MTRICES Mtries de números reles. Ddos dos suonjuntos = {,,,...i...n} = {,,,...j...m} perteneientes l onjunto de los números nturles, llmremos mtri de dimensión nm tod pliión X ---------> R / (i,j) ---> ij que soi d pr (i,j) el numero rel ij Definimos mtri rel de elementos perteneientes R de dimensión n fils por m olumns, quel onjunto de números reles esritos de l form siguiente: n n mtri nm m m nm En form simplifid = ( ij ) nm se le denomin Ejemplos: / Ejemplo: Esriir un mtri tl que ij = i + j =. +. = =. +. = 8 =. +. = =. +. = =. +. = =. +. = =. +. = =. +. = =. +. = 9 =. +. = =. +. = =. +. = 8 es deir 9 8 8 Mtri retngulr.- Es quell en l que no oiniden el numero de fils on el de olumns. Se esrie nm donde n m. Mtri fil es l que tiene por dimensiones m Mtri olumn es l que tiene por dimensiones n
Mtri udrd.- es quell en el que el numero de fils de olumns oiniden. Se esrie nn diremos que son de orden n. En un mtri udrd llmremos digonl prinipl los elementos que vn desde el vértie superior iquierdo l vértie inferior dereho serán todos los ij / i=j En un mtri udrd llmremos digonl seundri los elementos que vn desde el vértie superior dereho l vértie inferior iquierdo serán todos los ij / i+j = n+ donde n es el numero de fils o olumns. Mtri nul.- Es quell mtri que tiene todos sus elementos igules. Puede ser udrd o no. Se represent por O nm es tl que ij = i,j Mtri digonl.- Es tod mtri udrd en l que todos sus elementos son nulos eepto los de l digonl prinipl que pueden ser eros o no. Mtri eslr.- es tod mtri udrd digonl que tiene todos los elementos de l digonl prinipl igules. k k k k Mtri unidd.- Es tod mtri udrd, digonl eslr en l que todos los elementos de l digonl prinipl son igules. ij = si i j Se represent por I sus ij son tles que ij = si i = j I Mtri simétri.- Es tod mtri udrd en l que oinide sus elementos onjugdos, es deir, ij = ji i j. Esto quiere deir que todos los elementos son simétrios respeto de l digonl prinipl. d e e f son mtries simétris El produto de dos mtries simétris no tiene porque ser simétri.
Mtri ntisimetri.- Es tod mtri udrd en l que ij = - ji i j que solo se verifir undo todos los elementos de l digonl prinipl sen eros. son mtries ntisimetris. El produto de dos mtries ntisimetris no tiene porque ser ntisimetri. Mtri tringulr.- Es tod mtri udrd que tiene nulos todos los elementos situdos por dejo o por enim de l digonl prinipl. es tringulr inferior. es tringulr superior. Operiones on mtries. Sum de mtries Dds dos mtries de igul orden nm, llmremos mtri sum otr mtri de igul dimensión nm uos elementos se otengn sumndo los elementos homólogos de de. ij = ij + ij Propieddes: L sum de mtries es le de omposiión intern. soitiv:,,c M nm ==> + ( + C) = ( + ) + C Conmuttiv:, M nm ==> + = + elemento neutro: Será l mtri nul O nm / + O = O + = elemento simétrio: Será l mtri opuest -, tl que, - / + (-) = O Con ests propieddes el onjunto de ls mtries respeto de l operión sum posee estrutur de grupo elino o onmuttivo on elemento neutro.
Ejemplo: Dds ls mtries = ( ij ) = ( ij ) de dimensiones siendo ij = i - j ij = (-) i+j + j-, lulr + 9 Produto de un mtri por un número. Dd un mtri de dimensiones nm un numero rel, el produto será otr mtri., de igul orden nm uos elementos se otengn multiplindo todos los elementos de por el numero Propieddes: Distriutiv del produto respeto de l sum de mtries.( + ) =. +. Distriutiv del produto respeto de l sum de eslres ( + ). =. +. soitiv mit:.(.) = (.). elemento neutro en los eslres:. = l umplir ests utro propieddes ls nteriores de l sum, el onjunto de ls mtries tiene estrutur de espio vetoril sore el uerpo de los números reles. Ejemplo: Sen dos mtries de dimensiones tles que ij = i + j ij = i - j lulr l mtri - - + 8 8 9 9 8 9 = = 9
9 9 9 8 8 8 Produto de mtries. Dos mtries son multipliles solo si el número de olumns de l mtri multiplindo es igul l número de fils de l mtri multiplidor. nm. mp L mtri resultnte tendrá igul número de fils que l mtri multiplindo el mismo numero de olumns que l mtri multiplidor. C np Pr lulr el elemento ij se multiplir d término de l fil i de por d término orrespondiente de l olumn j de l mtri luego se sumrn todos los produtos otenidos. Ejemplos: ; i f h e g d i f h e g d i h g f e d 8 8 8 8 8 Ejemplo: Sen Hllr. 9 9
8 Propieddes: soitiv: nm.( mp.c pq ) = ( nm. mp ).C pq Distriutiv del produto respeto de l sum: nm.( mp + C mp ) = nm. mp + nm.c mp ( nm + nm ).C mp = nm.c mp + nm.c mp En generl no es onmuttiv.. ien por que no eist lguno de los dos produtos, ien porque sus resultdos den mtries de diferentes ordenes o ien porque un siendo del mismo orden sus resultdos sen distintos. Sen ls mtries C D.C C. que no es multiplile mientrs que si lo es..c C. que 8 mientrs que es de diferente orden..d D. que 9 mientrs que Los dos produtos son reliles, sus resultdos tienen igul dimensión, pero son diferentes. En los sos espeiles en que. =. se die que ls mtries son permutles.
En este so se verifi que ( + ) = +.. + Si no son permutles ( + ) = ( + ).( + ) = +. +. + Dentro de ls mtries udrds elemento neutro que será l mtri I tl que: I n. n = n.i n = n Mtri trnspuest. Dd un mtri de dimensiones nm, llmremos mtri trnspuest de l designremos por t o por ', otr mtri de dimensiones mn que se otiene mindo fils por olumns olumns por fils, sin lterr su orden. Si t Propieddes: ) L trnspuest de l sum de dos mtries es igul l sum de ls trnspuests de d mtri. ( + ) t = t + t ) L trnspuest del produto de dos mtries es igul l produto de ls trnspuests en orden inverso. (.) t = t. t ) L trnspuest de l trnspuest de un mtri es l propi mtri. ( t ) t = d) L trnspuest del produto de un eslr por un mtri es igul l produto del eslr por l trnspuest de l mtri. (k.) t = k. t e) Si es simétri ==> t = f) Si es ntisimetri ==> = - t
Mtri invers. Dd un mtri udrd, llmremos mtri invers de, otr mtri X, si eiste, tl que.x = X. = I donde,x e I tendrán el mismo orden. dih mtri se le design por - l mtri se le llmr inversile l mtri - mtri invers. demás l definiión es simétri de form que ( - ) = Tmién podemos segurr que el produto es onmuttivo que ls mtries, X e I deen ser udrds del mismo orden. Si l mtri no es udrd, no será invertile por tnto no poseerá mtri invers. Euiones mtriiles. Un euión mtriil es un euión en l que l inógnit es un mtri no un numero. X + X C = X (+C) X + C X = (+C) X X + X = X (X + ) X + X = X X + X = X (X+I) X X = X X X I = X (X I) = (X I) X * X = X X X = ( I) X = ( I) - ( I) X = ( I) - X = ( I) - * X = + - X = - ( + ) X = - ( + ) * X = - (.X) = - ( - ) X = - I X = - X = -
DETERMINNTES. Determinnte de º orden. Llmmos determinnte de l mtri udrd de º orden l número rel. -. que se otiene multiplindo los elementos de l digonl prinipl restándole el produto de los elementos de l digonl seundri. Se represent por Determinnte de º orden. Llmmos determinnte de l mtri udrd de º orden l numero rel (.. +.. +.. ) - - (.. +.. +.. ) Un mner prti de reordr estos sumndos es l regl de Srrus Ejemplo 8 8 = 8 = ( - - 8 ) - ( - - 8 + ) = - - ( - ) = - 8 Ejemplo 8 8 9 9 8 9 = 9 - - + - 9 + = Propieddes de los determinntes..- Un determinnte que tiene todos los elementos de un líne (fil o olumn) igules, vle siempre ero. 8
.- Un determinnte que tiene dos línes prlels igules es siempre nulo. 8 por tener l ª l ª olumn igules.- Un determinnte en el que los elementos de un líne son múltiplos de los elementos de un líne prlel ell, es siempre nulo. 8 porque f = f.(-).- Un determinnte en el que los elementos de un líne son ominión linel de los de otrs línes prlels ell, es siempre nulo. porque = +..- El vlor de un determinnte no vri si se min ls fils por ls olumns sin lterr el orden reltivo de los elementos de d un. Es lo mismo que deir que t =.- Un determinnte no vri l sumr los elementos de un líne, los orrespondientes de otr prlel ell multiplidos por un numero, los de otr multiplid por, et. i h i h g f e f e d i h g f e d.- Si se min entre si dos fils ( o dos olumns ), el nuevo determinnte tiene el mismo vlor soluto pero mi de signo. He mido <--->
8.- Si se multiplin ( o dividen ) todos los elementos de un líne por un mismo numero, el vlor del determinnte qued multiplido ( o dividido ) por el numero. Si 9 9 que l l he multiplido por. 9.- Si en un determinnte todos los elementos de un líne son múltiplos de un mismo numero, se puede sr este numero omo ftor. 8.- Si se multiplin todos los elementos de un determinnte de orden n por un mismo numero, el vlor del nuevo determinnte será n. Si i h g f e d i h g f e d.- Si los elementos de un líne onstn de h sumndos, el determinnte se podrá desomponer en sum de h determinntes, que tienen igules el, ls restntes línes en lugr de quell, l formd por los primeros sumndos, por los segundos, et. f s e v d f r e u d f q e t d f s r q e v u t d se mntienen idéntis l l.- El determinnte de un mtri tringulr es igul l produto de los elementos de l digonl prinipl. j h e j i g d h f e.- El determinnte del produto de dos mtries udrds, de igul orden, es igul l produto de los determinntes de de.
Menor omplementrio. Dd un mtri udrd de orden n, llmremos menor omplementrio del elemento ij, l determinnte de orden n-, que se otiene suprimiendo l fil i l olumn j en el. Se simoli por ij. Dd 9 8 9 8 9 djunto de un elemento. Llmmos djunto del elemento ij de un mtri udrd, l vlor del menor omplement-rio orrespondiente, fetdo del signo + o - según que l sum de los suíndies i + j se pr o impr Se represent por ij = (-) i+j. ij En l mtri nterior, lulemos
Desrrollo de un determinnte por los elementos de un líne. Todo determinnte de orden n, se puede lulr omo l sum de los produtos de los elementos de un líne ulquier por sus djuntos orrespondientes. 8 8 8 = ( - + 8-8 + 8 + - ) -.( - + + - 9 + - 8 ) + +.( + 8 + + + - ) = 8 + = Por este proedimiento el lulo de un determinnte de orden n se redue lulr n determinntes de orden n -, estos se reduen otros de orden n - sí suesivmente hst llegr determinntes de orden que se luln por Srrus. Regl de Chio. Est regl sirve pr el álulo de determinntes de orden superior tres. Consiste en onseguir que un de ls línes del determinnte este tod ell formd por eros, eepto uno de sus elementos que vlg l unidd. De est form l desrrollr por los elementos de dih líne, se nulrn todos los sumndos eepión del elemento en donde este el sí reduiremos el orden del determinnte en un unidd. ) Se oserv si h lgún en el determinnte. Se elige l fil o olumn que onteng diho l mor numero de eros posiles. Si no eiste ningún en el determinnte se elige l líne que onteng mor numero de. Dividimos los elementos de es líne por uno de ellos, de form que onsígnos un en dih líne. "tenión", después de est operión, el vlor del nuevo determinnte hrá que multi-plirlo por el numero que dividimos nteriormente. Tmién se puede onseguir que lgún elemento vlg, restndo un líne de otr prlel, siempre que eistn dos elementos que oupen el mismo lugr que difiern en un unidd. ) Un ve onseguido el en un líne, hrá que her los demás elementos de l fil o olumn en donde se hlle. Pr ello reliremos ominiones lineles on línes prlels según nos interese.
Ejemplo: 8 8 8 8 8 () elegimos l olumn ª por poseer un un. Dejmos fij l ª fil donde se enuentr el, trtmos de her eros en ls fils ª ª on ominiones lineles on l ª fil. f -.f f f -.f f () Desrrollmos por los elementos de l ª olumn :. () Dividimos ls fils ª ª por -, on lo que el nuevo determinnte viene multiplido por (-).(-) () Desrrollmos por Srrow. Clulr 8 8 8 () l no her ningún ero, elegimos l fil ª por poseer dos. Dejmos fij l olumn ª hemos ominiones lineles on dih olumn pr onseguir eros en ls olumns ª, ª ª. -. +. - () Desrrollmos por los elementos de l ª fil :. uidndo que el djunto hor es negtivo. () Desrrollmos por Srrow.
Clulr 9 9 9 9 9 9 9 8 () l no her ningún, usmos dos línes prlels en ls que lguno de sus elementos orrespondientes difiern en un unidd. Elegimos ls olumns ª ª. Restmos - -->. Dejmos igules ls olumns ª ª. () Fijmos l olumn ª en l que h un fijmos l olumn ª on l que hremos ls ominiones lineles pr her eros en ls olumns ª ª. () Desrrollmos por los elementos de l ª fil. teniendo en uent que el djunto es negtivo. () Dividimos l ª fil por on lo que el nuevo determinnte qued multiplido por. () quí podímos her resuelto por Srrus, pero ontinuremos dejndo fij l ª olumn pr her eros en l ª ª olumn on ominiones lineles on l ª fijd. + +. () Desrrollmos por los elementos de l ª fil. teniendo de nuevo en uent que el djunto luldo es negtivo. () Desrrollmos por Srrus el determinnte de orden dos que nos qued. 9 9
Determinnte de Vndermonde. Es el formdo por ls potenis suesivs de n números distintos:,,,... g, h, ordends de l siguiente form: n n n h h h n Este determinnte es igul l produto de tods ls diferenis otenids restndo d numero,,,.., de todos los que le siguen. Ejemplo: 8 9 9 8 9 9 9 9 Mtri invers. Dd un mtri udrd, llmremos mtri invers de, otr mtri X, si eiste, tl que.x = X. = I donde,x e I tendrán el mismo orden. dih mtri se le design por - L ondiión neesri sufiiente pr que eist mtri invers es que dih mtri se regulr o lo que es lo mismo que su determinnte se distinto de ero. Pr lulr l invers de un mtri, lulremos l mtri trnspuest de l mtri djunt de lo dividiremos por el vlor del determinnte de dih mtri. d t L mtri d mtri se lul, hllndo todos los djuntos de todos los elementos de l Si no eistirí mtri invers pues todos sus términos tendrín que venir divididos por me quedrí un mtri de elementos infinitos, on lo que no eistirí. Tmién se puede lulr primero l mtri trnspuest de luego l mtri djunt de l t, pr luego dividir por el vlor del determinnte.
Ejemplos: Hllr l - de l mtri 8 = = - = - = d t d / / / / Hllr l invers de l mtri d t d / /
Propieddes: ) Si son dos mtries udrds del mismo orden regulres, se verifi que l invers del produto de dos mtries es igul l produto de sus inverss en orden inverso. ( ) - = -. - ) Si es un mtri regulr se verifi que l invers de l trnspuest es siempre igul l trnspuest de l invers. ( t ) - = ( - ) t ) L invers de l invers de un mtri regulr es l propi mtri. ( - ) - = L mtri invers filit l resoluión de euiones mtriiles de l form: X = ==> - ( X) = - ==> ( - ) X = - I X = - ==> X = - Ejemplo: Resolver l euión X = siendo ; Como hemos visto X = -. Clulemos - d X Si l mtri es de orden superior tres, el lulo de los djuntos seri mu lorioso por ello en ursos superiores empleremos el método de Guss otros métodos pr lulr mtries inverss.
RNGO DE UN MTRIZ. Menor rngo de un mtri. Dd un mtri de dimensiones ulesquier (no tiene porque ser udrd) de orden mn, se llm menor de orden h l determinnte de ulquier de ls sumtries udrds de orden hh que se otienen suprimiendo de tods ls forms posiles m-h fils n-h olumns de l mtri originl. Llmmos menor prinipl de orden h, l determinnte formdo por ls h primers fils ls h primers olumns que su vlor se distinto de ero. Ejemplo: Se Si eliminmos f, f, f, f,,, nos qued un menor de orden formdo por l mtri ( ) uo determinnte es. demás será un menor prinipl por estr formdo por l ª fil l ª olumn. Si eliminmos f, f, f,, nos qued l sumtri un menor de orden pues su determinnte vle ero. uo determinnte no es Si eliminmos f, f, f,, nos qued l sumtri que si es un menor de orden pues su determinnte vle. demás será un menor prinipl de orden por estr formdo por ls dos primers fils ls dos primers olumns. Si ordenmos l mtri mindo l f por l fil f nos qued Si hor suprimimos f, f, nos qued l sumtri uo determinnte vle - distinto de ero. Dih sumtri será un menor de orden demás será un menor prinipl por estr formdo por ls tres primers fils ls tres primers olumns.
Si mplimos diho menor prinipl on l f l nos qued uo determinnte se h de lulr por l regl de Chio. Elegimos l fil pr her eros. -, + nos qued 8 8 L sumtri de orden formd es por tnto un menor prinipl de orden por estr formd por ls utro primers fils ls utro primers olumns vler su determinnte distinto de ero. No eiste un menor de orden por no poderse formr un sumtri udrd de orden. Llmmos rngo de un mtri, l numero h, que nos d el orden mor de los menores priniples no nulos tl que todos los menores de orden superior h son ero o no eisten. En nuestro ejemplo de l mtri, el mor prinipl otenido es de orden por lo que el rg = Propieddes del rngo de un mtri. ) Si en l mtri, se intermin entre si dos línes prlels, se otiene otr mtri, de igul rngo que l de. ) Si un líne de l mtri, est formd por eros, el rngo de es igul l rngo de l mtri que se otiene suprimiendo dih líne de eros. ) Si en l mtri, se suprime un líne que se ominión linel de otrs vris prlels, se otiene un nuev mtri, de igul rngo que l mtri. Llmmos rngo por fils de un mtri, l numero máimo de fils linelmente independientes. Llmmos rngo por olumns de un mtri, l numero máimo de olumns linelmente independientes.
Clulo prtio del rngo de un mtri. Ejemplo: l ser l =. podemos eliminr dih olumn por ser ominión linel de. rg rg Tommos un menor prinipl de orden formdo por ls dos primers fils dos primers olumns. mplimos un menor tres por tres 8 8. es menor prinipl de orden tres. mplimos un menor de orden 9 = = 9 9 No eiste menor prinipl de orden, on lo que el rg =. Ejemplo: rg = rg Tommos un menor prinipl de orden formdo por ls dos primers fils dos primers olumns. mplimos un menor tres por tres
es menor prinipl de orden tres. mplimos un menor de orden = No eiste menor prinipl de orden, on lo que rg =
SISTEM DE ECUCIONES LINELES. Llmmos sistem de euiones lineles on oefiientes reles l onjunto de igulddes siguientes: + +... + n n = Este sistem tendrá m euiones on n inógnits. + +... + n n = Los ij son números reles llmdos oefiientes de.... ls inógnits. m + m +... + mn n = m Los ij son los llmdos términos independientes. Los j representn números reles desonoidos llmdos inógnits del sistem. Llmmos mtri de oefiientes l mtri uos elementos son los oefiientes de ls inógnits. Llmmos mtri mplid l otenid l ñdir l mtri de oefiientes, un nuev olumn formd por los términos independientes. C m m.. n n mn m m. n n mn m Llmmos soluión de nuestro sistem l onjunto de vetores S(s,s...s n ) que l sustituirlos respetivmente por,,... n, onvierte ls m igulddes en m identiddes numéris. Resolver por tnto nuestro sistem es verigur si el onjunto S posee elementos en so firmtivo, lulrlos. Los sistems pueden no tener soluión se llmn INCOMPTILES. Pueden tener infinits soluiones se llmn COMPTILES INDETERMINDOS. Pueden tener un numero finito de soluiones se llmn COMPTILES DETERMI- NDOS. Dos sistems serán equivlentes undo posen ls misms soluiones. Si en un sistem S, se suprime un euión que se ominión linel de ls restntes, el nuevo sistem S será equivlente l S. Pr resolver un sistem S, st on resolver un sistem equivlente S en el que ningun euión se ominión linel de ls restntes.
RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES. Sistem de Crmer. Regl de Crmer. Llmmos sistem de Crmer l formdo por n euiones n inógnits tl que l mtri de oefiientes C se un mtri udrd regulr, es deir que C. Diho sistem será equivlente en form mtriil C.X = dondecxx mn n n n C n X n L regl de Crmer die que todo sistem de Crmer tiene soluión úni dd por C X C X I C X C C Resolviendo l nuev euión mtriil nos qued que: C nn n n n i. en donde hemos sustituido l olumn i de l mtri C por l olumn mtri. Ejemplo: Resolver el sistem El sistem es de Crmer por tener igul numero de euiones que de inógnits porque 9 8 8 C
Su soluión será: 9 8 C C 8 9 C 9 8 Teorem de Rouhe-Froenius. L regl de Crmer nos permite resolver sistems de euiones en el so prtiulr de que h igul número de euiones que de inógnits. Con el teorem de Rouhe podemos mplir l so de que n m. Si el rg C rg el sistem no tendrá ningun soluión rel. Si el rg C = rg = h el sistem tendrá soluión. Si h = nº de inógnits, l soluión será úni. Si h < nº de inógnits, eistirán infinits soluiones. En definitiv, l disusión de un sistem de n euiones on m inógnits es l siguiente: Si rg C rg no eiste soluión ===> sistem inomptile. Si rg C = rg = nº de inógnits tiene un úni soluión sistem omptile deter mindo. Si rg C = rg < nº de inógnits tiene infinits soluiones sistem omptile indeter mindo. Pr resolver el sistem omptile indetermindo on infinits soluiones podemos usr el método de Crmer.
+ - + t = Resolver el sistem + + - t = 8 + - + t = - Por Crmer: Prtimos de un menor prinipl de orden mplimos un menor de orden. 8 9 Como los dos únios menores que puedo formr de orden son nulos, el rg C tiene que ser l mplir el menor prinipl de orden on los términos independientes me qued: 9 8 Como el únio menor de orden que puedo formr es nulo, el rg tiene que ser. Si rg C = rg < nº de inógnits ==> Sistem omptile indetermindo. Pr resolverlo, despejmos ls dos primers inógnits e, en funión de l terer inógnit, en ls dos primers euiones. + = + - t Es un sistem de Crmer de euiones on inógnits. + = 8 - + t t t t t t 8 8 t t t t t 8
Llmndo = t = t 8 l disutir por Crmer, si el numero de euiones es igul o menor que el numero de inógnits, se empie usr los menores priniples por l mtri C, pr luego mplirl l. Ejemplo: Disutir resolver el sistem 8 Por Crmer: l her ms euiones que inógnits, emperemos lulndo el rngo de l mtri mplid. 8 f f f f 8 8 8 : 8 l ser el únio determinnte de orden igul ero no eiste un menor prinipl de orden utro. Vemos si eiste lgún menor de orden Si eiste, por tnto el rg =. Como el determinnte esogido es tmién un menor de orden de l mtri C, podemos segurr que el rg C = Si rg C = rg = = nº inógnits sistem omptile determindo. Eiste un úni soluión.
Pr resolverlo eliminmos l ultim euión, pues el rngo lo hemos otenido on ls tres primers euiones. 8 8 8 C 8 C 8 8 C Sistems homogéneos. Llmmos sistem homogéneo de n euiones on m inógnits, l sistem en el que todos los términos independientes de ls euiones que formn el sistem son nulos, es deir = =... = n = Todo sistem homogéneo será siempre omptile pues el rg C será siempre igul l rg, que l mtri se form ñdiéndole l mtri C un olumn de eros. L soluión (,...) será siempre soluión de todo sistem linel homogéneo se le llmr soluión impropi del sistem o soluión trivil. Todo sistem homogéneo que teng soluión distint de l trivil, dmitirá infinits soluiones, inluid l soluión trivil. Si plimos el teorem de Rouhe, diremos que l ondiión neesri sufiiente pr que el sistem homogéneo se omptile es que : rg C = rg < nº inógnits ===> sistem on infinits soluiones. rg C = rg = nº inógnits ===> l soluión será úni (,,...).
En el so prtiulr de que el nº de euiones oinid on el nº de inógnits, diremos que l ondiión neesri sufiiente pr que el sistem se omptile (infinits soluiones), es que el determinnte de l mtri de los oefiientes se nulo. En so de no serlo, l soluión será l trivil (,,...). Es deir: Si C ===> soluión (,,...) Si C = ===> infinits soluiones. Los sistems homogéneos tmién se pueden disutir resolver por Crmer por Guss. Ejemplo: Disutir resolver el sistem Por Crmer: Clulemos C Como el menor el rg C = Eliminmos l ultim euión despejmos e en funión de. Resolvemos por Crmer 8 Ls infinits soluiones serán,,
Unidd : Mtries. Clul, siendo Dd l mtri ; ) Clul, ) Hll un le generl pr lulr n. Dd l mtri, lul, si eisten ls siguientes mtries: ) Un mtri X tl que X. ) Un mtri Y tl que Y (PU). Dd l mtri enontrr tods ls mtries d P tles que P P (PU Junio -). Dd l mtri. Hllr n pr todo numero entero positivo n. (PU). Dds ls mtries:, C omprue ls siguientes igulddes: ) C C ; ) C C ; ) C C C ; d) ; e)
Dds ls mtries Enontrr l regl de lulo de ls potenis suesivs de de, es deir n n. Dds ls mtries, I ) Hllr dos onstntes tles que I. ) Clulr utilindo l epresión otenid en el prtdo nterior. ) Hllr tods ls mtries X que stisfen X X X. (PU Septiemre -). Dds ls mtries k t k, k t k ) Hllr. ) Hllr l mtri invers de. ) En el so prtiulr k =, hllr. (PU Septiemre -). Dds ls mtries. Se pide: ) Enontrr ls ondiiones que deen umplir, pr que se verifique. ) Pr = = =, lulr. (PU Junio -). Dds ls mtries:, I, se pide: ) Hllr dos onstntes, tles que I. ) Sin lulr eplíitmente, utilindo solo l epresión nterior, otener l mtri. (PU Junio Generl 9-)
Dds ls mtries ls euiones mtriiles X = ; Y = O Z = O ) Señl ls plnteds orretmente. ) En su so, lul l mtri X, Y ó Z. Ron l respuest. (PU). Enontrr un número rel (distints de l mtri nul), tles que, tods ls mtries de dimension 9 (PU Junio -). Epresr l mtri X omo ominión linel de Hllr tods ls mtries distints de l mtri tles que. ) Pr un ulquier de ls mtries otenids en el prtdo nterior, lulr M. (PU Septiemre -). Otener, pr todo numero nturl n, el vlor de: (PU Modelo 9-). n n Pror que ls mtries os sen os sen sen os sen os onmutn es deir =. Hllr este produto. plirlo pr hllr, n, n N.
Resolver el siguiente sistem mtriil 8 8 8 (PU). Resuelve el sistem de euiones mtriiles: X Y X Y (PU). Resuelve los sistems mtriiles: ) X Y ) X Y 8 X Y Y X Se un mtri udrd que verifi que + = I, donde I denot l mtri identidd. ) Demostrr que es no singulr (det() I) epresr - en funión de e I. ) Clulr dos números p q tles que pi q. ) Si umple l relión de prtid, k lulr el vlor de k. (PU Modelo -). Se un mtri de dimensión, un mtri de dimensión mn C otr de dimensión. Si se se que se puede otener l mtri produto C, uál es l dimensión de l mtri?. Y l de l mtri C?. (PU). Se e I l mtri identidd de orden tres. ) Eiste lgún vlor rel, m, que verifique: ( I ) ( + mi) = I?. Ron l respuest. ) Clul un mtri tl que ( I) = I. (PU).
Se un mtri rel udrd de orden n que verifi l iguldd = I, siendo I l mtri identidd de orden n. Se pide: ) Epresr - en terminos de. ) Epresr n en terminos de e I, pr ulquier numero nturl n. ) Clulr pr que = I, siendo l mtri: (PU Septiemre -). Se un mtri mn. ) Eiste un mtri tl que se un mtri fil?. ) Se puede enontrr un mtri tl que se un mtri fil?. Si eiste, que dimensión tiene?. ) us un mtri tl que siendo (PU). Se l mtri Clulr prtir de l n (PU MODELO 8-9) Se l mtri : ) Pr d numero nturl n, hllr n. ) Clulr +. (PU). Se l mtri, on un prámetro rel. ) Pr qué vlores del prámetro el sistem de euiones lineles tiene solo l soluión = = =?. Justifi l respuest. ) Pr = - resuelve, si es posile, el sistem (PU).
Se l mtri Se pide: ) Compror que - =. ) Hllr n. (PU MODELO -). Se l mtri se n un numero nturl. Enontrr el vlor de n pr d n hllr. (PU). Se I ls mtries I 9. Clulr, esriiendo ls operiones neesris: ) Ls mtries. ) Los números reles pr los que se verifi I I. (PU). Sen un mtri udrd de orden n tl que =, I l mtri unidd de orden n = I. Clul. Sen mtries digonles de orden tres: Pror que tmién es digonl. Sen, I ls mtries, I Contestr rondmente, eiste lgún vlor de rel, tl que l iguldd I se iert?. En so firmtivo, hllr diho vlor de. (PU).
Sen ls mtries,, C E. Clulr M pr que verifique l euión ( t + C) M = E Se onsidern ls mtries lul ( + ), + + +, Por qué no oiniden sus resultdos?. Cuál seri l formul orret pr el udrdo de un sum de mtries?. Se onsidern ls mtries e I. Se pide: ) Hllr ( I). ) Clulr hiendo uso del prtdo nterior. (PU MODELO -) Se die que un mtri udrd es ortogonl si se verifi que t = I, donde t es l mtri trspuest de e I l mtri identidd. Si son dos mtries ortogonles de igul orden, nli si es tmién un mtri ortogonl. (PU). Si un mtri udrd verifi + = I, siendo I l mtri unidd, lul - en funion de
Unidd : Determinntes verigur según el vlor de el número de ríes reles que tiene l euión (PU). Clul el siguiente determinnte, hiendo previmente eros en l segund olumn: 9 9 Clul el vlor de los siguientes determinntes. Compror, plindo ls propieddes de los determinntes, l identidd: PU Junio -). Comprue, utilindo ls propieddes de los determinntes, que los siguientes determinntes, llmdos de Vndermonde, verifin: d d d d d d C
Comprue que Comprue que l euión 8 9 tiene solo tres soluiones sin neesidd de lulr el determinnte. Cuáles son?. Comprue sin desrrollr que Dd l siguiente mtri de orden n 9 9 9, se pide ) Clulr el determinnte de l mtri. ) Clulr el vlor del determinnte de l mtri. ) Clulr el vlor del determinnte de l mtri. (PU Junio -8). Dds ls mtries 8, I ) Compror que que I I. ) Se M un mtri udrd de orden. Se puede segurr que se umple que M M?. Ronr l respuest. ) Enontrr tods ls mtries udrds M, de orden dos, tles que: I M I M. (PU Septiemre -). El determinnte de un mtri udrd de orden n vle k. Hllr el determinnte de ls mtries ; - ; t t.
El determinnte de un mtri udrd de orden n es k. Qué ondiión dee verifir k pr que l mtri teng invers?. Cuánto vle en ese so. El determinnte de un mtri udrd de orden tres vle. Hllr el determinnte de ls mtries: ) ; ) ; ) - ; d) t ; e) t ; f) t. El determinnte 8 sí sin desrrollrlo. vle ero pr =. Compror que es Enontrr ls trnsformiones de fils o olumns neesris pr deduir: Hll los vlores reles de,, d pr que se umpln ls igulddes ) ; ) 9 d d d ) ; d) 8 d d Hllr el determinnte de l mtri os sen sen os
Hllr en funión de, el vlor del determinnte: (PU Septiemre 998-99) Justifi, sin relir lulo lguno, que: Otén el desrrollo de los siguientes determinntes por los djuntos de l primer fil: Otén, sin lulr el vlor del determinnte, dos soluiones pr Otener en funión de, el determinnte de l mtri (PU). Resolver l euión :
Resolver l euión: (PU Modelo 8-9). Resolver ls euiones: ) ) Resolver ls euiones siguientes: ) ) ) k d) Semos que el determinnte de l mtri d vle. Hllr él determinnte de ls mtries: ), ) - ; ) ; d) t ; e) t ; f) t. Siendo que, determin sin desrrollrlos el vlor de los siguientes determinntes. ), ), ) 8 d)
Siendo que i h g f e d, lul el vlor de f e d i h g Siendo que i h g f e d, determin sin desrrollr el vlor de los siguientes determinntes. ) i h g f e d / / /, ) / / / g g i h d d f e ) i f h e g d f e d Siendo que, utilindo ls propieddes de los determinntes, lulr: ) el determinnte de l mtri, ), ) (PU Junio Espeifi 9-). Se un mtri udrd de orden. ) Si semos que el determinnte de l mtri es igul 8, Cuánto vle el. ) Clul pr que vlores de se umple que 8, siendo l mtri (PU).
Se l mtri, lulr el vlor de su determinnte en funión de. (PU). Se l mtri. Pr d numero rel definimos l mtri = - I, donde I denot l mtri identidd. ) Hllr los vlores de que hen que el determinnte de se nulo. ) Resolver el sistem pr los diferentes vlores de. (PU Modelo -). Sen dos mtries udrds de orden n,. Pror, hiendo uso de ls propieddes estudids, que, pesr de que en generl Sen ls mtries : Hllr los determinntes de ls siguientes mtries. ) ; ) ; ) ; d) ; e) + ; f) + ; g) ; h) ; i) t. Se onsider l funión: f ) ( Sí f() = - f() = f(-), determin. (PU). Si i g g f e d, lul sin desrrollr el vlor de e d f h g i
Se onsider l funion f ) (, siendo que f() = - que f() = f(-), determinr (PU). Si,, C C C es un mtri udrd de orden on olumns,, C C C, se se que det, se pide ) Clulr det det. ) Clulr det det, siendo,, C C C C l mtri us olumns son,, C C C C. (PU Modelo 8-9). Si l mtri i h g f e d tiene determinnte n, verigu el vlor del determinnte de ls siguientes mtries i h g f e d 9, h i h i g e f e f d C Simplifir sin desrrollr: Si es un mtri tl que, ) Cuál es el vlor del determinnte de?. ) Clulr un numero k tl que: k (PU Septiemre -). Sin desrrollr los determinntes omprue que: =
Unidd. Rngos de mtries Clul el rngo de según los distintos vlores del prámetro rel (PU Junio -). Clulr el rngo de l mtri según los diferentes vlores del prmetro rel : (PU Junio -). Consider l mtri m m m m m m. Hll los vlores de m pr los que el rngo de es menor que. (PU). Determin los vlores de pr los que el rngo de l mtri vlg. Estudir el rngo de según los vlores del prámetro : Ronr si es inversile pr lgún vlor de. Estudir el rngo de según los vlores del prámetro. Pr que vlores de es l inversile?. 8
Estudir el rngo de l mtri: m m m m m m m m según los vlores del prmetro m. (PU Junio -). Estudir el rngo de ls siguientes mtries según el vlor del orrespondiente prámetro. ; ; k C m m m D ; E Hll el rngo de l mtri: según el vlor del prámetro. (PU). Hll el rngo de l mtri : según los vlores de los prámetros. (PU). Hll el rngo de ls siguientes mtries:
Hll el rngo de ls siguientes mtries: ) 9 ; ) ; ) 9 C d) 9 D Hll el rngo o rterísti de ls siguientes mtries: ; ; C Hllr el rngo de l mtri os os sen sen Hllr el rngo de ls siguientes mtries: ; Se l mtri m m. Determine los vlores de m pr los que Rngo() <. Puede ser rngo() = pr lgun vlor de m?. (PU). Se r el rngo de l mtri ) Hllr r, ) Señlr r fils r olumns linelmente independientes.
Unidd. Mtri invers. Euiones mtriiles Clul l mtri X, tl que X + = C siendo:,, C (PU). Clulr un mtri udrd X siendo que verifi X + =, siendo, (PU Septiemre -). Consider ls mtries, Clul l mtri X que verifi que X + = I. (PU). Consider ls mtries. Hll pr que se umpl 8 8 (PU). Contest ls siguientes uestiones: ) lul los vlores,, que verifin l siguiente euión mtriil: ) Epres el sistem nterior en form mtriil X =. ) Clul l mtri invers de. (PU). Dd l euión mtriil X + = C, se pide otener l mtri X siendo:,, C (PU).
Dd l mtri lul l epresión: ( t - ) Dd l mtri lul pr que vlor de, posee invers pr ules no es inversile. Clulr -. (PU). Dd l mtri estudir pr que vlores de tiene invers lulrl siempre que se posile. ( PU Junio Espeifi 9-). Dd l mtri, otén los vlores de pr los que posee invers. Clulr -. Dd l mtri se pide: ) Determinr el rngo de según los vlores del prámetro. ) Deir undo l mtri es invertile. Clulr l invers pr =. (PU Septiemre -8). Dd l mtri:, se pide: ) Estudir el rngo de l mtri según los vlores del prámetro. ) Otener l mtri invers de pr = - (PU Junio 8-9).
Dd l mtri M ) Determinr el rngo de M según los vlores del prámetro. ) Determinr pr que vlores de eiste l mtri in vers de M. Clulr dih mtri invers pr =. (PU Junio -). Dd l mtri M ) Determinr el rngo de M según los vlores del prmetro. ) Determinr pr que vlores de eiste l mtri in vers de M. Clulr dih mtri invers pr. (PU Modelo -). Dd l mtri: m m m M, se pide: ) Determinr los vlores del prámetro m pr los ules l mtri M es invertile. ) Determinr los vlores del prámetro m pr los ules l mtri M es invertile. ) Pr m = - lulr, si es posile, l mtri invers M de M. (PU Septiemre 8-9). Dd l mtri inversile hllr: ) t, ) t, ) -, d) -, e) t -, f) - t. Dds ls mtries:, ) Determinr l mtri invers de. ) Determinr un mtri X tl que X (PU Septiemre -).
Dds ls mtries:. Se pide : ) Hllr. ) Hllr l mtri X, tl que: X t (donde t signifi mtri trspuest de ). (PU Junio -). Dds ls mtries:,, otener un mtri udrd X de orden que verifique l euión mtriil X. (PU Septiemre 8-9). Determin l mtri X, siendo que se verifi: X + = que: (PU). Estudi pr que vlores de m l mtri siguiente tiene invers m m m. En so de ser posile, hll su invers pr m = - (PU). Estudir pr que vlores del prámetro tiene invers d un de ls siguientes mtries hllr l invers en esos sos: ) ) Hll l mtri invers de l mtri: En l mtri del nterior, señl los mios que ourren en - si en l mtri se intermin dos de sus fils o dos de sus o-lumns. Y si se multipli un de sus fils por un numero p?. Y si se multipli por p un olumn?.
Hll, si eiste, un mtri udrd de orden, que umpl ls siguientes ondiiones: ) Coinide on su trspuest. ) Verifi l euión mtriil (PU). Hllr l invers de l mtri 9 omprue sí ( - ) = ( ) -. Hllr l mtri invers de I siendo: ; I Hllr ls inverss de ls mtries: ) ; ) Hllr un mtri X tl que - X =, siendo (PU Junio -) Resolver l euión mtriil X = siendo: ; Resolver l euión mtriil X = siendo: (PU).
Resolver l euión mtriil ( + I) = X + siendo, e I (PU). Resuelve l euión mtriil X + C =, siendo, C (PU). Se l euión X = on : Hllr - X. Se k un numero nturl sen ls mtries, C ) Clulr k. ) Hllr l mtri X que verifi l euión C X k. (PU Junio -). Sen dos mtries invertiles que verifin l identidd + =. Compror que entones se tiene l formul: I (donde I denot l mtri identidd). ) Dd l mtri hllr l mtri pr l ul se verifi. (PU Septiemre -). Sen ls mtries,, C E. Clulr M pr que verifique l euión ( t +C) M = E. (PU).
Sen ls mtries, ) Clulr -. ) Resolver l euión mtriil X =. (PU Prue -). Sen ls mtries:, 8. ) Hllr un mtri X tl que X X. ) Clulr. ) Hllr tods ls mtries M que stisfen M M M. (PU Modelo -8). Sen ls mtries:, 9 8. Hllr un mtri X tl que X X. Se onsidern ls mtries, donde es ulquier numero rel. ) Enuentr los vlores de pr los que es invertile. ) Determin los vlores de pr los que es invertile. ) Ddos, números reles ulesquier, puede ser el sistem omptile determindo?. (PU Junio 998-99).
Unidd. Sistems de euiones Clulr ls eddes tules de un mdre sus dos hijos siendo que he ños l edd de l mdre er vees l sum de ls eddes de los hijos en quel momento, que dentro de ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos tendrán en ese momento que undo el hijo mor teng l edd tul de l mdre, el hijo menor tendrá ños. (PU Junio -). De tres números,,, semos lo siguiente: que el primero ms el segundo sumn ; que el primero ms el terer sumn ; que l sum de los tres es, pr terminr, que el primero multiplido por un numero k ms el dole de l sum del segundo del terero d. ) Que puede deirse del vlor de k?. ) Cuánto vlen esos tres números?. (PU). El pitán l Triste tiene su rgo tres ompñís: un de suios, otr de uvos un terer de sjones. l sltr un fortle el pitán promete un reompens de 9 esudos que se reprtirán de l siguiente form: El solddo que primero su junto on todos los de su ompñí reiirán un esudo el resto de l reompens se reprtirá prtes igules entre ls otrs dos ompñís. Si el primero que sue es suio, ls otrs dos ompñís reiirán ½ esudo d un; si el primero que sue es uvo, ls otrs dos reien / de esudo d un si el primero que sue es sjón, ls otrs dos otienen ¼ de esudo. Cuántos homres h en d ompñí?. El tío Evristo tiene litros de mel de gu vino. l prorl, oserv que est mu gud, por lo que deide ñdirle un iert ntidd de vino entones l ntidd de gu es del % del totl. Como sigue estndo gud, le ñde de nuevo l mism ntidd de vino que ntes entones l ntidd de gu es del % del totl. Cuntos litros de vino se ñden en d osión unts h de gu?.
En un utonomí eisten tres hospitles dedidos urgenis. Se se que en el primer hospitl se hn tendido en dole de sos que en el segundo que en el terero se hn tendido solo l mitd que en el segundo, Si el totl de urgenis h sido de, uánts prestiones h relido d hospitl? Plnter el sistem resolverlo. En un onfiterí envsn los omones en js de g, g Kg. Cierto dí se envsron js en totl, hiendo js más de tmño pequeño que de tmño medino. Siendo que el preio del kg de omones es de euros que el importe totl de los omones envsdos es de euros: ) Plnte un sistem de euiones pr determinr unts js se hn envsdo. ) Resuelve el sistem. En un feri, un grnjero vendió d gnso, pollo odorni por, respetivmente. En totl vendió nimles reiió. uántos nimles vendió de d lse, si vendió l quint prte de pollos que de odornies?. L lig de futol de un ierto pís l juegn equipos dole vuelt. Este ño, los prtidos gndos vlín puntos, los emptdos punto los perdidos puntos. En ests ondiiones, el equipo mpeón de lig otuvo puntos. Hst el ño psdo, los prtidos gndos vlín puntos el resto igul. Con este sistem el tul mpeón hrí otenido puntos. Cuántos prtidos gno, empto perdió el equipo mpeón?. (PU). L sum de ls eddes en el momento tul, de un pdre sus dos hijos es de ños. Dentro de ños, l edd del pdre será el dole de l edd del hijo menor. He ños, l edd del hijo mor er el dole de l edd de su hermno. Hllr l edd tul de d uno.
Ls eddes, en ños, de un niño, su pdre su uelo verifin ls siguientes ondiiones: - L edd del pdre es vees l de su hijo. - El dole de l edd del uelo ms l edd del niño ms l del pdre es de 8 ños. - El dole de l edd del niño ms l del uelo es. ) Estlee ls eddes de los tres suponiendo que =. ) Pr =, que ourre on el prolem plntedo?. ) Siguiendo on =, que ourre si en l segund ondiión l sum es de en ve de 8?. (PU). Luis, Jun Osr son tres migos. Luis le die Jun: Si te do l terer prte del dinero que tengo, los tres tendremos l mism ntidd. Clulr lo que tiene d uno, siendo que entre los tres reúnen. (PU). Resuelve el sistem que se oteng del siguiente enunido: Cuntos litros de lehe on % de grs hn de melrse on lehe del % de grs, pr otener litros de lehe on el % de grs?. Se dese onfeionr un diet de tres lses de limentos, C. El tiene l por d gr de limento, el tiene l por d gr el C l por d gr. ) Si l diet onst de gr de limentos por dí, dih diet est restringid 8 l ets l ntidd de limento ingerido dee de ser dole en peso que l ntidd de limento de C. Hllr ls ntiddes que dee de ingerir de d uno de los limentos. Si un numero de dos ifrs se le sum 8, se otiene un numero on ls ifrs intermids. Siendo que l sum de ls ifrs del numero es, enuentr diho numero. Si l ltur de Crlos umentse el triple de l difereni entre ls lturs de Toni de Jun, Crlos seri igul de lto que Jun. Ls lturs de los tres sumn m. Oho vees l ltur de Toni es lo mismo que nueve vees l ltur de Crlos. Hllr ls tres lturs.
Si l sum de ls dos ifrs de un numero es l invertir el orden de ls ifrs, el nuevo numero ument en uniddes. Clulr el numero. Si se meln litros de vino lno on litros de vino tinto, se otiene un vino del % de lohol. Si, por el ontrrio se meln litros de vino lno on litros de tinto, se otiene un vino de % de lohol. Qué grduión tendr un mel de litros de vino lno litros de tinto?. (Llmr l grduión del vino lno, l grduión del vino tinto, l grduión de l mel) Tres migos juegn tres prtids los hinos. uerdn que, si uno pierde le drá d uno de los otros dos, igul ntidd de dinero que l que tengn en ese momento. Cd uno pierde un prtid todos n on. Con unto dinero empeó jugr d jugdor?. Tres persons, C vn her un reglo un migo omún. El reglo les uest 8 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deiden pgr de l siguiente mner: pg el triple de lo que pgn C juntos, por d euros que pg, C pg euros. Se pide: ) Plnte un sistem de euiones lineles que permit determinr unto pg d uno de ellos. ) Resuelve el sistem plntedo por el método de Guss. Tres persons, C deiden reprtirse 8 pts, de l siguiente form: reie el triple de lo que rein C juntos demás por d pts que rei, el C reie pts. Se pide: ) Plnter el sistem de euiones que permit determinr unto reie d uno. ) Resolver el sistem. Un jero utomátio ontiene 9 illetes de, un totl de. Si el número de illetes de es el dole que el número de illetes de, verigur untos illetes h de d tipo. (PU Septiemre 998-99).
Un lmenist dispone de tres tipos de fés: el, 9,8 / kg; el, 8, / kg, el C, 9, / kg. Dese her un mel on los tres tipos de fé pr suministrr un pedido de kg un preio de 9, / kg. Cuántos kg de d tipo de fé dee melr siendo que dee poner del terer tipo el dole de lo que pong del primero del segundo juntos?. (PU Junio 99-98). Un m de s dquirió en el merdo ierts ntiddes de ptts, mnns nrnjs un preio de,,, euros por kg respetivmente. El importe totl de l ompr fue de, euros. Si el peso totl de l mism es de 9 kg, demás, ompró kg más de nrnjs que de mnns: ) Plnte un sistem de euiones pr determinr l ntidd dquirid de d produto, ) resuelve el sistem. Un utomóvil sue ls uests km/h, ls j 9 km/h en llno mrh 8 km/h. Pr ir de l iudd l trd hors minutos pr volver de, hors 8 minutos. Cuál es l longitud del mino llno entre si se se que distn entren sí 9 km?. Un oleionist deide reglr un montón de sellos. d person on l que se enuentr le d l mitd de los sellos que llev ms uno, se enuentr etmente persons. Si l finl regl todos los sellos, Cuántos sellos tenis el oleionist?. (PU). Un estudinte hio un emen que onst de tres pregunts otuvo un 8 de lifiión. En l segund pregunt so puntos más que en l primer en l terer otuvo punto más que en l segúnd. Plnte el sistem de euiones resuélvelo por el método de Guss.
Un morist del setor turístio vende l geni de vijes, illetes destinos nionles, illetes destinos etrnjeros europeos omunitrios illetes destinos internionles no omunitrios, orndo por todo ello. un segund geni le vende illetes destinos nionles, internionles no omunitrios, or. un terer geni C le vende illetes destinos nionles destinos etrnjeros europeos omunitrios, orndo. Se pide: ) Hllr el preio de d illete. ) Por rones de merdo, el morist se ve oligdo jr un por iento el preio de todos los illetes nionles. Hllr en que porentje dee inrementr el preio de todos los illetes etrnjeros omunitrios, mnteniendo onstnte el preio de todos los illetes internionles no omunitrios, pr mntener onstntes sus ingresos totles por ls vents ls tres genis. (PU) Un número piú tiene ino ifrs. ) L sum de sus ifrs es 9. ) L ifr de ls entens es igul l sum de ls ifrs de ls uniddes de ls deens. ) Si se intermin ls ifrs de ls uniddes deens, el número que result disminue en 9. Enuentr diho número. (PU). Un pndero fri por dí, un ierto numero de pnes de g, on un oste en mteris prims de éntimos l unidd. Los ostes fijos dirios de produión (impuestos, energí...) son de se vende d pn 9 éntimos. Determinr l produión diri pr que: ) que el pndero ur gstos; ) que oteng uns gnnis de vendiendo todos los pnes fridos; ) que oteng uns gnnis de sin vender todos los pnes fridos; d) que oteng uns gnnis mores de sin vender todos los pnes fridos. Un pstelero dese vender js que ontengn l menos uniddes, on dules de dos lses un preio menor de. Si el preio de oste de d un de ls lses de dules es de éntimos l unidd: ) enuentr de form gráfi- el onjunto de soluiones. ) Si l j no puede estr ví ni ontener un so-l lse de dule, hll tods ls posiles ominiones de ls js que stisfen ls ondiiones impuests por el pstelero.
Un vintero posee tres tipos de vino on preios por litro de, euros, respetivmente. Cómo deerí melrlos pr otener un litro de vino uo preio fuese euros el litro, teniendo en uent que dee empler dole ntidd del vino de euros por litro que del vino que solo uest euros el litro?. Un empres dese disponer de dinero en efetivo en euros, dólres lirs. El vlor totl entre ls tres moneds h de ser igul. Se quiere que el vlor del dinero disponile en euros se el dole del vlor del dinero en dólres que el vlor del dinero en lirs se l déim prte del dinero en euros. Si se supone que un lir esterlin es igul, euros que un dólr es igul, euros, se pide determinr l ntidd de euros, dólres lirs que l empres h de tener disponile. Un person v l supermerdo ompr un doen de huevos, un ols de ptts un otell de eite. El dí siguiente ompr un otell de huevos dos otells de eite. Vuelve l tiend ompr un ols de ptts otr doen de huevos. El primer dí pgo, l dí siguiente se gsto, en l terer osión pgo,. Clul, si es posile, el preio de los huevos, ls ptts el eite. Un refinerí ompr petróleo dos píses. Comprndo rriles l pís rriles l pís, result un preio medio de 9 8 dólres el rril. Comprndo rriles l pís l pís, el preio medio es de 8 dólres el rril. Cunto uest el rril de rudo de d pís?.
UNIDD : Estudio generl de sistems de euiones lineles. verigu si es posile esriir un sistem linel homogéneo (sus términos independientes son nulos) de dos euiones on dos inógnits que se: ) omptile determindo; ) omptile e indetermindo; ) inomptile. Ron l respuest en d so pon un ejemplo undo l respuest se firmtiv. verigüe si el siguiente sistem m puede ser omptile indetermindo pr lgún vlor de m. Es inomptile pr lgún vlor de m? Clsifi resuelve el siguiente sistem: t t t t Consider el sistem: ) ñde un euión linel l sistem nterior de modo que el sistem resultnte se inomptile. ) Si ñdimos l sistem ddo l euión m + = -, determin pr que vlores del prámetro m el sistem resultnte es omptile indetermindo resuélvelo. (PU). Considerr el sistem de euiones ) Disutirlo según los vlores del prmetro. ) Resolverlo pr. ) Resolverlo pr. (PU Septiemre 999-)
Considerr el siguiente sistem de euiones, en el que es un prmetro rel: Se pide ) Disutir el sistem. ) Resolver el sistem pr =. (PU Modelo -). Dds ls euiones ) ñde un euión pr que el sistem se inomptile. ) ñde un euión pr que el sistem se omptile determindo. Justifi en d so el proedimiento seguido pr ñdir l euión. (PU). Ddo el sistem ) ñde un euión linel de mner que el sistem resultnte se inomptile. ) ñde un euión linel de mner que el sistem resultnte se omptile indetermindo. Resuelve el sistem. (PU). Ddo el sistem ) Cómo h de ser l euión que dee de ñdirse pr que se inomptile?. ) Cómo es l euión que dee de ñdirse pr que resulte omptile indetermindo?. Resuelve el sistem. (PU). Ddo el sistem, ) esriir un terer euión de l form (distint de ls dos nteriores) de mner que el sistem de tres euiones dos inógnits resultnte sig siendo omptile. ) Ddo el sistem, esriir un terer euión de l form (distint de los dos nteriores) de mner que el sistem de tres euiones tres inógnits resultnte se omptile indetermindo. (PU Junio -).
Ddo el sistem: si, son no nulos, el sistem tiene soluión úni. Hll dih soluión. (PU). Ddo el sistem: ) Estudir l omptiilidd según los vlores del prámetro. ) Resolver el sistem nterior undo se omptile indetermindo. (PU Junio -). Ddo el sistem se pide: ) Disutir el sistem según los vlores del prámetro. ) Resolver el sistem undo se posile. (PU Junio 8-9). Ddo el sistem: se pide: ) Disutirlo pr los distintos vlores del prámetro. ) Resolverlo undo el sistem se omptile indetermindo. ) Resolverlo pr. (PU Modelo 9-). Ddo el sistem se pide: ) Otener los vlores del prámetro pr los ules el sistem tiene soluiones distints de: = = =. ) Resolver el sistem pr (PU Septiemre 8-9). Ddo el sistem de euiones 9 Se pide ) Disutir el sistem según los vlores del prámetro. ) Resolverlo pr (PU Junio 8-9).
m Ddo el sistem de euiones: m m m ) Disutirlo m según los distintos vlores de m. ) Resolverlo undo se omptile indetermindo. (PU Junio -) Ddo el sistem de euiones: Se pide: ) Clulr de mner que l ñdir un terer euión de l form + + = el sistem resultnte teng ls misms soluiones que el sistem originl. ) Clulr ls soluiones del sistem ddo tles que l sum de los vlores de ls inógnits se igul. (PU Septiemre -). Ddo el sistem de euiones Se pide: ) Disutirlo según los vlores del prámetro. ) Resolverlo undo teng infinits soluiones. (PU Junio -). Ddo el sistem de euiones: se pide: ) Disutirlo según los vlores del prámetro. ) Resolverlo en el so =. (PU Junio Generl 9-). k Ddo el sistem de euiones lineles k k ) Disutirlo según los distintos vlores del prámetro k. ) Resolverlo undo k k teng infinits soluiones. (PU. Septiemre -).
m m Ddo el sistem de euiones lineles m m m m m m ) Disutirlo según los distintos vlores del prámetro m. ) Resolverlo undo teng infinits soluiones. (PU Modelo -8). Ddo el sistem de euiones k k k ) Disutirlo según los distintos vlores de k. ) Resolverlo undo se omptile indetermindo. (PU Modelo -). Ddo el sistem de euiones: k k k k k k k k ) Disutirlo según los distintos vlores de k. ) Resolverlo pr k = - (PU Modelo -). Ddo el sistem de euiones: k k ) Disutirlo según los distintos vlores del prámetro k. ) Resolverlo en los sos en que se posile. (PU Modelo 8-9). Ddo el sistem de euiones lineles Se pide ) Disutir el sistem según los vlores del prámetro. ) Determinr pr que vlor o vlores de el sistem tiene un soluión en l que = (PU. Junio -8).