RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr su somr on l de un vr vertil uy longitud es onoid. Hzlo tú siguiendo este método y siendo que: l vr mide m, l somr de l vr mide 37 m, l somr del árol mide 58 m. Pr soluionr este prolem rás utilizdo l semejnz de dos triángulos. 37 58 58 37 86,65 m m 58 m 37 m L ltur del árol es de 86,65 m. Prolem ernrdo onoe l distni l que está del árol y los ángulos y ; y quiere lulr l distni l que está de rmen. Dtos: 63 m o 83 o mm Desiendo l esl: m 63 m 83 Unidd. Resoluión de triángulos
Págin 03 Prolem 3 ernrdo ve desde su s el stillo y l dí. onoe ls distnis mos lugres, pues eo el mino pie mus vees; y quiere verigur l distni del stillo l dí. Pr ello dee, previmente, medir el ángulo. Dtos: 00 m; 700 m; 08 o. 00 m m 00 m m 700 m 7 m,7 m 70 m 700 m 7 m 08 00 m m NOT: El triángulo está onstruido l 50% de su tmño. Prolem lul, plindo el teorem de Pitágors: ) Los ldos igules de un triángulo retángulo isóseles uy ipotenus mide. ) L ltur de un triángulo equilátero de ldo. y Hz todos los álulos mnteniendo los rdiles. Dees llegr ls siguientes soluiones:, y 3 Unidd. Resoluión de triángulos
) ) y + ( ) + y 3 y 3 Págin 0. onsider este triángulo: ) lul l proyeión de MN sore MP. ) Hll l ltur orrespondiente l se MP. ) lul el áre del triángulo. N N 5 m 5 M 7 m P 5 m 5 M P N' MN' MN' ) os 5 MN' 5 os 5 3,08 m MN 5 ) sen 5 5 sen 5 3,9 m 5 MN sen 5 ) 7 5 sen 5 3,79 m Págin 05. Hll tg 76 o y os 38 o 5' 3''. tg 76,007809 os 38 5' 3" 0,785878. Ps grdos, minutos y segundos ( ) el ángulo 39,873 o. 39,873 38 5' 6,7" 3. Hll α y β siendo que os α 0,83 y tg β,5. os α 0,83 α 33,906 33 5',5" tg β,5 β 68,9859 68 ' 5,9". Siendo que tg β 0,69, ll os β. tg β 0,69 β 3,69879 os β 0,8 Unidd. Resoluión de triángulos 3
Págin 06. Pr determinr l ltur de un poste nos emos lejdo 7 m de su se y emos medido el ángulo que form l visul l punto más lto on l orizontl, oteniendo un vlor de 0 o. uánto mide el poste? tg 0 7 7 tg 0 5,87 m 0 7 m Págin 08. Rzonndo sore el triángulo somredo de rri, y teniendo en uent que su ipotenus es O, justifi que los segmentos O' y ' orresponden, efetivmente, ls rzones trigonométris os α, sen α. os α O' O' O' ' ' sen α ' O O. plindo el teorem de Pitágors en el orrespondiente triángulo retángulo, justifi que: (sen β) + (os β) (Ten en uent que ( ) ). (*) Teorem de Pitágors. (sen β) + (os β) ( ') + ( O' ) (*) ( O) Si onsidermos un irunfereni no goniométri (r ): (sen β) + (os β) ( ) ' O' + ( ) ( ') + ( O') O O ( O) (*) ( O) ( O) 3. Di el vlor de sen α y os α pr ángulos de 0 o, 90 o, 80 o, 70 o y 360 o. sen 0 0 sen 90 sen 80 0 sen 70 sen 360 0 os 0 os 90 0 os 80 os 70 0 os 360. En este írulo se d el signo de sen φ según el udrnte en el que se lle situdo el ángulo φ. omprue que es orreto y z lgo similr pr os φ. + + + + sen φ + + os φ + + Unidd. Resoluión de triángulos
Págin 09 5. Teniendo en uent l semejnz de los triángulos O' y OUT, y que OU, demuestr que: T sen α tg α sen α tg α os α α os α TU ' sen α O tg α OU O' os α ' U 6. onstruye un irunfereni de 0 m de rdio sore ppel milimetrdo. (Ls ojs de este ppel suelen tener 9 m de no. ort de rri un tir de m y pégl en el lterl; sí podrás diujr l irunfereni omplet). Señl ángulos diversos: 7 o, 7 o, 3 o, 6 o, 80 o, o, 70 o, 80 o, 3 o on el trnsportdor. Lee sore l udríul el seno y el oseno de d uno, uidndo de dr orretmente el signo.,5 m sen 7 0,5 ( 0 m ) sen 0,5 8,9 m os 7 0,89 ( 0 m ) os 0,86 sen 7 0,95 sen 70 os 7 0,33 os 70 0 sen 3 0,9 sen 80 0,98 os 3 0,39 os 80 0,7 sen 6 0,3 sen 3 0,33 os 6 0,95 os 3 0,95 sen 80 0 os 80 Págin. lul ls rzones trigonométris de 55 o, 5 o, 5 o, 5 o, 35 o, 305 o y 35 o prtir de ls rzones trigonométris de 35 o : sen 35 o 0,57; os 35 o 0,8; tg 35 o 0,70 55 90 35 55 y 35 son omplementrios sen 55 os 35 0,8 sen 55 0,8 tg 55,3 os 55 sen 55 0,57 os 55 0,57 ( Tmién tg 55 tg 35 0,70,3) Unidd. Resoluión de triángulos 5
5 90 + 35 sen 5 os 35 0,8 os 5 sen 35 0,57 tg 5,3 tg 35 0,70 5 35 5 80 35 5 y 35 son suplementrios sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0,8 tg 5 tg 35 0,70 5 35 5 80 + 35 sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0,8 tg 5 tg 35 0,70 5 35 35 70 35 sen 35 os 35 0,8 os 35 sen 35 0,57 sen 35 os 35 tg 35,3 os 35 sen 35 tg 35 0,70 305 70 + 35 sen 305 os 35 0,8 os 305 sen 35 0,57 sen 305 os 35 tg 305,3 os 305 sen 35 tg 35 35 360 35 ( 35 ) sen 35 sen 35 0,57 os 35 os 35 0,8 sen 35 sen 35 tg 35 tg 35 0,70 os 35 os 35 35 305 35 35 35 35. verigu ls rzones trigonométris de 78 o, 56 o y 3 o, utilizndo l luldor solo pr llr rzones trigonométris de ángulos omprendidos entre 0 o y 90 o. 78 360 + 358 Ls rzones trigonométris de 78 serán ls misms que ls de 358. lulemos ests: 358 360 Unidd. Resoluión de triángulos 6
sen 78 sen 358 sen 0,039 os 78 os 358 os 0,999 tg 78 tg 358 (*) tg 0,039 (*) sen 358 sen tg 358 tg os 358 os 56 360 + 56 (rzonndo omo en el so nterior): 56 80 sen 56 sen 56 sen 0,067 os 56 os 56 os 0,935 tg 56 tg 0,5 OTR FORM DE RESOLVERLO: 56 360 + 56 56 90 + 66 sen 56 sen 56 os 66 0,067 os 56 os 56 sen 66 0,935 tg 56 tg 56 0,5 tg 66,60 3 360 8 sen 3 sen 8 0,3090 os 3 os 8 0,95 tg 3 tg 8 0,39 3. Diuj, sore l irunfereni goniométri, ángulos que umpln ls siguientes ondiiones y estim, en d so, el vlor de ls restntes rzones trigonométris: ) sen α, 3 tg α > 0 ) os α, α > 90º ) tg β, os β < 0 d) tg α, os α < 0 ) sen α / < 0 tg α > 0 sen α / os α 0,86 os α < 0 α 3 er udrnte tg α 0,58 ) os α 3/ α > 90º α er udrnte sen α 0,66 os α 3/ tg α 0,88 Unidd. Resoluión de triángulos 7
) tg β < 0 os β < 0 sen β > 0 β -º udrnte sen β 0,7 os β 0,7 tg β d) tg α > 0 os α < 0 sen α < 0 α 3-º udrnte sen α 0,9 os α 0,5 tg α Págin. Repite l demostrión nterior en el so de que otuso. Ten en uent que: sen (80 o ) sen se H (80 ) H sen sen sen sen (80 ) sen sen sen sen sen. Demuestr, detlldmente, sándote en l demostrión nterior, l siguiente relión: sen. sen Lo demostrmos pr ángulo gudo. (Si fuese un ángulo otuso rzonrímos omo en el ejeriio nterior). Trzmos l ltur desde el vértie. sí, los triángulos otenidos H y H son retángulos. Unidd. Resoluión de triángulos 8
H Por tnto, tenemos: sen sen sen sen sen sen sen sen Págin 3 3. Resuelve el mismo prolem nterior ( m, 30 o ) tomndo pr los siguientes vlores:,5 m, m, 3 m, m. Justifi gráfimente por qué se otienen, según los sos, ningun soluión, un soluión o dos soluiones.,5 m sen,5 0,5 sen, ) 3 sen sen sen 30,5 30 m,5 m Imposile, pues sen [, ] siempre! No tiene soluión. on est medid,,5 m, el ldo nun podrí tor l ldo. Unidd. Resoluión de triángulos 9
m sen 0,5 sen 90 sen sen sen 30 m Se otiene un úni soluión. 30 m 3 m 3 sen sen 30 sen 0,5 3 0, ) 6 8' 37," 38 ',9" 3 m 30 m 3 m Ls dos soluiones son válids, pues en ningún so ourre que + > 80. m sen sen 30 sen 0,5 0,5 30 Un soluión válid 50 m 30 m L soluión 50 no es válid, pues, en tl so, serí + 80. Imposile! Unidd. Resoluión de triángulos 0
Págin 5. Resuelve los siguientes triángulos: ) m; 6 m; 0 m ) m; 7 m; 0 o ) 8 m; 6 m; 5 m d) m; 3 m; 05 o e) m; 5 o y 60 o f) 5 m; 35 ) + os 6 + 0 6 0 os 56 + 00 30 os 56 + 00 os 0,665 30 8 30' 33" m 6 m 0 m + os 56 + 00 0 os + 00 56 os 0,05 0 9 5' 57,5" + + 80 80 38 37' 9,5" ) + os 7 + 7 os 0 9 + 8 35,9 97,06 7, m 7 sen sen sen 7, sen 0 m 7 sen 0 sen 0,6 7, 5 7',3" 6 5' 5,7" No válid 0 7 m (L soluión no es válid, pues + > 80 ). 80 ( + ) 5' 5,7" Unidd. Resoluión de triángulos
) + os 6 36 + 5 6 5 os 36 + 5 6 os 0,05 60 9 5' 57,5" + os 36 6 + 5 8 5 os 6 + 5 36 os 0,665 80 8 30' 33" 80 ( + ) 38 37' 9,5" (NOT: ompárese on el prtdo ). Son triángulos semejntes). 6 m 5 m 8 m d) + os 6 + 9 3 os 05 3, 5,59 m sen sen 5,59 sen 05 sen sen 05 sen 0,69 5,59 3 m 05 m (L soluión no es válid, pues + > 80 ). 80 ( + ) 3 6' 3,7" e) 80 ( + ) 75 sen sen sen 75 3 3' 5,3" 36 6' 3,7" No válid sen 5 sen 5,93 m sen 75 sen sen sen 75 sen 60 sen 60 sen 75 3,59 m Unidd. Resoluión de triángulos
f) 80 ( + ) 0 5 sen sen sen 0 5 sen 35 3,05 m sen 0 omo 3,05 m 5. Ls ses de un trpeio miden 7 m y 0 m y uno de sus ldos 7 m. El ángulo que formn ls rets sore ls que se enuentrn los ldos no prlelos es de 3 o. lul lo que mide el otro ldo y el áre del trpeio. Los triángulos P y DP son semejntes, luego: 0 sen 35 + 7 7 0 ( + 7) 0 7 P 3 plindo el teorem del oseno en el triángulo P tenemos: + y y os 3 0 0 + y 0y os 3 y 0 m 7 m 0 y 6,96y y 0 No válido y 6,96 m z 7 m De nuevo, por semejnz de triángulos, tenemos: D D 0 7 DP 0 (z + 6,96) 7 6,96 P 6,96 z + 6,96 0z 8,7 z,87 m mide el otro ldo, D, del trpeio. omo PD es un triángulo isóseles donde D P 7 m, entones: sí: D 3 sen 3 z sen 3,87 sen 3 6,9 + 7 + 0 Áre D 6,9 8,93 m 6. Un ro pide soorro y se reien sus señles en dos estiones de rdio, y, que distn entre sí 50 km. Desde ls estiones se miden los siguientes ángulos: 6 o y 53 o. qué distni de d estión se enuentr el ro? 80 6 53 8 z Unidd. Resoluión de triángulos 3
6 50 km 53 sen 50 sen 6 sen sen sen sen 8 36, km 50 sen 53 sen sen sen sen sen 8 0, km 7. Pr llr l ltur de un gloo, relizmos ls mediiones indids en l figur. uánto dist el gloo del punto? uánto del punto? qué ltur está el gloo? G H 90 75 7 63 0 m G 80 7 63 5 0 0 sen 63 sen 63 sen 5 sen 5 5, m 0 0 sen 7 sen 7 sen 5 sen 5 6,9 m sen 75 5, 5, sen 75,3 m Unidd. Resoluión de triángulos
Págin 0 EJERIIOS Y PROLEMS PROPUESTOS PR PRTIR Siendo que el ángulo α es otuso, omplet l siguiente tl: sen α 0,9 0,5 os α 0, 0,8 tg α 0,75 sen α 0,9 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96 os α 0,39 0,8 0, 0,8 0,87 0, tg α,36 0,75 8,5 0,75 0,57 ) ) ) d) e) f) ) sen α + os α 0,9 + os α os α 0,9 os α 0,536 os α 0,39 α otuso os α < 0 tg α sen α os α,36 (Se podrín lulr diretmente on l luldor α sen 0,9, teniendo en uent que el ángulo está en el segundo udrnte). ) + tg α os α os α + 0,565 os α 0,6 os α 0,8 sen α tg α os α sen α tg α os α ( 0,75) ( 0,8) 0,6 ) sen α os α 0,0 0,9856 sen α 0,99 tg α sen α 0,99 os α 0, 8,5 d) sen α os α 0,6 0,36 sen α 0,6 tg α sen α 0,6 os α 0,8 0,75 (NOT: es el mismo ángulo que el del prtdo )). e) os α sen α 0,5 0,75 os α 0,87 tg α sen α 0,5 os α 0,87 0,57 f) os α + tg α + 6 os α 0,059 os α 0, sen α tg α os α ( ) ( 0,) 0,96 Unidd. Resoluión de triángulos 5
Resuelve los siguientes triángulos retángulos ( 90 o ) llndo l medid de todos los elementos desonoidos: ) 5 m, m. Hll,,. ) 3 m, 37 o. Hll,,. ) 7 m, 58 o. Hll,,. d) 5,8 km, 7 o. Hll,,. e) 5 m, 3 o. Hll,,. ) + 5 + 69 3 m 5 tg 0,6 37',5 90 67 ' 8,5" m 5 m ) 90 37 53 3 3 sen 7,5 m sen 37 3 3 tg 57,06 m tg 37 37 3 m ) 90 58 3 7 7 os 3, m os 58 tg 7 7 tg 58, m 58 7 m d) 90 7 9 sen os 5,8 5,8 5,8 sen 7 5,8 km 5,8 os 7,89 km 5,8 km 7 Unidd. Resoluión de triángulos 6
e) 90 3 7 os sen 5 5 5 os 3 3,66 m 5 sen 3 3, m 5 m 3 3 Si queremos que un int trnsportdor de 5 metros eleve l rg st un ltur de 5 metros, qué ángulo se deerá inlinr l int? 5 sen 0,6 36 5',6" 5 5 m 5 m Un person de,78 m de esttur proyet un somr de 66 m, y en ese momento un árol d un somr de,3 m. ) Qué ángulo formn los ryos del Sol on l orizontl? ) uál es l ltur del árol? ) tg, ) 69 69 39'," ) ', luego: tg ' 78 66,3,3 tg ' 6,03 ) m (NOT: Se podrí resolver on el teorem de Tles). ' ',78 m,3 m ' 66 m 5 lul los ldos igules y el áre de un triángulo isóseles uyo ldo desigul mide m y el ángulo opuesto l se mide 0 o. 0 0 m m Unidd. Resoluión de triángulos 7
sen 0 35, m sen 0 33 tg 0 33 m 396 m tg 0 6 El ldo de un romo mide 8 m y el ángulo menor es de 38 o. uánto miden ls digonles del romo? 8 m 9 y 38 y sen 9 y 8 sen 9,6 m 8 os 38 8 os 9 7,6 m 8 d 5, m D 5, m 7 Hemos olodo un le sore un mástil que lo sujet omo muestr l figur. uánto miden el mástil y el le? tg 5 tg 5 tg 30 0 5 0 m 30 0 tg 30 0 tg 30 + tg 30 (0 ) tg 30 0 tg 30 tg 30 0 tg 30 + tg 30 7,3 m (mástil) 7,3 sen 5 sen 5 sen 5 0,35 m 7,3 sen 30 sen 30 sen 30,6 m +,99 m (le) 5 30 0 Unidd. Resoluión de triángulos 8
8 Resuelve los siguientes triángulos: ) 00 m 7 o 63 o ) 7 m 70 o 35 o ) 70 m 55 m 73 o d) m 00 m 0 o e) 5 m 30 m 0 m f) 00 m 85 m 50 m g) 5 m 9 m 30 o ) 6 m 8 m 57 o ) 80 ( + ) 70 sen sen 00 sen 70 sen 7 00 sen 7 77,83 m sen 70 00 00 sen 63 9,8 m sen 70 sen 63 sen 70 ) 80 ( + ) 75 7 7 sen 70 6,5 m sen 75 sen 70 sen 75 7 7 sen 35 0,09 m sen 75 sen 35 sen 75 ) 70 + 55 70 55 os 73 5 673,7 75,3 m 70 55 + 75,3 55 75,3 os os 55 + 75,3 70 0,58 6 3' 9," 55 75,3 80 ( + ) 6' 0,6" d) + 00 00 os 0 79 8 8,6 m + os os os 8,6 + 00 0,9698 ' 5,5" 8,6 00 80 ( + ) 37 58' 55,5" + Unidd. Resoluión de triángulos 9
e) + os os + 30 + 0 5 30 0 0,78 38 37' 9," os + 5 + 0 30 5 0 0,665 8 30' 33" 80 ( + ) 9 5' 57,6" f) os + 85 + 50 00 85 50 0,889 3 39' 3," os + 00 + 50 85 00 50 0,0575 93 7' 6,7" 80 ( + ) 5 ' 38,9" 5 g) 9 9 sen 30 sen 0,596 puede ser: sen 30 sen 5 7 ' 6,8" 5 38' 3," L soluión no es válid, pues + > 80. 80 ( + ) 38' 3," 5 5 sen 7,5 m sen 30 sen sen 30 8 ) 6 sen sen 57 sen 38 58' 35,7" ',3" 6 sen 57 8 0,690 L soluión no es válid, pues + > 80. 80 ( + ) 8 ',3" 8 8 sen 9,5 m sen 57 sen sen 57 9 l reorrer 3 km por un rreter, emos sendido 80 m. Qué ángulo form l rreter on l orizontl? 3 km 80 m sen 80 3 000 5 ' 9," 0,09 ) 3 Unidd. Resoluión de triángulos 0
0 Hll on l luldor el ángulo α: ) sen α 0,75, α < 70 o ) os α 0,37, α > 80 o ) tg α,38, sen α < 0 d) os α 0,3, sen α < 0 ) on l luldor α 8 35' 5" -º udrnte sen α < 0 omo dee ser α 3 er udrnte α < 70 Luego α 80 + 8 35' 5" 8 35' 5" ) on l luldor: ' 56,3" os α < 0 α > 80 α 3 er udrnte α 360 ' 56,3" α 8 7' 3,7" ) tg α,38 > 0 sen α < 0 os < 0 α 3 er udrnte on l luldor: tg,38 5 ' 7,39" α 80 + 5 ' 7,39" 3 ' 7," d) os α 0,3 > 0 sen α < 0 α -º udrnte on l luldor: os 0,3 76 ' 0,5" α 76 ' 0,5" 83 7' 9,6" Hll ls restntes rzones trigonométris de α: ) sen α /5 α < 70 o ) os α /3 tg α < 0 ) tg α 3 α < 80 o Unidd. Resoluión de triángulos
) sen α < 0 α < 70 ) α 3 er udrnte os α sen 6 9 3 α os α 5 5 5 sen α /5 tg α os α 3/5 3 os α > 0 tg α < 0 sen α < 0 os α < 0 tg α > 0 sen α < 0 α -º udrnte sen α os 5 5 α sen α 9 9 3 sen α 5 tg α os α ) tg α < 0 α < 80 α -º udrnte sen α > 0 os α < 0 tg α + 9 + 0 os α os α os α 0 0 0 sen α os α 0 0 tg α sen α tg α os α ( 3) ( ) 3 0 0 Epres on un ángulo del primer udrnte: ) sen 50 o ) os 35 o ) tg 0 o d) os 5 o e) sen 35 o f) tg 0 o g) tg 30 o ) os 00 o i) sen 90 o ) 50 80 30 sen 50 sen 30 ) 35 80 5 os 35 os 5 ) 0 80 + 30 sen 0 sen 30 tg 0 os 0 os 30 tg 30 d) 55 70 5 os 55 sen 5 e) 35 360 5 sen 35 sen 5 f ) 0 80 60 sen 0 sen 60 tg 0 os 0 os 60 tg 60 ( sen 0 os 30 Tmién 0 90 + 30 tg 0 os 0 sen 30 tg 30 ) g) 30 360 0 sen 30 sen 0 tg 30 os 30 os 0 tg 0 Unidd. Resoluión de triángulos
) 00 80 + 0 os 00 os 0 i) 90 70 + 0 sen 90 os 0 (Tmién 90 360 70 sen 90 sen 70 ) 3 Si sen α 0,35 y α < 90 o, ll: ) sen (80 o α) ) sen (α + 90 o ) ) sen (80 o + α) d) sen (360 o α) e) sen (90 o α) f) sen (360 o + α) ) sen (80 α) sen α 0,35 ) sen (α + 90 ) os α sen α + os α os α 0,35 0,8775 os α 0,9 sen (α + 90 ) os α 0,9 ) sen (80 + α) sen α 0,35 d) sen (360 α) sen α 0,35 e) sen (90 α) os α 0,9 (luldo en el prtdo )) f) sen (360 + α) sen α 0,35 us un ángulo del primer udrnte uys rzones trigonométris oinidn, en vlor soluto, on el ángulo ddo: ) o ) o ) 38 o d) 00 o e) 90 o 50' f) 95 o g) 0 o ) 58 o ) 80 56 56 ) 80 + 3 3 ) 38 360 d) 00 80 80 80 e) 90 50' 80 0 50' f) 360 95 65 g) 80 0 0 ) 58 80 78 5 Si tg α /3 y 0 < α < 90 o, ll: ) sen α ) os α ) tg (90 o α) d) sen (80 o α) e) os (80 o + α) f) tg (360 o α) sen α ) tg α os α sen α tg α os α tg α + 3 + os α os α 9 9 3 3 3 os α 9 3 3 3 3 3 sen α tg α os α 3 3 3 3 Unidd. Resoluión de triángulos 3
) luldo en el prtdo nterior: os α sen (90 α) os α ) tg (90 α) os (90 α) sen α 3 d) sen (80 α) sen α 3 e) os (80 + α) os α sen (360 α) sen α f) tg (360 α) tg α os (360 α) os α 3 Págin PR RESOLVER 6 Un esttu de,5 m está olod sore un pedestl. Desde un punto del suelo se ve el pedestl jo un ángulo de 5 o y l esttu jo un ángulo de 0 o. lul l ltur del pedestl. tg 5 y y,5 + tg 55 y y tg 5 3 3 3,5 + tg 55 tg 55,5 tg 5 + tg 5,5 tg 5 0,58 m (el pedestl) tg 55 tg 5 3 3 3 3,5 + tg 5 tg 55,5 m 0 5 y 7 Un vión vuel entre dos iuddes, y, que distn 80 km. Ls visules desde el vión y formn ángulos de 9 o y 3 o on l orizontl, respetivmente. qué ltur está el vión? V (vión) 9 80 km 3 Unidd. Resoluión de triángulos
tg 9 tg 9 80 tg 3 tg 3 80 tg 3 80 tg 3 tg 3 80 tg 3 tg 9 tg 9 tg 9 tg 3 80 tg 3 tg 9 7,8 km tg 3 + tg 9 8 De un triángulo retángulo se se que su áre vle 86 m y un teto mide 8 m. lul ls rzones trigonométris de sus ángulos. Áre 86 m 8 m 8 86 36 m + 8 + 36 3 600 60 m 8 sen 60 5 sen sen 90 36 3 os 60 5 os os 90 0 tg 3 36 sen 60 8 os 60 tg 3 3 5 5 9 lul los ldos y los ángulos del triángulo. En el triángulo retángulo D, ll y D. En D, ll y D. Pr llr, ses que + + 80 o. En D: 3 os 50 D tg 50 3 3 os 50,7 m D 3 tg 50 3,6 m 50 3 m D 7 m En D: D 3,6 sen 7 7 0,53 30 56' 59" D os 7 D 7 os 6 m sí, y tenemos: 50 7 m 80 ( + ) 99 3' " D + D 9 m 30 56' 59",7 m Unidd. Resoluión de triángulos 5
0 En un irunfereni de rdio 6 trzmos un uerd 3 m del entro. Hll el ángulo O. Los triángulos OP y OP son igules. En mos onoes un teto y l ipotenus. Hll el ángulo OP, que es l mitd de O. P P O 3 m 6 m OP 3 m O 6 m OP 90 O 3 os PO PO 60 6 O PO 60 0 Hll el ángulo que form l digonl de l r de un uo y l digonl del uo. Llm l l rist del uo y epres, en funión de l l digonl D. lul sen α en el triángulo D. L digonl divide l se en dos triángulos retángulos isóseles igules, donde α es l ipotenus. sí: l + l l (por el teorem de Pitágors) D es un triángulo retángulo, donde D es l ipotenus. sí: D l + l + l 3l D 3 l l l 3 En D, sen α α 35 5' 5,8" D 3l 3 3 D l Pr lolizr un emisor lndestin, dos reeptores, y, que distn entre sí 0 km, orientn sus ntens i el punto donde está l emisor. Ests direiones formn on ángulos de 0 o y 65 o. qué distni de y se enuentr l emisor? E 0 0 km 65 Unidd. Resoluión de triángulos 6
E 80 ( + ) 75 plindo el teorem de los senos: sen 0 sen 65 0 0 sen 0 sen 75 sen 75 6,65 km dist de 0 0 sen 65 sen 75 sen 75 9,38 km dist de 3 En un entrenmiento de fútol se olo el lón en un punto situdo 5 m y 8 m de d uno de los postes de l porterí, uyo no es de 7 m. jo qué ángulo se ve l porterí desde ese punto? (porterí) 7 m 5 m 8 m (lón) plindo el teorem del oseno: + os os + 8 + 5 7 0,5 60 8 5 lul el áre y ls longitudes de los ldos y de l otr digonl: D 50 o. lul los ldos del triángulo D y su áre. Pr llr l otr digonl, onsider el triángulo D. 50 0 8 m D Los dos triángulos en que l digonl divide l prlelogrmo son igules. Luego strá resolver uno de ellos pr lulr los ldos: 80 ( + ) 0 50 8 m 0 sen 50 8 8 sen 50,7 m sen 0 sen 0 sen 0 8 8 sen 0 6,6 m sen 0 sen 0 sí: D 6,6 m D,7 m Unidd. Resoluión de triángulos 7
Pr lulr el áre del triángulo : sen 50 sen 50 8 8 sen 50 8 6,6 sen 50 Áre 5,5 m El áre del prlelogrmo será: Áre D Áre 5,5 9 m Pr lulr l otr digonl onsideremos el triángulo D: 50 + 0 70 plindo el teorem del oseno: D 6,6 +,7 6,6,7 os 70 93,8 D 3,9 m 6,6 m 70,7 m D 5 Dos irunferenis sentes tienen rdios de 0 m y 3 m. Sus tngentes omunes formn un ángulo de 30 o. lul l distni entre los entros. 3 m M 0 m N 30 P Los triángulos MP y NP son retángulos. L ret que une los entros ( y ) es l isetriz del ángulo 30 : sí: PN PM 5 0 sen 5 P 0 38,6 m P sen 5 3 sen 5 P 3 50, m P sen 5 Y, por tnto: P P 50, 38,6,6 m Unidd. Resoluión de triángulos 8
6 Dos ros prten de un puerto on rumos distintos que formn un ángulo de 7 o. El primero sle ls 0 de l mñn on un veloidd de 7 nudos, y el segundo sle ls 30 min, on un veloidd de 6 nudos. Si el lne de sus equipos de rdio es de 50 km, podrán ponerse en ontto ls 3 de l trde? (Nudo mill / or; mill 850 m) P 7 L distni que reorre d uno en ese tiempo es: ro P 7 850 m/ 5 57 50 m ro P 6 850 m/ 3,5 68 350 m Neesrimente, > P y > P, luego: > 68 350 m omo el lne de sus equipos de rdio es 50 000 m, no podrán ponerse en ontto. (NOT: Puede lulrse on el teorem del oseno 9 3,7 m). 7 Hll el perímetro del udrilátero D insrito en un irunfereni de 6 m de rdio. Ten en uent que los triángulos O, O, OD y DO son isóseles. omo el rdio es 6 m, los ldos igules d uno de esos triángulos isóseles miden 6 m. sí, pr d triángulo, onoidos dos ldos y el ángulo omprendido, podemos llr el terer ldo on el teorem del oseno. En O: 6 + 6 6 6 os 60 36 (omo er de esperr por ser un triángulo equilátero). En O: 6 + 6 6 6 os 80 59,5 En OD: D 6 + 6 6 6 os 00 8,5 En DO: D 6 + 6 6 6 os 0 08 D 6 m 60 7,7 m 80 O 00 D 9, m D 0, m Por tnto, Perímetro 6 + 7,7 + 6,6 + 6,9 33,3 m Unidd. Resoluión de triángulos 9
Págin 8 En un retángulo D de ldos 8 y m, se trz desde un perpendiulr l digonl, y desde D, otr perpendiulr l mism digonl. Sen M y N los puntos donde ess perpendiulres ortn l digonl. Hll l longitud del segmento MN. En el triángulo, ll. En el triángulo M, ll M. Ten en uent que: MN M Los triángulos ND y M son igules, luego omo MN N M, entones: MN M Por tnto, st on lulr N M en el triángulo y En : 8 + 08 (por el teorem de Pitágors) lulmos (en ): tg,5 56 8' 35,8" 8 En M: M os 8 M 8 os (56 8' 35,8"), m Por último: MN M,, 5,6 m D N m M en el triángulo M., m 9 Dos irunferenis son tngentes eteriormente y sus rdios miden 9 m y m, respetivmente. Hll el ángulo α que formn sus tngentes omunes. M 8 m O' 9 α O P Los rdios formn on ls tngentes dos triángulos retángulos. omo OP +, se tiene: sen α y sen α 9 + 7 + lul y después α. Unidd. Resoluión de triángulos 30
OP + sen α O'P 9 + + + 7 + sen α 9 + 7 + (7 + ) 9 ( + ) 68 36 9 3 5 6, m Sustituyendo por su vlor: sen α 0,386 α 37',5" + + 6, 0, sí: α 5 ' 3" + 9 7 + 30 Hll l ltur de l torre QR de pie inesile y más jo que el punto de oservión, on los dtos de l figur. Llmemos e y ls medids de l ltur de ls dos prtes en que qued dividid l torre según l figur dd; y llmemos z l distni de P l torre. Q 8 30 0 P 50 m R P' Q z 8 30 y 0 P 50 m R P' tg 8 z tg 8 z tg 30 (z + 50) tg 30 z + 50 z tg 8 (z + 50) tg 30 50 tg 30 z tg 8 z tg 30 + 50 tg 30 z 5,3 m tg 8 tg 30 Sustituyendo en z tg 8 5,3 tg 8 60, m Pr lulr y: tg 0 y z y z tg 0 5,3 tg 0 9,7 m Luego: QR + y 79,8 m mide l ltur de l torre. 3 lul l ltur de QR, uyo pie es inesile y más lto que el punto donde se enuentr el oservdor, on los dtos de l figur. Q Llmemos l distni del punto más lto l líne orizontl del oservdor; y l distni de l se de l torre l mism líne; y z l distni R'P, omo se indi en l figur. R 8 3 P 50 m P' Unidd. Resoluión de triángulos 3
tg (8 + ) tg 0 z tg 0 z tg 3 (z + 50) tg 3 z + 50 50 tg 3 z tg 0 (z + 50) tg 3 z 5,8 tg 0 tg 3 Sustituyendo en z tg 0 5,8 tg 0,37 m Pr lulr y: Q y tg 8 y z tg 8 5,8 tg 8 7, m z Por tnto: R y 8 3 QR y 7,97 m mide l ltur de l torre R' P P' z 50 m 3 L longitud del ldo de un otógono regulr es 8 m. Hll los rdios de ls irunferenis insrit y irunsrit l otógono. onsideremos el triángulo isóseles formdo por el entro del polígono y uno de sus ldos: 360 5 l 8 El rdio de l irunfereni insrit será l ltur de ese triángulo: 5 8 m tg tg,5 9,66 m tg,5 El de l irunfereni irunsrit será el ldo l del triángulo: 5 sen sen,5 l 0,5 m l sen,5 UESTIONES TEÓRIS 33 Epli si ls siguientes igulddes referids l triángulo son verdders o flss: ) ) os sen 3) ) sen tg 5) tg tg 6) tg 7) sen os 0 8) os Unidd. Resoluión de triángulos 3
9) 0) sen tg ) sen os ) sen os ) Verdder, pues sen ) Verdder, pues os os 3) Fls, pues tg tg ) Fls, pues sen sen 5) Verdder, pues tg tg 6) Verdder, pues tg tg 7) Verdder, pues sen os 0 8) Verdder, pues os 9) Fls, pues tg tg sen sen 0) Verdder, pues sen + os omo os sen os sen ) Fls, pues sen os (porque ) sen / ) Verdder, pues os / 3 Prue que en un triángulo ulquier se verifi: R sen sen sen R es el rdio de l irunfereni irunsrit. Trz el diámetro desde uno de los vérties del triángulo. pli el teorem de los senos en los triángulos y '. ' O Unidd. Resoluión de triángulos 33
plimos el teorem de los senos en los triángulos y ': En sen sen sen ' En ' sen ' sen ' Suede que: ' (ángulos insritos en un irunfereni que rn el mismo ro) ' R ' 90 (medid de ángulos insritos en un irunfereni) R R L iguldd qued: R sen sen 90 sen Por último, sustituyendo en l primer epresión, se otiene el resultdo: R sen sen sen 35 Prue que solo eiste un triángulo on estos dtos: 3 m,,5 m, 60 Eiste lgún triángulo on estos dtos? + os,5 ( ) + os 60,5 3 + 3 35, 3 m, 3 m 3 + 0,75 0 3 ± 3 3 3 m 60 3 m L euión de segundo grdo solo tiene un ríz. Solo y un soluión. (NOT: Tmién se pueden estudir ls dos soluiones que slen pr on el teorem del seno y ver que un de ells no es válid, pues quedrí + > 80 ). Podemos resolverlo on el teorem del oseno, omo ntes, o on el teorem del seno. Resolvemos este prtdo on el segundo método meniondo: sen 3 3 3 3 sen sen sen 35,5 m 3 sen 35 sen 3 sen 35 Pero: + 35 + 90 > 80 Imposile! 90 Luego l soluión no es válid y, por tnto, onluimos que no y ningún triángulo on esos dtos. Unidd. Resoluión de triángulos 3
Págin 3 PR PROFUNDIZR 36 Dos vís de tren de, m de no se ruzn formndo un romo. Si un ángulo de orte es de 0, uánto vldrá el ldo del romo?,, sen 0 l,8 m l sen 0, m 0 l 0 37 En un tetredro regulr, ll el ángulo que formn dos rs ontigus. (Oserv que es el ángulo que formn ls lturs onurrentes de ess dos rs). En un tetredro regulr, d r es un triángulo equilátero de ltur, donde: l l l l + ( ) l l 3 l 3 l α El triángulo formdo por ls lturs onurrentes de dos rs y un rist es isóseles. plimos el teorem del oseno: l + os α os α + l l l l (3/)l 3/ 3 3 α 70 3' 3,6" 38 Queremos lulr l distni entre dos puntos inesiles, y. Desde y D tommos los dtos: D 300 m, D 5 o, 3 o, D 6 o, D 0 o. lul. Si onoiésemos y, podrímos llr on el teorem del oseno en. y lulemos, pues, En el triángulo D: D 65 6 300 m : 80 65 6 69 Por el teorem del seno: 300 sen 69 D 5 0 sen 65 300 sen 65 sen 69 300 m 9, m 6 3 Unidd. Resoluión de triángulos 35
En el triángulo D: D 0 78 300 m 80 0 78 6 Por el teorem del seno: 300 sen 6 sen 0 300 sen 0 8,0 m sen 6 Podemos entrrnos y en el triángulo, y plir el teorem del oseno: 9, + 8,0 9, 8,0 os 3 636,09 56,96 m 9, m 3 8,0 m 39 En un írulo de 5 m de rdio, ll el áre omprendid entre un uerd de 0 m de longitud y el diámetro prlelo ell. Podemos dividir l zon somred en tres, de form 0 m que: II I β III I III setores irulres de ángulo α desonoido. α α II triángulo isóseles de ldos igules 5 m y de 5 m ldo desigul 0 m. En II: lulemos l ltur desde : 5 + 0 5 0,8 m se ltur 0,8 sí: Áre II,8 m lulemos el ángulo β (el ángulo desigul) plindo el teorem del oseno: 0 5 + 5 5 5 os β os β 5 + 5 0 0, ) β 83 37',3" 5 5 En I: onoido β podemos lulr α fáilmente: 80 β α 8 ',9" Unidd. Resoluión de triángulos 36
Y, on esto, el áre: Áre I π r α π 5 α 9,6 m 360 360 Por último, el áre pedid será: T Áre II + Áre I,8 + 9,6 T 30,0 m 0 Pr medir l ltur de un montñ nos emos situdo en los puntos y D distntes entre sí 50 m, y emos tomdo ls siguientes medids: 60 o D 65 o D 80 o lul l ltur de l montñ. Pr poder lulr l ltur en el triángulo neesitmos, que lo podemos otener plindo el teorem del seno en el triángulo D: 50 sen 35 D 80 80 65 35 50 sen 80 9, sen 80 sen 35 En : sen 60 sen 60 9, sen 60 37,73 m lul el ángulo que form l tngente ls irunferenis de l figur on l líne que une sus entros. Los rdios miden y 9 m, y l distni entre sus entros es de 6 m. t N 9 m m M P α t En MP sen α P Unidd. Resoluión de triángulos 37
9 En NP sen α 6 P (6 P) 9 P 6 P 9 P 6 3 P P Sustituyendo en l primer euión: 5 sen α 0,85 α 5 0' 7,3" 6/3 6 PR PENSR UN POO MÁS Ls rzones trigonométris sen, os y tg se mplín on ests otrs: P Q sente: se α os α S T osente: ose α s t sen α O R otngente: otg α tg α 6 3 Demuestr medinte semejnz de triángulos que ests rzones trigonométris se representn sore l irunfereni goniométri del siguiente modo: se α OT, ose α OQ, otg α PQ OS OT omo OS ~ ORT ; demás, OR OR (rdio) O OS OT OT sí: se α OT os α OR O O OS QO omo OS ~ QPO ; demás, OP OP S OS QO QO sí: ose α QO sen α OP S S OR PQ omo ORT ~ QPO ; demás, OP TR OP OR PQ PQ sí: otg α PQ tg α TR TR OP 3 En un triángulo ulquier d isetriz interior divide l ldo opuesto en dos segmentos proporionles los otros dos ldos. Es deir: ' ' α β ' Demuestr est iguldd y epres ls igulddes orrespondientes ls otrs dos isetries, ' y '. Unidd. Resoluión de triángulos 38
En ' ' sen sen / sen α En ' ' sen sen / sen β ' sen α ' sen β omo α + β 80 sen α sen β ' ' ' sen α ' sen β Ls igulddes orrespondientes ls otrs dos isetries son: ' ' ' ' y Demuestr que en un triángulo de ldos,, el vlor de l medin, m, sore el ldo es: m + (pli el teorem del oseno en los triángulos M y utilizndo, en mos sos, l epresión en l que figur os ). En + os En M m ( ) + os Despejmos os os m + en l primer euión y después sustituimos en l segund: + os m + + + + + ( + ) + + ( + ) Luego: m ( + ) m + M m Unidd. Resoluión de triángulos 39