0.8 Vectores geométricos álisis de elemetos teóricos. Idique para cada ua de las afirmacioes siguietes, si es verdadera o falsa, justificado su determiació. r. Si a, b r E, co a b y a // b, etoces, a b r. Si a r b, etoces, a b. Si a b y a b, etoces, ecesariamete a y b so opuestos.4 Si a // b y a b y a b, etoces a b r.5 Si c a, etoces, c + ( a ) o.6 Si a, b E, etoces, siempre se cumple que a + b a + b r r.7 Si a + b a + b para a, b o, etoces, ecesariamete a b r //.8 Si c > d, etoces, siempre que se cumpla que c + d c d r r.9 Si e, f o y e + f f e 0, etoces e + f tiee el mismo setido de f.0 Si a, b, c o y a + b + c c b a etoces: r Necesariamete r a // b // c. a, b, c tiee distita direcció. a y b tiee setido opuesto, al setido de c r r c > a + b ecesariamete. a + b c a + b + c. E la figura se tiee u paralelogramo y puede asumirse que los vectores que se observa como paralelos, evidetemete lo so. Si u r P r y t P B, expresar los vectores que aparece co icógitas e fució de u r y t r. ( y B so putos medios de los lados respectivos).?? u r. Si a r > b r y los vectores tiee setidos opuestos, etoces:.. Exprese el setido de cada uo de los siguietes vectores e térmios de los setidos de a r o de b r a r + b r, a r - b r, b r - a r, - a r - b r. P t r? B????
. Calcule la magitud de cada uo de los vectores ateriores e térmios de a r y b r. 4. E las represetacioes siguietes determie: Cuado uo de los vectores correspode a la suma de los otros dos? Cuado uo de los vectores correspode a la diferecia de los otros dos? 4. a r 4. r s c b m h 4. 4.4 r t d r r f r l r r u 5. E las expresioes siguietes, determie el vectoesultate: 5. 5. CK + HM HF FK + MD CD FD KF + D CK 6. Idique para cada ua de las afirmacioes siguietes, si es verdadera o falsa, justificado su determiació. 6. Si a r E yλ R, etoces, λa r y a r puede ser vectores opuestos. 6. Si a ll b y λ > 0, β > 0, etoces ecesariamete λa r y βb r tiee el mismo setido. 6. Si λ 0, etoces, ecesariamete λ a > a r 6.4 Si a ll b r y r λ a θb, etoces, ecesariamete λ θ 0 6.5 Si λa r y β b tiee setidos opuestos, etoces, ecesariamete λ > 0 y β < 0 ó λ < 0 y β > 0. 7. Utilice el criterio de coliealidad para determiar e cada umeral si los tres putos diferetes de O ("O" es u puto de referecia) so o o colieales. 4 6 7. O+ OC+ OB BO+ OC 5 5 7. OC+ 5FO DO Ilustració 5
E el trapecio BCD, M, N so putos medios de los lados o paralelos D y BC respectivamete: Demuestre vectorialmete que: MN ( B + DC ) MN ( B + DC ) MN // B y MN// CD B M D C N Hipótesis i) BCD trapecio ii) B // DC iii) M puto medio de D, N puto medio de BC Demostració. MN MD+ DC+ CN Suma geeralizada e E. MN M+ B+ BN Suma geeralizada e E. MN MD+ DC+ CN + M+ B+ BN Sumado y, Ley uiforme de la suma 4. MN ( MD+ M) + ( CN + BN ) + B+ DC. Comutatividad y asociatividad e la suma e E. 5. MD+ M o y CN + BN o Por qué? 6. MN o+ o+ B+ DC Sustitució 5 e 4. 7. MN DC+ B Propiedad modulativa de la suma e E. 8. MN ( DC+ B). Propiedad, producto de u real por u vector libre. 9. MN ( B+ DC) Defiició igualdad de vectores libres e 8. 0. MN B+ DC Propiedad de u producto de u real por u vector libre e 9.. MN ( B + DC ) Teorema desigualdad triagular e 0. Por teer B y el mismo setido.. DC λ B Teorema. Criterio del paralelismo de la hipótesis ii).. MN B+ λ B Sustitució de e 8. DC
( + λ) 4. MN B Propiedad del producto de u real por vector libre e. 5. MN // B Teorema. Criterio del paralelismo e 4. 6. MN // DC Trasitividad e le paralelismo de la hipótesis ii) y de 5. Ilustració 6 El cuadrilátero PQRS es u paralelogramo, es el puto medio de PS, T TQ Demuestre vectorialmete que P RT ( + RQ ) RS T Q S R Demostració. RT RQ+ R Teorema de la proporció, de la hipótesis. R RS + S Suma e E. S SP Criterio del paralelismo, de la hipótesis. 4. R RS + SP Sustitució de. e. 5. SP RQ Teorema Propiedad del paralelogramo, de la hipótesis. 6. R RS + RQ Sustitució de 5. e 4. 7. RT RQ+ RS + RQ Sustitució de 6. e. 8. RT RS + RQ Por qué? Ilustració 7
E el triágulo BC de la figura se tiee: P P B, P, CP I P C 5 BP { P } Determie vectorialmete la razó e la que el puto P divide al segmeto CP y al segmeto BP. B λ P P β P C Demostració.. Desigemos la razó. CP BP P P λ CP + β CB ( ) λ + β λ Coveció adoptada β Teorema de la proporció de. CP θ CP Teorema Criterio del paralelismo 4. CP CB + C Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis. 4 5. θ CP CB + C 4 Sustitució 4 e 6. 5 CP C 7 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis. 7. 8. 9. 5λ CP C+ β CB Sustitució 6 e ( λ + β ) 7 θ 5λ ( ) CB + C C+ β CB 4 λ + β 7 θ β 5λ θ CB C 4 λ + β 7( λ + β ) 4 θ 0. 4 β ( λ + β ) 0 De 9. Por qué? Trasitividad etre 5 y 7 Propiedad del producto de u real por u vector libre.
5λ θ 0 7 ( λ + β ) 4 λ. Despejado e 0. β 5 0. θ Despejado e 0. BP. E cosecuecia: CP y 0 esto es, P P 5 CP CP P P 0 PROBLEMS PROPUESTOS. Demuestre vectorialmete el teorema de la paralela media.. Demuestre vectorialmete que los putos medios de u cuadrilátero so los vértices de u paralelogramo.. Demuestre vectorialmete que las diagoales de u paralelogramo se corta e su puto medio. 4. Demuestre vectorialmete que las mediaas e cualquier triágulo se corta e u puto ubicado sobre cada mediaa a / del vértice y a / del lado sobre el cual la mediaa icide. 5. Demuestre vectorialmete que e u paralelogramo los segmetos que ue u vértice co los putos medios de los lados opuestos, divide la diagoal e tres segmetos de igual medida. 6. E u cuadrilátero BCD sea: E, F, G, H los putos medios de los lados B, BC, CDyD. Demuestre vectorialmete que: F+ BG+ CH + DE O 7. E el trapecio BCD, M, N so los putos medios de las diagoales. Demuestre vectorialmete: 7. MN ( DC B) 7. MN ( DC B ) 7. MN B, MN DC
8. E la figura se tiee: O Puto de referecia, P Puto medio de D, C O CD DB / D B P Demuestre vectorialmete que OP O+ OB+ OC 6 9. E la pirámide triagular de base e el BC y vértice Q, M, N y L so putos medios de B, BC y C respectivamete. Demuestre vectorialmete que + QM + QN + QL Q+ QB QC Q L C M N B 0. Sea E r s, t, s // t, s, t o y tales que λs + θ t 5s + t θ s 7 Determie vectorialmete los valores de λ y θ. 0.9 Vectores Coordeados Ilustració 8 Determie las ecuacioes vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el puto (-,, ) y es paralela al vector DT, siedo D(4, 0, -) y T(, -, ).
Solució Desigemos esta recta por L, DT Sea P(x, y, z) tal que P recta. L, DT Determiemos los vectores de posició ; esto es P represeta u puto geérico de la r y P espectivamete. D P T z O y P x Teemos ahora que: L, DT. P + P. P λdt Co λ a R. Porqué?. P + λdt Sustitució de e. 4. DT T D Porqué? 5. P + λ(t - D), λ R} Ecuació vectorial de esta recta. 6. L(, DT) {P (x, y, z) / P + λ(t - D), λ R} Como DT T D (,-,)-(4, 0, -); esto es DT (-,-,) Por la correspodecia etre vectores de posició y vectores coordeados teemos de 5: 7. P (x, y, z) (-,,) + λ(-,-,) (x, y, z) (- -λ, -λ, +λ) y de la igualdad de -tuplas se obtiee: x - -λ y - λ z + λ λ R. Ecuacioes paramétricas de esta recta.
8. Despejado el parámetro e cada ua de las ecuacioes ateriores y por la trasitividad e la igualdad teemos: x + y z Ecuacioes simétricas de esta recta. Ilustració 9 Determie para la recta de la ilustració aterior: Sus iterceptos co los plaos x y, x z, y z Su itersecció co el plao de ecuació cartesiaa x-y+z5 Solució: La ecuació cartesiaa del plao x y correspode a: 0x +0y+z0; y sustituyedo las coordeadas respectivas, de las ecuacioes paramétricas e esta ecuació teemos: + λ0 y λ -/, evaluado para este valor, las ecuacioes paramétricas, se obtiee: X-+ (/) Y + (/) / Z0 E cosecuecia (, /, 0) correspode al puto de itersecció de la recta co el plao x y. Determie el itercepto co los otros dos plaos. Veamos ahora el itercepto co el plao de ecuació x-y+z5 (- -λ)-(-λ)+(+λ)5-4 - 4λ-+λ+9+6λ5 4+5λ5, λ /5; evaluado las ecuacioes paramétricas co este valor, obteemos el puto (-8/5, 8/5, 7/5), correspodiete a la itersecció. Ilustració 40 Dadas las rectas L y L e el espacio y de ecuacioes: x - +λ L: y 5 - λ λ R. z λ x - β L: y 5 +β β R. z β Determie el cojuto L L e iterprete geométricamete sus posicioes relativas:
Veamos iicialmete si L//L, por ser muy secillo el criterio que lo determia. Sea u (,-,) co // L Porqué? u u Sea u (-,,) co //L L//L si y solo si u //u Porqué? Pero u // u si y solo si u θ u. Teorema. Criterio del paralelismo. sumamos, a prueba de hipótesis u tedríamos que: θ u. Esto es (,-,) θ(-,,); si esto se diera -θ - θ θ Geerado u sistema icosistete; lo que os permite cocluir que u u y e cosecuecia L L Procedemos ahora a determiar L L. ) + λ β ) λ + β 5 ) 5 λ 5 + β ) λ β 0 ) λ β )λ β 0 plicado el método de reducció de Gauss - Jorda se tiee: 5 0 0 0 E 5 5 0 E+ E 0 0 5 -E -E+ E 0 5 0 0 E + E 0 5 5 0 0 5 Lo que os permite afirmar que el sistema es icosistete y e cosecuecia L L Φ. Este ultimo resultado y la coclusió previa de que L L, os permite cocluir, segú la teoría, que las rectas y L se cruza e el espacio. Ilustració 4 L Dados los plaos π, π y π de ecuacioes cartesiaas e su orde: π : x y +z π : x + y z π : x + 6y z
Determie e iterprete geométricamete. π π. π π. π π π Veamos para el primer cojuto. Por el método de reducció de Gauss Jorda + E E 0 4 / 4 E 0 / 4 / 4 + E E 0 0 5/ 4 / 4 5/ 4 / 4 Sistema equivalete reducido.. x +5/4z 5/4. y -/4z /4 x 5/4-5/4 λ. y /4+ /4 λ λ R Solució del sistema. z λ t Esto sigifica que π π L(, ), dode (5/4, /4, 0) y (-5/4, /4, ) Ilustració 4 t Dados S (-4,-,6) y (,,) Determie:. La ecuació vectorial del plao que pasa por S y es perpedicular al vector ; que desigamos por π(, S).. La ecuació cartesiaa de este plao.. La distacia de u puto Q(,4,-) a este plao. 4. Las coordeadas correspodietes a la proyecció ortogoal de Q sobre el mismo plao. 5. Las coordeadas del puto simétrico de Q respecto al plao iicial. 6. El águlo etre el plao π(, S) y el plao de ecuació 5x -y + z - Solució:. Sea P(x, y, z) π(, S). Etoces SP y por lo tato
S P SP. o Ecuació vectorial.. SP P S ( x+4, y+, z-6) SP. (x + y) + (y + ) + (z 6) 0 x + y +z Ecuació cartesiaa.. Sea π(, S); e particular (0, 0, ) está e el plao d(q, π(, S)) HQ HQ T Por tato pr Q Q Q. HQ. Q. 4. 9 Calculemos las coordeadas del puto H Podemos afirmar que { H } π(, S) L (Q, ). Por qué? Si P (x, y, z) L (Q, ), etoces P Q + λ y sus ecuacioes paramétricas so:
. x + λ. y 4 + λ λ R. z - +λ ( + ) + ( 4 + λ) + ( + λ) λ λ 4/ 9 9 y H,, 9 9 9 Desigemos Q por el puto simétrico de Q respecto al plao π( cosecuecia que: Q Q + QQ Porqué? Q Q + QH Porqué? QH H Q ( 8/9, 4/9,4/9) Q (, 4, -) + (-6/9, -8/9, 8/9) Q (/9, 8/9, -0/9), S), se cumple e Q H H Q O Determiemos t t perpedicular al plao de ecuació 5x y + z -, e particular ( 5,,) ; y por lo tato el águlo etre los plaos correspode a:. t α cos Por qué? t
0 cos α 5,5º 9 0 Ilustració 4 Demuestre la desigualdad de Cauchy Schwarz. Si a, b E, etoces, a. b a b. Demostració. a. b a b cosα Defiició de producto escalar.. a. b a b cosα Tomado de valor absoluto e. a. b a b cosα Propiedad de valor absoluto y magitud de u vector libre. 4. cosα Rago de la fució coseo 5. cos α Propiedad del valor absoluto de 4 6. a b cos α a b Por qué? 7. a. b a b Por qué? Ilustració 44 Sea BC co águlo recto e. B CB HB.. C CB CH H BH CH B C ˆ ; H altura. Demuestre vectorialmete que: B H C
Solució. B B. B Defiició de producto escalar.. B CB C Diferecia de E. B HB H Diferecia de E 4. De y B. B CB C. HB H 5. B. B CB. HB CB. H C. HB+ C. H Propiedad distributiva del producto escalaespecto a la suma 6. CB. H 0 Por qué? 7. B. B CB. HB C. HB+ C. H Sustitució de 6 e 5 8. B. B CB. HB+ C. HB+ H Distributividad del producto escalar respecto a la suma. 9. H HB B Porque? 0. B. B CB. HB+ C. B Sustitució de 9 e 8.C. B 0 Por qué?. B. B CB HB Cos0º Sustitució de e 0. y. B CB HB defiicioes de producto escalar. Por qué? Ilustració 45
Calcule el volume del paralelepípedo determiado por los vectores a ( 5,0, ), b (,,), c (9,, ) Solució: Volume de este paralelepípedo determiado por los vectores ( a, b, c) (Producto mixto de a, b, c ) Por qué? 5 ( a, b, c) 5 9 0 Luego el volume del paralelepípedo es igual a 5 uidades cúbicas. Calcular el volume del tetraedro, determiado por estos mismos vectores. Ilustració 46 Si, B, C so putos distitos y o colieales, demuestre que ua ecuació vectorial para el plao π (, B, C) es: ( B, C, P ) 0 ; siedo P u puto geérico del plao. Demostració. Sea P(x, y, z), P π(, B, C) B. Determiemos B, C, P π. B, C, P (, B, C) de la hipótesis y de. 4. B ( C x P) 0 Por qué? 5. La ecuació vectorial aterior Correspode al plao (, B, C) π Π(, B, C) C P Determie, utilizado este resultado, ua ecuació vectorial y la ecuació cartesiaa del plao ( M, N, S) ; cuado M(-5,, ), N(, -, 0), S(4, -, -). π Ilustració 47 Demuestre vectorialmete que para a, b E ; a + b, a b, b 0 Demostració
. a + b, a b, b a + b Defiició a b b. producto mixto.. a + b, a b, b a + b a b b b. Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.. 4. 5. - b b O Por qué? a + b, a b, b a + b a b. Sustitució e a + b, a b, b a a b + b a b. Distributividad del producto escalaespecto a la suma. 6. a b a y a b b. Defiició del producto vectorial. 7. a a b 0 y b a b 0 Por qué? 8. a + b, a b, b 0 Sustitució de 7 e 5. Ilustració 48 Para las rectas míima). de la ilustració 40, determie la distacia etre ellas (trasversal Solució.. Desigemos por y t u puto particular y u vector paralelo a la primera recta obteiedose (-, 5, 0) y t (-,,).. Desigemos por B y s elemetos a álogos e la seguda recta, obteiédose. s B(, 5, 0) y (,, ) B, t, s, d L, t, L B, s Por qué? t s (Justifique la fórmula y su aplicació e esta situació) 4. B B ( 5,0,0)
5 0 0 B, t, s 5( 5) 5 5. i t s ( 5) i (5) j + (5) k j k t s ( 5, 5,5) ; t s 75 5 6. d ( L(, t ), L( B, s )). 88 uidades de logitud 75 Ilustració 49 E el BC, P y Q so putos medios de B y BC respectivamete, G es el baricetro. Demuestre vectorialmete que: Área ( PQG) / Área ( BC) C G Q P B Solució. Área ( PQG). C PQ PQ PG Por qué? Teorema de la paralela media.. 4. PG PC CP Por qué? CP C+ CB Teorema de la proporció, de la hipótesis.
5. Área ( PQG) C C+ CB 6 Sustitució, y 4 e 6. Área ( PQG) C C+ CB Propiedad del producto vectorial y 4 magitud de u vector. 7. Área ( PQG) C C + C CB Distributividad del producto 4 vectorial, respecto a la suma. 8. C C O Por qué? 9. C CB C CB Por qué? 0. Área ( PQG) 4 C CB Sustitució 8 y 9 e 7. Área ( PQG) Área ( BC) Por qué? PROBLEMS PROPUESTOS 0,,,,,. Sea a ( ) b (,), c ( 0,0, ), d (,, Determie las coordeadas de los vectores: t a b c + d Determie los coseos y los águlos directores de s s Determie el águlo etre y. t s a b + c y Determie u vector de magitud igual a 5 / e la direcció y e el setido de t ). Idetifique cada ua de los siguietes cojutos de putos e R. {( x, y) /( x, y) ( θ )(,0) + θ (4,7), θ R}. P( x, y) / P ( β ) P+ β P, β R. ( x, y) / y, x R 5 ( x, y) /( x, y) (,) + θ (,5), θ 0, + ( x, y) /( x, y) (,) + θ (,5), θ 0,.4 { [ )}.5 { [ ]}
. Sea P (x, y,z ), P (x, y, z ). Determie vectorialmete las coordeadas del puto medio del segmeto P P. 4. Determie las ecuacioes: vectorial, paramétricas y cartesiaas de cada uo de los siguietes plaos. 4.π (, C, K), siedo ( 0,-,), C ( -4,,-), K (5,0,). 4. π ( D, u, t ), siedo D ( -,,), u (,0, ), t (,,5 ) 4. el plao que pasa por T(-,0,) y cotiee a la recta L:. x -λ. y λ λ R. z -5λ π 5. Sea: : ax + b y + cz + d 0 π a x + b y + c z + d 0 : Demuestre que π // π si y solo si existe λ R tal que λ a b c 6. Demuestre vectorialmete la ley del coseo. 7. Demuestre vectorialmete que todo águlo iscrito e ua semicircuferecia es recto. 8. Demuestre vectorialmete la desigualdad triagular. Para a, b, c E, a+ b a + b 9. Sea u vértice de u cubo. Desde se traza ua diagoal del cubo y ua diagoal de ua de las caras. Calcule el águlo etre estas dos diagoales. 0. Establezca u criterio vectorial para determiar cuado cuatro putos distitos del espacio so coplaarios. Utilice dicho criterio para determiar si (,,), B (-,,), C (-4,-,) y D (-,-,0) so coplaarios. a b c. Ua pirámide cuyo vértice es P; tiee como base el cuadrilátero BCD. Calcule el volume de esta pirámide si se tiee: P ( 0,0,8); (,0,-); B (,9,); C ( -,0,4); D ( -4,-6,4).. Demuestre la idetidad de Jacobi: sug: Utilice la relació de Gibas a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) O. Resuelva para X el siguiete sistema.. X b c
. X a α sugerecia: Utilice la relació Gibbs 4. Dado el tetraedro BCP., Sea,,, cara respectiva. Demuestre que 4 vectores ormales a cada cara y de magitud igual al área de la, + + + 4 O P C 4 B 5. Demuestre la idetidad de Lagrage. Para a, b, c, d E ( a b) ( c d) a c a d Sugerecia: Utilice las propiedades del b c b d Producto mixto. 6. Sea a, b, c liealmete idepedietes y d λ a+ β b+ γ c ( d, b, c) ( a, d, c) ( a, b, d) Demuestre que λ ; β ; γ,,, ( a, b, c) ( a, b, c) ( a, b, c) 7. Utilice el resultado aterior para resolver el siguiete sistema: ( Regla de Cramer ).. λ + β γ 5. λ + β γ. λ + 4 β γ