COSAS DE DIVISORES Y HOTELES E est sesió trtremos de resolver el siguiete rolem: Prolem: El hotel de ls mil hitioes. Cuet ue e ierto ís hí u gr hotel ue teí 000 hitioes y otros ttos emledos. Estos, u dí ue o teí muho trjo, se dediro jugr riedo y errdo ls uerts de ls mil hitioes. Al riiio tods ls uerts est errds y emezó el rimer emledo riédols tods; siguió el segudo errdo tods ls uerts res y luego el terero mido de osiió (riedo si est errds y errdo si est ierts) tods ls hitioes uyo úmero er múltilo de tres. El urto hizo lo mismo; es deir: mir de osiió tods ls uerts uyo úmero er múltilo de utro y sí sro todos los emledos, d uo de ellos mido de osiió ls uerts ue le orresodí. El último tuvo oo trjo, ues sólo rió o erró l uert úmero mil. Qué hizo, l erró o l rió? Más ú: ué hitioes uedro ierts?, uáts fuero e totl? El rolem, rimer vist, ree omlido ues oservmos ue d hitió sufre u roeso distito. Así, or ejemlo, l hitió úmero 8 l mi de osiió los emledos,, 3, 6, 9 y 8, mietrs ue l siguiete, l 9, solo dos emledos (el y el 9) modifi l osiió de l uert. De todos modos, oo ue liemos l situió, llegmos resultdos ue re lgus osiiliddes ue uede oduir l resoluió del rolem. ) Ls hitioes mrds o úmeros rimos sufre úimete dos mios (sólo hy dos divisores) y, or tto, l fil del roeso estrá errds. ) El úmero de mios de osiió de u hitió deede del úmero de divisores de su úmero; luego ree itereste eotrr u fórmul ue os dé el úmero de divisores de u úmero. ) El heho de ue u hitió esté, l fil del roeso, iert o errd deederá del úmero de divisores ue teg el úmero de hitió: si este úmero es r l hitió, l fil, estrá errd; mietrs ue si el úmero es imr l hitió estrá iert.
Así ltedo, y sólo os flt usr uells hitioes uyo úmero tiee u úmero imr de divisores. Es es l regut lve Cuátos úmeros del l 000 tiee u úmero imr de divisores? Pr resolver est uestió, e rimer lugr usmos l mer de lulr el úmero de divisores r, otiuió, hllr su ridd. Prolem uxilir º : uátos divisores tiee? Y si tiee? uátos divisores tiee? E geerl si Soluió: sus divisores so r uátos divisores 0 3,,,,...,.E totl divisores sus divisores so: lo ue d lugr u udrdo de fils y divisores. olums; or tto ( )( ) guiedo o este roeso si será: ( )( ) ( r ) r el úmero de divisores de Prolem uxilir º : Cómo tiee ue ser u úmero r ue teg u úmero imr de divisores? Soluió: r semos, or el rolem terior, ue el úmero de divisores es: ( )( ) ( r ) Pr ue este úmero se imr es reiso ue todos los ftores se imres, lo ul imli ue,,,r dee ser res. Ahor ie, ómo dee ser r ue,,,r se res?. L resuest es seill: dee ser udrdo erfeto Por tto hemos llegdo u resultdo lve: Úimete los udrdos erfetos tiee u úmero imr de divisores; el resto siemre tedrá u úmero r
Co este resultdo odemos resolver fáilmete el rolem iiil. L hitió úmero 000, l o ser udrdo erfeto, tedrá u úmero r de divisores y, or tto, mirá de osiió u úmero r de vees. Como l riiio est errd rá errd. U hitió omo l 6, l ser udrdo erfeto tedrá u úmero imr de divisores y, omo l riiio est errd rá iert. Resumiedo: Cerrds:,3,5,6,7,8,0,,,. Aierts:,,9,6,5,36,9, Pr verigur el úmero de hitioes ierts st osiderr ue 3 96 y ue 3 0 or lo ue ls hitioes ierts será:,, 3,, 5, 6,..., 3 ; es deir, l fil uedrá 3 hitioes ierts y 969 errds. L fórmul del úmero de divisores de u úmero ree, o u iert freuei, l hor de resolver determidos rolems de Teorí de úmeros. Como ejemlo ltemos el siguiete: Prolem: Determi los úmeros eteros ue otiee úimete los ftores y 3 y ue demás umle ue el úmero de divisores de es trile del úmero de divisores de. Soluió: El úmero será de l form ( ) 3 El úmero de divisores de uo y otro será: úmero de divisores de ( )( ) úmero de divisores de ( )( ) 3 3 Por tto: ( )( ) 3( )( ) 3 3 3 3 ( ) L diferei etre umerdor y deomidor es de 3 uiddes y demás el oiete dee ser etero. Esto sólo uede drse e dos sos:
3 3 3 Otro resultdo imortte reliodo o ests uestioes es el álulo de l sum de todos los divisores de u úmero etero Prolem: r, uáto vle l sum de todos los divisores de? Soluió: Y hemos visto teriormete ue los divisores de será: sus divisores so,,...,,, 3 0 y su sum: 0 S ues los divisores ostituye u rogresió geométri de rzó. sus divisores so: y su sum será: ( ) ( ) ( ) S ( ) ( )( ) E geerl si r l sum de sus divisores será: S r Como últimos ejeriios hgmos los dos siguietes:
Prolem: Euetr u úmero turl siedo ue su desomosiió ftoril dmite úimete dos ftores, ue el úmero de sus divisores es 6 y ue l sum de todos ellos es 8. Soluió: Semos hor ue el úmero es de l form y ue se umle: ( )( ) 6 8 Como,, de l rimer euió oteemos, 3. Por tto se umle ue,. Llevdo estos resultdos l segud euió: 3 8 ( )( ) 7 teemos e uet ue y dee ser eteros or serlo y est últim iguldd odue ls siguietes osiiliddes: y 7 3, 7 y o oteemos vlor turl de y 6 o rimo y 8 o oteemos vlor turl de y 0 dej o u solo ftor. 8 y los vlores 0 y o tiee setido y 7 o es rimo. y o oteemos vlor turl de y o oteemos vlor turl de. Por tto l úi soluió osile es Prolem: U úmero turl es erfeto si es igul l sum de sus divisores meores ue él. Demuestr ue si erfeto. Soluió: es rimo, etoes ( ) Llmemos. Como es rimo, l exresió será l desomosiió ftoril del úmero, or lo ue l sum de todos sus divisores, iluido, es: es
( ) ( ) ( ) y l sum de los divisores meos es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por tto, es erfeto