DERIVADA Interpretación Geométrica Objetivo: Encontrar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto ao e ella. Para precisar correctamente la iea e tangente a una curva en un punto, se utilizará la noción e límite. En efecto, sea P un punto fijo sobre la curva corresponiente a la gráfica e la función y f () y sea Q otro punto e esta curva. La recta que pasa por P y Q se conoce como secante a la curva, entonces la tangente a la curva en es la posición límite (cuano eiste) e la recta secante cuano Q se mueve hacia P
La peniente e la recta tangente, la velocia instantánea y la ensia e un material son manifestaciones e la misma iea básica. Eisten otras versiones e este concepto en el campo e la Ingeniería Química, Economía, Biología, etc. Un buen sentio matemático sugiere la necesia e estuiar este concepto inepenientemente e las iversas aplicaciones. DEFINICION DE DERIVADA Sea una función efinia en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite eiste Dicho límite, cuano eiste, se llama DERIVADA e f en a y se enota por f '( a). EJEMPLO FORMAS ALTERNATIVAS PARA LA DERIVADA
Observación: Esta forma e escribir la erivaa facilita el cálculo el límite.
En el caso particular en que la variable inepeniente coincie con el tiempo entonces la epresión mie la razón e cambio (o tasa e variación) instantánea e y con respecto a t cuano Hasta el momento se ha hablao e "erivaa en un punto". Esto sugiere la necesia e efinir la erivaa en cualquier punto, esto es, efinir la función erivaa. Definición Sea f una función. La Derivaa e f es la función f` cuyo ominio Dom f es el conjunto e puntos en que f es erivable, está efinia por Notación: Si e y están relacionaos por la ecuación, poemos escribir Ejemplo:
Se ebe notar que f '(0) no eiste si 0 Teorema Nota: Si f es erivable en, e moo que Dom f R 0 o, entonces es continua en o Si la gráfica e una función termina en punta entonces es continua, pero no iferenciable. Propieaes: TECNICAS DE DERIVACION Ejemplo:
3) (Algebra e Derivaas) Sean f y g funciones iferenciables entonces Ejemplo:
Ejemplo: Derivaas e algunas funciones elementales: a) Derivaa e la función f Si f ( ) f ( ) b) Derivaa e la función f Si. sen f sen f cos c) Derivaa e la función f cos Si cos f f sen La Derivaa e la función cos es la función sen f ) Derivaa e la función log a f log a f logae Si e) Derivaa e la función f Ejemplo: Si f Ln f Ln 3sen 3 sen 4 4 5 4 3 cos 4 5 5
Ejemplo 3 3 8 3 8 3 3 3 3 3 83 3 4 3 4 3 3 3 3 9 4 3 3 8 3 3 4 6 3 3 4 Ejemplo a) ( ln ) b) ( c) ln ( ln ) + ln ( ) ( ) + ln + ln. ln ( ) ) ( ln ) ( ln ) ln ( ln ) sen sen sen cos sen cos cos sen Ejemplo cos cos cos cos sen
Derivaas e algunas funciones trigonométricas: ) Derivaa e la función tg Si f ( ) tg f ( ) sec Demostración: tg sen cos ( tg ) ( sen cos cos ( sen ) sen ) ( cos ) ( cos ) cos ( cos ) sen ( sen ) ( cos ) cos Luego ) Derivaa e la función sec sec f sec cos sen cos Si f ( ) sec f ( ) sec tg Demostración. sec ( sec cos ) ( cos ) 0 ( sen ) cos Luego, f ( ) sec tg cos ( ) ( cos ) cos sen cos cos sen sec tg cos cos
3) Derivaa e la función cotg. Si f ( ) cotg f ( ) -cosec 4) Derivaa e la función cos ec f cos ec f cos ec ctg Si Teorema Derivaa e la función Compuesta: Regla e la Caena Si en cierto punto la función u g ( ) es erivable y la función y f ( u ) es valor corresponiente e u en el punto, entonces la función compuesta una función erivable en e y ( f o g )( ) f ( u ) * g ( ) u ó ( f o g ) ( ) f ( g ( ) ) * g ( ) ó y y u * u erivable en el y ( f o g )( ) f ( g ( ) ) es La Derivaa e una Función Compuesta es igual al proucto e la erivaa e esta función respecto a la variable intermeia u por la erivaa e la variable intermeia respecto a. u f ( u ) f ( u ) ; u : variable intermeia. Ejemplo a) Si y f 3 Desarrollo: 5 ; Hallar y
5 3 y u g 5, entonces y 5 u Sea 3 3 y 3 3 u u u y como Entonces hacemos uso e la regla e la u u caena y obtenemos : y y u 3 ( u / ) ( ) 3( + 5 ) / 3 5 u 5 b) Si y cos Desarrollo:, hallar y Sea 5 u y u, entonces cos y y y u u -5 4 sen ( 5 + ) ( cos u ). ( 5 + ) ( -sen u )( 5 4 ) u c) Si y f () Desarrollo: Sea u. Hallar f '( ), entonces y u y y u u u ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y y u u ( u ( ) ) ( )( ( ) ) y ( )( 3 ( ) )
DERIVACIÓN IMPLICITA Es posible hallar sin necesia e espejar y previamente en función e? El proceimiento a emplear se enomina DERIVACION IMPLICITA y consiste en erivar los os laos e la ecuación que efine la función implícita, sin tener que espejar y en forma eplícita. Este proceimiento se puee resumir como sigue
Ejemplo Factorizano y espejano, se obtiene: Derivaas e Oren Superior. Supongamos que la función está efinia en D. Si la función erivaa función erivaa e y f es erivable en un conjunto D, entonces la erivaa f f es erivable en D, erivano f con respecto a, obtenemos la f efinia en D, llamaa Derivaa e Seguno Oren o Seguna Derivaa e f y se enota por : Ejemplo y y" f ",, etc. a) Si y y y sen, entonces cos y sen
b) Si y 5 Ln, entonces y 5 y y" 5 La erivaa e la seguna erivaa se enomina Derivaa e Tercer Oren o Tercera Derivaa e f. En general, la erivaa e la erivaa e oren (n-) se llama Derivaa e n - ésimo Oren y se esigna por : y n n y n ;, f, etc. n n n Nótese que por efinición f f EJERCICIOS PROPUESTOS I.- Determinar la erivaa e las siguientes funciones:.. 3. 4 3 y 3 6 Resp.: y 4 6 y 6 3 5 4 5 y Resp.: y a b a b a+b a b 4. y 5 3 5. 6. 7. 3 y a c Resp.: y 6a b 7 5 y 6 4 b 3 3 y 3 Resp.: y 3 3 m n 8. y m n 9. y Resp.: y a a a a a a 0. y 4 3 y sp y 6 3 Re.: 6 6.
. y b 3. a y Resp.: y a a a 4. f t 5. t t s 4 s s 4 f s Resp.: f s s3 s3 y 3 6. 5 4 7. y a Resp.: y 0 a 8. y a y 3 9. 3. y sen cos 3 sen y cos a y ln a b Resp.: y a b 3. y ln ln Resp.: y ln 4. 5. y ln 3 5 Ejercicios erivación implícita ) Hallar ) Hallar 3) Hallar y 3 3 si 3 0 Resp.: y y y y 6y 3y y 3 3 si 3 Resp.: y y a y y si y y 3
Ejercicios. Obtener lo que se inica 4) Demuestre que yy y " Si y c c f 3 5 hallar y" Resp. y" 8 4 5) 3 f y y 6) 4 4 hallar Resp. 8 5 7 TABLA DE LAS PRINCIPALES FORMULAS DE DERIVACIÓN. f ( ) c, c constante f 0 a ; f f a R f sen f cos cos f f f f sen tg f sec ctg f cos ec sec f cos ec f f f f sec tg f cos ec cot g arc sen f arc tg f a f e f f a Ln a f e f log a f log a e
Ln f f y y cf cf f g y f g y f g g f y fg y f g y y g g f f g