CAPTULO Reglas de tegracó Numérca Tecologías ara el cálculo umérco La troduccó de herrametas formátcas ha deslazado actualmete el cetro de atecó uesto e el cálculo de áreas, a artr de éstas el cálculo de volúmees, ara efocarse e el dseño, utlzado ara ello rogramas formátcos ara la geeracó de formas trdmesoales (CAD D) que clue e su formulacó medate rocedmetos co elemetos ftos, el cálculo de las roedades de cueros sóldos. De esta maera, los extesos rocedmetos utlzados ara determar las curvas hdrostátcas las curvas cruzadas se ha facltado eormemete, dsmuedo los errores de cálculo lberado al geero aval ara otras tareas relacoadas co el roo dseño. E el aálss matemátco, el teorema fudametal del cálculo establece que la dervacó e tegracó de ua fucó so oeracoes versas. Este coceto es fudametal ues ermte estudar áreas volúmees como tegrales de fucoes dervables, a artr del eucado del teorema o Regla de Barrow, deomada e ocasoes segudo teorema fudametal del cálculo, que ermte calcular la tegral defda (o área bajo la curva que descrbe etre dos utos) de ua fucó cotua, utlzado la tegral defda de dcha fucó. S embargo, muchas de las fucoes utlzadas carece de rmtvas, co el caso de la fucó f x e x [75.] Su tegracó aalítca o es osble, or tato tamoco el cálculo drecto del área bajo su curva. Tamoco es osble la alcacó del Teorema de Barrow a aquellas fucoes que or su aturaleza o uede ser descrtas medate ua exresó algebraca. Para estos casos se ha desarrollado métodos de aroxmacó al cálculo tegral, los cuales deomamos métodos de tegracó umérca (també coocdo como cuadratura). 5 P á g a Métodos basados e fucoes de terolacó Ha ua extesa famla de métodos que se basa e aroxmar la fucó a tegrar f(x) or otra fucó g(x) de la cual se cooce la tegral exacta. La fucó que susttue la orgal se ecuetra de forma que e u certo úmero de utos tega el msmo valor que la orgal. Como los utos extremos forma arte semre de este cojuto de utos, la ueva fucó se llama ua terolacó de la fucó orgal. Tícamete, las fucoes utlzadas so olomos. Exste dos tos de formulacoes ara realzar los cálculos aroxmados de tegracó de fucoes: ) las Fórmulas de Newto Cotes, dode la terolacó co olomos es evaluada e utos gualmete searados e [a, b], de las que la Regla de los Traecos la Regla de Smso so los ejemlos cláscos; ) las fórmulas deomadas Cuadraturas de Gauss, dode se ermte varar los tervalos etre los utos de terolacó, sedo éstas más recsas que las aterores ara u msmo úmero de evaluacoes del tegrado. Fórmulas de Newto-Cotes Estas formulacoes so utlzadas ara determar el área debajo de ua curva corresodete a ua fucó medate terolacoes olómcas de esta últma. El grado de los olomos deederá de la catdad de utos que se utlza ara forzar dcha aroxmacó. Las formas utlzadas se cooce como olomos de Lagrage, cua exresó geeral está dada or: x f x L x Dode L x k k x x k x x k [76.] [77.] A maera de ejemlo, la exresó de la terolacó de Lagrage ara u olomo de rmer grado estará dada or el sguete desarrollo: L L x x x x k k k x xk x x x x x x k x x k k x xk x x x x x x x x x x x x f x f [78.] [79.] [8.] 5 P á g a
Para mejorar el grado de aroxmacó a ua fucó, es ecesaro aumetar el úmero de utos o odos a terolar; esto geera u aumeto e el grado del olomo terolador, aumetado la dfcultad e el cálculo, or lo cual o es usual utlzar terolacoes más allá del cuarto grado. x x x f x x x f x x x També sucede que a medda que crece el grado, maores so las osclacoes etre utos cosecutvos o odos. Se odría decr que a artr del grado 6 las osclacoes so tales que el método deja de ser váldo. Regla de los traecos La rmera terolacó que será esaada será la que resulta a artr de u olomo de Lagrage de rmer grado, cua forma fue desarrollada al fal del árrafo ateror. [8.] Para este olomo, la tegracó etre los extremos [x, x ] os da el sguete resultado: x x Fg. 5 - terolacó leal x x f x f x [8.] Veamos cómo fucoa esta aroxmacó ara ua fucó cualquera, or ejemlo f (x) = /x, ara su tegracó e el rago [, ], sedo f (x ) =. f (x ) =.5. La tegral defda de esta fucó tee u valor f =.69. Por otro lado alcaremos la terolacó leal sugerda e [69.] co la cual obteemos la ecuacó (x) = ½.( x); e este caso la tegral corresodete vale =.75. El error cometdo e la aroxmacó será f =.57. Para refar el método, dvdamos el tervalo e dos sub-tervalos guales [,.5] [.5, ], sedo e este caso sedo f (x ) =., f (x ) =.667 f (x) =.5. Obvamete la tegral de la fucó cotua e [, ], suma de la tegral e los dos sub-tervalos, será el msmo valor establecdo e el árrafo ateror, f =.69. Tedremos ahora dos fucoes leales que aroxma la curva e cada sub-tervalo, sedo éstas: (x) = /.(5 x) (x) = /6.(5 x). La suma de las tegrales de las fucoes Fg. 6 - Dvsó del etoro de terolacó leal 54 P á g a leales e ambos sub-tervalos resulta e = + =.78. Se observa que el error ha dsmudo sgfcatvamete. x x f x x x Para obteer ua formulacó geeral que se ueda alcar a u úmero cualquera de subtervalos guales, tomemos como factor de subdvsó. El tervalo de tegracó quedará dvddo etoces e subtervalos, cada uo de los cuales tedrá asocado u segmeto de recta que aroxma la curva = f(x) e el msmo. El área bajo la curva e [x, x ] estará reresetada or: x x dx f x dx f x dx f x dx... f x dx f x dx x x x x x x [8.] Reterado el rocedmeto utlzado e los cálculos aterores ara uo dos subtervalos, cada ua de las tegrales corresodetes a cada tramo de curva uede ser susttuda or la tegral de su aroxmacó leal [.]: x f f x dx x dx x x x x x x f x [84.] Llamemos ahora x = (x x -), = f(x ) e - = f(x ), teedo e cueta que la extesó de los sub-tervalos es costate, odremos escrbr: Fg. 7 - Geeralzacó de la subdvsó leal f x... [85.] La exresó ateror lleva a la formulacó geérca de la Regla de los Traecos ara u úmero de ordeadas corresodetes a sub-tervalos de tegracó: f x... Ua exresó más smlfcada es: f x [86.] [87.] 55 P á g a
Ejemlo. La curva que defe u lao de flotacó está dada a través de sus semmagas etre las estacoes # #, dstacadas etre sí x = 6.65 m, de acuerdo a la sguete tabla: Tabla - Semmagas de Flotacó Estacó 4 5 6 7 8 9 Semmaga. 5.9 6.6 6.9 6. 6. 6.8 6.4 5.6.8. Determar el área bajo la curva etre los extremos defdos utlzado el Método de los Traecos. Prmeramete se calculará el área buscada medate ua metodología aroada co u error margal resecto a los métodos umércos, or ejemlo utlzado u rocedmeto gráfco dgtal. Ésta establece que ese valor es A = 49.465 m. De acuerdo a la formulacó establecda e [7.], el área bajo la curva defda or la grlla de utos dados e la tabla se uede calcular como la suma de los sguetes térmos: A = ½.6.65.. = 6.77 A = ½.6.65..(5.9+6.6+6.9+6.+6.+6.8+6.4+5.6)=4.89 A = ½.6.65.. = 4. A = 45.9 El error troducdo or el Método de los Traecos e el cálculo de esta área e relacó co el valor real del área es A = 49.465 45.9 =.5 (.%). Prmera Regla de Smso o Regla de Smso / Al gual que lo realzado ara la terolacó leal, se aroxma ahora la fucó orgal or ua terolacó cuadrátca que asa or tres utos B, B B erteecetes a la curva f(x), cuas abcsas x, x x está ubcadas a tervalos equdstates: x x x x x x x x x Fg. 8 - Área de Flotacó x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x [88.] 56 P á g a Aálogamete, se uede calcular el área bajo la curva = f(x) evaluado la tegral de la aroxmacó olómca = (x), fucó cuadrátca co rmtva coocda que se uede calcular fáclmete ua vez que se resuelve el sstema de ecuacoes que ermte determar los valores de los coefcetes de los térmos e x, x x : f x f x f x f x 4 [89.] S se dvde cada uo de los tervalos e dos, la tegral se trasformará e: 4 [9.] 4 f x f x 4 f x f x f x f x f x Cua formulacó smlfcada es: f x f x 4 f x f x f x f x 4 4 [9.] Lo que coduce a la formulacó geeral de la Regla de Smso ara u úmero (ar) de tervalos corresodetes a u úmero mar + de ordeadas: 4 [9.] f x 4 4... Aálogamete que e el método de Smso, ua exresó más smlfcada es: f x Ejemlo. 4 [9.] Calcular el área de la curva descrta e el ejemlo. utlzado el método de Smso. A = /.6.65.. = 4.478 A = /.6.65..( 6.6+6.8+6.+5.6)=5.59 A = /.6.65.4.(5.9+6.9+6.+6.4+.8)=6.8 A = /.6.65.. =.88 A = 48.76 Fg. 9 - terolacó cuadrátca 57 P á g a
El error troducdo ara el cálculo de la msma área or el Método de Smso e relacó co el valor real del área es es A = 49.465 48.76 =.9 (.64 %). f x Fg. 4 - terolacó cúbca Seguda Regla de Smso o Regla de Smso /8 La terolacó cúbca, forzado cuatro utos e lugar de los tres utlzados e el método ateror, lleva a esta ueva formulacó coocda como Seguda Regla de Smso: ( + + + 4 +... - + - + - + ) [94.] 8 Utlzacó de ordeadas termedas Para la maoría de las curvas que se reseta e el desarrollo de roectos de formas, la dvsó e tervalos guales e las que se basa el método de Newto Cotes asegura ua buea aroxmacó al cálculo de áreas. Exste s embargo stuacoes e las cuales se hace ecesaro reducr el esacameto etre las ordeadas, ues de lo cotraro se estaría troducedo u error Fg. 4 - clusó de ordeadas termedas arecable. Es la stuacó que ormalmete se da e los extremos cercaos a roa oa, dode las cocavdades e las curvas del casco so más roucadas, geerádose cluso cambos de cocavdad. E ese caso se hace ecesaro, a los efectos de dsmur los errores de terolacó de las curvas, la subdvsó e ua sere de tervalos termedos, alcado e éstos cualquera de las reglas vstas, o ecesaramete la utlzada ara la orcó cetral o maortara, teedo resete ara el cálculo que el uevo x será ua fraccó del orgal. Ejemlo.4 Calcular el área de la curva descrta e el ejemlo. utlzado los métodos de los Traecos de Smso cosderado dos ordeadas termedas, ua e cada extremo, las cuales se ha troducdo e la ueva tabla de utos: Tabla - Semmagas de Flotacó co ordeadas termedas Estacó ½ 4 5 6 7 8 9 9½ Semmaga. 4. 5.9 6.6 6.9 6. 6. 6.8 6.4 5.6.8.9. Método de los Traecos El error dsmue ara el msmo método alcado de.5 (.%) a A = 49.465 47.46 =.9 (.64 %) co la clusó de las dos estacoes termedas e los extremos. Método de Smso El error dsmue també e este caso asado de.9 (.64 %) a A = 49.465 49.956 = -.49 (.4 %) co la clusó de las dos estacoes termedas e los extremos. Cuadratura de Gauss Fg. 4 - Flotacó co semmagas termedas El grado de recsó de los dferetes métodos de tegracó umérca es afectado or la eleccó /o oscoameto de los odos de tegracó. Esto, juto co la ecesdad de estmar el grado de recsó máxma que uede alcazarse co u úmero fjo de odos, coduce a otra metodología de tegracó o tegracó gaussaa, que troduce como mejora la teoría de olomos ortogoales. A dfereca de la terolacó medate los métodos de Newto Cotes dode se fuerza a la curva de aroxmacó a asar or ua sere de utos redetermados gualmete searados etre sí, la terolacó medate la cuadratura de Gauss escoge los odos de maera de maxmzar su grado de recsó. 58 P á g a 59 P á g a
Cuadratura de Gauss Método de Tchebcheff Fg. 4 - Cuadratura de Tchebcheff Los olomos de Tchebcheff so ua famla de olomos ortogoales defdos de forma recursva, los cuales so mortates e la teoría de la aroxmacó orque sus raíces so utlzadas como odos e la terolacó olómca. La cuadratura o tegracó de los olomos de Tchebcheff, defda e u tervalo [x, x ] debe trasformarse medate u aroado cambo de varable e otra cuo tervalo de tegracó es [-, ] ara su resolucó. Los ares de valores ordeados (x -, x ) corresode a las raíces del olomo de Tchebcheff. Estas raíces, que resuelve el olomo e el tervalo [-,] luego del cambo de varable, tee los que se trascrbe e la tabla valores resecto al cetro del tervalo ubcado e (x x )/: Tabla 4 Coordeadas relatvas de los odos ara la terolacó de Tchebcheff Catdad de raíces Raíces o odos -,5774,5774 -,77,,77 4 -,7947 -,876,876,7947 5 -,85 -,745,,745,85 6 -,866 -,45 -,666,666,45,866 7 -,889 -,597 -,9,,9,597,889 8 -,8974 -,598 -,46 -,6,6,46,598,8974 La exresó del área tegrada se escrbe como: f l f x f x f x... f x Dode l es la mtad del tervalo de tegracó [-l, l] es la catdad de ordeadas de tegracó [95.] Ejemlo.5 Calcular el área de la curva del ejemlo. utlzado el Método de Tchebcheff cosderado tres ordeadas. Realzar u aálss comaratvo del error al aumetar el úmero de ordeadas. l = 6.65/ =.75; = x ref - = -.5; - = 5.655 x ref =.; = 6. x ref + = +.5; + =.88 A = /.l.σ = /.66.5.(5.655+6.+.88) = 5.58 Se alcaza ua buea aroxmacó co ocas ordeadas, sedo el error troducdo A= 49.465 5.58 = -.6 (.59 %). S embargo o se cosgue mejorar este valor aumetado las ordeadas e este caso, sedo el error.6% cuado utlzamos cco ordeadas, retedo el msmo error ara sete ordeadas. Referecas Bblográfcas Cordero, A.; Hueso, J.L.; Torregrosa, J.R.; Cálculo umérco, teoría roblemas ; SBN 84 97 559 X; Uversdad Poltécca de Valeca, Valeca, Esaña. Atkso, K.; Elemetar umercal aalss ; SBN 47 897 7; Joh Wgle ad Sos, New York, U.S.A, 985. Stoer, J.; Bulrsch, R.; troducto to umercal aalss ; SBN 87 97878 X; Srgter Verlag, 99. Deartameto de Matemátca Alcada; Métodos matemátcos. Leccó 5: Cuadratura umérca ; Uversdad de Sevlla, Sevlla, Esaña,. 6 P á g a 6 P á g a