EMA.- Análss de crcutos en corrente alterna senodal. ONENIDO:.. Introduccón... Onda senodal, generacón y valores asocados... Representacón compleja de una magntud senodal. Fasor..4. El domno del tempo y el domno de la frecuenca..5. Respuesta senodal de los elementos pasvos..6. Impedanca y admtanca compleja..7. Asocacón de elementos pasvos con señal alterna senodal..8. Método de las correntes de malla..9. Prncpo de superposcón... eoremas de hevenn y Norton... Potenca de un crcuto eléctrco en régmen permanente senodal... Potenca compleja... Factor de potenca. orreccón del factor de potenca. RELAIÓN DE PROBLEMAS.. Introduccón. En la realdad de cada día, nos encontramos con la utlzacón de la energía eléctrca. La dstrbucón de esta energía se realza utlzando tensones alternas senodales. De manera que cuando hablamos de corrente alterna, nos refermos normalmente a aquella que presenta una forma senodal. Esto es así, porque presenta varas ventajas en cuanto a su dstrbucón y transporte frente a la c.c., además es la forma en que los generadores de c.a. la dan. En Europa la frecuenca de la red es de 5 Hz, en la mayor parte de Amérca de 6 Hz. Desde el punto de vsta de la eoría de rcutos la onda senodal presenta las sguentes ventajas: - Se puede dferencar e ntegrar repetdamente y segur sendo una senode de la msma frecuenca. - La suma de ondas senodales de gual frecuenca, pero de dstnta ampltud y fase, es una senode de la msma frecuenca. - Admte una representacón con vectores gratoros, denomnados fasores, que admten una representacón en el plano complejo. EMA Págna de 5
.. Onda senodal, generacón y valores asocados. La generacón de una onda senodal parte de la Ley de Faraday que dce que: cuando una espra, de superfce S, está grando sobre su eje, a una velocdad angular unforme w, dentro de un campo magnétco unforme B, se nduce una fuerza electromotrz en los extremos de la espra. ω S N A B θ S B De esta forma se puede determnar que el flujo que atravesa la espra, vendrá dado en cada momento por la poscón de la espra con relacón al vector que defne la nduccón del campo magnétco. En cada nstante el ángulo que forma el vector superfce de la espra y el vector nduccón será: θ wt. El flujo a través de la espra será: Φ La f.e.m. nducda debda a este flujo será: S r r r B ds B S B S cos dφ e d ( B S cos) B S ω sen que se puede expresar y representar de forma general: Sendo: ( E sen t e m ω E m Valor máxmo, ampltud o valor de pco w frecuenca angular, en rad/s perodo, en s f frecuenca, en Hz.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8-4 5 6 7 umpléndose las sguentes relacones: /f; ωπf; ωπ/ EMA Págna de 5
Valores asocados Para caracterzar las señales alternas, y especalmente las senodales usadas en electrcdad exsten dos valores fundamentales: Valor medo y valor efcaz. Para calcularlo se usan las sguentes expresones: Valor medo: V med f ( Valor efcaz: V ef f ( S resolvemos estas expresones para un cclo de la onda senodal, obtendremos: F(V m senwt V med, para ½ cclo V med V m /π/ Vm V ef El valor efcaz es de gran mportanca, y será muy utlzado, porque el valor efcaz de una corrente peródca es el valor de una corrente contnua que al crcular por una resstenca produce en un tempo la msma cantdad de energía dspada... Representacón compleja de una magntud senodal. Fasor. ualquer magntud senodal se puede representar medante un vector gratoro. Este vector que la representa tene por módulo el valor máxmo de la magntud senodal, gra con una velocdad angular w, y su valor ncal depende del ángulo de desfase ϕ. Este vector gratoro se denomna fasor. Dado que en ngenería eléctrca vamos a trabajar con fasores que tenen la msma frecuenca, y por consguente la msma velocdad angular, se suele utlzar una representacón de éste vector gratoro, en un t. La representacón que más se utlza es la forma polar de este vector, usando coordenadas complejas. Usando la formulacón de Euler: V e j( V cos( + j V sen( omo: V e j( V e jϕ e j se puede consderar que, como el térmno en t es un vector gratoro que depende de la frecuenca, solo nos hace falta consderar los otros térmnos, EMA Págna de 5
que se pueden representar utlzando la notacón de Kennelly, usada normalmente para valores efcaces: V /ϕ En la fgura se expresa la relacón entre las notacones polar y de Kennelly, que se relaconan: Vsen ϕ V ϕ Vcos ϕ Ve j(wt+ ϕ ) V ( Vsenϕ + V cosϕ ) Vsenϕ ϕ arctg V cosϕ En forma polar: Vcosϕ + jvsenϕ S utlzamos valores coseno, en el domno de tempo, su valor sería: Vcos(wt+ϕ) Dervada e ntegral de una magntud senodal S realzamos la dervada de la fórmula de Euler: d V e j( d ( V cos( + j V sen( ) jϕ jω t V e jω e V ω sen( + j V ω cos( s en el segundo membro de la gualdad susttumos senos por cosenos: V e jϕ jω e jω t V ω cos( + ϕ π ) j π V ω sen( + ϕ ) donde se puede ver que el térmno exponencal es el msmo, pero multplcado por el térmno jω. Por lo que sí un vector gratoro representado por f( se derva respecto al tempo: d f ( jω f ( EMA Págna 4 de 5
S ntegramos a partr de la fórmula de Euler: j( + ϕ) V e V cos( + V sen( + ϕ) jϕ j V e e V cos( + ϕ ) j V ω sen( jω ω Donde se puede ver que el térmno exponencal es el msmo, pero dvddo por el térmno jω. Por lo que sí un vector gratoro representado por f( se ntegra respecto al tempo: f ( f ( jω Deduccones que serán muy útles para explcar el funconamento de los elementos pasvos de un crcuto..4. El domno del tempo y el domno de la frecuenca. S utlzamos para representar las magntudes eléctrcas, las funcones trgonométrcas, que dependen del tempo, dremos que trabajamos en el domno del tempo. S trabajamos con la representacón fasoral, dado que la varable será la frecuenca, dremos que estamos en el domno de frecuenca..5. Respuesta senodal de los elementos pasvos. Supongamos que conocemos en un crcuto la tensón y la ntensdad, dadas por las sguentes relacones cosenodales: r jϕv v( V m cos( ω t + ϕv ) V Ve V ϕ v r jϕ I m cos( ω t + ϕ ) I Ie I ϕ ( on lo que para cada elemento pasvo tendremos: Resstenca: v(r( donde: v RI cos( ω t + ϕ ) V ϕv RI ϕ ( m cumpléndose que: ϕ v ϕ EMA Págna 5 de 5
Inductanca: donde: d( v( L d v( L ( I m cos( ω t + ϕ ) ; V ϕv jωli ϕ v( L I ω sen( + ϕ ) ωli cos( + ϕ + 9 ) ; m m que con la notacón de Kennelly será: V ϕ v ωli ϕ + 9 cumpléndose que: ϕ v ϕ +9 Se puede observar, comparando las notacones de Kennelly, que el térmno j mplca un térmno de dervada, que se corresponde con la rotacón de 9 en sentdo anthoraro del vector gratoro. Al térmno ωl se le denomna Reactanca nductva, representándose por X L. apacdad: v ( ( donde: v( ( I m cos( ω t + ϕ ) ; V ϕ v I ϕ ; jω resolvendo la ntegral: v( I msen( + ϕ ) I m cos( + ϕ ω ω 9 ) ; que con la notacón de Kennelly será: V ϕ v ω I ϕ 9 cumpléndose que: ϕ v ϕ -9 Se puede observar, comparando las notacones de Kennelly, que el térmno /j mplca un térmno de ntegral, que se corresponde con la rotacón de 9 en sentdo horaro del vector gratoro. Al térmno /ω se le denomna Reactanca capactva, representándose por X. EMA Págna 6 de 5
.6. Impedanca y admtanca compleja. Según las relacones del apartado anteror, expresando la tensón y la corrente en forma de fasores (vectores gratoros), se puede ver que según el elemento pasvo que tengamos, las relacones entre tensón y corrente serán: Resstenca: Inductanca: r r V R I r V r jωli apacdad: r V v r I j I jω ω La ley de Ohm, generalzada para corrente alterna, se defne como: VI Donde el térmno hace referenca a la mpedanca. Esta mpedanca, relaconada con los elementos pasvos smples, tene el sguente valor según de que elemento se trate: Resstenca: Inductanca: apacdad: R jωl jω j ω Se observa que la mpedanca es un valor complejo, pudéndose expresar como: R+jX R+j(X L -X c ) Dado que la mpedanca es un número complejo se puede representar con la notacón de Kennelly, pero tenendo presente que no representa un vector gratoro. De esta forma tendremos: R + jx R + j( X L X ) R + ( X X ) L X arctg L X R ϕ Rcosϕ X L -X sen ϕ Donde la fgura representa el llamado trángulo de mpedancas, que representa las dos formas de representar la mpedanca, en forma compleja y con la notacón de Kennelly. EMA Págna 7 de 5
.7. Asocacón de elementos pasvos con señal alterna senodal. La asocacón de mpedancas se corresponde exactamente con la asocacón de resstencas en el caso de corrente contnua. De tal manera, se pueden asocar las mpedancas en sere, paralelo, estrella y trángulo. Quedando: Asocacón en sere: eq + + +... Asocacón en paralelo: / eq / +/ +/ +... ransformacón estrella trángulo: A B + + B A A A + + B B A A B + + B A + + B + + + +.8. Método de las correntes de malla. La aplcacón del método de las correntes de mallas, en el caso de corrente alterna, tene las msmas consderacones que este método para c.c. La dferenca consste en utlzar mpedancas en lugar de resstencas y fuentes de tensón alterna en lugar de contnua. Presenta más complejdad de cálculo, debdo a que trabajaremos con números complejos en lugar de trabajar con números reales. Para la aplcacón del método, plantearemos las ecuacones de mallas que sean ndependentes (tantas como ventanas tenga el crcuto), y a partr de ellas determnaremos las ntensdades de cada malla. Para resolver el crcuto tendremos n ecuacones de malla con n ncógntas(las correntes de malla). Del resultado de aplcar las correntes de malla a cada rama determnaremos las correntes de rama. EMA Págna 8 de 5
.9. Prncpo de superposcón. El prncpo de superposcón se enunca: La respuesta de un crcuto lneal, que contenga varas fuentes de almentacón, es gual a la suma de las respuestas ndvduales de cada fuente, actuando por separado. La utlzacón práctca de este prncpo, consste en resolver tantos crcutos como fuentes de almentacón tenga. De manera que se resuelve el crcuto cuando solo está presente la prmera fuente, dejando las otras cortocrcutadas (sí son de tensón); o a crcuto aberto s son de corrente. A contnuacón se resuelve dejando sólo la segunda fuente, y así sucesvamente con todas las fuentes que tenga el crcuto. La determnacón de la ntensdad en una rama del crcuto, será la suma de las correntes debdas a cada análss parcal en esa rama... eoremas de hevenn y Norton. Los eoremas de hevenn y Norton se enuncan de la msma forma que para corrente contnua, tenendo presente que en lugar de obtener una resstenca equvalente, ahora tendremos una mpedanca equvalente. La fuente de tensón hevenn, será ahora una fuente de tensón alterna. La fuente de corrente Norton, será ahora una fuente de corrente alterna... Potenca de un crcuto eléctrco en régmen permanente senodal. La potenca se defne como el producto de la tensón por la ntensdad: p(v( ( En el caso de que las magntudes sean cosenodales, tendremos: v( V cos ( I cos( ϕ) Usaremos las sguentes dentdades trgonométrcas: on lo que la potenca nstantánea será: cos(a-b)cosa.csob+sena.senb cos(a+b)cosa.cosb-sena.senb cos(a-b)-cos(a+b)sena.senb p ( v( ( VI cos cos( ϕ) VI cosϕ + VI cos( ϕ ) p( VI cos ϕ + VI cos cosϕ + VIsensenϕ EMA Págna 9 de 5
En esta expresón vemos que la potenca presenta un térmno que varía respecto al tempo, para poder cuantfcar la potenca que realmente se toma de la red consderamos que la potenca que nos nteresa será la potenca meda de esta expresón, resultando: P P ( VI cosϕ + VI cos( ϕ ) ( VI cosϕ + VI cos() cosϕ + VIcosϕ + VI cosϕ cos + VIsenϕsen VI cos sen t VIsen ( cos t ) + ϕ ω + ϕ ω ω P [ t VI cosϕ ] ω P VI cos ϕ A este valor medo se le denomna Potenca actva, sendo la que realmente es consumda por el receptor. Analzando los térmnos de potenca nstantánea podemos ver: p( VI cosϕ( + cos ) + VIsenϕsen Donde al térmno VIsenϕ se le denomna potenca reactva (Q). Quedando la expresón como: p( P( + cos ) + Qsen VIsensenϕ) En esta forma de poner la potenca nstantánea se observa que exste un prmer térmno denomnado potenca actva nstantánea P(+cos), cuyo valor medo es la potenca actva, cuya undad es el wato. El segundo térmno Qsen, tene un valor medo nulo y se denomna potenca reactva nstantánea, sendo su ampltud Q el valor de la potenca reactva, cuya undad es el voltampero reactvo. Q VIsenϕ Este térmno de potenca reactva tene que ver con la aparcón de bobnas y condensadores en las redes. Recordamos que las bobnas pueden almacenar energía en forma de campo magnétco y los condensadores en forma de campo eléctrco. Las energías almacenadas en estos elementos, son devueltas a la red cuando camba la polardad de la tensón alterna, de manera que no es una potenca realmente consumda, sno fluctuante entre el sstema de generacón y las bobnas y/o condensadores conectados. EL producto VI que es gual a la ampltud de la potenca fluctuante recbe el nombre de potenca aparente S. Exstendo entre las potencas ctadas las sguentes relacones: EMA Págna de 5
Potenca actva: P VI cos ϕ S cosϕ en Watos Potenca reactva: Q VI senϕ S senϕ en Voltamperos reactvos Potenca aparente: S VI P + Q en Voltamperos Factor de potenca: cosϕ Potencas en los elementos pasvos Veamos a contnuacón como se corresponden las potencas para cada uno de los elementos pasvos del crcuto: Resstenca: La tensón y la ntensdad a través de una resstenca tenen la forma de: v( V cos ( I cos Sendo el ángulo de desfase entre la tensón y la ntensdad en una resstenca de ϕ. on lo que la potenca nstantánea será: p( v( ( P( + cos ) + Qsen Las potencas actva, reactva y aparente serán: PVIcosϕVIRI QVIsenϕ SVI Inductanca: La tensón y la ntensdad a través de una bobna tenen la forma de: v( V cos ( I cos( ω t 9º ) Sendo el ángulo de desfase entre la tensón y la ntensdad en una bobna de ϕ9º. Las potencas actva, reactva y aparente serán: PVIcosϕ QVIsenϕVILωI X L I SVI EMA Págna de 5
ondensador: La tensón y la ntensdad a través de un condensador tenen la forma de: v( V cos ( I cos( ω t + 9º ) Sendo el ángulo de desfase entre la tensón y la ntensdad en un condensador de ϕ-9º. Las potencas actva, reactva y aparente serán: PVIcosϕ QVIsenϕ-VI-/ω.I -X I SVI.. Potenca compleja. En el trabajo normal con potencas, al gual que con corrente monofásca, trabajaremos con valores efcaces y en forma compleja. De manera que las expresones de potenca se utlzaran normalmente o ben con la notacón de Kennelly o ben en forma de coordenadas complejas. Usando la notacón de Kennelly tendremos: VV/ II/-ϕ En estas condcones el valor de la potenca aparente será: SVI* Sendo I* el vector conjugado de I (este vector conjugado se traduce en un cambo de sgno en el ángulo de desfase de la ntensdad). De manera que: SV/ I/ϕ VI/ϕ VIcosϕ + jvisenϕ P + jq S representamos los vectores de potenca tendremos el llamado trángulo de potencas: S ϕ PScos ϕ QSsen ϕ Se puede observar que para un ángulo de desfase en donde la ntensdad se retrasa respecto de la tensón (f.d.p. en retraso) la potenca compleja Q es postva. uando el ángulo de desfase da lugar a que la ntensdad se adelante con respecto a la tensón (f.d.p. en adelanto) la potenca compleja Q es negatva. EMA Págna de 5
Se puede consderar que, debdo al prncpo de conservacón de la potenca compleja, la potenca compleja sumnstrada por las fuentes que aparecen en el crcuto, es gual a la suma de las potencas complejas absorbdas por las cargas o lo que es lo msmo: P f Pc Q f Qc S P + Q f f f Medda de potenca en corrente alterna. Para medr la potenca en corrente alterna se usa el Watímetro que mde la potenca actva, en watos. Para medr la potenca reactva se usa el Varímetro, en VAr. Para medr la potenca aparente se usa un voltímetro y un amperímetro, el producto de las meddas en cada aparato dará el valor de la potenca aparente S en VA... Factor de potenca. orreccón del factor de potenca. El coseno del ángulo de desfase entre la tensón y la ntensdad se denomna factor de potenca. Este se puede expresar en funcón de las potencas complejas como: cos ϕ En cualquer nstalacón sempre es convenente que el factor de potenca (cosϕ) sea lo más parecdo a la undad. Esto es por varas razones de carácter económco: - Se necesta menor ntensdad en la línea de almentacón - La potenca reactva es menor - Menores pérddas en la línea - Menores tensones necesaras en la generacón - Menor potenca aparente del generador - Mejor rendmento Debdo a la nfluenca del factor de potenca, las compañías eléctrcas bonfcan o ncrementan sus tarfas eléctrcas en funcón del factor de potenca de una nstalacón. Dado que el coste de electrcdad de una nstalacón depende del factor de potenca convene que esté en límtes adecuados, con el objeto de reducr los costes al máxmo. En la mayoría de las ndustras las cargas que aparecen son de tpo nductvo que dan lugar a una potenca reactva Q postva. Para mejorar el factor de potenca se hace necesaro utlzar elementos que modfquen este valor de Q postva mantenéndolo próxmo al valor. Para ello se conectan baterías de condensadores en las nstalacones, que al ntroducr una potenca reactva Q negatva compensan el efecto de la potenca reactva postva de la nstalacón. P S EMA Págna de 5
PROBLEMAS EMA. ORRIENE ALERNA MONOFÁSIA.- Determnar el trángulo de potencas de un crcuto al que se le aplca una tensón v4sen(? t-6º) V s crcula una corrente de.sen(? t-48 7º) A..- La tensón aplcada a un crcuto sere formado por dos mpedancas de R8Ω y X 6Ω es V5/-9º. Determnar el trángulo de potencas..-determnar el trangulo de potencas total para las sguentes cargas: a) VA con cosϕ 7 en retraso b) 5VA con cosϕ 5 en retraso c) 75VA con cosϕ 4.- Una carga de motores de nduccón de 5 W y factor de potenca 75 en retraso se combna con la de un grupo de motores síncronos de 5 VA y factor de potenca de 65 en adelanto. alcular la potenca reactva de los condensadores a nstalar para que el factor de potenca total sea de 95 en retraso. En que tanto por cento dsmnuye la potenca aparente? 5.- El alumbrado de una sala de dbujo se compone de 5 lámparas fluorescentes de 4W/V con un factor de potenca de 6. Dmensonar la batería de condensadores que será necesaro conectar a la línea general que almenta esta nstalacón para corregr el factor de potenca a 97. Averguar el calbre de los fusbles generales tenendo en cuenta la ntensdad después de corregdo el factor de potenca. uál será el calbre para la proteccón de la batería de condensadores? 6.- Una nstalacón es almentada a V y 5 Hz, y está compuesta por: a) Un motor de potenca útl 8 KW, cosϕ 7 b) Un horno eléctrco de fusón de KW c) Una mpedanca de R 5Ω d) Una mpedanca de X L 5Ω e) Un condensador de capacdad /π µf f) Un motor de 5 KVA, cosϕ 8 Determnar: a) La corrente absorbda y el factor de potenca de las cargas b) La capacdad del condensador que se debe nstalar s se desea elevar el factor de potenca a la undad, cuando la nstalacón trabaja a plena carga. EMA Págna 4 de 5
7.- En el crcuto de la fgura se quere conocer las ntensdades de cada rama (con el sentdo ndcado), así como las potencas actva, reactva y aparente en cada receptor y en cada generador. V V /º V V V 5/º V45 + j 6 V V 54/º V54 V V4 4/6º V + j 464 V V 4 V4 /6º Ω + j 7 Ω 4/-º Ω 46 j Ω /45ºΩ 77+j 77Ω 4 5/º Ω 5 Ω V EMA Págna 5 de 5