CALCULO DE CENTROS DE MASA: PLACAS Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: b b( 1 k 3 ) Soluión: I.T.I. 1,, I.T.T. 1, En primer lugr, ntes e iniir los álulos el C.M., vmos eterminr el vlor e l onstnte k pr l urv. Pr se nul el vlor e, on lo que euimos que k 3. L urv viene por lo tnto por l euión: b 1 3 3. Pr lulr l ooren el C.M. será onveniente iviir l pl en ifereniles e áre uos puntos posen un ooren l mism pr toos ellos. Vmos por lo tnto iviir l pl en bns vertiles e espesor. El áre e bn será: A b 1 3 3 El áre e to l pl será por lo tnto: A A b 1 3 3 b 3 L ooren el C.M. será: 3 b A b 1 3 3 b 5 5 3 C.M. A A 5 3 1 b Pr lulr l ooren el C.M. serí onveniente iviir l pl en ifereniles e áre uos puntos poseern un ooren l mism pr toos ellos, es eir en bns horizontles e espesor, sin embrgo poemos
provehr los mismos ifereniles e áre el álulo nterior. Si similmos bn vertil un segmento vertil homogéneo e longitu, sbieno que l posiión que represent en iert form iho segmento es l posiión e su entro e mss que se enuentr mit e ltur, poemos tomr ih posiión omo l posiión representtiv e l bn: 1 bn A A b 1 3 3 1 b + 7 3 7 6 C.M. A bn A 3 7 b 9 8 b 5º r R os( θ) Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: r θ 5º Soluión: I.T.I. 1, I.T.T. 1, Visto que nos n l epresión e l urv que efine l pl en oorens polres, trbjremos en iho tipo e oorens. Poemos iviir l pl en setores ngulres e bertur θ. C setor ngulr poemos soirlo un triángulo (isóseles en nuestro so), omo sbemos l posiión el C.M. e un triángulo (situo un terio e l ltur sobre l bse) tomremos ih posiión omo l representtiv e setor ngulr. r 3 r θ r θ El áre e to l pl será por lo tnto: A A r( rθ) R os ( θ)θ 1 θ R + 1 sen ( θ ) 8 8 R
L ooren el C.M. será: setor A rosθ A 3 3 R3 os 3 ( θ)osθ θ 1 3 3 R3 8 sen( θ) + 1 sen 3θ 8 ( ) + 1 sen 5θ ( ) + 1 56 C.M. A setor A 18 15 R.59R sen ( 7θ ) 16 15 R3 El álulo e l ooren el C.M. no es neesrio herlo que el eje X es un eje e simetrí e l pl por lo tnto el C.M. se enontrrá en él, on lo que: C.M. Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: m k b Soluión: I.T.I. 1,, I.T.T. 1, En primer lugr, ntes e iniir los álulos el C.M., vmos eterminr el vlor e ls onstntes m k pr ls os urvs. Pr tenemos que b, on lo que euimos que m b k b. Ls os urvs vienen s por lo tnto por ls euiones: 1 b b. Pr lulr l ooren el C.M. será onveniente iviir l pl en ifereniles e áre uos puntos posen un ooren l mism pr toos ellos. Vmos por lo tnto iviir l pl en bns vertiles e espesor. El áre e bn será:
( ) b A 1 El áre e to l pl será por lo tnto: A A b b 3 3 1 6 b L ooren el C.M. será: A b b 3 3 C.M. A A 1 1 1 b Pr lulr l ooren el C.M. serí onveniente iviir l pl en ifereniles e áre uos puntos poseern un ooren l mism pr toos ellos, es eir en bns horizontles e espesor, sin embrgo poemos provehr los mismos ifereniles e áre el álulo nterior. Si similmos bn vertil un segmento vertil homogéneo e longitu 1, sbieno que l posiión que represent en iert form iho segmento es l posiión e su entro e mss que se enuentr mit e ltur, poemos tomr ih posiión omo l posiión representtiv e l bn: bn A 1 + A b + b b 1 b 3 3 5 5 C.M. bn A A 6 15 b 1 15 b
Determinr el entro e grve e l pl e l figur. Soluión: I.T.I., I.T.T. 99, 3 mm 3 mm 18 mm Desomponemos nuestr piez en tres piezs más senills, un e ls ules ontribue negtivmente: h 1 + h θ R 1 ( R senθ )h 1, r 1, h + 1 3 h 1 A 1 ( R senθ )h, r, 3 h A 3 θ R R senθ,, 3θ r C.M. A 1r 1 + A r A 3 + A A 3 (, 35) mm z mm Determinr el entro e mss e un ppeler e bse semiirulr onstrui on un pl homogéne. Soluión: I.T.I., I.T.T. 99, 375 mm Desomponemos nuestr ppeler en tres piezs más senills: un superfiie lterl pln, un superfiie lterl ilínri un fono semiirulr.
RH, A RH, A 3 1 R, r,, H 1 r R,, H R 3,, r C.M. A 1r 1 + A r + A ( 79,161) mm Determinr el entro e mss e l pl homogéne represent en l figur. r r 1 l 1 l Soluión: I.T.I. 3, I.T.T. 3 Consiermos l pl omo l ontribuión e utro piezs senills: un semiiso, un retángulo, un triángulo un gujero irulr. C piez venrá represent por l posiión e su entro e mss el problem es equivlente l álulo el.m. e un sistem e utro prtíuls (un e ells, el gujero irulr, ontribueno negtivmente): + + 1 R.565 m, A R l 1.96 m, A 3 R l.36 m, A R 1.53 m, r 1 R 3, R r l 1, R l 1 + l 3, 3 R r C.M. A 1r 1 + A r A r + A A ( 5.5, 6) m (, 6) m ( 1, ) m r (, R ) (, 6) m ( 3., 5.8) m
Clulr l posiión el entro e mss e l siguiente pl suponieno que su ms está uniformemente istribui por to ell: Soluión: I.T.I. 3, I.T.T. 3 Pr lulr l ooren el C.M. será onveniente iviir l pl en ifereniles e áre uos puntos posen un ooren l mism pr toos ellos. Vmos por lo tnto iviir l pl en bns vertiles e espesor. El áre e bn será: A El áre e to l pl será por lo tnto: A A ln L ooren el C.M. será: ( ) ln A ( ) C.M. A A ln( / ) Pr lulr l ooren el C.M. serí onveniente iviir l pl en ifereniles e áre uos puntos poseern un ooren l mism pr toos ellos, es eir en bns horizontles e espesor, sin embrgo poemos provehr los mismos ifereniles e áre el álulo nterior. Si similmos bn vertil un segmento vertil homogéneo e longitu, sbieno que l posiión que represent en iert form iho segmento es l posiión e su entro e mss que se enuentr mit e ltur, poemos tomr ih posiión omo l posiión representtiv e l bn: 1 bn A A 1 C.M. A bn A ln( / )