RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 103 REFLEXION Y RESUELVE Prolem 1 Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr hllr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr su somr on l de un vr vertil uy longitud es onoid. Hzlo tú siguiendo este método y siendo que: l vr mide 1 m, l somr de l vr mide 37 m, l somr del árol mide 5 m. Pr soluionr este prolem hrás utilizdo l semejnz de dos triángulos. 1 37 5 5 1 37 6,65 m 1 m 5 m 37 m L ltur del árol es de 6,65 m. Prolem ernrdo onoe l distni l que está del árol y los ángulos y ì ; y quiere lulr l distni l que está de rmen. ì Dtos: 63 m; o ; 3 o Pr resolver el prolem, primero reliz un diujo esl 1:1 000 (1 m 1 mm). Después, mide l longitud del segmento y, deshiendo l esl, otendrás l distni l que ernrdo está de rmen. mm 63 m 3 Deshiendo l esl: ì m ì 17
Prolem 3 nálogmente puedes resolver este otro: ernrdo ve desde su s el stillo y l dí. onoe ls distnis mos lugres, pues h heho el mino pie muhs vees; y quiere verigur l distni del stillo l dí. Pr ello dee, previmente, medir el ángulo ì. Dtos: 1 00 m; 700 m; 10 o. Utiliz hor l esl 1:10 000 (100 m 1 m). 100 m 1 m 1 00 m 1 m 700 m 7 m 1,7 m ò 1 70 m ì 700 m 7 m 10 100 m 1 m NOT: El triángulo está onstruido l 50% de su tmño. Prolem lul, plindo el teorem de Pitágors: ) Los ldos igules de un triángulo retángulo isóseles uy hipotenus mide 1. 1 )L ltur de un triángulo equilátero de ldo 1. Hz todos los álulos mnteniendo los rdiles. Dees llegr ls siguientes soluiones: y 3 1 1 y 1
UNIDD ) 1 + 1 1 1 1 ) 1 y + ( ) y 1 y Págin 10 1. lul tg siendo que sen 0,39. Hzlo, tmién, on luldor. os 1 (sen ) 1 0,39 0,9 sen tg 0, os on luldor: s ß 0,39 t { Ÿ ««} 1 3 3. lul os siendo que tg 1,. Hzlo, tmién, on luldor. s + 1 s/ 1, Resolviendo el sistem se otiene s 0,79 y 0,6. on luldor: s t 1, { Ÿ\ \ } Págin 105 1. Siendo que el ángulo está en el segundo udrnte (90 < < 10) y sen 0,6, lul os y tg. 0,6 t os 1 0,6 0,7 0,6 tg 0,79 0,7. Siendo que el ángulo está en el terer udrnte (10 < < 70) y os 0,3, lul sen y tg. s 0,3 t sen 1 (0,3) 0,56 0,56 tg 0,67 0,3 19
3. Siendo que el ángulo está en el urto udrnte (70 < < 360) y tg 0,9, lul sen y os. s t 0,9 s/ 0,9 s + 1 s 0,6; 0,7 s 0,6; 0,7 El sistem tiene dos soluiones: Teniendo en uent dónde está el ángulo, l soluión es l primer: sen 0,6, os 0,7. omplet en tu uderno l siguiente tl y mplíl pr los ángulos 10, 5, 0, 70, 300, 315, 330 y 360. 0 30 5 60 90 10 135 150 10 sen 0 1/ / 3/ 1 os 1 3/ 0 tg 0 3/3 yúdte de l representión de los ángulos en un irunfereni goniométri. 0 30 5 60 90 10 135 150 10 sen 0 1/ / 3/ 1 3/ / 1/ 0 os 1 3/ / 1/ 0 1/ / 3/ 1 tg 0 3/3 1 3 3 1 3/3 0 10 5 0 70 300 315 330 360 sen 1/ / 3/ 1 3/ / 1/ 0 os 3/ / 1/ 0 1/ / 3/ 1 tg 3/3 1 3 3 1 3/3 0 Págin 106 1. Hll ls rzones trigonométris del ángulo 397: ) Oteniendo l epresión del ángulo en el intervlo [0, 360). ) Oteniendo l epresión del ángulo en el intervlo ( 10, 10]. ) Diretmente on l luldor. ) 397 6 360 + 37 ) 397 7 360 13 sen 397 sen 37 0, sen 397 sen ( 13) 0, os 397 os 37 0,5 os 397 os ( 13) 0,5 tg 397 tg 37 1,5 tg 397 tg ( 13) 1,5 0
UNIDD. Ps d uno de los siguientes ángulos l intervlo [0, 360) y l intervlo ( 10, 10]: ) 396 ) 9 ) 65 d) 3 95 e) 7 61 f ) 1 90 Se trt de epresr el ángulo de l siguiente form: ) 396 396 360 36 ) 9 9 360 13 k o k, donde k Ì 10 ) 65 65 360 5 5 360 75 d) 395 395 10 360 95 95 360 65 e) 761 761 1 360 5 f) 190 190 5 360 10 undo hemos, por ejemplo, 761 761 1 360, por qué tommos 1? Porque, previmente, hemos relizdo l división 7 61 / 360 { }. Es el oiente entero. Págin 107 LENGUJE MTEMÁTIO 1. Di el vlor de ls siguientes rzones trigonométris sin preguntrlo l luldor. Después, ompruélo on su yud: ) sen(37 Ò 360 30) ) os( 5 Ò 360 + 10) ) tg(11 Ò 360 135) d) os(7 Ò 10 + 135) ) sen (37 360 30) sen ( 30) sen 30 ) os ( 5 360 + 10) os (10) ) tg (11 360 135) tg ( 135) tg 135 1 1 1 d) os (7 10 + 135) os ( 10 10 + 135) os (1 360 5) os ( 5) os 5. Repite on l luldor estos álulos: s t 1 P 10 { } s t 1 P 0 { } Epli los resultdos. ómo es posile que dig que el ángulo uy tngente vle 10 0 es 90 si 90 no tiene tngente? Es un ángulo que difiere de 90 un ntidd tn pequeñ que, pesr de ls muhs ifrs que l luldor mnej, l redonderlo d 90. 1
Págin 109 1. lul ls rzones trigonométris de 55, 15, 15, 15, 35, 305 y 35 prtir de ls rzones trigonométris de 35: sen 35 0,57; os 35 0,; tg 35 0,70 55 90 35 ò 55 y 35 son omplementrios. sen 55 os 35 0, os 55 sen 55 0,57 ( 1 1 Tmién tg 55 1,3 tg 35 0,70 sen 55 0, tg 55 1,3 os 55 0,57 ) 15 90 + 35 sen 15 os 35 0, os 15 sen 35 0,57 1 1 tg 15 1,3 tg 35 0,70 15 35 15 10 35 ò 15 y 35 son suplementrios. sen 15 sen 35 0,57 os 15 os 35 0, tg 15 tg 35 0,70 15 35 15 10 + 35 sen 15 sen 35 0,57 os 15 os 35 0, tg 15 tg 35 0,70 15 35 35 70 35 sen 35 os 35 0, os 35 sen 35 0,57 sen 35 os 35 1 1 tg 35 1,3 os 35 sen 35 tg 35 0,70 35 35
UNIDD 305 70 + 35 sen 305 os 35 0, os 305 sen 35 0,57 sen 305 os 35 1 tg 305 1,3 os 305 sen 35 tg 35 305 35 35 360 35 ( 35) sen 35 sen 35 0,57 os 35 os 35 0, sen 35 sen 35 tg 35 tg 35 0,70 os 35 os 35 35 35. verigu ls rzones trigonométris de 35, 156 y 3, utilizndo l luldor solo pr hllr rzones trigonométris de ángulos omprendidos entre 0 y 90. 35 360 sen 35 sen 0,039 os 35 os 0,999 tg 35 ( *) tg 0,039 (*) sen 35 sen tg 35 tg os 35 os 156 10 sen 156 sen 0,067 os 156 os 0,9135 tg 156 tg 0,5 OTR FORM DE RESOLVERLO: 156 90 + 66 sen 156 os 66 0,067 os 156 sen 66 0,9135 1 1 tg 156 0,5 tg 66,60 3 360 1 sen 3 sen 1 0,3090 os 3 os 1 0,9511 tg 3 tg 1 0,39 3
3. Diuj, sore l irunfereni goniométri, ángulos que umpln ls siguientes ondiiones y estim, en d so, el vlor de ls restntes rzones trigonométris: ) sen 1, 3 tg > 0 ) os, > 90 ) tg 1, os < 0 d) tg, os < 0 ) sen 1/ < 0 tg > 0 sen 1/ os 0,6 os < 0 é 3. er udrnte tg 0,5 ) os 3/ > 90º sen 0,66 os 3/ é. udrnte tg 0, ) tg 1 < 0 os < 0 sen 0,7 os 0,7 sen > 0 é. udrnte tg 1 d) tg > 0 os < 0 sen 0,9 os 0,5 sen < 0 é 3. er udrnte tg Págin 111 1. Ls siguientes propuests están referids triángulos retángulos que, en todos los sos, se designn por, siendo el ángulo reto. ) Dtos: 3 m, 57. lul. )Dtos: 3 m, 57. lul. ) Dtos: 50 m, 30 m. lul y. d)dtos: 35 m, 3. lul. e) Dtos: 35 m, 3. lul. ) os os 17,3 m ) sen sen 6, m
UNIDD ) + 396,69 m tg 0,1 39 3' 57'' d) tg 56,01 m e) sen 66,05 m sen. Pr determinr l ltur de un poste nos hemos lejdo 7 m de su se y hemos medido el ángulo que form l visul l punto más lto on l horizontl, oteniendo un vlor de 0. uánto mide el poste? tg tg 0 7 7 tg 0 5,7 m 0 7 m 3. Hll el áre de este udrilátero. Sugereni: Pártelo en dos triángulos. 16 m 3 m 10 17 m 9 m 1 1 9 3 sen 10 397,13 m 1 17 16 sen 101,67 m 1 3 m 10 9 m 16 m El áre es l sum de 1 y : 11,0 m 17 m 5
Págin 113 1. En un triángulo onoemos 6, 17 m y 13 m. lul l longitud del ldo. H 17 os 6 6,3 m H 17 sen 6 159, m H H 9,75 m H + H 6,3 m + 9,75 m 15,1 m 17 m 6 H 13 m. En un triángulo MNP onoemos M 3, N 3 y NP 7 m. lul MP. PH sen 3 PH 7 sen 3 3,05 m 7 PH PH 3,05 sen 3 MP 60,9 m MP sen 3 sen 3 M P 7 m 3 3 H N 3. En un triángulo onoemos 0 m, 33 m y 53. lul l longitud del ldo. H os 53 1,0 m 0 m? 53 H 33 m H sen 53 15,97 m H H 0,96 m H + H 6,35 m. Estmos en, medimos el ángulo jo el que se ve el edifiio (), nos lejmos 0 m y volvemos medir el ángulo (35). uál es l ltur del edifiio y qué distni nos enontrmos de él? Oserv l ilustrión: 35 0 m 6
UNIDD h tg h d tg d h tg 35 h (d + 0)tg 35 d + 0 0 tg 35 d tg (d + 0) tg 35 d 139,90 m tg tg 35 h d tg 15,97 m L ltur es 15,97 m. L primer distni es 139,90 m, y hor, después de lejrnos 0 m, estmos 179,90 m. Págin 11 1. Repite l demostrión nterior en el so de que otuso. Ten en uent que: se sen (10 ) sen H h (10 ) H h sen h sen h sen sen (10 ) h sen sen sen sen sen. Demuestr detlldmente, sándote en l demostrión nterior, l siguiente relión: sen sen Lo demostrmos pr ángulo gudo. (Si fuese un ángulo otuso rzonrímos omo en el ejeriio nterior). Trzmos l ltur h desde el vértie. sí, los triángulos otenidos H y H son retángulos. 7
H h Por tnto, tenemos: h sen h sen h sen h sen sen sen sen sen Págin 115 3. Resuelve el mismo prolem nterior ( m, 30) tomndo pr los siguientes vlores: 1,5 m, m, 3 m, m. Justifi gráfimente por qué se otienen, según los sos, ningun soluión, un soluión o dos soluiones. 1,5 m sen 1,5 0,5 sen 1, ) 3 sen sen sen 30 1,5 30 m 1,5 m Imposile, pues sen é [ 1, 1] siempre! No tiene soluión. on est medid, 1,5 m, el ldo nun podrí tor l ldo.
UNIDD m sen 0,5 sen 1 90 sen sen sen 30 m 30 m Se otiene un úni soluión. 3 m sen 3 0,5 sen 0, 6 ) sen 30 3 1 1 ' 37,1" 13 11',9" 3 m 30 m 3 m Ls dos soluiones son válids, pues en ningún so ourre que + > 10. m sen 0,5 sen 0,5 sen 30 1 30 Un soluión válid. 150 m 30 m L soluión 150 no es válid, pues, en tl so, serí + 10. Imposile! 9
Págin 117. Resuelve los siguientes triángulos: ) 1 m; 16 m; 10 m ) m; 7 m; 0 ) m; 6 m; 5 m d) m; 3 m; 105 e) m; 5 y 60 f) 5 m; 35 ) + os 1 16 + 10 16 10 os 1 56 + 100 30 os 56 + 100 1 os 0,665 30 30' 33" 1 m 16 m 10 m + os 56 1 + 100 1 10 os 1 + 100 56 os 0,05 0 9 51' 57,5" + + 10 3 37' 9,5" 10 ) + os 7 + 7 os 0 9 + 35,9 97,06 17, m 7 sen sen sen 7 sen 0 sen 0,6 17, 17, sen 0 m 1 15 7',3" 16 5' 15,7" No válid 0 7 m (L soluión no es válid, pues + > 10). 10 ( + ) 1 5' 15,7" 30
UNIDD ) + os 6 36 + 5 6 5 os 36 + 5 6 os 0,05 60 9 51' 57,5" + os 36 6 + 5 5 os 6 + 5 36 os 0,665 0 30' 33" 10 ( + ) 3 37' 9,5" (NOT: ompárese on el prtdo ). Son triángulos semejntes). 6 m 5 m m d) + os 16 + 9 3 os 105 31,1 5,59 m sen 5,59 sen 105 sen sen sen 105 sen 0,691 5,59 3 m 105 m (L soluión no es válid, pues + > 10). 10 ( + ) 31 16' 3,7" e) 10 ( + ) 75 sen sen 75 1 3 3' 5,3" 136 16' 3,7" sen sen 5 sen 75 sen 5,93 m sen sen sen 75 No válid sen 60 sen 60 sen 75 3,59 m 31
f) 10 ( + ) 110 5 sen sen sen 110 5 sen 35 sen 110 3,05 m sen 35 omo 3,05 m 5. Ls ses de un trpeio miden 17 m y 10 m, y uno de sus ldos, 7 m. El ángulo que formn ls rets sore ls que se enuentrn los ldos no prlelos es de 3. lul lo que mide el otro ldo y el áre del trpeio. Los triángulos P y DP son semejntes, luego: P 10 + 7 17 10 ( + 7) 10 17 3 plindo el teorem del oseno en el triángulo P tenemos: + y y os 3 10 10 + y 10y os 3 0 y 16,96y y 10 m 7 m y 0 No válido y 16,96 m z 17 m De nuevo, por semejnz de triángulos, tenemos: D D 10 17 DP 10(z + 16,96) 17 16,96 P 16,96 z + 16,96 10z 11,7 z 11,7 m mide el otro ldo, D, del trpeio. omo PD es un triángulo isóseles donde D P 17 m, entones: h z D 3 sen 3 ò h z sen 3 11,7 sen 3 6,91 sí: + 17 + 10 Áre D h 6,91,93 m 3
UNIDD 6. Un ro pide soorro y se reien sus señles en dos estiones de rdio, y, que distn entre sí 50 km. Desde ls estiones se miden los siguientes ángulos: 6 y 53. qué distni de d estión se enuentr ì ì el ro? 10 6 53 1 6 50 km 53 sen 50 sen 6 sen sen sen sen 1 36, km 50 sen 53 sen sen sen sen sen 1 0, km 7. Pr hllr l ltur de un gloo, relizmos ls mediiones indids en l figur. uánto dist el gloo del punto? uánto del punto? qué ltur está el gloo? 63 G 90 H 75 7 0 m H 90 75 7 63 0 m ì G 10 7 63 5 0 0 sen 63 5, m dist el gloo del punto. sen 63 sen 5 sen 5 0 0 sen 7 6,9 m dist el gloo del punto. sen 7 sen 5 sen 5 sen 75 5, sen 75,3 m es l ltur del gloo. 5, 33
Págin 1 EJERIIOS Y PROLEMS PROPUESTOS PR PRTIR Relión entre rzones trigonométris 1 lul ls demás rzones trigonométris del ángulo (0 < < 90) utilizndo ls reliones fundmentles: 3 ) sen )os ) tg 3 d)sen e) os 0,7 f) tg 3 ) sen + os 3 ) 1 ( sen 3/ tg 3 os 1/ ) sen + ) / tg 1 / os + os 1 os 3 1 1 1 sen 1 1 1 sen 1 ) 1 + tg 1 1 + os os sen 1 d) os 1 3 ) 3/ tg 55/ 1 7 os os os os 7 7 3 3 sen 7 7 os 55 os 6 e) sen 1 (0,7) sen 0,16 sen 0,69 0,69 tg 0,96 0,7 ( ( ( 7 7 ) 3 55 55 1 ( 3 ) 1 7 55 3 7 7 3
UNIDD 1 f) 1 + 3 os 1 1 os os 10 10 sen 1 9 3 1 sen 10 10 10 3 10 10 Siendo que el ángulo es otuso, omplet l siguiente tl: 10 10 sen os tg 0,9 0,5 0,1 0, 0,75 sen os tg 0,9 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96 0,39 0, 0,1 0, 0,7 0,,36 0,75,5 0,75 0,57 ) ) ) d) e) f) ) sen + os 1 0,9 + os 1 os 1 0,9 os 0,1536 os 0,39 7 otuso os < 0 tg sen,36 os (Se podrín lulr diretmente on l luldor sen 1 0,9, teniendo en uent que el ángulo está en el segundo udrnte). ) 1 1 + tg 1 1 + 0,565 os 0,6 os 0, os os tg sen sen tg os ( 0,75) ( 0,) 0,6 os ) sen 1 os 1 0,01 0,956 sen 0,99 tg sen 0,99,5 os 0,1 d) sen 1 os 1 0,6 0,36 sen 0,6 tg sen 0,6 0,75 os 0, (NOT: es el mismo ángulo que el del prtdo )). e) os 1 sen 1 0,5 0,75 os 0,7 tg sen 0,5 0,57 os 0,7 35
f) 1 1 + tg 1 + 16 os 0,059 os 0, os sen tg os ( ) ( 0,) 0,96 3 Hll ls restntes rzones trigonométris de : ) sen /5 < 70 )os /3 tg < 0 ) tg 3 < 10 ) ) sen < 0 < 70 é 3. er udrnte os 1 sen 16 9 3 1 os 5 5 5 tg sen /5 os 3/5 os > 0 tg < 0 sen < 0 é. udrnte sen 1 os 5 1 sen 9 9 tg sen os 5 3 sen < 0 os < 0 tg > 0 5 3 ) tg < 0 < 10 é. udrnte sen > 0 os < 0 1 tg + 1 9 + 1 10 os 1 os os 10 10 10 sen os 10 10 tg sen tg os ( 3) ( ) 3 10 10 Epres on un ángulo del primer udrnte: ) sen 150 )os 135 ) tg 10 d) os 5 e) sen 315 f ) tg 10 g) tg 30 h)os 00 i) sen 90 ) 150 10 30 sen 150 sen 30 ) 135 10 5 os 135 os 5 ) 10 10 + 30 sen 10 sen 30 tg 10 os 10 os 30 tg 30 d) 55 70 15 os 55 sen 15 36
UNIDD e) 315 360 5 sen 315 sen 5 f) 10 10 60 sen 10 sen 60 tg 10 os 10 os 60 tg 60 ( Tmién 10 90 + 30 tg 10 sen 10 ) os 30 1 os 10 sen 30 g) 30 360 0 sen 30 sen 0 tg 30 os 30 os 0 tg 0 h) 00 10 + 0 os 00 os 0 i) 90 70 + 0 sen 90 os 0 (Tmién 90 360 70 sen 90 sen 70) tg 30 5 Si sen 0,35 y < 90, hll: ) sen (10 ) )sen ( + 90) ) sen (10 + ) d)sen (360 ) e) sen (90 ) f) sen (360 + ) ) sen (10 ) sen 0,35 ) sen ( + 90) os sen + os 1 os 1 0,35 0,775 ò os 0,9 sen ( + 90) os 0,9 ) sen (10 + ) sen 0,35 d) sen (360 ) sen 0,35 e) sen (90 ) os 0,9 (luldo en el prtdo )) f) sen (360 + ) sen 0,35 6 Si tg /3 y 0 < < 90, hll: ) sen )os ) tg (90 ) d)sen (10 ) e) os (10 + ) f) tg (360 ) ) tg sen sen tg os os 1 os tg + 1 1 13 + 1 os 9 9 3 os 9 13 13 3 13 13 3 13 sen tg os 13 3 13 13 37
) luldo en el prtdo nterior: os 3 13 13 ) tg (90 ) sen (90 ) os os (90 ) sen d) sen (10 ) sen 13 13 3 e) os (10 + ) os 3 13 13 f) tg (360 ) sen (360 ) sen tg os (360 ) os 3 7 Hll on l luldor el ángulo : ) sen 0,75 < 70 )os 0,37 > 10 ) tg 1,3 sen < 0 d)os 0,3 sen < 0 ) on l luldor 35' 5" é. udrnte sen < 0 omo dee ser é 3. er udrnte < 70 Luego 10 + 35' 5" 35' 5" ) on l luldor: 111 ' 56,3" os < 0 > 10 é 3. er udrnte 360 111 ' 56,3" 17' 3,7" ) tg 1,3 > 0 sen < 0 os < 0 é 3. er udrnte on l luldor: tg 1 1,3 5 ' 17,39" 10 + 5 ' 17,39" 3 ' 17," 3
UNIDD d) os 0,3 > 0 sen < 0 é. udrnte on l luldor: os 1 0,3 76 ' 10,5" 76 ' 10,5" 3 17' 9,6" Resoluión de triángulos retángulos Resuelve los siguientes triángulos retángulos ( 90) hllndo l medid de todos los elementos desonoidos: ) 5 m, 1 m. Hll,,. ) 3 m, 37. Hll,,. ) 7 m, 5. Hll,,. d) 5, km, 71. Hll,,. ) + 5 + 1 169 13 m tg 5 1 0,16 37' 11,5 90 67 ',5" 1 m 5 m ) 90 37 53 3 3 sen 71,5 m sen 37 3 3 tg 57,06 m tg 37 37 3 m ) 90 5 3 7 7 os 13, m os 5 tg 7 tg 5 11, m 7 5 7 m 39
d) 90 71 19 sen 5, sen 71 5, km 5, os 5, os 71 1,9 km 5, 5, km 71 9 Si queremos que un int trnsportdor de 5 metros eleve l rg hst un ltur de 15 metros, qué ángulo se deerá inlinr l int? 15 sen 0,6 36 5' 11,6" 5 5 m 15 m 10 Un esler de m está poyd en un pred formndo un ángulo de 50 on el suelo. Hll l ltur l que lleg y l distni que sepr su se de l pred. m 50 d h h sen 50 h 1,53 m d os 50 d 1,9 m 11 El ldo de un romo mide m y el ángulo menor es de 3. uánto miden ls digonles del romo? m 19 y 3 sen 19 os 3 y y sen 19,6 m d 5, m os 19 7,6 m D 15, m 0
UNIDD 1 lul l proyeión del segmento 15 m sore l ret r en los siguientes sos: ) 7 ) 50 r ' ' ) 15 d) 90 '' ) os '' 15 os 7,6 m ) '' 15 os 5 9,6 m ) '' 15 os 15 1,9 m d) '' 15 os 90 0 m 13 ) Hll l ltur orrespondiente l ldo en d uno de los siguientes triángulos: I II III m 17 m 5 m 3 3 m 15 m 1 m )Hll el áre de d triángulo. h ) I) sen h 7,9 m 17 h II) sen 3 h 13,5 m 5 h III) sen 3 h,1 m 1 7,9 ) I) 7,7 m 15 13,5 II) 99,3 m,1 III) 11,5 m 1 En el triángulo, D es l ltur reltiv l ldo. on los dtos de l figur, hll los ángulos del triángulo. 3 m m D, m En En ì D: sen 1 ' 37''; D 90 11' 3'' 3 ì D: tg 5 7' ''; D 6 3' 1'', Ángulos: 11 3' 35''; 1 ' 37''; 5 7' '' 1
15 Desde un punto P eterior un irunfereni de 10 m de rdio, se trzn ls tngentes dih irunfereni que formn estre sí un ángulo de 0. lul l distni de P d uno de los puntos de tngeni. 10 m O 0 P En OP 10 : tg 0 P 7,7 m P Distni de P d uno de los puntos de tngeni: 7,7 m Págin 13 Teorem de los senos 16 lul y en el triángulo en el que: 55, 0, 15 m. 50 0 15 m 10 (55 + 0) 5 15 1,33 m sen sen sen 55 sen 5 sen 15 9,6 m sen sen 0 sen 5 17 Hll el ángulo y el ldo en el triángulo en el que: 50, 3 m, 1 m. 50 1 m 3 m 3 1 sen sen sen 50 sen 1 sen 50 sen 3 10 ( + ) 93 9' 5'' 3 sen 93 9' 5'' sen sen sen 50 9,9 m 36 50' 6'' (Tiene que ser < )
UNIDD 1 Resuelve los siguientes triángulos: ) 35 17 m ) 105 30 m 1 m ) 17 sen 35 10 (35 + ) 103; 10 m sen sen sen 103 sen 17 sen 11,67 m sen sen 103 1 sen 105 ) sen 35 5' 9''; 39 3' 51'' sen sen 30 sen 30 sen 39 3' 51'' 19,79 m sen sen 105 19 Dos migos situdos en dos puntos, y, que distn 500 m, ven l torre ì ì de un iglesi,, jo los ángulos 0 y 55. Qué distni hy entre d uno de ellos y l iglesi? 10 (0 + 55) 5 0 55 500 m 500 3,6 m sen 0 sen 5 500 11,1 m sen 55 sen 5 L distni de l iglesi es de 11,1 m, y l de l iglesi, 3,6 m. Teorem del oseno 0 lul en el triángulo, en el que:, 7, m, 15,3 m. 15,3 m 7, m + os 7, + 15,3 7, 15,3 os 0, m 1 Hll los ángulos del triángulo en el que 11 m, m, 35 m. 11 m m 35 m 11 + 35 35 os + 35 11 os 15 3' 1'' 35 11 + 35 11 35 os 10 ( + ) 11 17' 51'' 11 + 35 os 3 7' '' 11 35 3
Resuelve los siguientes triángulos: ) 3 m 17 m 0 ) 5 m 57 m 65 ) 3 m 1 m 3 m ) 3 + 17 3 17 os 0 1,9 m 17 3 + 1,9 3 1,9 os 10 ( + ) 110 3' 5'' 9 56' '' ) 5 + 57 5 57 os 65 79,7 m 57 5 + 79,7 5 79,7 os 10 ( + ) 7 1' 55'' ) 3 1 + 3 1 3 os 1 3 + 3 3 3 os 10 ( + ) 133 0' 35'' 0 1' 5'' 30 10' 9'' 17 ' 56'' 3 Desde l puert de mi s,, veo el ine,, que está 10 m, y el kiosko, K, que está 5 m, jo un ángulo K 0. Qué distni hy ì entre el ine y el kiosko? 10 m 0 5 m K 10 + 5 10 5 os 0 77, m es l distni entre el ine y el kiosko. Resoluión de triángulos ulesquier Resuelve los siguientes triángulos: ) 100 m 7 63 ) 17 m 70 35 ) 70 m 55 m 73 d) 1 m 00 m 10 e) 5 m 30 m 0 m f) 100 m 15 m 150 m g) 15 m 9 m 130 h) 6 m m 57
UNIDD ) 10 ( + ) 70 sen sen 100 sen 70 sen 7 100 sen 7 77,3 m sen 70 100 100 sen 63 9, m sen 70 sen 63 sen 70 ) 10 ( + ) 75 17 17 sen 70 16,5 m sen 75 sen 70 sen 75 17 17 sen 35 10,09 m sen 75 sen 35 sen 75 ) 70 + 55 70 55 os 73 5 673,7 75,3 m 70 55 + 75,3 55 75,3 os os 55 + 75,3 70 0,5 6 3' 9," 55 75,3 10 ( + ) 16' 10,6" d) 1 + 00 1 00 os 10 79 1,6 m + os os + os 1,6 + 00 1 0,969 1' 5,5" 1,6 00 10 ( + ) 37 5' 55,5" e) + os os + 30 + 0 5 0,71 3 37' 9," 30 0 os + 5 + 0 30 0,665 30' 33" 5 0 10 ( + ) 9 51' 57,6" f) os + 15 + 150 100 0,19 3 39' 3," 15 150 os + 100 + 150 15 0,0575 93 17' 6,7" 100 150 10 ( + ) 5 ' 3,9" 5
15 g) 9 9 sen 130 sen 0,596 sen 130 sen 15 L soluión no es válid, pues + > 10. 10 ( + ) 3' 13," 15 15 sen 7,5 m sen 130 sen sen 130 h) 6 6 sen 57 sen 0,690 sen 57 sen 1 7 1' 6," 15 3' 13," 1 3 5' 35,7" 11 1',3" L soluión no es válid, pues + > 10. 10 ( + ) 1',3" sen 9,5 m sen 57 sen sen 57 PR RESOLVER 5 Un esttu de,5 m de lto está olod sore un pedestl. Desde un punto del suelo se ve el pedestl jo un ángulo de 15 y l esttu, jo un ángulo de 0. lul l ltur del pedestl. tg 15 y y tg 15,5 + tg 55 y y,5 + tg 55,5 + tg 15 tg 55,5 tg 15 tg 55,5 tg 15 + tg 15 0,5 m (el pedestl) tg 55 tg 15,5 m 0 15 y 6
UNIDD 6 Un vión vuel entre dos iuddes, y, que distn 0 km. Ls visules desde el vión y formn ángulos de 9 y 3 on l horizontl, respetivmente. qué ltur está el vión? V (vión) h 9 0 km 3 h tg 9 h tg 9 h tg 3 0 0 tg 3 h tg 3 h tg 9 0 tg 3 h h tg 3 0 tg 3 tg 9 h tg 9 tg 3 0 tg 3 tg 9 h 7, km tg 3 + tg 9 7 Hll el ldo del otógono insrito y del otógono irunsrito en un irunfereni de rdio 5 m. 360 5 5 m l 30' 5 sen 30' 1,91 m 5 Ldo del otógono insrito: l 3, m 5 30' y tg 30' y,07 m 5 Ldo del otógono irunsrito: l',1 m 5 m y l' 7
lul los ldos y los ángulos del triángulo. 7 m 50 3 m D En el triángulo retángulo D, hll y D. En D, hll hllr, ses que + + 10. En D: 3 3 os 50,7 m os 50 D tg 50 D 3 tg 50 3,6 m 3 En D: D 3,6 sen 0,513 30 56' 59" 7 7 D os D 7 os 6 m 7 sí, y tenemos: 50 10 ( + ) 99 3' 1" 30 56' 59" 7 m D + D 9 m,7 m y D. Pr 9 En un irunfereni de rdio 6 m trzmos un uerd 3 m del entro. ì Hll el ángulo O. P El triángulo O es isóseles. O P 3 m 6 m O OP 3 m O 6 m ì OP 90 ì 3 1 ì os PO PO 60 6 ì ì O PO 60 10
UNIDD 30 Pr lolizr un emisor lndestin, dos reeptores, y, que distn entre sí 10 km, orientn sus ntens hi el punto donde está l emisor. Ests direiones formn on ángulos de 0 y 65. qué distni de y se enuentr l emisor? E 0 10 km 65 E 10 ( + ) 75 plindo el teorem de los senos: sen 0 sen 65 10 10 sen 0 6,65 km dist de. sen 75 sen 75 10 10 sen 65 9,3 km dist de. sen 75 sen 75 31 En un entrenmiento de fútol se olo el lón en un punto situdo 5 m y m de d uno de los postes de l porterí, uyo nho es de 7 m. jo qué ángulo se ve l porterí desde ese punto? (porterí) 7 m 5 m m (lón) plindo el teorem del oseno: + os os + + 5 7 0,5 60 5 9
Págin 1 3 lul el áre y ls longitudes de los ldos y de l otr digonl: ì ì D 50. lul los ldos del triángulo D y su áre. Pr hllr l otr digonl, onsider el triángulo D. 50 0 1 m D Los dos triángulos en que l digonl divide l prlelogrmo son igules. Luego strá resolver uno de ellos pr lulr los ldos: 50 h 1 m 0 10 ( + ) 110 sen 50 sen 0 sí: 1 1 sen 50 1,7 m sen 110 sen 110 1 1 sen 0 6,6 m sen 110 sen 110 D 6,6 m D 1,7 m Pr lulr el áre del triángulo : h sen 50 h sen 50 1 h 1 sen 50 1 6,6 sen 50 Áre 5,5 m El áre del prlelogrmo será: Áre D Áre 5,5 91 m Pr lulr l otr digonl, onsideremos el triángulo D: 50 + 0 70 6,6 m 70 1,7 m D plindo el teorem del oseno: D 6,6 + 1,7 6,6 1,7 os 70 193, D 13,9 m 50
UNIDD 33 Dos ros prten de un puerto on rumos distintos que formn un ángulo de 17. El primero sle ls 10 h de l mñn on un veloidd de 17 nudos, y el segundo sle ls 11 h 30 min, on un veloidd de 6 nudos. Si el lne de sus equipos de rdio es de 150 km, podrán ponerse en ontto ls 3 de l trde? (Nudo mill / hor; mill 1 50 m). P 17 L distni que reorre d uno en ese tiempo es: ro P 17 1 50 m/h 5 h 15750 m ro P 6 150 m/h 3,5 h 16350 m Neesrimente, > P y > P, luego: > 16350 m omo el lne de sus equipos de rdio es 150000 m, no podrán ponerse en ontto. (NOT: Puede lulrse on el teorem del oseno 913,7 m). 3 En un retángulo D de ldos m y 1 m, se trz desde un perpendiulr l digonl, y desde D, otr perpendiulr l mism digonl. Sen M y N los puntos donde ess perpendiulres ortn l digonl. Hll l longitud del segmento MN. D N 1 m M m En el triángulo, hll. En el triángulo M, hll M. Ten en uent que: M N M Los triángulos ND y M son igules, luego N M omo MN N M, entones: Por tnto, st on lulr M. MN M en el triángulo y M en el triángulo 51
En : + 1 0 (por el teorem de Pitágors) lulmos (en ): En M : 1 tg 1,5 56 1' 35," M os M os (56 1' 35,"), m Por último: MN M 1,, 5,6 m 1, m 35 Hll l ltur del árol QR de pie inesile y más jo que el punto de oservión, on los dtos de l figur. Q 30 0 R P 50 m P' Llmemos e y ls medids de l ltur de ls dos prtes en que qued dividido el árol según l figur dd; y llmemos z l distni de P l árol. Q y R z 30 0 P 50 m P' tg z tg z tg 30 (z + 50) tg 30 z + 50 z tg (z + 50) tg 30 50 tg 30 z tg z tg 30 + 50 tg 30 z 5,13 m tg tg 30 Sustituyendo en z tg 5,13 tg 60,1 m y Pr lulr y: tg 0 y z tg 0 5,13 tg 0 19,7 m z Luego: QR + y 79, m mide l ltur del árol. 5
UNIDD 36 lul l ltur de QR, uyo pie es inesile y más lto que el punto donde se enuentr el oservdor, on los dtos de l figur. Q R 1 P 3 P' 50 m Llmemos l distni del punto más lto l líne horizontl del oservdor; y, l distni de l se de l torre l mism líne; y z, l distni R'P, omo se indi en l figur. tg (1 + ) tg 0 z tg 0 z tg 3 (z + 50) tg 3 z + 50 50 tg 3 z tg 0 (z + 50) tg 3 z 15, tg 0 tg 3 Sustituyendo en z tg 0 15, tg 0 1,37 m Pr lulr y: y tg 1 y z tg 1 z Q Por tnto: 15, tg 1 7, m QR y 7,97 m mide l ltur de l torre. y R 1 R' z P 3 50 m P' UESTIONES TEÓRIS 37 Epli si ls siguientes igulddes referids l triángulo son verdders o flss: 1) ) os sen 3) ) sen 5) tg tg 1 6) tg 7) sen os 0 ) os 9) 10) 1 sen 11) sen tg tg sen os 1 1) 1 os 53
1) Verdder, pues sen ) Verdder, pues os os 3) Fls, pues tg tg ) Fls, pues sen sen 5) Verdder, pues tg tg 1 6) Verdder, pues tg tg 7) Verdder, pues sen os 0 ) Verdder, pues os 9) Fls, pues tg tg sen sen 10) Verdder, pues sen + os 1 omo os 1 sen os 1 sen 11) Fls, pues sen os 1 (porque? ) sen / 1) Verdder, pues 1 os / 3 Prue que en un triángulo ulquier se verifi: R sen sen sen R es el rdio de l irunfereni irunsrit. Trz el diámetro desde uno de los vérties del triángulo. pli el teorem de los senos en los triángulos y '. ' O plimos el teorem de los senos en los triángulos y ': En sen sen ' En ' ì sen ' sen ' sen 5
UNIDD Suede que: ' (ángulos insritos en un irunfereni que rn el mismo ro) ' R ì ' 90 (medid de ángulos insritos en un irunfereni) R R L iguldd qued: R sen sen 90 sen 1 Por último, sustituyendo en l primer epresión, se otiene el resultdo: R sen sen 39 Prue que solo eiste un triángulo on estos dtos: 3 m, 1,5 m, 60 Eiste lgún triángulo on estos dtos?: sen 135, 3 m, 3 m + os 1,5 ( ) + os 60 3,5 3 + 3 3 + 0,75 0 3 1 1,5 m 3 ± 3 3 3 m 60 3 m L euión de segundo grdo solo tiene un ríz. Solo hy un soluión. (NOT: Tmién se pueden estudir ls dos soluiones que slen pr on el teorem del seno y ver que un de ells no es válid, pues quedrí + > 10). Podemos resolverlo on el teorem del oseno, omo ntes, o on el teorem del seno. Resolvemos este prtdo on el segundo método meniondo: sen 3 3 sen sen sen 135 3 sen 135 sen 3 Pero: + 135 + 90 > 10 Imposile! sen 135 1 90 Luego l soluión no es válid y, por tnto, onluimos que no hy ningún triángulo on esos dtos. 55
Págin 15 PR PROFUNDIZR 0 Dos vís de tren de 1, m de nho se ruzn formndo un romo. Si un ángulo de orte es de 0, uánto vldrá el ldo del romo? 1, 1, sen 0 l,1 m l sen 0 1, m 0 l 0 1 Pr hllr l distni entre dos puntos inesiles y, fijmos dos puntos y D tles que D 300 m, y medimos los siguientes ángulos: ì ì D 5 D 0 lul. ì D ì 6 3 D 5 3 0 300 m 6 Si onoiésemos y, podrímos hllr on el teorem del oseno en. lulemos, pues, y : En el triángulo D: 10 65 6 69 65 Por el teorem del seno: 6 D 300 m 300 300 sen 65 91, m sen 69 sen 65 sen 69 En el triángulo D: D 0 7 300 m 10 0 7 6 Por el teorem del seno: 300 sen 6 sen 0 300 sen 0 1,0 m sen 6 56
UNIDD Podemos entrrnos y en el triángulo y plir el teorem del oseno: 91, + 1,0 91, 1,0 os 3 636,019 156,96 m 91, m 3 1,0 m En un írulo de 15 m de rdio, hll el áre omprendid entre un uerd de 0 m de longitud y el diámetro prlelo ell. I 0 m II III 15 m Podemos dividir l zon somred en tres, de form que: I III setores irulres de ángulo desonoido. II triángulo isóseles de ldos igules 15 m y de ldo desigul 0 m. En II: lulemos l ltur h desde : 15 h + 10 h 15 10 11,1 m sí: Áre II se Ò ltur 0 11,1 111, m lulemos el ángulo (el ángulo desigul) plindo el teorem del oseno: 0 15 + 15 15 15 os os 15 + 15 0 0, ) 1 3 37' 1,3" 15 15 En I: onoido podemos lulr fáilmente: 10 11',9" Y, on esto, el áre: Áre I π r π 15 9,6 m 360 360 Por último, el áre pedid será: T Áre II + Áre I 111, + 9,6 T 301,0 m 57
3 Dos irunferenis son tngentes eteriormente y sus rdios miden 9 m y m. Hll el ángulo,, que formn sus tngentes omunes. O' 9 O P Los rdios formn on ls tngentes dos triángulos retángulos. omo OP +, se tiene: sen y sen 9 + 17 + lul y después. OP + sen + O'P 9 + + + 17 + sen 9 17 + 9 (17 + ) 9( + ) + 17 + 6 36 9 3 5 6, m Sustituyendo por su vlor: sen + + 6, 10, 0,36 37' 11,5" sí: 5 1' 3" UTOEVLUIÓN 1. De un triángulo retángulo onoemos l hipotenus 1 m y el teto 7 m. Hll sus ángulos gudos. 1 m 7 sen 35 1' 7'' 1 90 5 1' 53'' 7 m 5
UNIDD. Epres on un ángulo del primer udrnte ls rzones trigonométris de los siguientes ángulos: 15, 07, 31, 56 sen 15 sen (10 6) sen 6 os 15 os 6 tg 15 tg 6 sen 07 sen (10 + 7) sen 7 os 07 os 7 tg 07 tg 7 sen 31 sen (360 ) sen os 31 os tg 31 tg sen 56 sen (360 6 + 96) sen 96 sen (360 6) sen 6 os 56 os 6 tg 56 tg 6 3. Si sen /5 y > 90, lul sin hllr el ángulo : ) os )tg ) sen (10 + ) d)os (90 + ) e) tg (10 ) f) sen (90 + ) ) os 1 sen os 16 1 os 9 3 os ± 5 5 5 os 3 5 /5 ) tg 3/5 3 ) sen (10 + ) sen d) os (90 + ) sen 5 5 3 e) tg (10 ) tg f) sen (90 + ) os 3 5. Si tg 3,5, hll on yud de l luldor, epréslo omo un ángulo del intervlo [0, 360) y otén su seno y su oseno. s t 3.5 ± { \ } Hy dos soluiones: sen 1 0,96; os 1 0,7 sen 0,96; os 0,7 1 5 56' 3'' 105 56' 3'' 59
5. lul el áre del triángulo. 0 m 3 m h 3 m 0 m ltur: sen h 0 3 9,39 Áre 150, m h 0 sen 9,39 m 6. En lo lto de un edifiio en onstruión hy un grú de m. Desde un punto del suelo se ve el punto más lto de l grú jo un ángulo de 50 on respeto l horizontl y el punto más lto del edifiio jo un ángulo de 0 on l horizontl. lul l ltur del edifiio. m h 0 tg 50 tg 0 11,3 m tg 50 tg 0 h 11,3 tg 0 9,5 m 50 L ltur del edifiio es 9,5 m. 7. Resuelve el triángulo en estos sos: ) 19 m, 33 m, ) 15 m, 11 m, 30 h tg 0 tg 50 + tg 0 ) on el teorem del oseno, hllmos : 19 m 33 m h tg 0 + h tg 50 19 + 33 19 33 os 610,9,7 m Del mismo modo, hllmos : 33 19 +,7 19,7 os os 0,15 97 9' 10 ( + ) 3 51' 60
UNIDD ) Hllmos on el teorem de los senos: Hy dos soluiones: 1 59' 9'' 137 0' 51'' sen 0,61 1 107 0' 51'' 1 59' 9'' 11 1 1 1,0 m sen 30 sen 107 0' 51''. Dos migos están en un ply 150 m de distni y en el mismo plno vertil que un omet que se enuentr volndo entre mos. En un momento ddo, uno l ve on un ángulo de elevión de 50 y el otro on un ángulo de 3. Qué distni hy de d uno de ellos l omet? 30 11 m 15 m 11,9 m sen 30 sen 1 59' 9'' 10 (50 + 3) 9 15 11 sen sen sen sen 30 50 9 150 m 3 Hllmos y on el teorem de los senos: sen 150 sen sen 50 sen 9 11,9 m 150 9,1 m sen sen sen 3 sen 9 Ls distnis de d uno l omet son 11,9 m y 9,1 m, respetivmente. 9. Los ldos de un prlelogrmo miden 1 m y 3 m y formn un ángulo de 5. Hll l longitud de l digonl myor. 5 3 m d 1 m 10 5 1 lulmos d plindo el teorem del oseno: d 1 + 3 1 3 os 1 057, d 5,36 m es l medid de l digonl. 61
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