Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde l vrible independiente es el eponente, ests funciones se le llmn funciones eponenciles y se definen sí Se no uno > 0 no cero no negtiv myor que cero diferente de que uno entonces es 0< < o < L figur. ilustr por medio de un intervlo rel los vlores que puede tomr 0 Figur. + + L función: f ( ) = definid f : se llm función eponencil con 0< <, < y ; demás f es biyectiv, Como podemos observr en l figur. puede tener dos posibiliddes por que pr nlizr un función eponencil se deben contemplr los dos csos por seprdo Cso I: < Se f( ) = Construymos su gráfic Pr esto construimos un tbl de vlores como est y Elegimos vlores pr es está: y luego buscmos sus imágenes; un form de llenr l tbl - - - 0 y 0. 0. 0. 4 8
Ahor procedemos relizr l construcción de su gráfic de l función ubicndo los pres ordendos en sistem crtesino. L gráfic termind deberí quedrnos como l figur. Figur. Anlicemos hor el criterio y l gráfic de ést función; recordemos que estmos en el cso en que <. Criterio f ( ) = con <. Dominio IR. Codominio IR + Crcterístics 4. Ámbito 0, + o se IR+. Es cóncv hci rrib 6. No intersec l eje de l bsciss 7. Intersec l eje de ls ordends en el punto ( 0, ) 8. Es estrictmente creciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic, es decir que l función se cerc tnto como puede l eje negtivo pero sin llegr tocrlo, o se
Como estmos en el cso en que < podemos pensr que sin importr l bse de f mientrs cumpl que se myor que uno su grfic será como en l figur. por lo que podemos generlizr ls propieddes de l función nterior tods ls que cumpln con es condición Figur. Cso II: 0< < Se f( ) = Construymos su gráfic Al igul que en el cso nterior hremos un tbl de vlores similr l otr y Escogemos vlores pr y luego buscmos sus imágenes por medio del criterio de l función; un form de llenr l tbl es está: - - - 0 y 8 4 0. 0. 0. Ahor procedemos relizr l construcción de su gráfic de l función ubicndo los pres ordendos en sistem crtesino. L gráfic termind deberí quedrnos como l figur.4 Figur.4 Anlizndo el criterio y l gráfic de ést función y teniendo presente que estmos en el cso en que 0< <
Crcterístics. Criterio f ( ) = con 0< <. Dominio IR. Codominio IR + 4. Ámbito 0, + o se IR+. Es cóncv hci rrib 6. No intersec l eje 7. Intersec l eje de ls y en el punto ( 0, ) 8. Es estrictmente decreciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic, es decir que l función se cerc tnto como puede l eje, pero + est vez hci el positivo sin llegr tocrlo; o se Figur. En el cso en que 0< < su grfic será similr l de l figur. est serí l form generl del tipo de función eponencil de bse entre cero y uno, l igul que el cso I ls propieddes de l función nterior ls tienen tods ls que cumpln con l condición este cso. NOTA: L intersección con el eje de ls ordends de l form ( 0,) si y solo si el eponente de l función es o pues como y sbemos pr encontrr el este punto decimos que es igul cero y por leyes de potenci todo número elevdo l cero es uno
EJERCICIO: Grfique ls siguientes funciones y observe que se cumplen ls propieddes nteriormente descrits. f( ) = (). Ecución Eponencil 4 f( ) = Es l ecución que tiene como eponente l vrible ejemplos de ecuciones eponenciles son: + = + = + = = No hy un regl común pr resolver este tipo de ecuciones, se puede resolver por propieddes y estudids o por logritmos (se estudirán más delnte). NOTA: Resolver un ecución es hllr el vlor o los vlores de l incógnit o incógnits que hcen ciert l iguldd, ests soluciones les llmmos ríces de l ecución Pr resolver ecuciones eponenciles utilizremos tres métodos dos en los que se trbjr en notción eponencil y el más poderoso que es en el que se con logritmos:. Pr el primer método es necesrio que l ecución se de igul bse pues f ( ) g( ) utilizremos l siguiente identidd = f( ) = g( ). Pr el segundo necesitmos introducir nuevs vribles pr poder trnsformr l ecuciones y utilizr el primer método pr resolverls Ecuciones del Primer tipo TEOREMA: Si > 0 y, l ecución MOSTRACIÓN: = f ( ) g( ) es equivlente l ecución f( ) = g( ) = = sí que podemos concluir que si tenemos = = NOTA: Al igul que con un número rel ls leyes de potenci son válids pr ls funciones eponenciles
EJEMPLOS: Resolvmos ls ecuciones:.. = 8 Hcemos uso del teorem = + 7 = 7 = = + Aplicmos el teorem = = Despejmos l vrible. = 9 8 + ( ) = 8 = 8 + 4 + 8= + 4 = = 4 Utilizmos ls leyes de potenci pr obtener l mism bse Utilizmos el teorem Despejmos = 8 8 ( ) ( ) = = 6 = 6 = ( ) + 0, i = ( ) + i = + i = i = 0 0 = = Obtenemos l mism bse por medio de ls leyes de potenci, utilizmos el teorem y despejmos Ecuciones del Segundo tipo
4. Tomndo u = se tiene Resolvmos solo l primer ecución equivlente Como pudimos ver en el ejemplo nterior solo resolvimos l ecución = porque es imposible resolver por métodos lgebricos conocidos l ecución = y que es imposible epresr el número dos como potenci de bse tres, pr esto usremos los logritmos. Logritmos Nótese que l función eponencil es biyectiv por lo tnto podemos firmr que eiste un invers l eponencil, pero cómo despejr en un ecución eponencil de l form y = pr obtener su invers?; los logritmos son l respuest est pregunt. L plbr Logritmo está formd por dos términos griegos que significn: Logos: rzonr o clculr y Aritmos: números En conjunto quiere decir número clculdo. Antes de ls clculdors los logritmos fueron de grn yud pr resolver cálculos ritméticos complejos; pero hoy el uso de los logritmos mnulmente csi h desprecido por el uso de ls moderns clculdors. Los logritmos se utilizn en químic, físic, biologí, ingenierí y otros cmpos. L función eponencil: f ( ) = con > 0, f: IR IR + es un función biyectiv por lo que tiene un invers definid de l siguiente mner: f - : IR + IR Los nombres de ls prtes del logritmo son ls siguientes:
Pr encontrr l función logrítmic prtir de l eponencil, despejmos el eponente de l ecución y = y con esto obtenemos el logritmo de bse y rgumento y. Formlmente un logritmo se define sí: Con, > 0 y. = y log y = L epresión nterior se lee: l y es igul es igul y si y solo si el logritmo en bse de El siguiente digrm eplic simbólicmente como se colocn los dtos pr psr de un representción de un número en su notción eponencil su notción logrítmic y vicevers: NOTACIÓN:. Cundo l bse del logritmo es diez y con rgumento un número en el dominio del logritmo se puede escribir como log0 pero por simplicidd de l notción se prefiere omitir l bse y escribir log, estos logritmos se les llm logritmos comunes o decimles.. L epresión l og b es equivlente log b log Debido que l función está definid pr todos los números reles positivos sin contr el cero y como uno pertenece este subconjunto de los reles podemos ver en notción de potenci que: 0 0 = log = 0 Así que si l bse del logritmo es uno en l notción en bse diez (NOTACIÓN.) tendrímos problems y que como en el ejemplo nterior el logritmo de uno es cero por lo que el denomindor serí cero y esto nos indefine el logritmo por eso su bse debe ser un número rel positivo distinto de cero.
El rgumento debe de ser un número rel positivo y que de no ser sí por se tendrí un problem con l definición del logritmo pues el rgumento no pertenecerí l dominio de l función. NOTACIÓN:. Cundo l bse del logritmo es el número irrcionl e donde e,788... el logritmo se llm nturl y como es de uso muy frecuente el logritmo en bse e de un número en el dominio del logritmo que se escribirí log e tmbién se puede escribir como ln EJEMPLOS: Encuentre l función invers de ls siguientes funciones: ) c) e) d) 4 b) 8 d) 4 f) 8 g) 0 SOLUCIÓN: Form eponencil Form logrítmic = 8 log 8 = 8 = 8 = log8 4 = = 4 = 4 9 = = i = = = 4 8 8 = log 4 = log 4 = 4 log 9 = log 4 = 4 = 64 log4 64 = 0 = = 0 000 Función logrítmic log 000 =
Grficr en un sistem de coordends rectngulres ls siguientes funciones: Cso I: < Se f ( ) = log Construymos su gráfic Pr construir un tbl de vlores debemos de sistirnos de l clculdor o de un tbl de logritmos; sin embrgo trbjemos con l siguiente tbl, l cul puede ser comprobd fácilmente con un clculdor: 0 0, 0, y No eiste - - 0 0, 0,48 Ahor procedemos relizr l construcción de su gráfic de l función ubicndo los pres ordendos en sistem crtesino. L gráfic termind deberí quedrnos como l figur. Figur. Anlicemos hor el criterio y l gráfic de ést función; recordemos que estmos en el cso en que < Crcterístics
. Criterio f ( ) = log con <. Dominio IR +. Codominio IR 4. Ámbito IR. Es cóncv hci bjo 6. No intersec l eje de ls ordends 7. Intersec l eje de ls bsciss en el punto (, 0 ) 8. Es estrictmente creciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic l eje y negtivo, pues no lleg tocrlo, o se y Tods ls gráfics de los logritmos de bse myor que uno tienen un form similr l de l figur. y cumplen ls once propieddes citds nteriormente Figur. Cso II: 0< < Se f ( ) = log Construymos su gráfic prtir de un tbl de vlores de vlores con yud de l clculdor: 0 0. 0, y No eiste 0 - -,8 L gráfic termind deberí quedrnos como l figur.
Figur. Anlicemos hor el criterio y l gráfic de ést función; recordemos que estmos en el cso en que 0< <. Criterio f ( ) = log con 0< <. Dominio IR +. Codominio IR 4. Ámbito IR. Es cóncv hci rrib 6. No intersec l eje de ls ordends Crcterístics 7. Intersec l eje de ls bsciss en el punto (, 0 ) 8. Es estrictmente decreciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic l eje y positivo, o se y +
Tods ls gráfics de los logritmos que tienen l bse entre cero y uno poseen un form similr l de l figur.4 y cumplen ls propieddes enuncids nteriormente Figur.4 Propieddes de los logritmos. Al igul que eisten ocho leyes de potenci es de esperrse eistn leyes pr los logritmos que nos permitn trbjr con ellos y fcilitr su mnipulción y cálculo de lgunos de ellos; continución se enuncirán ests leyes o propieddes:. log = 0. log =. log i y = log + log y 4. log log log y =. log log log y log y = = y n 6. log = ni log m n m m n 7. log = log = i log n 8. log = i log = Ls propieddes son válids pr todo y y que pertenezcn l subconjunto de los números reles positivos, m y n reles; con > 0 y y con ls siguientes restricciones en cso de indefinir el denomindor y 0, n 0. Cd un de ls leyes se puede demostrr utilizndo ls leyes de potenci y estudids Además de ests se gregn l propiedd de cmbio de bse: y l ley eponencil: log b log = donde es l nuev bse log b y log b b =
Dds ests propieddes podemos plicrl pr simplificr un solo logritmo vris epresiones pr fcilitr el cálculo de uno solo en lugr de clculr vrios por seprdo o podemos epresr un solo logritmo como vrios pr relizr otrs operciones; vemos como se usn. EJEMPLO : Aplicr ls propieddes de los logritmos pr seprr el siguiente logritmo. log y z y log z log log ( y z) log + log log log + log log ( y z) ( y z) EJEMPLO : Utilizndo ls leyes de los logritmos reduzc un solo logritmo.. log log y log z log log y log z i y z log log yz (log 4 log + log log y ) (log 4 log log log ) + 4 log + log y 4 log i y 4 log y 4 log y y
EJEMPLO : Determine los siguientes logritmos sin usr l clculdor o un tbl de logritmos:.. log 4 6 + 4log 4 log 4 6 log 6 + log 6 log 6 66 i log4 6 log 6 4 4 4 4 log 4 4 4 log 4 log 64 + log 8 log 4 8 7 log 8 + log log 7 4 8 7 log 8+ 4log log 7 + 4 8 7 EJEMPLO 4: Simplificr ls siguientes epresiones:.. ln ln ln ln 8 8 ln 4 8 ln ( ) ln ( ) 4 ln ( ) ( )( ) log + log + + + log ( + ) ( )( ) ( + ) ( ) log ( + ) ( + )( + ) log + log + + + log + + + log log ( + ) ( ) log + +
Ecución Eponencil y Logrítmic Recordemos l ecución = que no pudimos resolver nteriormente porque no sbímos como hcerlo, hor es muy sencillo resolverl pues bst con plicr l definición de logritmo pr sber que l iguldd = es verdder cundo = log De lo nterior se puede concluir que pr resolver ecuciones eponenciles podemos psr de un ecución eponencil un ecución logrítmic TEOREMA : Se un ecución de l form log b f ( ) = log b g( ) donde b > 0 y y ; son soluciones de est ecución quells que lo sen tmbién de l ecución f( ) = g( ) con f( ) > 0 y g( ) > 0 TEOREMA : Se un ecución de l form log P( ) f( ) = log P( ) g( ) ; son soluciones de est ecución quells que lo sen tmbién de l ecución f( ) = g( ), pero que demás stisfgn que f( ) > 0, g( ) > 0, P ( ) > 0 y P ( ) Estos teorems nos permiten encontrr ls ríces de un ecución logrítmic, eso sí tomndo en cuent ls restricciones dds, o se después de resolver l ecución podemos obtener posibles ríces pero debemos probrls pr confirmr que verddermente lo son pues muchs veces los vlores que obtenemos indefinen l logritmo pues l sustituirlos se obtienen vlores que no pertenecen l dominio del logritmo. EJERCICIOS: Resolver ls siguientes ecuciones. o ( ) ( ) log + log + = 6. ( ) = ( log log )