Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

Cálculo y EstadísTICa. Prmer Semestre. EstadísTICa Curso Prmero Graduado e Geomátca y Topografía Escuela Técca Superor de Igeeros e Topografía, Geodesa y Cartografía. Uversdad Poltécca de Madrd Capítulo I Ejerccos resueltos ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Mauel Barrero Rpoll. Mª Ágeles Castejó Solaas. Mª Lusa Casado Fuete. Lus Sebastá Lorete. Departameto de Igeería Topográfca y Cartografía Uversdad Poltécca de Madrd

Ejerccos resueltos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Ejercco. Se ha meddo decsés veces la logtud e metros que separa dos putos, Los resultados obtedos se muestra e la sguete tabla.: 3,0 3,3 3,5 3,7 3,9 3,50 3,53 3,55 3,57 3,60 3,60 3,65 3,55 3,53 3,5 3,55 Tabla. Calcular la moda, la medaa, los cuartles y el percetl 90. a) Para realzar este apartado, ordeamos los datos utlzado la tabla de dstrbucó de frecuecas absolutas acumuladas. (Tabla.). x N 3.0 3.3 3.5 3.7 5 3.9 6 3.50 7 3,53 9 3.55 3.57 3 3.60 5 3.65 6 Tabla. La moda es el valor de máxma frecueca. La dstaca 3.55 se repte tres veces y es la dstaca de mayor frecueca, por tato M 0 =3.55 metros s Por ser es u valor etero, la medaa (M) es el valor medo de las observacoes que ocupe los lugares 8 = y + = 9, de modo que - M = 3.53 + 3.53 =3.53 metros s Ya que es u valor etero, el prmer cuartl Q es el valor medo de los valores stuados etre el cuarto y el quto dato, = y + = 5, así pues, - Q = P 5 = 3.5 + 3.7 = 3.6 metros s El 75 % del total de las observacoes es, el tercer cuartl Q 3 estará etre los valores que ocupa los lugares 3 = y 3 + = 3, es decr, - Q 3 = P 75 = 3.55 + 3.57 = 3.56 metros s Los ueve décmos de 6 es., por tato el percetl 90 ocupará el lugar 5, D 9 =P 90 = 3,60 metros s mauel.barrero@topografía.upm.es 3 - I

A cotuacó expoemos el procedmeto para calcular los parámetros aterores utlzado las fucoes específcas de las que EXCEL dspoe para ello. Para uestro ejemplo supodremos que los valores está stuados e el rago de datos A:A7 y escrbremos e la columa E las fucoes de Excel como se muestra e la columa G de la fgura.: Fgura. lu_seb@topografa.upm.es Ejerccos resueltos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Ejercco. De los datos del ejercco ateror, calcular: la meda, varaza, desvacó típca, cuasvaraza, desvacó típca de la muestra y los coefcetes de asmetría de Pearso, de Fsher y de aputameto. Para calcular los parámetros peddos ecestamos hallar los mometos o cetrales hasta el orde cuarto. Para ello utlzamos ua tabla como la que se muestra a cotuacó: x x x X ( x X) ( x X) 3 ( x X) 3.0 3.0-0.05750 0.0009-0.000096 0.00000 3.3 3.3-0.006750 0.00005 0.000000 0.000000 3.5 6.890-0.00750 0.00005 0.000000 0.000000 3.7 3.7-0.00750 0.0000 0.000000 0.000000 3.9 3.9-0.000750 0.00000 0.000000 0.000000 3.50 3.50 0.00050 0.00000 0.000000 0.000000 3.53 6.906 0.00350 0.0000 0.000000 0.000000 3.55 3 0.365 0.00550 0.00008 0.000000 0.000000 3.57 3.57 0.00750 0.00005 0.000000 0.000000 3.60 6.90 0.0050 0.000 0.00000 0.000000 3.65 3.65 0.0550 0.0003 0.00000 0.000000 Sumas 6 5.96 0.0079-0.000090 0.00000 Tabla. x Meda artmétca: X = = 5.96 6 Meda = 3.98 metros s Varaza: ( ) x X 0.0079 σ = = 6 = 0.0009 Varaza = 0.0009 7 Desvacó típca: σ= Varaza = 0.0007 0.03 Desvacó típca = 0.03 Cuasvaraza o varaza muestral: ( ) x X 0.0079 S = σ = = = 0.0008 5 Cuasvaraza = 0.0008 8 mauel.barrero@topografía.upm.es 5 - I

Desvacó típca muestral: ( ) x X 0.0079 S = σ= = 0.036 5 Desvacó típca muestral = 0.036 8 Coefcete de asmetría de Pearso: X Mo 3.975 3.55 As = = 0.3973 σ 0.03 Coefcete de asmetría de Pearso A s =-0.3973 3 Coefcete de asmetría de Fsher: g 3 ( ) 3 x X = = σ 0.000090 6 3 0.03 =.507 Coefcete de asmetría de Fsher g =-.50 7 Coefcete de aputameto: ( ) x X g = 3= σ 0.00000 6 3 0.03 = 5.6505 Coefcete de aputameto g = 5.6505 E la fgura. expoemos el procedmeto para calcular los parámetros aterores utlzado alguas de las fucoes específcas de las que EXCEL dspoe. Para termar este apartado, advertmos que alguas fórmulas empleadas por EXCEL puede producr resultados dsttos que co las utlzadas e clase. Por ejemplo los coefcetes de asmetría y aputameto de Fsher produce resultados dsttos, ello es debdo a que osotros calculamos los coefcetes de asmetría y curtoss de la poblacó o del cojuto de datos, metras que EXCEL calcula los estmadores o valores muestrales. lu_seb@topografa.upm.es 6 Ejerccos resueltos

Ejercco Dada la dstrbucó de frecuecas absolutas mostrada e la tabla.: Itervalos 0-5 5-0 0-5 5-30 30-35 35-0 0-5 5-50 8 60 80 30 3 0 6 3 Tabla. Calcular la moda, medaa, cuartles y el percetl 0. E este caso los datos está agrupados e tervalos, así pues, para el cálculo de los parámetros peddos, formamos la tabla de dstrbucó de frecuecas y procedemos de la forma sguete: Itervalo Marca de Frecueca Frecueca clase x N 0-5.5 8 8 5-0 7.5 60 08 0-5.5 80 88 5-30 7.5 30 8 30-35 3.5 3 3 35-0 37.5 0 0-5.5 6 7 5-50 7.5 3 50 Tabla. Moda: El tervalo modal es [0, 5) y tomamos como moda, M 0, el puto medo del tervalo. M 0 =.5 5 Medaa: El valor de / es 5, por tato, el tervalo medao es [0, 5) y el valor de la medaa ( ) 5 08 5 M = 0 + =.06 80 Prmer cuartl: El valor de es 6.5, por tato, el prmer cuartl estará e el tervalo [5, 0) y su valor es: ( ) 6.5 8 5 Q = 5 + = 6. 60 3 es 87.5, así pues el tercer cuartl Q 3 está e el tervalo [0, 5) y su valor es: ( ) 87.5 08 5 Q3 = 0 + =.97 80 El percetl 0 estará e el tervalo [0, 5) y su valor es: ( ) 5 0 5 P0 = 0+ =.60 8 lu_seb@topografa.upm.es 8 Ejerccos resueltos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Ejercco 5. Represetar el hstograma de frecuecas y los polígoos de frecuecas absolutas y absolutas acumuladas del ejercco. Para represetar el hstograma y el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas, utlzamos la tabla 5. de dstrbucó de frecuecas absolutas. Hstograma de frecuecas absolutas 00 Itervalos 0-5 8 5-0 60 0-5 80 5-30 30 30-35 3 35-0 0 0-5 6 5-50 3 Tabla 5. 80 60 0 0 0 00 80 60 0 0 0 0-5 - 0-5 - 30-35 - 0-5 - 50 Polgoo de frecuecas absolutas 7.5.5 7.5.5 7.5 3.5 37.5.5 7.5 5.5 Fgura 5. Para represetar el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas, utlzamos la dstrbucó de frecuecas absolutas acumuladas N. Itervalos N 0-5 8 5-0 08 0-5 88 5-30 8 30-35 3 35-0 0-5 7 5-50 50 Tabla 5. 300 50 00 50 00 50 0 Polígoo de frecuecas absolutas acumuladas 0 5 0 5 30 35 0 5 50 mauel.barrero@topografía.upm.es 9 - I

Ejercco 6. Del ejercco hallar la meda, varaza, desvacó típca, cuasvaraza, desvacó típca muestral y los coefcetes de asmetría y aputameto de Fsher. Para el cálculo de los parámetros estadístcos peddos, utlzamos la tabla 6. y las fórmulas de la tabla 6.. Marca de Frecueca Itervalos x X clase x absoluta ( ) x X ( ) 3 x X ( ) x X 0-5.5 8 600-9.38 3.5-396.0 37580. 5-0 7.5 60 050 -.38 5.06-50.66 08.7 0-5.5 80 800 0.6 30.75 9.07.8 5-30 7.5 30 85 5.6 97.53 535.3 997.3 30-35 3.5 3.5 0.6 66.0 557.0 6536.7 x ( ) 35-0 37.5 0 375 5.6 39.8 380.36 59583.87 0-5.5 6 55 0.6 55. 5603.8 08690.6 5-50 7.5 3.5 5.6 969.5 509.70 95. 50 570 6.96 778.90 73.3 3566.88 Tabla 6. Parámetro estadístco. Fórmula. Valor. Meda x 570 X = = 50 =.88 Varaza ( ) x X 778.90 σ = = =59. 50 Desvacó típca σ = σ = 7.69 Cuasvaraza ( ) x X Desvacó típca muestral S Coef. de asmetría de Fsher ( ) 3 x X Coefcete de aputameto ( ) = = σ =59.3 S= S = σ = 7.7 73.3 g = = 50 3 σ 5.55 =.03 3566.88 x X g = 3= 50 3 =.06 σ 59. Tabla 6. lu_seb@topografa.upm.es 0 Ejerccos resueltos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Ejercco 7. Los sguetes valores correspode a la temperatura máxma dara (ºF) de 36 días, obtedos a las horas e ua certa estacó meteorológca. 8, 9, 6, 0, 83, 67, 5, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 7, 75, 76, 73, 70, 63, 70, 78, 5, 67, 53, 67, 75, 6, 70, 8, 76, 79, 58, 57,. a) Calcular: meda, desvacó típca muestral, cuartles superor e feror y la medaa. b) Estudar la exsteca de datos atípcos. S exste algú valor atípco omtr, dcho valor y calcular de uevo el apartado a). c) Co los datos de los apartados a y b costrur u gráfco co el dagrama de caja, de ambos apartados. Para el cálculo del apartado a) utlzaremos la tabla 7.. a) - Meda: X = 36 36 - Varaza de la poblacó: 65.58 - Desvacó típca de la poblacó: σ = 608 X 65,80 36 σ= σ = 65,8.88 - Varaza muestral o cuasvaraza: 36 S = 65,8 70.5 35 - Desvacó típca muestral: S = S = 70.536 3.06. - Prmer cuartl: 9 y =0 = + 58 + Q = 60 = 59. - Tercer cuartl: 3 7 y 3 75 + 75 = + = 8 Q3 = = 75. - Medaa: = 8 y + = 9 67 + 68 M = = 67.5. b) El rago tercuatílco y las barreras del gráfco so: IQR=75-59=6 LS =mí[ x máx, Q 3 +.5 6]=mí[8, 99]=8. LI =máx[ x m, Q -.5 6]=máx[, 35]=35. El valor x= ºF es ua temperatura atípca del cojuto de datos. x N x x 0 0 600 5 3 5 05 9 9 0 5 5 5 70 53 6 53 809 57 7 57 39 58 9 6 678 60 0 60 3600 6 7 63 3 63 3969 66 66 356 67 8 68 7956 68 9 68 6 69 0 69 76 70 80 9600 7 5 7 58 73 6 73 539 75 8 50 50 76 30 5 55 78 3 78 608 79 3 79 6 80 33 80 600 8 3 8 656 83 35 83 6889 8 36 8 7056 36 608 Tabla 7. mauel.barrero@topografía.upm.es - I

c) S omtmos la observacó ºF y procedemos de forma aáloga al apartado a) se tee: x N x x 0 0 600 5 5 05 9 3 9 0 5 5 70 53 5 53 809 57 6 57 39 58 8 6 678 60 9 60 3600 6 7 63 63 3969 66 3 66 356 67 7 68 7956 68 8 68 6 69 9 69 76 70 3 80 9600 7 7 58 73 5 73 539 75 7 50 50 76 9 5 55 78 30 78 608 79 3 79 6 80 3 80 600 8 33 8 656 83 3 83 6889 8 35 8 7056 30 60370 5,5 3,5 3,5,5 0,5 0 Tabla 7. - Meda: X = 30 35 = 66.86 - Varaza de la poblacó: - Varaza muestral: σ = 60370 X =. 35 35 S =. = 5. 3 - Desvacó típca de la poblacó: - Desvacó típca de la muestra: - Prmer cuartl: 8.75 = Q = 60 σ= σ = - Tercer cuartl: 3 6.5 = Q3 = 75 0 0 0 60 80 00 0.59 S = S = 0.7. - Medaa: 7.5 = M = 68 Los valores del rago tercuartílco y de las barreras so: Rago tercuartílco: IQR=75-59=5. LI =máx[ x m, Q -.5 6] = máx[0, 37.5]=0. LS =mí[ x máx, Q 3 +.5 5] = mí[8, 97.5] = 8. Co los datos calculados aterormete, obteemos el dagrama de cajas de ambas seres de datos Realzado el dagrama de cajas e ambos casos, ua lectura de este gráfco sería que la dspersó y la asmetría so mayores e el apartado a) que e el apartado b). E a) la caja es algo más acha y, por tato, mayor la dspersó. També observamos que e b) la meda está más próxma a la medaa que e a) y por ello es más smétrca y más sgfcatva e b) al ser meor la dspersó. lu_seb@topografa.upm.es Ejerccos resueltos