Sucesioes y series Josep Berat Paé P0/75005/0004
FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series Ídice Itroducció 5 Objetivos 7 Sucesioes de úmeros reales 9 Cocepto geeral de sucesió 9 Sucesioes acotadas 3 Sucesioes moótoas 3 Límite de ua sucesió 6 Límite de ua sucesió 7 Propiedades del límite de ua sucesió 0 3 Aritmética de los límites fiitos 4 Sucesioes co límite ifiito 3 5 Aritmética de los límites 4 6 Cómo solucioar las idetermiacioes? 6 6 Método geeral 6 6 Caso 0 0 y 0 7 63 Caso 7 64 Criterio de Stolz 9 65 Desarrollo e poliomio de Taylor 9 3 Series de úmeros reales 3 3 Cocepto de serie 33 3 Series geométricas 33 3 La sucesió a debe teder a cero 35 33 La serie armóica geeralizada 36 34 Propiedades geerales de las series 38 4 Series de térmios positivos 39 4 Defiició 39 4 Criterios de comparació 39
FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series 4 Criterio de Prigsheim 40 4 Criterio que proviee de la serie geométrica 4 43 Criterio de la itegral 44 44 Estimació del error 45 5 Series alteradas 49 5 Cocepto de serie alterada 49 6 Series de potecias 53 6 Cocepto de serie de potecias 54 6 Propiedades de las series de potecias 55 6 Derivació de ua serie de potecias 55 6 Itegració de ua serie de potecias 56 7 Los úmeros complejos 57 7 Los úmeros complejos 59 7 Suma y producto de úmeros complejos 59 73 Cojugació 60 74 La forma polar de u úmero complejo 6 75 La forma expoecial de u úmero complejo 65 76 Los úmeros complejos y la electricidad 68 Solucioario 70 Glosario 84 Sumario 84 Bibliografía 85
FUOC P0/75005/0004 5 Sucesioes y series Itroducció E los módulos ateriores os hemos cocetrado e las herramietas que permite estudiar comportamietos cotiuos Por ejemplo, la distacia que recorre u coche se puede expresar e fució del tiempo, que e pricipio fluye de maera cotiua Si embargo, existe otros feómeos que o fluye de forma cotiua, sio que ecesita u determiado tiempo para producirse Por ejemplo, el crecimieto de ua població o se produce de maera cotiua, sio a itervalos regulares, y los pagos a u baco tampoco, puesto que sólo se realiza ua vez al mes Las herramietas que hemos visto hasta ahora os permite, por ejemplo, calcular el peso de u cubo de arista x y de desidad costate k y estudiar lo que sucede cuado hacemos que la arista tieda a 0 Para resolver este problema sólo hay que teer e cueta que el peso viee determiado por el volume del cubo multiplicado por la desidad del material, P = kx 3 Esta relació os idica que cuado x tiede a 0, el peso del cubo tiede a 0 de maera cotiua Si embargo, detegámoos a pesar u poco Supogamos que iicialmete o teemos material; si añadimos ua molécula, etoces el peso aumetará ua catidad p Este feómeo o es cotiuo, y o hay maera de que lo sea: o bie teemos la molécula y el peso es p, o bie o teemos la molécula y el peso es 0 Muchos de los modelos que utilizamos para explicar la realidad se basa e la idea de que podemos fraccioar la catidad que estudiamos tatas veces como se quiera, si que el comportamieto de esta catidad varíe Las técicas matemáticas de fucioes cotiuas y fucioes derivables os permite estudiar estos tipos de modelos E este módulo itroduciremos las técicas matemáticas para estudiar feómeos que se produce a itervalos regulares de tiempo, e los que el cocepto de cotiuidad o tiee setido
FUOC P0/75005/0004 6 Sucesioes y series El estudio del crecimieto de ua població que se reproduce cada tres meses es u ejemplo de lo que hemos cometado: La gráfica os sugiere que estudiemos el crecimieto cada tres meses Tal y como se ve, o teemos cotiuidad
FUOC P0/75005/0004 7 Sucesioes y series Objetivos Los objetivos que podréis alcazar al fial de este módulo didáctico so los siguietes: Defiir el cocepto de sucesió Comprobar si ua sucesió verifica las propiedades de acotació yde mootoía 3 Defiir el cocepto de límite de ua sucesió 4 Coocer las propiedades fudametales del límite de ua sucesió 5 Distiguir los casos de idetermiacioes e el cálculo de límites y resolver los casos cocretos, utilizado los criterios adecuados 6 Compreder el cocepto de sucesioes equivaletes y utilizarlas para el cálculo de límites 7 Defiir el cocepto de serie 8 Describir y aplicar los criterios de covergecia de las series de térmios positivos 9 Recoocer las series alteradas 0 Estudiar la covergecia de ua serie alterada mediate el criterio de Leibiz Calcular el error etre el valor de la suma de la serie y la suma de u úmero fiito de térmios Compreder el cocepto de serie de potecias y calcular su radio de covergecia 3 Calcular la suma de ua serie
FUOC P0/75005/0004 9 Sucesioes y series Sucesioes de úmeros reales Cocepto geeral de sucesió Ua sucesió es el ombre matemático que hace referecia a ua lista ifiita de úmeros E ua lista podemos hablar de primer térmio, segudo térmio, etc, que correspode a la posició que ocupa e dicha sucesió Podemos formalizar todo esto u poco más: podemos asociar cada úmero etero positivo couúmero real x, y el cojuto ordeado: x,x,x 3,,x defie ua sucesió ifiita Observad que cada térmio de la sucesió tiee asigado u úmero etero positivo (el puesto que ocupa e la lista) y podemos hablar del primer térmio (x ),delsegudo térmio (x ) y, e geeral, del térmio -ésimo (x )Cadatérmio (x ) tiee u térmio siguiete (x + ), por lo que, e cosecuecia, o hay último térmio La forma más fácil para costruir ua sucesió es a partir de ua regla ofórmula que defia el térmio -ésimo Así, por ejemplo, la fórmula x = defie la sucesió:,, 3,, E alguas ocasioes so ecesarias dos o más fórmulas para describir los elemetos de la lista Por ejemplo, si cosideramos la sucesió x = y x = ; e este caso, los primeros térmios de la sucesió so:,,,,, 3,,, Otra forma de defiir ua sucesió es mediate ua fórmula de recurrecia, que permite calcular u térmio a partir de los ateriores Si tomamos x = x =ylafórmula de recurrecia, x + = x + x, tedremos:,,, 3, 5, 8, 3,, 34
FUOC P0/75005/0004 0 Sucesioes y series Esta sucesió se cooce como sucesió de Fiboacci, ombre que recibe de la persoa que la estudió al tratar u problema relativo a los procesos hereditarios e los coejos Hasta ahora, todas las sucesioes que hemos visto ha empezado co los valores de =,, 3, auque esto o sea estrictamete ecesario Por ejemplo, si defiimos la sucesió mediate el térmio geeral, x =+ es razoable cosiderar que toma los valores 3, 4, 5 Así pues, podemos defiir de maera formal el cocepto de sucesió como vemos a cotiuació: Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació h de los úmeros aturales IN e el cojuto IR de los úmeros reales: h : IN IR h() =x La image de recibe el ombre de térmio -ésimo o térmio geeral de la sucesió No olvidéis que lo úico que hemos hecho es reciclar el cocepto de fució cotiua, dode hemos fijado el domiio de la fució como el cojuto IN Ejercicio Calculad el térmio geeral de las siguietes sucesioes: a),,,,,,, b), 4, 9, 6, 5, 36, 49 c),, 3, 4, 5, 6, 7 d),, 3,, 5, 6, 7 e) 3, 4 4, 6 5, 8 6, 0 7, 8, 4 9 f),, 6, 4, 0, 70, 5 040 Ua vez ha quedado defiido el cocepto de sucesió, vamos a presetar alguas de sus propiedades Si embargo, ates aalizaremos qué quiere decir que dos sucesioes so iguales
FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series Dos sucesioes {x } y {y } so iguales si x = y para todo IN A partir de la defiició teemos que las sucesioes {x } = {,, 3,, } y {y } = {, 3,, + }so diferetes a pesar de que y = x + O tambié que {x } = {,, 3,, }y {y } = {, 3, 3,, }so distitas al diferir e el segudo térmio Sucesioes acotadas Cosideramos las sucesioes de térmio geeral x =, y = y z =si y las represetamos gráficamete: x= y= z=si A partir de los gráficos podemos observar cómo la sucesió y crece de forma idefiida, mietras que los valores x y z uca está por ecima de Así, x y z so sucesioes acotadas; por el cotrario, y es o acotada Ua sucesió está acotada si existe u úmero K tal que los valores que toma la sucesió uca supera el valor K
FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series Ua sucesió {x } es acotada si existe u úmero real K tal que: x K IN Etoces, K es ua cota de la sucesió {x } Ejemplo A partir de la defiició demostraremos que x = es acotada Puesto que, podemos decir que Por tato, la sucesió es acotada Los hechos que se preseta a cotiuació so ua cosecuecia de la defiició de sucesió acotada que hemos visto: ) Para demostrar que ua sucesió está acotada, teemos que comprobar que igú valor de x supera u determiado valor K ) La defiició o aporta u procedimieto que os permita calcular el úmero K Observaremosqueohayulugardodesedigaqueestacota sea úica 3) Veamos cómo se puede demostrar que ua sucesió o está acotada a partir de u caso cocreto: qué quiere decir que {x } = es o acotada? Para ilustrar este cocepto sólo ecesitaremos presetar ua cota K, que sea, por ejemplo, 0 Para ver que la sucesió o está acotada, es ecesario ecotrar u valor de tal que x > 0 Por ejemplo, podemos tomar =teiedo e cueta que x => 0 Si, e lugar de K =0, tomamos K = 00, etoces teemos que ecotrar el valor de tal que x > 00 E este caso, = 0, porque x 0 = 0 Podríamos dar u valor de K ta grade como se quiera y ecotraríamos u valor de tal que x >KAsí, x es o acotada Ua sucesió es o acotada si para cualquier valor de K, arbitrariamete grade, existe u atural tal que x >K 4) Recordemos que o es u úmero real Este hecho implica que ua sucesió couúmero fiito de térmios está siempre acotada
FUOC P0/75005/0004 3 Sucesioes y series Ejemplo Demostremos que x = + es o acotada Teemos que probar que dado u valor K arbitrariamete grade, etoces existe u valor de tal que x K Si embargo, x = +, que podemos escribir como x = + >K Puesto que puede hacerse arbitrariamete grade, es imposible ecotrar u valor K tal que x <K para todo valor de Si queremos determiar el valor de tal que x >K, etoces >K Ejercicios Probad que x = es acotada + 3 Probad que x = es o acotada 4 Estudiad si la sucesió,,,, 3, 3,, 4, 4,,, 5 es acotada 5 5 Cosiderad la sucesió establecida por la relació x + = x co x = Estudiad si esta sucesió es acotada 3 Sucesioes moótoas Volvemos a las sucesioes del tema aterior, y cosideramos las sucesioes de térmio geeral x =, y = y z =si x= y= z=si
FUOC P0/75005/0004 4 Sucesioes y series Tal y como se observa e los gráficos, la sucesió x decrece de maera idefiida, y crece idefiidamete y z i crece i decrece Ua sucesió {x } és creixet es creciete si para todo IN se verifica que x x + Ua sucesió {x } es estrictamete creciete si para todo IN se verifica que x <x + Ua sucesió {x } es decreciete si para todo IN se verifica que x x + Ua sucesió {x } es estrictamete decreciete si para todo IN se verifica que x >x + Ua sucesió {x } es moótoa si es creciete o decreciete Ejemplo 3 Nos propoemos demostrar que la sucesió co térmio geeral x = es moótoa + Notació creciete Si queremos comprobar que la sucesió es moótoa creciete, teemos que demostrar que x x + El símbolo? quiere decir que o sabemos si la desigualdad es cierta o o + + x? x+? + ( +)+? + + ( +)? ( +) ( +) +? + + 0 Teiedo e cueta que todas las desigualdades ateriores so equivaletes y la última es cierta, etoces teemos que todas las desigualdades so ciertas Así, la sucesió es moótoa creciete Ejercicios 6 Demostrad que la sucesió de térmio geeral x = es creciete 7 Estudiad si la sucesió x = +( ) es creciete 8 Probad que la sucesió de térmio geeral x = +( +)+ + es creciete 9 Estableced para qué valores de x la sucesió x = x es moótoa Hemos resuelto el problema del ejemplo 3 co u método estádar, pero lo hubiésemos podido resolver de otra maera: hemos defiido las sucesioes como ua aplicació de u subcojuto de los úmeros aturales
FUOC P0/75005/0004 5 Sucesioes y series a los reales Sólo teemos que ver si la aplicació tiee setido cuado cambiamos por x, pesado que está defiida e u subcojuto de los úmeros reales y que toma valores e los reales De esta forma, podríamos aplicar las teorías del cálculo diferecial y, e particular, el hecho de que ua fució es creciete si su derivada es positiva! El estudio de las propiedades de x = h() a partir de las propiedades de h(x) sólo se puede llevar a cabo si: ) Teemos la expresió explícita del térmio geeral ) La fució h(x) está defiida e el itervalo [, + ) No podemos aplicar esta idea si e la expresió del térmio geeral aparece k, dode k es u úmero real egativo, ua fució de! o ua suma que varía térmio a térmio Ejemplo 4 Demostramos que la sucesió co térmio geeral x = es moótoa creciete + Para comprobar que la fució es moótoa creciete defiimos h() = + y cambiamos por x; etoces, h(x) = x Esta fució se defie e [, + ) yesderivable x + Calculemos su derivada: h (x) = (x+) Debido a que la derivada es siempre positiva, la sucesió es moótoa creciete Ejercicios 0 Idicad e qué casos podemos estudiar el crecimieto de las sucesioes a partir del crecimieto de las fucioes asociadas: a) x = b) x = +( ) c) x = +( +)+ + Demostrad que la sucesió co térmio geeral x = +( ) es acotada pero +( ) + o es moótoa Comprobad que la sucesió x = es acotada!
FUOC P0/75005/0004 6 Sucesioes y series Límite de ua sucesió E el siglo III ac, Arquímedes itetó calcular el úmero π Suideaera utilizar ua secuecia de polígoos regulares que tedía hacia el círculo Costruimos alguos polígoos regulares a partir del círculo de radio Las figuras que obteemos so: Polígoo 4 lados Área = Polígoo 8 lados Área =,88 Polígoo 6 lados Área = 3 Observamos que la sucesió, además de ser creciete y estar acotada, parece que tiede hacia u úmero determiado, el área del círculo, que es π Ejercicios Dada la sucesió x =,, + 4, + 4,calculad los térmios 8 x de maera explícita y estableced hacia dóde ituís que tiede x
FUOC P0/75005/0004 7 Sucesioes y series Sea x el área de u triágulo isósceles de lado y águlo π Si hacer cálculos, explicad por qué lasucesió x,x,x 3 es decreciete Hacia qué úmero tiede la sucesió? Explicad gráficamete por qué la sucesió x, x, 4x 3, 8x 4 es creciete Si tiede hacia u úmero e particular, cuál es? Límite de ua sucesió Uo de los coceptos más complicados al embarcaros e u primer curso de aálisis matemático es el de la covergecia Cosideremos la sucesió que se defie mediate esta recurrecia: x + = ( x + 3 ) x Si calculamos los primeros térmios, obteemos la siguiete tabla: x x 4 3,75 3,065 4,734857 3,00038878 5,730508 3,000000008 Notad que x tiede a 3 y, por tato, parece que la sucesió tiede a 3 Pero qué sigifica que ua sucesió tiede hacia u úmero? Empecemos por determiar qué sigifica teder a 0 Ejemplo De las sucesioes que teéis a cotiuació, cuáles os parece que tiede a 0? ),,,,,,, ),, 3, 4, 5, 6, 7, 8 3),, 3, 4, 5, 6, 7, 8 4),, 3,, 5, 6,, 8 5) 0,, 3, 0, 5, 6, 0, 8 Las sucesioes que parece que tiede a cero so la ), la 3) y la 5), dado que podemos estar ta cerca de cero como queramos
FUOC P0/75005/0004 8 Sucesioes y series Por ejemplo, cosideramos la sucesió 3), que viee dada por:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Supogamos que queremos ecotrar el valor de a partir del cual la sucesió sea meor que 0, Puesto que x =, si queremos que x < 0, es ecesario que: >0 (x =,x =,x 3 = 3 ) Vamos a poerlo u poco más difícil: ecotrad el valor de a partir del cual la sucesió sea meor que 0,0 Puesto que x =, si queremos que x < 0,0, es ecesario que: >00 (x 0 = 0,x 0 = 0,x 03 = 03 ) Observad que o importa qué cota os pida, por pequeña que sea (la llamaremos ε); siempre hay u elemeto de la sucesió (N) que verifica x N <ε, x N+ <ε, x N+ <εy todos los térmios so meores que ε E uestro caso, si queremos ecotrar el térmio a partir del cual x <ε, es ecesario que <ε Por este motivo > ε Para fializar, podemos [ ] asegurar que N = +, dode [x] deota la parte etera del úmero x ε Ejercicio 3 Cosiderad la sucesió x = ( ) a) Ecotrad el térmio a partir del cual x < 0, b) Ecotrad el térmio a partir del cual x < 0,0 c) Ecotrad el térmio a partir del cual x <ε A cotiuació presetamos el procedimieto que se sigue cuado queremos saber si ua sucesió tiede hacia u úmero x: Dado u úmero positivo ε, ta pequeño como se quiera, hay que ecotrar u térmio de la sucesió, deomiado N, tal que todos los térmios de la sucesió se ecuetre a ua distacia de x meor que ε, es decir, x x <ε
FUOC P0/75005/0004 9 Sucesioes y series Ejemplo Dada la sucesió x =,, + 4, + 4 8,demostrad que tiede a 3 E la solució del ejercicio hemos probado que x = ( ) + 3 Para comprobar si x tiede a,sólo teemos que ver que, dado ε, podemos ecotrar 3 u N a partir del cual x 3 <ε Sustituyedo teemos: ( ) l 3ε Por lo tato, N> l + ( ) 3 < ε 3 ( ) < ε 3 3 < ε < 3ε ( ) l < l() 3ε ( ) l 3ε < l Este cálculo es formal, puesto que por lo geeral o se utiliza para calcular el límite de ua sucesió Más adelate desarrollaremos otros métodos que os evitará la realizació del cálculo de límites utilizado el juego de los ε Llegados a este puto, ya estamos preparados para presetar ua defiició formal Ua sucesió {x } covergerá o tederáallímite x si para cualquier úmero positivo (ε), ta pequeño como se quiera, ecotramos u etero N que satisface x x <εsi >N La sucesió {x } coverge o tiede a x si para cada ε>0existe u etero N tal que x x <εpara todo >N Etoces, escribiremos que x = x obiequex x cuado Ua sucesió se deomia covergete si x existe, y divergete e caso cotrario
FUOC P0/75005/0004 0 Sucesioes y series Ates de empezar co las propiedades de los límites, vamos a deteeros u istate para aalizar la defiició que acabamos de dar La covergecia hace referecia al comportamieto de la cola de la sucesió Así, si e ua sucesió cambiamos los 0 primeros térmios (o los 00 primeros o los 000 primeros), esto o afectará a la covergecia! Ejercicio 4 Determiad u ejemplo de sucesió {x } que sea divergete, pero tal que { x } sea covergete Propiedades del límite de ua sucesió Dada ua sucesió x yuvalorx, ya hemos visto el método para probar si la sucesiótiedeooallímite x Es posible que la sucesió tega dos límites? El teorema que veremos ahora os idica que esto o es posible, es decir, que cuado ua sucesió coverge, tiee límite úico Si x = x y x = y, etoces x = y Ua sucesió covergete tiee límite úico Observad que toda sucesió covergete está acotada, ya que después de los primeros térmios se ve restrigida a moverse detro de u lado Toda sucesió covergete es acotada Defiició Decimos que k es cota superior de la sucesió {x } si x <kpara todo Decimos que k es cota iferior de la sucesió {x } si x >kpara todo Creciete acotada Creciete o acotada Observamos que la seguda sucesió correspode a x = ; o es acotada y, e cosecuecia, o puede coverger (hemos probado que ua sucesió
FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series covergete es acotada) E el gráfico de la izquierda hemos represetado x =, que es covergete y parece coverger hacia la meor cota + superior de x Teorema de la covergecia moótoa a) Ua sucesió creciete acotada superiormete {x } es covergeteyellímite es la meor de las cotas superiores b) Ua sucesió decreciete acotada iferiormete {x } es covergeteyellímite es la mayor de las cotas iferiores Ejemplo 3 Aplicamos el teorema a ua sucesió curiosa Probemos que la sucesió: tiee límite x =+ + 3 + + l Recordemos que la fució l t viee dada por el área cerrada etre y t de la fució f(t) = t t l t = x dx Observemos que el valor de + + 3 + + es el área de los rectágulos (como podemos ver e la seguda figura del marge), de dode teemos que la sucesió x es el área sombreada Tambié se aprecia que x es creciete, ya que x + es igual a x más el área etre x = y x = + Ylasucesió está acotada por, puesto que los valores de x se puede colocar e u cuadrado de área área sombreada = =+ + 3 + 4 + 5 Esta sucesió es creciete y es acotada; por lo tato, tiee límite Su límite es la llamada costate de Euler γ 057 El teorema es útil e especial cuado las sucesioes viee dadas por ua relació de recurrecia Es difícil aplicarlo e caso de que la sucesió se defia mediate su térmio geeral, porque o siempre resulta fácil ver que es acotada área sombreada = =+ + 3 + 4 + 5 l 6 Ejercicios 5 Calculad el límite de x = x para x>0, demostrado ates la mootoíayla acotació de la fució 6 Cosiderad la sucesió defiida por la recurrecia: x + = ( x + x ) Co x =; estudiad la mootoía de la sucesió e idicad si está acotadaysitiee límite
FUOC P0/75005/0004 Sucesioes y series 3 Aritmética de los límites fiitos A cotiuació veremos ua serie de resultados que os permite calcular límites si utilizar la defiició Dadas las sucesioes {x } e {y } tales que x = x y y = y, etoces: ) Para cualquier úmero λ, λx = λx ) x + y = x + y 3) x y = x y 4) x y = x y x 5) Si y 0, = x y y 6) xy = x y Ua de las propiedades más útiles de la aritmética de los límites fiitos es la deomiada regla del bocadillo Regla del bocadillo Si {x } y {z } so dos sucesioes covergetes tales que x = = z = x, six y z > 0 ; etoces y es covergete y y = x Ejemplo 4 Mediate el uso de la regla del bocadillo calculamos el límite de la sucesió de térmio geeral: x = + ( +) + + ( + ) Observamos que: [ { }] ( +) mi, ( +),, ( + ) x = + ( +) + + ( + ) [ { }] ( +) max, ( +),, ( + )
FUOC P0/75005/0004 3 Sucesioes y series Puesto que la fució f(x) = es decreciete, etoces: x ( +) ( + ) x = + (+) + + (+) ( +) + 4 x = + (+) + + (+) + Hacemos u paso e el límite y teemos: + 4 x = + ( +) + + ( + ) + 0 x = + ( +) + + ( + ) 0 Por la regla del bocadillo teemos que x = + ( +) + + ( + ) =0 Ejercicio 7 Co la ayuda de la regla del bocadillo, calculad los límites de: a) x = + + + + + + b) x = + + + + + + c) x = si cos + cos + + cos d) x = e) x = +( ) + cos Como cosecuecia de la regla del bocadillo, obteemos el siguiete resultado: Teorema Si {x } es ua sucesió covergete tal que x =0y {y } es ua sucesió acotada (o ecesariamete covergete), etoces x y es covergete y x y =0 Ejemplo 5 Calculemos si Observemos que =0yque si está acotada por Por la propiedad aterior si podemos asegurar que =0 4 Sucesioes co límite ifiito Hasta ahora sólo hemos tratado sucesioes que tiee límite acotado Si embargo, qué sucede co las sucesioes crecietes y o acotadas, por
FUOC P0/75005/0004 4 Sucesioes y series ejemplo,, 3 o bie, 4, 9? sucesioes tiede a Estamos tetados de afirmar que las Observad que o sólo las fucioes moótoas crecietes so las que podemos esperar que tieda a Cosiderad la sucesió de térmio geeral +( ) ; los primeros térmios so 0, 3,, 5, 4,, 000, 003 Os parece que tiee la propiedad de teder a? Cuado hemos defiido el cocepto de sucesió covergete hacia u úmero x, la idea ha sido dar u úmero ta pequeño como quisiéramos cercao a x, y ver que a partir de u determiado térmio, la sucesió estaba ta próxima a x como el úmero establecido, y que o se alejaba Utilizaremos la misma idea para defiir el cocepto de teder a Es cierto que la sucesió x = +( ) tiede a? Es decir, a partir de u determiado térmio, el resto toma valores superiores a 0? Este térmio es x 0 = 03 Es cierto que los térmios de la sucesió so superiores a 00? La respuesta es que a partir de x 000 = 0003, sí Y así podríamos estar jugado hasta que os casásemos: sólo es ecesario teer e cueta que, dado u k arbitrariamete grade, hay que ecotrar el térmio de la secuecia a partir del cual todos los térmios siguietes so mayores que k Ua sucesió {x } tiede a + si para todo úmero real K>0existe u etero N tal que >N; e este caso, x >K Lo deotaremos por x =+ Ua sucesió {x } tiede a si para todo úmero real K<0existe u etero N tal que >N; etoces, x <K Lo deotaremos por x = 5 Aritméticadeloslímites E la aritmética de los límites fiitos, todos los casos aparece determiados, mietras que e la aritmética de los límites ifiitos queda casos idetermiados y o es posible determiar a priori el valor del límite
FUOC P0/75005/0004 5 Sucesioes y series Cosideramos el caso + Presetamos ahora uos cuatos ejemplos: Sea x = y y =, etoces x =+ y y = Y x + y = = Sea x = y y =, etoces x =+ y y = Y x + y = =0 Sea x = y y =, e tal caso x =+ y y = Y x + y = = E cualquiera de los casos que hemos presetado sería ecesario llevar a cabo u estudio particular A cotiuació presetamos ua serie de tablas que restrige el límite de ua suma, de u producto y de ua potecia ) x + y Dode a y b so úmeros reales ) x y La fució sigo sg(x) = { si x<0 si x>0 Dode a, b IR {0} 3) xy y x 0 c + 0 +? 0 0 a + a c 0?? b 0 b c + + 0? + + Dode a (0, ),b> y c IR {0}
FUOC P0/75005/0004 6 Sucesioes y series No es lo mismo que el límite tieda a que el hecho de que la sucesió sea costate igual a Ellímite de la sucesió costate igual a es! 6 Cómo solucioar las idetermiacioes? No existe reglas geerales que os permita resolver los límites idetermiados; o obstate, se puede dar alguas idicacioes 6 Método geeral Supoemos que teemos el térmio geeral x = h(), dode h(x) está bie defiida para x lo bastate grade Si h(x) existe, etoces x = h(x) x x El método o se puede aplicar si aparece expresioes de la forma ( ),! o sumas e las que el úmero de térmios depede de! Si el h(x) o existe, etoces el x puede existir o o x! Ejemplo 6 ( ) Calculemos el si ( ) Observemos que = y que si =0Esulímite de la forma 0 y, por lo tato, idetermiado Calculamos el límite pesado e que la variable es cotiua, y lo trasformamos e u límite de la forma 0 para poder aplicar la regla de LHôpital: 0 ) ( ) x si x + x = x + = x + ( si x x cos ( x = x + cos ( x = )( x ) = x ) = cos 0 = ( ) Puesto que el límite existe, teemos que si = Ejemplo 7 ( ) Cosideremos el +( +)++ Este límite o se puede calcular por el método geeral, ya que la catidad de sumados del térmio geeral depede de
FUOC P0/75005/0004 7 Sucesioes y series Ejemplo 8 Cosideramos el si(π) Aplicamos el método geeral y el si(πx) o existe, mietras que si(π) es 0 para todo Por lo tato, el si(π) =0 x 6 Caso 0 0 y 0 Queremos calcular xy Supoemos que xy = l; si tomamos logaritmos eperiaos e cada miembro de la igualdad, obteemos que: y l x =ll, de dode teemos que: l = e y l x E tal caso, sólo teemos que resolver la idetermiació del tipo 0 Ejemplo 9 Calculemos El = yel =0, lo cual quiere decir que el y, e cosecuecia, idetermiado Aplicamos el hecho de que l = e y l x a uestro caso: = e l = e l es la de forma 0 Observamos que ahora teemos u límite de la forma que ya se ecuetra e la forma geeral; por lo tato: l = l x x x = x De esta maera, = e 0 = x x = x x =0 63 Caso Este caso ecesita algo de justificació Comecemos por la sucesió: x = ( + ) Se puede demostrar que la sucesió x = ( + ) es acotada y creciete y, por lo tato, tiee límite El valor de este límite recibe el ombre de úmero e
FUOC P0/75005/0004 8 Sucesioes y series Es decir: ( + = e ) E geeral, si {x } es ua sucesió de úmeros reales tales que x =, ( etoces + ) x = e x Coversió de la idetermiació a 0 Si x =y y =, etoces: xy = e (x ) y Ejemplo 0 Calculemos: ( ) a + b, a > 0 y b>0 a + b Calculamos = + =y = ; por tato, es de la forma Aplicamos: etoces: xy = e (x ) y ; ( ( ) a + b a + b = e ) Para calcular el límite cambiamos la por x: ( a x + b x x ( a + b de dode teemos que ) x = x = x a x +b x = x a x l a+b x l b x = x a x l a + b x l b = = x = l a +lb =l a b, ) = e l a b = a b
FUOC P0/75005/0004 9 Sucesioes y series 64 Criterio de Stolz Hasta el mometo hemos estudiado situacioes dode era posible pasar al caso geeral El criterio de Stolz resulta útil especialmete para determiar el límite de sucesioes e las que aparece sumas de térmios que se icremeta co Criterio de Stolz Sea {x } e {y } dos sucesioes dode {y } es moótoa creciete o decreciete e y 0 IN tales que: x = y =0 o bie: y = x + x Si existe λ = y + y x que = λ y IR {, + }, etoces teemos Ejemplo + + + Calculado 3, vemos que { 3 } es creciete y que 3 = y, por tato, podemos aplicar el criterio de Stolz: + + +( +) ( + + + ) ( +) ( +) 3 3 = 3 +3 + = 3 65 Desarrollo e poliomio de Taylor Supogamos que queremos calcular!si(!) E este caso o podemos defiir ua fució de x y aplicar la regla de LHôpital porque cotiee ua expresió! Cuado os ecotramos ate este problema, podemos utilizar desarrollos e poliomio de Taylor e x =0 Esta técica sólo es aplicable si el error que teemos tiede a 0 cuado tiede a Observamos que el desarrollo e poliomio de Taylor de la fució si x cuado x está próxima de 0 es: si x = x x3 3! + x5 5! + O(x7 )
FUOC P0/75005/0004 30 Sucesioes y series f(x) Si f(x) es ua fució tal que x 0 x i existe y el límite es fiito, etoces decimos que f(x) =O(x i ) (se lee f(x) es del mismo orde que x i ) Alguas de las propiedades de los O(x i ) so: ) O(x i )+O(x j )=O(x i ) si i j ) Si k es u valor costate, etoces ko(x i )=O(x i ) 3) x j O(x i )=O(x i+j ) 4) O(x i )O(x j )=O(x i+j ) Ejercicio 8 Calculad los siguietes límites, si es que existe: a)! d) g) ( ) + a b) + b + 4 3 +8 c) 7 3 +6 ++ + l! e) 5 f) l! +! + +! + + + h)! i)!
FUOC P0/75005/0004 3 Sucesioes y series 3 Series de úmeros reales Cosideremos úmeros reales a,,a, la suma de los cuales es a + +a Ua maera más compacta de presetar esta suma es mediate la otació siguiete: a i i= Recordemos alguas de las sumas fiitas más coocidas: i = i= ( +), i = i= ( + )( +) 6 y ( ) ( +) i 3 = i= El problema es qué sucede si e lugar de tomar u úmero fiito de térmios, tomamos u úmero ifiito Este problema se lo platearo por primera vez e la atigua Grecia, y fue Zeó quie lo formuló idirectamete Aquiles trata de alcazar ua tortuga e movimieto que le lleva cierta vetaja Durate el tiempo ivertido por Aquiles e llegar a la posició dode se ecotraba la tortuga, ésta ha realizado u pequeño desplazamieto Así, cuado Aquiles recorre la distacia que le separa de la posició que ocupaba la tortuga, ésta ya ha vuelto a desplazarse De este modo, Aquiles uca llegará hasta la tortuga Imagiemos que la tortuga decide esperar a Aquiles; e tal caso, éste tedría que recorrer la mitad de la distacia que lo separa de la tortuga, después la mitad de la mitad, y así sucesivamete; e cosecuecia, Aquiles uca llegaría a la posició de reposo de la tortuga Ate este cocepto de regresió ifiita, llegaremos a la coclusió de que Aquiles uca hubiese podido empezar su desplazamieto y, por tato, el movimieto es imposible Observad que este razoamieto se basa e la posibilidad de fraccioar el espacio (o el tiempo) e itervalos ta pequeños como queramos Las matemáticas que modela la realidad admite posibilidades como ésta, lo cual llea de setido los coceptos de cotiuidad y de cálculo ifiitesimal Desde u puto de vista matemático, u segmeto es ifiitamete divisible, mietras que u alambre o lo es El segmeto matemático es u modelo que permite estudiar la realidad física, o ua copia fiel de la realidad, motivo por el cual os resultará útil a la hora de estudiar problemas relacioados co cuerpos materiales (cuerdas vibrates, cuerpos
FUOC P0/75005/0004 3 Sucesioes y series rígidos, etc) Por otra parte, os va a proporcioar el modelo del tiempo y el espacio como u cotiuo Realmete, el movimieto es observable Los filósofos Aristóteles y Bergso ha distiguido etre la posibilidad ideal de fraccioar de maera idefiida el espacio y el tiempo, y la posibilidad de hacerlo realmete Si lo cosideramos desde este puto de vista, la paradoja de Zeó o es tal paradoja Si embargo, ya podéis supoer que esta maera de hacer las cosas o acaba de coveceros, ya que sigificaría, etre otras cosas, teer que cambiar las matemáticas, puesto que o modelaría la realidad que vemos Admitimos la posibilidad de fraccioar de maera idefiida el tiempo y el espacio, lo cual os coduce a la itroducció del cocepto de serie Para evitar ecotraros co dos cuerpos moviédose, supodremos que la tortuga está parada a ua distacia de ua uidad de Aquiles Tambié supodremos que Aquiles está situado e el cetro de coordeadas y que se mueve co ua velocidad uiforme v Observamos que Aquiles tarda v para llegar a ua distacia de A = uidades de la tortuga Para recorrer la mitad de la distacia que separa a Aquiles de la tortuga ( 4 uidades), el tiempo es 4v Yasísucesivamete Si deomiamos A 0 el puto de partida y A los putos dode se sitúa Aquiles sucesivamete, la distacia que ha recorrido Aquiles cuado se ecuetra e A es, y el tiempo que ha ecesitado es v + v ++ v Cuáto vale esta suma? No olvidemos que Aquiles se mueve a ua velocidad costate (v) y,debido a que la distacia recorrida es, teemos que el tiempo que ha ( ) ecesitado Aquiles es T = v Por tato: v + v + + v = ( ) v Cuado tiede a ifiito, teemos que la distacia tiede ayeltiempo que tarda Aquiles e atrapar a la tortuga es v Observad que Zeó o tuvo e cueta que la acumulació idefiida de catidades (espacios o tiempos) puede teer como cosecuecia ua catidad fiita (es decir, u úmero) Debemos a Eudoxo y Arquímedes la primera formulació de la idea de que catidades fiitas se alcaza por acumulació de catidades ifiitas Si embargo, hasta la llegada de Euler o se llevará a cabo su formulació completa
FUOC P0/75005/0004 33 Sucesioes y series 3 Cocepto de serie Sea {a } ua sucesió de úmeros reales Cosideramos la sucesió asociada {S } de sus sumas parciales: S = a + a + + a Se cooce como serie la pareja formada por las dos sucesioes {a } y {S }, que represetaremos mediate el símbolo: a = Ua serie es covergete si coverge la sucesió de sus sumas parciales, y deomiamos suma de la serie el límite de la sucesió de sus sumas parciales, que represetamos mediate el símbolo: a = Si ua serie o es covergete, se deomia divergete Notació El símbolo a deota = 0 a, dode 0 es u úmero atural Observad que ua serie es u tipo muy particular de sucesió 3 Series geométricas Al empezar el apartado ya estuvimos viedo esta serie que se cooce por serie geométrica de razó k e k Silaempieza a partir de 0, se trata de la serie +k + k + + k + Partimos de la sucesió de las sumas parciales hasta el térmio ; e tal caso: S =+k + k + + k La vetaja de hacer sumas parciales es que podemos multiplicar y sumar de la maera tradicioal Por tato: S = +k + k + + k, ks = k + k + k 3 + + k + Tras restar ambas expresioes, teemos: ks S = k +
FUOC P0/75005/0004 34 Sucesioes y series Por tato: S = k+ k Puesto que la serie es el límite de las sumas parciales, os ecotramos co que esta serie coverge si k < ysulímite es k i = k Para k >, el límite de la sucesió de sumas parciales tiede a ifiito i=0 Para el caso k =teemos que: S =+++ += + Por tato, la sucesió de sumas parciales tiede a ifiito Para k = os ecotramos co que: S =+( )++( ) + +( ) Etoces, si =k, teemos que S k =;si =k +, obteemos que S k+ =0 Por tato, la sucesió de las sumas parciales es oscilate: e alguas ocasioes es 0 y e otras es E este caso, dado que la sucesió o coverge, la serie es divergete Covergecia de la serie geométrica segú los valores de k: { k i covergete si k < es divergete si k i=0 Además, si k < su suma es k Ejemplo 3 Calculemos k co k < =m Escribimos primero la suma parcial hasta el térmio co m < ; etoces: S = k m + k m+ + k m+ + + k De esta forma: S = k m + k m+ + k m+ + + k, ks = k m+ + k m+ + k m+3 + + k + Restado ambas expresioes, teemos: ks S = k + k m, que permite escribir: S = k+ k m k
FUOC P0/75005/0004 35 Sucesioes y series Si pasamos al límite cuado tiede a ifiito, teemos: k i = km k i=m Este ejemplo os permitirá ilustrar el siguiete teorema: La iserció olasupresió de u úmero fiito de térmios e ua serie covergete o ifluye e su covergecia, pero sí esu suma Si se añade o se suprime u úmero fiito de térmios e ua serie divergete, ésta cotiúa siedo divergete Observamos que hemos coseguido llegar al estudio completo de la serie geométrica: teemos la capacidad de determiar su covergecia y, e caso de que sea covergete, tambié podemos calcular su suma La serie geométrica es covergete E este caso, si k < : k i = km k i=m A la hora de estudiar ua serie, os plateamos dos pregutas fudametales: a) Cuádo es covergete ua serie? b) Si la serie es covergete, cuál es el valor de su suma? 3 La sucesió a debe teder a cero Si ua serie es covergete, etoces la sucesió {a } debe teder a 0 Si {a } tediese a ua costate K, etoces la sucesió de las sumas parciales, para grade, se comportaría como K Esta sucesió o se ecuetra acotada, de maera que la serie es divergete Si a es covergete, etoces a =0
FUOC P0/75005/0004 36 Sucesioes y series El hecho de que a =0 o implica que a sea covergete! Esto sigifica que la codició a =0es ecesaria pero o suficiete Como veremos e el siguiete apartado, existe series cuyo térmio geeral tiede a 0 pero la serie diverge Este criterio resulta iútil si lo que queremos saber es si ua serie es divergete: sólo hay que ver que a 0 Ejemplo 3 Vamos a estudiar si existe algua posibilidad de que la serie sea covergete! Ya que =0, etoces puede ser covergete o o! Ejemplo 33 Ahora estudiaremos si hay posibilidades de que la serie sea covergete Puesto que =, podemos asegurar que es divergete Ejercicio 3 Determiad de etre estas series cuáles puede ser covergetes: b a) b) b! c) p Nota: Podéisusarque a =0 a =0 33 La serie armóica geeralizada Si ua serie coverge, etoces los úmeros a debe teder 0, cuado es grade Podemos ecotrar ejemplos de sucesioes {a } e los que la serie o coverge, auque: a =0 Cosideramos ahora la misma paradoja que la de Zeó, supoiedo que la velocidad decrece gradualmete, de maera que Aquiles ecesita T miutos para ir de a, T miutos para ir de a 3 4, T 3 miutos para ir de 3 4 a 7 8 y, e geeral, T miutos para ir de a La serie ifiita que vemos a cotiuació represeta el tiempo total que ecesita para la carrera: T + T + T 3 + + T +
p FUOC P0/75005/0004 37 Sucesioes y series E este caso, la experiecia física o sugiere igua suma obvia o atural para asigar a esta serie, de ahí que sumemos de maera matemática Podemos ver cómo se comporta la serie: + + 3 + + + sumado sus térmios co la ayuda de u ordeador Etoces observaremos que a partir de u térmio determiado, la suma acumulada deja de crecer Y esto sucede porque, a partir de u mometo dado, los térmios que se acumula so ta pequeños e comparació co la suma ya acumulada, que el úmero de dígitos que muestra el ordeador o refleja el icremeto que se produce e la suma Este hecho puede iduciros a pesar que la llamada serie armóica es covergete; si embargo, o es así Para comprobar que ua sucesió (e este caso, la de las sumas parciales) o coverge, sólo hay que ver que algua de las subsucesioes o coverge Cosideramos la sucesió idicada por las sucesivas potecias de, k = co =, El razoamieto que seguiremos se lo debemos al matemático fracés Nicolás de Oresme (s XIV): S k = + + 3 + 4 + + = = + ( + 3 + ) ( + + 4 + + + ) > > + ( + 4 + ) ( + + 4 + + ) = = + + + + =+ Es evidete que S k se hace ta grade como queramos y que, por lo tato, es divergete La geeralizació de la serie armóica es: y se deomia serie armóica geeralizada Covergecia de la serie armóica geeralizada e fució de los valores de p: { p es covergete si p> divergete si p
FUOC P0/75005/0004 38 Sucesioes y series 34 Propiedades geerales de las series Las propiedades de mayor relevacia que verifica las series so éstas: ) Si añadimos o suprimimos u úmero fiito de térmios que sume A, la serie ueva tiee el mismo carácter que la primera Si la primera serie es covergete y su suma es S, etoces la suma de la seguda serie es S ± A, que modifica la suma pero o el carácter de la serie ) El carácter de ua serie o cambia si multiplicamos por u úmero k 0 E este caso: ka = k = = = a 3) Si a y b so series covergetes co límites S y S, etoces = ( ) a + b = S + S =
FUOC P0/75005/0004 39 Sucesioes y series 4 Series de térmios positivos 4 Defiició Ua serie es de térmios positivos si el térmio geeral es siempre positivo, es decir, a > 0 para todo valor de Los criterios que se sigue hace referecia a las series de térmios positivos 4 Criterios de comparació A cotiuació vamos a explicitar u par de criterios que, de hecho, ya hemos utilizado Comparació por diferecia Dadas dos series a y b tales que a b si 0 : a) Si a diverge, etoces b diverge b) Si b coverge, etoces a coverge Ejemplo 4 Demostremos que es covergete + Puesto que + < y es covergete, etoces es covergete + Ejemplo 4 Demostremos que es divergete Debido a que > y es divergete, etoces es divergete
FUOC P0/75005/0004 40 Sucesioes y series Comparació por paso al límite por divisió Si teemos dos series a y b : a a) Si < y b coverge, etoces a coverge b a b) Si 0y b diverge, etoces a diverge b Ejemplo 43 Demostremos que es covergete Observamos que: = Al ser covergete, etoces es covergete A la hora de estudiar el carácter de ua serie es coveiete simplificar su térmio geeral Ejemplo 44 Probamos que = Cuado, podemos ver que térmio domiate es ( ) ( ( + + ) ) es covergete ( + ) ( e y que + Por tato, el ) Si comparamos el térmio geeral de la serie co teemos: ( ) ( ( + + ) ) ( = + ) ( ( + ) ) = e Puesto que es covergete y el límite del cociete es fiito: ( ) ( ( + + ) ) es covergete = 4 Criterio de Prigsheim A estas alturas ya hemos estudiado dos series de térmios positivos: la serie geométrica y la serie armóica geeralizada
FUOC P0/75005/0004 4 Sucesioes y series Supogamos que ahora queremos estudiar la covergecia de ua serie de térmio geeral a Aplicamos el criterio de comparació por paso al límite co la serie armóica geeralizada Recordemos que la serie armóica geeralizada verifica: p es { covergete si p> divergete si p Si b =,loúico que teemos que hacer es calcular el p p a Mediate el criterio de comparació de la divisió teemos: ) Si p a < y p coverge, etoces a coverge (Dode coverge sólo si p>) p ) Si p a 0y b diverge, etoces a tambié diverge (Dode diverge si p ) p Criterio de Prigsheim a) Si p a < y p>, etoces a coverge b) Si p a 0y p, etoces a diverge Observacioes ) Resulta especialmete útil cuado teemos expresioes del tipo α Por este motivo será coveiete aplicar ifiitésimos que trasforme las fucioes e expresioes poliomiales ) El úmero p se elige, e geeral, como la diferecia de grados etre el deomiador y el umerador Ejemplo 45 Estudiemos el carácter (la covergecia o la divergecia) de + 3 +3 si La fució seo está acotada cuado Puesto que el umerador es de grado y el deomiador grado 3, etoces p =3 = Comprobémoslo: + 3 +3 si = + +3 si 3 =
FUOC P0/75005/0004 4 Sucesioes y series Puesto que el límite es fiito y p =>, etoces teemos que + 3 +3 si es covergete Ejemplo 46 Estudiemos el carácter (la covergecia o la divergecia) de l El criterio geeral es igualar las potecias del umerador y del deomiador Por este motivo, tedríamos que escoger p = Calculemos el límite: l = l = El límite es y p => Por lo tato, el criterio o decide Si escogemos p =, etoces: l = l Calculamos este límite aplicado la regla de L Hôpital al límite de la fució asociada: l x L Hôpital x = x x x =0 Por lo tato: l = l =0 Debido a que el límite resulta 0 y p =, el criterio o decide Pero adie está diciedo que las p tega que ser eteras Escogemos p =+ ; etoces: + l = l =0 El límite es 0 y p =+ > Ahora estamos e codicioes de aplicar el criterio de l Prigsheim y, por tato, la serie es covergete 4 Criterio que proviee de la serie geométrica Ya hemos ecotrado u criterio que utiliza la serie armóica geeralizada como modelo Si embargo, recordemos que teíamos otra serie, la geométrica, que verifica: { k i covergete si k < es divergete si k i=0 Cuádo podemos afirmar que ua serie se comporta como la serie geométrica? Observemos que el térmio geeral de la serie geométrica es a = k y recordamos que al desarrollar el tema de sucesioes ya habíamos estudiado diferetes formas de determiar que ua sucesió e el límite se comporta como k
FUOC P0/75005/0004 43 Sucesioes y series a + Ua primera maera de decirlo es: = k Esto quiere decir que e a el límite a + = ka y que, por tato, se comporta como si fuese a = k Dado que la serie geométrica es covergete si k<, etoces teemos que a es covergete Aálogamete, si k>, etoces a es divergete El caso k =es dudoso Aplicad este criterio a la serie armóica geeralizada Criterios del cociete y de la raíz Dada la serie a tal que a > 0 IN, supoemos que = a = λ (cociete) o bie a = λ (raíz) Etoces: a a) Si λ<, la serie b) Si λ>, la serie a es covergete = a es divergete = c) Si λ =, el criterio o decide Es coveiete aplicar el criterio del cociete cuado hay expresioes de la forma k o! Es coveiete aplicar el criterio de la raíz e caso de que haya expresioes de la forma A veces es coveiete sustituir! por e π (fórmula de Stirlig) Ejemplo 47 Determiemos para qué valores de p>0 la serie p coverge Si queremos aplicar el criterio del cociete, ates teemos que calcular el límite: = a + ( +)p + + = a p = p = p Por tato, la serie es covergete si 0 <p<yes divergete si p> Para p =,el criterio o decide Si embargo, para p =, la serie es Puesto que el térmio = geeral o tiede a 0 ( = ), tedremos que para p =es divergete La serie coverge si 0 <p< y diverge si p
FUOC P0/75005/0004 44 Sucesioes y series 43 Criterio de la itegral Cosideremos ua fució y = f(x) decreciete x 0 ; etoces, como podemos ver e el gráfico del marge: f(k) k= f(x)dx Por lo tato: Aálogamete: f(k) k= k= f(x)dx f(x)dx f(k) Suma por defecto Puesto que la itegral y las series está ecajoadas, se puede afirmar que la serie y la itegral tiee el mismo carácter Suma por exceso Criterio de la itegral Sea y = f(x) ua fució tal que f(x) > 0 y decreciete para x 0 Etoces, f(k) y f(x) tiee el mismo carácter k= Ejemplo 48 Vamos a determiar el carácter de la serie = l El térmio geeral de la serie se establece a partir de f() = ; por lo que tiee l setido defiir la fució real f(x) = Observad que sólo os iteresa lo que pasa x l x e el ifiito, motivo por el cual el extremo iferior es siempre arbitrario a c x l x = c x l x = l l c x c a = l l c l l a = c a Dado que la itegral es divergete, teemos que la serie tambié es diverge- l te = Ejercicios 4 Estudiad la covergecia o la divergecia de las siguietes series: a) e) = = (4 )(4 3) b) l + f) + c) = = e g) = = + d) (!) ()! h) = = si 5
FUOC P0/75005/0004 45 Sucesioes y series i) = + 3 + j) =! 4 Determiad para qué valores de x>0las series que teemos a cotiuació so covergetes: a) x x b) = = 44 Estimació del error Uo de los problemas co que os ecotramos a la hora de estudiar series es que teemos la capacidad de determiar si coverge, pero e caso de que coverja es bastate difícil determiar co exactitud cuál es su suma E la práctica, sólo os iteresa determiar la suma co ua cierta precisió y, para hacerlo, sumamos u úmero fiito de térmios Es decir, k queremos calcular a y, e lugar de esto, calculamos a ; etoces, = el error que cometemos es: k Err k = a a = a = = =k+ Pero si escribimos a = f() y f(x) es ua fució positiva moótoa decreciete, se tiee que: a =k+ k f(x)dx, ya que el valor de la itegral es el área deitada por la curva y el eje X, y la suma de la serie es la suma de las áreas de los rectágulos = Cuado a = f() y f(x) es moótoa decreciete, etoces: k Err k = a a = a = = =k+ k f(x)dx Ejemplo 49 Cosideremos la serie = ) Demostraremos que es covergete ) Aproximaremos el valor de la suma de la serie utilizado los cico primeros térmios y aportaremos ua estimació del error
FUOC P0/75005/0004 46 Sucesioes y series 3) Siqueremoscalcularlaseriecouerrormeorque0 8, cuátos térmios tedríamos que sumar? ) La serie es covergete porque es la serie armóica co p = ) La suma de los cico primeros térmios es: S 5 = + + 3 + 4 + 5 = 569 3600,4636 Para calcular el error aplicamos que: Err 5 = =6 Sólo teemos que calcular la itegral: 5 por lo tato, c dx = dx = x c x 5 = =,5 ± 0, x 5 dx c x c 5 = c c + 5 = 5 = 0, 3) Si os pide la catidad de térmios que teemos que sumar para que el error sea meor que 05 0 8, tedremos que calcular e qué mometo la cota del error es meor que esta catidad Por lo tato: c Err dx = x c dx = x c x c = c c = Si queremos que Err < 0 8, etoces < 0 8, de dode teemos que >0 8 E los ejemplos que hemos visto hasta ahora se ha supuesto que la fució f(x) era decreciete para x Se podría hacer exactamete lo mismo e caso de que f(x) fuese decreciete cuado x a E tal caso, se debería impoer que a Ejemplo 40 Nos propoemos demostrar que la serie e es covergete y determiar el úmero = de térmios que hay que sumar si queremos calcular la serie co u error meor que 0, Partimos de f(x) =xe x y observamos que f (x) = (x )e x ; llegaremos a la coclusió, etoces, de que la serie es decreciete si x> E este caso: e xe x dx = Calculamos la itegral por partes: c xe x dx = c (x c + c + +)e x =e Si queremos determiar el úmero de térmios que ecesitamos para calcular la itegral co u error meor que 0,, teemos que utilizar la cota de la itegral Si embargo, para que podamos aplicarla ecesitamos que ésta sea decreciete; por tato, sólo podremos acotarlacolapara> Calculamos cuado: ie i 0, i=+
FUOC P0/75005/0004 47 Sucesioes y series Aplicamos la cota del error: ie i xe x dx =( +)e i=+ Como se ve, sólo es ecesario que determiemos para qué valor de teemos que ( +)e < 0, Si ahora damos valores a la vemos que para =3(3+)e 3 =4e 3 = 0,995 y para =4(4+)e 4 =5e 4 = 0,09578 < 0, Por lo tato, 4 Gráficodelostérmios de la sucesió ( +)e Ejercicio 43 Para las siguietes series, calculad: ) La suma de los cuatro primeros térmios ) El error que cometemos al aproximar la serie por la suma de los cuatro primeros térmios 3) Cuátos térmios teemos que sumar si queremos u error meor que 0,0 a) = 3 b) = + c) = + El criterio de la itegral os ha permitido calcular las sumas y acotar los errores a partir de ua itegral impropia Si embargo, se podría hacer lo mismo si, e lugar de acotar por ua itegral, lo hacemos por ua serie que sabemos sumar Supoemos que a i b i y 0 Sea S = Err = a i i=0 a i = i=0 a i ; etoces: i=0 i=+ a i i=+ El problema de utilizar este criterio viee dado por la dificultad de ecotrar b i b i Ejemplo 4 Calculamos el valor de la serie = co u error meor que 0,0 + Para calcular el valor aproximado de la serie, sumaremos los primeros térmios; por este motivo teemos que calcular a partir de qué valor, Err < 0,0 Observamos que + > y, por lo tato, + < Asípues: Err = i=+ + i < i=+ i = + = E caso de que queramos que Err < 0,0, impodremos que < 0,0 Por tato, l 00 >log 00 = = 6,64385689 Esto sigifica que 7 l Por lo tato: S 7 = = 0,7567075575 0,76 +
FUOC P0/75005/0004 48 Sucesioes y series Ejercicio 44 Calculad el valor de la serie = co u error meor que 0,0 ( +)
FUOC P0/75005/0004 49 Sucesioes y series 5 Series alteradas 5 Cocepto de serie alterada Hasta el mometo hemos estudiado series de térmios positivos Cuado las series tiee térmios positivos y egativos, su estudio resulta mucho más complicado E esta parte del módulo sólo vamos a estudiar co detalle u tipo de series que tiee térmios positivos y egativos, es decir, las series alteradas Ua serie es alterada, siesdelaforma: ( ) a co a > 0 Ua forma de simplificar su estudio es defiir u uevo cocepto: el de serie absolutamete covergete Observació Ua serie a es absolutamete covergete si a es covergete Si ua serie a es absolutamete covergete etoces a tambié es covergete Observad que a es de térmios positivos Su covergecia se estudia mediate los criterios del apartado aterior Ejemplo 5 Queremos demostrar que la serie ( ) es covergete! = Para verlo, estudiamos su covergecia absoluta Sólo tedremos que demostrar, e este caso, que la serie es covergete! =