Punto - et Plno Mtemáti 1º Año Cód. 1102-16 P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M i r t o s i t o P r o f. N o e m í L g r e Dpto. de M temáti
INTODUCCIÓN L plr geometrí está formd por dos ríes griegs geo (tierr) y metrón (medid) por lo tnto su signifido etimológio es l medid de l tierr Es un rm de l mtemáti que se oup de ls propieddes de ls figurs geométris ; estudi ideliziones del espio en que vivimos, que son los puntos, ls rets y los plnos, y otros elementos oneptules derivdos de ellos, omo polígonos o poliedros entre otros. PUNTO, ECTA Y PLANO Los oneptos de PUNTO, ECTA y PLANO onstituyen l se del grn edifiio que onform l Geometrí. Se los onoe on el nomre de oneptos primitivos, son ides o striones que no podemos definir on términos más senillos o por otros términos y onoidos. Trjremos on onjuntos no víos de puntos en el espio los que llmremos figurs.algunos ejemplos de ellos son : los puntos, ls rets, los plnos que onvenimos en representr y nomrr de l siguiente form: A los puntos los nomrmos on letrs minúsuls y los representmos indistintmente omo muestr el ejemplo leemos: punto leemos: punto A ls rets ls nomrmos on letrs myúsuls y ls representmos omo muestr l figur A leemos: ret A A los plnos los nomrmos on letrs del lfeto griego y los representmos omo en el diujo leemos: plno Alguns letrs del lfeto griego son: lf épsilon et omeg gmm rho delt pi P O L I T E C N I C O 1
Punto-et-Plno Mtemáti El espio, es el onjunto de todos los puntos. Utilizmos pr nomrrlo, el símolo 3 que leemos erre tres. Prolem 1) Confeion un gráfio que umpl simultánemente on ls siguientes ondiiones: un plno y llámlo un ret, un ret T un punto p que pertenez l ret T y no pertenez l plno Puntos linedos Diremos que dos o más puntos son linedos (o olineles) si perteneen un mism ret. Ejemplo: Como, y perteneen entones, y son olineles y reípromente. En símolos:,,,, son olineles Punto exterior un ret Dd un ret hy infinitos puntos en 3 que no perteneen l mism. A d uno de ellos se lo denomin punto exterior l ret Ejemplo: d d es exterior l ret. En símolos: d d es exterior 2 P O L I T E C N I C O
Puntos oplnres Diremos que dos o más puntos son oplnres si perteneen un mismo plno. Como, y perteneen entones, y son oplnres y reípromente. En símolos:,,,, son oplnres Punto exterior un plno En el espio hy infinitos puntos que no perteneen un plno. A d uno de ellos se lo denomin punto exterior l plno Ejemplo: es exterior l plno. En símolos: es exterior Prolems 2) Diuj 4 puntos,, y d tl que, y sen olineles y,, y d no lo sen. 3) El gráfio represent un tetredro Nomr: un tern de puntos oplnres un punto del plno l ul perteneen los puntos y d, márlo en el diujo d P O L I T E C N I C O 3
Punto-et-Plno Mtemáti 4) De uerdo on l figur omplet, emplendo deudmente los símolos ; ; y s u t C B s...b B... 3 u... C B... u... 3 C... 5) En el siguiente sistem de oordends hemos uido dos puntos y. ) Determin ls oordends de y. ) Ui tres puntos olineles on y y esrie sus oordends ) Ui dos puntos no linedos on y y esrie sus oordends. u y 1 euerd: En un sistem de oordends d punto p le orresponde un pr ordendo de números (x ; y) tl que x reie el nomre de sis de p e y ordend del punto p o 1 x POSTULADOS DE LA GEOMETÍA EUCLIDEANA Pr poder ir onstruyendo el edifiio de l geometrí demás de los oneptos primitivos se deen tener en uent los postuldos Qué es un postuldo? Eulides (306-283.C) : geómetr griego, fundó un Esuel de Mtemáti en Alejndrí. Su or monumentl es Elementos, ompuest de 13 liros Un POSTULADO es un proposiión evidente por sí mism y por lo tnto no neesit demostrión 4 P O L I T E C N I C O
Los postuldos en geometrí son muy importntes en el proeso del rzonmiento dedutivo. Son omprles on ls regls de un juego. Por un punto psn infinits rets p Existe un ret y solo un que ps por dos puntos distintos Este postuldo suele expresrse: Dos puntos distintos determinn un ret l ul perteneen En símolos: y leemos ret De lo nterior result que: A un ret perteneen infinitos puntos, pero sólo stn dos de ellos pr determinrl. Por un ret del espio psn infinitos plnos Existe un plno y solo uno que ps por tres puntos no linedos P O L I T E C N I C O 5
Punto-et-Plno Mtemáti Este postuldo suele expresrse: Tres puntos no linedos determinn un únio plno l ul perteneen De lo nterior result que: A un plno perteneen infinitos puntos, pero sólo stn tres de ellos no linedos pr determinrlo. Este postuldo suele expresrse: Tres puntos no linedos determinn un únio plno l ul perteneen Oserviones: Un ret y un punto exterior ell determinn un únio plno Dos puntos distintos perteneientes un plno determinn un ret inluid en él. Dos rets que se intersen en un punto determinn un plno en el que están inluíds F Prolems 6) Cuánts rets distints determinn los vérties de un pirámide de se pentgonl? 7) Consider un pirámide de se udrngulr. Cuántos plnos distintos quedn determindos por sus vérties?.grfíl 8) Cómo uirís utro puntos distintos de modo que ls rets determinds por d pr de ellos sen extmente utro? 6 P O L I T E C N I C O
9) Diuj un plno,ui en él los puntos m,s y t no linedos, un punto olinel on m y s.además un punto h exterior l plno Determin si ls siguientes firmiones son V(verdders) o F(flss). ),s, m d) th ) h,s y son oplnres e) ms ) mh s f) h y t están linedos POSICIONES ELATIVAS DE ECTAS Dos rets del espio inluids en un plno se llmn rets oplnres Si ls dos rets tienen un sólo punto en omún reien el nomre de rets sentes A p B En símolos: A y B sentes A, B, A B p Si ls dos rets no tienen puntos en omún o tienen todos sus puntos en omún reien el nomre de rets prlels Ests rets A y B se denominn oinidentes A B A = B Importnte: Tod ret es prlel sí mism En símolos: A // B A, B, A B A B P O L I T E C N I C O 7
Punto-et-Plno Mtemáti Dos rets que no son oplnres (o se no existe un plno que ls onteng) se llmn rets leds A En símolos: A B A yb A B sonleds B Prolem 10) Complet en d retángulo on el nomre que identifi l posiión reltiv de dos rets según indi su expresión simóli y en d llmd el gráfio orrespondiente Dos rets A y B pueden ser: A, B A B A B A B p A B A B A B B p A 8 P O L I T E C N I C O
Alguns Propieddes importntes Pr el umplimiento de ests propieddes se onsidern elementos de un mismo onjunto Propiedd eflexiv: todo elemento est reliondo on sí mismo Propiedd Simétri: si un elemento est reliondo on otro,entones este est reliondo on el primero. Propiedd Trnsitiv: si un elemento est reliondo on otro y este est reliondo on un terero, entones, el primero est reliondo on el terero Tod relión que se reflexiv, simétri y trnsitiv es un relión de equivleni Prolems 11) Anliz si el prlelismo de rets es un relión de equivleni,expréslo oloquil y simólimente 12) Ls rets A; B y C psn tods por el punto r. ) Pueden ser dos de ells leds? Por qué? ) Si tommos un punto p r trzmos por él un ret S prlel A. L ret S ortrá siempre B? 13) Determin uáles de ls siguientes proposiiones son V(verdders) o F(flss).Justifi ) A B A // B ) A // B A B ) A B y A // B A B d) A y B leds A B P O L I T E C N I C O 9
Punto-et-Plno Mtemáti DE PLANOS Si dos plnos no tienen ningún punto omún o todos sus puntos son omunes reien el nomre de plnos prlelos Estos plnos y β se llmn oinidentes β =β Importnte: Todo plno es prlelo sí mismo En símolos: // Si dos plnos tienen en omún sólo un ret reien el nomre de plnos sentes En símolos β y β sentes 10 P O L I T E C N I C O
Prolems 14) Complet en d retángulo on el nomre que identifi l posiión reltiv de dos plnos según indi su expresión simóli y en d llmd el gráfio orrespondiente Dos plnos y β pueden ser; 15) Anliz si el prlelismo de plnos es un relión de equivleni,expréslo oloquil y simólimente 16) Determin justifindo l respuest e ilustrndo onvenientemente l veridd o flsedd de los siguientes enunidos: 1 2 1 // 2 // Los plnos y no son prlelos entones β interseión no es ví 1 // 2 1 // 3 2 // 3 // p P O L I T E C N I C O 11
Punto-et-Plno Mtemáti ENTE UNA ECTA Y PLANO Si un ret y un plno no tienen ningún punto omún o l ret está inluid en el plno diremos que l ret y el plno son prlelos En símolos: // Si un ret y un plno tienen un únio punto en omún reien el nomre de sentes p En símolos p y sentes Prolems 17) Oserv el gráfio ) Cómo son los dos plnos y por su posiión? ) Diuj un ret A que esté inluid en pero no en. Expres simólimente ) Diuj un ret B que no esté ontenid ni en ni en pero que orte mos. Expres simólimente d) Diuj un ret prlel Cómo puede ser l ret on respeto?. Qué otrs posiiliddes hy distints l diujd? 12 P O L I T E C N I C O
18) Utilizndo el lenguje simólio desrie d gráfio. ) B ) p A D E C ) F H G 19) Si // β y A y B β Puede ser A // B?.Ilustr tu respuest Puede ser A no prlel B? Ilustr tu respuest. Qué nomre reien en este so ls rets? Teniendo en uent los prtdos nteriores.determin si es verdder l siguiente implini. // β A A // Bβ B P O L I T E C N I C O 13
Punto-et-Plno Mtemáti 20) Determin l flsedd o veridd de ls siguientes implinis. A // A // B B A // A // A // SEMIECTA Definiión: Dd un ret y un punto perteneiente l mism llmmos semirret d uno de los suonjuntos que quedn determindos en l ret por el punto. Diho punto se lo llm origen de l semirret En símolos: p Se lee semirret de origen p que ps por p Semirrets Opuests Ls semirrets que determin un punto sore un ret se denominn semirrets opuests r p pr y p son semirrets opuests En símolos: pr p p pr pr p y p son semirrets opuests 14 P O L I T E C N I C O
SEGMENTO Definiión Dd un ret y dos puntos y perteneientes ell, l interseión de ls semirrets y es el onjunto de puntos llmdo segmento. A los puntos y se los llm extremos del segmento. Pr reordr Convenimos en onsiderr ulquier punto omo un segmento y lo llmmos segmento nulo En símolos: Segmentos onseutivos: Definiión Dos segmentos que tienen en omún únimente un extremo se llmn segmentos onseutivos. Prolem 21) Complet l siguiente tividd, prtir de los gráfios ddos: ) ) p )... es el extremo omún de y son segmentos... ph hi......es el extremo.... ph y....son segmentos onseutivos h i P O L I T E C N I C O 15 o d d... y d... onseutivos
Punto-et-Plno Mtemáti POLIGONAL: Definiión Es un onjunto finito de segmentos suesivmente onseutivos, es deir que d extremo de un segmento es lo sumo extremo de dos Ejemplos: Poligonl iert En el plno e f d Se nomr: poligonl def En el espio d e Se nomr: poligonl de n Poligonl errd m s t d Se nomr: poligonl mntsm Se nomr: poligonl d Algunos nomres tener en uent Por ejemplo, en l poligonl def representd en el udro nterior: los segmentos,, d, de y ef reien el nomre de ldos de l poligonl los extremos,,,d, e y f de los segmentos se llmn vérties de l poligonl el vértie y f se llmn extremos de l poligonl 16 P O L I T E C N I C O
Prolems 22) Oserv l figur y determin uáles de ls siguientes proposiiones son V(verdders) o F(flss).Justifi ) m,s, ) mh s ) ms d) h, s, son oplnres e) m h f) mh m h g) s poligonl tm t m s h 23) Cuáles de ls siguiente proposiiones son V (verdder ) o F ( fls)?. Justifi ls proposiiones flss. ) Dos semirrets oplnres siempre se intersen ) Dos semirrets siempre son oplnres ) Dos semirrets del mismo origen son oplnres d) Tres semirrets on el mismo origen son oplnres e) Dos semirrets siempre tienen un segmento en omún. f) Dos segmentos pueden tener un segmento en omún. g) Un semirret y un segmento tienen siempre un segmento en omún. 24) Ddos,, h y d puntos linedos distintos tles que demás un punto t tl que _ h, _ h d t d,determin nlíti y gráfimente: ) hd d) h dh ) _ d _ h e) poligonl thd h ) dh f) poligonl th hd y P O L I T E C N I C O 17
Punto-et-Plno Mtemáti SEMIPLANOS Definiión Ddo un plno y un ret inluid en el mismo llmmos semiplno d uno de los suonjuntos que quedn determindos en el plno por l ret. Dih ret se l llm fronter del semiplno Semiplno de fronter que ontienen p. En símolos: semp ( ) p p q Semiplno de fronter que ontienen q. En símolos: semp ( ) q Semiplnos opuestos Los semiplnos que determin un ret en un plno se denominn semiplnos opuestos En símolos semp( p) semp( q) semp( p) y semp( q) son semiplnos opuestos semp( p) semp( q) Prolems 25) Ddos π, π, π ) Qué puedes firmr sore y si? ) Qué puedes firmr sore y si? 26) En d prtdo reliz el gráfio de dos semiplnos tles que : ) Tengn l mism fronter y estén inluidos en el mismo plno. ) Tengn l mism fronter y no estén inluidos en el mismo plno. ) Tengn distint fronter y estén inluidos en un mismo plno 18 P O L I T E C N I C O
27) Si se se que : A,,,d, A e, d A ) eliz un gráfio que ontemple l situión desript según los dtos. ) Emplendo los elementos nomrdos simoliz de tods ls forms posiles los semiplnos determindos en por A ) Nomr el semiplno en el que está inluid ed. d) Puede ser d A?.Justifi tu respuest. SEMIESPACIOS Ddo un plno, llmmos semiespio d uno de los suonjuntos que quedn determindos por el plno en el espio. Diho plno se lo llm fronter del semiespio El semiespio de fronter que ontiene l punto, se simoliz semiesp () y el semiespio de fronter que ontiene l punto semiesp () Semiespios opuestos Deimos que dos semiespios que determin un plno en el espio son semiespios opuestos. En símolos semiesp( ) semiesp( ) semiesp( ) y semiesp( ) son semiespios opuestos semiesp ( ) semiesp ( ) 3 P O L I T E C N I C O 19
Punto-et-Plno Mtemáti Prolem 28) Oserv el gráfio y omplet el siguiente texto. En l figur se oservn dos semiespios opuestos que se llmn y.. l p m L ret pr y el plno tienen..en omún t L ret determin en dos... opuestos que se nomrn.y r Como l y t, que no perteneen mismo semiplno respeto de,perteneen un result l t...,en mio t m... l, t,,, y m son puntos..por perteneer todos l.. p es.. t es.. FIGUA CONVEXA Un figur es onvex si dos puntos ulesquier de ell, son los extremos de un segmento ontenido en l figur F G IMPOTANTE Admitiremos que l figur formd por un solo punto es onvex F es un figur onvex., F result : F G no es un figur onvex o G es ónv ; G / G 20 P O L I T E C N I C O
Prolem 29) Oserv el prism representdo en l figur y omplet ) L interseión entre el plno que ontiene l r d y es un figur.... ) hf f e es un figur... ) El punto... es un figur... d) L poligonl fed es un figur... e) d d es un figur... f) es un figur... g) g g f es un figur... h) L interseión no ví de dos figurs onvexs es un figur... i) L unión de dos figurs onvexs vees es un figur... d e g f h ÁNGULO PLANO Ls semirrets y, on origen omún, determinn dos suonjuntos del plno d uno de los ules se denomin ángulo ; ls semirrets se llmn ldos de los ángulos y el punto es el vértie de los mismos. Pr nomrrlos utilizremos ls siguientes forms: o undo el ángulo es onvexo on o on undo el ángulo es ónvo P O L I T E C N I C O 21
Punto-et-Plno Mtemáti Algunos ángulos espeiles Lenguje Coloquil Lenguje gráfio Lenguje simólio Angulo Nulo Es un semirret Sus ldos son oinidentes N Angulo Pleno Es un plno Sus ldos son oinidentes V Angulo Llno Es un semiplno. Sus ldos son semirrets opuests. L Prolem 30) De uerdo on este gráfio: Clul: ) semp ( ) semp ( ) d ) semp ( ) semp ( ) ) od od d) odo e) odo d d 22 P O L I T E C N I C O
Pres de ángulos prtiulres Ángulos opuestos por el vértie Es quel pr de ángulos que tienen un vértie en omún y sus ldos son semirrets opuests. Gráfimente: En símolos indimos o o o o od d Luego indimos od o o y od son opuestos por el vértie Ángulos dyentes Es quel pr de ángulos que tienen un ldo en omún y los otros dos ldos son semirrets opuests. p o d Gráfimente n m t En símolos indimos mn mt nt nmp Luego nmp pmt mp y pmt son ángulos dyentes Ángulos Conseutivos Dos ángulos son onseutivos si solo poseen en omún un ldo Gráfimente En símolos: d Luego y d son ángulos onseutivos d P O L I T E C N I C O 23
Punto-et-Plno Mtemáti A ontinuión te dmos lgunos nomres que utilizremos on freueni. Si un punto pertenee l ángulo y no sus ldos se die que es interior diho ángulo m Si un punto no pertenee l ángulo se die que es exterior diho ángulo q m interior q exterior q Prolems 31) esponde y justifi tu respuest: ) Dos ángulos dyentes son onseutivos? ) Dos ángulos onseutivos son dyentes? 32) f o e d Oserv l figur y responde verddero o flso. ) od vértie yeo son opuestos por el ) do y oe son dyentes ) eo y eod son onseutivos dyentes d) of o e) o es un ángulo nulo f) eo es un ángulo llno g) es exterior l do on h) of fod of 24 P O L I T E C N I C O
BIBLIOGAFIA PEM 7. Bushizzo Filipputti González Lgre L- Lgre N Strzziusso. UN EDITOA - Mrzo 2005-osrio - Argentin ESTUCTUAS MODULAES PAA LA ENSEÑANZA SECUNDAIA ( Aul Tller) Estrutur Modulr I GEOMETÍA MÉTICA FIGUAS GEOMÉTICAS ELEMENTALES B de Gonzlez Beltrán- Hinrihsen - Cttneo L. - osrio - Argentin GEOMETIA. Clemens - O Dffer - Cooney. Editoril Addison Wesley Longmn - Myo 1998 Méxio D.F. GEOMETÍA Y TIGONOMETÍA. Dr.J.A. Bldor. Grupo Editoril PATIA. eimpresión 2009 Méxio D.F. GEOMETIA 2 - S.Selzer - Editoril Kpelusz- Mrzo 1969- Buenos Aires- Argentin P O L I T E C N I C O 25