Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT01) 1 er Semestre e 010 Semana 1: Lunes 07 viernes 11 e Junio Información importante Durante esta semana se publicarán las notas el Certamen en el sitio internet el curso. El martes 8 e junio, en horario e ayuantía, se tomará el Control QB. Los contenios a evaluar son: Sumatorias, inucción y erivaas. El viernes 11 e junio se publicará la cuarta tarea preparatoria para los alumnos que asisten a talleres en sala. Durante esta semana se publicarán las notas el Certamen en el sitio internet el curso. El proceso e apelación (ver información, instructivo y formulario en la web el curso) culmina el lunes 14 e junio. Ese ía los profesores e cálculo eberán entregar los formularios que les entregaron sus estuiantes visaos. Para ello, tenrán que haber mostrao los cuaernillos previamente (en la clase el miércoles 9 y/o en horario e consulta). Cálculo Contenios Clase 1: Curvas efinias implícitamente. Derivación implícita e primer y seguno oren. Teorema e la función inversa. Clase : Definición máximo y mínimo. Teorema e Weierstrass. Punto Críítico. Criterio para eterminar máximos y mínimos. 1 Clase 1 1.1 Aprenizajes esperaos Reconoce e interpreta el concepto e función efinia en forma implícita. Aplica erivación implícita. Calcula erivaas e oren superior e funciones efinias implícitamente. Calcula erivaas e funciones inversas elementales argumentano su iferenciabilia. Calcula erivaas e funciones efinias e manera implícita por curvas escritas e forma paramétrica (erivación paramétrica) MAT01 (Cálculo) 1
Departamento e Matemática 1. Función implícita Si f función real, la expresión y = f(x) correspone a una ecuación e os variables en la que y está efinia explícitamente en función e la variable x. Consiere F una función e os variables (x e y), F : U R! R :(x, y)! F (x, y). Una expresión el tipo F(x, y) =0, correspone a una ecuación e os variables one la variable y está relacionaa meiante F ala variable x. En este caso ecimos que y está implícitamente efinia por una o más funciones que epenen e x. 1..1 Ejemplos Tipo La ecuación 3x y = 4 se puee escribir e la forma F (x, y) = 0 usano la función F (x, y) =3x y 4. En este caso, la ecuación F (x, y) = 0 permite espejar y, ehecho lo cual correspone a una recta. y = 3 x Escribir la ecuación e x + x =sen(y (1, 3) con la ecuación F (x, y) = 0? 3) + y + 6 e la forma F (x, y) = 0. Es simple espejar y? Cumple Consiere la función F (x, y) =x + y 1. La ecuación F (x, y) =0efineay implícitamente como función e x, en este caso es posible espejar. Obtenemos os funciones y = p 1 x y y = p 1 x la primera escribe a la curva en el semiplano superior y la seguna en el semiplano inferior. Qué pasa en los puntos ( 1, 0) y (0, 1)? 1.3 Derivación Implícita Observación 1.1. Para introucir esta sección es necesario el uso el Teorema función implícita. Sin embargo, en este importante resultao hay conceptos que intervienen y no son efinios en el curso. Estos son: vecina (e un punto en R ) y erivaas parciales (e funciones e más e una variable). Por esta razón sólo nos enfocaremos en el cálculo e las erivaas. Tras suponer que las variables x e y están relacionaas por alguna ecuación e la forma F (x, y) = 0, es posible obtener y/x observano que la erivación se efectúe respecto a x, es ecir que al erivar términos que sólo consieren a x, la erivación será la habitual. Sin embargo, cuano se tenga un término en el cual aparezca y, entonces será aplicaa la regla e la caena pues, se está suponieno que y viene efinia implícitamente como función e x. Por ejemplo si F (x, y) =x + y y como y = y(x) entonces, al erivar con respecto a x la función '(x) = x +(y(x)) =0setiene e one, si y 6= 0, ' 0 (x) =x + (y(x))y 0 (x) =0 y x := y0 (x) = x y 1.3.1 Ejercicios Tipo Daa x cos(y)+y cos(x) 1 = 0. Calcule y/x. Encuentre la ecuación e la recta tangente a la curva: sen(xy)+3y =4enelpunto, 1. Respuesta: y = 1. MAT01 (Cálculo)
Departamento e Matemática xy Hallar y/x en el punto (1, 1) si cos Respuesta: y = 6 x (1,1) +sen y + y +3x = 5. Encontrar la ecuación e la recta normal a la curva aa por sen xy + e xy = e x en el punto (, 1). Respuesta: y = (x ) + 1 1.4 Derivación implícita: seguno oren. Sean x, y variables relacionaas por una ecuación F (x, y) = 0. El objetivo en esta parte es obtener y/x a través e la erivación implícita obtenieno, en primer lugar, y/x y luego utilizar este resultao para encontrar la expresión e y/x. 1.4.1 Ejercicios Tipo Encontrar y 00 si x 4 + y 4 = 16. Sea 3p cos x. Calcule f 00 (0) usano erivación implícita y en forma irecta. Un objeto se mueve e tal manera que su velocia v está relacionaa con su esplazamiento s meiante la ecuación v = p gs + c con g y c constantes. Demuestre usano erivación implícita que la aceleración es constante. Sea F (x, y) =y f(x)g(x), con f,g funciones con erivaas e too oren. Demuestre que para F (x, y) =0 se verifica y 00 = f 00 g +f 0 g 0 + fg 00 Consiere los lugares geométricos efinios por las expresiones: (1) x + y =1 () y x =1 Grafique la circunferencia y la hipérbola respectiva. Determine los valores e x e y para los cuales y 0 = 0. Evalúe y 00 en los valores e x encontraos en el punto anterior. Si consiera los casos y 0 e y<0 porá notar que los puntos encontraos corresponen a máximos y mínimos para las funciones obtenias. Qué relación puee observar respecto al signo e y 00, cuano el punto es máximo / mínimo? Es razonable este resultao? 1.5 Teorema función inversa Teorema 1.1 (Teorema función inversa). Sea f : U R! R una función real erivable. Si para x 0 en el ominio e la función se tiene 1. f es C 1 en una vecina e x 0 ;. f x (x 0) 6= 0; MAT01 (Cálculo) 3
Departamento e Matemática Entonces, existe una inversa local f 1 e f efinia en una vecina e y 0 = f(x 0 ). Aemás, la inversa f 1 es también C 1 (one está bien efinia) y la expresión e su erivaa viene aa por 1 x f 1 (f(x)) = x f(x). Observación 1.. Se sugiere, a través e un ibujo, esquematizar este resultao meiante penientes. Observación 1.3. Ahora es posible calcular las erivaas e las funciones trigonométricas inversas argumentano su iferenciabilia e manera aecuaa (teorema e la función inversa). Teorema 1.. (Derivaas e las funciones trigonométricas inversas). Demostrar algunas e estas erivaas. 1.-.- 3.- x (arcsen x) = 1 p 1 x x (arccos x) = 1 p 1 x x (arctan x) = 1 x +1 x ] 1, 1[ x ] 1, 1[ x R 1.5.1 Ejercicios Tipo Calcular 1 arccos x x Calcular la erivaa e la función y =lnx sabieno que (e x ) 0 = e x. Clase.1 Aprenizajes esperaos Reconoce conceptos e máximos y mínimos, iferenciano entre extremos locales y absolutos. Aplica el teorema e Weierstrass para garantizar extremos globales. Reconoce el concepto e punto crítico y su relación con los extremos e una función. Calcula extremos absolutos e funciones erivables por partes efinias en intervalos cerraos.. Definición máximo y mínimo. Definición.1 (Máximo local). Se ice que una función f tiene un máximo local en c R si existe un intervalo abierto I, sobre el cual f está efinia, tal que c I y 8x I, f(c) f(x). Definición. (Mínimo local). Una función f se irá que tiene un mínimo local en c R si existe un intervalo abierto I, sobre el cual f está efinia, tal que c I y 8x I,f(c) apple f(x). Definición.3 (Máximo global sobre un intervalo). Una función f tiene un máximo global sobre un intervalo I ao, si existe c I tal que 8x I, f(c) f(x). Definición.4 (Mínimo absoluto en un intervalo). Una función f se irá tiene mínimo global en un intervalo I ao, si existe c I tal que 8x I, f(c) apple f(x). Observación.1. Los valores máximo y mínimo global son conocios también como extremos absolutos o globales. MAT01 (Cálculo) 4
Departamento e Matemática..1 Ejercicios Tipo Sea x con x I =[1, 4). Cuál es el mínimo global e f en este intervalo? Por qué no se puee ecir que hay un máximo global en I? Sea f la función efinia por 8 x +1 si x < 1 >< x >: 6x +7 si 1 apple x x [ 5, 4] Determine máximos y mínimos locales y globales en el intervalo one f está efinia. Sea x/(1 Sea (x x ) Existe un valor máximo o mínimo? 3x). Determine valores mínimos y/o máximos y evalúe f 0 (x) en los valores encontraos. Sea x. Qué tipo e punto (máximo/mínimo) es x = 0? Qué puee ecir e la erivaa e la función en este punto?.3 Teorema e Weierstrass. Teorema.1 (Weierstrass). Sea f :[a, b]! R una función continua entonces, existen x 1,x [a, b] tales que f(x 1 ) apple f(x) apple f(x ). En otras palabras, se ice: Una función continua efinia en un intervalo cerrao siempre alcanza su máximo y mínimo..3.1 Ejercicios Tipo Sea sen(x), x [0, ]. Alcanza f su máximo y su mínimo en [0, ]? Sea 1/x, x I =[k, 1] para 0 <k<1. Alcanza f su máximo y mínimo en I? Qué sucee con el caso k = 0? Sugerencia: f no está efinia en x = 0. Consiere f como Alcanza f su máximo y mínimo en [ Consiere f como 0 si x<0 1 si x 0 1, 1]? Este hecho contraice al teorema anterior? x si x< x + si x Está acotaa esta función en el intervalo [ 1, 4]? Sugerencia: Observar que es continua en [ 1, 4]..4 Punto Crítico. Definición.5 (Punto Crítico). Sea f una función y c un punto e su ominio. Diremos que c es un punto crítico e f si f 0 (c) = 0, o f 0 (c) noexiste. Teorema.. Sea f una función efinia en un intervalo abierto I. Si f tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en c I y aemás f 0 (c) existe, entonces f 0 (c) =0. Teorema.3. Si f tiene un extremo relativo en un punto c entonces c es un punto crítico para f. Observación.. El recíproco no es vera. Por ejemplo f (x) =x 3 tine por punto crítico a x =0peronoesun extremo local Observación.3. Depenieno el tiempo estinao a ejercicios previos, se sugiere emostrar o ar como ejercicio la emostración el anterior teorema. MAT01 (Cálculo) 5
Departamento e Matemática.4.1 Ejercicios Tipo Determine los máximos o mínimos locales e la función senx y evalúe f 0 (x) en los puntos encontraos. Sea f la función efinia por (x + 1) si 1 apple x<0 (x 1) si 0 apple x apple 1 Determine los puntos críticos y comente el valor e f 0 (x) yf 00 en los mismos..5 Criterio para eterminar máximos y mínimos. En vista e los teoremas anteriores los máximos y mínimos locales sólo pueen ocurrir en los puntos críticos e la función. Así, para encontrar estos puntos e una función continua f en un intervalo cerrao [a, b], se siguen los siguientes pasos: 1. Determinar los puntos críticos e f en [a, b].. Evaluar f en caa punto crítico e (a, b). 3. Evaluar f en a yenb. 4. El mayor e toos los valores encontraos correspone al máximo y el menor valor, al mínimo..5.1 Ejercicios Tipo Para la función efinia por 9(x 3)/x 3, etermine sus máximos y mínimos locales si es que existen. Para la función efinia por senx existen. cos x, etermine sus máximos y mínimos locales si es que Verificar que el vértice e una parábola siempre correspone a un máximo o mínimo global. Establecer las coniciones para que éste sea un máximo o un mínimo. Determinar los máximos o mínimos locales y globales, si estos existen, e la función: (x + 1) /3 apple x apple 1 Determine las longitues e los catetos el triángulo rectángulo e hipotenusa aa c = 6[m], e moo que genere un cono recto e volumen máximo, al girar alreeor e uno e los catetos. Respuesta: a = p 6, b = p 3. Sugerencia: Obtener primero b. Una ventana tiene forma e un rectángulo e base x, coronao con un semicírculo (sobre una e las bases e largo x). Si el perímetro e la ventana es e 4[m]: +4 Encuentre el área e la ventana como función e x. Respuesta: A(x) = x +x. Sugerencia: 8 Determinar el alto el rectángulo a partir el perímetro e 4[m] e la ventana. Bajo estas coniciones Existe una ventana que tenga área máxima? Justifique. MAT01 (Cálculo) 6