Cilidros, trocos de coo y pregutas capciosas. Ilustrado los peligros del paso al límite. Atoio M. Oller Marcé Departameto de Matemáticas Uiversidad de Zaragoza Itroducció A meudo se preseta las matemáticas e el aula como u producto ya termiado y perfecto. Pocas veces hay espacio para la discusió sobre la géesis de los coceptos y mucho meos aú para cometar las motivacioes que lleva a elegir ua u otra técica a la hora de resolver u problema. Es posible que hacerlo raletizara el avace de la clase, pero o es meos cierto que haciédolo cotribuiríamos a mostrar el ada desdeñable compoete subjetivo que posee esta ciecia. A fi de cuetas, por más que la verdad matemática pueda ser objetiva, el modo de llegar a ella y de presetarla o lo es e absoluto. Y si hay poco tiempo y espacio e el aula para justificar la elecció de ua técica, mucho meos aú lo hay para justificar la o elecció de otra técica. Porque está claro que para elegir u modo de resolver u problema, a meudo debe rechazarse otros efoques a priori posibles. E ocasioes la alterativa rechazada tambié coduce a ua solució del problema, pero es dejada de lado por cuestioes de simplicidad, por cuestioes estéticas, porque o iteresa presetar las técicas que se utiliza o, icluso, por tradició. Otras veces, si embargo, o se sigue u camio aparetemete correcto porque sabemos de atemao que o coduce a ada o que lleva por sederos demasiado complicados para el ivel del alumo. Pero hemos de ser coscietes que somos osotros, como expertos, los que sabemos esto. El alumo o es cosciete de que dicho camio o va a llevarle a igua parte pese a que parezca que sí y cuado, si explicació algua, le istamos a rechazar esa opció iicial estamos fometado e el alumo la idea de que e matemáticas o hay espacio para la experimetació o para el esayo y error, lo que es, desde luego, completamete falso. E este artículo queremos ejemplificar la problemática que acabamos de cometar. Vamos a presetar, detro del cotexto de las aplicacioes de la itegral, ua situació e la que la aplicació de ua técica que ha fucioado a la hora de resolver u determiado problema o es posible e u problema muy similar. Los textos cosultados soslaya este hecho utilizado si más la ueva técica. Además, propoemos ua situació que detro de u cotexto mucho más elemetal, preseta el mismo problema y que puede servir para ilustrar ate el alumo los peligros del paso al límite además de repasar coceptos geométricos básicos e iteresates. La orgaizació del artículo es la siguiete. E las dos primeras seccioes presetamos, de maera estádar, los coteidos matemáticos e el cotexto de los cuales surge la discusió posterior. E la siguiete se platea la preguta que da pie a dicha discusió. A cotiuació se itroduce ua situació más secilla desde u puto de vista matemático, pero que da lugar a u problema equivalete y damos u iteto de respuesta elemetal a la preguta iicial. Fialmete, cocluimos el artículo co uas breves coclusioes. El volume de u sólido de revolució. Etre las primeras y más secillas aplicacioes de la itegral defiida se ecuetra el cálculo de volúmees de sólidos de revolució. E geeral, si cosideramos ua fució cotiua y = f(x) e u
itervalo [a,b] y hacemos que dicha fució rote e toro al eje OX, el volume del sólido obteido se obtiee mediate la expresió: b V = π f(x) 2 dx. a La forma de justificar esta expresió cosiste, e primer lugar (ver Figura 1), e cosiderar ua subdivisió del itervalo [a,b] dada por ua serie de putos a = x 1 < x 2 < < x = b. Después se cosidera los rectágulos de base (x i+1 x i ) y altura, por ejemplo, f x i+x i+1. Si se hace girar estos 2 rectágulos e toro al eje OX se obtiee ua aproximació del sólido de revolució geerado por y = f(x) mediate ua serie de cilidros. El volume de cada uo de ellos es: V i = πf x i+x i+1 2 ( x 2 i+1 x i ). Figura 1: Aproximado el sólido por cilidros. De este modo el volume de la aproximació será la suma de todos estos y para hallar el volume del sólido cosiderado bastará hacer: 1 V = lim V i. Recordado, eso sí, la defiició de itegral como límite de sumas de Riema. Este desarrollo puede ecotrarse e cualquier texto de Bachillerato actual (Edebé, 2008) o (Gómez, 2008), de los atiguos C.O.U. (Vizmaos y Azola, 1998) o (Arezaa et al., 1978) y PREU (Bruño, 1969) y por supuesto, tratado co u mayor rigor, e textos de iveles superiores como (Ortega, 1993), (Piskuov, 1980), (Salas y Hille, 1994) o (Spivak, 1996) 1. El área de la superficie que limita u sólido de revolució. Otra aplicació iteresate de la itegral defiida, que está relacioada co la aterior, cosiste e el cálculo del área de la superficie que limita el sólido de revolució cosiderado ateriormete. E el mismo cotexto que e la secció aterior, el área de la superficie de revolució obteida al rotar la fució y = f(x) defiida e [a,b] e toro al eje OX viee dada por la expresió:
b A = 2π f(x) 1 + f (x)dx. a La forma de justificar esta expresió parte, como ates, de la cosideració de ua subdivisió del itervalo [a,b]. A cotiuació (ver Figura 2) se cosidera los trapecios determiados por los putos (0, x i ), (0, x i+1 ), (x i, f(x i )) y x i+1, f(x i+1 ). Si se hace girar estos trapecios e toro al eje OX se obtiee ua aproximació del sólido de revolució geerado por y = f(x) mediate ua serie de trocos de coo. El área lateral de cada uo de estos trocos de coo resulta ser: A i = π(f(x i ) + f(x i+1 )) (x i+1 x i ) 2 + (f(x i+1 ) f(x i )) 2. Así pues, para hallar el área de la superficie cosiderada, será suficiete cosiderar que: 1 A = lim A i, juto co algua pequeña maipulació algebraica y teiedo alguas precaucioes puesto que la suma cosiderada o es ua suma de Riema. Figura 2: Aproximado el sólido por trocos de coo. Auque secilla, esta fórmula ya o aparece e los textos del Bachillerato actual i del aterior C.O.U. Si embargo, sí lo está e textos del más atiguo PREU y e textos uiversitarios básicos de itroducció al Aálisis y creemos que podría presetarse si igú problema e el aula de Bachillerato 2. Ua preguta peliaguda E las dos seccioes ateriores hemos presetado dos temas estádar e cualquier curso de Aálisis Matemático o de Cálculo. Además lo hemos hecho siguiedo el tipo de razoamieto que aparece e la totalidad de los textos cosultados y coocidos por el autor. Si embargo hay u aspecto importate y que a meudo, por o decir casi siempre, se pasa por alto: Por qué para calcular el volume aproximamos el sólido de revolució mediate cilidros y para el área de la superficie de revolució lo hacemos mediate trocos de coo? El autor debe cofesar que o se había plateado explícitamete esta cuestió hasta que u alumo itetó justificar la fórmula de la secció 3 aproximado el sólido de revolució mediate cilidros para
después proseguir el razoamieto del mismo modo que hicimos ates, pero utilizado la fórmula para el área lateral de u cilidro. Este razoamieto coduce a la obteció de la expresió (icorrecta, por supuesto): b A = 2π f(x)dx. a Ate la explicació del proceso correcto, la reacció (muy atural, por otra parte) del alumo fue formular la aterior preguta. Ua respuesta detallada y rigurosa a la aterior preguta ivolucra sucesioes de fucioes, de sus derivadas y coceptos como el de covergecia uiforme e itervalos. Si embargo, e el mometo e que surge la aterior preguta, que puede ser icluso e bachillerato, o es posible recurrir a dichos coceptos y; desde luego, diferir la respuesta a u mometo posterior o es aceptable i, a veces, posible. Simplificado la situació La preguta aterior ha surgido e u cotexto relacioado co la itegració. Para poder dar ua respuesta secilla a la paradoja que se ha presetado se puede comezar simplificado la situació del siguiete modo (ver Figura 3). Cosideramos u coo de altura h y cuya base tiee radio R. Dividimos dicha altura e segmetos iguales de logitud h. Trazamos plaos paralelos a la base del coo por cada uo de los putos de la subdivisió, obteiedo ua serie de círculos paralelos a la base. Para cada uo de dichos círculos cosideramos el cilidro de altura h que lo tiee como base. De esta forma hemos aproximado exteriormete el coo iicial mediate cilidros. Figura 3: U coo aproximado exteriormete por cilidros. Ahora, utilizado semejaza de triágulos es secillo ver que el radio de el cilidro i-ésimo es exactamete r i = R( i+1). De esta forma el volume y el área lateral de la columa de cilidros so, respectivamete: V = πr i 2 h = πr 2 h ( i + 1)2 3 = πr2 h ( + 1)(2 + 1) 3, 6 h A = 2πr i = 2πRh 2πRh ( + 1) 2 ( i + 1) = 2. 2
Parece claro que si hacemos crecer idefiidamete, la columa de cilidros se parecerá cada vez más al coo iicial y, por lo tato, su volume y su área lateral deberá ser los mismos. Si embargo: V = lim V = 1 3 πr2 h. A = lim A = πrh. Por lo que de uevo os ecotramos co que el razoamieto es correcto para calcular el volume, pero o es correcto para el área lateral. La vetaja e este caso es que os hallamos e u cotexto más elemetal y fácil de maejar y visualizar para el alumo, que o ivolucra fucioes i itegrales, sio simplemete figuras geométricas secillas. De este modo podemos itroducir el mismo problema si ecesidad de teer a uestra disposició las itegrales, basta co alguas ocioes sobre límites, las fórmulas para las sumas de los aturales y sus cuadrados y las expresioes para los volúmees y áreas laterales de cilidros y coos 3. E (Dubov, 1994) puede ecotrarse diversas situacioes e las que la problemática subyacete es la misma; esta si embargo, os parece más iteresate por la familiaridad del alumo co los elemetos implicados 4. U iteto de respuesta elemetal Como ya hemos señalado, ua respuesta rigurosa al problema queda fuera del alcace del alumo e el mometo e el que ha surgido la preguta. Así pues está justificado buscar ua respuesta e ese preciso mometo. No pretedemos que sea ua respuesta completamete rigurosa, os coformamos co u argumeto correcto, secillo y que sea covicete para el alumo. Ua respuesta posible sería similar a la que sigue. Si comparamos la fórmula que hemos obteido para el área lateral, A = πrh, y la comparamos co la correcta, A = πrg, observamos que la diferecia radica e que se ha sustituido la geeratriz del coo por su altura. Si observamos la columa de cilidros que aproxima al coo, vemos que la geeratriz del coo se halla aproximada por ua serie de segmetos que, e total, mide siempre h co idepedecia del elegido. De este modo, o se cumple que la logitud de la geeratriz sea el límite de las logitudes de las líeas que la aproxima pues dicho límite es h. Así pues, lo que hemos justificado es que la logitud de la líea límite o es el límite de las logitudes de las líeas que la aproxima. Por lo tato, puesto que dicha logitud juega u papel importate e el cálculo del área lateral, tampoco el área lateral obteida como límite de áreas laterales de columas de cilidros será válida. Si embargo, como e el caso del volume sólo iterviee el área de la base y la altura (que está siempre fijas co idepedecia del valor de ), la fórmula obteida sí que será válida. Bibliografía Arezaa, V., Buera, P. & Verge, C. (1978). Matemáticas C.O.U. Tafalla: Celit. Bruño (1969). Matemáticas. Curso Superior. Madrid: Bruño. Dubov, Ya.S. (1994). Errores e las Demostracioes Geométricas. Madrid: Rubiños-1860. Edebé (2008) Matemáticas II. Bachillerato. Madrid: Edebé Ortega, J.M. (1993). Itroducció al Aálisis Matemático. Barceloa: Labor. Piskuov, N. (1980). Cálculo Diferecial e Itegral. Volume I. Moscú: Mir. Salas, S.L. & Hille, E. (1994). Calculus. Barceloa: Reverté.
Gómez, M.D. (2008) Maemáticas 2º de Bachillerato. Proyecto la Casa del Saber. Satillaa: Barceloa Spivak, M. (1996). Cálculo Ifiitesimal. Barceloa: Reverté. Vizmaos, J.R. & Azola, M. (1998). Algoritmo. Matemáticas I, C.O.U. Madrid: S.M. 1 La bibliografía reseñada o pretede, i mucho meos, ser exhaustiva. Se trata úicamete de los textos a los que el autor tiee u acceso más directo. 2 De hecho, puede costituir u iteresate tema de trabajo que propoer a los alumos iteresados para que ivestigue por su cueta. Precisamete este trabajo autóomo es lo que puede dar lugar a situacioes como la presetada e este artículo. 3 Pesado e la implemetació e el aula, podría propoerse la recopilació de todos estos igredietes a los alumos vía iteret como u trabajo previo. 4 Además de que la misma situació os sirve para mostrar u caso e el que el paso al límite sí fucioa (y os permite obteer la fórmula del volume del coo) y u caso e el que o.