LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-60) MATEMÁTICAS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics
I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que l vrible independiente figur en un eponente, es decir, tod función del tipo f()=, donde R + -{}». Ejemplo : Construir un tbl de vlores propid y representr f()= -4 - - - 0 4 y= Consecuencis: º) Signo de f(): º) Crecimiento: º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntots: 5º) lim lim = = Ejemplo : Ídem con f() = = 0,5 = = y = -4 - - - 0 4 Consecuencis: º) Signo de f(): º) Crecimiento: º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntots: 5º) lim = lim = En l siguiente págin se eplic por qué se impone que R + - { }
Definición: Función eponencil de bse >0 ( ): R R + NOTA: Se consider >0 porque, en cso contrrio, obtendrímos un función poco "congruente"; por ejemplo, pr f()=(-) : f ( ) = ( ) = 4 > 0 Pero f ( ) = ( ) = 8 < 0 / f ( / ) = ( ) = = etc. Propieddes de l función eponencil: º) L función siempre ps por (0,) y (,) º) > CRECIENTE < DECRECIENTE º) Dom (f ) =R, es decir, «L función eponencil siempre está definid» 4º) Im(f ) =R + -{0}, o dicho de otr form, >0 R, es decir, «L función eponencil siempre es estrictmente positiv» 5º) > 0 < < lim = 0+ lim = lim = lim = 0+ 6º) y=0 A.H., es decir, «L función eponencil siempre present el eje como A.H.» Todo lo visto hst hor se puede resumir en ls siguientes gráfics: y= y= y=0 A.H. > 0<< Nótese que nos referimos ; por ejemplo, / no estrá definid en =0 De nuevo, nos referimos ; por ejemplo, / present l A.H. y=
Cso prticulr: Cundo l bse es e,78888459 (cte. de Euler 4 ), tenemos l función eponencil de bse e, utilizd muy frecuentemente. (Construiremos su gráfic en el ejercicio del finl del tem). II) FUNCIÓN LOGARÍTMICA de BASE f()= L enorme complejidd de los cálculos que se presentron durnte el siglo XVI en los estudios stronómicos dio lugr numerosos intentos de simplificción, entre ellos l sustitución de multiplicciones por sums. Se debe l escocés John Npier (en ltín, Neper) l invención en quell époc de los ritmos, lo cul trjo consigo l función rítmic. En cmbio, el reciente desrrollo de l electrónic h origindo que en l ctulidd prácticmente hy desprecido l importnci de su utilizción como técnic de cálculo, unque no como concepto mtemático. Definición: «L función rítmic y= (con >0 y ) es l invers de l función eponencil y=» (pág. 4 del libro de teto) Ejemplo : Utilizndo l tbl de l función y= (ejemplo ), obtener l tbl de y= y su gráfic. -4 - - - 0 4 FUNCIÓN INVERSA y= y y= FUNCIÓN INVERSA y 4 El número e, llmdo constnte de Euler -en honor l mtemático suizo Leonhrd Euler (707-78)-, surge como límite de l siguiente sucesión: n = + n n Por ejemplo, n= = n=00 00 = n= =,5 =,5 n= 000 000 = n= =, =,70 n=0 000 0 000 = n=4 4 =,5 4 = n=00000 00 000 = n=5 5 = n e,78888459 Se trt de un número irrcionl, es decir, const de cifrs decimles no periódics.
Nótese en l tbl que: 4= (pq =4) Y, en generl: 8= (pq =8) 6=4 (pq 4 =6) Definición: «El ritmo en bse de un número es el eponente l que hy que elevr l bse pr obtener dicho número» rgumento o ntiritmo N = = N bse ritmo Ejemplos: 8= pq 0 00= 64= /= 9 = (-9)= pq pq pq pq pq Nótese que en todo esto hy ciert ní con l conocid definición de n = como invers de n y = Ejemplo 4: Utilizndo l tbl de l función -4 - - - 0 4 y = FUNCIÓN INVERSA (ejemplo ), obtener l tbl de y= / y su gráfic. y y= / FUNCIÓN INVERSA y
CONCLUSIÓN: Propieddes de l función rítmic: º) Dom(f ) =R + -{0}, o dicho de otr form, «No eiste el ritmo de un número negtivo 5» º) Im(f ) =R, por lo que podemos ñdir: «pero un ritmo puede ser negtivo» º) = y = 0 4º) > CRECIENTE 0< < DECRECIENTE 5º) > lim = lim = + 0 < lim = lim = + 0 6º) =0 A.V., es decir, «L función rítmic siempre present el eje y como A.V. 6» Todo lo visto hst hor se puede resumir en ls siguientes gráfics: =0 A.V. y= > 0<< y= =0 A.V. Cso prticulr: LOGARITMOS NEPERIANOS 7 : Son los que utilizn como bse e,78888459 ; tienen un notción especil: (pág. 5 del libro de teto) e =ln Ejercicio finl tem: 4 5 Nótese que, puesto que l función eponencil y l rítmic son inverss, el dominio de un coincide con el recorrido de l otr, y vicevers. 6 Nótese que nos referimos ; por ejemplo, present únicmente A.V. en = y = 7 Se llmn sí en honor John Neper (550-67), mtemático escocés que, como y se h dicho, ideó los ritmos.
III) CÁLCULO LOGARÍTMICO (pág. 4 libro de teto) III.) Logritmo de un producto: (p q) = p + q Es decir, «El ritmo de un producto es l sum de ritmos» conocemos p y q Dem: p = = p y y ( ) y p q + = = p q = + y = p + q (C.Q.D.) q y q = = Observciones: ) Est fórmul es válid en culquier bse. ) Est fórmul se puede generlizr o más rgumentos: (p q r) = p + q + r etc. ) Est fórmul y ls siguientes que veremos continución- nos puede servir pr comprender cómo surgieron los ritmos en el siglo XVI como instrumento pr fcilitr los cálculos stronómicos con cntiddes elevdísims pr l époc (como y indicmos l comienzo del prtdo II). Vmos eplicrlo con un ejemplo: Supongmos que queremos hllr el vlor de N=68457 968 4 (Recordr que, ntes de l prición de ls clculdors, operciones de este tipo ern muy lborioss) Tommos ritmos en mbos miembros: 68457 + 968 4 =N Se disponí de tbls de ritmos muy complets, con ls que se podí reemplzr cd ritmo por su vlor: 6,44 +6,940 = N Es decir:,5085 = N A continución, se buscb en ls tbls el cso inverso, es decir, cuál es el número cuyo ritmo es,5085 (lo que se conoce como ntiritmo 8 ): N=,5085 N= 500 60 68 Hoy en dí todo esto se nos puede ntojr lgo lborioso, pero situémonos en quellos tiempos no muy remotos 9 -, sin ordendores ni clculdors III.) Logritmo de un cociente: Dem: p p q q = Es decir, «El ritmo de un cociente es l rest de ritmos» 8 En l clculdor, pr hllr un ntiritmo, normlmente se utiliz l combinción SHIFT-: N =,5085 N= SHIFT-,5085 = 5 00 6068 9 Por ejemplo, el uso generlizdo de ls clculdors se produjo en l décd de los 70 del siglo psdo
III.) Logritmo de un potenci: n p = n p Es decir, «El ritmo de un potenci es el eponente por el ritmo de l bse» Dem: Vmos probrlo pr n N: n términos n términos n p = (p p p... p) = p + p +... + p = n p (C.Q.D.) Observciones: ) En relidd est fórmul es válid n R ) Cso prticulr: LOGARITMO DE UNA RAÍZ: p = p = p (C.Q.D.) n n /n Es decir: «El ritmo de un ríz es el inverso del índice por el ritmo del rdicndo» Ejercicios finl tem: 5 l 9 IV) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (págs. 78 y 79 libro de teto) «Un ecución eponencil es quell en l que l incógnit prece como eponente». Eisten vrios procedimientos pr su resolución, dependiendo del tipo de ecución; básicmente, se pueden resumir en tres: er cso: Alguns ecuciones eponenciles se resuelven consiguiendo un iguldd entre dos potencis de l mism bse, con lo cul los eponentes tendrán que ser igules. 4+ = 8 Ejemplo 5: o cso: Cundo figurn sums y/o rests de epresiones eponenciles, lo que suele funcionr es plicr un cmbio de vrible del tipo =t, con lo cul l ecución eponencil se trnsform en un ecución lgebric en t. Ejemplo 6: 9 + = 664
er cso: En otros csos lo que suele funcionr es tomr ritmos decimles (o tmbién neperinos, según conveng ) en mbos miembros ( evidentemente, esto no funcion cundo l menos uno de los miembros es un sum!). = Ejemplo 7: NOTA: El sber cuál de los tres procedimientos plicr un ecución eponencil concret es un técnic que requiere práctic y sentido común; en lgunos csos sólo funcion uno de los tres métodos, mientrs que en otros es posible que se pued elegir entre dos de ellos, o culquier de los tres Pr dquirir dich técnic, resultrá útil el siguiente ejercicio: Ejercicios finl tem: 0 l «Un ecución rítmic es quell en l que l incógnit prece en el rgumento de un ritmo». Se resuelven siempre plicndo ls propieddes de los ritmos en orden inverso hst rr un iguldd de ritmos de l mism bse, con lo cul sus rgumentos serán igules (esto se conoce como propiedd inyectiv): = y = y IMPORTANTE!: En este cso es fundmentl comprobr ls posibles soluciones obtenids sustituyéndols en l ecución del principio, y descrtr quells que conduzcn un ritmo con rgumento negtivo. Ejemplo 8: = 4 Soluc : = 0 Ejemplo 9: 4 - = 4+ () ( ) Ejercicio finl tem:
V) CAMBIO DE BASE Fórmul del cmbio de bse de sistem de ritmos: = b b Dem: Puesto que el ritmo y l eponencil son funciones inverss, es evidente que: = Tomndo b en mbos miembros, y plicndo l fórmul del ritmo de un potenci, obtenemos l fórmul nterior (desordend): = = (C.Q.D) b b b Utilidd: L fórmul del cmbio de bse permite clculr ritmos en culquier bse con ls clculdors hbitules, que sólo disponen de ritmos decimles; en efecto, pr ello bst con tomr b=0 en l fórmul, con lo cul se obtiene: Despejndo: = = 9 0,954... Ejemplo: 9 = = = (Como puede comprobrse, plicndo l definición ) 0,477... Ejercicios finl tem: 4 l 6
6 EJERCICIOS de LOGARITMOS Función eponencil y rítmic:. Pr cd un de ls funciones que figurn continución, se pide: i) Tbl de vlores y representción gráfic. ii) Signo de f(). iii) Cortes con los ejes. iv) Intervlos de crecimiento. v) Dominio y recorrido. vi) Asíntots. vii) lim f() y lim f() - ) f() = 0 y f() = b) f() 0, = y f() = 0, c) f() = e y f() = ln d) f() = y f() = Definición de ritmo: N = = N (donde >0, ) Sistems de ritmos más utilizdos: NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN N = 0 = N Logritmo deciml =0 ln N = e = N Logritmo neperino =e Ln, ln donde e,78888459 se llm cte. de Euler; es un número irrcionl. Definición de ritmo:. Utilizndo l definición, hllr los siguientes ritmos: ) 9 b) 8 c) /9 d) (-9) e) f) 8 g) 0 000 h) 4 i) 4 64 j) 0 0,0 k) 4 /6 l) 5 0, m) 4 56 n) 4 /64 o) 0,5 p) 4 q) 04 r) /64 s) 7 t) 4 (Soluc: ) ; b) 4; c) -; d) ; e) /; f) /; g) ; h) /; i) ; j) -; k) -; l) -; m) 4; n) -; o) -; p) 0; q) 0; r) -6; s) /; t) ) Se recomiend ver tmbién los ejercicios resueltos pág. 5 y 0 pág. 44, y relizr los ejercicios 49 y 50 de l pág. 48 del libro.. Clculr los ritmos decimles de los siguientes números (sin clculdor) y comprobr el resultdo: ) 0.000 b).000.000 c) 0,00 d) /.000.000 e) 0 8 f) 0-7 g) 0 h) (Soluc: ) 4; b) 6; c) -; d) -6; e) 8; f) -7; g) ; h) 0) Se recomiend relizr tmbién el ejercicio 56 de l pág. 48 del libro. En honor John Npier (Neper, en ltín), mtemático inglés (550-67) inventor de los ritmos.
ALFONSO GONZÁLEZ 4. Utilizndo l definición de ritmo, hllr el vlor de en cd un de ls igulddes siguientes: ) 8= e) ln= i) ln e = m) 0.0= q) 0.5 = b) /8= f) =- j) 64= n) ln=-/ r) (-6)= c) 00= g) 49= k) 5=- o) /6 = s) 5=- d) = h) 8= l) /00 00= p) =0 t) )= (Soluc: ) ; b) -; c) ; d) 7; e) e ; f) /9; g) 7; h) ; i) ; j) 64; k) /5; l) -; m) 0,; n) e/e; o) /96; p) ; q) 0,065; r) ; s) /5; t) 0) Se recomiend ver tmbién el ejercicio resuelto pág. 44 y relizr los ejercicios 5 y 54 pág. 48 ( en l bse) Cálculo rítmico: Fórmuls del cálculo rítmico: p q = p + q p = p - q q n p = n p n p = p n (tods son válids en culquier bse) Csos prticulres: = = ln e = e ln = = = 0 ln e = ln = 0 5. Aplicndo ls fórmuls nteriores, clculr: ) 6 6 h) ln e p) 9 w) 4 γ) ln e e 4 b) 7 c) d) e) ln e 4 f) 4 5 64 g) 9 i) 4 j) 8 k) 8 l) ln e m) 64 n) 4 64 o) 5 8 q) e ln e r) 4 ( 4) s) t) 7 u) v) ln e 5 64 8 ) 0 + 5 y) z) α) β) 00 0 7 9 ln 4 e e 0 0, δ) 4 7 ε) /5 5 (Soluc: ) -; b) /4; c) /; d) -/; e) ; f) -/5; g) /; h) -; i) /; j) /; k) 5/6; l) /; m) 6; n) -; o) /5; p) -/; q) -/; r) ; s) 5/; t) /; u) -9/5; v) -/; w) -5/; ) ; y) -/; z) -/; α) /4; β) /; γ) /; δ) -7/4; ε) -) Se recomiend relizr tmbién el ejercicio pág. 6 del libro.
5 + ALFONSO GONZÁLEZ 6. Epresr en función de los ritmos decimles de los siguientes números, y comprobr con l clculdor: ) 6 b) 5 c) /5 d) 0,5 e) 0,65 f) 50 g) /40 6 h) i) 6/5 j) 0, k) 0,08 5 80 l) m) 0,0 8 (Soluc: ) 4 ; b) - ; c) -+6 ; d) - ; e) -4 ; f) - ; g) -- ; h) 4 ; i) -+5 ; j) -+5 ; k) -+ ; l) ; m) + ) 7. Epresr en función de ln : ln 8 e e 4 ln ln ln ) b) c) 4 d) e e) ln e (Soluc: ) ln ; b) -ln ; c) - ln ; d) + ln ; e) + ln ) 8. Epresr en función de y los ritmos siguientes, y comprobr con l clculdor: ) 5 b) 4 c) 4/ d) 9/4 e) 6 f) 0 g) 6 h),6 i), (Sol: ) - ; b) + ; c) - ; d) - ; e) j) 90 k) 0,7 l) 0,7 m),6 + ; f) + ; g) +4 ; h) -+ + ; i) -+ + ; j) + ; k) -+ ; l) -+ + ; m) -/+ + ) 9. Epresr en función de, y 7 los ritmos siguientes: ) 84 b) 0,8 c) 0,5 d) 4,4 e) 0. Justificr ls siguientes igulddes: ) 6 + = 9 + 8 6 b) 5=(- ) c) 6 + - = 9 e) + 8 = 5 + 4 d) 0 = 4 Se recomiend relizr tmbién el ejercicio 6 pág. 48 del libro.. Sbiendo que 7,54=0,86654..., hllr (sin clculdor): ) 75,4 b) 0,00754 c) 754. Utilizndo ls fórmuls del cálculo rítmico, desrrollr l máimo ls epresiones siguientes: mnp ) () d) ln ( ) mn r g) qr i) b) ( ) e) ln () p c /4 c) f) h) ln j) e y mn k)
+ b ALFONSO GONZÁLEZ l) ln m) ( -y ) mn n) pq r m n o) m p) m + q) ( 0 ) r) b c5 mp s) ( n y m ) m n t) pq 4 u) ln (Sol: ) + ; c b) + ; c) + - y; d) ln + ln ; e) ln + ln ; f) ; m + n ln g) m+ n+ p- q- r; h) 4 ; i) r m+r n-r p; j) --ln ; k) ; l) ; m) (+y)+(-y); n) n m - p -r q m + ; o) m ; p) n m + + + b + 5 c m p q) ; r) ; s) n +m y; t) + m+ n- p-4 q ln u) ) + n m m+ + Se recomiend ver tmbién el ejercicio resuelto pág. 6 y relizr el ejercicio 60 pág. 48 del libro.. Obtener en ls siguientes epresiones: = + ) = b) ln + ln b ln = ln ln c) b c + d Soluc : = 0 ( ) 6 b Soluc : = ( c d ) Se recomiend ver tmbién el ejercicio resuelto pág. 44 del libro, y relizr el ejercicio 55 pág. 48 del libro.. 4. Sbiendo que =7 e y=, utilizr l clculdor pr hllr: ) b) () c) d) (+y) e) + y f) + y g) + y lo g + lo g b = 7 7 5. ) Hllr sbiendo que b (Soluc: =49) N 4 b) Si 4 N=, cuánto vle N? Cuánto vle N? (Soluc: -8; N=64) Se recomiend ver tmbién los ejercicios resueltos y 4 pág. 6, y relizr los ejercicios 4 y 5 pág. 6, y 57 y 58 pág. 48 del libro. 6. En qué bse se cumple que + =? (Soluc: =6) Se recomiend relizr el ejercicio 6 pág. 49 del libro. 7. V o F? Rzon l respuest: ) (A+B)= A + B b) (A +B )= A+ B ln = ln c) e) d) ln = ln AB C C = AB
f) El ritmo de un número siempre d como resultdo un número irrcionl. g) Los ritmos decimles de números < son negtivos; en cso contrrio, son positivos. Se recomiend relizr tmbién el ejercicio 64 pág. 49 del libro. 8. CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobr l vercidd de l siguiente fórmul, debid l físico británico Pul Dirc (90-984), que permite escribir culquier número N emplendo solmente tres doses: N= (N ríces) 9. Cuáles son los números cuyos ritmos decimles están comprendidos entre 0 y? Y entre 0 y -? (Soluc: y 00; 0,0 y ) Ecuciones eponenciles: 0. Resolver ls siguientes ecuciones eponenciles por el método más propido, y comprobr el resultdo en cd cso: = 48 = 6+ ) (Soluc:,57) w) (Soluc: 8 = =) b) 7 (Soluc: -,7549) e 4- = e ) (Sol: =, =) + + 4 = 80 = + c) (Soluc: 5,479) y) (Soluc: -7,880) + = 0 + + 8 = 0 d) (Soluc: =) z) (Soluc: =, =) + + = 6 4 = 79 e) (Soluc: =) α) (Soluc: =5) = 8+ f) (Soluc: =-6) β) e 9 = 7 (Soluc:,45) + + 9 + = 80 +9 = g) (Soluc: =) γ) (Soluc: 5,8) = h) (Soluc: soluc.) = δ) 8 (Soluc: =±) 5 = + i) 5 (Soluc: =) 0 = ε) (Soluc: =) e 4 = + = 4 j) (Soluc: 4,4055) ζ) (Soluc: =0, =) 00 0 = 0005 e + + e = e k) (Soluc: =) η) + e (Soluc: =-, =) / = 768 / = 768 l) (Soluc:,0949) θ) 4 + = m) (Soluc: soluc.) = ι) (Soluc: =) +5 = 7 e e + = 0 n) (Soluc: =) κ) (Soluc: o) = 7 4 soluc.) 4 + = 0 e (Soluc: -,958) λ) (Soluc: =, = / ) = 5 5 5+6 = µ) (Soluc: =) p) (Soluc: =, =) q) ( ) = 9 ν) = 4 (Soluc: =0, =) (Soluc: =) + = 4 ξ) (Soluc: =) e e + + e = 0 r) (Soluc: =) + = 4 0 + 6 = 0 ο) (Soluc: =) s) (Soluc: 0,8) 9 + + = 7 π) (Soluc: =) t) + + + + +4 + +5 + +6 = (Soluc: =-) e4 5e + 5e + 5e 6 = 0 u) (Sol: =, =ln; =ln) = 4 + 4 v) (Soluc: =) ρ) 4 = 6 σ) 9 = 8 (Soluc:,5850) (Soluc: =, = / )
ALFONSO GONZÁLEZ τ) = (Soluc: =-) υ) 6 = + (Soluc: =) Se recomiend ver tmbién los ejercicios resueltos pág. 78 y 5 pág. 89, y relizr los siguientes ejercicios del libro: 5c,d y 59,c pág. 48; 7 y 8,b pág. 79; 5, 6 y 7 págs. 9 y 94. Considérese l siguiente fórmul: U = P( ρ + V) /D ρ V P D U D Despejr ρ (Ayud: no es necesrio utilizr ritmos) (Soluc: = + ). Sin necesidd de operr, rzonr que ecuciones del tipo: + = 0 + 4 + = 0 + 5 = 0, etc. no pueden tener solución. Ecuciones rítmics:. Resolver ls siguientes ecuciones rítmics, comprobndo l vlidez de ls soluciones obtenids: ) - (+6)= (Soluc: =) b) 4 ( +)= 65 (Soluc: =±) c) (Soluc: =±5) + = d) ln (-)+ln (+)=ln +ln (-) (Soluc: =5) Soluc : = 0; = 5 0 /0 e) +7-9=0 ( ) f) ln (-)=ln -ln 4 (Soluc: =4) g) (+)- (-6)= (Soluc: =7) h) (+9)=+ (Soluc: =/) i) (+)+ (-)=/00 (Soluc: soluc.) + 5 + = j) (Soluc: =5) k) ( -7+0)= (Soluc: =; =5) l) ln + ln (+)= ln (Soluc: =) m) ( ++6)=+ (+) (Soluc: =; =6) n) ln +ln +ln 4= (Soluc: =e/) o) 4 - (-)= 4 (Soluc: =) p) ln (-)+ln (+6)=ln (+) (Soluc: =) q) + (-)= (Soluc: =5) r) (+9)- = (Soluc:,8) s) (+6)-= (-) (Soluc: =; =/5) t) (+)- = (Soluc: =/0)
u) (6-)- (+4)= (Soluc: =) v) + =5 (Soluc: =0) Se recomiend ver tmbién los ejercicios resueltos pág. 79 y 4 pág. 89 Sistems de ecuciones eponenciles y/o rítmics: Se recomiend ver los ejemplos b pág. 80 y 4 pág. 8, y relizr los ejercicios b, c pág. 8 y pág. 94 del libro. Cmbio de bse: = b b (fórmul del cmbio de bse) 4. Utilizndo l fórmul del cmbio de bse se pide: ) Demostrr que b b = b) Hllr l relción entre el ritmo neperino y el ritmo deciml. c) Epresr en función de (Soluc: =,9) 5. ) Nuestr clculdor sólo dispone de ritmos decimles. Usndo l fórmul del cmbio de bse, hllr 4 5 b) Rzonr que 4 5 es irrcionl. 6. Volver hcer el ejercicio, pero utilizndo est vez l clculdor y l fórmul del cmbio de bse. Se recomiend demás ver los ejercicios resueltos 5 pág. 6 y 9 pág. 44, y relizr el ejercicio pág. 6 del libro.