II.5. Regstro de mágenes médcas El regstro es la determnacón de una transformacón geométrca de los puntos en una vsta de un objeto con los puntos correspondentes en otra vsta del msmo objeto o en otro objeto. El térmno vsta ncluye mágenes 3D y 2D, las mágenes 3D las obtenemos de modaldades tomográfcas como: TAC, RM, PET, SPECT. Las mágenes 2D se obtenen de proyeccones como en rayos-x ó de cortes ndvduales como en ultrasondo modo B. En aplcacones médcas el objetvo de cada vsta es una regón anatómca. Las dos vstas pueden provenr del msmo pacente lo que consttuye un problema de regstro ntra-pacente, o pueden provenr de dstntos pacentes (regstro nter-pacente). Las entradas para un algortmo de regstro son las dos vstas que se desea regstrar, la salda es una transformacón geométrca, que mapea los puntos en una vsta a los puntos correspondentes en la otra. El regstro es adecuado en la medda en que mapea todos los puntos correspondentes. La determnacón de un crtero de correspopndenca adecuado es específco del domno de las mágenes, en nuestro caso la anatoma humana. Para que el regstro sea útl el mapeo que produce debe poder aplcarse en el dagnóstco y tratamento clínco. Una aplcacón clínca común del regstro es la fusón de dos modaldades dferentes, p.e. TACRM, RM-PET. El regstro es una operacón fundamental de todos los sstemas para crugía asstda por computadora en los que un conjunto de mágenes médcas y modelos gráfcos preoperatoros se regstran con la anatoma del pacente durante la crugía. Métodos de regstro La clasfcacón de métodos de regstro propuesta por Mantz [1998] utlza las sguentes categorías: úmero de dmensones de las mágenes. En el caso de mágenes médcas usualmente 3 (regstro 3D) a veces 2 regstro (2D) y sus combnacones: 3D-2D, 2D-3D, 2D-2D, 3D-3D Característcas base del regstro (p.e. puntos vs superfces). Alguna veces es necesaro fjar al pacente objetos de referenca (fducales) para realzar el regstro. Transformacón geométrca. Se refere a la forma matemátca de la transformacón que mapea una vsta en la otra. vel de nteraccón requerdo del usuaro: automátco, sem-automátco Procedmento de optmzacón. Usualmente la caldad del regstro se evalua mnmzando una funcón de error, para realzar la mnmzacón pueden utlzarse varos métodos Modaldades de mágenes médcas. RM-RM, PET-TAC, RM-TAC Sujeto. El tpo de regstro puede ser ntra-pacente, nter-pacente, utlzacón de un atlas (regstro pacente-atlas)
Organo de nterés II.5.1. Transformacones geométrcas Cada vsta (magen) nvolucrada en el regstro tendrá en general su propo marco de referenca (p.e. con respecto a algún punto del sstema de mágenes). uestra defncón de regstro se basa en transformacones geométrcas que consttuyen mapeos desde el espaco X de una vsta hasta el espaco Y de la otra. La transformacón T aplcada a un punto en X representado por el vector columna x produce el punto transformado x', x'=t(x). (2.5.1) S el punto y en Y corresponde a x, entonces un regstro adecuado hará x' gual o aproxmadamente gual a y. Cualquer desplazamento dferente de cero T(x)-y es un error de regstro. El conjunto de todas las transformacones T posbles se puede partconar en transformacones rígdas y no-rígdas, éstas últmas se pueden partconar en muchos subconjuntos. La transformacón rígda es la más smple de todas y para 3 dmensones se puede especfcar con sólo 6 parámetros. Transformacones rígdas Las transformacones rígdas o mapeos rígdos se defnen como transformacones geométrcas que mantenen todas las dstancas entre los dferentes puntos de cada vsta/magen. Estas transformacones tambén mantenen la recttud de las lneas, la plantud de las superfces y los ángulos entre lneas rectas. Los problemas de regstro que sólo nvolucran transformacones rígdas se conocen como problemas de regstro rígdo. Las transformacones rígdas en general conssten de una traslacón y una rotacón: La traslacón es un vector 3D t que está determnado por sus componentes tx,ty, tz, con respecto a los ejes coordenados x,y,z. Tambén puede especfcarse en coordenadas polares, por una longtud y dos ángulos. Exsten muchas maneras de especfcar la rotacón: ángulos de Euler, cuaternones, eje y ángulo, matrces ortogonales. A contnucaón utlzaremos matrces ortogonales. Matrces ortogonales de rotacón En general x'=t(x) S T es un transformacón rígda: x'=rx+t, (2.5.2) donde R es una matrz ortogonal de 3 x 3, lo que mplca que RtR=RRt=I (matrz dentdad). Así R-1=Rt. Esta clase de matrces ncluye las rotacones apropadas que producen transformacones rígdas de objetos físcos y las napropadas que además de rotar el objeto lo reflejan ( de modo que la
mano zquerda se vuelve derecha). Las rotacones napropadas se pueden elmnar s se ncluye la restrccón: det(r)=1. Los parámetros de una rotacón apropada son los 3 ángulos de rotacón (ó ángulos de Euler) θx, θy, θz, alrededor del eje cartesano respectvo. El ángulo se consdera postvo s la rotacón alrededor del eje es en sentdo horaro, vsto desde el orgen en la dreccón postva del eje. (mano derecha apuntando en sentdo postvo y vsta desde atrás). La rotacón de un objeto alrededor de los ejes x, y, z está dada por: R= Rz z R y y R x x Las matrces representan las rotacones alrededor de los ejes Z,Y, X respectvamente, Susttuyendo la defncón de cada matrz de rotacón tenemos: cos z sn z 0 cos y 0 sn y 1 0 0 R=[ sn z cos z 0 ][ 0 1 0 ][ 0 cos x sn x ] 0 0 1 sn y 0 cos y 0 sn x cos x Transformacón Eje y ángulo Los parámetros de la transformacón eje y ángulo son un vector untaro eje de rotacón y un ángulo θ alrededor de ése eje: 2x V C R=[ x y V z S x z V y S x y V z S 2y V C y z V x S x z V y S y z V x S ] 2z V C que especfca el (2.5.3) donde x y z son las componentes x, y, z del vector; V=1-cos θ; C=cos θ; y S=seno θ Cuaternones [O SE ICLUYE E ESTE CURSO] Transformacones no rígdas Las transformacones no-rígdas son mportantes no sólo para órganos deformables, s no tambén para el regstro entre pacentes dferentes de órganos rígdos. Transformacones de escala La transformacón no-rígda más smple sólo produce un escalamento: x'=srx+t (2.5.6)
donde sx 0 0 S=[ 0 s y 0 ] 0 0 sz s s x =s y =s z el escalamento es sotrópco la transformacón se llama transformacón de smltud, x'=srx+t, (2.5.7) donde s es un escalar postvo. Esta transformacón conserva la recttud de las lneas y los ángulos entre ellas Transformacones afnes Las transformacones de escala son un caso específco de la transformacón afín, x'=ax+t, (2.5.8) en la que no hay restrccón para los elementos de A. La transformacón afín conserva la recttud de las lneas, la plantud de las superfces, y paralelsmo entre lneas, pero permte que los ángulos entre lneas camben. Esta transformacón es apropada para corregr nclnacones producdas durante la adquscón de una magen. Para smplfcar la notacón, las transformacones afnes frecuentemente se representan en coordenadas homogéneas. En ésta representacón la matrz A y el vector t se ncluyen dentro de una matrz M: a 11 a 12 a 13 t 1 a a a t M =[ 21 22 23 2 ] a 31 a 32 a 33 t 3 0 0 0 1 para transformar un vector u es necesaro convertrlo a coordenadas homogéneas: u=[ u1 u2 u 3 1]T u'=mu (2.5.9) Transformacones proyectvas Conservan la recttud de las lneas y la plantud de las superfces pero pueden modfcar el paralelsmo entre lneas: x ' = A x t / p x (2.5.10) donde p es el vector que especfca el eje de proyeccón y α es un escalar. En coordenadas
homogéneas: u'=mu (2.5.11) donde: a 11 a 12 a 13 a a a M =[ 21 22 23 a 31 a 32 a 33 p1 p2 p3 t1 t2 ] t3 y u=[ u1 u2 u 3 1]T Transformacones de perspectva Las mágenes de rayos-x, endoscopa, laparoscopa, y mcroscopa son todas vstas 2D de objetos 3D producdas por la proyeccón de rayos-x o de rayos de luz vsble desde el objeto 3D sobre un plano, lo que corresponde a la transformacón geométrca llamada proyeccón en perspectva. Las proyeccones en perspectva son un subconjunto de la transformacón proyectva anteror, la que no necesaramente transforma un punto en 3D a un punto en un plano. s hacemos f =1/ p en la ec 2.5.10 : (2.5.12) donde p es un vector untaro que apunta en dreccón del eje de proyeccón. Transformacones de curvatura Son aquellas que no conservan la recttud de las lneas [O SE ICLUYE E ESTE CURSO]
Transformacones geométrcas, de abajo para arrba: rígda; de smltud; afn; proyectva. II.5.2. Regstro de puntos correspondentes S para un par de vstas (mágenes) se puede dentfcar un conjunto de pares de puntos correspondentes en cada vsta, entonces el regstro se puede realzar medante una transformacón que alnea los puntos. Los puntos de referenca para propóstos de regstro se llaman puntos fducales (fducals). Para que sean confables deben localzar característcas ben defndas en cualquer ejemplo de la msma clase de objetos (órganos). Los puntos fducales se pueden dentfcar drectamente sobre las característcas de referenca (landmarks) de las mágenes o pueden ntroducrse marcadores durante la adquscón de las mágenes. En cualquer caso, la poscón que se determne para el punto fducal (a partr de sus mágenes) no corresponderá exactamente a la verdadera poscón del punto. Este error se conoce como error de localzacón del fducal (FLE) y es un vector. El regstro basado en marcadores tene la ventaja de que el punto fducal es ndependente de la anatoma. Un algortmo automátco de localzacón puede entonces aprovechar el conocmento prevo sobre las dmensones y forma del marcador. Usualmente se toma como punto fducal el centrode del marcador. El rudo de adquscón y la poscón varable del marcador dentro de la
matrz de voxeles producen errores aleatoros en la localzacón del punto fducal. Pero s se utlzan algortmos razonablemente buenos, la meda de los puntos fducales respecto a un sstema coordenado fjo en el marcador, debe ser gual en las dos vstas (mágenes). Debdo a esto (.e. que la poscón del punto fducal en cada marcador es gual al vector meda mas un vector aleatoro) el desplazamento medo efectvo en cada vsta FLE es cero, sn embargo la varanza FLE 2 puede ser sgnfcatva. El objetvo del dseño de los marcadores fducales y de los algortmos de deteccón asocados es mnmzar la varanza. En general para marcadores de mayor volumen o con una ntensdad de magen mayor el FLE será menor. En la fg. 8.3 se muestran dos ejemplo de mágenes de marcadores fducales. Debdo a la resolucón dscreta de las mágenes dgtales es necesaro utlzar marcadores de tamaño mayor que un voxel. En la fg.8.3. se muestra un marcador hueco de forma clíndrca, las dmensones nterores son: altura 5mm y dámetro 7 mm. El marcador está lleno con un fludo opaco a los rayos-x y a la RM. En la fg.8.3 se muestran las mágenes de TAC y RM, el tamaño del voxel en TAC es de 0.65 x 0.65 x 3.0 mm; el voxel de RM mde 1.1 x 1.1 x 4.0 mm. El marcador es más grande que un voxel de TAC pero sólo lgeramente más grande con respecto a la dstanca entre mágenes. Entonces la magen del marcador es buena sobre una magen de TAC (fg. 8.3 b) pero es mala para mágenes nterpoladas entre cortes (fg.8.3 c). Los voxeles de RM son más grandes y las mágenes del marcador no son buenas n sobre un corte n sobre las mágenes nterpoladas entre cortes (fg. 8.3 e, f).
Los marcadores que ocupan dos o más voxéles, producrán usualmente un nvel de señal (ntensdad de magen) para cada voxel que es una funcón monotóncamente crecente del volumen de nterseccón del voxel y del contendo opaco del marcador, como se lustra en la Fg.8.4. S gnoramos el rudo y los artefactos de reconstruccón, la funcón será lneal: I = V I 0 (2.5.18)
donde I es la ntensdad del voxel y V es el volumen de nterseccón. I0 es la ntensdad de un voxel de fondo, a veces es dferente de cero y debe tomarse en cuenta. S se mde I para cada voxel del conjunto contendo dentro de un marcador, podemos calcular la poscón del centrode del marcador como: n x= 1 I I 0 x (2.5.19) n donde x es el centrode del voxel. La ecuacón anteror proporcona una buena aproxmacón pero ntroduce un error debdo a la suposcón mplícta de que el centrode de cada voxel concde con el centrode de la regón ocupada por el líqudo opaco. Este error se lustra en la Fg. 8.4, donde podemos comparar las porcones llenas con líqudo opaco de los voxéles a y b que se encuentran del lado derecho e zquerdo respectvamente. El voxel a está cas lleno de líqudo opaco mentras que el voxel b sólo ocupa algo de líqudo del lado derecho. Mentras que el centrode de la regón opaca del voxel a está muy cerca del centrode del voxel, el centrode de la regón opaca del voxel b está consderablemente a la derecha del centrode del voxel. Entonces en la ecuacón anteror, la contrbucón del voxel b ncluye un error de corrmento haca la zquerda en el cálculo del centrode del marcador. Este tpo de errores puede ser sgnfcatvo, y aunque puede corregrse en mágenes undmensonales (perfles), sólo exsten algortmos heurístcos ( que dependen de las condcones especfcas de cada problema de regstro) para corregrlos en mágenes 2D y 3D. Como se lustra en la Fg.8.4, el error de localzacón de un marcador será mucho menor que el tamaño de un voxel s la regón vsble del marcador ocupa varos voxéles. Los maracdores grandes tenen 3 ventajas: 1. El porcentaje de voxeles parcalmente llenos dentro del marcador será menor; 2.El número total de voxeles paracalmente llenos será mayor, con lo que el promedo del error ntroducdo se mnmzará; 3. Para un marcador más grande se promeda el rudo de la magen en un número mayor de voxeles con lo que el efecto del rudo se mnmza. Entonces los marcadores grandes tenen menores FLE, los marcadores más brllantes tambén tenen FLEs menores, ya que la relacón señal rudo es mayor.
Como se menconó cualquer desplazamento x y entre un punto transformado x y el punto correspondente y es un error de regstro. Para FLEs pequeños y una transformacón apropada los errores de regstro serán pequeños. S la transformacón está restrngda a certo tpo por ejemplo transformaconees rígdas entonces no será posble tener un error de regstro cero debdo al FLE. Una medda común de la desalneacón de varos puntos fducales es el error RMS, llamado error de regstro de los fducales (FRE), defndo como sgue. El error de regstro de un sólo punto fducal es: FRE = x y (2.5.20) donde x, y son los puntos correspondentes en las dos vstas X, Y, como se lustra en la Fg.8.5. Defnmos el error total de regstro FRE en funcón de los FRE como:
FRE 2= 1/ 2 FRE 2 (2.5.21) donde FRE es la magntud de FRE, es el número total de puntos fducales, ω2 es un factor de peso que puede utlzarse para atenuar la nfluenca de puntos poco confables, por ejemplo podramos hacer ω2 =1/FLE2 donde FLE es el error de localzacón del marcador fducal. En la Fg. 8.5b se lustra el error de regstro del objetvo (TRE) que es smplemente el error de regstro calculado en algún punto (objetvo) de nterés. TRE= x y (2.5.22) El térmno objetvo se utlza para desgnar puntos de mportanca clínca.
Regstro de puntos con transformacones rígdas S sólo consderamos transformacones de regstro rígdas, el FRE2 queda: FRE = 1/ 2 R x t y 2 (2.5.23) 2 S el FLE es un error aleatoro con meda cero y una dstrbucón sotropca (.e. que los dferentes FLE pueden tener cualquer orentacón y magntud dentro de un certo rango), se puede calcular una transformacón de regstro óptma mnmzando FRE2 y hacendo ω2 =1/FLE2 La mnmzacón de FRE2 se conoce en la lteratura de estadístca como el problema Procrustes ortogonal, exsten formas completamente defndas de solucón desde los 50s. La solucón es únca excepto en el caso de que los puntos fducales se encuentren sobre una lnea recta (lo que ocasona que el FRE2 sea ndependente de rotatones alrededor de la lnea de fducales). Por lo que en el algortmo sguente asummos que la confguracón no es lneal y >= 3. Algortmo de regstro basado en puntos y en una transformacón rígda. Objetvo: encontrar la R y t que mnmzan 2 R x t y 2 1. Calcular el centrode ponderado de la confguracón de puntos fducales en cada magen: 1 2 x = x 1 y = 2 y 2. Calcular el desplazamento desde el centrode a cada punto fducal en cada magen: x = x x y = y y 3. Calcular la matrz de covaranza ponderada: H = 2 x y t 4. Realzar la descomposcón de H en valores sgulares:
H=UΛVt, donde: U es un matrz ortogonal (columnas ortogonales de magntud 1) de tamaño 3 x 3 Λ=dag (λ1, λ2, λ3) y λ1 λ2 λ3 0 V es una matrz ortogonal de tamaño 3 x 3 UtU=VtV=I, 5. R=V dag(1,1,det(vu))ut x 6. t= y R La matrz dagonal en el paso 5 asegura que R es una rotacón apropada,.e. que no produce transformacones en espejo. Sólo es necesara cuando los puntos fducales son aproxmadamente coplanares o el tamaño del FLE es cercano a la separacón de los fducales. Regtro de puntos con una transformacón de smltud S la transformacón ncluye escalamento (.e. es una transformacón de smultud), el error de regstro FRE2 queda: FRE 2= 1 / 2 sr x t y 2 (2.5.28) Se puede utlzar el msmo algortmo anteror modfcado como sgue: Algortmo de regstro basado en puntos y en una transformacón de smlutd. Objetvo: encontrar la R y t que mnmzan 2 sr x t y 2 1. Hacer s=1 y determnar R medante los pasos 1 a 5 del algortmo anteror 2 R x y 2. Calcular s como: s= 2 x x 3. t= y s R x
II.5.3. Regstro de superfces El objetvo del regstro de dos superfces en mágenes dferentes, consste la dentfcacón de las superfces correspondentes en cada magen y en el cálculo de la transformacón que las alnea mejor. La representacón de la superfce puede ser un conjunto de puntos, una malla de trángulos o un conjunto de ecuacones. La extraccón de la superfces se realza con métodos de segmentacón. II.5.4. Regstro basado en ntensdad (de pxéles o voxéles) El regstro basado en ntensdad consste en el cálculo de la transformacón que alnea dos mágenes, utlzando sólo los valores de cada pxel ó voxel en el par de mágenes. La transformacón óptma se calcula mnmzando una medda de error de smltud entre las mágenes ( a veces llamada medda de smltud de voxéles). Frecuentemente los algortmos de regstro basados en ntensdad, utlzan algún tpo de preprocesamento específco del problema y sólo utlzan alguna subregón de las mágenes.