Pág. de 7 x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = x + k si x > se continu en x =. b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =, h de ser fx = f. x 8 x 8 x = fx x 8 = + k 8 k = x + k = + k x 8 + 0 f = x si x Ì b fx = x + si x > Pr vlores x Ì, l gráfic es un rect; pr x >, l gráfic es un trozo de prábol. c f'x = si x < si x > f' = f' + = No es derivble en x = porque f'? f' +. Estudi ls síntots y los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de l función fx = y x represéntl gráficmente. Asíntots verticles: x = 8 Posición: x = 0 x = 8 Posición: x 8 x 8 + x 8 x 8 + x x x x = +@ = @ = +@ = @ Asíntot horizontl: x 8 ±@ x = 0 8 y = 0 es síntot horizontl. Posición Si x 8 +@, fx < 0 Si x 8 @, fx > 0
Pág. de 7 Intervlos de crecimiento y de decrecimiento: + y' = 8 y' > 0 pr culquier vlor de x. x L función es creciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. L función y = fx tiene ls siguientes propieddes: Su dominio es Á {, }. Es continu en todo su dominio y cort el eje O en x =. Tiene un síntot horizontl en y = 0 con fx < 0 si x > y fx > 0 si x <, x?, x?. Tiene un síntot verticl en x = con fx = +@; fx = +@ x 8 + Tiene un síntot verticl en x = con fx = +@; fx = +@ x 8 + Tiene un mínimo en, y otro en 0,. Represent gráficmente l función. x 8 x 8 Hll l ecución de l tngente l curv fx = x x en el punto de bscis x =. Punto de tngenci: x = ; f = = Pendiente de l rect tngente: f'x = + x x x x x x f'x = = x m = f' = = Ecución de l rect tngente: 9 y = x + 9 x x x
Pág. de 7 Clcul, b y c de modo que l función fx = x x + bx + c pse por el punto 0,, teng un máximo reltivo en x = y un mínimo reltivo en x =. fx = x x + bx + c 8 f'x = x + b Ps por 0, 8 f0 = 8 c = Máximo en x = 8 f' = 0 8 + +b = 0 Mínimo en x = 8 f' = 0 8 7 6 + b = 0 fx = x x x + + b = 7 + b = 6 = / b = 6 Hll el dominio de definición, los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de l función: y = x + x Dominio: x Ó 0 8 x Ì 8 Dom = @, Pr hllr los máximos y los mínimos, clculmos l derivd y l igulmos cero: f'x = = x x x x f'x = 0 ï = 0 ï x = 0 ï x = ï x = ï x = x x = ; f = Comprobmos con l segund derivd si el punto, es máximo o mínimo: f''x = x / = x f'' = < 0 8 Hy un máximo en,. / Pr hllr los puntos de inflexión, igulmos cero l segund derivd: f''x = x = 0 8 No tiene solución. No tiene puntos de inflexión.
Pág. de 7 7 L rect de pendiente que ps por el punto 0, es tngente l curv y = x. Clcul ls coordends del punto de tngenci. Hllmos los puntos en los que l derivd es igul : f'x = x 8 x = 8 x x = 8 f = = x = 8 f = Vemos cuál de los dos está en l rect dd: Ecución de l rect y = + x Punto de tngenci:,., 8 y = + =, 8 y =? 8 De todos los rectángulos de perímetro 0 m, hll ls dimensiones del que tiene l digonl mínim. d b +b = 0 8 + b = 8 b = d = + b = + = 0 + Pr hllr el mínimo de d, igulmos cero su derivd: 0 d' = = = 0 8 = 0 8 = ; b = 0 + 0 + Estudimos el signo de d': d' < 0 d' > 0 Si =, l digonl es mínim. El rectángulo que tiene l digonl mínim es el cudrdo de ldo = m. 9 Durnte los 60 minutos de durción de cierto progrm de rdio, su índice de udienci viene ddo por l función It = t + bt + c, 0 Ì t Ì 60. Sbiendo que cundo se inici el progrm el índice de udienci es 0 y que los 0 minutos se lcnz el máximo índice de udienci de 6: Determin, b y c. Justific l respuest. b Represent l función obtenid. It = t + bt + c, 0 Ì t Ì 60 8 I't = t + b Como I0 = 0 8 c = 0 I0 = 6 8 0 + b 0 + c = 6 I'0 = 0 8 0 + b = 0
Pág. de 7 600 + 0b = 6 80 + b = 0 =, b =, c = 0 00 b t It = + t +0 00 ÍNDICE DE AUDIENCIA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60 TIEMPO min si x Ì 0 0 Se l función fx = x si 0 < x Ì bx si x > Hll y b pr que l función se continu en el conjunto Á. b Represent l función pr los vlores = 0 y b =. c Pr = 0 y b =, hll el áre de l región pln limitd por l gráfic de f, el eje de bsciss y ls rects x = y x =. f es continu en los intervlos @, 0, 0, y, +@ por estr definid medinte funciones polinómics. Estudimos l continuidd en x = 0 y en x = : x = 0 = x 8 0 fx Si = 8 =, f es continu en x = 0. x 8 0 x = x 8 0 + f0 = x = x 8 f = fx x = x 8 bx = b x 8 + b = 8 b = Si b =, f es continu en x =. Si = y b =, f es continu en Á. si x Ì 0 b f x = x si 0 < x Ì x si x >
Pág. 6 de 7 c A = x dx + = + = u x x dx = x x + x = Represent el recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones y = x x e y = x. Después, clcul su áre. y = x L gráfic de y = x x cort los ejes en los puntos: 0, 0,, 0 y, 0,, y = x x Tiene un máximo en, y un mínimo en,. Puntos de corte: y = x x y = x x x = x 8 x x = 0 8 x = 0, x =, x = Áre = 0 El recinto es simétrico. x x x dx + 0x x x dx = 0 x x dx = x 0 = 8 u x Clcul el áre limitd por l función y =, el eje O y ls rects x = y x =. x x Representmos l función y = : x Si x <, y 8 @ Asíntot verticl: x = Si x >, y 8 +@ Asíntot oblicu: y = x + Si x 8 +@, fx > x + Si x 8 @, fx < x + x x x x 6x + y' = = = 0 x x x =, f = 8 x =, f = 0 Signo de y': y ' > 0 y ' < 0 y ' < 0 y ' > 0 Máximo:, 0 Mínimo:, 8
Pág. 7 de 7 Áre = x x dx = x + + dx = x x = x = y = x x = + x + ln x = x y = x = + ln ln,7 u Escribe l expresión nlític de un función fx de l que conocemos: f''x = ; f' = 0 y f =. f''x = 8 f'x = dx = x + k; f' = 0 8 + k = 0 8 k = f'x = x 8 fx = x dx = f = 8 + k' = 8 k' = 8 = x fx = x + x + k' Dd l función fx = x + donde es un constnte: Encuentr un primitiv de f. b Si F es un primitiv de f, puede serlo tmbién Gx = Fx +? c Hll sbiendo que fx =,. x Fx = x x x + dx = + = x x b Gx = + 8 G'x = x + + x G no es un primitiv de f porque G'x? fx. x c = fx x x =, 8 + = 8 = 0 8