Estructurs Discrets Uidd 3 Teorí de úmeros
Coteido. Divisiilidd, Números rimos Teorem fudmetl de l ritmétic. 2. Algoritmo de l divisió Máximo comú divisor y míimo comú múltilo, Algoritmo de Euclides. 3. Cogruecis. 4. Aliccioes: critogrfí (Diffie-Hellm, RSA), geerció de úmeros seudoletorios.
Itroducció L teorí de úmeros es u rm de ls mtemátics que se ocu de los úmeros eteros. Nce co los rolems de l divisiilidd de úmeros turles, siedo los griegos los rimeros que lleg oteer roosicioes geerles de l mism, esecilmete e los liros VII y IX de Euclides. Guss se le cosider como el credor de est.
Divisiilidd Defiició: Si 0, so eteros, se dice que divide si existe u etero c tl que c= (o, o diremos que es múltilo de ). es divisor de, divide, es fctor de. Si o divide, se escrie: Ejemlo: c Z tl que 20 = 4. 5, es decir, 4 20. Tmié, -4 20 sí 20=(- 4)(-5). c
L relció de divisiilidd es reflexiv y trsitiv, ero o es simétric i tisimétric.
Teorem Z k k,. 2. c c 3. Z m c m c c c,,,, ), ( 4.. {0},. 5 k k Z k 0. 6
Demostrció. Existe u Z tl que u=. Etoces, (uk)=k y sí k. 2. Oserve que or defiició, i 0 i 0 si y. Existe eteros, u, u co u= y u =. Así uu =u =, y si uu =. De esto, u, u so eteros, etoces u=, u =. Por lo tto, =.
3. Existe eteros u, v co u=, v=c. Por lo tto uv=c, y sí c. 4. Existe eteros s, t co sc=, tc=. Etoces m+=c(sm+t), ddo c (m+). 5. Existe u etero u co u=. Etoces (k)u=k, y sí etoces k k. Y que k 0 ulmos ls k s y or lo tto (k)u=k etoces u= etoces, rodo lo cotrrio. 6. Y que 0 existe u etero u 0 co u=. Así u y etoces.. u = u =.
Números rimos Defiició U úmero etero Z se dice que es rimo si y sólo si 0, y sus úicos divisores so el y. U úmero etero es comuesto si o es rimo. Si es rimo etoces es rimo.
Pr determir si u etero ositivo es comuesto, es suficiete co ror si lguo de los eteros 2,3,, - Divide. Si lgú etero e est list divide, etoces es comuesto; de lo cotrrio es rimo. Ejemlo: Por isecció, se ecuetr que igú elemeto de l list 2,3,4,5,, 4, 42 Divide 43; etoces 43 es rimo. Pr 45, se ecuetr que divide 45 (45=*4), sí 45 es comuesto. Pr determir si u etero > es rimo, se verific los divisores oteciles: 2,3,, - E relidd es suficiete co verificr: 2,3,, (-) /2
Teorem fudmetl de l ritmétic Suogmos que existe u lgoritmo que otiee los fctores rimos de u umero comuesto: Ejemlo: 274 274= 2*637 637=7*9 9=7*3 Etoces 274 = 2*7*7*3= 2*7 2 *3 De hecho, los fctores rimos so úicos. Este resultdo se cooce como teorem fudmetl de l ritmétic o teorem de fctorizció úic.
Teorem fudmetl de l ritmétic Todo úmero etero distito de +,- y 0 dmite u descomosició úic como roducto de úmeros rimos ositivos, es decir:
Ejercicio Ecuetre l descomosició rim de: 9, 47, 209, 637 30, 05, 82320 950796, 23, 007 Cules so rimos?
Máximo comú divisor El máximo comú divisor de dos eteros m y ( 0) es el etero ositivo más grde que divide los dos: m y. Ejemlo: Máximo comú divisor de: 4 y 6 es 2. Máximo comú divisor de: 3 y 8 es.
Máximo comú divisor Defiició Se m y eteros distitos de cero. U divisor comú de m y es u etero que divide tto m como. El máximo comú divisor, escrito mcd(m,) Es el divisor comú de m y más grde. Ejemlo: Divisores de 30:, 2, 3, 5, 6, 0, 5, 30 Divisores de 05:, 3, 5, 7,5, 2, 35, 05 Divisores comues de 30 y 05:, 3, 5, 5 Etoces mcd(30, 05)=5
Ejemlo: Utilizdo sus fctorizcioes rims: 30= 2*3*5 05=3*5*7 De esto oservmos que 3 es u divisor comú y 5 tmié es u divisor comú y demás 3*5=5 es u divisor comú. Etoces 5 es el máximo comú divisor de 30 y 05.
Teorem 8 Se m y eteros, m >, >, co fctorizcioes rims: y Si el rimo i o es u fctor de m o de, i =0 o i =0 resectivmete. Etoces 2 m 2... 2 2... 2 mcd ( m, ) mí(, ) mí( 2, ) 2... mí (, )
Ejemlo: 82320=2 4 *3 *5 *7 3 * 0 950796=2 2 *3 2 *5 0 *7 4 * Etoces mcd(82320,950796)=2 mi(4,2) *3 mi(,2) *5 mi(,0) *7 mi(3,4) * mi(0,) mcd(82320,950796)=2 2 *3 *5 0 *7 3 * 0 =46
Ejercicio Ecuetre: mcd(0,7) mcd(0,273) mcd(20, 40) Mcd(33,993)
Algoritmo de Euclides Si dividimos el etero o egtivo etre el etero ositivo, oteemos u cociete q y u residuo r que stisfce: Ejemlo: =q+r, 0 r<, q 0 =22, =7, q=3, r=; 22=7*3+ =24, =8, q=3, r=0; 24=8*3+0
Teorem 9 Si es u etero o egtivo, es u etero ositivo y Etoces =q+r, 0 r<, mcd(,)=mcd(,r) Dem: Se c u divisor comú de y. Etoces c q. Como c y c q, etoces c -q(=r). Así, c es u divisor comú de y r. Recírocmete: si c es u divisor comú de y r, etoces c q y c q+r(=) y c es u divisor comú de y. Esto imlic que mcd(,)=mcd(,r)
Ejemlo: Si dividimos 05 etre 30, oteemos: 05=30*3+5 Por el teorem 9: mcd(05,30)=mcd(30,5) Si dividimos 30 etre 5, oteemos 30= 5*2+0 El residuo es 0. Por el teorem terior: Mcd(30,5)=mcd(5,0) Por isecció, mcd(5,0)=5. Por tto, mcd(05,30)=mcd(30,5)=mcd(5,0)=5 Este cálculo lo ilustr el lgoritmo de Euclides
Ejercicios Determie eteros q y r tles que =q+r, co 0 r< =45, =6 =06, =2 =66, = =06, =2
Algoritmo de Euclides Algoritmo que determi el mcd de los eteros o egtivos y, o ulos. Etrd: 0 y 0 Slid: mcd(,)
Ejercicio Utilice el lgoritmo de Euclides r determir el mcd de cd r de úmeros 60, 90 220, 400 209, 4807 0, 273
Míimo comú múltilo Defiició Se m y eteros ositivos. U multilo comú de m y es u etero que es divisile tto etre m como etre, mcm(m,) es el múltilo comú ositivo más equeño de m y. Ejemlo: Mcm(30,05)=20 Porque 20 es divisile etre los dos (30 y 05) y igú etero ositivo meor que 20 es divisile or mos, 30 y 05.
Míimo comú múltilo Utilizdo fctorizcioes rims Ejemlo: 30=2*3*5 05=3*5*7 L fctorizció rim de mcm(30,05) dee coteer 2, 3 y 5 como fctores (r que 30 divid mcm(30,05)). Tmié dee coteer 3, 5 y 7 (r que 05 divid mcm(30,05)). El úmero más equeño co est roiedd es: 2*3*5*7=20 Por lo que, mcm(30,05)=20
Míimo comú múltilo Teorem 0 Se m y eteros, m >, >, co fctorizcioes rims Y 2 m 2... 2 2... (Si el rimo i o es u fctor de m, se dej i =0. Igul r ). Etoces 2 mcm( m, ) máx(, ) máx( 2, ) 2... máx (, )
Míimo comú múltilo Ejemlo 82320=2 4 *3 *5 *7 3 * 0 950796=2 2 *3 2 *5 0 *7 4 * Etoces mcm(82320,950796)=2 máx(4,2) *3 máx(,2) *5 má x(,0) *7 máx(3,4) * máx(0,) mcm(82320,950796)=2 4 *3 2 *5 *7 4 * =905920
Míimo comú múltilo Ejemlo: mcd(30,05)=5 mcm(30,05)=20 mcd(30,05)*mcm(30,05)=5*20=350 =30*05
Teorem Pr culesquier eteros ositivos m y, Dem: mcd(m,)*mcm(m,)=m Si m=, etoces mcd(m,)= y mcm(m,)=, sí: mcd(m,)*mcm(m,)=*=m Si =, etoces mcd(m,)= y mcm(m,)=m, sí: mcd(m,)*mcm(m,)=*m=m Si m > y > Comido los teorems teriores de mcd y mcm, co el hecho de que: mí(x,y) + máx(x,y)=x + y r tod x y y. Esto es verddero orque uo de {mí(x,y), máx(x,y)} es igul x y el otro y.
Se escrie ls fctorizcioes rims de m y como (si el rimo i o es u fctor de mi, se hce i=0. Si el rimo i o es u fctor de, se hce i=0). Por el teorem 9 Y or el teorem 0 Por lo tto, m... 2 2... 2 2 ), ( ), ( 2 ), (... ), ( 2 2 máx máx máx mcm m ), ( ), ( 2 ), (... ), ( 2 2 mí mí mí m mcd m máx mí máx mí máx máx máx mí mí mí ]... ][... [...... ]... [ ]... [ mcd(m,) * mcm(m,) 2 2 2 2 ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( 2 ), ( ), ( ), ( 2 ), (
Ejercicios Determir el mcm de cd r de úmeros 60, 90 220, 400 209, 4807 0, 273 Pr cd ejercicio verifique que mcd(m,)*mcm(m,)=m
Teorem 2: El lgoritmo de Teorem: l divisió Si, so eteros co >0 etoces existe q, r eteros úicos, co =q+r, 0 r< Dode q es el cociete y r el residuo
Cogrueci Defiició Se u etero ositivo, >. Pr, eteros, se dice que es cogruete co módulo y se escrie (mod ), si (-) o =+k, k u etero. Ejemlo: 7 2(mod 5), 5 (7-2), 7=2+3*5, k=3-7 -49(mod 6), 6 (-7+49)
A es cogruete co módulo m, ( ), si m - m Ejemlo: 25 32, 7 32=4+7*4 25=4+7*3 32-25=7*(4-3)
Ejemlo 7-28 3-28=2+3*(-0) 7=2+3*5-28-7=3*(-0-5) Oteemos que 32-25 es múltilo de 7 y -28-7 es múltilo de 3, l coicidir los vlores de los restos, 4 y 2 resectivmete
Teorem Se, eteros, m>0: mod m = mod m. Demostrció m
Demostrció Ddos,, m eteros m>0 existe c,r,c,r úicos tles que =cm+r, 0 r<m () =c m+r, 0 r <m Demostrmos m (-) m (r-r ) [-=(c-c )m+(r-r )] r-r =0 [0 r-r <m or ()] r=r m mod m = mod m
mod m = mod m m r=r -=m(c-c ) Ddo u úmero etero, sumádole y restádole reiterdmete m oteemos ls sucesioes de los úmeros cogruetes co módulo m.
Ejemlo Sucesioes de los úmeros cogruetes co 7 módulo 5: 7, 2, 7, 22, 27, 32, 2, -3, -8, -3, -8 Sucesioes de úmeros cogruetes co 0 módulo 3: 0, 3, 6, 9, 22, 7, 4,, -2, -5, -8
Teorem Ddo u etero m>0: m existe u etero k tl que = +km Demostrció m m - existe u etero k tl que -=km =+km Existe u etero k tl que =+km km=- m -. m
Por el teorem terior, ddo u úmero etero m>0, Z qued dividido e m clses de cogrueci de Z modulo m, que reresetmos or 0,,..., m y se defie: Clse de los úmeros cogruetes co 0=0 es {, -2m, -m, 0, m, 2m, }
Clse de los úmeros cogruetes co = es {, -2m+, -m+,, m+, 2m+, } Clse de los úmeros cogruetes co 2=2 es {, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2, } Clse de los úmeros cogruetes co m-=m- es {, -2m+(m-), -m+(m-), m-, m+(m-), 2m+(m-), } Fijdo u m, todo úm etero erteece u y sólo u clse de cogrueci módulo m. i={, -2m+i, -m+i, i, m+i, 2m+i, } Ddo u m>0, l cojuto de clses de cogrueci de Z módulo m lo desigmos Z(m)={ } 0,,..., m
Ejemlo