Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIA Esta técca estadístca es de gra utldad uesto que la terretacó del resultado uede hacerse de maera seclla a través de gráfcas Co este rocedmeto se uede evdecar de maera más ercetble el grado de relacó etre las categorías de cada varable; de ahí el ombre de maas ercetuales Cuado el grado de asocacó es alto, éstas aarecerá e el dagrama relatvamete utas (Salvador, ) Surge co el f de defr, descrbr e terretar las relacoes etre varables categórcas a través de u gráfco geométrco U medo descrtvo umérco róxmo a estos maas de ercecó, so las tablas de cotgeca o també coocdas tablas cruzadas o matrz de tabulacó Por tato el Aálss de Corresodeca (AC) es ua técca gráfca que rereseta formacó coteda e ua tabla de cotgeca de dos vías la cual rereseta la totalzacó (frecueca) de las observacoes de ua muestra dada, ara ua tabla cruzada de dos varables categórcas Co el AC se costruye ua gráfca (maa ercetual) que señala la teraccó de dos varables categórcas a través de la relacó de las flas y de las columas etre sí Mde el grado de asocacó resete etre u couto de varables; es decr, costruye u dagrama cartesao o maa ercetual basado e la relacó de deedeca e deedeca de los atrbutos o categorías de las varables Alguas referecas dsesables e este tema so Greeacre (984), Jobso (99, Seccó 94), Khattree y Nak (999, Cátulo 7), Gower y Had (996, Cátulos 4 y 9) y Bezecr (99) Adcoalmete, se uede relacoar co ua técca más de reduccó de varables al trasformarlas a u couto de varables observables (Díaz, ) Las varables orgales debe coformarse de atrbutos o categorías Es decr debe ser cualtatvas E las tablas de cotgeca cada varable co sus corresodetes atrbutos 8
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle es cotablzada cotra las otras varables, reresetado, la frecueca de asocacó de las categorías La faldad es oer de mafesto gráfcamete las relacoes de deedeca exstetes etre las dversas modaldades de dos o más varables categórcas, es decr cualtatvas, a artr de la formacó roorcoada or sus estas tablas de frecuecas cruzadas o tablas de cotgeca Las varables categórcas muestra e u maa su recomoscó medate la asocacó de categorías o atrbutos ara coformacó de coglomerados a través de la varaza Esos coglomerados está coformados or categorías de las varables orgales y tedría ua varaza míma teramete y máxma etre ellos E el aálss de corresodeca, el maa ercetual muestra u uto or cada fla y u uto ara cada columa de la tabla de cotgeca Estos utos so, e efecto, las royeccoes de las flas y columas de la tabla de cotgeca e u esaco eucldao de dos dmesoes El obetvo es reservar tato como sea osble la relacó de las flas (o columas) a la otra e u esaco de dos dmesoes S dos utos-fla está muy utos, los erfles de las dos flas (a través de las columas) so smlares Asmsmo, dos utos-columa que está muy utos rereseta columas co erfles smlares a través de las flas S u uto de fla está cerca de u uto de la columa, esta combacó de categorías de las dos varables es más frecuete de lo que ocurrría, or casualdad, s las dos varables so deedetes Otro resultado de u aálss de corresodeca es la erca, o la catdad de formacó e cada ua de las dos dmesoes e la trama El maa ercetual muestra, e f, los utos (categorías de las varables observadas) que dca la relacó o corresodeca que udera exstr etre las varables de estudo Las relacoes se uede observar cuado se forma alguos coglomerados (cocetracó de utos) que descrbe certo comortameto artcular (atró) 9
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle Cuado e el gráfco los utos (varables observadas) se ecuetra e el cetro del ee, dca que exste colealdad etre las varables; es decr, exste varables que está fuertemete terrelacoadas, y, or tato, resulta dfícl medr sus efectos dvduales sobre la varable resuesta (varable de terés) Las varables redudates uede ser detfcadas a través de la matrz de correlacó y de este modo, se odría mtgar este feómeo, semre y cuado las varables sea cuattatvas Para robar la mortaca de la asocacó de las dos varables categórcas e ua tabla de cotgeca, odríamos usar ua rueba de ch-cuadrado o u modelo log-leal, los cuales rereseta ua aroxmacó astótca S ua tabla de cotgeca tee alguas celdas frecuecas co valores equeños o ulos, la aroxmacó ch-cuadrado o es muy satsfactora E este caso, alguas categorías se uede combar ara aumetar las frecuecas de las celdas y así, dsmur el úmero de categorías orgales Es mortate destacar lo útl de detfcar categorías que sea smlares; esto ermtría combarlas y de allí, crear ua varable observable que exlque meor los resultados Segudamete se muestra dos maas ercetuales e los que se rereseta medate círculos las uevas varables desués de reagruarse las categorías 4
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle E estos gráfcos, usado MINITAB, se observa cada categoría detfcada or u úmero que al mostrar su grado asocacó o smltud, estructura estos cluster que coforma la varable resuesta A su vez, cada ee, e cada ua de sus dreccoes detfca ua característca o resete e las observacoes orgales, marcado e estos maas u alto grado de smltud haca esa característca ueva o e su defecto, su ouesto, la dsmltud Puede revsarse Har et al, e el caítulo dez De acuerdo a los gráfcos aortados or los maas ercetuales, se asoca a cada modaldad u uto e el esaco P, de forma que a) Cuato más aleado del orge de coordeadas está el uto asocado a ua modaldad de ua varable, más dferete es su erfl codcoal del erfl margal corresodete a las otras varables b) Los utos corresodetes a dos modaldades dferetes de ua msma varable estará más cercaos cuato más se arezca sus erfles codcoales c) Dchos utos tederá a estar más cerca de aquellas modaldades co las que tee ua mayor afdad; es decr, aquéllas e los que las frecuecas observadas de la celda corresodete tede a ser mayor que la eserada bao la hótess de deedeca de las varables corresodetes 4
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle 4
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle PERFILES DE FILAS Y COLUMNAS Ua tabla de cotgeca co a flas y b columas se muestra e la tabla más abao El etradas so los totales o frecuecas ara cada combacó de fla y columa (cada celda) Los totales margales se muestra usado la b a otacó famlar de utos = = y = =, dca la suma de todas las columas y de todas las flas resectvamete La frecueca total geeral se deota or e lugar de or smlcdad, = Las frecuecas e ua tabla de cotgeca se uede covertr a las frecuecas relatvas al dvdr etre ; esto es, = / La matrz de frecuecas relatvas se llama matrz de corresodeca y se deota or P Tabla de cotgeca co a flas y b columas columas b Total fla b flas b a a a ab a Total columa b Matrz de corresodecas de frecuecas relatvas P flas columas b Total fla b b a a a ab a Total columa b P = ( ) = / 4
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle b La últma columa de la tabla ateror cotee la suma de las flas = = Este vector columa se rereseta or r y se uede obteer como r = P = (,,, a ) = ( /, /,, a /) dode es u vector ax de (s) De maera smlar la últma fla de la tabla a ateror cotee la suma de las columas = = Este vector columa se rereseta or c y se uede obteer como c = P = (,,, b ) = ( /, /,, b /) Los elemetos de los vectores r y c també se le cooce como flas y columas masas La matrz de corresodeca y los totales margales uede ser exresados de acuerdo a ua matrz amlada P c' r = a a b b ab b a La defcó de los erfles de cada fla y columa de P es como sgue La - ésma fla-erfl r, =,,,a, se defe dvdedo la -ésma fla de cualquera de las tablas aterores etre su total margal ' b b r =,,, =,,, Los elemetos de cada r so frecuecas relatvas y de ahí que su suma sea 44
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle 45 = = = = = b b r ' Por defcó, D r = dag(r) = a y, D r - = / / / a La matrz R de flas-erfl uede ser exresada como R = D r - P = ' ' ' r a r r = a ab a a a a b b De maera smlar sucede ara la columa-erfl, c, =,,b, se defe dvdedo la -ésma columa etre su total margal Esto es ' ' = = a a c Los elemetos e cada c so frecuecas relatvas y su suma es
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle ' c a = a D c = dag(c) = ( ) = = = = b, y ahora Y usado la matrz de columas-erfl C, se tee b b b = = ( ) = C PD c c c cb b a a ab b El vector r que quedó defdo como u vector columa de las suma de flas de P, r = P = (,,, a ) = ( /, /,, a /), se uede exresar como la meda oderada de los columas-erfl r = b = c ; o lo que es lo msmo ( a )' c + c + + bcb =, 46
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle al susttur a c or sus resectvos vectores y realzar las oeracoes corresodetes, quedaría a = = = a + + + a + + + + + + b b ab, que es el vector de las sumas de flas, r Del msmo modo ocurre ara c que es el vector fla de las sumas de columas de P, medate la exresó c' = a = r' ' ' Se sabe que ara cualquer fla o columa, = =, y de ahí, r = c =, dode la suma de ua fla-erfl e r co de ax de P, es gual a ua b columa-erfl e c co de bx de P y es gual b = a = 47
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle PRUEBA DE INDEPENDENCIA Como se sabe los datos e ua tabla de cotgeca uede ser usados ara verfcar la asocacó de dos varables categórcas Suógase dos varables categórcas, x y y, y de acuerdo co lo vsto e la seccó ateror, la suoscó de deedeca se uede exresar e térmos de robabldad medate P(x y ) = P(x )P(y ), =,,,a y =,,,b, Dode x y y se corresode a la -ésma fla y -ésma columa de la matrz de corresodeca, se uede estmar = co =,,,a y =,,,b La ch-cuadrado ara robar la hótess ula que dca deedeca de x y y, al comarar co y, está dada or = a b ( ) χ, = = La cual es aroxmadamete astótcamete dstrbuda como ua varable aleatora ch-cuadrado co (a-)(b-) grados de lbertad E fucó de la catdad de observacoes e la tabla de cotgeca, e lugar de las frecuecas relatva, se uede re-escrbr co el total, el total e cada celda y e cada columa y fla, 48
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle = a b χ = = La exresó ateror també se uede re-escrbr e fucó vectoral, tal como se ha vsto hasta este mometo E fucó de r, r, D c, D r, c y c Cualquera de las dos exresoes sguetes so alcables medate la comaracó de los vectores r a c ara cada, y medate los vectores c a r ara cada Cualquera de estas comaracoes es equvalete a robar la deedeca comarado a, ara todo, = a b ' ' χ ( r c) Dc ( r c), o = ( c r) Dr ( c r) = χ = E coclusó, es equvalete la rueba de deedeca medate la chcuadrado s se alca cualquera de los sguetes tres rocedmetos a) = ara todo,, (P=rc ) b) Todas las flas r de R so guales (també guales a su meda oderada, c ) c) Todas las columas c de C so guales (també guales a su meda oderada, r ) De este modo, s x y y fuera deedetes, se eseraría que las flas de la tabla de cotgeca tedría erfl smlar o de maera equvalete, las columas tedría erfl smlar E forma vectoral, la ch-cuadrado se uede extresar de la sguete maera ( P rc' ) D ( P rc' )' ] χ = tr[ D, r c 49
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle dode tr es la traza de la matrz resultate de la exresó o lo que es lo msmo, la suma de la dagoal de esa matrz y es la suma total de las frecuecas de la tabla de cotgeca La exresó ateror es equvalete a escrbr = k = λ, que so los k autovalores dferetes de cero de [ D r ( P rc' ) Dc ( P rc' )' y k es el rago de [ Dr ( P rc' ) Dc ( P rc' )' Hay que recordar que este rago k está asocado al m[(a-),(b-)] 5
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle COORDENADAS PARA GRAFICAR LOS PERFILES DE FILAS Y COLUMNAS E este uto se cosdera los asectos fudametales ara establecer, e geeral, las coordeadas ara u aálss de corresodeca, sea de dos o más varables La métrca ara los utos de flas y columas es la msma y los dos coutos de utos uede ser sueruestos e el msmo gráfco Para obteer estas coordeadas se factorza la matrz medate ua descomoscó esectral E aálss de corresodeca la matrz P-rc o es smétrca y de ahí el uso de valor de descomoscó sgular (svd) ara obteer las coordeadas / / Se escala P-rc ara obteer Z = D ( P rc' ) D, cuyos elemetos de Z so z r = Se factorza a Z medate svd, Z = UΛV', dode U y V so autovectores ortoormales y Λ es ua matrz dagoal co λ, =,,k, dode k es el m[(a-)(b-)] y se corresode co los valores sgulares de Z Las columas axk de U y las columas bxk de V so autovectores ormalzados de Z Z y de ahí que λ, =,,k, sea los autovalores de Z Z Note que = D Z Z / / / / = Dr ( P rc' ) Dc Dc ( P rc' )' Dr / / = Dr ( P rc' ) Dc ( P rc' )' Dr ( P rc' ) D ( P rc' )' == D ( P rc' ) D ( P rc' )' / / r Dr c r c, que es la exresó ya coocda ara determar los k autovalores Para la descomoscó de P-rc, se uede gualado c 5
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle Z / / = Dr ( P rc' ) Dc co Z UΛV' / / Dr ( P rc' ) Dc = UΛV / / ( P rc' ) = D UΛV' D = AΛB', r A Λ B ' = λ a b k = c = / / Luego A = Dr U y B = Dc V, a y b so las columas de A y B, y Λ = λ, =,,k Además, UU =I y VV =I, luego or la exresó ateror, A y B está escaladas y A'D A y B D B so guales a I r c Las flas de P-rc está reresetadas or la combacó leal de las flas de B, las cuales so las columas de B=(b,b,,b k ) Los coefcetes (coordeadas) ara la -ésma fla de P-rc está e la -ésma fla de A Λ y de la msma maera, las coordeadas ara las columas de P-rc está dadas or las columas de AB, uesto que AB rovee los coefcetes ara A=(a,a,,a k ) Para ecotrar las coordeadas ara las desvacoes de las flas r -c y las desvacoes e las columas c -r, se exresa e forma matrcal y e fucó de P-rc de la sguete maera R c' = D C r' = D ( P rc' ) ( P rc' ) r y c De este modo, las coordeadas ara las flas e R-c co resecto a los ees b,b,,b k, está dados or las columas de = X Dr AΛ, or otro lado, las coordeadas ara las columas de C-r co resecto a los ees a,a,,a k, está dados or = Y D BΛ c 5
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle De allí, se tedría que ara grafcar las coordeadas ara las desvacoes de erfl-flas R-c =r -c, =,,,a, e dos dmesoes, ara dos columas de X, sería x x x x X = x a x a Del msmo modo ar Y Las coordeadas ara las columas de las desvacoes del erfl-columas C r = c -r, =,,,b, e dos dmesoes sería y y y y Y = y b y b Teedo e cueta que cada uto tee u eso o oderacó guala su masa (los elemetos de los vectores r y c se le cooce como flas y columas masas), la erca sería u estadístco adecuado ara medr la dsersó de la ube de utos Esta dsersó es el romedo de las dstacas de los utos a su cetro de gravedad Mayores detalles s e uede cosultar e escalameto multdmesoal De este modo la meda oderada (oderada or ) de las dstacas chcudrado ( r c) Dc ( r c) etre las flas-erfl r y y sus meda c es llamada erca total y uede ser exresado or χ = a = ' ( r c) D ( r c) c, o χ b ' = ( c r) D ( c r) = r 5
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle χ Pero como = =, etoces, = k λ y de ahí la cotrbucó de = cada ua de las rmeras dos dmesoes del gráfco al total de erca es λ λ λ + λ y La combada de las dos dmesoes sería k k k λ λ λ = = Hay u rocedmeto e MATLAB que uede roducr este couto de estadístcos y valores de ruebas, coutamete co las gráfcas que ayude a formular reduccoes de de categorías co las combacó de dos o más de ellas, e varables latetes que a uco artcular daría orge a uevas varables Del msmo modo, SPSS, SAS, Mtab y otros, ofrece esta herrameta multvarate de reduccó de varables ara hacer u aálss, más descrtvo, y esecalmete gráfco, de los valores observados = 54
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle EJEMPLOS AC Y GRÁFICA CON DOS VARIABLES Catdad de fallas de los aros de stó e la tres atas Pata del comresor Comresor A B C Total fla 7 7 46 9 8 9 8 4 4 7 8 49 Total col 5 4 7 66 Matrz de corresodeca Pata del comresor Comreso A B C Total fla,,,7,77,66,54,78,99,66,48,4,9 4,84,4,69,95 Total col,9,47,44 fla-erfl,696,696,69,,77,99,895,5,5,857,49,574 columa-erfl,8,446,667,75,95,86,75,95,69,64,77,889 55
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle R=v(D r )*P,697,697,6,,74,95,894,4,4998,859,49,578 C=P*v(D c ),,446,666,77,95,84,77,95,67,644,77,887 Prueba de deedeca v(d r )*(P-r*c'),5, -,7,4,6 -,4 -, -,6,66 -,4 -,4,8 v(d c )*(P-r*c')',44,9 -, -,,8, -,4 -,4 -, -,8,5,94 v(d r )*(P-r*c')*v(Dc)*(P-r*c')',8,6 -, -,,9, -, -,7 -,4 -,,4, -, -,5,9,7 Como la traza es la suma de la dagoal y ella resulta e 7, la χ co (a- )*(b-) grados de lbertad, dode a=4 y b=, resulta e 6 gdl CHI-CUADRADO= *tr([v(d r )*(P-r*c')*v(D c )*(P-r*c')'] CHI-Cuad,74 De acuerdo a tabla el valor- sería 85, que aceta la hótess ula, la cual hay evdeca de la érdda de deedeca etre ambas varables y or suuesto, se uede establecer algua asocacó 56
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle Métrca ara las coordeadas x - 5 5-5 - -5 - -4 - - - 4 57
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle ACM Y GRÁFICA CON MÚLTIPLES VARIABLES Lsta de observacoes y sus categoras e cuatro varables Obs Géero Edad Estado cvl Color elo M ove soltero castaño M adulto soltero rozo F mayor casado claro 4 M adulto soltero egro 5 F mayor casado egro 6 F mayor soltero castaño 7 M ove casado rozo 8 M adulto casado claro 9 M mayor soltero castaño F ove casado egro F adulto soltero castaño M ove casado claro G Obs Géero Edad Edo cvl Color elo 4 5 6 7 8 9 58
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle Obs 4 5 6 7 8 9 Géero Edad Edo cvl Color elo G' Géero Edad Edo cvl Color elo MATRIZ DE BURT (G'G) M 7 4 F 5 J 4 M 4 A 4 S 4 6 4 C 6 4 Cl 4 4 Cst 4 4 N R Métrca ara las coordeadas De acuerdo a la tabla de BURT ateror y haber usado la fucó de MATLAB aalcorrm, se observaro, etre otros estos maas que se logra ercbr alguas combacoes Más detalle se uede observar e la seguda 59
Aálss Multvarate Parte Reduccó de datos Gerardo Colmeares Y sus Alcacoes Aálss de corresodeca múltle ráctca S embargo, el uco sobre cuáles combacoes sea aroadas deede de asectos u bue valosr re la ch-cuadrado que así lo ustfque y el crtero que se sga ara realzar las asocacoes Dmeso 7 5 5-5 Plot of varable levels of the erformed Multle Corresodece Aalyss from the Burt matrx Lev cat var Lev cat var Lev cat var Lev cat var 4 4 Dmeso 7 5 5-5 Plot of varable levels of the erformed Multle Corresodece Aalyss from the Burt matrx 4 Lev cat var Lev cat var Lev cat var Lev cat var 4 - -5 - -5 - - -5 - -5 5 5 Dmeso 6 - - - - Dmeso 5 5 Plot of varable levels of the erformed Multle Corresodece Aalyss from the Burt matrx Plot of varable levels of the erformed Multle Corresodece Aalyss from the Burt matrx Lev cat var Lev cat var Lev cat var Lev cat var 4 Dmeso 7 5-5 - -5 - - -5 - -5 5 5 5 Dmeso 4 Lev cat var Lev cat var Lev cat var Lev cat var 4 4 Dmeso 5 - - - 4 - -5 - -5 5 5 5 Dmeso 4 Dmeso 6 5 5-5 - -5 Plot of varable levels of the erformed Multle Corresodece Aalyss from the Burt matrx - - -5 - -5 5 5 5 Dmeso 4 4 Lev cat var Lev cat var Lev cat var Lev cat var 4 Dmeso 6 5 5-5 Plot of varable levels of the erformed Multle Corresodece Aalyss from the Burt matrx - Lev cat var Lev cat var -5 Lev cat var Lev cat var 4 - -4 - - - Dmeso 4 6