I- Introduión En diverss oortuniddes nos hemos enontrdo en tems reliondos on l Físi, on mgnitudes que quedn definids medinte un número, ls denominds mgnitudes eslres. Entre ells, odemos itr l longitud, l ms, el volumen. Otrs, en mio, ls mgnitudes vetoriles, requieren demás del número, r su definiión, de elementos tles omo direión sentido reresentdos or segmentos orientdos o flehs denomindos vetores. Se uent entre ests últims mgnitudes, omo ejemlo, ls fuerzs, los deslzmientos, ls veloiddes, et. II- Vetor II-- Definiión. Sus elementos Se llm vetor todo segmento orientdo, es deir, todo segmento determindo or un r ordendo (; ) de untos. El unto se llm origen el unto etremo del vetor. Pr simolizrlo usremos o simlemente u u Los elementos de un vetor son tres, ser: Direión L direión de un vetor está dd or l ret que lo ontiene o ulquier de sus rlels. Sentido L orientión del vetor sore l ret, definid or su origen su etremo, determin el sentido del mismo. En d direión h dos sentidos. Gráfimente el sentido de un vetor es indido on un fleh. A B e d f g h P O L I T E C N I C O
En l figur, los vetores tienen l mism direión ues están ;d; ef sore ls rets rlels A B. Los vetores los vetores Módulo hg hg tienen distinto sentido. El módulo es l medid del segmento orientdo. El módulo de un vetor se simoliz ef tienen igul sentido Por todo lo reedente, odemos deir que el módulo de un vetor es siemre un número no negtivo, o se u u Alguns definiiones: Diremos que dos vetores d oseen: Igul módulo: si l medid de los segmentos l mism unidd de medid. d son igules, reseto Igul direión: si mos vetores están ontenidos en l mism ret o rets rlels. Igul sentido: o si teniendo l mism direión e inluidos en rets rlels no oinidentes, los segmentos d no tienen ningún unto en omún. R T d P O L I T E C N I C O
o si teniendo l mism direión e inluidos en l mism ret, eiste un vetor q no inluido en dih ret, que tiene igul sentido que d. R T q d Distinto sentido o sentido ouesto: o si teniendo l mism direión e inluidos en rets rlels no oinidentes dse intersen en un unto los segmentos d R T d o si teniendo l mism direión e inluidos en l mism ret, eiste un vetor q no inluido en dih ret, que tiene sentido ouesto uno de ellos e igul l otro. d R T q Ddo un segmento, se llm vetor lire l onjunto de todos los vetores que tienen igul módulo, direión sentido que, inluido el roio. En lo suesivo será indistinto trjr on ulquier de los elementos de diho onjunto. II-- Vetor nulo Llmremos vetor nulo todo unto lo notremos o P O L I T E C N I C O 3
El vetor nulo es el únio que tiene módulo ero que no tiene definido ni direión ni sentido. II-3- Vetores igules Dos vetores son igules undo son nulos o tienen igul módulo, direión sentido. En símolos: u v u v o u v dire. u dire.v sent.u sent.v Ejemlo: u w u v w v II-4- Versor. Versor soido Se llm versor o vetor unitrio ulquier vetor de módulo uno. v u u w v w u v; w u son versores Pr tener en uent: u versor soido u or tener el mismo sentido que u reie el nomre de 4 P O L I T E C N I C O
II-5- Vetor ouesto Ddo un vetor ulquier, se llm vetor ouesto de que: se simoliz -, l tl ; o // sent sent si o Pr resolver ) Ddos los vetores de ls figurs omlet de modo que ls siguientes eresiones resulten verdders )... es el etremo de ) u A B C A // B // C v w t...... tienen distint direión...... tienen igul direión...... tienen distinto sentido P O L I T E C N I C O 5
) Diuj los vetores ; ; t, siendo que L direión de on 3 es un ret horizontl su sentido hi l dereh, L direión de es un ret vertil su sentido hi jo on tienen igul direión, igul módulo ero distinto sentido t 3) Ddo diuj ) v / v //, sent. v sent. 3 v ) m / m m 4) Determin si ls siguientes firmiones son verdders (V) o flss (F). justifi l resuest ) u u ) En los vetores de l figur es u v ) u// v u v d) v u III- Oeriones entre vetores III-- Sum de vetores. Definiión Ddos los vetores u v, se denomin sum de los vetores u v vetor que se not u + v se otiene de l siguiente mner un 6 P O L I T E C N I C O
Fijdo ritrrimente un unto, qued determindo un unto u tl que su vez qued determindo un unto tl que. Se llm sum de u v l vetor sí otenido. v Pr resolver NOTA: se uede demostrr que l sum de vetores es indeendiente del unto elegido en onseueni de los reresentntes orresondientes. ) Ddos los vetores t ; u; v w de l figur u u i) Determin gráfimente ) u + v ) v + t ) u w w v u v v t u v ii) Comlet on l relión de orden que orresond: u v...u v v t...v t u w...u w ) Prue geométrimente que: P O L I T E C N I C O 7
3) Diuj dos vetores es v tles que: u ) u + v = s s u v ) s u + v = s Qué rterístis tienen u v en d so? III-- Sum de vetores- Proieddes Ddos ; se uede ror l vlidez de ls siguientes roieddes. ) L sum de vetores es soitiv ) L sum de vetores es onmuttiv ) Eiste el elemento neutro setiene o o A o se lo denomin elemento neutro de l sum de vetores. d) Eiste el elemento ouesto - / o Pr resolver ) Sum los vetores indidos en d uno de los sos siguientes si v w 4 8 P O L I T E C N I C O
) ) w v v w ) d) w w v v e) v f) v w w ) Ddos los vetores ; 3º 5º Diuj: i) d / d P O L I T E C N I C O 9
ii) e / e III-3- Difereni entre dos vetores ; es Pr resolver ) Ddos de l figur Construe: ) ) ) d) e) Cómo son los vetores? ) Verifi usndo roieddes de l sum de vetores que: ; es m on m 3) Verifi que si los vetores on origen omún determinn un rlelogrmo, los vetores están sore ls digonles del rlelogrmo P O L I T E C N I C O
4) Ddos d; e f Diuj d uno de los siguientes vetores ) g/ g d e f ) u/ d e u f d e f 5) Eres en d so los vetores indidos en funión de u v ) = = = u v ) d es un rlelogrmo d d = = d v d = = u 6) En l figur tenemos un eágono m n regulr de entro o. Nomr: s o ) tres vetores igules que q r q ) tres vetores igules om P O L I T E C N I C O
) 4 vetores on el mismo módulo que sm d) utro vetores on l mism direión que Justifi l resuest del rtdo ) oq 7) Anliz si l siguiente roosiión es verdder. Justifi. 5 3 km 8) Un nddor quiere trvesr un río ndndo un veloidd v 6 h en direión erendiulr l orill; ero l orriente lo deslz on un km veloidd v 4. Diuj los vetores (on un esl h onveniente) enuentr el vetor v / v v v. Este vetor reresent l veloidd de deslzmiento del nddor. L direión de v es l direión rel en que se mueve el nddor. Clul v v v oservndo que quedó determindo un triángulo retángulo. IV- Produto de un vetor or un número rel IV- Definiión Llmmos roduto de un u or un vetoru, un vetor v or un número rel, o roduto de un número tl que: Si u v.u v // u v.u sentido de v sentido de u si sentido de v sentido de u si Si u o v o P O L I T E C N I C O
Ejemlos: ) t d e f d de ef t d t f 5t t e t fe f 3t ) d 7 d 3 Pr resolver 9) Diuj los vetores t; l m ) t,5 5 ) l 3 ) m 3 tles que IV- Proieddes del roduto de un vetor or un número Pr ulquier r de vetores u v los números reles demostrr ls siguientes roieddes se ueden P O L I T E C N I C O 3
i) u v u v ii) u u u iii) u u iv) v v Pr resolver ) Por qué u u? ) Ddos ; Reresent gráfimente w siendo: w 3 3) Siendo v e) diuj v v v v f) demuestr que v v v de es el versor soido v IV-3 Vetores rlelos Dos vetores no nulos son rlelos undo oseen l mism direión En símolos: // direiónde direiónde 4 P O L I T E C N I C O
Proiedd de los vetores rlelos Ddos dos vetores rlelos λ λ tl que v λ u u v eiste siemre un número rel Notemos que si: v λ u En símolos: u// v λ R - / v λu, entones v u de donde v u omo v u son números reles u siemre eiste el oiente v u que nos d el vlor soluto del número usdo, en unto si es ositivo o negtivo deenderá que u v tengn igul o distinto sentido. Pr resolver ) ; son los vetores rlelos uos sentidos están indidos en l figur on ; 4 3 ) lul tl que ) determin t si t ) En l figur 3; 6,5 // P O L I T E C N I C O 5
v 3 5 Construe el vetor v tl que 3) Clul el vlor de k si k v 5 v 4) Rerodue l siguiente figur verigu uánto vle el número tl que v w v w 5) Se l figur siguiente on 6 d 7. on reseto l entímetro, onstrue el vetor v tl que v 3 d 3 d 6) Se dn los vetores v u u v de l figur, determin el vlor de tl que v u 5 7) Se d un vetor. Diuj los vetores : 5 ; i ; i, onstrue l sum v de dihos vetores determin tl que v i i i 6 P O L I T E C N I C O
8) Diuj un triángulo ulquier mr dos untos t s tles t que están linedos. s. Determin, justifindo tu resuest si t, s V Sistem de oordends rtesino ortogonl V -- Definiión Un sistem de refereni o de oordends rtesino ortogonl en el lno está onstituido or un unto fijo dos versores erendiulres on origen en él Se o el unto fijo, los versores erendiulres. i j j i En símolos: unto fijo i j o o; i ; j : sistem de refereni rtesino ortogonl i j V-- Vetor osiión Ddo en un lno el sistem de refereni o; i; j, definimos omo vetor osiión en el lno todo vetor on origen en ese unto o. Por onsiguiente, ulquier unto del lno determin el vetor osiión Por el etremo trzmos ls rets erendiulres i j resetivmente, hst ortr ls rets que ontienen estos vetores. Sen los untos sí otenidos. o j i P O L I T E C N I C O 7
Como o es rlelo i, según l roiedd de vetores rlelos, result: luego: o i on o (sis del untos ) i + de donde o i siendo sentido de o sentido de i si sentido de o sentido de i si Análogmente o j on : ordend del unto De uerdo l definiión de sum de vetores es: o o o i j Entones o i j es l eresión nóni o rtesin del vetor o Los vetores o o se llmn omonentes vetoriles de o Los eslres e se llmn omonentes eslres de o 8 P O L I T E C N I C O
En símolos : o ( ; ) Qued estleid un orresondeni iunívo entre los untos del lno los res ordendos de reles que rterizn dihos untos en el sistem de refereni uido en él entre estos últimos los vetores de osiión on etremos en los rimeros. Resumiendo: j i (; ) ; o en un o; i ; j Se llmn ejes oordendos ls rets que sn or o tienen l direión de los vetores i (eje de ls siss o eje de l ) j (eje de ls ordends o de ls ) Pr resolver ) Determin uáles son ls omonentes eslres de ) i ) j ) o ) Comlet de modo que resulten verdders ls siguientes roosiiones ) ;... eje de ls siss on R ) ; eje... on R 3) Reresent en distintos sistems de refereni los siguientes suonjuntos de untos P O L I T E C N I C O 9
) A ; ) B ; ) C ; d) D ; / 3 / 3 / / 3 e) E ; f) F ; / Z; Z ; / Z; Z ;. 5 4) Crteriz, en símolos, los siguientes onjuntos de untos ) j A i ) P O L I T E C N I C O
) 4 j C -4 - i 5 - - 4 d) j i e) 5) Ddos en un o; i ; j 4; ; determin: ) omonentes eslres de o P O L I T E C N I C O
) omonentes vetoriles de o ) eresión rtesin o nóni de d) o o o e) / o i V-4 Comonentes eslres de un vetor no osiión o; i ; j Ddos en un ; ; ; ; result: o o o o 3 4 i j i j i i j j 4 i j Eresión nóni o rtesin de un vetor en el lno Comonentes eslres de son ls omonentes vetoriles de i j P O L I T E C N I C O
() definiión de rest de vetores () reemlzndo d vetor or su eresión rtesin (3) roiedd de sum de vetores (4) roiedd del roduto de un vetor or un eslr Pr resolver ; 3 ; o i j; o ; 3, determin: o; i ; j ) Ddos en un. l eresión nóni de. omonentes eslres de. omonentes vetoriles de d. reresentión gráfi de ) Identifi los vetores de l figur 4; 4; 3; ; ; ; d ; ; e ; 5; f 3; V- 5 - Iguldd de vetores Los vetores u u ; u v v ; son igules. En símolos: Pr resolver v 3) Ddos en un o; i ; j u u v u, son igules si solo si sus omonentes v v ) l reresentión gráfi de ; ; 3 ; o i j; o ; 5 u / u, determin: P O L I T E C N I C O 3
) nlítimente ls oordends de ) es qr? siendo q 5 ; r 8;. Justifi V- 6- Distni entre dos untos de un lno. Módulo de un vetor teniendo en uent ls omonentes Ddos los untos vetoriles de Dist de donde t t t ; ; l liión del Teorem de Pitágors, result: t i t i j t j ; t ; ; entones result en () ues Pr resolver ) Ddo el unto ; ) Cuál de los siguientes untos está menor distni de? ; 5 ; 5 ; 3 d ; ) Cuáles de los untos del rtdo nterior erteneen l írulo de entro rdio? Justifi nlítimente tus resuests. 4 P O L I T E C N I C O
) Ddos ; 5 4; 6; 5 rue que el triángulo es isóseles. 3) Dd un irunfereni de entro 4; 3 i. determin l medid de su rdio que s or el unto (9; 9), ii. verigu si dih irunfereni s or el origen de oordends V-7- Coordends del unto medio de un segmento determindo or dos untos del lno ; ; m m o m Considerndo el segmento uos etremos son los untos (;) (;) on m(m;m) su unto medio,result: m m (m-) i + (m-) j = (-m) i + (-m) j Alindo l roiedd de vetores igules en funión de sus omonentes se otiene m- = -m m =+ m- = -m m =+ m m m ; P O L I T E C N I C O 5
L sis l ordend del unto medio de un segmento determindo or dos untos de un lno son igules l semisum de l siss de ls ordends resetivmente, de los etremos del segmento Ejemlo: Clul l medid de l medin m del triángulo determindo or los untos: 3 ; 4; 7 3; 5 Clulr l medid de dih medin es lulr l distni entre m, o se d ; m m m m Pr esto se neesit lulr ls oordends del unto medio m del ldo m m 3 5 7 3 9 9 4 9 7 m ; 4 d ; m 4 9 7 9 6 7 4 7 = 4 4 5 6 5 4 L medin m mide 5 4 Pr resolver ) Siendo que los etremos de un diámetro de un irunfereni son los untos ; 4 4;, determin ls oordends del entro de dih irunfereni el rdio de l mism. 6 P O L I T E C N I C O
) Clul l distni del origen de oordends l unto medio del segmento uos etremos son: ; 3 4; 3) Si un etremo de un segmento es el unto (5; 3) su unto medio es (8; ) Cuál es el otro etremo del segmento? VI - Oeriones on vetores en el lno. Ddos R o; i ; j en un u v u v ; u v u u ; u u u ;u v v ; v, se uede ror que: Gráfimente: u v j v j u j j i u u i u v i v i v u v u j u j u j i u i u i u P O L I T E C N I C O 7
Pr resolver: ) Demuestr que ddos los vetores, de omonentes no nuls, ; ; ) Ddos en un o; i ; j // los siguientes vetores: u i 3 j; v i 4 j w i 7 j Clul: ) ) u v 3u ) d) w u u 5w 3) Reliz en d uno de los siguientes sos, un gráfio- rzon geométrimente sore el mismo hll ls oordends de todos los untos:. del semilno de l izquierd del eje que están un distni 3 del eje del eje.. que están un distni 7 del eje 4 del eje. que están un distni 3 del unto (; ) un distni 5 del eje. 4) Hll, en d so, un ondiión lgeri que solo umlen ls oordends (; ) de sus untos:. de l ret rlel l eje que ontiene l unto (3; 6). del eje. del semilno de l dereh del eje 8 P O L I T E C N I C O
5) Comlet el udro (;4) (4;-) Comonentes eslres de (;-) (4;) Eresión nóni de o o dist(;) Coordends del unto medio de (4;) (5;-) (-;) -3i+7j o o; i ; j 6) Ddo en un sistem ortogonl 4i o 4i o i 3 4 j 3 j 3 j los siguientes vetores osiión. rereséntlos gráfimente. indi sus resetivs omonentes eslres. hll el módulo de d uno d. indi ls oordends de los untos ; 3 e. hll or / or o o o3 f. hll os / or os P O L I T E C N I C O 9
7) Ddos en un o; i; j los siguientes untos: 3; 3 ;3 3;. hll or sus omonentes eslres el v. lul el v. lul. Otiene un onlusión. d. Esrie l eresión nóni de o o e. Otiene l eresión nóni del versor soido 8) Hll l distni entre los untos ; 7; 5 3 en un o; i ; j 9) Sen ; 5; 3, hll:. l eresión nóni del. indi sus omonentes eslres vetoriles. hll ls oordends del unto m, tl que m m ; ; ;4 i, ) Ddos los vetores j. hll ls omonentes eslres de: d e 5 3 si e. lul u / u 4u. determin ls omonentes eslres de 3 P O L I T E C N I C O
q, lul ls oordends del unto q. ) Si ; 3; ; ) Qué oordends dee tener el unto r que se verifique que 3 qr q 3; r -; 5 q siendo 3) Clul los números reles o; i ; j 4) En un 3 ; 3 ; 3;. tles que: 3 ; ; ; grfi el triángulo retángulo uos vérties son: d. Verifi que ese triángulo es retángulo e. Hll el áre del f. Hll l medid de l medin orresondiente l hiotenus 5) Ddos ; ; 5 ; r hll ls oordends de r tl que 6) Prue que el udrilátero uos vérties son: 8; 3; 6; 5; ; 3 d; 5, es un romo. Puedes firmr que es un udrdo? or qué? son tres de los vérties de un udrdo, hll: 7) Si ; ; 4; 3; 5 ) ls oordends del urto vértie ) ls oordends del unto de interseión de ls digonles ) l medid de ls digonles son los vérties de un treio. Eli or qué. 8) Averigu si ; ; 3; 3; 5; 3 d ; P O L I T E C N I C O 3
9) Demuestr que mrst es un rlelogrmo si: m 3; ; r; 3;s4; 3 t; determin el unto de interseión de ls digonles lul l medid de ells. ) Los untos son los vérties de l se de un triángulo isóseles. Clul ls oordends del terer vértie. ; ; 6 ) Determin si ls siguientes roosiiones son V (verdders) o F (flss). Justifi. ) u v u v ) w ; es un versor ) El unto medio del segmento es m ;, siendo ; 3 ;5 d) Los untos ; ; q; t ; son vérties de un triángulo e)si v 3 v 6 3 3 PRÁCTICA COMPLEMENTARIA ) Mr on un ruz l resuest orret: Ddos en un o; i ; j ; ; v 4; 3; o 3i j siendo ) o v t i j result i) t i ii) t ; 4 iii) i iv)ningun de ls nteriores ) t m m es: 3 i) m ; 3 P O L I T E C N I C O
ii) m ; iii) m ; iv)ningun de ls nteriores ) v u i) u 5i result ii) ; 5 iii) u ; 5 u iv)ningun de ls nteriores d) t es un versor rlelo 4 3 i) t ; 5 5 ii) iii) iv) v 8 6 t ; 6 6 t ; 7 7 ningun de ls nteriores entones e) v result i) ii) 4 iii) 5 5 iv) ningun de ls nteriores f) v od result que i) ; d están linedos ii) ; d formn triángulo iii)el unto d el unto oiniden iv) ningun de ls nteriores g) r // v r sent v sent r entones 8 6 i) r ; 5 5 P O L I T E C N I C O 33
8 6 ii) r ; 5 5 8 6 iii) r ; 5 5 iv) ningun de ls nteriores ) Determin si ls siguientes roosiiones son V (verdders) o F (flss). Justifi tus resuests o; i ; j ) Ddo en un d 3; o d es un treio 3 ; 3; o ; ;o i j ) Ddos en un ñ o; i ; j ; ; 4; 3 ; u i 4 j u 3 ls omonentes vetoriles de son i 3 j 3 ) El áre del triángulo isóseles uos vérties son ; ; 3; ; 6 es.684 4 5 es retángulo 4 4 d) El triángulo de vérties ; ; ; ; no isóseles e) El vetor w i j es un versor f) u rlelo v u v u v g) Si u 4 u entones 34 P O L I T E C N I C O
h) En el retángulo d l se es el dole de su ltur, entones: i) ii) iii) d d d d iv) v) d d 3) Eres u ; v w en funión de w u v d f e /o de sus ouestos. 4)El udrilátero d está insrito en un irunfereni de entro (;). Si se 4; 4 ; 3; 3 ; ; 4 ; d 5; se que ) Clul el rdio de l irunfereni ) Determin l ordend del unto d, siendo ) Es el udrilátero d un rlelogrmo?. Justifi. d) Hll ls oordends del unto q siendo que: q 4 m que m es el unto medio de 5)Ddos los vetores u 3; v i j determin ; / u v i siendo P O L I T E C N I C O 35
Resuests de l ráti omlementri ) ) d e f g i ii iii iv h d e f g i ii iii iv v V F No se resentn ls justifiiones 3) u v w 4) ) r = 5 e) 3 f) d es rlelogrmo q ;8 g) 5) 5 5 Biliogrfí Aunte Cod 3- ALGEBRA VECTORIAL- Autores vrios 36 P O L I T E C N I C O