SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la regla e la potencia. Encontrar la erivaa e una función por la regla el múltiplo constante. Encontrar la erivaa e una función por las reglas e suma iferencia. Encontrar la erivaa e las funciones seno coseno. Usar erivaas para calcular razón e cambio. La peniente e una recta horizontal es 0 La regla e la constante En la sección. se usó la efinición por meio e límites para calcular las erivaas. Ésta las os próimas secciones presentan varias reglas e erivación que permiten calcular las erivaas sin el uso irecto e la efinición por límites. La erivaa e una función constante es 0 f() c Se observa que la regla e la constante equivale a ecir que la peniente e una recta horizontal es 0. Esto emuestra la relación que eiste entre erivaa peniente Figura.4 TEOREMA. LA REGLA DE LA CONSTANTE La erivaa e una función constante es 0. Es ecir, si c es un número real, entonces c 0. (Ver la figura.4) DEMOSTRACIÓN Sea ƒ() c. Entonces, por la efinición e erivaa meiante el proceso e límite, se euce que c f 0 c c 0 0 0 0 f f EJEMPLO Aplicación e la regla e la constante c) ) 7 f 0 st Derivaa 0 f 0 st 0 k,k es constante 0 EXPLORACIÓN Conjetura Utilizar la efinición e erivaa e la sección. para encontrar la erivaa e las siguientes funciones. Qué patrones se observan? Utilizar los resultaos para elaborar una conjetura acerca e la erivaa e ƒ() n. ƒ() ƒ() c) ƒ() ) ƒ() 4 e) ƒ() ƒ) ƒ()
08 CAPÍTULO Derivación La regla e la potencia Antes e emostrar la próima regla, revisar el proceso e esarrollo e un binomio. El esarrollo general el binomio para un entero positivo n cualquiera es n n n n nn n... n. () es un factor común en estos términos. Este esarrollo el binomio se va a utilizar para emostrar un caso especial e la regla e la potencia. TEOREMA. LA REGLA DE LA POTENCIA NOTA Del ejemplo 7 e la sección., se encontró que la función f() está efinia en 0 pero no es erivable en 0. Esto se ebe a que no está efinia sobre un intervalo que contiene al cero. Si n es un número racional, entonces la función ƒ() n es erivable n n n. Para que ƒ sea erivable en 0, n ebe ser un número tal que n se encuentre efinio en un intervalo que contenga al 0. DEMOSTRACIÓN Si n es un entero positivo maor que, entonces el esarrollo el binomio resulta 4 n n n 0 nn n n n n 0 0 n n n n 0... 0 n n.... n n nn n... n Esto emuestra el caso en que n es un entero positivo maor que. Se eja al lector la emostración el caso n. En el ejemplo 7 e la sección. se emuestra el caso para el que n es un entero negativo. En el ejercicio 76 e la sección.5 se emuestra el caso en el cual n es racional (en la sección 5.5 la regla e la potencia se etenerá hasta abarcar los valores irracionales e n). Al utilizar la regla e la potencia, resulta conveniente separar el caso para el que n como otra regla istinta e erivación, a saber 4 La peniente e la recta es Figura.5. Regla e las potencias para n. Esta regla es congruente con el hecho e que la peniente e la recta es, como se muestra en la figura.5.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 09 EJEMPLO Aplicación e la regla e la potencia c) f g Derivaa f) g Observar que en el ejemplo c, antes e erivar se ha reescrito l como. En muchos problemas e erivación, el primer paso consiste en reescribir la función. f() 4 Daa: Reescribir: Derivar: Simplificar EJEMPLO Peniente e una gráfica (, ) (, ) Calcular la peniente e la gráfica e ƒ() 4 cuano 0 c). (0, 0) Observar que la peniente es negativa en el punto (, ), cero en el (0, 0) positiva en el (, ) Figura.6 Solución La peniente e una gráfica en un punto es igual a la erivaa en icho punto. La erivaa e ƒ es ƒ() 4. Para, la peniente es ƒ() 4() 4. La peniente es negativa. Para 0, la peniente es ƒ(0) 4(0) 0. La peniente es 0. c) Para, la peniente es ƒ() 4() 4. La peniente es positiva. Ver la figura.6. EJEMPLO 4 Ecuación e una recta tangente (, 4) 4 f() Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ() cuano. Solución Para encontrar el punto sobre la gráfica e ƒ, evaluar la función en. (, ƒ()) (, 4) Punto e la gráfica. Para calcular la peniente e la gráfica en, evaluar la erivaa, ƒ(), en. m ƒ() 4 Peniente e la gráfica en (, 4). 4 4 La recta tangente 4 4 es tangente a la gráfica e ƒ() en el punto (, 4) Figura.7 Ahora, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e una recta, escribir m 4 4 4 4. Ver la figura.7. Forma punto-peniente. Sustituir, m. Simplificar.
0 CAPÍTULO Derivación La regla el múltiplo constante TEOREMA.4 LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si ƒ es una función erivable c un número real, entonces cƒ también es erivable cf cf. DEMOSTRACIÓN cf 0 0 c c 0 cf cf cf f f f f Definición e erivaa. Aplicar teorema.. De manera informal, esta regla establece que las constantes se pueen etraer e la erivaa, incluso cuano aparecen en un enominaor. cf c f cf f c c f c f c f EJEMPLO 5 Aplicación e la regla el múltiplo constante c) ) e) 4t ft 5 Derivaa ft t 4 5 t 4 5 t t 4 5 t 8 5 t 5 5 La regla el múltiplo constante la e la potencia se pueen combinar en una sola. La regla resultante es cn cn n.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio EJEMPLO 6 Uso e paréntesis al erivar original Reescribir Derivar Simplificar c) ) 5 5 7 7 5 5 8 7 6 5 4 5 8 4 7 6 5 4 4 5 8 4 6 Las reglas e suma iferencia TEOREMA.5 LAS REGLAS DE SUMA Y DIFERENCIA La erivaa e la suma (o e la iferenci e os funciones erivables ƒ g es erivable en sí. Aemás, la erivaa e ƒ g (o ƒ g) es igual a la suma (o iferenci e las erivaas e ƒ g. f g f g f g f g Regla e la suma. Regla e la iferencia. DEMOSTRACIÓN Una emostración e la regla e la suma se sigue el teorema. (la e la iferencia se emuestra e manera análog. f g f g f g 0 0 0 f g f g f g f f 0 f f g g 0 g g Las reglas e suma iferencia pueen ampliarse en cualquier número finito e funciones. Por ejemplo, si F() f() g() h(), entonces F() ƒ() g() h(). EJEMPLO 7 Aplicación e las reglas e suma iferencia f 4 5 g 4 Derivaa f 4 g 9
CAPÍTULO Derivación PARA MAYOR INFORMACIÓN El esbozo e una emostración geométrica e las erivaas e las funciones seno coseno puee consultarse en el artículo The Spier s Spacewalk Derivation of sin an cos e Tim Hesterberg en The College Mathematics Journal. Derivaas e las funciones seno coseno En la sección. se vieron los límites siguientes: sen lím 0 cos lím 0 0 Estos os límites pueen utilizarse para emostrar las reglas e erivación e las funciones seno coseno (las erivaas e las emás funciones trigonométricas se analizan en la sección.). TEOREMA.6 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO sen cos cos sen creciente positiva 0 0 ecreciente creciente negativa sen positiva cos La erivaa e la función seno es la función coseno Figura.8 DEMOSTRACIÓN sen sen sen 0 0 cos sen sen cos 0 0 cos sen sen cos cos 0 cos sen 0 cos sen cos cos sen sen sen sen 0 Definición e erivaa. cos Esta regla e erivación se ilustra en la figura.8. Observar que para caa, la peniente e la curva seno es igual al valor el coseno. La emostración e la seguna regla se eja como ejercicio (ver el ejercicio 0). EJEMPLO 8 Derivaas que contienen senos cosenos = sen = sen c) sen sen sen cos Derivaa cos cos cos sen = sen Figura.9 = sen a sen a cos TECNOLOGÍA Una herramienta e graficación permite visualizar la interpretación e una erivaa. Por ejemplo, en la figura.9 se muestran las gráficas e a sen para a,,. Estimar la peniente e caa gráfica en el punto (0, 0). Después verificar los cálculos e manera analítica meiante el cálculo e la erivaa e caa función cuano 0.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio Razón e cambio Ya se ha visto que la erivaa se utiliza para calcular penientes. Pero también sirve para eterminar la razón e cambio e una variable respecto a otra, lo que le confiere utilia en una amplia variea e situaciones. Algunos ejemplos son las tasas e crecimiento e poblaciones, las tasas e proucción, las tasas e flujo e un líquio, la velocia la aceleración. Un uso frecuente e la razón e cambio consiste en escribir el movimiento e un objeto que va en línea recta. En tales problemas, la recta el movimiento se suele representar en posición horizontal o vertical, con un origen marcao en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la erecha (o hacia arrib se consiera e irección positiva el movimiento hacia la izquiera (o hacia abajo) e irección negativa. La función s que representa la posición (respecto al origen) e un objeto como función el tiempo t se enomina función e posición. Si urante cierto lapso e tiempo t el objeto cambia su posición en una cantia s s(t t) s(t), entonces, empleano la consabia fórmula: istancia Razón tiempo la velocia meia es Cambio en istancia Cambio en tiempo s. Velocia meia. t EJEMPLO 9 Velocia meia e un objeto en su caía Si se eja caer una bola e billar ese una altura e 00 pies, su altura s en el instante t se representa meiante la función posición s 6t 00 posición. one s se mie en pies t en segunos. Encontrar su velocia meia para caa uno e estos intervalos. [, ] [,.5] c) [,.] Solución En el intervalo [, ], el objeto cae ese una altura e s(l) 6() 00 84 pies hasta una altura e s() 6() 00 6 pies. La velocia meia es Richar MegnaFunamental Photographs Eposición fotográfica e larga uración e una bola e billar en caía libre. s 6 84 48 48 pies por seguno. t En el intervalo [,.5] el objeto cae ese una altura e 84 pies hasta una altura e 64 pies. La velocia meia es s 64 84 0 40 pies por seguno. t.5 0.5 c) En el intervalo [,.] el objeto cae ese una altura e 84 pies hasta una altura e 80.64 pies. La velocia meia es s 80.64 84.6.6 pies por seguno. t. 0. Observar que las velociaes meias son negativas, lo que refleja el hecho e que el objeto se mueve hacia abajo.
4 CAPÍTULO Derivación s P Recta secante Recta tangente Supongamos que en el ejemplo anterior se quisiera encontrar la velocia instantánea (o simplemente e la veloci el objeto cuano t. Al igual que la peniente e la recta tangente puee aproimarse utilizano las penientes e rectas secantes, se puee aproimar la velocia en t por meio e las velociaes meias urante un pequeño intervalo [, t] (ver la figura.0). Se obtiene icha velocia calculano el límite cuano t tiene a cero. Al intentar hacerlo se puee comprobar que la velocia cuano t es e pies por seguno. En general, si s s(t) es la función posición e un objeto en movimiento rectilíneo, su velocia en el instante t es t t La velocia meia entre t t es igual a la peniente e la recta secante. La velocia instantánea en t es igual a la peniente e la recta tangente Figura.0 t st t st vt st. velocia. t0 t En otras palabras, la función velocia es la erivaa e la función posición. La velocia puee ser positiva, cero o negativa. La rapiez e un objeto se efine como el valor absoluto e su velocia, nunca es negativa. La posición e un objeto en caía libre (espreciano la resistencia el aire) bajo la influencia e la gravea se obtiene meiante la ecuación st gt v 0 t s 0 posición. one s 0 es la altura inicial el objeto, v 0 la velocia inicial g la aceleración e la gravea. En la Tierra, el valor e g es e aproimaamente pies. EJEMPLO 0 Aplicación e la erivaa para calcular la velocia En el instante t 0, un clavaista se lanza ese un trampolín que está a pies sobre el nivel el agua e la piscina (ver la figura.). La posición el clavaista está aa por pies s(t) l6t 6t one s se mie en pies t en segunos. Cuánto tara el clavaista en llegar al agua? Cuál es su velocia al momento el impacto? Solución posición. La velocia es positiva cuano un objeto se eleva, negativa cuano esciene. Se observa que el clavaista se mueve hacia arriba urante la primera mita e seguno, porque la velocia es positiva para 0 t. Cuano la velocia es e 0, el clavaista ha alcanzao la altura máima el salto Figura. Para eterminar el momento en que toca el agua hacemos s 0 espejamos t. 6t 6t 0 6t t 0 t o Igualar a cero la función posición. Factorizar. Despejar t. Como t 0, hemos e seleccionar el valor positivo, así que el clavaista llega al agua en t segunos. Su velocia en el instante t está aa por la erivaa s(t) t 6. En consecuencia, su velocia en t es s() () 6 48 pies por seguno.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 5. Ejercicios En los ejercicios, utilizar la gráfica para estimar la peniente e la recta tangente a n en el punto (, ). Verificar la respuesta e manera analítica... (, ) En los ejercicios a 4, usar las reglas e erivabilia para calcular la erivaa e la función.. 4. 5. 7 6. 7. 8. 5 9. f 5 0.. f.. f t t t 6 4. t t 5. g 4 6. 8 7. st t 5t t 8 8. (, ) 9. 0. sen cos. cos.. sen 4. En los ejercicios 5 a 0, completar la tabla. f 9 6 8 g 4 (, ) (, ) g f gt cos t 7 sen 5 cos 8. 9. 0. En los ejercicios a 8, encontrar la peniente e la gráfica e la función en el punto inicao. Utilizar la función erivative e una herramienta e graficación para verificar los resultaos.... 4. 5. 6. 7. 8. original 4 f 8 0 4 f 5 f 4 sen gt cos t 5 Reescribir En los ejercicios 9 a 54, encontrar la erivaa e caa función. 9. f 5 40. 4. gt t 4 4. t 4. f 4 44. 45. f 4 46. 47. 48. 49. f 6 50. 5. hs s 45 s 5. 5. f 6 5 cos 54. Derivar ft 5t 5, f 7 5 0, Punto,, 4 0, 5, 0 0, 0, 7 f Simplificar f f 6 h 6 5 f 5 f t t t 4 f cos En los ejercicios 55 a 58, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto inicao, utilizar una herramienta e graficación para representar la función su recta tangente en el punto, c) verificar los resultaos empleano la función erivative e su herramienta e graficación. 5. 6. 7. original 5 6 5 Reescribir Derivar Simplificar 55. 56. 57. 58. 4 f 4 Punto, 0,,, 6
6 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 59 a 64, eterminar los puntos (si los h one la gráfica e la función tiene una recta tangente horizontal. 59. 60. 6. 6. 6. 64. 4 9 sen, cos, 0 < 0 < En los ejercicios 65 a 70, encontrar una k tal que la recta sea tangente a la gráfica e la función. Desarrollo e conceptos (continuación) En los ejercicios 75 76, se muestran las gráficas e la función ƒ e su erivaa ƒ en el mismo plano cartesiano. Clasificar las gráficas como f o ƒ eplicar en un breve párrafo los criterios empleaos para hacer tal selección. 75. 76. 4 65. 66. 67. 68. 69. 70. f k f k Recta f k 5 4 f k 6 4 4 f() k f k 4 4 77. Construir las gráficas e las ecuaciones 6 5, así como las os rectas que son tangentes a ambas gráficas. Encontrar las ecuaciones e ichas rectas. 78. Demostrar que las gráficas e l tienen rectas tangentes perpeniculares entre sí en su punto e intersección. 79. Demostrar que la gráfica e la función 7. Bosquejar la gráfica e una función ƒ tal que ƒ 0 para toas las cua razón e cambio e la función sea ecreciente. Para iscusión 7. Utilizar la gráfica para responer a las siguientes preguntas. A B C Entre qué par e puntos consecutivos es maor la razón e cambio promeio e la función? La razón e cambio promeio e ƒ entre A B es maor o menor que la razón e cambio instantáneo en B? c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos C D cua peniente sea igual a la razón e cambio promeio e la función entre C D. Desarrollo e conceptos D En los ejercicios 7 74 se muestra la relación que eiste entre ƒ g. Eplicar la relación entre ƒ g. 7. g() ƒ() 6 74. g() 5 ƒ() E f f sen no tiene ninguna recta tangente horizontal. 80. Demostrar que la gráfica e la función f 5 5 no tiene una recta tangente con peniente e. En los ejercicios 8 8, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función ƒ que pasa por el punto ( 0, 0 ), no perteneciente a la gráfica. Para eterminar el punto e tangencia (, ) en la gráfica e ƒ, resolver la ecuación f 0 0. 8. f 8. 0, 0 4, 0 8. Aproimación lineal En una ventana cuaraa e la herramienta e graficación, aplicar el zoom para aproimar la gráfica e f 4 a fin e estimar ƒ(). Calcular ƒ() por erivación. 84. Aproimación lineal En una ventana cuaraa e la herramienta e graficación, aplicar el zoom para aproimar la gráfica e f 4 f 0, 0 5, 0 a fin e estimar ƒ(4). Calcular ƒ(4) por erivación.