4 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR Tem 3 Itegrl de Riem 3. Sums iferiores y superiores 3.. Prtiioes de u itervlo Defiiió 26.- Se llm prtiió de u itervlo errdo [, ] ulquier ojuto fiito de putos P = {,,..., tles que = < < < =. U prtiió divide l itervlo omo uió de itervlos más pequeños, es deir, [, ] = [, ] [, 2 ] [ 2, ] [, ] = [ i, i ] L logitud de estos suitervlos se deomi iremeto de i y se represet por i = i i. Deotremos por P[, ] l ojuto de tods ls prtiioes del itervlo errdo [, ]. Cosiderdo e el ojuto l relió de orde de ilusió, diremos que P 2 es más fi que P, si P P 2. Como P 2 tiee todos los putos de P y quizás lguo más, d suitervlo oteido o P 2 está oteido e lguo de los ddos por P, es deir, l prtiió dd por P 2 es más fi que l dd por P. Ejemplo Se [, ], etoes P = {, 4, 24, 34, es u prtiió de [, ], que prte el itervlo e 4 trozos [, ] = [, 4 ] [ 4, 2 4 ] [ 2 4, 3 4 ] [ 3 4, ], de igul logitud i = 4, pr i =, 2, 3, 4. L prtiió P = {, 4, 3, 24, 34, es más fi que P y l prtiió P 2 = {, 24, es meos fi que l prtiió P. Es deir, P 2 P P. { Se [, ], etoes l prtiió P =, + e suitervlos de logitud : [, ] = [ k= 3..2 Sums iferiores y superiores, + 2 + k,..., + ], + k., divide l itervlo [, ] Defiiió 262.- Se f: [, ] IR u fuió otd y P P[, ]. E d suitervlo [ i, i ], osidemos el iferior y el superior de f e él: m i = if{f : i i M i = sup{f : [ i, i ]. Llmreos sum iferior de f pr l prtiió P l vlor Lf, P = m i i i = y llmremos sum superior de f pr l prtiió P Uf, P = M i i i = M i i. m i i Si l fuió es positiv, gráfimete ls sums iferiores sigifi dr u ot por defeto del vlor del áre que eierr l fuió o el eje de iss es l sum de ls áres de los retágulos de se i y ltur m i, y ls sums superiores u ot por eeso del vlor del áre. E l figur de l dereh, el vlor de l sum iferior es el áre de l zo gris osuro y el vlor de l sum superior el de dih zo más ls áres de los retágulos superiores. Puede oservrse omo el áre que eierr l urv está preismete etre mos vlores. M m Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
42 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.2 Itegrl de u fuió rel de vrile rel Ejemplo 263 Si tommos f: [, ] IR dode f = 2, y l prtiió P = [, ] = [, 3 ] [ 3, 2 3 ] [ 2 3, ] y que = 2 = 3 = 3. Luego {, 3, 23,, se tiee que m = if{2 : [, 3 ] = M = sup{2 : [, 3 ] = 2 3 m 2 = if{2 : [ 3, 2 3 ] = 2 3 M 2 = sup{2 : [ 3, 2 3 ] = 4 3 m 3 = if{2 : [ 2 3, ] = 4 3 M 3 = sup{2 : [ 2 3, ] = 2 Lf, P = 3 + 2 3 3 + 4 3 3 = 2 3 Uf, P = 2 3 3 + 4 3 3 + 2 3 = 4 3 Como el áre eerrd por l fuió es es el áre de u triágulo de ltur 2 y se, se verifi que Lf, P = 2 3 4 3 = Uf, P. Propieddes 264.- Se f: [, ] IR u fuió otd. Pr tod P P[, ], se verifi que Lf, P Uf, P. Pr tods P, P 2 P[, ] o P P 2, se verifi que Lf, P Lf, P 2 y Uf, P 2 Uf, P. Pr ulesquier P, Q P[, ], se verifi que Lf, P Uf, Q. Corolrio 265.- Se f: [, ] IR u fuió otd y P P[, ]. Etoes, pr tod P P[, ] o P P, se verifi que Uf, P Lf, P Uf, P Lf, P. Demostrió: Usdo ls propieddes y teriores, se tiee l de de desigulddes Lf, P Lf, P Uf, P Uf, P, etoes, restdo etre si los elemetos etremos y los etrles, se tiee Uf, P Lf, P Uf, P Lf, P. 3.2 Itegrl de u fuió rel de vrile rel Se f: [, ] IR u fuió otd, los ojutos de úmeros reles A = {Lf, P : P P[, ] y B = {Uf, P : P P[, ] so o víos. Por l propiedd de 264, el ojuto A está otdo superiormete ulquier sum superior es ot superior de A y por tto tiee etremo superior, que deotmos por I, y l que deomiremos itegrl iferior de f e [, ]. Es deir, I = sup A = sup { Lf, P : P P[, ]. Aálogmete el ojuto B está otdo iferiormete ulquier sum iferior es ot iferior de B y por tto tiee etremo iferior, que deotmos por I, y l que deomiremos itegrl superior de f e [, ]. Es deir, { I = if B = if Uf, P : P P[, ]. Como ulquier elemeto de A es meor o igul que ulquier elemeto de B, se tiee que I I. Defiiió 266.- Se f: [, ] IR u fuió otd. Se die que f es itegrle si y sólo si I = I. El vlor I = I = I, se deomi itegrl de Riem de l fuió f e [, ], y se represet por I = f ó I = f d si se quiere poer éfsis e l vrile usd Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
43 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.2 Itegrl de u fuió rel de vrile rel Teorem 267.- Codiió de itegrilidd de Riem U fuió f: [, ] IR otd es itegrle Riem si, y sólo si, pr todo ε > eiste u prtiió P ε P[, ] tl que Uf, P ε Lf, P ε < ε. Demostrió: = Se f itegrle Riem y se ε >. Como I = I es el iferior de ls sums superiores y I = I es el superior de ls sums iferiores, eiste u prtiió P y eiste u prtiió P 2, tles que Uf, P I < ε 2 y I Lf, P 2 < ε 2. Tomdo P ε = P P 2, se tiee que P P ε y P 2 P ε y, por tto, Uf, P ε Uf, P y Lf, P 2 Lf, P ε. Luego Uf, P ε I Uf, P I < ε 2 y I Lf, P ε I Lf, P 2 < ε 2, y sumdo ms desigulddes Uf, P ε Lf, P ε < ε. = Reípromete, supogmos que pr ulquier ε > eiste u prtiió P ε P[, ] tl que Uf, P ε Lf, P ε < ε. Semos tmié que I Uf, P ε y Lf, P ε I, restdo etoes ms epresioes oteemos luego I = I. I I Uf, P ε Lf, P ε < ε, Propieddes 268.- Se f, g: [, ] IR itegrles e [, ], λ IR y < <. Etoes.- f + g es itegrle e [, ] y f + g = 2.- λf es itegrle e [, ] y λf = λ f + 3.- f itegrle e [, ] si, y sólo si, f es itegrle e [, ] y [, ]. E ese so, f = f + f. f. g. Defiiió 269.- Por oveio, ; f d. Como oseuei de est defiiió l propiedd 3 puede geerlizrse ulquier IR, siempre que l fuió se itegrle e los itervlos orrespodietes, es deir: Proposiió 27.- Se [, ] IR y IR. Etoes f d + f d, siempre que ls itegrles eist es deir, que f se itegrle e los itervlos orrespodietes. Demostrió: Se álogmete si. Si f es itegrle e [, ], por l propiedd 3, luego f d + f d, f d f d + f d. Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
44 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.2 Itegrl de u fuió rel de vrile rel 3.2. Sums de Riem Defiiió 27.- Se f: [, ] IR u fuió otd. Pr d prtiió P P[, ] elijmos u ojuto E = {e, e 2,..., e tl que e i [ i, i ] pr todo i =,...,. Se llm sum de Riem de l fuió f pr l prtiió P y el ojuto E l úmero Sf, P, E = fe i i. Oservió: Es lro que pr ulquier P y ulquier ojuto E elegido, Lf, P Sf, P, E Uf, P, pues, pr todo i =,...,, se verifi que m i fe i M i pr ulquier e i [ i, i ]. M i fe i m i Fig. 3.. Sums de Riem. Lem 272.- Se f: [, ] IR otd y P P[, ]. Pr ulquier ε > es posile elegir dos ojutos E y E 2 soidos P de form que Sf, P, E Lf, P < ε y Uf, P Sf, P, E 2 < ε. Demostrió: Proremos solmete l primer y que l segud se prue de form álog. Se ε >. Pr d i =,...,, por ser m i = if{f : [ i, i ] eiste e i [ i, i ] tl que fe i m i < ε, y se E el ojuto formdo por estos e i. Etoes Sf, P, E Lf, P = fe i m i i < ε i = ε i = ε. Proposiió 273.- Se f: [, ] IR u fuió otd. Etoes f es itegrle e [, ] y el vlor de su itegrl es I si y sólo si pr d ε > eiste P ε P[, ] tl que pr tod P más fi, P ε P, y ulquier eleió del ojuto E soido P se umple que Sf, P, E I < ε. 3.2.2 Otrs propieddes de l itegrl Proposiió 274.- Se f: [, ] IR itegrle e [, ] y tl que f e [, ], etoes Demostrió: Es lro, pues pr ulquier P P[, ] se tiee que Lf, P I = f. f. Corolrio 275.- Se f y g itegrles e [, ] tles que f g e [, ]. Etoes f g. Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
45 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.2 Itegrl de u fuió rel de vrile rel Demostrió: Como g f, se tiee g f = g f. Luego f g. Proposiió 276.- Se f itegrle e [, ], etoes f es itegrle e [, ] y se verifi que f d f d. Corolrio 277.- Se f: [, ] IR itegrle e [, ]. Pr ulesquier, d [, ] se verifi que f d f d. Demostrió: E efeto, si d es l proposiio 276. Si d, se tiee luego d f d f d d f d f d. f d = f d f d d f d, Proposiió 278.- Si f y g so itegrles e [, ], etoes fg es itegrle e [, ]. 3.2.3 Algus fuioes itegrles Proposiió 279.- Se f: [, ] IR u fuió moóto. Etoes f es itegrle e [, ]. Demostrió: Supogmos que f es moóto reiete álogo pr dereiete. Etoes, pr ulquier prtiió P P[, ] se tiee que m i = f i y M i = f i, pr todo i =, 2,...,. E prtiulr, si P es l prtiió equiespid de [, ], o i = + i, es deir, P = {, + y i =, pr todo i, se tiee que Uf, P Lf, P =, + 2 f i i =,..., + f i i = f i f i, + = = Luego tomdo sufiietemete grde pr que < ε f f, etoes f i f i f f Uf, P Lf, P = ε f f < f f = ε. f f. Teorem 28.- Se f: [, ] IR u fuió otiu e [, ]. Etoes f es itegrle e [, ]. Teorem 28.- Se f: [, ] IR u fuió otd e [, ] y otiu e [, ] slvo so e u tidd umerle de putos de diho itervlo. Etoes f es itegrle e [, ]. Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
46 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.3 Itegrió y derivió 3.3 Itegrió y derivió Teorem 282.- Se f: [, ] IR itegrle e [, ], o <, y m f M pr todo [, ]. Etoes m f d M. Demostrió: Por ser m f M pr todo [, ], se tiee que etoes ver ejeriio 3.66 m Not: Como m d f d M d, f d M, luego m f d M. f d, tmié es ierto que m f d M. Teorem de l medi 283.- Se f: [, ] IR u fuió otiu e [, ], etoes eiste ξ [, ] tl que fξ. Demostrió: Al ser f otiu e [, ], lzrá el míimo y el máimo e [, ]. Se éstos m y M respetivmete. Por el teorem terior 282, m míimo y el máimo; por osiguiete, eiste ξ [, ] tl que fξ = Defiiió 284.- Se f: [, ] IR itegrle e [, ]. F = f d M y, por ser f otiu, tom todos los vlores etre el ft dt reie el omre de fuió itegrl de l fuió f. f d. L fuió F : [, ] IR defiid de l form Teorem 285.- Se f: [, ] IR itegrle e [, ]. Etoes su fuió itegrl es otiu e [, ]. Demostrió: Como f está otd e [, ], eiste M IR tl que f M, pr todo [, ]. Se etoes [, ], l fuió F estrá defiid e todos los putos de l form + h siempre que < + h <, luego F + h F = +h ft dt ft dt = +h ft dt. Como M f M pr todo [, ], por el teorem 282 y l oservió posterior, se tiee que y, por tto, Tomdo límites, udo h, M h +h F + h F = h h ft dt M, +h ft dt M h. lím F + h F =. 3. h Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
47 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.3 Itegrió y derivió y, por tto, F es otiu e [, ]. Teorem fudmetl del álulo 286.- Se f: [, ] IR itegrle y F = ft dt su fuió itegrl. Si f es otiu e [, ], etoes F es derivle e [, ]. F = f, pr todo [, ]. Demostrió: Se,. L fuió F estrá defiid e todos los putos de l form + h siempre que < + h <, etoes F + h F lím = lím h h h +h ft dt h fξh = lím = lím fξ = f, h h h y que, por el teorem de l medi 283, ξ es u puto ompredido etre y + h; y f es otiu e [, ]. Así pues F es derivle pr todo, y F = f. Como F y f so otius e [, ], F es derivle por l dereh e y por l izquierd e, verifiádose que F = f y F = f. Regl de Brrow 287.- Se f: [, ] IR itegrle e [, ]. Si G: [, ] IR es u primitiv de f e [, ], etoes G G. Demostrió: Se ε >. Por ser f itegrle e [, ] eiste P ε P[, ], tl que Uf, P ε Lf, P ε < ε. Aplido el teorem del vlor medio de Lgrge l fuió G, pr d i =, 2,..., eiste e i i, i tl que G i G i = G e i i i = fe i i i. Puesto que m i = if{f : i i y M i = sup{f : i i, se tiee que de dode Como tmié es Lf, P ε y, por tto, m i fe i M i, m i i i fe i i i M i i i m i i i G i G i M i i i m i i G i G i M i i Lf, P ε G G Uf, P ε. f d Uf, P ε, se verifi que f d G G < ε G G. Teorem del Cmio de vrile 288.- Se f: [, ] IR otiu e [, ] y = φt siedo φt y φ t fuioes otius e [α, β] ó [β, α], o φα = y φβ =. Etoes: β α fφtφ t dt. Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
48 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.4 Ejeriios Demostrió: fφtφ t es tmié otiu, luego ls fuioes F = fu du y Gt = t α fφvφ v dv so respetivmete primitivs de f y fφtφ t. Ahor ié, omo F es u primitiv de f, F φt es tmié u primitiv de fφtφ t, luego F φt = Gt + C, pr todo t [α, β]. Pr t = α se tiee F φα = Gα + C, y omo F φα = F = y Gα =, etoes C =. Y pr t = β se tiee F φβ = Gβ, es deir, β α fφtφ t dt. 3.4 Ejeriios 3.66 Compror que l fuió f = k, dode k es ostte, es itegrle e ulquier itervlo [, ] de IR y lulr el vlor de l itegrl. 3.67 Compror que l fuió f = de itegrilidd de Riem. {, si [, ] 2, si, 2] es itegrle Riem e [, 2]. Utilizr l odiió 3.68 Justifir rzodmete l flsedd de ls siguietes firmioes: Uf, P = 4 pr P = {,, 3 2, 2 y Uf, P 2 = 5 pr P 2 = {, 4,, 3 2, 2. Lf, P = 5 pr P = {,, 3 2, 2 y Lf, P 2 = 4 pr P 2 = {, 4,, 3 2, 2. Tomdo P P[, ], i Lf, P = 3 y Uf, P = 2. ii Lf, P = 3 y Uf, P = 6 y iii Lf, P = 3 y Uf, P = 6 y 2.. 3.69 Se se que siguietes itegrles: 6, 2 4 y 5 2. Hllr el vlor de d u de ls 5 f d 2 f d 5 f d. 3.7 Se f derivle y F = 3.7 Se f = ft dt. Es ierto que F = f t dt? Por qué? +se 2 t dt. Clulr f y f, idido sus domiios de defiiió. 3.72 Hllr f, idido su domiio de defiiió, pr f = f = 3 +se 2 t dt. f = se +se 2 t dt. d f = +se 2 t dt 3. +se 2 dt t +se 2 t dt. Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd
49 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR 3.4 Ejeriios 3.73 Hllr el domiio y l epresió de f pr d u de ls siguietes fuioes: f = 47 3.74 Si f es otiu, lulr F, siedo F = se os t dt f = t dt f = set 2 dt 2 ft dt. 3.75 Pror que si f: IR IR es otiu y periódi de periodo T, etoes 3 +T T f d IR. 3.76 Demostrr que si f: IR IR es otiu, etoes 3.77 Demostrr que se verifi l iguldd ufu du = u ft dt du. f + d. Como oseuei, pror que si f + = f, etoes y usr este resultdo pr lulr 3π 4 π 4 + 2 se d. f d, 3.78 Se f: IR IR estritmete reiete y otiu, o f =. Clulr los etremos de l fuió +3 ft dt. 3.79 Dd l fuió f estritmete reiete e IR, o f =, y otiu, estudir el reimieto, dereimieto y los etremos de F = 3 2 2 + ft dt. 3.8 Eotrr los vlores de pr los que l fuió F = 3.8 Se f: [, ] IR de lse, tl que f = f = y ff d = 2. 3.82 Se f y g fuioes reles otius e [, ] que verifi que g d. Demostrr que eiste u puto [, ] tl que f = g. 3.83 Se defie l fuió et por B, m = te t2 dt lz lgú etremo. f 2 d =. Pror que m d pr, m IN,, m >. Pror que B, m = Bm,.!! Pror que B, = B, = +!. Pror que si, m 2, B, m = m m B, m + = B +, m y deduir de ello que! m! B, m = + m!. Prof: José Atoio Ai Vi I.T.I. e Eletriidd