4. Series, Taylor y límites indeterminados

4 Series, Taylor y ites idetermiados 4 Series de úmeros reales Queremos hacer sumas de ifiitos úmeros reales, llamadas series: a + a + a + = a = Por ejemplo, sumemos /5+/5 +/5 +/5 4 +/5 5 + Sumar u úmero fiito de térmios siempre se puede: la suma de los primeros es 04, la de los 5 primeros es 0499, la de los 0 es 0499999744, Pero carece de setido sumar ifiitas veces La palabra ifiito e matemáticas siempre está uida al cocepto de ite Dada ua serie, siempre podemos hallar la k-ésima suma parcial S k = a + + a k Parece atural decir que la suma S de los ifiitos a será el ite de la sucesió {S k } E la serie aterior parece que este ite eiste y que es S = 05, pero este ite pudiera o eistir para otras Así, para la serie + + las sumas parciales va siedo S =, S =0, S =, S 4 =0,, sucesió divergete (y, por tato, o se le puede asigar igú valor a la suma de los ifiitos térmios) Lo primero que miraremos cuado aparezca ua serie es si la suma ifiita tiee setido: Def La serie = a es covergete si lo es la sucesió {S k } co S k = k a La suma de = la serie es etoces el k S k Se llama térmio geeral de la serie al a y sucesió de sus sumas parciales a {S k } Si ua serie o coverge, se dice divergete La serie coverge si lo hace su sucesió de sumas parciales; otra cosa distita es que coverja su térmio geeral Para = =+++ es {S k} = {k}, que claramete diverge a, y si embargo coverge la sucesió costate {a } = {} ; proto veremos que para que la serie coverja será ecesario (pero o suficiete) que {a } tieda hacia cero (para que pueda ser fiita la suma de ifiitos úmeros es ecesario que sea muy pequeños)] De la defiició y las coocidas propiedades de los ites de sucesioes se deduce imediatamete que si suprimimos, cambiamos o añadimos u úmero fiito de térmios al pricipio de ua serie, o se altera su carácter de covergecia o divergecia (auque sí el valor de su suma, si coverge), porque las uevas sumas parciales diferirá de la iicial sólo e u costate Por eso, cuado hablemos simplemete de covergecia podremos o escribir el e que empezamos a sumar; icluso escribiremos sólo (o olvidado que so ifiitos térmios) Tambié está claro (por las propiedades de sumas y productos de sucesioes) que si a y b coverge y si c R, tambié covergerá las series a +b ] y ca y que: = a +b ] = a + b ; = = = ca = c a = Cómo saber si ua serie coverge o o? Cuáto vale su suma si es covergete? Veremos ua serie de criterios que os permitirá respoder e la práctica a la primera preguta para muchas series (desde luego la defiició ε N del ite de sucesioes o es adecuada, i vimos e teoremas para trabajar co sucesioes e las que el úmero de sumados va creciedo) Respecto de la seguda, casi siempre ecesitaremos calculadora u ordeador para dar simplemete u valor aproimado de la suma de la serie 59

Dos casos e que se puede sumar la serie (ecepcioales, porque podemos ecotrar ua epresió maejable de la sumas parciales; cuado veamos series de Taylor e 44 cooceremos la suma de algua otra serie) so los siguietes: Series geométricas (progresioes geométricas de ifiitos térmios): r = + r + r + Si r es S k = rk+ r Si r <, Y si r diverge, al hacerlo S k (tambié si r =± : Ej Co esto vemos que 5 + 5 + 5 + = 5 ( 5 ) = 5 /5 = 4 r = r ) + + + + diverge = 05 como sospechábamos De la misma forma que e este ejemplo, es fácil ver que, e geeral, =k r = rk r, si r < ] Series telescópicas: b b + ] S k = b b ] + b b ] + + b k b k+ ] = b b k+ = Por tato, esta serie coverge si y solo si {b } coverge y etoces su suma es: b b Ej Ej = + = +] = = = coverge y ese es su valor log + = log log(+)] es divergete, porque log diverge hacia + = = Salvo e estos dos casos os coformaremos co saber si la serie que tratamos coverge o o y co la calculadora para aproimar su suma (a ser posible, dado ua cota del error cometido) Lo que sigue so los criterios más importates para distiguir las series covergetes de las divergetes (hay más, pero aplicables e muy pocos casos prácticos) El primer criterio permite idetificar u motó de series divergetes (muchas veces a simple vista): Teorema: Si a es covergete a 0 La implicació opuesta ( ) es falsa] Es a =S S Etoces a 0, pues S y S tiee, desde luego, el mismo ite Ej 0000 + es divergete, porque el térmio geeral a o tiede a 0 ( ) tiede a 0000 Ej ( ) e / diverge, porque a tampoco tiede a 0 (i a ada; pares, impares ) Veamos que es falso, o sea, que o basta que los úmeros que sumemos tieda a 0 para que la serie coverja Para ello basta u cotraejemplo: La serie armóica = diverge ( a 0, pero la suma es ifiito ) No se ve co ua calculadora: S =, S =5,, S 0 99,, S 00 587,, S 000 7485, o parece estabilizarse, pero sumados muy altos acabaría por o afectar al úmero de la patalla] Para probarlo cosideramos la serie + + 4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 +, de térmios meores que los de la armóica Teemos etoces que: S = +, S 4 > + +, S 8 > + + +,, S > + Por tato la sucesió de sumas parciales de diverge (i siquiera está acotada) 60

Series de térmios positivos a 0 o de térmios egativos, pues a = ( a ) ] Observemos que etoces las sumas parciales forma ua sucesió creciete Veamos varios criterios de covergecia El primero eige saber algo de itegrales y ites de fucioes, pero lo ecesitamos para tratar las importates series s Se defie: a Criterio itegral: f ()d = b b a f ()d (si el ite eiste; la itegral se dice covergete) Sea f () fució positiva y decreciete para Etoces la serie f () coverge = f ()d coverge El error está acotado por k+ f ()d S S k k f ()d Este criterio, es de los pocos que da cota del error cometido al sustituir la suma S de la serie covergete por la k-ésima suma parcial No lo demostramos Recordado el sigificado geométrico de la itegral, es ituitivamete claro a partir del dibujo s coverge si s> y diverge si s = Si s 0, el térmio geeral o tiede a 0 y la serie diverge f() 4 k k+ Si s>0, la fució f () = s es positiva y decreciete y aplicamos el criterio aterior: si s, b s d = b s s ; si s=, b d = logb ; si b, la primera itegral coverge para s> y si 0<s< La seguda Ej Para aproimar la suma S de la serie covergete = =+ 8 + 7 + sumamos 50 térmios y obteemos S 50 = 0860 Estimemos el error cometido E, utilizado el criterio itegral: 5 d = ] 5 = = 00009 E = S S 5 50 50 d = ] 50 = = 0000 50 El valor de S (o calculable eactamete) está compredido etre 005 y 0060 E los dos siguietes criterios compararemos uestra serie co otra de covergecia coocida (ormalmete co las s ; por eso será adecuados cuado hay como mucho potecias de ; si aparece térmios mayores, como o!, será mejor usar el cociete o la raíz que veremos) Criterio de comparació por desigualdades: Si 0 a b, etoces b coverge a coverge y a b = = Y por tato a diverge b diverge Pero o se obtiee igua coclusió de que la mayor diverja o de que la meor coverja] Sea S k = a + + a k, T k = b + + b k So sucesioes crecietes co 0 S k T k Etoces: T k covergete T k acotada S k acotada S k covergete y S k T k Ej se + + coverge, ya que 0 se + + y sabemos que = coverge Ej + diverge, pues + ( y la armóica diverge de + ) o sacaríamos ada Lo podemos afirmar si el criterio: la suma de ua a covergete y otra b divergete es divergete (si covergiese, a +b ] a = b covergería) y esto le pasa a uestra serie + ] Que coste que la suma o diferecia de dos divergetes sí puede ser covergete] 6

Trabajar co desigualdades puede ser complicado, por eso suele ser bastate más útil: Criterio de comparació por paso al ite: a Sea a, b 0 y b = c (fiito) Etoces: Si c>0, a coverge b coverge Si c=0, b coverge a coverge Si c>0, para N, c a b c 0 c b a c b y aplicamos el criterio aterior Si c=0, para N, 0 a b 0 a b y otra vez el criterio A partir de ahora, para abreviar, represetaremos co el símbolo el hecho de que a dos series les podemos aplicar la primera parte de este criterio, es decir: Ej a b si a b c>0 A pesar del símbolo elegido, o quiere decir esto que, auque las dos series coverja a la vez, la suma de ua se parezca a la de la otra (itetemos o escribir a b ) ] Esta parte del criterio co c>0 permite determiar la covergecia de muchas series a simple vista, mirado sólo e los térmios s que mada e umerador y deomiador: diverge, porque a = ( a es decir, / = > 0 ) y diverge La comparació por o es adecuada aquí (de la acotació secilla a o sale ada, pues auque la gorda diverja la meor podría coverger); e cambio, para el primer ejemplo del criterio aterior, como se+ o se parece a ( a + o tiee ite), el paso al ite / o parece adecuado (se puede usar la parte co c = 0, pero es más fácil usar desigualdades)] Ej 5 7 +cos coverge, pues a / ( a / / 5 > 0 ) y / es covergete Auque sea uos cuatos a <0, esto o impide aplicar criterios para series de térmios positivos, pues la covergecia se matiee si los quitamos] Ej arcta 4 + coverge, ya que a ( a π / 8, pues arcta π ) y Ej coverge 7 +( ) coverge: a 7 ( a /7 > 0 ) y ( 7 ) es geométrica covergete Algua vez compararemos co otras series coocidas y o sólo co las s ] Ej se La sucesió 0 y sabemos ya que se ites de sucesioes y fucioes se tiee: 0 Por los teoremas que relacioa a / coverge la dada coverge Cuado los térmios que domie cotega logaritmos habrá que aplicar la seguda parte (la de c = 0 ) de este criterio (porque log o se parece a igua potecia de ): Ej log 4 coverge, pues log/4 = log / 0 (ite admitido) y (más gorda) coverge log / diverge, pues log/ 0 y (más pequeña) diverge ] o por desigualdades log > si o por el itegral log d = (log) ] ] log coverge, pues log/ = log / / / 0 y / coverge hemos debido afiar pues es covergete pero meor y es mayor pero diverge] 6

Series de térmios cualesquiera Cosideremos primero la serie, de térmios positivos, de los valores absolutos a Teorema: a es covergete a es covergete La implicació es falsa] 0 a + a a, a coverge a + a ] coverge (criterio de comparació por desigualdades) a + a ] a = a coverge es falsa: proto veremos series a covergetes pero tales que a diverge Diremos que a es absolutamete covergete si a es covergete (el teorema aterior afirma que absolutamete covergete covergete) Diremos que a es codicioalmete covergete si coverge, pero o absolutamete Ej ( )+ + coverge absolutamete (y por tato coverge) pues + coverge ( ) Ej cos cos ( ) geométrica covergete a coverge a coverge Ej cos Ej De cos o sacamos ada ( divergete) No sabremos decir si coverge De hecho, auque es largo de probar y se utiliza criterios que ostros o estudiamos, es covergete Auque eso o sea igua prueba, se puede ir al ordeador y sumar, por ejemplo, 000, 0000 y 00000 térmios Se obtiee: S 000 004, S 0000 0049, S 00000 0040 Parece coverger] ( ) + = Criterio de Leibiz: ( o coverge absolutamete pues = + diverge ), pero sí coverge codicioalmete (hacia log como se verá e 44) gracias a este criterio para series alteradas ( + + + ): Si a 0 es decreciete y a 0 etoces ( ) + a = a a + a = coverge Además, el error absoluto S S N a N+ (primer térmio que se omite) Es fácil ver que por ser {a } decreciete: S S 4 S S + S S Como S y S + so moótoas y acotadas coverge S4 S S (al mismo ite, pues S + S = a + 0 ), co lo que la serie coverge Sea S su suma Se ve que para todo es S S S + Además: S S 0 S S S + S = a + ; S S a + 0 S S S S = a ; S S a N, par o impar, S S N a N+ Si la serie fuese ( ) a = a +a, el criterio y la cota del error absoluto sería iguales y ua suma parcial está a la derecha (izquierda) de S si lo último que hemos hecho es sumar (restar)] No olvidemos que esta cota ta secilla del error sólo se tiee para estas series de Leibiz Para las de térmios positivos covergetes las sumas parciales S se va acercado a la suma S formado ua S S S S sucesió creciete y el error S S N es, por tato, mayor que el siguiete térmio a N+ ; el úico criterio que os ha dado cota del error es el itegral (pero es aplicable a muy pocas series)] S 6

Ej ( ) + covergía absolutamete Tambié podemos ver que coverge usado Leibiz: + = Es alterada, + 0 y es + > Estimemos el valor de su suma S (+) + Por ejemplo, es: 5 + 0 7 = 04 < S < 5 + 0 = 04, acotació ada precisa Si queremos el valor co error <0 debe ser a N+ = (N+) + < 000 (N+) >999 Esto sucede si N (pues = 96, = 04 ) Hay que sumar térmios Co ordeador (o mucha paciecia), S S = 5 + + 96 064 ] Ej + + + es alterada y a 0, pero o decrece (y Leibiz o es aplicable) De hecho diverge: S =, S 4 = +,, S = + +, cuado Ej Veamos para qué valores de a coverge ( ) se a y para cuáles lo hace absolutamete Si a 0, el térmio geeral o tiede a 0 (difícil probarlo co rigor) y, por tato, diverge Si a>0, es covergete por Leibiz, pues a = se a > 0 (es alterada), a 0 claramete ( se cotiua e =0, a 0 y se0=0 ) y a es decreciete (por crecer se e 0,] ) Para cuáles de estos valores a>0 coverge se a? Por teder se cuado 0 y ser { a } ua sucesió que (para a>0 ) tiede a 0, se tiee que se a a y, por tato: la serie coverge absolutamete si a > (lo hace codicioalmete si a (0, ] ) Para las series (de térmios positivos o sigo o defiido) co e epoetes o factoriales so muy útiles los dos siguietes criterios (para las parecidas a o sirve y e ese caso se s utiliza los criterios vistos hasta ahora): Criterio del cociete: a Sea + = r Etoces: a si r <, a coverge (absolutamete) si r > (ó r = ), a diverge (y si r =, el criterio o decide: la serie puede coverger o divergir) r < : sea s co r < s < N tal que si N a + a s, es decir, a + s a Por tato a +k s k a si N Así: geométrica covergete =N a = a N + a N+ + a N s k, a tambié coverge a coverge r > : N tal que si N es a + a >, o sea, a + > a y 0 el térmio geeral Cuado se vea muchas potecias -simas (y o factoriales) e la serie coviee utilizar: Criterio de la raíz: Sea a = r Etoces: k=0 si r <, a coverge (absolutamete) si r > (ó r = ), a diverge (si r =, de uevo o sabemos; casi siempre es r = a la vez utilizado cociete y raíz) r <s< : N/ N, a s, a s a coverge a coverge =N r > : N/ N, a >, a > y o tiede a cero el térmio geeral Ej s Cociete: a + a = s (+) s Raíz: a = ( / ) s (pues ) Como dijimos arriba, estos criterios o so adecuados para estas series 64

Ej ( ) +! a + + +! = a + ( + )! = /! + 0 Es covergete (absolutamete) /! + + Por Leibiz es complicado y co la raíz o sabemos pues descoocemos cómo va! ] Ej (log) Pide a gritos el criterio de la raíz: a = log 0 < Coverge Ej ( ) 7 a = a / = 7 ] / = 7 / O bie, a + a = 7 7 + = 7 + ( pues + = + + 0 ) Diverge Ej ] + a = + ] ( = + ] (+)/) /(+) e < Coverge ( + ) Ej + a = + / La raíz o decide (y parecía ser el criterio adecuado) Como r = probablemete haya que aplicar desigualdades o paso al ite: (+) Ej 5 cos + Por : Por : + (+) + = + y ( pues a / = + divergete la uestra es divergete ] ) e la uestra divergete Lo más corto: 5 cos + 6 ( ) geométrica covergete coverge Más largo acotado y usado cociete: 5 cos + 6 + ; Tambié se podría ver que es meor que la covergete ( ) : + ++ + = + (+) + < a / = 5 cos +(/) 0 ac ] E los dos siguietes discutimos la covergecia segú los valores de los a y b que aparece: Ej a a>0, co b b 0 a + = (+)a b a a b + = ( + )a b b ( o bie, a = (/ ) a b ) b Cociete y raíz dice que coverge para b > (de esto deducimos que a /b 0 si b > ) y que diverge para b < Para b = ± los criterios o decide, pero está claro que diverge porque el térmio geeral o tiede a 0 (bastaba esto para decir que divergía para b ) Ej b! a + = b + /( + )! a b = b 0 Covergete b, por gordo que sea /! + Por tato, b /! 0 para cualquier b, ite que tampoco es fácil de calcular directamete Ej! a + ( + )! = a ( + ) +! = ( + ) = ( + /) e < Coverge Y de aquí se deduce que!/ 0, otro ite que o era trivial calcular] Los tres últimos ejemplos (y u ite admitido e sucesioes) os permite comparar la rapidez co que varias sucesioes se va al El símbolo represetará que lo de la izquierda dividido etre lo de la derecha tiede a 0 cuado tiede a : log a, a>0 b, b>! Ej Acabemos co ua serie e que los sumados depede de (ua serie de fucioes ): se Como a + se = se, la serie coverge si π a + +kπ Para = π +kπ el cociete o decide Si k es par, la serie que resulta es divergete Si k es impar, queda ( ) covergete (Leibiz) Así pues, coverge si π +kπ 65

4 Sucesioes y series de fucioes Cosideramos sucesioes cuyos térmios so fucioes co u domiio comú A : { f ()} = f (), f (),, f (), para A Para cada fijo de A teemos ua sucesió { f ()} de úmeros reales y e muchos casos sabemos (desde ) calcular su ite (si lo tiee), que, e geeral, será ua fució de Damos u ombre uevo a esta vieja covergecia (para cada puto ) para distiguirla de la que defiiremos u poco más adelate: Def { f } coverge putualmete hacia f e A si para cada A es f () = f () Sería bueo que f coservase las propiedades de las f, pero esto, e geeral, o ocurre: Ej f () = {, 0, Todas las f so cotiuas e 0,) { 0, 0 <, Para cada 0,) eiste f () = f () = Y, si embargo, la fució ite putual f () es discotiua f f f Para que se coserve la cotiuidad se ecesita ua defiició más fuerte de covergecia: { f } coverge uiformemete hacia la fució f e A si Def ε > 0 eiste algú N tal que A, si N etoces f () f () < ε El N vale, sólo depede de ε ; e cambio, la covergecia putual sigifica: A y ε >0 N(ε,) tal que si N etoces f () f () < ε ] Gráficamete, que { f } f uiformemete sigifica que a partir de u N todas las gráficas de las f queda totalmete detro de ua bada de altura ε alrededor de la de f Si la covergecia de las f es sólo putual, para cada el N será distito y o se podrá dar uo que sea válido para todos los putos de A Claramete, covergecia uiforme covergecia putual Pero es falsa:! A f f f Esto lo prueba la { f } de arriba: por alto que sea el N siempre hay fucioes de la sucesió que se sale de la bada de radio ε Formalizado algo más: toda f toma el valor que queda fuera de la bada si ε < Para cada eiste N tal que si N el puto (, f ()) está detro de la bada, pero hace falta elegir N mayores a medida que os acercamos a E u itervalo 0,a], co a <, la covergecia sí sería uiforme, pues el N que valiese para = a claramete valdría tambié para el resto de los Ej Estudiemos la covergecia de g () = + + e i) A=,], ii) A=R Hay ite putual e todo R pues g () Y e,] es tambié uiforme: + + = + + + + 4 4 < ε si N > ε 4,] Pero o coverge uiformemete e R porque cada g (o acotada) se escapa de la bada 66

Para estudiar la covergecia uiforme, como siempre e las defiicioes co ε, hemos partido de lo que se quería hacer pequeño y avazado mediate desigualdades hacia ua epresió más secilla Ha sido esecial hacer desaparecer la, pues el N buscado debía depeder solo de ε Podemos ahorraros las últimas cuetas co el secillo teorema: Teorema: Si f () f () <a A y a 0 etoces f () f () uiformemete e A (pues dado ε, el N que asegura a < ε os vale, desde luego, para todos los A ) Para ecotrar el a e ocasioes bastará hacer acotacioes, como e el ejemplo aterior, pero otras veces será más complicado y, como e el siguiete, habrá que utilizar derivadas: Ej Estudiemos la covergecia de h () = + 4 Está claro que {h } coverge putualmete e todo R : + 4 0 Si queremos ver la covergecia uiforme e todo R de {h } os ecotramos co problemas: h () 0 = + 4 o parece acotable e R (la cota secilla o lleva a ada) a partir de lo aterior sí sería fácil ver que sí hay covergecia uiforme e,], por ejemplo] U modo atural de acotar f () f () (si usar los ) es buscar el máimo de esa diferecia E uestro caso, para acotar h () vamos a hallar los etremos de cada h () : h () = 4 + 4 ] = 0 h () crece e, ] y decrece e el resto de R h (± ) = ± y además h () 0 ± Así que h () = a R Como a 0, {h } 0 uiformemete e R (e cotra de lo que se podía pesar e pricipio) Probemos que la covergecia uiforme tiee la buea propiedad que la putual o teía: Teorema: f cotiuas e u itervalo I y { f } f uiformemete e I f cotiua e I Veamos que f es cotiua e u I cualquiera Sea ε > 0 Por la covergecia uiforme, eiste algú tal que f (y) f (y) < ε y I E particular, para todo h tal que + h I, f () f () < ε y f ( + h) f ( + h) < ε Como f es cotiua e eiste δ > 0 tal que si h < δ etoces f ( + h) f () < ε Por tato, si h < δ etoces f ( + h) f () f ( + h) f ( + h) + f ( + h) f () + f () f () < ε Este teorema basta para probar que las f del primer ejemplo o coverge uiformemete e 0,), pues si la covergecia fuese uiforme, la f () debería ser cotiua] Si las f so derivables, que f f uiformemete o basta para que f sea derivable, o puede ser f derivable y o coicidir f co el ite de las f (situacioes sugeridas por los ejemplos de la derecha); para que se cumpla ambas cosas además debe las f coverger uiformemete] se( ) 67

Todo lo aterior se aplica de modo atural a las series de fucioes: Def f coverge putualmete o uiformemete e A hacia f = si lo hace la sucesió de sumas parciales S = f + + f Por lo visto para sucesioes de fucioes, y como S es cotiua si las f lo so, teemos: f f uiformemete y f cotiuas e u itervalo I f es cotiua e I = Auque la defiició de covergecia uiforme de series de arriba apareta ser ta simple, está claro que será casi imposible de aplicar e la práctica (la putual sí es fácil, aplicado para fijos los criterios vistos para series uméricas) Es claro que casi uca se podrá hallar directamete el N que haga f () + + f () f () < ε (i siquiera sabemos quie es f (), pues casi igua serie se puede sumar) Pero hay u criterio muy útil que permite ver para bastates series de fucioes que coverge uiformemete: Criterio de Weierstrass: Sea { f } defiidas e A y {M } ua sucesió de úmeros reales tal que f () M A y tal que M coverge Etoces f coverge uiformemete e A A, f () coverge y por tato f coverge putualmete Sea f su suma f () S N () = N+ f () N+ f () N+ M que se puede hacer ta pequeño como queramos haciedo N suficietemete grade ( M coverge) Teemos u N idepediete del, S coverge uiformemete Si o podemos aplicar este criterio o sabremos decir ada sobre la covergecia uiforme de ua serie (pero está claro que auque o cosigamos ecotrar la M covergete, esto o sigifica que la f o coverja uiformemete)] Ej se es uiformemete covergete e todo R pues se y coverge Deducimos, por ejemplo, que la suma f () de esta serie es fució cotiua e todo R ] La serie obteida derivado térmio a térmio: cos diverge, por ejemplo, cuado = 0 Para otros, como = π, coverge (Leibiz); y para casi todos o sabemos decirlo] Como vemos, o se puede derivar las sumas ifiitas, e geeral, como las sumas fiitas; las series de potecias que veremos a cotiuació sí se podrá derivar térmio a térmio] Ej Estudiemos ahora la covergecia de h co h = + 4 (vista hace poco) Lo que sabíamos de series uméricas os basta para ver que coverge putualmete R : si = 0 queda 0 ; si 0, + 4 coverge pues + 4 4 y coverge 4 Para ver si la serie es uiformemete covergete sólo dispoemos de Weierstrass No saltaba a la vista la serie umérica co la que comparar, pero segú hemos probado: h () R y covergete h () coverge uiformemete e R Otras propiedades importates de la covergecia uiforme (que veremos e 55) será las relacioadas co la itegració: el ite de las itegrales de ua sucesió de fucioes itegrables será la itegral del ite cuado haya covergecia uiforme, pero podría o serlo si sólo hay la putual (y lo mismo sucederá co las series)] 68

4 Series de potecias A ua serie de la forma a ( a) se le llama serie de potecias e ( a) Para cada que coverja la suma de la serie será u úmero real Por tato, defie ua fució f () cuyo domiio será los para los que coverge Supodremos a partir de ahora, por secillez, que a = 0 (e caso cotrario haríamos a = s y estaríamos e el caso a = 0 ): f () = a = a 0 + a + a + (viee a ser, pues, u poliomio ifiito ) Ua serie de ese tipo siempre coverge e =0 ( ) y f (0)=a 0, pero o tiee que hacerlo : vimos que la serie coverge si y sólo si < ( y que su suma era f () = ) E geeral, toda serie de potecias coverge e u itervalo cetrado e el orige (que puede degeerar e =0 o ampliarse a todo R): Teorema: A cada serie de potecias está asociado u úmero positivo R, llamado radio de covergecia de la serie, que, segú los casos, tiee las siguietes propiedades: i) si R = 0, la serie sólo coverge e = 0, ii) si R es u úmero real positivo, la serie coverge si <R y diverge si >R, iii) si R =, la serie coverge para todo Además, si 0< 0 <R, la serie coverge uiformemete e 0, 0 ] coverge uiformemete R 0 R DIV? CONVERGE? DIV Comecemos demostrado que: E el caso ii), para = R y = R la serie puede coverger o divergir El teorema o dice que la serie coverja uiformemete e ( R,R), sio que lo hace e 0, 0 ] co 0 ta cercao a R como queramos) Si a c coverge para u c etoces a coverge uiformemete e 0, 0 ], si 0< 0 < c, y coverge putualmete (y absolutamete) e ( c, c ) : Como a c coverge a c 0 y por tato está acotada: K tal que a c K si 0, 0 ], a a c 0 c K 0 c Como 0 c es geométrica covergete ( 0 c < ), Weierstrass asegura que a coverge uiformemete e 0, 0 ] Además para todo ( c, c ) eiste 0 co < 0 < c, co lo que a coverge putualmete Sea S = { : a coverge } Es o vacío ( 0 S ) Si hay algú / S, es cota superior de S (o coverge para igú real mayor por el resultado aterior) y por tato tiee etremo superior Veamos que el radio de covergecia R = sup S : si > R la serie diverge (si o, eistiría putos de S mayores que R ); si < R eiste c co < c < R para el que a c coverge ( R es cota superior) y por tato a tambié coverge Si 0 < 0 < R, eiste c co 0 < c < R para el que a coverge y la serie coverge uiformemete e 0, 0 ] Si o eiste / S, la serie coverge : R = Se ve de la misma forma que hay covergecia uiforme e todo 0, 0 ] 69

El R se podrá calcular casi siempre mediate el criterio del cociete o la raíz Por ejemplo, si e la serie aparece todos los ( o si es del tipo a ó a + ) se tiee que: R = a a + = a, si dichos ites eiste o so ifiito, pues ] a > a + a + + a a = + a a < >] < a + Cálculos parecidos co la raíz)] Para ver lo que pasa e los etremos del itervalo (si es fiito) habrá que utilizar los otros criterios coocidos (comparacioes, covergecia absoluta, Leibiz) pues ya habremos sacado todo su jugo al cociete o la raíz Ej Ej Ej Ej Ej Ej Ej 5+ ( )! Cociete: 5+6 ( )! ( )! = 5 5+ 0 coverge, es decir, R= No podíamos aplicar las fórmulas para R y por eso usamos directamete el cociete La raíz o era adecuada por la presecia del factorial] = a 0=R : la serie sólo coverge si =0 (y podemos tirarla a la basura) El cociete es aquí bastate más complicado] 9] + 9 + + + + 9 = 9 < < =R Que pasa e los etremos? Si = ± ] queda + e ambos casos, covergete por Leibiz ( + 0 y decrece) Esta serie de potecias coverge eactamete e el cerrado, ] = 4 b + b = 4(+) 4, b = 4/ 4 -/ 0 / coverge si < 4 Por tato, la serie coverge si < y diverge si > Si = ( = ± ) estos criterios o decide, pero etoces es divergete como sabemos E resume, coverge si (,) = log a R = a + = Necesitamos L Hôpital (o admitir ites ya citados basados e ella): log(+) log log(+) /(+) =, porque log = / = +/ = Si =, ( ) log coverge por Leibiz ( log 0 y decrece porque log crece) Si =, - log diverge, pues log > y diverge Coverge si,) Si L Hôpital: coverge si <, pues log < y geométrica covergete, y si >, el térmio geeral o tiede a 0 ( pues si > es log ) y diverge ] cos π 6 No vale cociete i raíz Buscamos directamete el itervalo de covergecia cos π 6 si (,) coverge Si el térmio geeral o tiede a 0 + (+) Podríamos hacer +=s, pero estudiamos la covergecia directamete Cociete: + + + + + + coverge si + < (+) + < < ] Y diverge si + > E los etremos: Si =, os queda + que coverge ( se comporta como / ) Si =, ( ) + absolutamete covergete (o coverge por Leibiz) -/ - -/ 70

Propiedad esecial de las series de potecias es que (como si fuese poliomios) se puede derivar térmio a térmio detro de su itervalo de covergecia <R : Teorema: Sea R>0 (fiito o ifiito) y sea f () = a para <R Etoces para <R : f es derivable, = a coverge y f () = a = a + a + a + La prueba eige propiedades o vistas de derivació de series (ver Spivak); e el capítulo 5 veremos que tambié las series de potecias se podrá itegrar térmio a térmio e <R ] Aplicado el teorema sucesivamete a f, f, obteemos que para <R : = f () = ( )a = a +6a +,, = f (k) () = ( ) ( k+) k = k!a k + =k Ua f defiida por ua serie de potecias es C e <R y f (k) (0)=k!a k Las series de potecias tambié se suma, multiplica, como si fuese poliomios: Teorema: Sea f () = a, <R f y g() = b, <R g Etoces si <mi(r f,r g ) : f ()+g() = a +b ], f ()g()=a 0 b 0 +(a 0 b +a b 0 )+(a 0 b +a b +a b 0 ) + Lo de la suma es cosecuecia de las propiedades de series uméricas; lo del producto es más complicado y lo admitimos si demostració; tambié se puede realizar la divisió f /g (si f /g tiee ite e =0 ) y la composició de series (veremos ambas cosas e ejemplos)] Ej f ()=! = + + + 6 (+)! + R =! = (cociete, desde luego) Coverge (veremos e la próima secció que a e ) Su serie derivada coicide co ella: f ()=++ + = f () R (atural, si es e ) Ej f ()= = + 4 + 9 + 4 (+) 6 + Su radio de covergecia es R = = = f ()= = = + + + 4 +, f ()= = = + + 4 +, si < Como y ( ) coverge, la serie de la f coverge e los dos etremos = ± del itervalo de covergecia Pero las series de las derivadas se comporta peor e esos putos Es fácil ver que la de f coverge e,) y la de f lo hace sólo e (,) Siempre las fucioes defiidas por series so muy bueas e ( R, R) (hemos visto que tiee ifiitas derivadas ahí, o icluso e todo R, si R = ) El problema fudametal de estas fucioes ta bueas es que para hallar sus valores debemos sumar series (y por eso casi siempre os tedremos que coformar co valores aproimados) Ej Si f () = 4! b + b, precisar para qué coverge la serie y probar que f ()>50 4 = 4+ 4! (+)! + = 4 + 0 la serie coverge para todo 4 ( )! = + 48 + 64 Como f ()= ( )!, será f ()= + >56 = = O mirado la serie de arriba, observamos que f ()= e 4 f ()=e 4 > 4 =9 ] 7

Ej Hallemos de varias formas el desarrollo e serie de f () = + = +] ] Sabemos que: = + + + + ] = si <, + = ] = + 9 7 + ] = ] si < f () = + = + ( ) + ( + 9 ) + ( + 9 7 ) + ] = 9 7 7 0 8 +, si <= mí{,} No podemos escribir más térmios del desarrollo del producto si o escribimos algú termio más de cada serie Los putos represeta sólo las potecias de orde superior Si pusiésemos el coeficiete de 4 co lo escrito, sería erróeo (faltaría sumados) Lo más rápido (descompoiedo e fraccioes simples; usaremos esta idea e las itegrales): +] ] = 4 + ] = 4 ] ] = + ] Este es el úico camio que os da ua epresió geeral para la serie] Ahora dividimos : buscado ua serie c tal que c 0 + c + c + c + ] + ] = Igualado sucesivamete las potecias de 0,,, vamos obteiedo: 0 : c 0 = c 0 = ; : c 0 c = 0 c = c 0 = 9 ; : c 0 + c c = 0 c = c 0 + c = 9 4 7 = 7 7 ; Si umerador y deomiador fuese series e vez de poliomios, el proceso sería el mismo] De otra forma tampoco ada práctica (pero que sugiere cómo compoer series): f () = (+ ) = + (+ ) + 9 (+ ) + 7 (+ ) + ] Y eligiedo (si olvidar igú térmio) todos los coeficietes de las sucesivas potecias: f () = + + ( + 4 9 ) + ( 4 9 + 7 8 ) + ] De uevo, para dar el coeficiete de 4 ecesitamos más térmios que los escritos] La teoría para la serie más geeral a ( a), DIV? CONV? DIV como dijimos, es la misma; el itervalo a <R de covergecia está ahora cetrado e a ] a R a a+r 7

44 Poliomios y series de Taylor Cómo hallar, si calculadora, e, log ó se? Las fucioes más fáciles de evaluar so los poliomios Si ecotramos u poliomio P que se parezca mucho a ua fució f dada cerca de u puto a (y podemos estimar el error cometido al sustituir f por P ), podremos hallar valores aproimados de f () para los próimos a a Ej Sea f () = e El poliomio de grado más parecido a f cerca de =0 es la recta tagete: P () = f (0) + f (0) = + Observemos que satisface: P (0)= f (0) ; P (0)= f (0) Probablemete se parecerá más a e el poliomio P de grado que cumpla P (0)= f (0) ; P (0)= f (0) ; P (0)= f (0), o sea, P () = f (0) + f (0) + f (0) = + + P e P (recta tagete) E geeral, el P que mejor aproimará a ua fució f cerca de =a será el que coicida co f y co sus primeras derivadas e a Se comprueba fácilmete que: Def Si f tiee derivadas e a, el poliomio, de grado, P,a () = f (a) + f (a) a]+ f (a)! a] + + f () (a)! a] se le llama poliomio de Taylor de f de grado e a Se llama R,a (), resto del poliomio de Taylor, al error cometido para cada al sustituir f () por P,a (), es decir, f () = P,a () + R,a () a cumple P (k),a (a) = f (k) (a), para k = 0,, Al P,a R (),a f() P,a() Es esperable que el R,a () sea pequeño si es cercao a a y que dismiuya al aumetar La siguiete epresió del resto, a pesar de veir e fució de u c descoocido, os va a permitir acotar este error e muchas ocasioes: Teorema (forma de Lagrage del resto): Si f, f,, f (+) está defiidas e a,] ( ó e,a] ) etoces R,a () = f (+) (c) (+)! a]+ para algú c (a,) si >a ó c (,a) si <a ] Otras epresioes del resto so útiles, pero se ecesita las itegrales Observemos que si f es u poliomio de grado se deduce R,a = 0, es decir, que, como debía suceder, el poliomio coicide co su poliomio de Taylor de grado ] Para cada t (a,) teemos que f () = f (t) + f (t) t] + + f () (t)! t] + R,t () Miremos el resto como fució de t para fijo: S(t)=R,t () Derivado respecto a t : 0 = f (t) + ( f (t) + f (t) t]) + ( f (t) t] + f (t)! t] ) + + ( f () (t) ( )! t] + f (+) (t)! t] ) + S (t) S (t) = f (+) (t)! t] El TVM de Cauchy e a,] para S(t) y g(t) = t] + implica que c (a,) tal que S() S(a) g() g(a) = S (c) g (c) = f (+) (c)! c] c] + = f (+) (c) (+)! Como S()=R, () = 0, S(a)=R,a (), g()=0, g(a)= a] + se tiee el resultado Igual si <a ] 7

Normalmete hallaremos los poliomios para a = 0 E ese caso o escribiremos las a de los subídices y las epresioes ateriores adopta la forma (fórmula de McLauri): Si f, f,, f (+) eiste e 0,] ó,0] ] etoces para algú c (0,) ó c (,0) ] f () = P () + R () = f (0) + f (0)+ f (0)! + + f () (0)! + f (+) (c) (+)! + Hallado las derivadas se obtiee fácilmete los siguietes poliomios y restos: e = + +! +! + +! + R () co R () = ec (+)! + se =! + 5 5! 7 + 7! + +( ) (+)! +R +() co R + ()= ( )+ cosc (+)! + cos =! + 4 4! 6 6! + + ( ) ()! + R () co R () = ( )+ cosc (+)! + Para se, como la derivada se (+) (0) = ( ) + se0 = 0, es P + P + ; por eso e su resto aparece + y o + ; y algo muy parecido sucede co el cos ] Dado u, hay e los tres casos cotas fáciles para el resto e térmios de cosas coocidas: para e : si > 0, es R () e + (+)! ; si < 0, es R () + (+)! ; para se, R + () + (+)! ; para cos, R () + (+)! Como probamos e 4, ua sucesió de la forma k /k! 0 cuado k Por tato, podemos aproimar para cualquier el valor de e, se y cos co la precisió que queramos utilizado u poliomio de Taylor co suficietemete grade (auque habrá que tomar u mayor cuato más lejao de 0 esté el ) El log o está i defiido e = 0 Por eso lo que se desarrolla es el log(+) Es fácil ver que la derivada -sima de esta fució es ] ( )!(+) y por tato log(+) = + 4 4 + + ] + R () co R ()= ] + + (+c) + Se puede probar además (o co esta epresió del resto) que los poliomios del log(+) sólo aproima a la fució si < Ej Calculemos co error meor que 0 5 el se R + () + (+)! R + () (+)! < 0000 si + 9 se 6 + 0 5040 08447 co error R 7() 9! < 0 5 Ej Si aproimamos se co este mismo P 7 () el error será mayor: se 8 6 + 0 8 5040 09079 ; R 7() 9 9! = 4 85 0004 (Estas cotas proto será más fáciles co las series de Taylor)! 4 6 8 4 4 6 5 0 6 70 64 7 5040 8 8 400 56 9 6880 5 0 68800 04 Ej Hallemos ahora log 4 5 = log( 5 ) co error < 0 Como R ( 5 ) = < = < (+)5 + (+c) + /5<c<0 (+)5 + (4/5) + (+)4 + 000 si, debemos usar el poliomio de grado : log 4 5 5 50 75 0 co error < 0 De otra forma (que evitará la acotació del resto e cuato tegamos las series de Taylor): log 5 4 = log(+ 4 ) 4 + 9 04, co R ( 4 ) = < < 4 4 4 (+c) 4 0<c</4 4 5 000 74

Dada f co ifiitas derivadas e 0 su serie de Taylor e = 0 es: f () (0)! Esta serie de potecias es u poliomio de Taylor de ifiitos térmios ; su N-sima suma parcial es P N () Es previsible que ua f coicida co su serie de Taylor (al meos cerca de 0 ) Como f ()= N f () (0) + R N (), está claro que! f ()= f () (0) R N () 0,! N es decir, f () coicide su serie de Taylor e los para los que el resto tieda a 0 Vimos hace poco que el resto R N () 0 para e, se y cos Así pues: e =!, se = ] + ( + )!, cos = ] ()!, R La serie derivada de la de e es ella misma, derivado la de se obteemos la de cos y derivado la de ésta obteemos la del seo cambiada de sigo; observemos tambié que sólo cotiee potecias impares la serie del seo (debe cambiar de sigo al cambiar por ) y pares la del coseo] Operado co la serie de e y la de e = + 6 + obteemos que: sh = +! + 5 5! + = + ( + )!, ch = +! + 4 4! + = ()!, R Sabemos que = si < + = ] y = + ] si < Por tato: log(+) = ] + +, arcta = ] + +, para < pues las derivadas de las series so las de arriba y e = 0 se aula fucioes y series La serie de log(+) coverge tambié e = y la de arcta e =± (e ambas R= ) lo que o hace las series derivadas; se puede ver que coverge (letamete) hacia log y ±arcta : log = + 5 +, π 4 = + 5 7 + Parece ormal que la serie del log(+) o la de /(+) sólo coverja para < pues e = las fucioes se va a ifiito, pero es sorpredete que lo haga sólo e ese itervalo las series de /(+ ) o de arcta ya que so fucioes derivables e todo R La eplicació se tedrá cuado se mire esas series e el plao complejo] Otra serie muy útil es la de f () = (+) r, r R ( r o es desarrollable e 0 ): (+) r = ( r ), co ( r ) = r(r ) (r +)!, si < (geeraliza el biomio de Newto) e particular se tiee: + = + 8 +, + = + 8 +, ] Como: f () = r(+) r, f () = r(r )(+) r,, f () () = r(r ) (r +)(+) r, la serie de Taylor es la de arriba, y se puede ver que R N 0 si 0<< co la epresió de Lagrage (y co otras epresioes del resto que o hemos visto se ve que tambié lo hace si <<0 ) 75

De las series de Taylor ateriores podemos deducir muchísimas otras, si más que sustituir a veces y utilizado otras las operacioes coocidas co series de potecias (muchas veces o podremos dar la epresió del térmio geeral de la serie): Ej Para escribir el desarrollo de se( ) basta cambiar por ( ) e el de se : se = 9 6 + + ( ) + (+)! 4+ +, Ej Para el se(+) o podemos hacer lo mismo Auque es cierto para todo que: se(+) = (+) 6 (+) + + ( ) (+)! (+)+ + esto o os permite escribir la serie como potecias crecietes de Mejor que derivado: se(+) = secos + cosse = se + cos se cos 6 + Ej cos = + 4, si 0 Esta serie represeta la fució ch para 0 ] Ej arcta + = 8 + 5 5 + ] + 8 4 + ]= 5 + 89 60 5 +, < pues si < coicide el arco tagete y su serie, y la raíz lo hace si < Co potecias impares sólo; para escribir el 7 ecesitarámos otro térmio de cada serie] Ej Para el desarrollo de ta o coviee utilizar la defiició pues las derivadas se complica: f () = ta, f () = + ta, f () = ta + ta, Es mejor hacer el cociete de las dos series coocidas (tedrá sólo potecias impares): se cos = c + c + ; c + c + c 5 5 + ] + 4 4 + ] = 6 + 0 5 + : c = ; : c c = 6 c = ; 5 : c 5 c + c 4 = 0 c 5 = 5 ; ta = + + 5 5 + Ej E este ejemplo vamos a hacer uestra primera composició de series: +se = se + se se + se 4 + = 6 + ] + 6 + ] ] + ] 4 + = 6 + ] + 4 + ] ] + 4 ] + = + 5 6 + 4 + Hallar el cuadrado, cubo, de ua serie es más corto que multiplicarla varias veces por sí misma: (a+b+c+ ) = a + b + c + ab + ac + bc + (a+b+c+ ) = a + b + c + a b + ab + a c + ac + b c + bc + 6abcd +, ] Ej Hallemos de varias formas 4 térmios o ulos del desarrollo de e : e e = + + + 4 + 4 + ] + 4 + ]= + 8 4 4 + e =+ ]+ ] + 6 ] + 4 ] 4 + = + 8 4 4 + ++ + 4 + 4 + + + 4 = a + 0 + a + a + a + a 4 4 + 0 : a 0 = ; : a = ; : a +a 0 =, a =0 ; : a +a = 4, a = 4 4= 8 ; 4 : a 4 +a +a 0 =, a 4 = 4 Lo que meos coviee es derivar muchas veces la fució dada: f ()=( )e, f ()=6( + )e, f ()=6( +6 4 )e, f IV ()=( +8 6 +8 4 )e f () = + 6 6 4 4 + 76

De cualquier serie de Taylor se deduce, trucado la serie, la epresió del poliomio de Taylor (pero si epresió maejable del resto, por lo que os es poco útil) por el siguiete Teorema: f () = P() + g() co g() 0 0 P() es el P de Taylor de grado de f es fácil comprobar que coicide tato f y P como sus primeras derivadas e =0 ] Ej El poliomio de Taylor de grado + de arcta es: P + () = + + ( ) + +, pues el resto de la serie es de la forma + g(), co g() 0 0 Las series de Taylor permite muchas veces hallar valores aproimados co cotas fáciles del error (si aparece ua serie de Leibiz; si o, deberemos acudir al resto de Lagrage) Ej Calculemos 5 co error meor que 0 Para < sabemos que es: ( + ) /5 = + 5 + (/5)( 4/5) + (/5)( 4/5)( 9/5) 6 + = + 5 5 + 6 5 Por tato: ( + )/5 = + 0 50 + 500, serie alterada y decreciete Así pues, es 5 7 5 = 08, co error < 500 < 0 No olvidemos que las series de Leibiz tambié os da cotas superiores e iferiores de la suma E cocreto aquí teemos, por ejemplo, estas cotas racioales de la raíz: 5 7 < 5 / < 54 500 ] 5 Calcular = ( )/5 os costaría bastate más esfuerzo, por salir serie o alterada Auque f C (R) y su serie de Taylor coverja, la f puede o coicidir co la serie: f () = e /, f (0)=0 Veremos e 45 que para esta f es f () (0)=0 Así su serie de Taylor es 0 = 0, covergete, pero que, claramete, o coicide co f salvo e =0 Def Se etiede lo que le pasa a esta suave fució cuado se la mira e el campo complejo] f es aalítica e =0 si se puede escribir como ua serie de potecias e todo u etoro <r, r >0 Por ser igual a ua serie de potecias debe, al meos, teer ifiitas derivadas e =0 ] Sabemos que se, cos, e, log(+), arcta, (+) r so aalíticas e =0 (coicide las tres primeras co ua serie e todo R y las otras e < ) Tambié lo so sumas, productos o cocietes co deomiador o ulo de cualquiera de ellas E icluso fucioes como: g()= se, g(0)=0, pues g() = 6 + 0 4 + So obviamete o aalíticas las fucioes discotiuas ( log e = 0, por ejemplo), o co sólo u úmero fiito de derivadas (como 8/, que sólo tiee ) La f de arriba es u ejemplo de fució que o es aalítica e 0 a pesar de ser de C e ese puto f Más e geeral, la serie de Taylor de ua f e u puto a es () (a) ( a) ;! haciedo a = s, se traslada el problema a ua serie de Taylor e toro a s=0 Ua f es aalítica e = a si es igual a ua serie de potecias e a < r ; e lo es, por ejemplo, e cualquier a ; lo es e = (pero o e =0)] 77

Poliomios de iterpolació El poliomio de Taylor P es sólo ua forma de aproimar ua f co poliomios El P es el que más se parece a f cerca de u puto Pero muchas veces iteresa ecotrar u poliomio Q que aproime f e todo u itervalo Ua de las posibilidades de hacerlo es hallar u Q que tome los mismos valores que f e uos cuatos putos del itervalo A éste poliomio se llama poliomio de iterpolació Otra situació e que es útil el poliomio de iterpolació es cuado sólo dispoemos de alguos valores de la f (por ejemplo, esto sucederá si la f es resultado de uas cuatas medidas eperimetales) Es decir: Def Dada ua fució f () se llama poliomio de iterpolació de grado para los + putos distitos 0,, al poliomio Q que satisface Q ( 0 ) = f ( 0 ),, Q ( ) = f ( ) U Q arbitrario tiee + coeficietes a 0,,a Se podría hallar co las + ecuacioes lieales Q ( k )= f ( k ), k=0, pero hay varias formas mucho más cortas de calcularlo Veamos primero la fórmula de Newto Poemos Q e la forma: Q () = A 0 + A ( 0 ) + A ( 0 )( ) + + A ( 0 ) ( ) Q f 0 Sustituyedo ahora sucesivamete = 0, =,, =, obteemos u secillo sistema que permite ir calculado los A k de forma sucesiva y, por tato, el poliomio de iterpolació: A 0 = f ( 0 ), A 0 +A ( 0 )= f ( ),, A 0 +A ( 0 )+ +A ( 0 ) ( )= f ( ) E el caso particular (y muy comú) de que los k so equidistates (es decir, k+ = k + h ), el sistema adopta la forma más simple: h h h h 0 = 0+h A 0 = f ( 0 ), A 0 +ha = f ( ), A 0 +ha +!h A = f ( ),, A 0 +ha + +! ( k)! hk A k + +!h A = f ( ) A 0 = f ( 0 ), A = h f ( ) f ( 0 )], A =!h f ( ) f ( )+ f ( 0 )], A =!h f ( ) f ( )+ f ( ) f ( 0 )], Otra epresió del Q la da la fórmula de Lagrage: Q () = f ( 0 ) π 0() π 0 ( 0 ) + + f ( k) π k() π k ( k ) + + f ( ) π () π ( ), dode π k () = ( 0 ) ( k )( k+ ) ( ) π Pues el poliomio de grado ] k () π k ( k ) vale si = k y vale 0 si = j, co j k Parece más cómodo usar directamete esta fórmula y o resolver u sistema, pero si queremos añadir u uevo puto hay que volver a calcular todos los π k, lo que o sucedía co Newto] Como e Taylor, aquí tambié se puede dar ua estimació del error cometido al sustituir la f por su poliomio de iterpolació Q Admitimos si demostració que si f C + 0, ] se tiee: f () Q () = (+)! ( 0)( ) ( ) f (+) (c) co c ( 0, ) π Ej Hallemos el Q que toma los mismos valores que f ()=se e 0, y π Sabemos que f ( 0 ) = 0, f ( ) =, f ( ) = 0 Calculado los A k h = π ] teemos: A 0 =0, A = π 0], A = 0 +0] Q π () = 0 + π ( 0) 4 ( 0)( π π )= 4 (π ) π A lo mismo llegamos co: Q () = 0 ( π/)( π) (0 π/)(0 π) + ( 0)( π) (π/ 0)(π/ π) + 0 ( 0)( π/) (π 0)(π π/) Utilicemos este Q para aproimar se y se : Q () 086795, Q () 0954 Los errores cometidos está acotados por E() 4 0 π/ π 005, E() 4 0 π/ π 004 Aproimacioes peores que las del P7 de Taylor Mejores e que las que da el de orde 5 pero sigue siedo peores e, más cercao a 0: P 5 () 09, se 0909 ; P 5 () 0847, se 0845 ] 78

45 Cálculo de ites idetermiados O sea, del tipo, 0, 0 0,,, 0 0, 0 (los otros ya sabemos hace tiempo) Utilizado desarrollos de Taylor (e pricipio, para tediedo hacia a fiito): Itroducimos ua otació para abreviar: sea g() 0 para a e u etoro de a Def Diremos que f ()=o ( g() ) cuado a si a f () g() = 0 Se lee simplemete: f es o pequeña de g Co esta otació podemos epresar los desarrollos de Taylor escribiedo sólo aquello que se va a utilizar para calcular ites (la fució es el poliomio mas algo despreciable ): Si f es de C + e u etoro de a etoces f () = P,a () + o( a] ) (Pues etoces f (+) (c) K para c a,] R,a() ( a) K a (+)! 0, si a ) se + o() Ej = =, 0 0 pues o() es precisamete algo que dividido por tiede a 0 si 0 se 6 Ej 0 = + o( )] 0 = 6 No basta P () o se sabe hacia que tiede o() ] Es habitual (pero u poco impreciso) escribir putos suspesivos e lugar de la o ; si lo hacemos, o olvidemos que los putos represeta las potecias de estrictamete mayores que las escritas; o escribir i siquiera los putos lleva a errores, como sustituir simplemete e este ite se por (ifiitésimo equivalete que dice alguos) lo que os daría: 0 se ta 0 se = + + o( )] 0 6 + o( )] = 0 0 = 0 = 0 = 0!!!] + o( ) Ej = 6 + o( ) Si coocer el desarrollo de ta (osotros lo hallamos como cociete) podríamos utilizar otros: 0 cos se se cos = 0 + o( ) + 6 + o( ) + 6 + o( ) 0 cos = ch + + Ej 0 sh 4 = + 4 4 + o( 4 ) + 8 4 + o( 4 )] 0 4 + o( 4 = 6 + o(4 ) 4 = ) 0 + o(4 ) 4 Hemos desarrollado hasta que ha quedado u térmio que o se aulaba e el umerador Tambié hemos agrupado e o( 4 ) todos los térmios que o ifluye e el valor del ite Las idetermiacioes ateriores era 0/0 Muchas de otro tipo se puede llevar a ella: Ej ( ) (+) / = e log(+)/ log(+) + o() = e, ya que = = 0 0 0 0 +arcta Ej (-) 0 log(+) cos ] + + o() = 0 +o( ) +o( ] ) + +o( ) = 0 + o( = ) Hemos agrupado e o( ) los térmios que o ifluye y utilizado propiedades de la o de prueba trivial (y muy ituitivas, si pesamos que o( ) so potecias de mayores que ): m = o( ) si m>, f () = o( m ) f () = o( ) si m>, m o( ) = o( m+ ), o( m )o( ) = o( m+ ) 6 79

Discutamos el uso de la regla de L Hôpital (presetada e ) y comparemos co Taylor: Si f (),g() 0 ( ó ± ) f y eiste el () f () a a a g (), etoces a g() = f () a g () La regla sigue siedo válida cambiado el a del euciado por a +, a, + ó Taylor muestra porqué aparece cocietes de derivadas e L Hôpital, e el caso de que f y g admita desarrollo y tieda a 0 cuado a (e ese caso debe ser f (a) = g(a) = 0 ): f () g() = f (a)+ f (a)( a)+ f (a)( a) + g(a)+g (a)( a)+ g (a)( a) + = f (a)+ f (a)( a)+ g (a)+ g (a)( a)+ f (a) a g (a), si g (a)=0 ] No dice L Hôpital que si Ej ( ) + cos ; f g o tiee ite (fiito o ifiito), tampoco lo tega f g : se o tiee ite, pero es claro que + cos = Muchas veces hay que iterar L Hôpital Es importate simplificar lo más posible e cada paso: ( Ej 00 ) ta 0 se = cos 0/0 + cos 0 ( cos)cos = 0 cos = (ya calculado por Taylor) Si simplificar hubiéramos teido que seguir co L Hôpital pues la idetermiació seguía; pero o os lacemos a derivar si comprobar que cotiúa el 0 0 ó, pues podríamos hacer burradas: + cos se 0 cos =!!! = 0 cosse = 0 cos = ] Para calcular u ite idetermiado, si coocemos los desarrollos de las fucioes que aparece e la epresió, suele ser preferible acudir a Taylor Ej Los ites de la págia aterior se complica por L Hôpital Así para el : + arcta cos log(+) L H 0 log(+) = 0 +arcta+ cos + +selog(+) + log(+)+ + y hay que volver a usar l Hôpital para deshacer la idetermiació y llegar al resultado Más pasos habría que dar todavía e el ejemplo del ch y sh : Taylor muestra que deberíamos derivar 4 veces (salvo que eista algua simplificació itermedia) para llegar a u ite o idetermiado L Hôpital se puede aplicar e situacioes e que Taylor o es posible (si ±, si o coocemos los poliomios o o eiste,) Por ejemplo, calculado uos ites importates: Si a>0, b>0 : a e = 0, b (log) a = 0, b log] = 0 0 +a E los dos primeros (ya probados al fial de ), para gordo i log, i e a se parece a igú poliomio co lo que sólo se puede usar L Hôpital (como hicimos) Para el tercero ( 0 ] ) log o admite desarrollo de Taylor e 0 Así que tambié L Hôpital: log 0 + = ( ) / a = = a 0 + a a 0 + a = 0 log(e Ej (0 ) ) / e 0 +log(e )]= = /(e ) 0/0 0 + / 0 + / e Isistimos e la ecesidad de simplificar después de cada paso] El primer paso eigía L Hôpital, pero e el segudo sí hubiera valido Taylor: e = Ej ( 0) log] / = e log(log) =, pues log(log) = 0 + = 0 0 = 0 + e = 0 L H / log 0 este era ( ) ] +o() 0 0 80

Como dijimos e, para calcular ites, a veces es coviee cambios de variable Ya citamos los cambios de este tipo: Teorema: t = g()] g cotiua e a, g() g(a) si a y f (t) = L f (g()) = L t g(a) a log t= t log( +t) t Ej se = / + ( ) t 0 se = t t 0 t = + Por L Hôpital: se( )cos( ) = se( ) = e Ej + ( 00 ) + + Taylor: 6 + + 6 + ] 0 6 6 0 Por L Hôpital o es demasiado largo si simplificamos: e + ] / 6 5 (ahorrado ua derivació) = e + ] / e + + ] / 6 = e + + ] / Como siempre, Taylor muestra el esqueleto del ite, sabemos que, si hacer simplificacioes itermedias, es ecesario derivar 6 veces para que el deomiador deje de teder a 0 ] Auque todo es más corto (L Hôpital, desde luego) si hacemos el cambio t = : e t +t t L H et +t] / t L H et + +t] / t 0 Otros que se utiliza muchas veces ( si aparece epresioes que depede de ) so: Teorema: t = ] f ( ) = f (t), f ( t 0 + 0 + ) = f (t) Aálogos co t 0 y ] Ej Co este teorema: ( 0) Basta escribir las defiicioes de los ites para comprobarlo] se = set t 0 + t = t 0 + t = Ahora que coocemos los desarrollos de Taylor, la forma rápida (luego hay que formalizar) de hallar u ite de este tipo es la siguiete: como cuado es ua cosa pequeña y sabemos que se = 6 + si es pequeño, está claro que será se y que uestra fució se parecerá e el ifiito a co lo que tederá a De hecho, o sería icorrecto escribir: se = + cuado ] 6 Ej Más complicado: ( 0) ( ) e / e t t + o(t ) = t 0 + t = t 0 + t = Como ates, e +, co lo que se tedría: ( + + ) ] Ej arcta + ] es ua idetermiació 0 Ates de formalizarlo vamos a cojeturar cuál va a ser el ite Como arcta, será del tipo y valdrá ifiito arcta + ] = ( 0] ), pues arcta = t 0 + arctat t = Taylor o L H Sale más largo haciedo t =/ icialmete] Ej ( 0 0 ) 0 = + 0 elog = ; ( 0 ) / = e log/ = + (Vimos ya co L H que el epoete tiede a 0 e ambos casos) O jugado co el segudo cambio: / = ( t 0 + t )t =, pues t 0 tt = (el segudo se reduce al primero) + 8