Transformaciones Lineales

Transcripción

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3 rnsformiones Lineles -- Definiión: Sen V W dos espios etoriles. Se : V W un funión que sign todo etor V un únio etor W. Se die que es un trnsformión linel si:. V. V Se eorem : V W un trnsformión linel. Entones:. O V OW. V ' [ ] ' n n n n Núleo de un rnsformión Linel Definiión: Se : V W un trnsformión linel. El núleo de denotdo por Nu o Ker se define omo: Nu { V / } O W eorrido de un rnsformión Linel Definiión: Se : V W un trnsformión linel. El reorrido o imgen de denotdo por e o Im se define omo: e { W / ; V} eorem Se : V W un trnsformión linel. Entones se umple que:. El núleo de es un suespio de V. El reorrido de es un suespio de W Nulidd ngo de un rnsformión Linel Definiión: Se define omo: : V W un trnsformión linel. L nulidd de denotd por dim Nu se El rngo de denotdo por ρ se define omo: ρ dim e miro J. Sltos

4 -- eorem de l Dimensión pr rnsformiones Lineles Se : V W un trnsformión linel donde V es un espio etoril de dimensión finit. Entones se umple que: ρ dimv rnsformión Linel Ineti Definiión: Se : V W un trnsformión linel. Se die que es ineti si: V [ ] rnsformión Linel Soreeti Definiión: Se : V W un trnsformión linel. Se die que es soreeti si todo etor de W es l imgen de por lo menos un etor de V. Es deir: W V Diho de otr mner es soreeti si e W Un trnsformión linel eorem : V W es ineti si sólo si Nu { } O V Isomorfismo Definiión: Se : V W un trnsformión linel. Se die que es un isomorfismo si es ineti es soreeti. Es deir es un isomorfismo si es ieti. Espios Vetoriles Isomorfos Definiión: Sen V W dos espios etoriles. Se die que V W son espios etoriles isomorfos denotdo por V W si eiste un isomorfismo : V W entre ellos. eorem Se : V W un trnsformión linel definid entre espios etoriles de dimensión finit tles que dim V dimw entones:. Si es ineti es soreeti.. Si es soreeti es ineti. eorem Sen V W dos espios etoriles de dimensión finit. Se linel. Entones:. Si dim V > dimw no es ineti.. Si dim V < dimw no es soreeti. : V W un trnsformión Lo que quiere deir que si dimv dimw no es un isomorfismo miro J. Sltos

5 Se eorem : V W un trnsformión linel se umple que: --. Si es ineti S {... n } es linelmente independiente en V entones S ' {... n } es linelmente independiente en W. Si es soreeti G {... n } gener V entones G ' {... n } gener W. Si es un isomorfismo {... n } es un se de V entones {... } es un se de W ' n Operiones on rnsformiones Lineles Sum: Sen : V W : V W dos trnsformiones lineles. L sum entre denotd por : V W se define omo: V Multipliión por eslr: Se. Se : V W un trnsformión linel. Se define l multipliión de por denotd por : V W omo: V Composiión: Sen : V U : U W dos trnsformiones lineles. L omposiión entre denotd por : V W se define omo: V rnsformión Linel Iners Definiión: Se : V W un trnsformión linel. Se die que es inersile si eiste un trnsformión linel S : W V tl que:. S : W W IdW. S : V V IdV Si tl es el so se llm S l iners de se denot S L trnsformión linel eorem 7 : V W es inersile si sólo si es un isomorfismo. miro J. Sltos

6 -- epresentión Mtriil de un rnsformión Linel eorem 8 Se : V W un trnsformión linel donde V W son espios etoriles de dimensión finit. Supóngse que dim V n dim W m. Sen {... n } {... m } dos ses de V W respetimente. L representión mtriil de respeto de ls ses respetimente está dd por: [ ] [ ] [ ] [ ] n eorem 9 Se : V W un trnsformión linel donde V W son espios etoriles de dimensión finit. Se l representión mtriil de respeto ls ses de V W respetimente. Entones: V [ ] [ ] eorem Se : V W un trnsformión linel donde V W son espios etoriles de dimensión finit. Se l representión mtriil de respeto ls ses de V W respetimente. es un isomorfismo si sólo si det mn miro J. Sltos

7 -- miro J. Sltos em Se M nn : un funión on regl de orrespondeni: det Donde nn M. Determine si es un trnsformión linel. V Sen nn M det det det Esto no siempre se umple no es un trnsformión linel eisemos un ejemplo prtiulr: Se M V sen V 9 9 det det det Y omo emos no se stisfe l iguldd

8 -- em Se : M nn un funión on regl de orrespondeni: tr Donde M nn. Determine si es un trnsformión linel. V Sen M nn Se umple el primer riterio de linelidd. V M Se. Se nn Se umple el segundo riterio de linelidd es un trnsformión linel tr tr tr tr tr tr tr tr tr tr tr miro J. Sltos

9 em Se un mtri udrd de orden n. Considere l trnsformión : M nn M nn dd por es un mtri fij de orden n. Demuestre que es un trnsformión linel.. V Sen M nn Se umple el primer riterio de linelidd. V Se. Se M nn Se umple el segundo riterio de linelidd es un trnsformión linel Cundo los ejeriios pr determinr si un funión es un trnsformión linel estén sdos en operiones on mtries se reomiend trjrlos de mner generl omo se lo h heho en los prolems plntedos hst el momento -7- miro J. Sltos

10 -8- miro J. Sltos em Se : l funión que trnsform d punto del plno en su simétrio respeto del eje. Enontrr l regl de orrespondeni de demuestre que es un trnsformión linel. Determinr l regl de orrespondeni de es senillo que el punto simétrio en el plno respeto l eje es el punto en el plno u oordend en mi de signo. Entones: hor h que erifir si se umplen los riterios de linelidd V Se d d d d d d d Se umple el primer riterio de linelidd V Se. Se Se umple el segundo riterio de linelidd es un trnsformión linel

11 -9- miro J. Sltos em Determine el rngo l nulidd de l siguiente trnsformión linel Por definiión semos que: { } O W V Nu / plindo l definiión l prolem nos qued: / Nu Entones pr hllr el núleo de l trnsformión linel igulmos l regl de orrespondeni de l mism on el etor nulo de De donde onluimos que: Nu Pr el reorrido semos que: { } V W ; / e Y plid l prolem nos qued: / e Pr hllr ls ondiiones del reorrido igulmos l regl de orrespondeni on el etor típio de l imgen luego plntemos l mtri umentd l reduimos si es posile hst otener l mor ntidd de fils llens de eros. e ρ

12 -- miro J. Sltos em Dd l pliión linel : M definid por: Hlle l representión mtriil de respeto ls ses nónis. Enuentre Im Ker ρ ν Pr hllr l representión mtriil de deemos enontrr ls oordends de ls trnsformds de los etores de l se del espio de prtid respeto l se del espio de llegd Sen ls ses nónis de M respetimente Ests oordends representn ls olumns de l mtri soid es deir:

13 -- miro J. Sltos / Nu Igulmos l regl de orrespondeni de l trnsformión linel on el etor nulo del espio de llegd De donde otenemos: Nu M / Im Pr hllr l imgen igulmos l regl de orrespondeni de l trnsformión linel on el etor típio de l imgen plntemos el sistem de euiones reduimos l mtri umentd si es posile hst otener l mor ntidd de fils posiles llens de eros hor reemplmos est ondiión en el etor rterístio etremos l se e ρ eismos el teorem de l dimensión: dim V ρ

14 -- miro J. Sltos em 7 Se : M P un pliión definid por: Oteng Im Ker ρ ν Hllr l mtri soid on respeto ls ses { } Primero deemos simplifir l regl de orrespondeni de l trnsformión linel pr ello relimos ls operiones espeifids / P Nu Como semos h que igulr l regl de orrespondeni de l trnsformión linel on el etor nulo del espio de llegd on lo ul otenemos el siguiente sistem de euiones { } Nu M / e Igulmos l regl de orrespondeni de l trnsformión linel on el etor típio de l imgen es deir:

15 -- miro J. Sltos Con lo que se otiene el siguiente sistem de euiones: eemplmos l ondiión en el etor típio e ρ Pr hllr l mtri soid deemos enontrr ls oordends de ls trnsformds de los etores de l se del espio de prtid respeto l se del espio de llegd Plntendo l ominión linel:

16 -- miro J. Sltos [ ] M [ ] M [ ] M eemplndo en l mtri:

17 -- miro J. Sltos em 8 Se : un trnsformión linel tl que: Enuentre l regl de orrespondeni de Pr resoler este tipo de ejeriios deemos otener un se del espio de prtid on l rterísti de que onoemos en que etor del espio de llegd se trnsformn los etores de dih se. Por lo generl los etores que nos dn omo dtos son linelmente independientes onstituen un se del espio de prtid. Seleionmos un etor típio o representtio del espio de prtid en este so lo esriimos omo ominión linel de l se formd. Luego proedemos epresr los eslres en funión de ls riles que onformn el etor rterístio sí: es un se de Se M En l ominión linel plnted l iniio smos trnsformión linel mos ldos reemplmos los dtos simplifimos

18 -- miro J. Sltos

19 -7- miro J. Sltos em 9 Se : un trnsformión linel supong que: 8 Clule 9 Primero hllmos l regl de orrespondeni de Semos que: es un se de Se M Un e epresdos los eslres en funión de ls riles que onformn el etor típio smos trnsformión linel mos ldos de l ominión linel reemplmos igulddes simplifimos

20 -8- miro J. Sltos em Se : P P un operdor linel tl que: Determine l regl de orrespondeni de espeto l resultdo nterior enuentre Im Nu ρ ν Determine l representión mtriil de respeto l se nóni de P Primero hllmos l regl de orrespondeni utilindo el proedimiento isto en los ejeriios nteriores Se { } un se de P Se P M P { } / P Nu { } Nu

21 Pr hllr el reorrido utilimos el teorem que die que si entones es soreeti. -9- dim V dimw es ineti es ineti porque Nu { } O V L se nóni de P es { } e P ρ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] miro J. Sltos

22 -- miro J. Sltos em Constru de ser posile un trnsformión linel : P que umpl on ls siguientes ondiiones: t t t t Nu / { } P / Im Primero deemos enontrr un se l dimensión tnto del núleo omo del reorrido de l trnsformión erifir si se umple el teorem de ls dimensiones. Si este no se umple entones no eiste un trnsformión linel que umpl ls ondiiones que del prolem Se Nu t t t t Nu Se e { } e ρ eismos el teorem de l dimensión dim V ρ Como se umple el teorem nterior hor deemos formr un se del espio de prtid en este so l otenemos on los dos etores que nos dn en el prolem más el que form prte de l se del Nu. Se reomiend que de prefereni l se del espio de prtid onteng l se del núleo Un e otenid est se el proedimiento seguir es el mismo reisdo en los ejeriios nteriores

23 -- miro J. Sltos Se 9 9 M M Luego plimos trnsformión linel en mos ldos de l ominión linel reemplmos ls igulddes que otuimos ls que nos dn en el ejeriio. H que reordr que l trnsformd de todo etor que pertenee l núleo es igul l etor nulo del espio de llegd

24 -- miro J. Sltos em Constru de ser posile un trnsformión linel : S que umpl on ls siguientes ondiiones: / S Ker / Im Hllmos ls dimensiones del núleo del reorrido pr erifir si se umple el teorem de l dimensión Se Nu Nu Se e e ρ Verifindo el teorem dim V ρ hor formmos un se del espio etoril de prtid h que reordr que est se si es posile dee ontener l se del núleo Se S

25 -- miro J. Sltos M Finlmente: 8

26 -- miro J. Sltos em Se : P S un trnsformión linel on regl de orrespondeni: Demuestre que es inersile enuentre l regl de orrespondeni de Pr erigur si eiste l iners primero deemos omprr ls dimensiones de los espios donde oper l trnsformión; si ests dimensiones son diferentes entones no es inersile so ontrrio deemos proseguir on ulquier de ls siguientes opiones:. Enontrr el núleo er si es igul l nulo del espio etoril de prtid. Hllr l mtri soid lulr su determinnte si éste es diferente de ero entones es inersile. Nos inlinremos por l segund lternti por ser más ort. Pr ello enontrremos l representión mtriil de respeto ls ses nónis pr filitr los álulos Se S { } P ls ses nónis de S P respetimente. P P P hor lulmos el determinnte esogiendo l fil o olumn on más eros que eist det det det det es inersile

27 -- miro J. Sltos Lo siguiente es hllr l iners de pr ello igulmos l regl de orrespondeni on el etor típio del espio de prtid pr este prolem S [ ] p n n m Y eslonmos l mtri on l finlidd de epresr en funión de m n p M p n m n m n m M p n m m p n m 7 p n m n m p n m p n m n m n m eemplndo: 7 p n m n m n m p n m p n m

28 -- miro J. Sltos em Se : l trnsformión linel definid por: Determine si es un isomorfismo en so de serlo lule Pr determinr si es inersile deemos lulr el determinnte de ulquier de sus mtries soids si éste es diferente de ero entones será inersile Se l se nóni de Clulmos su determinnte: det es un isomorfismo Pr lulr l iners de igulmos l regl de orrespondeni on el etor típio del espio de prtid eslonmos el sistem de euiones hst otener l mtri identidd sí

29 -7- miro J. Sltos El ojetio será de epresr ls riles de l regl de orrespondeni de en funión de ls nues riles del etor típio del espio de prtid Lo que nos qued del otro ldo de l mtri umentd es l regl de orrespondeni de el pso finl únimente onsiste en ir reemplndo d iguldd dptándol los espios que pertenee que pr es senillo porque direto tl omo está sí: Y lulndo lo que nos pide el ejeriio:

30 -8- miro J. Sltos em Se : P un trnsformión linel on regl de orrespondeni: 7 Enuentre l representión mtriil de respeto ls ses { } de P de l mtri soid respeto ls ses nónis { } de P de Si es inersile enuentre l regl de orrespondeni de Por teorem semos: [ ] [ ] hor deemos hllr ls oordends de ls trnsformds de los etores de l se respeto l se M P M [ ] M P M [ ] Pr enontrr l representión mtriil de respeto ls ses nónis relimos el mismo proedimiento unque en este so es más fáil enontrr ls olumns de l mtri. [ ]

31 -9- miro J. Sltos 7 [ ] 7 7 D Pr ser si es inersile h que lulr el determinnte de ulquier de ls dos representiones mtriiles nteriores det det det es inersile Y omo se io en ejeriios nteriores pr enontrr igulmos l regl de orrespondeni de on el etor típio del espio de prtid en este so P n m 7 m n n m m n m n m 7 7 Pero omo l regl de orrespondeni está en términos de es mejor dejr epresd l respuest en funión de ls menionds riles 7

32 -- miro J. Sltos em Sen : : dos trnsformiones lineles definids por: Enuentre l trnsformión linel L Enontremos por seprdo d trnsformión linel pr l finl sumr tods Pr hllr est trnsformión linel es sufiiente on multiplir l regl de orrespondeni de por dos mos ldos es deir: Proseguimos de l siguiente mner: eemplmos ls regls de orrespondenis de ls respetis trnsformiones lineles simplifimos ls operiones:

33 -- miro J. Sltos El proedimiento es preido l relido nteriormente pero pr relir l omposiión es neesrio que el espio de llegd de l trnsformión linel de l dereh se el mismo espio de prtid de l trnsformión linel de l iquierd es deir: W V : U W : Como podemos notr lleg W prte de W sólo si esto se umple se puede relir l omposiión. Pr el ejeriio no h prolem pues ls dos funiones opern dentro del mismo espio etoril eemplndo l regl de orrespondeni: Luego elumos en l regl de orrespondeni de donde h que relr que l rile es hor es es Simplifindo ls operiones: 8 Un e hllds tods ls trnsformiones lineles por seprdo se proede on relir l sum de tods ells

34 -- miro J. Sltos [ ] L L L

35 -- miro J. Sltos em 7 Clifique ls siguientes proposiiones omo erdders o flss. Justifique formlmente su respuest. Eiste un trnsformión linel : tl que Se 8 Flso L funión : definid por es un trnsformión linel Se Contrejemplo Se Flso

36 -- miro J. Sltos L funión : definido por es linel V Sen V Se. Se Verddero d Si W V : es un trnsformión linel tl que es l representión mtriil de respeto ls ses entones es un isomorfismo Pr ser si es un isomorfismo strá on lulr el determinnte de l mtri soid det 9 det det det Verddero

37 -- miro J. Sltos e Se : P un trnsformión linel. Si entones Semos que: es un se de es deir que todo etor de se puede esriir omo ominión linel de los etores de est se. Se Pr hllr l regl de orrespondeni de deemos epresr los eslres en funión de. Plntemos l mtri umentd reduimos por Guss M M P hor olemos esriir l ominión linel plimos trnsformión linel en mos ldos de l euión plimos ls propieddes de ls trnsformiones lineles eemplmos los eslres por ls igulddes enontrds ls trnsformds de los etores de l se on los dtos del prolem. Simplifindo nos qued:

38 -- miro J. Sltos Y finlmente Verddero f Se : S P un trnsformión linel on regl de orrespondeni: Entones es un isomorfismo Pr ser si es inersile deemos hllr l mtri soid lulr su determinnte omo no nos dn ningun se nosotros usmos ls ses nónis. Sen { } P M ls ses nónis de P S respetimente. [ ] M [ ] M [ ] M det det es inersile Semos que si es inersile entones Verddero

39 Espios on Produto Interno -7- Produto Interno Definiión: Se V un espio etoril. Se f : VV un funión que sign d pr de etores V un únio eslr. Se die que f es un produto interno rel en V si umple on ls siguientes ondiiones:. V f. V f OV. V f f. V f f. V f f f Notiones: Se V un espio etoril. Se f : VV un produto interno rel en V ls diferentes notiones que puede tomr f están dds por:. f. / Norm de un Vetor Definiión: Se V un espio on produto interno f. Se se denot se define omo: V. L norm o módulo de que f Vetor unitrio Definiión: l etor V se lo llm etor unitrio si su norm es igul eorem Se V un espio on produto interno f. Entones se umple que:. V. V f O V miro J. Sltos

40 -8- Conjunto Ortonorml de Vetores Definiión: Se S {... n } un onjunto de etores de un espio etoril on produto interno V. Se die que S es un onjunto ortonorml de etores si:. i j. i j / i j / i j Si el onjunto S stisfe únimente l primer ondiión se die que S es un onjunto ortogonl. eorem Se V un espio etoril on produto interno. Se S {... n } un onjunto de etores no nulos de V ortogonl. Entones S es linelmente independiente en V Distni entre dos Vetores Definiión: Sen dos etores ulesquier del espio on produto interno V. L distni entre denotd por d se define omo: d Medid del ángulo entre dos Vetores Definiión: Se V un espio on produto interno. L medid del ángulo entre dos etores ulesquier no nulos de V se define omo: θ rcos / Complemento Ortogonl Definiión: Se W un suespio del espio etoril on produto interno V. El omplemento ortogonl de W denotdo por W se define omo: W { V / / ; W} Proeión Ortogonl Definiión: Se V un espio etoril on produto interno W un suespio de V. Se { u u u... u n } un se ortonorml de W. Se V. L proeión de ortogonl de sore W denotd por pro W se define omo: miro J. Sltos W / u u / u u / u u... u n u n pro /

41 eorem Se { u u u... u n } un se ortonorml del espio on produto interno V. Se V entones: u u / u u / u u... u u pro / / n n eorem Se W un suespio del espio on produto interno V entones se umple que:. W es un suespio de V. W W { O V }. dim W dimw dimv V -9- eorem de Proeión Se V un espio on produto interno. Se W un suespio de V. Se un únio etor h W p W tl que: Donde: h prow p pro W h p Mtri Ortogonl Definiión: L mtri inertile Q de nn se die que es ortogonl si: V. Entones eiste Q Q eorem Si Q es un mtri ortogonl de nn entones det Q o det Q eorem Un mtri Q inertile de nn es ortogonl si sólo si sus olumns formn un se n ortonorml pr on el produto interno nónio. eorem de proimión de l Norm Se V un espio on produto interno W un suespio de V. Se un etor ulquier de V. De todos los etores que se enuentrn en W el etor más erno es el etor pro W es deir: [ W { pro } ] prow < W miro J. Sltos

42 -- em Se el espio etoril V P donde se h definido l funión: f p q p q Determine si ést funión es un produto interno rel en P Esrimos l regl de orrespondeni en funión de ls riles del etor típio de P Se p q d P d f d f d d. V f P Se f siempre será mor igul ero Se umple el primer punto. V f P Se OV f Entones l funión será ero undo lo que nos die que l rile no neesrimente deerá ser ero. Vemos un ejemplo: Se f Se umple l iguldd O V f no es un produto interno rel en P miro J. Sltos

43 em Se el espio etoril V P donde se h definido l funión: f p q i p i q i Determine si ést funión es un produto interno rel en P -- Desrrollmos l sumtori: i p i q i p q p q p q Es deir: f p q p q p q p q Elumos de mner generl pr reduir un poo l regl de orrespondeni: Se p q d P f f d d d d d d d d f d d d d d d f d d. V f Se P f Se umple el primer punto. V f Se P OV f L úni soluión posile pr que l euión nterior se ero es que es deir que O V Se umple el segundo punto miro J. Sltos

44 --. V f f Se d P f d f d d d d d Se umple el terer punto. V f f f Se d m n P f d m n f f d m n m n m dn m d n m d n m n f d m n Se umple el urto punto. V f f Se. Se d P f f f es un produto interno rel en P d f d d d d d d d miro J. Sltos

45 -- miro J. Sltos em En se onsidern los siguientes onjuntos: gen S gen L Epresr el etor omo l sum de dos etores uno de S uno de L Siempre se onsej en este tipo de ejeriios esoger l se on menor número de etores puesto que el proeso de ortonormliión es más difíil mientrs más etores hlln L hor h que ortonormlir l se: u OL Se onsej dejr l se ortonorml epresd de l mner nterior. Finlmente pr hllr esos dos etores hllmos l proeión del etor sore el suespio L el otro lo otenemos por difereni Pr l u u l o l L Ce relr que los eslres en un produto interno rel pueden slir sin ningún prolem

46 -- miro J. Sltos [ ] l l l Pr hllr el otro etor despejmos de: s s l s s l

47 -- miro J. Sltos em Se V / W un suespio de V Determine: El omplemento ortogonl de W L proeión de sore W si se onoe que Pr lulr el omplemente primero neesitmos un se de W W Se W / W Pr hllr l proeión del etor que nos piden es mejor lulrl sore W deido que l se de este suespio tiene un solo etor ortonormlirl será más senillo. W

48 -- miro J. Sltos hor proedemos ortonormlir est se: u / 7 * W Vmos suponer que se puede esriir omo l sum de dos etores W h W p hllremos p luego ontestremos l pregunt l enontrr p h Pr u u p o p W p p p h h Pr o W

49 -7- miro J. Sltos em Se H / un suespio del espio eulidino on operiones usules produto interno nónio: Enuentre un se determine l dimensión de H Si enuentre dos etores H h H p tles que p h Determine el osθ donde θ es l medid del ángulo formdo entre p Primero otenemos l se de H Se H H dim H Por definiión: { } H h h V H ; / Se H H / H dim H

50 -8- miro J. Sltos H que reordr que por el teorem de proeión p h donde: o h H Pr o p H Pr Y que ests proeiones siempre se relin sore ses ortonormles lo que quiere deir que h que ortonormlir ls ses enontrds. Pero se reomiend ortonormlir l se del suespio on menor número de etores pr simplifir los álulos hllr el otro etor despejndo de l euión ntes meniond. Pr este ejeriio es onsejle hllr l se ortonorml de H oimente el etor p Se { } u un se ortonorml de H u donde 9 u Se reomiend dejr l multipliión epresd pues más delnte se simplifirá Pr p p u u p o p H p p Pr hllr h despejmos de l euión originl es deir: p h h h 7 7 h

51 Finlmente por definiión: Cosθ -9- Hllmos d prte de frión por seprdo: h h h h h p p p p p [ 7 7 ] Como el produto interno de h on p slió un resultdo esperdo deido que h p son ortogonles entre sí: h H p H. Por definiión el produto interno de ulquier etor de H on ulquier de H es ero entones l epresión se simplifi : Cos θ θ Cos θ 9º miro J. Sltos

52 -- em En el espio etoril P está definido el siguiente produto interno: p / q p q p q p q Enuentre un etor p tl que su norm se igul l medid del ángulo on el etor π q se rdines. Se el suespio de P : W { / } más er de r? Cuál es el etor de W que está Pr resoler este literl h que tener en uent el polinomio p es un inógnit por ese motio deemos suponer un p genério. Se p P El ejeriio nos d omo informión que l norm de p es por tnto: p p p Y sí otuimos un primer euión l otr que nos flt l otenemos del segundo dto del π literl el ul nos die que l medid del ángulo on el etor q es Cos θ p q p q Cos9 p q p q hor tenemos dos euiones que nos relionn ls riles. esoliendo el sistem miro J. Sltos

53 ± Eisten dos etores que umplen ls ondiiones espeifids sí que esogemos sólo uno de ellos nos qued: p Primero neesitmos etrer un se de W luego deemos ortonormlirl Se W { } W Deido que l se sólo tiene un etor ortonormlirl onsistirá únimente en diidir el etor pr su norm NW Entones pr hllr el etor erno deemos lulr su proeión sore W Pr o Pr o Pr o Pr o W W W W r r r r 7 r [ ] Por lo tnto el etor más erno 7 7 r es: miro J. Sltos

54 -- miro J. Sltos em 7 Se M V onsidere el produto interno: dh g f e h g f e d Se H / un suespio de V Determine el omplemento ortogonl de H Esri l mtri C omo l sum de dos etores H H tles que C Determine l medid del ángulo entre los etores C e I si se se que I d Determine l distni entre los etores C e I e Enuentre un se ortonorml de V Pr resoler este literl primero deemos enontrr un se de H omo tenemos el etor típio: H Pr hllr el omplemento ortogonl el etor típio de H le plimos produto interno on d uno de los etores de l se de H lo igulmos ero euerden utilir el produto interno definido en el ejeriio durnte todo su desrrollo Se H d d d d / d M d H Otenemos su se: d H

55 -- miro J. Sltos Deemos hllr l proeión de l mtri C sore el suespio u se teng el menor número de etores pero en este so mos suespios tienen dimensión por lo tnto esogemos ulquier de ls dos ses pr ortonormlirl. Ls proeiones siempre se luln sore ses ortonormles Vmos ortonormlir H est nue se l denotremos omo H { } u u Supóngse que Utilimos el proeso de ortonormliión de Grm-Shmidt u euerden pr todo el ejeriio utilimos el produto interno definido en el plntemiento del prolem u ' ' u [ ] ' ' ' ' u u

56 -- miro J. Sltos ' ' ' ' u Ce relr que no er neesrio relir todo el proeso deido que los etores de H son ortogonles es deir sí que pr ortonormlir l se sólo er neesrio diidir d etor pr su norm pero relimos todo el proeso pr prtir más; pero en delnte de ser posile nos sltremos los psos inneesrios Semos que: C o H Pr u u C u u C [ ] [ ] 9 Y pr otener l mtri despejmos de: C C

57 -- miro J. Sltos Pr determinr l medid del ángulo nos remitimos l fórmul: I C I C Cos θ Pero por omodidd de álulo l resoleremos por prtes l finl reemplremos todos los lores I C I C I C C C C C C C I I I I I I Finlmente reemplndo nos qued: 8 rcos Cos θ θ d Pr hllr l distni tmién utilimos un fórmul onoid: I C d I C d I C d I C d I C d I C I C d

58 -- miro J. Sltos e Pr este último literl reordremos quel teorem que nos indi que pr otener un se ortonorml de V st on unir un se ortonorml de un suespio H ulquier on l se ortonorml de su omplemente ortogonl es deir H Como tenemos l se ortonorml de H solo flt ortonormlir l se de H l ul denotremos omo H { } u u Supóngse que Pero estos dos etores son ortogonles solo flt que sen unitrios sí que diidiremos d uno de ellos pr su respeti norm L se ortonorml de V l denotremos omo entones:

59 -7- miro J. Sltos em 8 Clifique omo erdders o flss ls siguientes proposiiones. Justifique formlmente su respuest Se f : un funión on regl de orrespondeni: f Entones f es un produto interno rel en Pr erigur si l funión dd es un produto interno hrá que erigur si se umplen ls ondiiones del produto interno I V f Se No se umple el primer punto Pero h que plnter el ontrejemplo unque esté demostrdo formlmente que no es un produto interno Se f no es un produto interno Flso

60 -8- miro J. Sltos : t r t rsen t Cos t Cos t rsen es ortogonl Pr que l mtri se ortogonl el produto interno entre sus olumns dee ser igul l mismo tiempo el produto interno de d olumn onsigo mism dee ser igul. Entones utilindo el produto interno nónio: t Cos t rsen t Cos t rsen t rsen t Cos t Cos t rsen [ ] r t Sen t Sen t Sen r t Cos t Sen r t Cos t rsen t Cos t rsen π t t t Sen t Sen ± r r r Por lo tnto l iguldd sólo se umple pr los lores de r t enontrdos no pr todos los reles. Se igul proedimiento pr l segund olumn Flso Se V un espio etoril rel on produto interno. Sen V u dos etores ortonormles. Si los etores u β u β son ortogonles entones β / / / / / / / / / u u u u u u u u u u β β β β β β β β β Pero omo los etores u son ortonormles semos que: / / u u β β β β / / u u Verddero

61 Vlores Vetores Propios -9- Vlor Vetor Propio de un Mtri: Se un mtri de nn. Se die que es un lor propio n de si eiste un etor no nulo X tl que X X. En tl so se die que X es un etor propio de soido l lor propio Vlor Vetor Propio de un rnsformión Linel: Se V un espio etoril : V V un trnsformión linel. Se die que es un lor propio de de si eiste un etor propio no nulo V tl que. En tl so se die que es un etor propio de soido l lor propio eorem Se un mtri de nn. Entones es un lor propio de si sólo si: p det I Mtri Semejnte Definiión: Ls mtries de nn se die que son semejntes si eiste un mtri inertile C de nn tl que: C C eorem Sen dos mtries semejntes de nn. Entones se umple que:. det det. p p Y por tnto tienen los mismos lores propios pero no neesrimente los mismos etores propios eorem Se un lor propio de l mtri de nn. Entones: n { X C X X } E / Es un suespio de n C es llmdo espio propio de soido l lor propio eorem Se un lor propio de l trnsformión linel : V V. Entones: E { V / } Es un suespio de V es llmdo espio propio de soido l lor propio miro J. Sltos

62 -- Multipliidd Geométri Definiión: Se E el espio propio de l mtri de nn o de un trnsformión linel : V V soido l lor propio. Se define l multipliidd geométri de denotd por mg omo: mg dim E eorem Se un lor propio de l mtri de nn o de un trnsformión linel espio de dimensión finit V. Entones se umple que: : V V en el mg m eorem Vetores propios soidos lores propios diferentes son linelmente independientes. eorem 7 Se un mtri simétri de nn on omponentes reles. Si es un lor propio de entones es un número rel eorem 8 Se un mtri de nn simétri. Se X un etor propio de soido l lor propio X un etor propio de soido l lor propio. Si entones X X son ortogonles. eorem 9 Se un mtri de nn. Si tiene etmente n lores propios diferentes entones es digonlile Mtri Digonlile Definiión: Se die que l mtri de nn es digonlile si eiste un mtri inersile C de nn tl que: D C C Es deir un mtri de nn es digonlile si eiste un mtri digonl D de nn tl que D son semejntes eorem Un mtri de nn es digonlile si tiene n etores propios linelmente independientes miro J. Sltos

63 rnsformión Linel Digonlile -- Definiión: L trnsformión linel : V V donde V es un espio etoril de dimensión finit se die que es digonlile si eiste un se de V respeto de l ul l representión mtriil de es un mtri digonl eorem Un mtri de nn es digonlile si umple que por d lor propio de : m mg Mtri Digonlile Ortogonlmente Definiión: Un mtri de nn se die que es digonlile ortogonlmente si eiste un mtri ortogonl Q de nn tl que; D Q Q Donde D es un mtri digonl semejnte l mtri eorem Un mtri de nn es digonlile ortogonlmente si sólo si es un mtri simétri miro J. Sltos

64 -- miro J. Sltos em Hlle los lores etores propios de l siguiente mtri: Pr hllr los lores propios deemos enontrr el polinomio rterístio etrer sus ríes muhs ees es neesrio utilir l diisión sintéti pr poder ftorir l epresión I [ ] det I p Finlmente deemos enontrr los etores propios pr ello deemos hllr un se de los espios E El proedimiento onsiste en reemplr d lor propio en l mtri I resoler el siguiente sistem homogéneo: Entones pr hllr d espio plntemos el sistem meniondo reduimos l mtri hst otener l mor ntidd de eros posiles

65 -- miro J. Sltos E De donde etremos ls siguientes igulddes: eemplndo en el etor típio E E

66 -- miro J. Sltos em Enuentre de ser posile l mtri C que digonli l mtri: El proedimiento pr enontrr l mtri C onsiste en lulr el determinnte de I e igulrlo ero pr finlmente hllr los lores propios de l mtri reuerden que en muhos sos es neesrio usr diisión sintéti pr ftorir. I [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] det I p hor deemos hllr un se pr d espio propio soido on d uno de los lores propios reuerden que por lo generl los lores propios se los orden de menor mor ; E E

67 -- miro J. Sltos No h ningún prolem si multiplimos l etor por ulquier número pr eliminr l frión ; E E ; E E Finlmente ls olumns de l mtri C que digonli l mtri están dds por los etores que onformn ls ses de d uno de los espios propios C

68 -- miro J. Sltos em Determine los lores rterístios se pr d espio propio de l mtri: I [ ] [ ] [ ] [ ] hor relimos un mio de rile pr filitr l ftoriión del polinomio plindo diisión sintéti: Y finlmente hllmos d espio propio reemplndo d en l mtri I E E E E

69 -7- miro J. Sltos em Determine l mtri ortogonl Q que digonli ortogonlmente l mtri: Pr enontrr l mtri Q relimos el mismo proedimiento plido en los ejeriios nteriores sólo que undo hllemos ls ses de los espios propios deemos ortonormlirls ess serán ls olumns de l mtri en uestión H que reordr que ls olumns de est mtri formn un se ortonorml pr I [ ] [ ] det I p Cundo se lul el determinnte por medio de oftores es mejor utilir l fil o olumn on mor ntidd de eros presentes en l mism mién h que tener en uent que el proedimiento se puede simplifir por l preseni de iertos rtifiios por ejemplo en este so l epresión dentro del orhete es un difereni de udrdos perfetos su ftoriión es senill [ ] [ ] m m hor enontrmos ls ses de d espio propio ; E M M

70 -8- miro J. Sltos E H que ortonormlir est se pr otener l primer olumn de l mtri Q pero omo solo es un etor strá on diidirlo pr su norm en este so usmos el produto interno nónio O N E ; E M Si no pree l rile signifi que es lire no h ondiión de l que esté sujet E Igulmente deemos ortonormlir est se pero ntes h que notr que estos etores son ortogonles de pso el segundo es unitrio sí que strá on diidir el primer etor pr su norm on lo que otendremos l se usd ls dos últims olumns de nuestr mtri Q O N E Q

71 em Se un mtri udrd de tmño que represent un trnsformión linel : respeto l se nóni de Si tr det uáles son los lores propios de? Enuentre de ser posile un se de respeto de l ul l mtri soid se un mtri digonl si se onoe que Semos que pr ulquier mtri de orden el polinomio rterístio está ddo por: p tr det -9- Entones: Y on esto qued resuelto el primer literl Pr hllr dih se neesitmos digonlir ulquier mtri soid pero omo no tenemos l regl de orrespondeni tendremos que usr otro mino pr enontrr un mtri soid Pr este ejeriio tenemos sufiientes dtos pr hllr l representión mtriil de respeto l se nóni. Conoemos su segund olumn por el dto del literl sí que tenemos: demás onoemos el lor de l tr del determinnte por lo que tenemos el siguiente sistem de euiones Y de quí en delnte el proedimiento es el mismo que en ejeriios nteriores: I 7 Pero omo onoemos los lores propios de est mtri simplemente hllmos los espios propios miro J. Sltos

72 -7- miro J. Sltos ; E 7 M E l mismo tiempo este etor represent ls oordends de los etores propios de l trnsformión linel respeto l se de donde nió l mtri soid es deir son ls oordends de los etores propios del operdor linel respeto l se nóni de pr este so. ; E 7 M E Y estos dos etores enontrdos formn prte un se respeto de l ul l mtri soid es un mtri digonl H que tener en uent que si el espio donde oper l trnsformión linel es diferente n entones los etores de l se tendrán l form de diho espio sen mtries polinomios et.

73 em Clifique omo erdders o flss ls siguientes proposiiones. Justifique formlmente su respuest Si es un mtri tringulr los lores propios de son los elementos de su digonl prinipl Se l mtri n n n un mtri tringulr de nn. Entones: nn n n I n nn Cundo se tiene un mtri tringulr el determinnte de l mism está ddo por l multipliión de los elementos de l digonl prinipl. p det I... De donde otenemos que: nn nn n Por lo tnto pr i... n; n N i ii Verddero Se. Si det tr entones los lores propios de son M números reles Semos que: p tr det plindo el disriminnte l euión determinremos el tipo de ríes de l mism Δ Δ Δ El disriminnte es menor que ero por tnto ls ríes son números omplejos Flso nn -7- miro J. Sltos

74 -7- miro J. Sltos Si es un lor propio de entones Oseremos que l mtri es ortogonl deido que el produto interno entre sus olumns es ero l mismo tiempo el produto interno de d olumn onsigo mism es uno entones: mién omo es un mtri digonl sus lores propios son los elementos de l digonl prinipl es deir: Finlmente: Verddero