isomorfismo, lo ul demostrmos en el siguiente teorem. eorem Si : V W es un trnsformión linel, on V y W espios vetoriles de dimensión finit y dimv dimw, entones. si es inyetiv, es soreyetiv.. si es soreyetiv, es inyetiv. Demostrión:. Si es inyetiv y {v,v,...,v n } es un se de V, entones, {v,v,...,v n } es un se de Im, por los eorems y 9. Así que dimv dimim. Pero por hipótesis, dimw dimv, por lo tnto, Im W, de donde onluimos que es soreyetiv.. Por el eorem 6, dimnu + dimim dimv. Por ser soreyetiv, dimim dimw y por hipótesis dimv dimw, sí que dimnu, es deir, Nu {}, de donde podemos onluir, por el eorem 8, que es inyetiv. Entre dos espios de igul dimensión siempre se puede onstruir un isomorfismo, st on signrle d vetor de un se del dominio, un vetor diferente de un se del odominio, omo veremos en l demostrión del siguiente resultdo. eorem Si V y W son espios vetoriles de dimensión finit, entones dimv dimw, si y solo si, V y W son isomorfos. Demostrión: Supongmos que V y W son isomorfos, si que existe un isomorfismo : V W, de tl mner que si {v,v,...,v n } es un se de V, entones, {v,v,...,v n } es un se de Im y por tnto, dimv dimim dimw. Pr ver l otr impliión, supongmos que dimv dimw y sen {v,v,...,v n } y {w,w,...,w n } ses de V y W, respetivmente. Podemos ver que l trnsformión linel : V W, donde v i w i, result ser un isomorfismo. En efeto, es soreyetiv y que {w,w,...,w n } es se, tnto de Im, omo de W, lo que impli que Im W. En onseueni, por el Resultdo del eorem, es inyetiv.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 4 Volviendo sore l identifiión de un trnsformión y su mtriz soid, podemos ver que ls propieddes de ls trnsformiones se rterizn por el número de pivotes de l form eslond de sus mtries soids, omo lo estleemos en el siguiente teorem, uy demostrión dejmos omo ejeriio pr el letor. eorem Sen : V W un trnsformión linel, on V y W de dimensión finit y A l mtriz m n soid l trnsformión, respeto dos ses dds. Entones,. es inyetiv, si y solo si, l form eslond de A tiene n pivotes.. es soreyetiv, si y solo si, l form eslond de A tiene m pivotes. 3. es un isomorfismo, si y solo si, A es invertile. 5.6. Alger de trnsformiones lineles Ddo que ls trnsformiones lineles son sos prtiulres de funiones, podemos definir l sum, l multipliión por eslr y l omposiión de trnsformiones, omo se he en ls funiones de vlor rel. Adiionlmente, veremos que ests operiones están relionds on ls operiones mtriiles de sus mtries soids. Definiión : [Sum y Multipliión por Eslr de rnsformiones] Dds dos trnsformiones lineles,s : V W y un eslr λ R, definimos + S, l sum de y S, omo l funión + S : V W, tl que + Sv v + Sv, pr todo v V y definimos λ, l multipliión de por el eslr λ, omo l funión λ : V W, tl que λv λ[v], pr todo v V. Ejemplo 3: Dds ls trnsformiones lineles,s : R P, tl que x, lulemos + S y 3. 5 5 Por l definiión nterior, + S 5 y 3 5 5 + S 5 [ 3 5 + x y S + 5x + x 4 5x ] 3 + 5x 6 5x. eorem 3 Si S, : V W son trnsformiones lineles y µ es un eslr, entones ls funiones son trnsformiones lineles. + S : V W y µ : V W
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 4 Demostrión: Sen v,v V, entones S + v + v Sv + v + v + v Sv + Sv + v + v Sv + v + Sv + v S + v + S + v S + λv Sλv + λv λ [Sv + λv] λ[sv + v] λs + v, de donde podemos onluir que S + es tmién un trnsformión linel. De otro ldo, µv + v µ[v + v ] µ[v + v ] µ[v ] + µ[v ] µv + µv µλv µ[λv] µ[λv] µλ[v] λ[µv], de donde µ tmién es un trnsformión linel. El onjunto de trnsformiones lineles : V W, on l sum y multipliión por eslr ntes definids, stisfen ls propieddes que rterizn los espios vetoriles. eorem 4 Dds ls trnsformiones lineles R,S, : V W y los eslres λ,µ, entones. R + S + R + S +. S + + S 3. + + 4. + + 5. λs + λs + λ 6. λ + µ λ + µ 7. λµ λµ µλ 8. 9. Demostrión: Se dej omo ejeriio pr el letor. Definiremos hor l omposiión, un operión que está definid en funiones tles que el odominio de un de ls funiones oinide on el dominio de l otr. En este so, nos restringiremos trnsformiones lineles. Definiión : [Composiión de rnsformiones] Sen : U V y S : V W trnsformiones lineles. Definimos S, l omposiión de S on, omo l funión S : U W tl que S u Su pr todo u U. eorem 5 Dds : U V y S : V W trnsformiones lineles, l omposiión de S on, S : U W, es tmién un trnsformión linel.
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 43 Demostrión: Sen u,u,u U y λ R, entones S u + u Su + u Su + u Su + Su S u + S u. S λu Sλu Sλu λ[su] λs u. Por onsiguiente, S es un trnsformión linel. Ejemplo 4: Dds ls trnsformiones lineles : R 3 P + + x y Sα + βx Por l definiión, S 3 α β β S, lulemos S 3 3 S + 3x y S : P R, tl que. 3 3 4 3 L omposiión de trnsformiones lineles tmién stisfe propieddes lgeris, ls ules onsignmos en el siguiente teorem.. eorem 6 Sen R,S y trnsformiones lineles tles que, en d so, ls omposiiones están ien definids y se λ un eslr, entones. S R S R.. S + R S + R. 3. + S R R + S R. 4. λ S λ S λs. 5. I I. 6. y. Demostrión: Demostrremos ls Propieddes. y 4. Ls demás ls dejmos omo ejeriio pr el letor.. Por definiión de l omposiión de trnsformiones, S Rv SRv SRv S Rv S Rv. 4. Igulmente, por l definiión de l omposiión de trnsformiones, λ Sv λsv λsv [λ S] v
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 44 de otro ldo, λ Sv Sλv Sλv λsv [ λs] v. En l Seión 5., vimos que existe un estreh relión entre ls trnsformiones y ls mtries, ser, si es un trnsformión linel : V W, B y B son ses de V y W, respetivmente y A es l mtriz soid, respeto ls ses B y B, entones [v] B A [v] B. Medinte est relión entre trnsformiones y mtries, podemos estleer un orrespondeni entre ls operiones lgeris de ls trnsformiones y ls operiones lgeris de ls mtries soids ells, omo lo onsignmos en el siguiente teorem. eorem 7 Sen B, B y B ses de los espios vetoriles U, V y W, respetivmente;,s : U V y R : V W trnsformiones lineles; A y A S ls mtries soids y S respeto ls ses B y B y A R l mtriz soid R respeto ls ses B y B, entones l mtriz soid l trnsformión. + S respeto ls ses B y B es A + A S.. S respeto ls ses B y B es A A S. 3. respeto ls ses B y B es A. 4. λ respeto ls ses B y B es λa. 5. R respeto ls ses B y B es A R A. Demostrión: Demostremos l Propiedd 5; ls demás ls dejmos omo ejeriio pr el letor. Por l definiión de mtriz soid un trnsformión, [R u] B [Ru] B A R [u] B A R A [u] B A R A [u] B y por l propiedd de uniidd del eorem 5, l mtriz soid R respeto ls ses B y B es A R A. Como ourre en generl pr el onjunto de funiones, l omposiión de trnsformiones permite rterizr ls trnsformiones lineles que son invertiles, omo lo onsignmos en l siguiente definiión. Definiión : [rnsformión Invertile] Diremos que : V W es un trnsformión linel invertile, si existe un trnsformión linel S : W V tl que S I W : W W y S I V : V V. A l trnsformión S l llmmos invers de. Ejemplo 5: Verifiquemos que : R P tl que + + x es un trnsformión invertile. u + v Vemos que S : P R tl que Su + vx, S I P y S I R. Su+vx Su + vx u + v u+v u v u v es un trnsformión linel tl que + u v u + v + u v x u+vx I P u+vx
CAPÍULO 5. RANSFORMACIONES LINEALES 45 S S S + + x ++ + I R. Al igul que on ls funiones en generl y que on ls mtries, l invers de un trnsformión linel es úni, omo lo plntemos en el siguiente teorem, uy demostrión dejmos omo ejeriio pr el letor. eorem 8 Se : V W un trnsformión linel. Si existen S,S : W V, dos trnsformiones lineles tles que S S I W y S S I V, entones S S. Similrmente omo hiimos en el so de ls mtries, l invers de l trnsformión l denotmos y demostremos l relión de equivleni entre ls trnsformiones invertiles y los isomorfismos. eorem 9 Se : V W un trnsformión linel, entones es invertile, si y solo si, es un isomorfismo. Demostrión: Supongmos que es invertile y que S es su invers. omemos v,v V y supongmos que v v, sí que Sv Sv, de donde onluimos que v v y por onsiguiente que es inyetiv. omemos hor w W y se v Sw, sí que v Sw w, de donde onluimos que es soreyetiv y por tnto es un isomorfismo. Supongmos hor que es un isomorfismo, si que es inyetiv y soreyetiv. Se w W, entones existe un únio v V, tl que v w. Definimos S, de tl form que Sw v, undo v w. Es fáil demostrr que S es l invers de Ejemplo 6: Utiliemos el teorem nterior pr determinr si l trnsformión del Ejemplo es invertile. Si l trnsformión del Ejemplo, que v de R 3 R fuese invertile, por el teorem nterior, seri un isomorfismo y por lo tnto, los espios vetoriles R 3 y R serin isomorfos, lo ul, por el eorem, no es posile y que sus dimensiones son distints. En onseueni, l trnsformión del Ejemplo no es invertile. Por último, veremos que pr determinr si un trnsformión es invertile, es sufiiente que su mtriz soid lo se, omo lo estleemos en el siguiente teorem. eorem Sen B y B ses de los espios vetoriles V y W, respetivmente, : V W un trnsformión linel y A l mtriz soid l trnsformión respeto ls ses B y B. Entones. es invertile, si y solo si, A es invertile.. Si es invertile, entones A es l mtriz soid l trnsformión linel, respeto ls ses B y B. Demostrión: L dejmos omo ejeriio pr el letor. Ejemplo 7: Utiliemos el teorem nterior pr determinr si l trnsformión del Ejemplo 5 es invertile. Sen B y B ls ses nónis de R y P respetivmente. L mtriz soid en ls ses B y B es A [ [e ] B [e ] B ], uyo determinnte es, por lo tnto A es invertile y en onseueni, por el teorem nterior, es invertile.