150 CAPÍTULO 11: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 1. LA TOMA DE DATOS 1.1. U ejemplo para realzar u aálss Ejemplo: La Casa de la Moeda quere estudar cuátas moedas debe emtr, teedo e cueta las que está e crculacó y las que se queda atesoradas (be e casas partculares, o e máquas de refrescos, o depostadas e u baco). Se ha hecho ua ecuesta a pe de calle a 60 persoas y se ha aputado cuátas moedas llevaba cada ua de ellas e el bolsllo. Hemos obtedo estos datos: 1 7 11 8 8 9 6 1 7 7 13 0 10 9 13 18 7 6 11 1 16 0 10 10 8 8 9 11 10 8 16 8 5 1 8 14 14 16 6 0 18 10 10 1 14 6 7 3 1 11 10 18 9 7 1 1 15 8 El prmer paso cosste e hacer u esquema para el recueto: usaremos ua tabla y marcaremos palotes cada vez que aparezca ese úmero. 0 /// 7 ///// / 14 /// 1 / 8 ///// /// 15 / // 9 //// 16 /// 3 / 10 ///// // 17 4 11 //// 18 /// 5 / 1 ///// // 19 6 //// 13 // 0 Pasar de ese recueto a ua tabla de frecuecas absolutas es muy secllo: solo hay que susttur los palotes por el úmero que represeta. 0 3 7 6 14 3 1 1 8 8 15 1 9 4 16 3 3 1 10 7 17 0 4 0 11 4 18 3 5 1 1 7 19 0 6 4 13 0 0 Es mucho mejor aalzar los datos de modo vsual. Estamos más acostumbrados a trabajar de esa maera. Podemos represetar los datos de la tabla de frecuecas e u dagrama de barras, dode la altura de cada barra represeta la frecueca de aparcó. 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 El procesameto de datos estadístcos se utlza mucho. Obvamete o se hace las operacoes a mao, so que se utlza calculadoras u hojas de cálculo. Dspoer de esos medos tecológcos será u bue complemeto para el capítulo,
151 auque recordamos que lo más mportate es compreder qué se hace e cada mometo. Comezaremos troducedo algo de omeclatura. Cas todos estos ombres los has escuchado puesto que los medos de comucacó los utlza muchísmo Poblacó es el colectvo sobre el que se quere hacer el estudo. Muestra es u subcojuto de la poblacó de modo que a partr de su estudo se puede obteer característcas de la poblacó completa. Idvduo es cada uo de los elemetos de la poblacó o la muestra. Ejemplo: Se quere hacer u estudo sobre hábtos almetcos de los estudates de 3º de ESO de todo Madrd. Pero como es muy costoso etrevstar a todos los estudates se decde tomar u IES por cada dstrto y etrevstar a los alumos de 3º de ESO de esos colegos elegdos. La poblacó objeto del estudo será todos los estudates madrleños matrculados e 3º de ESO. La muestra so los estudates de 3º de ESO matrculados e los sttutos elegdos. Cada uo de los estudates de 3º de ESO es u dvduo para este estudo estadístco. Actvdades propuestas 1. Queremos hacer u estudo de la catdad de moedas que lleva e el bolsllo los estudates de tu clase. Pero para o pregutar a todos elge 10 compañeros al azar y aota e tu cuadero cuátas moedas lleva cada uo. a) Cuál es la poblacó objeto del estudo? b) Cuál es la muestra elegda? c) Especfca 5 dvduos que perteezca a la poblacó y o a la muestra. 1.. Varables estadístcas Ejemplo: E u estudo estadístco se puede pregutar cosas ta varoptas como Qué frutas comes a lo largo de ua semaa? Cuátas pezas de fruta comes al día? Cuátas moedas llevas e el bolsllo? Cuál es tu altura? Cuátas marcas de chocolate recuerdas? Cuáles so las marcas de chocolate que recuerdas? Cuátos hermaos tees? Cuál es tu color favorto para u coche? Cuáto tempo pasas al día vedo la televsó? Cuátos segudores tees e twtter? Esas pregutas puede correspoder a estudos de salud, ecoómcos, publctaros o socoecoómcos. Alguas se respode co u úmero y otras se respode co u ombre o u adjetvo. Icluso hay dferecas etre las que se respode co úmeros: el úmero de moedas que llevas o el úmero de segudores de twtter se cotesta co úmeros eteros, metras que para hallar tu altura o las horas que pasas delate del televsor ecestamos utlzar úmeros reales (ormalmete co represetacó decmal). Ua varable se dce cuattatva s sus valores se expresa co úmeros. Las varables cuattatvas puede ser: dscretas s solo admte valores aslados cotuas s etre dos valores puede darse també todos los termedos Ua varable estadístca es cualtatva cuado sus valores o se expresa medate u úmero, so co ua cualdad. Actvdades propuestas. Clasfca e varables cualtatvas y cuattatvas las que aparece e el prmer ejemplo de esta seccó. Para las cuattatvas dca s so cotuas o dscretas. 1.3. Las fases de u estudo estadístco E u estudo estadístco hay 6 fases fudametales: 1. Determacó del objeto del estudo. Esto es, saber qué queremos estudar.. Seleccó de las varables que se va a estudar. 3. Recogda de los datos. 4. Orgazacó de los datos. 5. Represetacó y tratameto de los datos. 6. Iterpretacó y aálss. E este lbro empezaremos los ejemplos a partr del puto 4, co datos ya proporcoados e los eucados.
15 1.4. Métodos de seleccó de ua muestra estadístca. Represetatvdad de ua muestra Para recoger los datos y determar los valores de la varable se puede utlzar a toda la poblacó, todo el uverso sobre el que se realza el estudo, o seleccoar ua muestra. E muchas ocasoes o es coveete recoger valores de toda la poblacó, porque es complcado o demasado costoso, o cluso porque es mposble como e el caso de u cotrol de caldad e que se destruya el objeto a aalzar. La parte de la Estadístca que se ocupa de cómo seleccoar adecuadamete las muestras se deoma Teoría de Muestras. Ejemplos: S estudamos el peso de los habtates de ua cudad, la poblacó será el total de las persoas de dcha cudad. Pero lo ormal será o recoger formacó sobre todas las persoas de la cudad (ya que sería ua labor muy compleja y costosa), so que se suele seleccoar u subgrupo (muestra) que se eteda que es sufcetemete represetatvo. Para coocer la tecó de voto ate uas eleccoes europeas, mucpales, autoómcas se utlza muestras, pues pregutar a toda la poblacó sería muy costoso (y eso ya se hace e las eleccoes). Pero s ua fábrca quere coocer las horas de vda útl de u tpo de bomblla, o puede poer a fucoar a toda la poblacó, todas las bombllas, hasta que se estropee pues se queda s produccó. E este caso es mprescdble seleccoar ua muestra. E cotrol de caldad se hace estudos estadístcos y se toma muestras. Para determar la mejor forma de seleccoar ua muestra exste toda ua parte de la Estadístca, la Teoría de Muestras, que os dca varos detalles a teer e cueta: Cómo se debe elegr los elemetos de la muestra? Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Hasta qué puto la muestra es represetatva de la poblacó? La forma de seleccoar la muestra, muestreo, debe reur uas determadas característcas para que pueda caracterzar a la poblacó, ser represetatva de la poblacó. Debe ser u muestreo aleatoro, es decr, al azar. S la muestra está mal elegda, o es represetatva, se produce sesgos, errores e los resultados del estudo. Todos los dvduos de la poblacó debe teer las msmas posbldades de ser seleccoados para la muestra. Ejemplos: Se quere estudar el vel adqustvo de los persoas de ua cudad, para lo que pasamos ua ecuesta a la puerta de uos grades almacees, te parece u muestreo aleatoro? No lo es. Las persoas que etra e u determado establecmeto o represeta a toda la poblacó. Vas a hacer u estudo sobre los gustos muscales de los jóvees, y para ello, pregutas a cco de etre tus amstades, te parece u muestreo aleatoro? No lo es. Tus amstades puede teer uos gustos dferetes a los del resto de la poblacó. Métodos de seleccó de ua muestra Hay varos métodos para seleccoar ua muestra, que daría para aalzar e u lbro sobre Muestreo. Pero es coveete coocer alguo. Veamos tres de ellos: Muestreo aleatoro smple Todos los dvduos de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdos e la muestra. Muestreo aleatoro sstemátco Se ordea los dvduos de la poblacó. Se elge al azar u dvduo, y se seleccoa la muestra tomado dvduos medate saltos gualmete espacados. Muestreo aleatoro estratfcado Se dvde la poblacó e grupos homogéeos de ua determada característca, estratos, por ejemplo edad, y se toma ua muestra aleatora smple e cada estrato. Ejemplo: Se estuda el estado de los huesos de la poblacó de u país, y se dvde la poblacó e ños, jóvees, edad meda y tercera edad. E cada grupo se hace u muestreo aleatoro smple. Represetatvdad de ua muestra Cuado se elge ua muestra los dos aspectos que hay que teer e cueta so, el tamaño y la represetatvdad de la muestra. S la muestra es demasado pequeña, auque esté be elegda, el resultado o será fable. Ejemplo: Queremos estudar la estatura de la poblacó española. Para ello elegmos a ua persoa al azar y la medmos. Evdetemete este resultado o es fable. La muestra es demasado pequeña. S la muestra es demasado grade los resultados será muy fables, pero el gasto puede ser demasado elevado. Icluso, e ocasoes, muestras demasado grades o os proporcoa mejores resultados.
153 Cuado ua muestra tega el tamaño adecuado, y haya sdo elegda de forma aleatora dremos que es ua muestra represetatva. S la muestra o ha sdo elegda de forma aleatora dremos que la muestra es sesgada. Actvdades propuestas 3. Señalar e qué caso es más coveete estudar la poblacó o ua muestra: a) El dámetro de los torllos que fabrca ua máqua daramete. b) La altura de u grupo de ses amgos. 4. Se puede leer el sguete ttular e el peródco que publca tu sttuto: La ota meda de los alumos de 3º ESO es de 7 9. Cómo se ha llegado a esta coclusó? Se ha estudado a toda la poblacó? S hubera seleccoado para su cálculo solo a las alumas, sería represetatvo su valor? 5. E ua sere de televsó tee dudas sobre qué hacer co la protagosta, s que tega u accdete o s debe casarse. Va a hacer ua cosulta. A toda la poblacó o seleccoado ua muestra represetatva? Razoa la respuesta.. REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN.1. Ejemplos para trabajar E la seccó ateror lo comezábamos aalzado ua varable dscreta: el úmero de moedas que se lleva e el bolsllo. Puedes repasar qué hacíamos allí: cómo recotábamos los datos, cómo los llevábamos después a ua tabla de frecuecas y cómo represetábamos la formacó e u gráfco. Haremos ahora el msmo proceso co ua varable cotua. Ya sabes que: Podemos dstgur etre frecuecas absolutas, s, como e este ejemplo, hacemos u recueto del úmero de veces que aparece cada dato. Frecuecas relatvas, que estudaremos co más detemeto al fal del capítulo, y que cosste e dvdr cada frecueca absoluta por el úmero total de observacoes. Frecuecas acumuladas, tato frecuecas absolutas acumuladas como frecuecas relatvas acumuladas s se calcula todos los valores meores o guales a él. Ejemplos: Se está realzado u cotrol del peso de u grupo de ños. Para ello, se cotablza el úmero de veces que come al día ua chocolata 13 ños durate u mes, obteedo los sguetes úmeros:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. La formacó obteda se puede resumr e ua tabla de frecuecas absolutas y frecuecas absolutas acumuladas: Valores 0 1 3 4 5 6 7 Frecueca absoluta 4 1 1 0 1 Frecueca absoluta acumulada 4 8 9 11 1 1 13 També se puede resumr e ua tabla de frecuecas relatvas y frecuecas relatvas acumuladas: Valores 0 1 3 4 5 6 7 Frecueca relatva 0 154 0 154 0 307 0 077 0 154 0 077 0 0 077 Frecueca relatva acumulada 0 154 0 308 0 615 0 69 0 846 0 93 0 93 1 E ua fábrca se realza u estudo sobre el espesor, e mm, de u certo tpo de latas de refresco. Co este f, seleccoa ua muestra de tamaño N = 5, obteedo los sguetes valores: 7 8, 8, 7 6, 10 5, 7 4, 8 3, 9, 11 3, 7 1, 8 5, 10, 9 3, 9 9, 8 7, 8 6, 7, 9 9, 8 6, 10 9, 7 9, 11 1, 8 8, 9, 8 1, 10 5. Esta formacó se puede resumr hacedo cco tervalos y hacedo ua tabla de frecuecas absolutas, frecuecas absolutas acumuladas, frecuecas relatvas y frecuecas relatvas acumuladas Itervalos de clase (7, 8] (8, 9] (9, 10] (10, 11] (11, 1] Marcas de clase 7 5 8 5 9 5 10 5 11 5 Frecueca absoluta 6 8 5 4 Frecueca relatva 0 4 0 3 0 0 16 0 08 Frecueca relatva acumulada 0 4 0 56 0 76 0 9 1 Ejemplo: Las alturas de los 1 jugadores de la Seleccó Española de Balocesto (e metros) que partcparo e la Eurocopa 013 se recoge e la sguete tabla: 03 1 96 1 91 11 1 91 1 93 08 1 99 1 90 16 06 03 Como los datos so cotuos, para hacer el recueto fjaremos tervalos de altura: etre 1 895 y 1 945 //// etre 1 945 y 1 995 // etre 1 995 y 045 //
154 etre 045 y 095 // etre 095 y 145 / etre 145 y 195 / Ahora llevamos los datos del recueto a u dagrama de frecuecas: etre 1 895 y 1 945 4 etre 1 945 y 1 995 etre 1 995 y 045 etre 045 y 095 etre 095 y 145 1 etre 145 y 195 1 E este caso la represetacó gráfca la hacemos co u hstograma de frecuecas. Observa la dfereca etre este gráfco (correspodete a ua varable cotua) y el que hcmos para el recueto de moedas (que represetaba ua varable dscreta). Este gráfco se deoma hstograma de frecuecas y es smlar a u dagrama de barras pero ahora represetamos uas barras pegadas a otras, para recordar que se trata de tervalos de clase y o de valores aslados de las varables... Dagramas de barras Número de asgaturas suspesas e la 1º evaluacó Se utlza para represetar datos de varables estadístcas dscretas o varables 5 estadístcas cualtatvas. 0 Al prcpo del capítulo estudado el úmero de moedas que se lleva e el 15 bolsllo. Podemos utlzar este tpo de gráfco e otras stuacoes. 10 El gráfco ateror represeta el úmero de alumos (de ua clase de 35) que 5 ha aprobado todo, el de alumos co 1 0 600 500 400 300 00 100 asgatura suspesa, co dos 0 1 3 4 5 6 7 asgaturas suspesas, etc. Lo bueo de la represetacó gráfca es que de u solo vstazo sabemos que 0 alumos ha aprobado todo y que hay u alumo que tee 7 asgaturas suspesas. També podemos utlzar dagramas de barras para represetar varables cualtatvas, como la eleccó de la modaldad de bachllerato que cursa los alumos de u IES o las preferecas polítcas de los cudadaos de u mucpo..3. Hstograma de frecuecas Este tpo de gráfco lo hemos utlzado ates para represetar las alturas de los jugadores de la Seleccó Española de Balocesto. Es smlar a u dagrama de barras pero la altura de cada barra vee dada por el úmero de elemetos que hay e cada clase. Otras varables que podemos cosderar como varables cotuas so el úmero de horas que los jóvees de ua poblacó dedca a teret e sus ratos de oco o la catdad de dero que se lleva e el bolsllo (ojo, esto o es el úmero de moedas). 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 0 Número de votos obtedos por dferetes partdos polítcos e las eleccoes mucpales Dero que lleva los estudates al sttuto 5 10 15 0 5 30 >30 E el gráfco que clumos a cotuacó las marcas del eje de las x se refere a los tramos de dero expresados de 5 e 5 euros. La altura del gráfco se correspode co la catdad de alumos que lleva esa catdad de dero. De u smple vstazo se ve que hay algo más de 150 alumos que lleva etre 5 y 10 al sttuto y que poco más de 40 alumos lleva etre 5 y 30. Las barras so más achas y aparece uas a cotuacó de otras para destacar que estamos represetado ua varable cotua y que las alturas se correspode co dvduos detro de u tervalo de datos. 3500 3000 500 000 1500 1000 500 0 3500 3000 500 000 1500 1000 500 0 Horas de oco dedcadas a teret 0 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5,5,5 3 >3 Horas de oco dedcadas a teret
155.4. Polígoo de frecuecas Se utlza e los msmos casos que el hstograma. Pero da dea de la varacó de la tedeca. La líea polgoal se costruye uedo los putos medos de los lados superores de los rectágulos..4. Dagrama de sectores E alguas ocasoes os teresa haceros a la dea de la proporcó tee cada resultado e relacó co los demás. Se utlza mucho co varables cualtatvas. Por ejemplo, esta represetacó se utlza para mostrar los resultados de uas las eleccoes cuado queremos comparar los votos obtedos por los dferetes partdos. E u dagrama de sectores aparece represetados sectores crculares. El águlo de estos sectores es proporcoal a la frecueca absoluta. Votos obtedos por los dferetes partdos polítcos Retomado el ejemplo de los resultados obtedos por dferetes partdos polítcos vamos a represetar esos msmos resultados medate u dagrama de sectores: Actvdades propuestas 6. Reúe a 10 amgos. Recueta cuátas moedas de cada valor (1cétmo, cétmos, 5 cétmos, ) teés etre todos. Represeta medate u gráfco adecuado el úmero de moedas de cada clase que hay. Hay algú otro dagrama que te permta ver qué tpos de moedas so más abudates e la muestra que has tomado? 7. E la clase de Educacó Físca el profesor ha meddo el tempo que tarda cada alumo e recorrer 100 metros. Los resultados está e esta tabla: 14 9 13 01 1 16 7 1 06 10 11 10 58 18 58 0 07 13 15 0 10 1 43 17 51 11 59 11 79 16 94 16 45 10 94 16 56 14 87 17 59 13 74 19 71 18 63 19 87 11 1 1 09 14 0 18 30 17 64 Agrupa estos resultados por clases, comezado e 10 segudos y hacedo tervalos de logtud 1 segudo. Realza ua tabla de frecuecas y represeta adecuadamete estos datos. 3. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS 3.1. Itroduccó Seguro que sabes qué es la meda de dos úmeros y probablemete sabes calcular la meda de ua sere de datos. Pero además de esa medda estadístca hay otras meddas que puede ser teresates para coocer propedades de los datos que teemos. Ahora estudaremos las meddas de cetralzacó (meda, medaa y moda) que os proporcoa u valor de refereca e toro al que se dstrbuye los datos y las meddas de dspersó (recorrdo, desvacó meda, varaza y desvacó típca). Estas meddas os dca cómo está de separados los datos e toro a la meda. Ejemplo: Imaga que e dos exámees de matemátcas obtees u 6 y u 5. La meda es 5.5. Supó ahora que las otas que has tedo so 10 y 1. La meda també es 5.5 pero deberás estudarte la parte e la que has sacado 1 para recuperar. Las meddas de dspersó os va a servr para detectar cuádo teemos valores extremos, alejados de la meda. 3.. Meddas de cetralzacó La meda se calcula sumado todos los valores y dvdedo etre el úmero de datos. S x 1, x,, x so los valores que toma la varable estadístca que estamos cosderado, la meda se represeta por x y se calcula medate la fórmula x 1 x... x x Esa suma se puede escrbr abrevadamete como x x. El símbolo se utlza habtualmete para represetar sumas de varos sumados. Lo utlzarás mucho a partr de ahora. Para calcular la medaa se ordea todos los datos de meor a mayor y os quedamos co el que ocupa la poscó cetral. S teemos u úmero par de datos, tomamos como medaa la meda de los dos úmeros que ocupa las poscoes cetrales. La represetaremos por Me. La medaa Me es u valor tal que el 50 % de las observacoes so ferores a él. Los cuartles Q 1, Q y Q 3 so los valores tales que el 5 %, 50 % y 75 % (respectvamete) de los valores de la varable so ferores a él. Por tato la medaa cocde co el segudo cuartl. Usamos el térmo moda para referros al valor que más se repte. La deotamos por Mo. Ejemplo.- Cotuamos utlzado los datos de estatura correspodetes a los 1 jugadores de la Seleccó Española de Partdo A Partdo B Partdo C Partdo D Partdo E Partdo F que
156 Balocesto (ver seccó.1 de este capítulo). La estatura meda se calcula sumado todas las alturas y dvdedo etre el úmero de datos. x x 4.07 = 03+ 06+ 16+1 90+1 99+ 08+1 93+1 91+ 11+1 91+1 96+ 03=4 07. x = = 0058. 1 E este ejemplo o podemos hablar de moda, puesto que o hay u úco valor que sea el que más se repte. La medaa e este caso es.01. Para calcularla ordeamos todos los datos de meor a mayor y os quedamos co el que ocupa la poscó cetral. Como e este caso teemos u úmero mpar de datos, tomamos como medaa la meda artmétca de los que ocupa las poscoes cetrales. Los datos, tras ordearlos, quedaría así: 1 90 1 91 1 91 1 93 1 96 1 99 03 03 06 08 11 16 Meda de ambos= 01 Para calcular los cuartles teemos que dvdr el total de datos, e este ejemplo 1, etre 4, (o multplcar por 0 5 que es lo msmo) y obteemos 3. Luego el prmer cuartl observamos que está etre 1 91 y 1 93, hacemos la meda y obteemos que Q 1 = 1 9. Para calcular el tercer cuartl multplcamos por 3 y dvdmos por 4, (o multplcamos por 0 75) y e este caso se obtee el valor que está etre 9, 06, y 10, 08, por lo que Q 3 = 07. 3.3. Meddas de dspersó Recorrdo es la dfereca etre el dato mayor y el dato meor. També se deoma rago. Desvacó meda es la meda de las dstacas de los datos a la meda de los datos de los que dspogamos. x x x 1 x x x... x x DM Varaza es la meda de los cuadrados de las dstacas de los datos a la meda. Varaza = x x x x... x x x x 1 Equvaletemete (desarrollado los cuadrados que aparece e la expresó) se puede calcular medate esta otra x expresó: Varaza = x Desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza. x Se represeta por x Recorrdo tercuartílco o tervalo tercuartl es la dstaca etre el tercer y el prmer cuartl: R = Q 3 Q 1. Estas fórmulas provee de dferetes modos de medr las dstacas. Para el cálculo de la desvacó meda se usa valores absolutos, que es como se mde la dstaca etre úmeros e la recta real. La desvacó típca tee que ver co la forma de medr dstacas e el plao (recordemos que la hpoteusa de u trágulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos). No hace falta que compredas ahora de dóde sale estas fórmulas pero sí es coveete que sepas que o es por caprcho de los matemátcos que lo vetaro. Cada cosa a su tempo... Ejemplo Volvemos a usar los datos del ejemplo de la Seleccó Española co los que vemos trabajado. Recorrdo: 16-1 90 = 0 6 (metros). Esto es la dfereca de alturas etre el jugador más alto y el más bajo. Para calcular la desvacó meda prmero calcularemos la suma que aparece e el umerador. Después dvdremos etre el úmero de datos. 03 0058 + 06 0058 + 16 0058 + 1 90 0058 + 1 99 0058 + 08 0058 + 1 93 0058 + 1 91 0058 + 11 0058 + 1 91 0058 + 1 96 0058 + 03 0058 = 0 04 + 0 0458 + 0 0958 + 0 104 + 0 0958 + 0 0758 + 0 074 + 0 0158 + 0 1058 + 0 154 + 0 9458 + 0 04 = 0 87 Así la desvacó meda es 0 87/1 = 0 075 Para calcular la varaza prmero calcularemos la suma que aparece e el umerador, de modo smlar a como acabamos de hacer. Después termaremos dvdedo etre el úmero de datos. ( 03 0058)² + ( 06 0058)² + ( 16 0058)² + (1 90 0058)² + (1 99 0058)² + ( 08 0058)² + (1 93 0058)² + (1 91 0058)² + ( 11 0058)² + (1 91 0058)² + (1 96 0058)² + ( 03 0058)² = 0 08934 Así la varaza es 0 08934 / 1 = 0 00744 La desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza: 0' 00744= 0 0868. Recorrdo tercuartílco o tervalo tercuartl se calcula restado Q 3 Q 1 = 07 1 9 = 0 15.
157 Las meddas de poscó os permte realzar otro tpo de gráfco estadístco que se llama el gráfco de caja. 3.4. Cálculo detedo de los parámetros estadístcos Lo más cómodo para calcular parámetros estadístcos es utlzar ua hoja de cálculo. Las calculadoras cetífcas també corpora fucoes para obteer los prcpales parámetros estadístcos. Para saber cómo usar tu calculadora puedes leer el maual que vee co ella. Ahora veremos cómo se puede utlzar las tablas de frecuecas para calcular la meda y la varaza. Cuado hay valores repetdos e vez de sumar ese valor varas veces podemos multplcar el valor por su frecueca absoluta. També, el úmero de datos es la suma de las frecuecas. De este modo obteemos la sguete fórmula para la meda: x Aálogamete, la varaza se puede calcular medate: Varaza = o, alteratvamete, medate la expresó: f x f x f x f f x (Estas dos fórmulas so equvaletes. La seguda expresó se obtee desarrollado los cuadrados de la prmera y smplfcado). Actvdades resueltas Las otas de 15 alumos e u exame de matemátcas se refleja e la sguete tabla 7 7 6 6 10 1 4 5 5 3 9 5 5 8 6 Queremos calcular su meda y su varaza. E prmer lugar, elaboramos ua tabla de frecuecas co esos datos: x f 1 1 0 3 1 4 1 5 4 6 3 7 8 1 9 1 10 1 Añadmos ua columa e la que escrbremos el resultado de multplcaremos la frecueca y el valor, esto es,. Sumado las frecuecas (columa cetral) obteemos el úmero de datos. f x x f x f 1 1 1 0 0 3 1 3 4 1 4 5 4 0 6 3 18 7 14 8 1 8 9 1 9 10 1 10 f = = 15 x f = 87 87 Así la meda es el cocete etre la suma de la columa de la derecha etre la suma de la columa cetral: x 5' 8. 15 Para calcular la varaza añadremos ua columa más a la tabla ateror. E esa columa escrbremos el producto de la
158 frecueca por el cuadrado del valor. x f x f x f Así la varaza es 577 5'8 14' 4433 1 Y la desvacó típca es 14'4433 3' 8004. 1 1 1 1 0 0 0 3 1 3 9 4 1 4 16 5 4 0 100 6 3 18 108 7 14 98 8 1 8 64 9 1 9 81 10 1 10 100 f = = 15 x f = 87 x f = 577 3.5. Iterpretacó cojuta de la meda y la desvacó típca Hemos vsto que la desvacó típca os mde la dstaca de los datos respecto de la meda. Nos da mucha formacó. Iforma sobre cómo se agrupa los datos alrededor de la meda. S los datos que hemos recogdo tuvera ua dstrbucó ormal (de mometo o sabemos lo que esto sgfca exactamete detro de la Estadístca, pero puedes supoer que sgfca eso, que so ormales, que o les pasa ada raro) resulta que e el tervalo etre la meda meos ua desvacó típca y la meda más ua desvacó típca está más del 68 % de los datos. E el tervalo etre la meda meos desvacoes típcas y la meda más desvacoes típcas está más del 95 % de los datos, y etre la meda meos 3 desvacoes típcas y la meda más 3 desvacoes típcas está más del 99 7 % de los datos. Se podría decr que algo, por ejemplo la telgeca de ua persoa, la altura de ua plata o el peso de u amal... es ormal s está detro de ese tervalo ( x, x + ), que es telgete, alto o pesado s está etre ( x +, x + ), o que es u geo, ggate o muy pesado s está e el tervalo ( x +, x + 3). Observa que estamos dcedo que práctcamete todos los datos dsta de la meda meos de 3 desvacoes típcas y que más del 68 % dsta meos de ua desvacó típca. Esto va a ser de gra utldad pues coecta co otras ramas de la Estadístca. Hasta ahora hemos estado descrbedo lo que ocurre. Ahora vamos a poder tomar decsoes, ferr o predecr co ua certa probabldad lo que va a ocurrr. Por eso vamos a estudar a cotuacó las probabldades. 3.6. Dagrama de cajas o de bgotes El dagrama de cajas es ua represetacó gráfca e la que se utlza los cuartles, la medaa, los valores máxmos y mímos tetado vsualzar todo el cojuto de datos. Se forma u rectágulo (o caja) cuyos lados so los cuartles (Q 1 y Q 3 ) y dode se señala e el cetro, la medaa (Me). Se añade dos brazos (o bgotes) dode se señala los valores máxmo (Máx) y mímo (Mí). Se puede calcular, además, uos límtes superor e feror. El feror, L ; es Q 1 1 5 por el tervalo tercuartl, y el superor Ls es Q 3 + 1 5 por el tervalo tercuartl. Ejemplo Neves ha tedo e Matemátcas las sguetes otas: 8, 4, 6, 10 y 10. Calcula su recorrdo, la varaza, la desvacó típca, los cuartles y el tervalo tercuartl. Ordeamos los datos: 4 6 8 10 10, y calculamos que: Medaa = Me = 8. Q 1 = 6. Q 3 = 10. Itervalo tercuartl = 10 6 = 4. Meda y desvacó típca. Image de Wkpeda
159 Los bgotes os dca: Máx = 10. Mí = 4. Ls = Q3 + 4*1 5 = 16. L = Q1 4*1 5 = 0. E este ejemplo el máxmo es gual a 10, que es meor que el posble extremo superor, gual a 16. El mímo es 4, mayor que el extremo feror, luego o hay valores atípcos que sea mayores que el límte superor o meores que el límte feror. Los extremos de los bgotes, e uestro ejemplo so 10 y 4. El dagrama de caja es el de la fgura del marge. Actvdades propuestas 8. E ua excursó de motaña partcpa 5 persoas co las sguetes edades: Q3 Me Q1 Max Mí L Ls Itervalo tercuartl 8 10 10 11 1 36 37 37 38 40 4 43 43 44 45 47 48 50 5 53 55 58 61 63 67 a) Hacer ua tabla de frecuecas clasfcado las edades e 6 tervalos que comeza e 7,5 y terma e 67,5. Hallar, a partr de ella, los parámetros x, y CV. b) Calcular x, y CV troducedo los 5 datos e la calculadora, es decr, s agruparlos e tervalos. c) Prescdedo de los 5 ños, obteemos u colectvo de 0 persoas. Calcular de uevo sus parámetros x, y CV, y comparar co los obtedos e el grupo cal. d) Hallar los parámetros de poscó Q 1, Q 3 y Me, de la dstrbucó orgal, y costrur el dagrama de caja y bgotes correspodete. 4. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 4.1. Coceptos báscos e probabldad Todos los días aparece e uestra vda hechos que tee que ver co la probabldad. S jugamos al parchís, tumos que más o meos ua de cada 6 veces saldrá u 5, co lo que podremos sacar ua fcha a recorrer el tablero. E el 'Moopoly' sacar u doble tres veces segudas os mada a la cárcel ( s pasar por la caslla de salda ). Esto o ocurre muchas veces; s embargo, todos los que hemos jugado a esto hemos do a la cárcel por ese motvo. La probabldad es ua medda de lo factble que es que tega lugar u determado suceso. Para estudar la probabldad, debemos troducr alguos ombres. Lo vamos a hacer co ayuda de u caso cocreto. Ejemplo Imagemos que teemos ua bolsa co 5 bolas: blacas, rojas y ua egra. Hacemos el sguete expermeto aleatoro: meter la mao e la bolsa y mrar el color de la bola que ha saldo. Hay 3 casos posbles: que la bola sea blaca, que la bola sea roja o que la bola sea egra. Abrevadamete los represetaremos por blaca, roja o egra (també podremos represetar los colores o escrbr B, R o N; recuerda que e matemátcas sempre se debe smplfcar, cluso la maera de escrbr). El espaco muestral es el cojuto de todos los casos posbles: {B, R, N}. Los dferetes sucesos so los subcojutos del espaco muestral. E uestro ejemplo los sucesos posbles so {B},{R}, {N}, {B,R}, {B,N}, {R,N}, {B,R,N}. Es seguro que e uestro expermeto la bola que sacamos es blaca, egra o roja. Por eso al espaco muestral se le llama també suceso seguro. Recuerda estos ombres: U expermeto aleatoro es ua accó (expermeto) cuyo resultado depede del azar. A cada uo de los resultados posbles de u expermeto aleatoro le llamaremos caso o suceso dvdual. El cojuto de todos los casos posbles se llama espaco muestral o suceso seguro. U suceso es u subcojuto del espaco muestral. Ejemplos. 1. Baraja española de 40 cartas. Expermeto: sacamos ua carta al azar y mramos su palo. Espaco muestral {oros, copas, espadas, bastos}. Expermeto: lazamos smultáeamete 1 moeda de euro y ua de euros al are. Espaco muestral:{cara-cara, Cara-Cruz, Cruz-Cara, Cruz-Cruz} 3. Expermeto: lazamos smultáeamete moedas de 1 euro (dstgubles) Espaco muestral: {Sale caras, Sale cruces, Sale 1 cara y ua cruz} 4. Expermeto: lazamos ua moeda de 1 euro y aputamos qué ha saldo; la volvemos a lazar y aputamos el resultado. Espaco muestral: {CC, CX, XC, XX} 5. Expermeto: lazamos smultáeamete dos dados y sumamos los úmeros que se ve e las caras superores.
160 Espaco muestral:{, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} 6. Expermeto: lazamos u dado usual y sumamos los úmeros que aparece e la cara superor y la cara feror (la que o se ve, que está sobre la mesa). Espaco de sucesos: {7} E los ejemplos aterores, () y (4) so equvaletes: los posbles resultados del lazameto de moedas que se dstgue so los msmos que los del lazameto de ua msma moeda dos veces (por ejemplo, equparamos el resultado del lazameto de la moeda de 1 euro del ejemplo 3 co el prmer lazameto de la moeda del ejemplo 4 y el resultado del lazameto de la moeda de euros co el segudo lazameto). E el expermeto 6 sempre sale el msmo resultado (por algua razó los putos e los dados usuales se dstrbuye sempre de modo que las caras opuestas suma 7). Téccamete éste o es u expermeto aleatoro, puesto que el resultado o depede del azar. Actvdades propuestas 9. Para cada uo de los ejemplos 1 a 5 aterores dca 3 sucesos dferetes que o sea sucesos dvduales. 10. E ua bolsa teemos 10 bolas rojas umeradas del 1 al 10. Se hace los dos expermetos sguetes: EXPERIMENTO A: Se saca ua bola de la bolsa y se mra su color. EXPERIMENTO B: Se saca ua bola de la bolsa y se mra su úmero. Cuál de estos expermetos o es u expermeto aleatoro? Por qué? Para el expermeto que sí es u expermeto aleatoro dca su espaco muestral. 11. Ua baraja fracesa tee 5 cartas, dstrbudas e 13 cartas de pcas, 13 de corazoes, 13 de tréboles y 13 de damates. Las pcas y los tréboles so cartas egras metras que los corazoes y los damates so cartas rojas. Se mezcla la baraja, se corta y se hace el sguete expermeto: coger las dos cartas que ha quedado arrba del todo y observar de qué color so. Descrbe el espaco muestral. 4.. Cálculo de probabldades. Ya hemos dcado que la probabldad es ua medda que os dca el grado de cofaza de que ocurra u determado suceso. La probabldad se expresa medate u úmero compreddo etre 0 y 1. S ese úmero está próxmo a 0 dremos que es u suceso mprobable (ojo, mprobable o quere decr que sea mposble), metras que s está próxmo a 1 dremos que ese suceso será mucho más probable. Ejemplo E ua bolsa que cotee 0 bolas blacas troducmos ua bola egra (dstguble al tacto). Mezclamos be las bolas de la bolsa, y realzamos el expermeto cosstete e meter la mao e la bolsa y sacar ua bola. S que hayamos estudado ada formalmete sobre probabldad. Qué pesas que es más probable, que la bola sacada es blaca o que es egra? Estaremos de acuerdo e que es más probable sacar ua bola blaca. Ahora ya sí que podemos platearos ua preguta: E qué medda es más probable sacar ua bola blaca? No es dfícl de calcular. Los datos que teemos so los sguetes la bolsa tee 1 bolas 1 bola es egra 0 bolas so blacas La probabldad de sacar la bola egra es 1 de etre 1. La probabldad de sacar ua bola blaca es de 0 etre 1. Lo que acabamos de utlzar es coocdo como Ley de Laplace. S todos los casos de u espaco muestral so equprobables (esto es, tee la msma probabldad de ocurrr), y S es u suceso de ese expermeto aleatoro se tee que úmero de casos favorables al suceso S P( S ) úmero de casos posbles Ejemplo. Mezclamos ua baraja española de 40 cartas (los palos so oros, copas, espadas y bastos y e cada palo hay cartas umeradas del 1 al 7 además de ua sota, u caballo y u rey). Se realza el expermeto cosstete e cortar la baraja y quedaros co la carta superor. Cosderaremos los sguetes sucesos: 1) Obteer ua fgura ) Obteer ua carta co u úmero mpar 3) Obteer ua carta de espadas 4) Obteer ua carta de espadas o ua fgura 5) Obteer la sota de oros E prcpo las cartas o va a estar marcadas, co lo que la probabldad de que salga cada ua de ellas es la msma. Esto es, estamos ate u expermeto aleatoro co todos los casos equprobables. 1) E la baraja hay 1 fguras (3 por cada palo). Así
161 Casos favorables: 1 Casos posbles: 40 Probabldad: 1/40= 3/10 ) Por cada palo hay 4 cartas co úmeros mpares: 1, 3, 5 y 7. Casos favorables: 16 Casos posbles: 40 Probabldad: 16/40=/5 3) Hay 10 cartas de espadas e la baraja Casos favorables: 10 Casos posbles: 40 Probabldad: 10/40=1/4 4) Hay 10 cartas de espadas y además otras 9 fguras que o so de espadas (claro, las 3 fguras de espadas ya las hemos cotado). Casos favorables: 19 Casos posbles: 40 Probabldad: 19/40 5) Solo hay ua sota de oros Casos favorables: 1 Casos posbles: 40 Probabldad: 1/40 El que es capaz de calcular probabldades rápdamete tee vetaja e alguos juegos e los que se mezcla azar co estratega. Por ejemplo, juegos de cartas o de domó. S sabemos qué cartas o fchas se ha jugado podemos estmar la probabldad de que otro jugador tega ua determada jugada. Obvamete e esos casos o cuatfcamos (o hacemos los cálculos exactos) pero sí que estmamos s teemos la probabldad a uestro favor o e uestra cotra. Para apreder más Jerómo Cardao (1501-1576) fue u persoaje queto y prolífco. Además de dedcarse a las matemátcas era médco, pero també era u jugador. De hecho él fue qu escrbó el prmer trabajo que se cooce sobre juegos de azar. U sglo después el Caballero de Meré, u coocdo jugador, plateó a Blas Pascal dversos problemas que le aparecía e sus partdas. Uo de los problemas que le plateó es el del reparto de las gaacas cuado ua partda se tee que terrumpr. Este problema ya había sdo tratado co aterordad por Luca Pacol (el matemátco que vetó la tabla de doble etrada para ayudar a los Medc a llevar la cotabldad de su Baca). El problema eucado y resuelto por Pacol es éste: Dos equpos juega a la pelota de modo que gaa el juego el prmer equpo que gaa 6 partdos. La apuesta es de ducados, que se los llevará el gaador. Por algú motvo hay que terrumpr el juego cuado u equpo ha gaado 5 partdos y el otro 3. Se quere saber cómo repartr los ducados de la apuesta, de u modo justo. Pésalo! A pesar de haber pasado a la hstora de las matemátcas, la solucó que do Pacol a este problema hoy o se cosderaría correcta por o teer e cueta la probabldad. Qué propoes tú? Este es u problema curoso, porque o teemos todos los datos coocemos las probabldades que tervee e su resolucó, pero es u boto ejemplo para pesar e equpo y dscutr sobre el tema. Decr qué es y qué o es justo es muy complcado. Actvdades resueltas Ua bolsa de bolas cotee 6 egras y 6 rojas. Se mezcla el cotedo de la bolsa, se mete la mao y se saca ua bola, se mra el color y se devuelve a la bolsa. A cotuacó se saca otra bola y se mra el color. Cuál es la probabldad de que haya saldo ua bola roja y ua bola egra? Ates de segur leyedo, pésalo. S te equvocas o pasa ada: el setdo de probabldad o lo teemos demasado desarrollado, pero este es el mometo de hacerlo. Este problema lo hemos plateado muchas veces a otros estudates. Alguos dce que la probabldad es 1/3 porque hay 3 casos posbles: Roja-Roja, Negra-Negra y Roja-Negra. Esa respuesta o es correcta. E realdad el suceso sacar ua bola de cada color costa de casos Roja-Negra y Negra-Roja. Depededo de cómo hubésemos escrto el espaco muestral o de cómo hubésemos plateado el problema ese detalle se podría ver co mayor o meor clardad. Así, la probabldad de sacar ua bola de cada color es, e realdad 1/. S o te lo crees puedes hacer u expermeto: será dfícl que tegas 6 bolas egras y 6 bolas rojas, pero sí que es fácl que tegas ua baraja fracesa. Mézclala, corta y mra el color de la carta que ha quedado arrba e el motó. Apútalo. Vuelve a dejar las cartas e el mazo, vuelve a mezclar, corta de uevo y mra el color de la carta que ha quedado arrba ahora. Aputa los colores. Repte este expermeto muchas veces: 0, 50 o 100. S tees e cueta los resultados verás que, aproxmadamete, la mtad de las veces las dos cartas so del msmo color y la otra mtad las cartas so de colores dferetes. Co eso, hemos poddo comprobar que la probabldad de ese suceso era 1/. Otra forma que te puede ayudar a razoar sobre este problema, y otros muchos de probabldad, es cofeccoar u dagrama e árbol. La prmera bola que sacamos tee ua probabldad de ser Roja gual a 6/5 = 1/. Ese úmero lo escrbmos e la rama del árbol. S devolvemos a la bolsa la
16 bola y volvemos a sacar otra bola de la bolsa, la probabldad de que sea Roja vuelve a ser 6/5 = 1/. Completamos co détco razoameto el resto de las ramas. La probabldad de que las dos bolas que hayamos sacado sea rojas es el producto de sus ramas: (1/) (1/) = 1/4. Igual probabldad obteemos para los sucesos Negra-Negra, Negra-Roja y Roja-Negra. La probabldad de Roja-Negra es por tato 1/4, gual a la de Negra-Roja. Como so sucesos elemetales la probabldad de que las dos bolas sea de dstto color es la suma: 1/4 + 1/4 = 1/. 4.3. Probabldad y frecueca relatva Al prcpo del capítulo, cuado troducíamos los prcpales coceptos estadístcos, hablábamos de la frecueca. A esa frecueca se le llama frecueca absoluta para dstgurla de otro cocepto, que es mucho más próxmo a la probabldad. Llamaremos frecueca relatva de u resultado de u expermeto aleatoro a su frecueca absoluta dvddo etre el úmero de repetcoes del expermeto. Ejemplo Tra u dado 60 veces, copa esta tabla e tu cuadero y aputa lo que sale: S dbujas u dagrama de barras co los resultados del expermeto obtedrás algo parecdo a esto: La frecueca relatva de cada uo de los casos es bastate parecda a la probabldad de ese caso (que es 1/6). Ejemplo. Haz ahora otro expermeto: tra dados 60 veces y aputa la suma de los valores de los dos dados e esta tabla. Tra u dado 60 veces, copa esta tabla e tu cuadero y aputa lo que sale: 0 0 Smulacó del lazameto de u dado 1 3 4 5 6 15 10 5 0 Suma de los putos e dos dados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Dbuja ahora u dagrama de barras. Lo que obtedrás será algo parecdo a esto: S la probabldad se tee que parecer a las frecuecas relatvas, e este caso vemos que el suceso que la suma dé 7 es más probable que cualquera de los demás. Y mucho más probable que la suma de o que la suma de 1. La ley de los grades úmeros os dce que cuado se repte muchas veces u expermeto aleatoro la frecueca relatva de cada suceso S se aproxma a su probabldad. Cuato más grade sea el úmero de repetcoes, mejor va sedo la aproxmacó. E este caso lo útl es utlzar las frecuecas relatvas para estmar probabldades cuado éstas o so coocdas. Actvdades propuestas 1. E alguos lugares de España se sgue jugado a la taba. La taba es u hueso de cordero que o es regular. Puede caer e cuatro poscoes dsttas. Podemos pesar e ella como s fuese u dado raro. 13. Cosdera el expermeto lazar la goma al are y ver lo que marca su cara superor. 14. Aproxma la probabldad de cada uo de los casos de este expermeto aleatoro. 15. Tu calculadora probablemete tedrá ua fucó que srve para geerar úmeros aleatoros. Normalmete da u úmero compreddo etre 0 y 1. (Image: Wkmeda Commos) 16. Realza el expermeto aleatoro geera u úmero aleatoro y aputa su segudo decmal. Haz 40 repetcoes de este expermeto. Dbuja u hstograma de frecuecas. 17. La probabldad o es u cocepto tutvo. Para ello vamos a hacer ua prueba. Cosderaremos el expermeto aleatoro lazar ua moeda. Copa la tabla e tu cuadero. Escrbe e la 1ª fla de esta tabla lo que tú crees que saldría al repetr el expermeto 30 veces. Pésalo y rellea la tabla. Como tú queras (vétatelo, pero co setdo ).
163 E la ª fla de la tabla escrbe el resultado real de 30 lazametos de la moeda. Qué observas e ambos casos? Algua pauta? Presta atecó a estas cuestoes para cada ua de las flas de la tabla. Hay más o meos 15 caras y 15 cruces? Aparece grupos segudos de caras o de cruces? Cuál es el mayor úmero de caras que ha saldo segudas? Y el de cruces? Normalmete cuado te vetas los resultados sí sueles poer la mtad de caras y la mtad de cruces. E u expermeto aleatoro estos úmeros está cerca de la mtad pero o suele ser la mtad exacta. Cuado te lo vetas, e geeral poes pocos grupos segudos de caras o cruces. El cerebro os egaña y e temas probablístcos teemos que educarlo mucho más. Por eso este tema es muy mportate, auque sea el que muchas veces se queda s dar. Nos ayuda a que, como cudadaos, o os egañe. N co loterías, co cartas, co estadístcas electorales. RESUMEN Poblacó Colectvo sobre el que se hace el estudo Estudates de todo Madrd Muestra Subcojuto de la poblacó que permta obteer característcas de la poblacó complete. Alumos se 3º de ESO seleccoados Idvduo Cada uo de los elemetos de la poblacó o muestra Jua Pérez Varables estadístca Gráfcos estadístcos Cuattatva dscreta Cuattatva cotua Cualtatva Dagrama de barras Hstograma de frecuecas Polígoo de frecuecas Dagrama de sectores Número de pe que calza Estatura Deporte que practca 3500 3000 500 000 1500 1000 Horas de oco dedcadas a teret Meda x x = (x 1 + x + + x )/ Co los datos: 8,, 5, 10 y 10 Meda = 35/5 = 7 Moda Es el valor más frecuete Mo = 10 Medaa Deja por debajo la mtad 4 < 6 < 8 < 10 = 10. Me = 8. Rago o recorrdo Es la dfereca etre el dato mayor y el dato meor. 10 = 8 Desvacó meda Es la meda de las dstacas de los datos a la meda de los datos de los que dspogamos. Varaza Es la meda de los cuadrados de las dstacas de los datos a la meda: ( x m) x 1 = 1 m (8 7+ 7+5 7+10 7 + 10 7)/5 = (1+5++3+3)/5 = 14/5 = DM V = (1 + 5 + 4 + 9 + 9)/5 = 47/5 = 9,4 Desvacó típca Es la raíz cuadrada de la varaza= x 1 47 / = 3,06 = 5 Probabldad Valor etre 0 y 1 que os da ua medda de lo factble que sea que se verfque u determado suceso. m P(3) = 1/6 al trar u dado Espaco muestral El cojuto de todos los casos posbles {1,, 3, 4, 5, 6} Suceso Subcojuto del espaco muestral Sacar par: {, 4, 6} Ley de Laplace. úmero de casos favorables al suceso S P(par) = 3/6 = 1/. P( S ) úmero de casos posbles
164 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Estadístca 1. Se ha recogdo los datos sobre el úmero de hjos que tee 0 matrmoos. Cómo es la varable utlzada? Escrbe ua tabla de frecuecas de los datos recogdos y represeta los datos e u dagrama de sectores: 3, 1, 1,, 0,, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 3,, 1,, 1,,, 3.. Co los datos del problema ateror calcula la meda, la medaa, la moda y los cuartles. 3. Co los datos del problema ateror calcula el rago, la devacó meda, la varaza la desvacó típca y el tervalo tercuartílco.. 4. Represeta esos datos e u dagrama de cajas. 5. La sguete tabla expresa las estaturas, e metros, de 1000 soldados: Talla 1 50 1 56 1 56 1 6 1 6 1 68 1 68-1 74 1 74-1 80 1 80-1 9 Nº de soldados 10 140 10 340 10 90 a) Represeta los datos e u hstograma. b) Calcula la meda y la desvacó típca. c) Determa el tervalo dode se ecuetra la medaa. 6. Se preguta a u grupo de persoas por el úmero de televsores que hay e su hogar y los resultados so: Número de televsores 0 1 3 4 5 Número de hogares 7 15 4 1 Qué tpo de varables es? Represeta los datos e la represetacó que te parezca más adecuada. Calcula la meda y la desvacó típca- 7. Co los datos del problema ateror calcula la medaa y el tervalo tercuartílco. 8. E u cetro escolar se ha recogdo formacó sobre el úmero de ordeadores e las casas de 100 famlas y se ha obtedo los sguetes resultados: Número ordeadores 0 1 3 4 Número de famlas: 4 60 14 1 1 Represeta los datos e u dagrama de barras y calcula la meda, la medaa y la moda. 9. Co los datos del problema ateror calcula el rago, la desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. Haz u dagrama de cajas. 10. Se preguta a u grupo de persoas por el úmero de veces que ha vstado al detsta e el últmo año. Las respuestas obtedas se recoge e la sguete tabla: Número de vstas: 1 3 4 5 Número de persoas: 13 18 7 5 7 Represeta los datos e u dagrama de sectores y calcula la meda, la medaa y la moda. 11. Se preguta a u grupo de persoas por el úmero de veces que ha vstado al detsta e el últmo año. Las respuestas obtedas se recoge e la sguete tabla: Número de vstas: 1 3 4 5 Número de persoas: 13 18 7 5 7 Calcula el rago, la desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. 1. E las eleccoes de 014 al Parlameto Europeo se obtuvero los sguetes escaños por grupo parlametaro (DM: demócrata crstaos; S: socalstas; L: Lberales; V: verdes; C: coservadores; I: zquerda utara; LD: Lbertad y democraca; NI: No scrtos; Otros). Partdos DM S L V C I LD NI Otros Total Escaños 13 190 64 5 46 4 38 41 65 751 Qué represetacó de los datos te parece más adecuada? Puedes calcular la meda o el rago? Qué tpo de varables es la de la tabla? 13. E las eleccoes de 014 al Parlameto Europeo se obtuvero los sguetes escaños por alguo de los estados membro: Estado Alemaa España Fraca Itala Poloa Reo Udo Portugal Greca Otros Total Escaños 96 54 74 73 51 73 1 1 751 Qué represetacó de los datos te parece más adecuada? Puedes calcular la meda o el rago? Qué tpo de varables es la de la tabla? Determa el úmero de escaños de los otros países membros de la Uó Europea.
165 14. E las eleccoes de 004, 009, 014 al Parlameto Europeo se obtuvero los sguetes porcetajes de votos por alguos de los estados membros: Estado Alemaa España Fraca Itala Reo Udo Portugal Greca Bélgca % total 004 43 45 14 4 76 71 7 38 5 38 6 63 90 81 45 47 009 43 7 44 87 40 63 65 05 34 7 36 77 5 61 90 39 43 014 47 6 45 9 43 5 60 36 34 5 58 90 43 09 Qué represetacó de los datos te parece más adecuada? Puedes calcular la meda o el rago? Qué tpo de varables es la de la tabla? Ordea a los países de mayor a meos porcetaje de votates e las eleccoes de 014. 15. Co los datos del problema ateror sobre las eleccoes de 004, 009, 014 al Parlameto Europeo se obtuvero los sguetes porcetajes de votos por alguos de los estados membros: Estado Alemaa España Fraca Itala Reo Udo Portugal Greca Bélgca % total 004 43 45 14 4 76 71 7 38 5 38 6 63 90 81 45 47 009 43 7 44 87 40 63 65 05 34 7 36 77 5 61 90 39 43 014 47 6 45 9 43 5 60 36 34 5 58 90 43 09 Represeta e u polígoo de frecuecas los porcetajes de partcpacó del total de los estados membros. 16. Co los datos del problema ateror sobre las eleccoes de 004, 009, 014 al Parlameto Europeo se obtuvero los sguetes porcetajes de votos por alguos de los estados membros: Estado Alemaa España Fraca Itala Reo Udo Portugal Greca Bélgca % total 004 43 45 14 4 76 71 7 38 5 38 6 63 90 81 45 47 009 43 7 44 87 40 63 65 05 34 7 36 77 5 61 90 39 43 014 47 6 45 9 43 5 60 36 34 5 58 90 43 09 Separa los Estados Membros e dos grupos los que tuvero u porcetaje superor al porcetaje medo y los que lo tuvero meor e 004. Haz lo msmo para 014. So los msmos? Aalza el resultado. 17. Co los datos del problema ateror sobre las eleccoes de 004, 009, 014 al Parlameto Europeo se obtuvero los sguetes porcetajes de votos por alguos de los estados membros: Estado Alemaa España Fraca Itala Reo Udo Portugal Greca Bélgca % total 004 43 45 14 4 76 71 7 38 5 38 6 63 90 81 45 47 009 43 7 44 87 40 63 65 05 34 7 36 77 5 61 90 39 43 014 47 6 45 9 43 5 60 36 34 5 58 90 43 09 Calcula el porcetaje de partcpacó medo para Alemaa e esas tres covocatoras y la desvacó típca. Lo msmo para España, para Bélgca y para Portugal. 18. E las eleccoes de 014 al Parlameto Europeo los resultados de España ha sdo: Ceso Total de votates Abstecó Votos ulos Votos e blaco 35.379.097 15.90.815 19.458.8 90.189 357.339 Represeta e u dagrama de sectores estos datos. Haz ua tabla de porcetajes: el ceso es el 100 %. Determa los otros porcetajes. Cosderas que ha gaado la abstecó? 19. E las eleccoes de 014 al Parlameto Europeo los resultados de España ha sdo: PP PSOE Izquerda plural Podemos UPyD Otros Total de votates 4.074.363 7.901.754 1.56.567 1.45.948 1.015.994 15.90.815 Determa el úmero de votos de los otros partdos. Represeta e u dagrama de barras estos datos. Haz ua tabla de porcetajes para cada partdo. Tees que dstrbur 54 escaños, cómo los dstrburías por partdos? Probabldad 0. Se cosdera el expermeto aleatoro de trar u dado dos veces. Calcula las probabldades sguetes: a) Sacar algú 1. b) La suma de los dígtos es 8. c) No sacar gú. d) Sacar algú 1 o be o sacar gú. 1. Se cosdera el expermeto aleatoro sacar dos cartas de la baraja española. Calcula la probabldad de: a) Sacar algú rey. b) Obteer al meos u basto. c) No obteer gú basto. d) No obteer el rey de bastos. e) Sacar algua fgura: sota, caballo, rey o as. f) No sacar gua fgura.. Se cosdera el expermeto aleatoro de trar ua moeda tres veces. Calcula las probabldades sguetes: a) Sacar cara e la prmera trada. b) Sacar cara e la seguda trada. c) Sacar cara e la tercera trada. d) Sacar algua cara. e) No sacar gua cara. f) Sacar tres caras. 3. Co ua baraja española se hace el expermeto de sacar tres cartas, co reemplazo, cuál es la probabldad de sacar tres reyes? Y s el expermeto se hace s reemplazo, cuál es ahora la probabldad de teer 3 reyes?
166 4. E ua ura hay 6 bolas blacas y 14 bolas egras. Se saca dos bolas co reemplazo. Determa la probabldad de que: a) Las dos sea egras. b) Haya al meos ua egra. c) Ngua sea egra. 5. E ua ura hay 6 bolas blacas y 14 bolas egras. Se saca dos bolas s reemplazo. Determa la probabldad de que: a) Las dos sea egras. b) Haya al meos ua egra. c) Ngua sea egra. d) Compara los resultados co los de la actvdad ateror. 6. Al lazar cuatro moedas al are, a) cuál es la probabldad de que las cuatro sea caras? b) Cuál es la probabldad de obteer a lo sumo tres caras? c) Cuál es la probabldad de teer exactamete 3 caras? 7. Dos tradores al plato tee uas marcas ya coocdas. El prmero acerta co ua probabldad de 0,7 y el segudo de 0,5. Se laza u plato y ambos dspara. Expresa medate u dagrama de árbol y las dsttas posbldades: a) Qué probabldad hay de que uo de los tradores dé e el plato? b) Calcula la probabldad de que guo acerte. c) Calcula la probabldad de que los dos acerte. 8. Se laza ua moeda hasta que aparezca cara dos veces segudas. a) Calcula la probabldad de que la expereca terme e el segudo lazameto. b) Calcula la probabldad de que terme e el tercer lazameto. 9. E el lazameto de aves espacales se ha stalado tres dspostvos de segurdad A, B y C. S falla A se poe automátcamete e marcha el dspostvo B, y s falla este, se poe e marcha C. Se sabe que la probabldad de que falle A es 0,1, la probabldad de que B fucoe es 0,98 y la probabldad de que falle C es 0,05. Calcula la probabldad de que todo fucoe be. 30. Se hace u estudo sobre los cedos forestales de ua zoa y se comprueba que el 40 % so tecoados, el 50 % se debe a eglgecas y el 10 % a causas aturales. Se ha producdo tres cedos, a) cuál es la probabldad de que al meos uo haya sdo tecoado? b) Probabldad de que los tres cedos se deba a causas aturales. c) Probabldad de que gú cedo sea por eglgecas. 31. Se laza dos veces u dado equlbrado co ses caras. Hallar la probabldad de que la suma de los valores que aparece e la cara superor sea múltplo de tres. 3. Se sabe que se ha elmado varas cartas de ua baraja española que tee cuareta. La probabldad de extraer u as etre las que queda 0,1, la probabldad de que salga ua copa es 0,08 y la probabldad de que o sea as copa es 0.84. Calcular la probabldad de que la carta sea el as de copas. Se puede afrmar que etre las cartas que o se ha elmado está el as de copas? 33. Ua persoa despstada tee ocho calcetes egros, ses azules y cuatro rojos, todos ellos sueltos. U día co mucha prsa, elge dos calcetes al azar. Hallar la probabldad de: a) que los calcetes sea egros. b) que los dos calcetes sea del msmo color. c) que al meos uo de ellos sea rojo. d) que uo sea egro y el otro o. 34. Tres persoas vaja e u coche. S se supoe que la probabldad de acer e cualquer día del año es la msma y sabemos que guo ha acdo e u año bsesto. A) Hallar la probabldad de que solamete ua de ellas celebre su cumpleaños ese día. B) Calcular la probabldad de que al meos dos cumpla años ese día. AUTOEVALUACIÓN 1. Se hace u estudo sobre el color que prefere los habtates de u país para u coche. La varable utlzada es: a) cuattatva b) cualtatva c) cuattatva dscreta d) cuattatva cotua. E u hstograma de frecuecas relatvas el área de cada rectágulo es: a) proporcoal al área b) gual a la frecueca absoluta c) proporcoal a la frecueca relatva d) proporcoal a la frecueca acumulada 3. Aa ha obtedo e Matemátcas las sguetes otas: 7, 8, 5, 10, 8, 10, 9 y 7. Su ota meda es de: a) 7,6 b) 8, c) 8 d) 9 4. E las otas aterores de Aa la medaa es: a) 9 b) 8 c) 7,5 d) 8,5 5. E las otas aterores de Aa la moda es: a) 10 b) 8 c) 7 d) 7, 8 y 10 6. El espaco muestral de sucesos elemetales equprobables del expermeto trar dos moedas y cotar el úmero de caras es: a) {C, 1C, 0C} b) {CC, CX, XC, XX} c) {XX, XC, CC} d) {CC, CX, XC, CC} 7. Tramos dos dados y cotamos los putos de las caras superores. La probabldad de que la suma sea 7 es: a) 1/6 b) 7/36 c) 5/36 d) 3/36 8. Al sacar ua carta de ua baraja española (de 40 cartas), la probabldad de que sea u oro o be u rey es: a) 14/40 b) 13/40 c) 1/40 d) 15/40 9. E ua bolsa hay 7 bolas rojas, egras y 1 bola blaca. Se saca bolas. La probabldad de que las dos sea rojas es: a) 49/100 b) 4/100 c) 49/90 d) 7/15 10. Tramos tres moedas al are. La probabldad de que las tres al caer sea caras es: a) 1/5 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/6