1. CONJUNTOS NUMÉRICOS NATURALES: surge de l ecesidd de cotr o de order. Se deot co l letr N. N{1,,3,4, } L su de dos úeros turles es siepre otro úero turl. Pero co l rest o ps lo iso. Eje.: 6-8 ENTEROS: pr que l rest de úeros turles siepre teg setido, heos de plir N. De est er ce el cojuto de úeros eteros, que deotos por Z. Z{, -,-1,0,1,, } Es clro que N Z. E Z podeos sur y restr (sur el opuesto). Pero, o e todos los csos podeos hcer divisioes. Eje.: 8:5 RACIONALES: Pr que l divisió de úeros eteros siepre teg setido, heos de plir Z. De est er ce el cojuto de úeros rcioles, que deotos por Q. Q ;, Z 0 N Z Q, y que los úeros rcioles de deoidor 1 se idetific co los eteros. Recordr: Dos frccioes y c d se dice equivletes si d c U frcció es irreducile si el uerdor y el deoidor so prios etre sí Cd úero rciol está fordo por u frcció y tods sus equivletes. Cd u de ests frccioes es u represette del úero rciol. L frcció irreducile de deoidor positivo se ll represette cóico de este úero. Crcterizció de los úeros rcioles Todo úero rciol se puede escriir e for decil periódic. Recíprocete, todo úero decil periódico se puede escriir e for de frcció. IRRACIONALES: existe úeros deciles iliitdos o periódicos, estos los llos úeros irrcioles. El cojuto de los úeros irrcioles se deot co l letr I. Podeos costruír, por ejeplo: 1, 1 01 0001 00001 000001 Not: es ovio que I Q y que Q I, es decir Q IØ Hce uchos ños que se se de su existeci. Fuero los griegos de l escuel pitgóric quiees ecotrro segetos cuy logitud o podí expresr coo cociete de dos úeros eteros (por ejeplo l digol de u cudrdo de ldo 1, que vle ), lo cul o podí eteder, y por ello les llro úeros irrcioles. El úero que teeos e el ejeplo lo heos costruído siguiedo u ptró y por eso seos que es decil iliitdo o periódico. Pero qué ps co, que heos dicho que es irrciol. Cóo podeos serlo? Proposició: es u úero irrciol De Supogos que o es irrciol., por tto será rciol, y por ello podeos expresrlo coo cociete de dos úeros eteros. Se su repre se tte cóico, podeos so prios etre sí. Si elevos los dos ieros l cudrdo, oteeos Esto sigific que l frcció es reducile y que l siplificrl oteeos coo resultdo. Pero si es irreducile tié dee serlo. Llegos u escriir l siguiete iguldd cotrdicció co el orige de l sup osició iicil, es irrciol. dode y
Más ejeplos So irrcioles ls ríces de úeros turles cuyo resultdo o es u úero etero. So irrcioles ls sus, rests, ultipliccioes y divisioes dode se coi úeros rcioles e irrcioles. (Excepció: I, 0 Q). El úero π. Auque los griegos y sospech que π er irrciol o se cosiguió deostrr hst el siglo XII El úero e Represetció gráfic de úeros irrcioles Seos que cd úero rciol le correspode u puto de l rect, pero cd puto de l rect le correspode u úero rciol? Si esto fuer cierto, l rect estrí coplet y o podríos represetr llí los úeros irrcioles. Lo cierto es que los úeros rcioles o coplet l rect, e pricipio podríos pesr que e los espcios lires, se ecuetr los úeros irrcioles. Si coseguios represetr u úero irrciol e l rect tedreos prue evidete de que lo que estos ituyedo es cierto. Represetció geoétric Ejeplo: represetció de Seos que 1,414, es decir 1< < E u triágulo rectágulo de ctetos 1 y 1, l hipoteus vle. Represetos este triágulo de er que uo de los ctetos quede sore l rect rel y trsportos l hipoteus, por edio de u copás, sore l rect que hce de se. Qued sí represetdo, sore l rect rel. Represetció proxid L represetció geoétric sólo os perite represetr úeros irrcioles que se rdicles cudráticos. L represetció proxid es u étodo geerl que os perite represetr sore l rect culquier úero irrciol. Ejeplo: represetció de 1,414135 está copredido etre 1 y. Su represetció sore l rect será u puto del segeto deterido por 1 y Dividios el segeto terior e 10 prtes igules. Coo 1,4< <1,5 su represetció será u puto del segeto deterido por 1,4 y 1,5. Este proceso se puede repetir ls veces que queros y perite oteer u represetció co tt precisió coo queros. REALES: el cojuto fordo por todos los úeros rcioles e irrcioles recie el ore de cojuto de los úeros reles y se represet edite l letr R. U vez represetdos los úeros rcioles e irrcioles sore l rect y o qued espcios vcíos. Los úeros reles lle totlete l rect. Por eso est rect se deoi rect rel. Por lo iso, decios que R es copleto. Fijdo u orige y defiid l uidd, cd úero rel le correspode u úico puto de l rect y cd puto de l rect le correspode u úico úero rel. Es ovio que RQ I Gráficete:
. NÚMEROS REALES ESQUEMA Nturles Eteros Eteros egtivos y 0 Rcioles Deciles exctos Re les Puros Frcciorios Deciles periódi cos Mixtos Irrcioles ORDEN EN R El hecho de que podos represetr los úeros reles e l rect os perite estlecer u orde el el cojuto R. Defiició Ddos, R, decios que es eor que y escriios <, si l represetrlos sore l rect rel qued situdo l izquierd de. Esto es equivlete lo siguiete, R, - 0 (relció de orde e R) El cojuto de los úeros reles es u cojuto ordedo Propieddes de l relció de orde Reflexiv: R Atisiétric:, R, y Trsitiv:, R, si y c c Relció de orde totl:, R, < o ie, >, o ie Opercioes y orde Mootoí de l su:,, c R, si +c +c Propiedd de iversió:, R, si 1/ 1/ Mootoí del producto:,, c R: ) Cso c>0: si c c ) Cso c<0: si c c OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. PROPIEDADES Su: ddos,,c R + R Asocitiv: (+)+c +(+c) ++c Couttiv: Existeci de eleeto eutro (0): +0 Existeci de eleeto opuesto: - opuesto de, se cuple +(-)0 Producto: ddos,,c R R Asocitiv: ( ) c ( c) Couttiv: Existeci de eleeto eutro (1): 1 Existeci de eleeto iverso: 1 1 si 0, iverso de, que cuple 1 Propiedd distriutiv del producto respecto de l su Se,,c R, (+c) + c
INTERVALOS Y ENTORNOS Itervlo Coo R es u cojuto ordedo, podeos hlr de los úeros copredidos etre dos reles deteridos. Defiició: Ddos dos putos de l rect rel llos itervlo l segeto deterido por estos, cosiderdo este segeto coo u cojuto de úeros. Tipos de itervlos: Se y R t.q. <, se deoi: itervlo ierto de extreos y y se deot (,), l cojuto de todos los úeros reles copredidos etre y, si icluir los extreos. (,){x R; <x<} ( ) itervlo cerrdo de extreos y y se deot [,], l cojuto de todos los úeros reles copredidos etre y icluídos los extreos. [,]{x R; x } [ ] itervlo seiierto o itervlo seicerrdo de extreos y l cojuto de todos los úeros reles copredidos etre y, icluido el extreo cerrdo y excluido el extreo ierto. [,){x R; x<} [ ) (itervlo cerrdo por l izquierd y ierto por l derech) (,]{x R; <x } ( ] (itervlo ierto por l izquierd y cerrdo por l derech) itervlos ifiitos o seirrects (fordos por u seirrect rel) [,+ ) {x R; x } [ (,+ ) {x R; x>} ( (-,]{x R; x } ] (-,){x R; x<} ) E prticulr (-,+ )R Etoro es u cso prticulr de itervlo Defiició: Se x 0 R, llos etoro de x 0 culquier itervlo ierto que cotiee x 0. ( ) x 0 Csos prticulres: Se deoi etoro de cetro x 0 y rdio r y se represet por E r (x 0 ), l itervlo ierto de extreos x 0 -r y x 0 +r, es decir E r (x 0 )( x 0 -r, x 0 +r) ( ) x 0 -r x 0 x 0 +r
Se deoi etoro reducido de cetro x 0 y rdio r: se deot por E r * ( x 0 ), y se defie coo el siguiete cojuto: E r * (x 0 )(x 0 -r,x 0 +r)\{x 0 } ( O ) x 0 -r x 0 x 0 +r Opercioes co itervlos Los itervlos so cojutos de úeros, por tto podeos operr co ellos. Uió: se I 1 e I dos itervlos se defie l uió de I 1 e I y se deot I 1 I coo el cojuto I 1 I {x; x I 1 x I } Itersecció: se I 1 e I dos itervlos se defie l itersecció de I 1 e I y se deot I 1 I coo el cojuto I 1 I {x; x I 1 x I } Copleetrio: ddo I 1 itervlo, decios que el itervlo I es su copleetrio si I 1 I R I 1 I Difereci: se I 1 e I dos itervlos se defie l difereci de I 1 e I, y se deot por I 1 \I, coo el cojuto I 1 \I {x; x I 1 x I } VALOR ABSOLUTO Defiició de vlor soluto x R x, x x, si x 0 si x < 0 Propieddes x R\{0} x >0 x, y R x y x y Desiguldd trigulr x, y R x+y x + y APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES Muchs veces se trj co proxicioes de úeros reles. Ls proxicioes que so eores que el vlor excto se deoi proxicioes por defecto, y ls que so yores, proxicioes por exceso. E cso de úeros deciles se ll orde de proxició l úero de cifrs deciles de l proxició. E cso de úeros eteros el orde de proxició es el del lugr de l prier cifr o ul que ecotros epezdo por l derech. MÉTODOS DE APROXIMACIÓN Aproxició de orde por redodeo: sustituios por ceros tods ls cifrs siguietes l de orde. Si l prier cifr sustituid es yor o igul que 5 l uetos e u uidd l últi cifr o ul. Aproxició de orde por trucieto: ) Si es u úero etero, sustituios por ceros tods ls cifrs siguietes l del orde desedo. ) Si es u úero decil, eliios ls cifrs siguietes ls del orde desedo. Ejeplos 1. π3,14159... Aproxició de orde (o hst l cetésis) por exceso: 3,1 (<π) Aproxició de orde 3 (o hst ls ilésis) por defecto: 3,141 (>π) Aproxició de orde 3 por redodeo: 3,14 Aproxició de orde 3 por trucieto: 3,141. Aproxició (hst ls cetes) o de orde 3 por redodeo del úero 71360: 71400 Aproxició hst ls cetes por trucieto de 71360: 71300
ERRORES Cudo trjos co proxicioes de úeros reles estos coetiedo u error. Es iportte coocer qué error estos coetido. Error soluto E : es l difereci e vlor soluto etre el úero y su proxició. E A-, dode A es el úero, y es su proxició Error reltivo E r : es el cociete etre el error soluto y el vlor excto del úero e vlor soluto. E r E A Cot del error Muchs veces, o podeos ser cuáto vle el error, por ejeplo cudo proxios úeros irrcioles. Pero os puede iteresr ser si el error es yor o eor que u úero deterido. Acotr el error es dr u úero yor que el error oteido. Cots del error soluto Si teeos el úero π3,141596..., y toos 3,141 coo u proxició, o podeos clculr el error coetido, y que el vlor excto de π es descoocido. Pero sí podeos cotrlo: 3,141596...-3,141 0,000596...<0,001 E geerl podeos firr: El error soluto coetido l tor u proxició decil será siepre eor que u uidd del orde de proxició Oservció: e cso de proxició por redodeo, podeos dr u ct ejor del error. E e ejeplo terior: Toos 3,14, coo proxició por redodeo. El error soluto es: 3,141596...-3,14 0,0004074...<0,0005 E geerl podeos firr: El error soluto coetido l tor u proxició decil por redodeo será siepre eor o igul que edi uidd del orde de proxició. Cots del error reltivo E el cso del error reltivo o hy ás que clculr el cociete etre u cot del error soluto y u proxició por defecto del vlor excto. 0,001 0,000318... < 0,0004 3,141 Propgció del error Al operr co proxicioes el error se propg: E u su (o difereci), ls corts de error soluto se su. E u producto (o cociete), ls cots de error reltivo se su. NOTACIÓN CIENTÍFICA Defiició Decios que u úero x R, está expresdo e otció cietífic, cudo está escrito e l for x 10 dode Z y 1 <10 L otció cietífic es de gr utilidd pr expresr úeros uy grdes o uy pequeños. Adeás, efectur productos y cocietes e otció cietífic es iedito. Ejeplos 0,0000565,6 10-5 6 50 000 000 0006,5 10 1 4, 10-5 10-6 8,4 10-11 (4, 10-5 ) : ( 10-6 ),1 10
3. POTENCIAS 1. Potecis de expoete turl Se R, N, se tiee:... ( fctores). Potecis de expoete etero Se R, Z, se tiee: - Si <0 1/ - - Si 0 0 - Si >0, estos e el cso de expoete turl Propieddes de ls potecis Se, R,, Z, se cuple ls siguietes propieddes pr ls potecis: + : -, 0 ( ) ( ) (:) :, 0 4. RADICALES DEFINICIONES U rdicl es u expresió de l for Se lee ríz eési de. es el ídice de l ríz, es el rdicdo Defiició 0 N L operció que cosiste e clculr el vlor de l ríz eési de u úero se deoi rdicció. L rdicció es l operció ivers de l potecició. Oservcioes L rdicció o siepre se puede efectur. E cso de poder efecturse segú el cso podeos oteer ás de u resultdo: pr > 0 < 0 tiee dos solucioes reles opuests o tiee solució rel ipr tiee u úic solució rel y es del iso sigo que Equivleci etre rdicles y potecis de expoete frcciorio L ríz eési de u úero rel,, se puede expresr de l er siguiete: 1 y que ( 1/ ) / 1 E geerl teeos: EQUIVALENCIA DE RADICALES Defiició Dos rdicles se dice equivletes si represet el iso úero, pero sus ídices so distitos. Si se ultiplic el ídice de l ríz y el expoete del rdicdo por u iso úero o ulo oteeos u rdicl equivlete l ddo. Veos que, efectivete y p p ( p 0) so equivletes : p p p p co p 0
Lo terior os perite siplificr rdicles y reducirlos ídice coú: Pr siplificr rdicles, dividios el ídice i el expoete del rdicdo por el iso úero. Pr reducir ídice coú dos o ás rdicles, clculos el íio coú últiplo de los ídices. EXTRACCIÓN E INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN RADICALES Pr l extrcció de fctores de u rdicl, expresos, si es posile, los fctores e for de poteci de expoete igul l ídice. El fctor que teg expoete igul l ídice puede extrerse del rdicl. Pr l itroducció de fctores e u rdicl, se elev los fctores l porteci que idic el ídice. OPERACIONES CON RADICALES 1. Rdicl de u producto. Rdicl de u cociete 3. Poteci de u rdicl ( ) 4. Rdicció de u rdicl 5. Su de rdicles Defiició: dos rdicles se dice seejtes, si tiee el iso ídice y el iso rdicdo. Pr sur rdicles es ecesrio que se seejtes. p + q (p + q) RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Rciolizr u frcció co rdicles e el deoidor cosiste ecotrr otr equivlete l prier si rdicles e el deoidor. Csos ás frecuetes: Frccioes del tipo ultiplicos uerdor y deoidor por : Frccioes del tipo ultiplicos uerdor y deoidor por, co < : Frccioes del tipo + c ultiplicos uerdor y deoidor por l expresió cojugd del deoidor : + c ( ( c) + c) ( ( c) ( ) ( c) c) ( c c)
5. LOGARITMOS DEFINICIÓN Y TIPOS Ddos, R,, >0 1, se deoi logrito e se de (log ), l úero x l que hy que elevr l se () pr oteer : x log x Ejeplos log 83 (y que 3 8) log 3 814 (y que 3 4 81) log 1/ 3-5 (y que (1/) -5 3 Se deoi logrito decil quel cuy se es 10. Se deot log. Se deoi logrito eperio quel cuy se es el úero e. Se deot l. PROPIEDADES So cosecueci de l defiició: 1. log 1 (De: log x x x1). log 10 (De: log 1x x 1 x0) 3. log x x (De: log x y x y xy) 4. Logrito de u producto: log ( c) log + log c, dode,c R + 5. Logrito de u cociete: log (/c) log - log c, dode,c R + 6. Logrito de u poteci: log r r log, dode R + y r R 7. Cio de se: log x log x,, R log 6. NÚMEROS COMPLEJOS NECESIDAD DE AMPLIAR R Co los úeros reles podeos efectur siepre ls sus y los productos, y el resultdo es siepre otro úero rel. Si ergo, o sucede lo iso co l rdicció. Por ejeplo o seos resolver l ecució x +10, y que sus solucioes so x± -1. No existe igú úero rel que elevdo l cudrdo de 1. Por tto, estos te l ecesidd de defiir u uevo cojuto de úeros dode podos resolver ests ecucioes. Pr ello itroducios u letr i, que defiios coo el vlor de -1, y que deoios uidd igiri. i 1 Defiicioes Se defie el cojuto de los úeros coplejos, y se deot por C, coo el cojuto de pres ordedos de úeros reles (, ), dode se dice prte rel, y prte igiri del úero coplejo. C{(,);, R} Ddo z C, podeos expresrlo de dos fors diferetes: z (, ) (z expresdo e for de pr ordedo) z +i (z expresdo e for ióic) (por supuesto z(,)+i) Oviete: C {(,);, R} {+i;, R}
NÚMEROS REALES Y NÚMEROS COMPLEJOS Defiicioes Ddo z C, z+i, se dice igirio puro si 0. Ejeplo: 0+5i5i Ddo z C, z+i, si 0, etoces z es rel. Ejeplo: 3+0i3 Oservció Notr que, todo úero rel se puede escriir coo u úero coplejo (últio puto), esto sigific que los úeros coplejos cotiee los úeros reles: R C IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Se z 1 +i y z + i dos úeros coplejos, se tiee: z 1 z OPUESTO Y CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO Se z C, z+i, deoios opuesto de z, y lo deotos por z l úero coplejo z--i Se z C, z+i, deoios cojugdo de z y lo deotos por l úero coplejo -i Represetció gráfic de los úeros coplejos A cd úero coplejo z+i le heos hecho correspoder u pr ordedo de reles, (,), de er que l prier copoete es l prte rel y l segud l prte igiri. Por otr prte, ddo u siste de refereci crtesio, todo pr ordedo (,) de úeros reles represet u puto del plo de er uívoc. Podeos estlecer que cd puto del plo es l represetció gráfic de u úero coplejo. Este puto recie el ore de fijo del úero coplejo. Oservcioes: Si z+0i (z es u úero rel), su fijo se ecuetr e el eje de sciss. A este eje se le ll eje rel. Si z0+i (z es igirio puro), su fijo se ecuetr e el eje de ordeds. A este eje se le ll eje igirio. Los fijos de dos úeros coplejos opuestos, z y z, so siétricos respecto del orige de coordeds. Los fijos de dos úeros coplejos cojugdos, z y, so siétricos respecto del eje rel. L represetció gráfic de los úeros coplejos os perite firr que C o está ordedo, y que etre dos putos del plo o se puede estlecer u jerrquí de orde.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS SUMA Se z 1 +i, z c+di, dos úeros coplejos se defie l su z 1 + z coo el úero coplejo que se otiee de l siguiete er: z 1 +z (+c)+(+d)i Propieddes de l su Ddos z 1, z, z 3 R z 1 + z C Asocitiv: (z 1 +z )+z 3 z 1 +(z +z 3 )z 1 +z +z 3 Couttiv: z 1 +z z +z 1 eleeto eutro (0): 0 es el eleeto eutro y que z+0z eleeto opuesto: -z es el opuesto de z, y que z+z0 PRODUCTO Se z 1 +i, z c+di, dos úeros coplejos se defie el producto z 1 z coo el úero coplejo que se otiee de l siguiete er: z 1 z (c-d)+(d+c)i Coproció z 1 z (+i) (c+di)c+d i+c i+d i c+d i+c i+d(-1)(c-d)+(d+c) i Propieddes del producto z 1 z C Asocitiv: (z 1 z ) z 3 z 1 (z z 3 )z 1 z z 3 Couttiv: z 1 z z z 1 eleeto eutro (1): 1 es el eleeto eutro y que z 1z eleeto iverso: vos hllrlo Se z 0 llr z z + i 1 z z ( + i)(c + di) (c d) + (c + d)i 1 + 0i 1 z c + di De l últi iguldd oteeos el siste : c d 1 resolviédolo qued c c + d 0 + Por tto z 1 1 + l iverso + + de z z z 1 Propiedd distriutiv del producto respecto l su: z 1 (z +z 3 ) z 1 z +z 1 z 3 i s, d + DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Pr dividir dos úeros coplejos ultiplicos uerdor y deoidor por el cojugdo del deoidor y operos el resultdo: Ddos los úeros coplejos z 1 +i, z c+di, co z 0: z + i ( + i) (c d i) c d i + c i d (i) z c + d i (c + d i) (c d i) c + d c + d d d + c + d c + d 1 i POTENCIACIÓN Pr clculr expresioes del tipo (+i) heos de coocer priero ls potecis de l uidd igiri. Potecis de l uidd igiri: i 0 1 i 1 i i -1 i 3 i i (-1) i -i i 4 i i (-1) (-1) 1 i 5 i 4 i 1 i i i 6 i 4 i 1 (-1) -1 i 7 i 4 i 3 1 (-i) -i E geerl, pr clculr i, N, expresos 4 c+r dode c es el cociete y r el resto de dividir etre 4. Teeos: i i 4 c+r i 4 c i r (i 4 ) c i r 1 c i r i r, dode i r es coocido por ser 0 r<4