MECÁNICA DE LOS FLUIDOS I, Ingenerí Aeronáut Trnsformón de Joukovsky L trnsformón de Joukovsky en el plno omplejo, es l más smple de un onjunto de trnsformones de l form: 3 ' f (... 3 Ests modfn el plno senslemente pr vlores pequeños de, pero su nfluen tende 0 medd que el módulo de ree. L trnsformón de Joukovsky tene l expresón: ' f ( Est onverte un runferen de rdo > en un l form de un perfl erodnámo. Fg. d' L dervd de l trnsformón es d Se oserv que se nul en dos puntos : y -. En éstos, l trnsformón no es onforme, es der, no onserv los ángulos entre dos urvs que psen por esos puntos. Nkol Igorovh Joukovsky (o Zhukovsky, en otr versón odentld de su pelldo, vvó entre 847 y 9. Fue profesor de Meán Anlít en l Unversdd de Mosú. Puló dversos trjos en Mtemáts, Meán y Fludodnám. Sus prnples ontruones l Aerodnám son: l trnsformón onforme de Joukovsky, los perfles Joukovsky, y l ondón hoy onod omo de Kutt- Joukovsky, sore l rulón que gener un perfl en movmento.
Un trnsformón onforme en todo el plno, pld un runferen, no podrí generr un perfl on un orde de fug fldo, porque ulquer quere en l urv volrí l onservón de ángulos que mpone l ondón de onforme. Pero en este so, s uno de los puntos de l runferen es ±, en l mgen de ese punto puede preer un quere en l urv: ese punto se trnsform en el orde de fug del perfl. En el ejemplo de l fgur, es el punto -. Como el punto qued en el nteror del írulo, su mgen qued dentro del perfl, y no fet su form, n el mpo de flujo lrededor del msmo. L trnsformón de ls oordends d: (x y x ' y' x y x y x' x ( x y' y ( x y y ( Ls oordends del írulo orgnl se otenen de l euón del msmo: t l e, on 0 t < π Ls oordends del entro del írulo quedn determnds por su rdo, y el ángulo β que muestr l fgur, de modo que el punto - se l nterseón de l runferen on el eje rel: Se nlrán lgunos sos prtulres. Fg. Trnsformón del írulo entrdo en el orgen:
En el so generl, on <, l trnsformón es onforme en todos los puntos del írulo. L euón de este írulo es: y x en o 0, e π < ( S se despejn x e y en funón de x e y (euones ( y onsderndo (, qued: y' x' Es der: y' x' (3 que es l euón de un elpse. Fg. 3 En el so límte en que, el írulo se trnsform en el segmento del eje rel - x. Se oserv que s, los puntos y - perteneen l runferen, y se trnsformn en y - respetvmente. En este so no es plle l euón (3, y que el denomndor del segundo térmno se nul. Pero l trnsformón es muy senll en oordends polres: π < 0 os e e ( e e e e '
Al vrr, el segmento es reorrdo dos vees: desde - y vevers. Fg. 4 El entro de l runferen está en (0, y. L euón de l msm es, por lo tnto: x (y y Est runferen se trnsform en el ro de runferen en nddo, entre y -ª, que ru el eje y en y. Los puntos y - en sore l runferen orgnl, y se onverten en los extremos del ro. L euón orrespondente es: x' [y' (y y ] (y y pr y' 0 Fg. 5
Tmén quí, el límte pr y 0 es el segmento [-, ]. 3 El entro de l runferen está en (x, 0. (Corresponde l prámetro β 0 L trnsformón d un perfl smétro. El punto - se onverte en el -, que es el orde de fug del perfl. L mgen del punto qued en, en el nteror del perfl. El orde de tque es l mgen del punto - (rue on el eje x, y es ( el punto ' (, sore el eje rel. Es smple demostrr ( que este vlor es myor o gul que, y sólo es gul s. Fg. 6 4 Cso generl: runferen on entro en (x, y Se trnsform en un perfl no smétro. Fg. 7
De los ejemplos vstos, se puede nferr que los prámetros que determnn l form del perfl son ls oordends del entro de l runferen. En prtulr: - L oordend x, relond on el oente /, determn el espesor del perfl resultnte. Los sos en que el entro e sore el eje y, on x 0, dn ros sn espesor. - L oordend y, relond on el ángulo β, determn l urvtur de l líne med del perfl. Los sos en que el entro e sore el eje x (β 0 dn perfles smétros, es der, su líne med es un segmento de l ret que onsttyue el eje de smetrí. Construón del perfl Joukowsky: L onstruón del perfl es muy smple on un luldor o plnll de álulo que opere on números omplejos: ddos,, y β, ls oordends del lndro son (fg. t β l e ( e e t, on 0 t < π Se lul l trnsformón: jouk l l y se grf Im( jouk vs Re( jouk, o en gráfo polr, jouk vs rg( jouk (rg rgumento. Un ntgu onstruón gráf, sn lulr omponentes, sgue los sguentes psos : Desde el orgen de oordends (o se mr el punto -. Desde -, on el ángulo β y un dstn, se u el entro del lndro, l que llmremos Q. 3 Con entro Q y rdo, se tr l runferen C, que es l que se quere trnsformr. 4 El segmento oq y el eje y determnn el ángulo δ. 5 Con el msmo ángulo δ meddo desde el eje y h l dreón negtv de x, se tr om, donde M es el punto de nterseón on oq 6 Con entro en M y rdo ( M, se tr l runferen C 7 Pr trr el perfl, se dn vlores desde 0 π. Con, se determn sore C el punto P: re, y on -, sore C qued el punto P: e r 8 L sum vetorl de mos (por el método gráfo del prlelogrmo, d el punto P que pertenee l perfl, y es l mgen de P. Reorrendo todos los vlores de, qued dujdo el perfl Joukowsky Trefft, E. 93: Z. Flugteh. Motorluftshffhrt, vol. 4, p. 30.
Fg. 8 L form de este perfl present el extrdos y el ntrdos tngentes en el orde de fug (el perfl tende un espesor nulo llí. Esto es prolemáto tnto desde el punto de vst onstrutvo, omo desde el de ressten estruturl. Por otro ldo, ls rterísts erodnáms tmpoo son uens: el mínmo de presón está muy er del orde de tque, por lo que el flujo dee reorrer grn prte del extrdos on un grdente de presón dverso. Otrs trnsformones onformes genern mejores perfles. Sn emrgo, l trnsformón de Joukowsky se nluye en muhos textos de estudo, por su smpldd, que flt el prendje oneptul, y por ser l prmer explord nlítmente. Crulón y sustentón Se se que l rulón que gener un ostáulo es determnnte en el mpo de flujo en su entorno. En el so prtulr de un lndro emestdo por un orrente U, el vlor de l rulón, Γ, determn l posón de los puntos de remnso sore el msmo, lejándose más del eje de l dreón de l orrente unto myor es l relón Γ / U. En el so de un perfl erodnámo, l ondón de Kutt-Joukowsky estlee que, en flujo potenl: l rulón que gener un perfl erodnámo en un orrente es tl que el punto de remnso posteror onde on el orde de fug
Se sury l ondón de flujo potenl, y que ángulos de tque moderdos grndes, l p límte del perfl se desprende, produendo l llmd entrd en pérdd del perfl (que l teorí de flujo potenl no prede, y los álulos on este modelo perden vlde. L justfón mtemát es l sguente: s F es el potenl omplejo del lndro en el plno, l velodd sore el perfl en el plno, otendo por l trnsformón del lndro será: df df d df d' u ' v' ( / ( d' d d' d d Como d /d se nul en -, que pertenee l lndro, l ún form de que l velodd no se nfnt en el orde de fug (mgen de -, es que df/d se nul en -. Es der, que el punto - se un punto de remnso del lndro. Pr un lndro de rdo entrdo en el orgen, on rulón Γ, emestdo por un orrente unforme de ntensdd -U, provenente de l dreón postv del eje rel x, en el plno, el potenl omplejo es: F( U( Γ π S rotmos los ejes, pr trjr en nuestro sstem : ln( Fg. 9 α α e e
Por lo tnto: F( U( e α e α Γ π e ln( α df U(e d α e α Γ π En este sstem (orgen en el entro del lndro, ls oordends del punto sngulr de l trnsformón onforme son: e ( πβ e β S hemos df/d 0 en ese punto 0 e Γ π( e α α U(e e β β Se despej Γ: Γ πu (e ( αβ e ( αβ 4πU sen( α β L sustentón del perfl por undd de envergdur, por el teorem de Blsus, tmén onodo omo teorem de Kutt-Joukovsky, es: Y ρuγ 4πρU sen( α β Tmén puede esrrse Y 4πρU sen( α α o, donde α o -β es el ángulo de sustentón nul del perfl. Consderndo que pr perfles de pequeño espesor, l uerd es proxmdmente 4, se puede lulr el oefente de sustentón L Y π sen( α β ρu 4 Se oserv que: Un perfl smétro (β 0 no sustent sn ángulo de tque, pero un perfl smétro puede herlo. L teorí de flujo potenl prede un máxmo de sustentón pr αβ π/. Esto no se umple en l reldd, y que pr ángulos de tque muho menores se produe el
desprendmento de l p límte ( entrd en pérdd del perfl y est teorí perde vlde. 3 El álulo del flujo lrededor del perfl prede un fuer resultnte nul en l dreón de l orrente (ressten nul. Esto se dee, nturlmente, que l teorí de flujo potenl gnor los efetos vsosos, y es un lmtón omún todo álulo de perfles sdo en est teorí. Ref: Prndtl L. nd Tetjens O. G., Appled Hydro- nd Aeromehns, Dover Pu. 934