7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60 m ) sen 7 0,8; cos 7 4 0,96; tg 7 0,9 4 11,6 b) sen 8 8,4 0,74 11,6 11,6 cos 8 0,69; tg 8,4 1,0 11,6 8 c) sen 8 0,47 + 60 68 17 cos 60 1 0,88; tg 8 0, 68 17 60 1 Midiendo los ldos, ll ls rzones trigonométrics de ^ en cd cso: ) b) ) sen ^,8 0,8; cos ^ 0,9; tg ^,8 1,4,4,4 b) sen ^ 1, 0,4; cos ^,6 0,9; tg ^ 1, 0,6,8,8,6 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos gudos de los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): ) b 6 cm; 6, cm b)b,6 cm; c 4, cm c) c 16 cm; 6 cm ) sen ^ 6 0,90 6, 6, cm 6, cos ^ 6 7, 0,48 6, 6, tg ^ 6,01 6 cm 7, sen ^ 7, 0,48; cos ^ 6 0,90; tg ^ 7, 0,487 6, 6, 6 7, cm ág.,6 b) sen ^,6 0,991,9 cm 4, +,6,9 4, cm cos ^ 4,,6 cm 0,1,9 tg ^,6 7,467 4, sen ^ 4, 0,1; cos ^,6 0,991; tg ^ 4, 9,9,9,9,6 c) 6 sen ^ 16, 0,896 6 6 6 cm cos ^ 16 0, 4 ) 6 tg ^,, cm,016 16 sen ^ 16 0, 4; ) cos ^, 0,896; tg ^ 16 0,496 6 6, 4 omprueb, con el teorem de itágors, que los triángulos y H son rectángulos. 7 cm 16 cm 6,7 cm H 1,96 cm 4 cm,04 cm Hll en cd uno ls rzones trigonométrics del ángulo y compr los resultdos. Qué observs? El triángulo es rectángulo en : 4 +7 6 (,04 + 1,96) 6 El triángulo H es rectángulo en H:,04 + 6,7 76 4 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems ág. sen ^ cos ^ tg ^ en 7 0,8 4 0,96 7 0,9 4 en H 6,7 0,8 4,04 0,96 4 6,7 0,9,04 ì ì lcul ls rzones trigonométrics de los ángulos ^ y ^, D y D. 1 cm 1 cm D 16 cm D 1 1 9; 1 + 16 0 ^ ^ ^ D ^ D sen 1 0,8 1 1 0,6 0 9 0,6 1 16 0,8 0 cos 9 0,6 1 16 0,8 0 1 0,8 1 1 0,6 0 tg 1 1, ) 9 1 0,7 16 9 0,7 1 16 1, ) 1 Relciones fundmentles 6 Si sen 0,8, clcul cos y tg utilizndo ls relciones fundmentles ( < 90 ). cos 1 0,8 0,96; tg 0,8 0,9 0,96 7 Hll el vlor ecto (con rdicles) de sen y tg sbiendo que cos / ( < 90 ). 4 sen 1 / ( ) 1 ; tg 9 / Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 8 Si tg, clcul sen y cos ( < 90 ). ág. 4 sen cos sen + cos 1 6 sen 6 s c 1 6 ( c) + c 1 8 6c 1 8 cos 6 6 0 6 9 lcul y complet est tbl con vlores proimdos: sen 0,9 cos 0,1 tg 0,7 sen 0,9 0,6 0,99 cos 0,9 0,8 0,1 tg, 0,7 8,7 En todos los csos solo tomremos vlores positivos. sen 0,9 8 cos 1 (0,9) 0,9 tg 0,9, 0,9 tg 0,7 sen 0,7 8 sen 0,7 cos cos (sen ) +(cos ) 1 8 (0,7 cos ) +(cos ) 1 8 8 (cos ) 0,64 8 cos 0,8 sen 0,7 0,8 0,6 cos 0,1 8 sen 1 (0,1) 0,99 tg 0,99 8,7 0,1 10 lcul el vlor ecto (utilizndo rdicles) de ls rzones trigonométrics que fltn en l tbl siguiente ( < 90 ): sen / cos / tg sen / 7/ / cos / / / tg / 7/ Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems omo <90 8 sen >0 cos >0 sen 8 cos 1 ( ) 9 ág. / tg / 7 cos 8 sen 1 ( ) 9 7/ 7 tg / 7 tg 8 sen 8 sen cos cos (sen ) +(cos ) 1 8 4(cos ) +(cos ) 1 1 8 cos sen lculdor 11 omplet l tbl siguiente, utilizndo l clculdor: 1 0' 7 ' 40'' 8, sen cos tg 1 0' 7 ' 40'' 8, sen 0,6 0,8 0,9 0,997 cos 0,97 0,7 0,0 0,078 tg 0,7 1,4,16 1,71 1 Hll el ángulo en cd cso. Epréslo en grdos, minutos y segundos. ) sen 0,8 b)cos 0,7 c) tg, 1 d)sen e) cos f) tg ) 7' '' b) 41 4' '' c) 68 11' '' d) 48 11' '' e) 4 44' 8'' f) 76 44' 14'' Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 1 Hll, con l clculdor, ls otrs rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de los csos siguientes: ) sen 0, b)cos 0,74 c) tg 1,7 1 d)sen e) tg f) cos ) cos 0,97; tg 0,4 b) sen 0,67; tg 0,91 c) sen 0,87; cos 0, d) cos 0,71; tg 1 e) sen 0,87; cos 0, f) sen 0,; tg 0,8 ág. 6 ÁGIN 16 Resolución de triángulos rectángulos 14 Hll l medid de los ldos y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): ) b 7 cm c 18 cm b) cm b 7 cm c) b 18 cm ^ 40 d)c 1,7 cm ^ 6 e) cm ^ 6 ) b + c 7 +18 19,1 cm tg ^ b 7 0,8 ) 8 ^ 1 1' '' c 18 ^ 90 1 1' '' 68 44' 8'' b) c b 7 4 cm sen ^ b 7 0,8 8 ^ 16 1' 7'' ^ 90 16 1' 7'' 7 44' '' c) ^ 90 40 0 sen ^ b 8 sen 40 18 8 8 cm tg ^ b 8 tg 40 18 8 c 1,4 cm c c d) ^ 90 6 tg ^ b 8 tg 6 b c 1,7 8 b 7, cm cos ^ c 8 cos 6 1,7 8 0,0 cm Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems e) ^ 90 6 4 sen ^ c 8 sen 6 c 8 c 0,7 cm cos ^ b 8 cos 6 b 8 b 8, cm ág. 7 1 undo los ryos del sol formn 40 con el suelo, l sombr de un árbol mide 18 m. uál es su ltur? 40 18 m tg 40 18 8 1,1 m mide el árbol. 16 Un escler de m está poyd en un pred. Qué ángulo form l escler con el suelo si su bse está 1, m de l pred? cos 1, 0,4 8 66 ' 19'' m 1, m 17 De un triángulo isósceles conocemos su ldo desigul, 18 m, y su ltur, 10 m. uánto miden sus ángulos? 10 m b tg 10 1, 1 ) 8 48 46'' 9 18 m b 180 8 8' 8'' 18 lcul l ltur,, de los siguientes triángulos: ) b) 18 cm 8 cm 6 D D ) sen 6 8 16, cm b) sen 8 16,1 cm 18 8 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 19 lcul l ltur sobre el ldo en los siguientes triángulos: ) b) ág. 8 70 40 1 cm cm ) 70 1 cm b) sen 70 1 8 14,1 cm 40 cm sen 40 8 14,8 cm 0 Hll: ) L longitud. b)el áre del triángulo. Ten en cuent que D + D. cm D cm 4 ) En D, cos D 8 D 1,84 cm En D, cos 4 D 8 D 9 cm 1,84 + 9 4,84 cm b) Hllmos l ltur en el triángulo D: sen 8 18,7 cm 4,84 18,7 9,49 cm Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems Rzones trigonométrics de ángulos culesquier ág. 9 1 Sitú en l circunferenci goniométric los siguientes ángulos e indic el signo de sus rzones trigonométrics. ) 18 b) 198 c) 87 d)98 e) 8 f) 0 ompruéblo con l clculdor. ) 18 b) 18 sen + cos tg 198 198 sen cos tg + c) 87 d) 87 sen + cos + tg + 98 98 sen + cos tg e) 8 f) 8 sen cos + tg 0 0 sen cos + tg omplet est tbl sin usr l clculdor: 0 90 180 70 60 sen 1 cos 0 tg No tiene 0 90 180 70 60 sen 0 1 0 1 0 cos 1 0 1 0 1 tg 0 No tiene 0 No tiene 0 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems En cd uno de estos círculos está indicdo el signo de ls rzones trigonométrics de, según el cudrnte en el que esté. uál corresponde sen. uál cos? Y cuál tg? ) b) c) + + + + + + ág. 10 ) cos b) sen c) tg 4 Resuelto en el libro de teto. ÁGIN 16 Dibuj dos ángulos cuyo seno se / y ll su coseno. Q b O sen 4 1 8 cos ± 1 ± ± ì 1 ì cos O ; cos OQ 1 6 Dibuj un ángulo menor que 180 cuyo coseno se / y ll su seno y su tngente. 1 O ì El ángulo O cumple ls condiciones. cos 4 ì 8 sen ± 1 ± 8 sen O 9 ì / tg O / Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 7 Sbiendo que tg y < 180, ll sen y cos. sen s c cos 1 4c + c 1 8 c 1 8 c ± ± (sen ) +(cos ) 1 ág. 11 1 cos ; sen IENS Y RESUELVE 8 Dos ntens de rdio están sujets l suelo por cbles tl como indic l figur. lcul l longitud de cd uno de los trmos de cble y l distnci E. 100 m D 4 0 60 0 Q E 7 m sen 60 100 8 11,47 m tg 60 100 8 7,74 m sen 0 100 8 00 m tg 0 100 8 17,1 m cos 4 7 8 D 106,07 m tg 4 Q D 7 8 Q 7 m cos 0 7 8 DE 86,6 m tg 0 QE DE 7 8 QE 4, m E 7,74 + 17,1 + 7 + 4, 49, m 9 Un escler pr cceder un túnel tiene l form y ls dimensiones de l figur. lcul l profundidd del punto. m 0 10 m 0 m 0 m 0 10 m y 0 m 0 sen 0 8 1, m sen 0 y 0 8 y,98 m rofundidd: 1, +,98,48 m Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 0 Un señl de peligro en un crreter nos dvierte que l pendiente es del 1%. Qué ángulo form ese trmo de crreter con l orizontl? uántos metros emos descendido después de recorrer 7 km por es crreter? ág. 1 100 sen 1 1 0,1 8 6 ' '' 100 7 km 6 8' 4'' sen 7 8 0,1 7 0,84 km 840 m 1 En un rut de montñ, un señl indic un ltitud de 78 m. Tres kilómetros más delnte, l ltitud es de 1 6 m. Hll l pendiente medi de es rut y el ángulo que form con l orizontl. 16 m km 78 m 1 6 78 480 m sen 480 0,16 8 9 1' '' 000 endiente tg 0,16 8 16,% Los brzos de un compás, que miden 1 cm, formn un ángulo de 0. uál es el rdio de l circunferenci que puede trzrse con es bertur? sen 1 8,07 cm Rdio de l circunferenci 10,14 cm 0 1 cm Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems lcul el áre de cd uno de estos triángulos: ág. 1 ) 1 m 0 m b) Q 0 m R ) lculmos l ltur,, sobre : sen 0 8 9,19 m 1 Áre 9,19 10,68 m b) lculmos l ltur,, sobre R: sen 8 11,47 m 0 lculmos l bse, R : cos R/ 8 R 40 cos,77 m 0 Áre,77 11,47 188 m 4 En el triángulo clcul y. En el triángulo : sen 6 8 16,1 cm 18 cos 6 8 7,61 18 7,61 1,9 + 16,1 + 1,9,4 cm 18 cm 6 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems En el triángulo ll, e y. En el triángulo : cos 0 8 10,9 cm 17 17 cm 9 cm sen 0 8 1,0 cm 0 17 y En el triángulo : y 9 9 1,0,91 cm ág. 14 6 lcul, y b. En el triángulo, + 17. sen 8 0,74 cm 8 b 8 cm cos +17 8,19 cm 8 17 cm b + 44,1 cm 7 onocemos l distnci de nuestr cs l iglesi, 17 m; l distnci de nuestr cs l depósito de gu, 11 m, y el ángulo, 4, bjo el cul se ve desde nuestr cs el segmento cuyos etremos son l iglesi y el depósito. uál es l distnci que y de l iglesi l depósito de gu? I 17 m 4 11 m D En el triángulo I: cos 4 17 8 100, m sen 4 I 17 8 I 9,4 m D 11 100, 110,8 m Distnci de l iglesi l depósito: ID D + I 110,8 + 9,4 144,9 m Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 164 ág. 1 8 Desde l torre de control de un eropuerto se estblece comunicción con un vión que v terrizr. En ese momento, el vión se encuentr un ltur de 1 00 metros y el ángulo de observción desde l torre (ángulo que form l visul ci el vión con l orizontl) es de 0. qué distnci está el vión del pie de l torre si est mide 40 m de ltur? 100 m D 0 40 m tg 0 1 00 40 8 d 1 160 009, m d tg 0 Utilizndo el teorem de itágors: D (1 00) + ( 009,) 40, m L distnci del vión l pie de l torre es de 40, m. 9 Desde el lugr donde me encuentro, l visul de l torre form un ángulo de con l orizontl. d Si me cerco m, el ángulo es de 0. uál es l ltur de l torre? tg + tg 0 tg + tg tg 0 tg + tg tg 0 tg (tg 0 tg ) tg 7,6 m tg 0 tg L ltur de l torre es 7,6 tg 0,84 m. 0 m Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 40 lcul l ltur de l luz de un fro sobre un cntildo cuy bse es inccesible, si desde un brco se tomn ls siguientes medids: El ángulo que form l visul ci l luz con l líne de orizonte es de. Nos lejmos 00 metros y el ángulo que form or dic visul es de 10. ág. 16 00 m 10 tg 8 tg tg 10 8 ( + 00)tg 10 + 00 tg ( + 00)tg 10 8 (tg tg 10 ) 00 tg 10 8 8 00 tg 10 11,6 m tg tg 10 tg 11,6 tg 6,7 m 41 r clculr l ltur del edificio, Q, emos medido los ángulos que indic l figur. Sbemos que y un funiculr pr ir de S Q, cuy longitud es de 0 m. Hll Q. Q 0 m 10 R lculmos SR y RQ con el triángulo SQR: cos 0 SR 0 8 SR 0 cos 0 16, m sen 0 RQ 0 8 RQ 0 sen 0 1 m 0 S lculmos R con el triángulo SR: tg 40 R 8 R 16, tg 40 181,66 m SR Luego, Q R RQ 181,66 1 6,66 m L ltur del edificio es de 6,66 m. Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 4 Ls tngentes un circunferenci de centro O, trzds desde un punto eterior,, formn un ángulo de 0. Hll l distnci O sbiendo que el rdio de l circunferenci es 1,4 cm. ág. 17 O1,4 cm sen 1,4 8 O 8 O 1,4 9,4 cm sen 4 Dos edificios distn entre sí 10 metros. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que ls visules los puntos más ltos de estos formn con l orizontl ángulos de y 0. uál es l ltur de los edificios, si sbemos que los dos miden lo mismo? tg 0 tg 10 tg 0 (10 )tg tg 0 8 10 tg 98,7 m (10 ) tg tg 0 + tg 98,7 tg 0,9 m L ltur de los dos edificios es de,9 m. 0 10 m 44 En dos comisrís de policí, y, se escuc l lrm de un bnco. on los dtos de l figur, clcul l distnci del bnco cd un de ls comisrís. 7 km 7 km tg 7 tg tg 7 ( )tg ( )tg tg 7 8 tg tg + tg 7,89 km 8 1,47 km + 8,89 + 1,47,4 km tg tg + tg 7 ( ) + 8,11 + 1,47,7 km Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 4 Hll el áre de un octógono regulr de 1 cm de ldo. 1 cm, 60 4 ; 4, ; potem: 8 tg, 6 8 14,49 cm Áre (1 8) 14,49 69, cm ág. 18 46 En un trpecio isósceles de bses y D, conocemos los ldos m y m, y los ángulos que form l bse myor con los ldos oblicuos, que son de 4. Hll su áre. sen 4 8 m m m cos 4 8 m 4 4 D se myor: + + 11 m Áre ( + 11) 4 m 47 El ldo de l bse de un pirámide cudrngulr regulr mide 6 m y el ángulo D 60. Hll su ì volumen. O 60 l D 6 m l 60 6 m l D D El triángulo D es equilátero; l 6 m ltur de l pirámide: d 6 +6 8 d 6 m d 6 m 6 O m En el triángulo O, O 6 ( ) 18 m Volumen 1 6 6 m Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems 48 Hll el ángulo que form l digonl de un cubo de rist 6 cm con l digonl de l bse. ág. 19 6 cm 6 cm 6 6 cm 6 +6 8 6 cm 6 1 tg 6 8 1' '' 49 Desde un fro F se observ un brco bjo un ángulo de 4 con respecto l líne de l cost; y unbrco, bjo un ángulo de 1. El brco está km de l cost, y el, km. lcul l distnci entre los brcos. lculmos F y F: sen 4 8 F 7, km F sen 4 sen 1 8 F 8,7 km F sen 1 4 1 km d km F r clculr d utilizmos el triángulo de l derec: sen 7, 7, sen,74 km F cos 8 7, cos 6,8 km 7, y 8,7 8 y 8,7 6,8 1,7 km 7, km 8,7 km y d Utilizndo el teorem de itágors: d + y,74 + 1,7,16 km L distnci entre y es de,16 km. Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 16 ág. 0 R EFLEXION SORE L TEORÍ 0 Observ el triángulo rectángulo MN, y en ls siguientes igulddes, sustituye los puntos suspensivos por sen, cos o tg. ) M^ m b) N^ p m p n m M p c) M^ m d) N^ n n p N ) sen M^ m b) cos N^ m c) tg M^ m d) sen N^ p p n n p 1 Eiste lgún ángulo tl que sen / y tg 1/4? No, porque si sen 9, cos 1 4 y tg /? 1. 4/ 4 4 Eiste lgún ángulo gudo cuyo seno se myor que l tngente? Justific l respuest. El seno es siempre menor que l tngente, porque seno cteto opuesto y tngente cteto opuesto ipotenus cteto continguo y l ipotenus es, siempre, myor que el cteto contiguo. En un triángulo rectángulo, uno de los ctetos mide el doble que el otro. uánto vlen ls rzones trigonométrics del ángulo menor? 1 1 sen ; cos ; tg 1 4 uede eistir un ángulo cuyo seno se igul? Y uno cuyo coseno se igul /? Rzon ls respuests. No, porque el cteto opuesto es siempre menor que l ipotenus y, por ello, el vlor del seno de un ángulo gudo es siempre menor que 1. El coseno es tmbién menor que 1 por l mism rzón. No puede ser igul /. Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems Indic, en cd cso, en qué cudrnte está el ángulo : ) sen > 0, cos < 0 b) tg > 0, cos > 0 c) sen < 0, cos > 0 d) sen < 0, cos < 0 ). cudrnte. b) 1. er cudrnte. c) 4. cudrnte. d). er cudrnte. ág. 1 6 Los dos ángulos gudos de un triángulo rectángulo se llmn complementrios porque su sum es uno recto. Observ l figur, complet l tbl y epres simbólicmente lo que obtienes: c 90 b sen cos tg 90 90 sen b/ c/ cos c/ b/ tg b/c c/b sen cos (90 ) cos sen (90 ) tg 1 tg(90 ) 7 Usndo ls relciones fundmentles, demuestr que: ) (sen + cos ) +(sen cos ) b) (sen ) + sen (cos ) 1 sen c) (sen ) + sen (cos ) tg cos d)1 + (tg ) 1 (cos ) ) (sen + cos ) +(sen cos ) (sen ) +(cos ) + sen cos +(sen ) +(cos ) sen cos 1 + 1 b) (sen ) + sen (cos ) sen [(sen ) +(cos ) ] sen 1 sen sen sen c) (sen ) + sen (cos ) sen [(sen ) +(cos ) ] sen tg cos cos cos d) 1 + (tg ) (sen ) 1 + (cos ) +(sen ) 1 (cos ) (cos ) (cos ) Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems ROFUNDIZ ág. 8 Sobre l circunferenci goniométric señlmos un ángulo en el primer cudrnte y prtir de él dibujmos los ángulos: 180 180 + 60 usc l relción que eistre entre: ) sen (180 ) y sen cos (180 ) y cos tg (180 ) y tg b)sen (180 + ) y sen cos (180 + ) y cos tg (180 + ) y tg c) sen (60 ) y sen cos (60 ) y cos tg (60 ) y tg 180 180 + 60 ) sen (180 ) sen b) sen (180 + ) sen cos (180 ) cos cos (180 + ) cos tg (180 ) tg tg (180 + ) tg c) sen (60 ) sen cos (60 ) cos tg (60 ) tg 9 Sitú el ángulo ddo sobre l circunferenci goniométric y epres sus rzones trigonométrics utilizndo un ángulo gudo como en el ejemplo: Ejemplo: 1 sen 1 sen cos 1 cos tg 1 tg ) 10 b) 40 c) 00 d) e) 100 f) 0 ) sen 10 sen 0 b) sen 40 sen 60 cos 10 cos 0 cos 40 cos 60 tg 10 tg 0 tg 40 tg 60 10 0 40 60 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems c) sen 00 sen 60 d) sen sen 4 cos 00 cos 60 cos cos 4 tg 00 tg 60 tg tg 4 ág. 00 60 4 e) sen 100 sen 80 f) sen 0 sen 40 cos 100 cos 80 cos 0 cos 40 tg 100 tg 80 tg 0 tg 40 100 80 0 40 60 Resuelto en el libro de teto. 61 Resuelve ls siguientes ecuciones sbiendo que 0 Ì Ì 60 : ) (sen ) sen 0 b)(cos ) cos 0 c) tg + 0 d)4(sen ) 1 0 e) (cos ) cos 1 0 ) (sen ) sen 0 sen (sen 1) 0 sen 0 sen 1 8 0 180 90 b) (cos ) cos 0 cos ( cos ) 0 cos 0 cos / 90 70 0 0 c) tg + 0 8 tg 1 1 1 Unidd 7. Trigonometrí
7Soluciones los ejercicios y problems d) 4(sen ) 1 0 8 (sen ) 1 4 1 0 sen 10 1 10 sen 0 ág. 4 e) (cos ) cos 1 0 1 ± 1 + 8 cos 4 1 ± 4 cos 1 8 0 1 10 cos 40 Unidd 7. Trigonometrí